Свойството на делението на 11. Основните признаци на делимост

Този материал е посветен на такова понятие като знак за делимост на 2. В първия параграф ще го формулираме и ще дадем примери - задачи, в които трябва да разберете дали определено число се дели на 2. След това ще докажем тази особеност и ще обясним какви други методи съществуват за определяне на делимостта на две на числа, дадени като стойност на изрази.

Постановка и примери на теста за делимост на 2

За да разберете по-добре какви са признаците за делимост, трябва да повторите темата, свързана с делимостта на целите числа. Дефиницията на основната концепция изглежда така:

Определение 1

Цяло число, което завършва на 8, 6, 4, 2 и 0, може да бъде разделено на 2 без остатък. Ако в края на числото стои числото 9, 7, 5, 3 или 1, то такова число не се дели на 2.

С помощта на този знак е възможно да се разкрие делимостта не само на положително цяло число (естествено), но и на отрицателно цяло число, тъй като те също могат да бъдат разделени на 2 без остатък.

Нека дадем няколко примера за използване на функция в проблеми.

Пример 1

Състояние:определете кое от числата 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 може да се раздели на две.

Решение

Разбира се, можем просто да разделим всички тези числа на две в колона и да проверим дали има остатък в края или не. Но като знаете знака за делимост на две, можете да решите този проблем много по-бързо.

Три от изброените числа, а именно 8, - 946 и 10 900, имат числата 8, 6 и 0 в края, което означава, че тяхното деление на 2 е възможно.

Останалите числа (53 и - 988 123 761) завършват на 3 и 1, което означава, че не се делят напълно на две.

Отговор: 8 , − 946 и 10 900 могат да бъдат разделени на две, но всички други дадени числа не могат.

Тази функция се използва широко в задачи, при които трябва да разложите число на прости множители. Нека решим един такъв пример.

Пример 2

Състояние:разложете 352 на прости множители.

Решение

Тъй като последната цифра в оригиналното число е 2, то според критерия за делимост можем да го разделим на две без остатък. Нека направим това: 352: 2 = 176 и 352 = 2 176 . Полученото число 176 също се дели на две: 176: 2 \u003d 88 и 176 \u003d 2 88. Това число също може да бъде разделено: 88: 2 = 44, 88 = 2 44 и 352 = 2 2 88 = 2 2 2 44. Продължаваме разширяването: 44: 2 = 22 и 44 = 2 22, следователно, 352 = 2 2 2 44 = 2 2 2 2 22; тогава 22: 2 = 11, откъдето 22 = 2 11 и 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Най-накрая стигнахме до число, което не се дели на 2. Таблицата с прости числа ни казва, че това число е просто, така че там разлагането на множители свършва.

Отговор: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

Делението на числата на четни и нечетни се основава именно на това дали се делят на 2 или не. Познавайки този признак за делимост, можем да кажем, че всички четни числа завършват с числото 0, 2, 4, 6 или 8, а всички нечетни - 1, 3, 5, 7 или 9.

Как можете да докажете теста за делимост на 2

Преди да пристъпим директно към доказателството на тази функция, трябва да докажем едно допълнително твърдение. Формулира се така:

Определение 2

Всички естествени числа, които завършват на нула, могат да се делят на две без остатък.

Използвайки правилото за умножаване на естествено число по 10, можем да представим определено число a като a = a 1 · 10 . Номер а 1, от своя страна, ще се получи от a, ако последната цифра бъде премахната от него.

Ето примери за такова действие: 470 = 47 10, където a = 470 и a 1 = 47; или 38 010 10, тук a = 380 100 и a 1 = 38 010. Вторият множител в този продукт (10) може да бъде разделен на 2, така че целият продукт може да бъде разделен на 2. Това твърдение се основава на съответното свойство на делимост.

Преминаваме към доказателството на теста за делимост на 2. За да е по-удобно, представяме го като теорема, т.е. като необходимо и достатъчно условие за делимост на цяло число на две.

