Η ιδιότητα της διαίρεσης με το 11. Τα κύρια σημάδια της διαιρετότητας

Αυτό το υλικό είναι αφιερωμένο σε μια τέτοια έννοια ως σημάδι διαιρετότητας με 2. Στην πρώτη παράγραφο, θα το διατυπώσουμε και θα δώσουμε παραδείγματα - εργασίες στις οποίες πρέπει να μάθετε αν ένας συγκεκριμένος αριθμός διαιρείται με το 2. Στη συνέχεια θα αποδείξουμε αυτό το χαρακτηριστικό και θα εξηγήσουμε ποιες άλλες μέθοδοι υπάρχουν για τον προσδιορισμό της διαιρετότητας με δύο από τους αριθμούς που δίνονται ως τιμή παραστάσεων.

Διατύπωση και παραδείγματα του τεστ διαιρετότητας με το 2

Για να κατανοήσετε καλύτερα ποια είναι τα σημάδια της διαιρετότητας, πρέπει να επαναλάβετε το θέμα που σχετίζεται με τη διαιρετότητα των ακεραίων. Ο ορισμός της κύριας έννοιας μοιάζει με αυτό:

Ορισμός 1

Ένας ακέραιος αριθμός που τελειώνει σε 8 , 6 , 4 , 2 και 0 μπορεί να διαιρεθεί με το 2 χωρίς υπόλοιπο. Αν στο τέλος του αριθμού είναι ο αριθμός 9, 7, 5, 3 ή 1, τότε ένας τέτοιος αριθμός δεν έχει διαιρετότητα με το 2.

Με τη βοήθεια αυτού του σημείου, είναι δυνατό να αποκαλυφθεί η διαιρετότητα όχι μόνο ενός θετικού ακέραιου (φυσικού), αλλά και ενός αρνητικού ακέραιου, αφού μπορούν επίσης να διαιρεθούν με το 2 χωρίς υπόλοιπο.

Ας δώσουμε μερικά παραδείγματα χρήσης μιας δυνατότητας σε προβλήματα.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση:καθορίστε ποιοι από τους αριθμούς 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 μπορούν να χωριστούν σε δύο.

Λύση

Φυσικά, μπορούμε απλά να διαιρέσουμε όλους αυτούς τους αριθμούς με δύο σε μια στήλη και να ελέγξουμε αν υπάρχει υπόλοιπο στο τέλος ή όχι. Αλλά γνωρίζοντας το πρόσημο της διαιρετότητας με δύο, μπορείτε να λύσετε αυτό το πρόβλημα πολύ πιο γρήγορα.

Τρεις από τους αριθμούς που αναφέρονται, δηλαδή 8, - 946 και 10 900, έχουν τους αριθμούς 8, 6 και 0 στο τέλος, πράγμα που σημαίνει ότι η διαίρεση τους με το 2 είναι δυνατή.

Οι υπόλοιποι αριθμοί (53 και - 988 123 761) τελειώνουν σε 3 και 1, που σημαίνει ότι δεν διαιρούνται πλήρως με το δύο.

Απάντηση: 8 , − 946 και 10 900 μπορούν να διαιρεθούν με δύο, αλλά όλοι οι άλλοι δεδομένοι αριθμοί δεν μπορούν.

Αυτή η δυνατότητα χρησιμοποιείται ευρέως σε προβλήματα όπου πρέπει να αποσυνθέσετε έναν αριθμό σε πρώτους παράγοντες. Ας λύσουμε ένα τέτοιο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Κατάσταση:παραγοντίζω 352 σε πρώτους παράγοντες.

Λύση

Δεδομένου ότι το τελευταίο ψηφίο στον αρχικό αριθμό είναι το 2, τότε σύμφωνα με το κριτήριο της διαιρετότητας, μπορούμε να τον χωρίσουμε στα δύο χωρίς υπόλοιπο. Ας κάνουμε αυτό: 352: 2 = 176 και 352 = 2 176 . Ο αριθμός 176 που προκύπτει διαιρείται επίσης με δύο: 176: 2 \u003d 88 και 176 \u003d 2 88. Αυτός ο αριθμός μπορεί επίσης να διαιρεθεί: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44 και 352 \u003d 2 2 88 \u003d 2 2 2 44. Συνεχίζουμε την επέκταση: 44: 2 \u003d 22 και 44 \u003d 2 22, επομένως, 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; τότε 22: 2 = 11, από όπου 22 = 2 11 και 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Τελικά, έχουμε φτάσει σε έναν αριθμό που δεν διαιρείται με το 2. Ο πίνακας των πρώτων αριθμών μας λέει ότι αυτός ο αριθμός είναι πρώτος, οπότε εκεί τελειώνει η παραγοντοποίηση.

Απάντηση: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

Η διαίρεση των αριθμών σε ζυγούς και περιττούς βασίζεται ακριβώς στο αν διαιρούνται με το 2 ή όχι. Γνωρίζοντας αυτό το σημάδι διαιρετότητας, μπορούμε να πούμε ότι όλοι οι ζυγοί αριθμοί τελειώνουν με τον αριθμό 0, 2, 4, 6 ή 8, και όλοι οι περιττοί αριθμοί - 1, 3, 5, 7 ή 9.