Теорема 1

За да се раздели цяло число a на две, необходимо и достатъчно условие е последната цифра да е 0, 2, 4, 6 или 8.

доказателство 1

Как да докажем това твърдение? Първо, нека представим оригиналното число a като сбор от десетици и единици, т.е. нека го запишем като a = a 1 10 + a 0 . Тук 1 ще бъде числото, получено от a, когато последната цифра бъде елиминирана, а 0 съответства на последната цифра от това число (изрази 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10 + 8 също могат да бъдат примери за такова представяне). работа а 1 10, взето от равенството a = a 1 · 10 + a 0 , винаги ще се дели на две, което е показано с помощта на тази теорема.

Останалата част от доказателството разчита на определено свойство на делимост, а именно: ако имаме три числа, които образуват уравнението t = u + v , и две от тях се делят на цяло число z , тогава третото число също може да бъде разделено на z

Ако a може да бъде разделено на две, тогава според това свойство, както и представянето a \u003d a 1 10 + a 0, числото a 0 ще бъде разделено на две и това е възможно само ако a 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 или осем.

И ако а не се дели на 2, тогава въз основа на същото свойство, числото а 0също няма да се дели на 2, което е възможно само когато a 0 = 1, 3, 5, 7 или 9. Това е необходимото доказателство за необходимост.

Сега нека разгледаме обратната ситуация. Ако имаме число a, чиято последна цифра е 0, 2, 4, 6 или 8, тогава а 0разделена на 2 . Специфицирано свойство на делимост и представяне a = a1 10 + a0ни позволяват да заключим, че a се дели на 2 . Ако a има последната цифра 1, 3, 5, 7 или 9, тогава 0 не се дели на 2 , така че a също не се дели на 2 , в противен случай самото представяне a = a 1 10 + a 0 ще се дели на 2 , което е невъзможно. Достатъчността на условието е доказана.

Накрая отбелязваме, че числата с последна цифра 1, 3, 5, 7 или 9, когато се разделят на две, винаги дават остатък единица.

Да вземем случая, когато даденото число завършва с една от тези цифри. Тогава можем да представим a като a = b + 1, като b има 0, 2, 4, 6 или 8 като последна цифра. По силата на критерия за делимост на 2 числото b може да се раздели на 2 , следователно, по дефиницията за делимост, може също да бъде представено като b = 2 · q , където q ще бъде някакво цяло число. Получихме, че a = 2 q + 1 . Това представяне ни показва, че при разделянето на числото a на 2 резултатът е непълно частно q и остатък от 1 (ако е необходимо, прочетете отново статията за деление на цели числа с остатък).

Други случаи на определяне на делимост на 2

В този параграф ще анализираме онези случаи, когато числото, чиято делимост на 2 трябва да се определи, не е дадено директно, а се определя от някаква стойност на буквалния израз. Тук не можем да използваме знака, даден по-горе, а също така е невъзможно директно да разделим този израз на 2. Така че трябва да намерим друго решение.

Съществува подход за решаване на такива задачи, който се основава на следното свойство на делимост: произведението на цели числа може да бъде разделено на определено число, когато поне един от множителите се дели на него. Следователно, ако можем да преобразуваме буквален израз в произведение на отделни множители, единият от които се дели на две, тогава ще бъде възможно да докажем, че оригиналният израз също се дели на 2.

За да трансформираме дадения израз, можем да използваме биномната формула на Нютон. Нека да разгледаме такава задача.

Пример 3

Състояние:определи дали стойността на израза 3 n + 4 n - 1 може да бъде разделена на 2 за някакво естествено n.

Решение

Първо, нека запишем очевидното равенство 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Сега вземаме биномната формула на Нютон, прилагаме я и опростяваме полученото:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

В последното равенство изваждаме две от скобите и получаваме следното равенство:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

В това равенство можете да разделите дясната страна на две за всяка естествена стойност на n, тъй като там има коефициент, равен на 2. Тъй като между изразите има знак за равенство, можете да разделите на 2 и от лявата страна.

Отговор:този израз може да се раздели на 2.

Доста често делимостта може да се докаже с помощта на метода на математическата индукция. Нека вземем същия израз като в примера по-горе и да покажем как да приложим този метод на практика.

Пример 4

Състояние:разберете дали изразът 3 n + 4 n - 1 се дели на 2 за всяка естествена стойност на n.

Решение

Ние използваме математическа индукция. Първо, нека докажем, че стойността на израза 3 n + 4 n - 1 с n равно на едно може да бъде разделена на 2 . Получаваме 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, шест се дели на две без остатък. Продължа напред. Нека вземем n равно на k и приемем, че 3 k + 4 k - 1 се дели на две.

Използвайки това предположение, ние доказваме, че 3 n + 4 n - 1 може да бъде разделено на 2, ако това е възможно за 3 k + 4 k - 1 . За да докажем това, трябва да извършим няколко трансформации.

3 3 k + 4 k - 1 се дели на две, тъй като това е възможно за 3 k + 4 k - 1 , изразът 2 4 k - 3 също може да бъде разделен на 2, защото има множител 2, което означава че разликата на тези два израза също се дели на 2, което се обяснява със съответното свойство на делимост.

Отговор: изразът 3 n + 4 n - 1 се дели на 2 за всяко естествено n .

Нека се спрем отделно на случая, когато в произведението има две числа едно до друго, следващи едно след друго в естествената редица от числа. Такава работа също е разделена на две.

Пример 5

Например израз като (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) се дели на 2 за всяка естествена стойност на n, тъй като съдържа числа, които следват едно след друго в естествената серия са n + 6 и n + 7 .

По същия начин, ако има два множителя, между които има четен брой членове на естествената редица, произведението може да се раздели на 2. И така, стойността (n + 1) (n + 6) се дели на две за всяко естествено n, тъй като между n + 5 и n + 6 има четен брой числа: n + 2, n + 3, n + 4 и n + 5.

Нека комбинираме всичко, за което говорихме в предишните параграфи. Ако може да се покаже, че стойността на израз се дели на две, когато n = 2 m, както и при n = 2 m + 1и произволно цяло число m, тогава това ще бъде доказателство, че оригиналният израз се дели на 2 за всякакви цели числа на n.

Пример 6

Състояние:проверете дали изразът се дели на 2 n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12за всякакви естествени стойности на n.

Решение

Първо, представяме този израз като произведение (n + 2) 2 · (n + 3) . Ако е необходимо, повторете как правилно да факторизирате полином. Имаме два множителя n + 2и n + 3, които съответстват на числата, стоящи едно до друго в естествения ред. Във всеки случай едно от тях се дели на 2, което означава, че цялото произведение също се дели на 2. Същото важи и за оригиналния израз.

Този проблем има друго решение. Ако n = 2 m, тогава n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3 . Тук има коефициент четири, поради който целият продукт ще се дели на 2.

Ако n = 2 m + 1, тогава

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Тук има множител 2, което означава, че целият продукт се дели на 2.

Отговор:това е доказателството, че изразът n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3)може да се раздели на две за всяка естествена стойност на n.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Нека започнем да разглеждаме темата "Знак за делимост на 3". Нека започнем с формулирането на знака, ще дадем доказателството на теоремата. След това ще разгледаме основните подходи за установяване на делимостта на 3 числа, чиято стойност е дадена с някакъв израз. В раздела е направен анализ на решението на основните типове задачи въз основа на използването на критерия за делимост на 3 .

Признак за делимост на 3, примери

Знакът за делимост на 3 се формулира просто: цяло число ще се дели на 3 без остатък, ако сумата от съставните му цифри се дели на 3. Ако общата стойност на всички цифри, съставляващи цяло число, не се дели на 3, тогава самото оригинално число не се дели на 3. Можете да получите сумата от всички цифри в цяло число, като добавите естествени числа.

Сега нека да разгледаме примери за прилагане на критерия за делимост на 3.

Пример 1

42 дели ли се на 3?

Решение

За да отговорим на този въпрос, нека съберем всички числа, които съставят числото - 42: 4 + 2 = 6.

Отговор:според критерия за делимост, тъй като сумата от цифрите, включени в нарастването на оригиналното число, се дели на три, тогава самото оригинално число се дели на 3.

За да отговорим на въпроса дали числото 0 се дели на 3, ни е необходимо свойството делимост, според което нулата се дели на всяко цяло число. Оказва се, че нулата се дели на три.

Има задачи, за чието решаване е необходимо няколко пъти да се прибягва до критерия за делимост на 3.

Пример 2

Покажете, че числото 907 444 812 се дели на 3.

Решение

Нека намерим сумата от всички цифри, които образуват записа на оригиналното число: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Сега трябва да определим дали числото 39 се дели на 3. Още веднъж добавете числата, съставляващи това число: 3 + 9 = 12 . Остава отново да извършим събирането на числата, за да получим окончателния отговор: 1 + 2 = 3 . Числото 3 се дели на 3

Отговор:оригинален номер 907 444 812 също се дели на 3.

Пример 3

Дели ли се на 3 − 543 205 ?

Решение

Нека изчислим сумата от цифрите, които съставят оригиналното число: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Сега нека изчислим сумата от цифрите на полученото число: 1 + 9 = 10 . За да получим окончателния отговор, нека намерим резултата от още едно събиране: 1 + 0 = 1 .
Отговор: 1 не се дели на 3, така че оригиналното число също не се дели на 3.

За да определим дали дадено число се дели на 3 без остатък, можем да разделим даденото число на 3. Ако разделим числото − 543 205 от горния пример с колона три, тогава в отговора няма да получим цяло число. Това също означава точно това − 543 205 не се дели на 3.

Доказателство за теста за делимост на 3

Тук се нуждаем от следните умения: разлагане на число на цифри и правилото за умножение по 10, 100 и т.н. За да извършим доказателството, трябва да получим представяне на числото a на формата , където a n , a n − 1 , … , a 0- Това са числата, които са разположени отляво надясно в записа на числото.

Ето пример с използване на конкретно число: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Нека напишем поредица от равенства: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 и така нататък.

Сега нека заместим тези равенства вместо 10, 100 и 1000 в равенствата, дадени по-рано a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Така стигнахме до равенството:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

И сега прилагаме свойствата на събиране и свойствата на умножение на естествени числа, за да пренапишем полученото равенство, както следва:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

Израз a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 е сумата от цифрите на оригиналното число a. Нека въведем нова кратка нотация за него НО. Получаваме: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

В този случай числовото представяне е a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A приема вид, който ще ни бъде удобен за доказване на теста за делимост на 3 .

Определение 1

Сега запомнете следните свойства на делимостта:

• необходимо и достатъчно условие цяло число a да се дели на цяло число
  b , е условието, при което модулът на числото a се дели на модула на числото b ;
• ако е в равенство a = s + tвсички членове, с изключение на някои, се делят на някакво цяло число b, тогава този член също се дели на b.

Положихме основата за доказване на теста за делимост на 3. Сега нека формулираме този критерий под формата на теорема и го докажем.

Теорема 1

За да твърдим, че едно цяло число a се дели на 3, ни е необходимо и единствено сумата от цифрите, които образуват записа на числото a, да се дели на 3.

доказателство 1

Ако вземем стойността а = 0, тогава теоремата е очевидна.

Ако вземем число a, различно от нула, тогава абсолютната стойност на a ще бъде естествено число. Това ни позволява да напишем следното равенство:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , където A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - сумата от цифрите на числото a .

Тъй като сумата и произведението на цели числа е цяло число, тогава
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 е цяло число, тогава по дефиниция за делимост произведението е 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 се дели на 3 за всякакви a 0 , a 1 , … , a n.

Ако сумата от цифрите на числото аразделена на 3 , това е, Аразделена на 3 , тогава, по силата на свойството за делимост, посочено преди теоремата, a се дели на 3 , следователно, аразделена на 3 . Това доказва достатъчността.

Ако аразделена на 3 , тогава a се дели на 3 , тогава, поради същото свойство на делимост, числото
Аразделена на 3 , тоест сумата от цифрите на числото аразделена на 3 . Това доказва необходимостта.

Други случаи на делимост на 3

Цели числа могат да бъдат дадени като стойност на някакъв израз, който съдържа променлива, при определена стойност на тази променлива. И така, за някакво естествено n, стойността на израза 4 n + 3 n - 1 е естествено число. В този случай директно деление по 3 не може да ни даде отговор на въпроса дали едно число се дели на 3 . Прилагане на теста за делимост към 3 също може да бъде трудно. Разгледайте примери за такива проблеми и анализирайте методите за тяхното решаване.

Могат да се приложат няколко подхода за решаване на подобни проблеми. Същността на един от тях е следната:

• представят оригиналния израз като продукт на няколко фактора;
• разберете дали поне един от множителите може да се дели на 3 ;
• въз основа на свойството за делимост, заключаваме, че целият продукт се дели на 3 .

В хода на решението често се налага да се използва биномната формула на Нютон.

Пример 4

Стойността на израза 4 n + 3 n - 1 дели ли се на 3 за всеки естествен н?

Решение

Нека напишем равенството 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Прилагаме биномната формула на Нютон на бинома на Нютон:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Сега да вземем 3 извън скобите: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . Полученият продукт съдържа множител 3 , а стойността на израза в скоби за естествено n е естествено число. Това ни позволява да твърдим, че полученият продукт и оригиналният израз 4 n + 3 n - 1 се дели на 3 .

Отговор:да

Можем да приложим и метода на математическата индукция.

Пример 5

Докажете с помощта на метода на математическата индукция, че за всяко естествено
n стойността на израза n n 2 + 5 се дели на 3 .

Решение

Намерете стойността на израза n n 2 + 5 за n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 се дели на 3 .

Да предположим сега, че стойността на израза n n 2 + 5 за n=kразделена на 3 . Всъщност ще трябва да работим с израза k · k 2 + 5 , който очакваме да се дели на 3 .

Като се има предвид, че k k 2 + 5 се дели на 3 , нека покажем, че стойността на израза n n 2 + 5 за n=k+1разделена на 3 , тоест ще покажем, че k + 1 k + 1 2 + 5 се дели на 3 .

Нека направим трансформациите:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Изразът k (k 2 + 5) се дели на 3 и изразът 3 k 2 + k + 2 се дели на 3 , така че тяхната сума се дели на 3 .

Така доказахме, че стойността на израза n (n 2 + 5) се дели на 3 за всяко естествено n .

Нека сега анализираме подхода към доказателството за делимост на 3 , който се основава на следния алгоритъм на действия:

• показваме, че стойността на този израз с променливата n за n = 3 m, n = 3 m + 1 и n = 3 m + 2, където ме произволно цяло число, делящо се на 3 ;
• заключаваме, че изразът ще се дели на 3 за всяко цяло число n.

За да не отвличаме вниманието от незначителни детайли, прилагаме този алгоритъм към решението на предишния пример.

Пример 6

Покажете, че n (n 2 + 5) се дели на 3 за всяко естествено n .

Решение

Нека се преструваме, че n = 3 m. Тогава: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. Продуктът, който получихме, съдържа множителя 3 , така че самият продукт се дели на 3 .

Нека се преструваме, че n = 3 m + 1. Тогава:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

Продуктът, който получихме, е разделен на 3 .

Да приемем, че n = 3 · m + 2 . Тогава:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Тази работа също е разделена на 3 .

Отговор:Така доказахме, че изразът n n 2 + 5 се дели на 3 за всяко естествено n .

Пример 7

Разделено ли е на 3 стойността на израза 10 3 n + 10 2 n + 1 за някакво естествено n .

Решение

Нека се преструваме, че n=1. Получаваме:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Нека се преструваме, че n=2. Получаваме:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Така че можем да заключим, че за всяко естествено n ще получим числа, които се делят на 3. Това означава, че 10 3 n + 10 2 n + 1 се дели на 3 за всяко естествено n.

Отговор:да

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

ПРИЗНАЦИ ЗА ДЕЛИМОСТчисла - най-простите критерии (правила), които позволяват да се прецени делимостта (без остатък) на някои естествени числа от други. Решавайки въпроса за делимостта на числата, признаците за делимост се свеждат до операции с малки числа, обикновено извършвани наум.
Тъй като основата на общоприетата бройна система е 10, най-простите и често срещани са знаците за делимост на делители на числа от три вида: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Първият вид - признаци за делимост на делители на числото 10 k, за делимостта на всяко цяло число N на всеки цял делител q на числото 10 k е необходимо и достатъчно последният k-цифрен аспект (k-цифрен край) на числото N се дели на q. По-специално (за k \u003d 1, 2 и 3) получаваме следните знаци за делимост на делители на числата 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) и 10 3 \u003d 1000 (I 3):
аз 1 . 2, 5 и 10 - едноцифреното окончание (последната цифра) на числото трябва да се дели съответно на 2, 5 и 10. Например числото 80 110 се дели на 2, 5 и 10, тъй като последната цифра 0 от това число се дели на 2, 5 и десет; 37835 се дели на 5, но не и на 2 и 10, защото последната цифра на 5 се дели на 5, но не и на 2 и 10.

аз 2 . На 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100 двуцифреният край на числото трябва да се дели съответно на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. За Например, числото 7 840 700 се дели на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100, тъй като двуцифреното число, завършващо 00 на това число, се дели на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100; числото 10 831 750 се дели на 2, 5, 10, 25 и 50, но не се дели на 4, 20 и 100, тъй като двуцифреното число в края на 50 на това число се дели на 2, 5, 10, 25 и 50, но не се дели на 4, 20 и 100.

аз 3 . За 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000 - трицифреният край на числото трябва да бъде разделен на 2,4,5,8 ,10, 20, съответно 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000. Например числото 675 081 000 се дели на всички числа, посочени в този знак, тъй като трицифреното окончание 000 от даденото число се дели на всеки от тях; числото 51 184 032 се дели на 2, 4 и 8 и не се дели на остатъка, тъй като трицифреното окончание 032 на даденото число се дели само на 2, 4 и 8 и не се дели на остатъка.

Вторият вид - признаци за делимост на делители на числото 10 k - 1: за делимостта на всяко цяло число N на всеки цял делител q на числото 10 k - 1 е необходимо и достатъчно сумата от k-цифрените лица на числото N се дели на q. По-специално (за k = 1, 2 и 3) получаваме следните признаци за делимост на делители на числата 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) и 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . На 3 и 9 - сборът от цифрите (едноцифрените лица) на числото трябва да се дели съответно на 3 и 9. Например числото 510 887 250 се дели на 3 и 9, тъй като сборът от цифрите е 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (и 3+6=9) от това число се дели на 3 и 9; числото 4 712 586 се дели на 3, но не се дели на 9, тъй като сборът от цифрите 4+7+1+2+5+8+6=33 (и 3+3=6) на това число се дели на 3, но не се дели на 9.

II 2 . На 3, 9, 11, 33 и 99 - сумата от двуцифрените лица на числото трябва да се дели съответно на 3, 9, 11, 33 и 99. Например числото 396 198 297 се дели на 3 , 9, 11, 33 и 99, тъй като сумата от двуцифрени лица 3+96+19+ +82+97=297 (и 2+97=99) се дели на 3, 9.11, 33 и 99; числото 7 265 286 303 се дели на 3, 11 и 33, но не се дели на 9 и 99, тъй като сумата от двуцифрените лица 72+65+28+63+03=231 (и 2+31= 33) от това число се дели на 3, 11 и 33 и не се дели на 9 и 99.

II 3 . На 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999 - сумата от трицифрените лица на числото трябва да се дели съответно на 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999. Например, числото 354 645 871 128 се дели на всички изброени в този знак на число, тъй като сборът от трицифрените лица 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (и 1 + 998 = 999) на това число се дели на всеки от тях.

Трети тип - критерии за делимост на делители на числото 10 k + 1: за делимостта на произволно цяло число N на всеки цял делител q на числото 10 k + 1 е необходимо и достатъчно разликата между сбора на k -цифрени лица в N на четни места и сумата от k-цифрени лица в N на нечетни места се разделя на q. По-специално (за k \u003d 1, 2 и 3) получаваме следните знаци за делимост на делители на числата 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) и 10 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . По 11 - разликата между сбора на цифрите (едноцифрени лица) на четни места и сбора на цифрите (едноцифрени лица) на нечетни места трябва да се дели на 11. Например числото 876 583 598 се дели на 11, тъй като разликата 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (и 1 - 1=0) между сбора на цифрите на четните места и сбора на цифрите на нечетните места се дели на 11.

III 2 . По 101 - разликата между сбора на двуцифрените лица на четните места и сбора на двуцифрените лица на нечетните места трябва да се дели на 101. Например числото 8 130 197 се дели на 101, тъй като разликата е 8-13 + 01- 97 = 101 (и 1-01=0) между сбора на двуцифрените лица на четните места в това число и сбора на двуцифрените лица на нечетните места се дели на 101.

III 3 . На 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001 - разликата между сбора на трицифрените лица на четните места и сбора на трицифрените лица на нечетните места трябва да се раздели на 7, 11, 13, 77 , съответно 91, 143 и 1001. Например числото 539 693 385 се дели на 7, 11 и 77, но не се дели на 13, 91, 143 и 1001, тъй като 539 - 693+385=231 се дели на 7, 11 и 77 и не се дели на 13, 91, 143 и 1001.

Има признаци, по които понякога е лесно да разберете, без реално деление, дали дадено число се дели или не на други числа.

Числата, които се делят на 2, се наричат дори. Числото нула също е четно число. Всички други номера се обаждат странно:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - четно,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... са нечетни.

Признаци на делимост

Знак за делимост на 2. Едно число се дели на 2, ако последната му цифра е четна. Например числото 4376 се дели на 2, защото последната цифра (6) е четна.

Знак за делимост на 3. На 3 се делят само онези числа, чийто сбор от цифри се дели на 3. Например числото 10815 се дели на 3, тъй като сборът от неговите цифри 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 се дели на 3.

Признаци за делимост на 4. Едно число се дели на 4, ако последните му две цифри са нули или образуват число, което се дели на 4. Например числото 244500 се дели на 4, защото завършва с две нули. Числата 14708 и 7524 се делят на 4, защото последните две цифри на тези числа (08 и 24) се делят на 4.

Признаци за делимост на 5. Числата, които завършват на 0 или 5, се делят на 5. Например числото 320 се дели на 5, защото последната цифра е 0.

Знак за делимост на 6. Едно число се дели на 6, ако се дели и на 2, и на 3. Например числото 912 се дели на 6, защото се дели и на 2, и на 3.

Признаци за делимост на 8. На 8 се делят онези числа, при които последните три цифри са нули или образуват число, което се дели на 8. Например числото 27000 се дели на 8, тъй като завършва с три нули. Числото 63128 се дели на 8, защото последните три цифри образуват числото (128), което се дели на 8.

Знак за делимост на 9. На 9 се делят само онези числа, чийто сбор от цифри се дели на 9. Например числото 2637 се дели на 9, тъй като сборът от неговите цифри 2 + 6 + 3 + 7 = 18 се дели на 9.

Признаци за делимост на 10, 100, 1000 и др. 10, 100, 1000 и така нататък се делят на онези числа, които завършват съответно с една нула, две нули, три нули и т.н. Например числото 3800 се дели на 10 и 100.

Знак за делимост на 3
Едно число се дели на 3 тогава и само ако сборът от неговите цифри се дели на 3.

Делимост на знак 4
Едно число се дели на 4 тогава и само ако броят на последните му две цифри е нула или се дели на 4.

Знак за делимост на 5
Едно число се дели на 5 тогава и само ако последната цифра се дели на 5 (т.е. равна на 0 или 5).

Знак за делимост на 6
Едно число се дели на 6 тогава и само ако се дели на 2 и 3.

Знак за делимост на 7
Едно число се дели на 7 тогава и само ако резултатът от двойното изваждане на последната цифра от това число без последната цифра се дели на 7 (например 259 се дели на 7, тъй като 25 - (2 9) = 7 се дели от 7).

Знак за делимост на 8
Едно число се дели на 8 тогава и само ако последните му три цифри са нули или образуват число, което се дели на 8.

Знак за делимост на 9
Едно число се дели на 9 тогава и само ако сборът от неговите цифри се дели на 9.

Знак за делимост на 10
Едно число се дели на 10 тогава и само ако завършва на нула.

Знак за делимост на 11
Едно число се дели на 11 тогава и само ако сборът от цифрите с редуващи се знаци се дели на 11 (т.е. 182919 се дели на 11, тъй като 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 се дели на 11) - следствие от факта, че всички числа от вида 10 n, когато се разделят на 11, дават остатък от (-1) n .

Знак за делимост на 12
Едно число се дели на 12 тогава и само ако се дели на 3 и 4.

Знак за делимост на 13
Едно число се дели на 13 тогава и само ако броят на неговите десетици, добавен към четири пъти броя на единиците, е кратен на 13 (например 845 се дели на 13, тъй като 84 + (4 5) = 104 е делимо на 13).

Знак за делимост на 14
Едно число се дели на 14 тогава и само ако се дели на 2 и 7.

Знак за делимост на 15
Едно число се дели на 15 тогава и само ако се дели на 3 и 5.

Знак за делимост на 17
Едно число се дели на 17 тогава и само ако броят на неговите десетици, добавен към броя на единиците, увеличен с 12, е кратен на 17 (например 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Тъй като 34 се дели на 17, тогава 29053 също се дели на 17). Знакът не винаги е удобен, но има определено значение в математиката. Има малко по-прост начин - едно число се дели на 17 тогава и само ако разликата между броя на неговите десетици и пет пъти броя на единиците е кратна на 17 (например 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. тъй като 15 не се дели на 17, тогава 32952 също не се дели на 17)

Знак за делимост на 19
Едно число се дели на 19 тогава и само ако броят на неговите десетици, добавен към два пъти броя на единиците, е кратен на 19 (например 646 се дели на 19, тъй като 64 + (6 2) = 76 се дели от 19).

Знак за делимост на 23
Едно число се дели на 23 тогава и само ако стотиците му плюс тройната му десетица е кратно на 23 (например 28842 се дели на 23, тъй като 288 + (3 * 42) = 414 продължава 4 + (3 * 14) = 46 очевидно се дели на 23).

Знак за делимост на 25
Едно число се дели на 25 тогава и само ако последните му две цифри се делят на 25 (т.е. от 00, 25, 50 или 75) или числото е кратно на 5.

Знак за делимост на 99
Разделяме числото на групи от 2 цифри от дясно на ляво (най-лявата група може да има една цифра) и намираме сбора на тези групи, като ги считаме за двуцифрени числа. Тази сума се дели на 99 тогава и само ако самото число се дели на 99.

Знак за делимост на 101
Разделяме числото на групи от 2 цифри от дясно на ляво (най-лявата група може да има една цифра) и намираме сбора на тези групи с променливи знаци, като ги считаме за двуцифрени числа. Тази сума се дели на 101 тогава и само ако самото число се дели на 101. Например 590547 се дели на 101, тъй като 59-05+47=101 се дели на 101).