Πώς μπορείτε να αποδείξετε το τεστ διαιρετότητας με το 2

Πριν προχωρήσουμε απευθείας στην απόδειξη αυτού του χαρακτηριστικού, πρέπει να αποδείξουμε έναν επιπλέον ισχυρισμό. Διατυπώνεται ως εξής:

Ορισμός 2

Όλοι οι φυσικοί αριθμοί που τελειώνουν σε μηδέν μπορούν να διαιρεθούν με δύο χωρίς υπόλοιπο.

Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του πολλαπλασιασμού ενός φυσικού αριθμού με το 10, μπορούμε να αναπαραστήσουμε έναν ορισμένο αριθμό a ως a = a 1 · 10 . Αριθμός Α'1, με τη σειρά του, θα ληφθεί από το a εάν αφαιρεθεί το τελευταίο ψηφίο από αυτό.

Ακολουθούν παραδείγματα μιας τέτοιας ενέργειας: 470 = 47 10, όπου a = 470 και a 1 = 47; ή 38 010 10, εδώ a = 380 100 και a 1 = 38 010. Ο δεύτερος παράγοντας σε αυτό το γινόμενο (10) μπορεί να διαιρεθεί με το 2, επομένως ολόκληρο το προϊόν μπορεί να διαιρεθεί με το 2. Αυτή η δήλωση βασίζεται στην αντίστοιχη ιδιότητα της διαιρετότητας.

Ανατρέχουμε στην απόδειξη του τεστ για τη διαιρετότητα με το 2. Για να το κάνουμε πιο βολικό, το παρουσιάζουμε ως θεώρημα, δηλ. ως απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για τη διαιρετότητα ενός ακέραιου με δύο.

Θεώρημα 1

Για να διαιρέσουμε έναν ακέραιο αριθμό a με δύο, απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση είναι το τελευταίο ψηφίο να είναι 0 , 2 , 4 , 6 ή 8 .

Απόδειξη 1

Πώς να αποδείξετε αυτή τη δήλωση; Αρχικά, ας αναπαραστήσουμε τον αρχικό αριθμό a ως το άθροισμα των δεκάδων και των μονάδων, δηλ. ας το γράψουμε ως a = a 1 10 + a 0 . Εδώ το 1 θα είναι ο αριθμός που προκύπτει από το a όταν εξαλειφθεί το τελευταίο ψηφίο και το 0 αντιστοιχεί στο τελευταίο ψηφίο αυτού του αριθμού (οι εκφράσεις 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10 + 8 μπορούν επίσης να είναι παραδείγματα μια τέτοια παράσταση). Δουλειά ένα 110, που λαμβάνεται από την ισότητα a = a 1 · 10 + a 0 , θα διαιρείται πάντα με το δύο, το οποίο φαίνεται χρησιμοποιώντας αυτό το θεώρημα.

Η υπόλοιπη απόδειξη βασίζεται σε μια ορισμένη ιδιότητα της διαιρετότητας, δηλαδή: εάν έχουμε τρεις αριθμούς που σχηματίζουν την εξίσωση t = u + v , και δύο από αυτούς διαιρούνται με έναν ακέραιο z , τότε ο τρίτος αριθμός μπορεί επίσης να διαιρεθεί με z .

Εάν το a μπορεί να διαιρεθεί με δύο, τότε σύμφωνα με αυτήν την ιδιότητα, καθώς και με την αναπαράσταση a \u003d a 1 10 + a 0, ο αριθμός a 0 θα διαιρεθεί με το δύο και αυτό είναι δυνατό μόνο εάν ένα 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 ή οκτώ .

Και αν το α δεν διαιρείται με το 2, τότε με βάση την ίδια ιδιότητα, ο αριθμός ένα 0δεν θα διαιρείται ούτε με το 2, κάτι που είναι δυνατό μόνο όταν ένα 0 = 1, 3, 5, 7 ή 9. Αυτή είναι η απαραίτητη απόδειξη της ανάγκης.

Τώρα ας δούμε την αντίστροφη κατάσταση. Αν έχουμε έναν αριθμό α του οποίου το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8, τότε ένα 0διαιρείται με 2 . Καθορισμένη ιδιότητα διαιρεσιμότητας και αντιπροσώπευση a = a1 10 + a0επιτρέψτε μας να συμπεράνουμε ότι το a διαιρείται με 2 . Αν το a έχει το τελευταίο ψηφίο 1, 3, 5, 7 ή 9, τότε το 0 δεν διαιρείται με 2 , άρα το α επίσης δεν διαιρείται με 2 , διαφορετικά η ίδια η παράσταση a = a 1 10 + a 0 θα διαιρείται με 2 , κάτι που είναι αδύνατο. Η επάρκεια της κατάστασης αποδεικνύεται.

Στο τέλος, σημειώνουμε ότι οι αριθμοί με το τελευταίο ψηφίο 1, 3, 5, 7 ή 9, όταν διαιρούνται με δύο, δίνουν πάντα ένα υπόλοιπο του ενός.

Ας πάρουμε την περίπτωση όταν ο δεδομένος αριθμός τελειώνει με ένα από αυτά τα ψηφία. Τότε μπορούμε να αναπαραστήσουμε το a ως a = b + 1 , με το b να έχει ως τελευταίο ψηφίο το 0 , 2 , 4 , 6 ή 8. Δυνάμει του κριτηρίου της διαιρετότητας με 2 ο αριθμός b μπορεί να διαιρεθεί με 2 , επομένως, με τον ορισμό της διαιρετότητας, μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως b = 2 · q , όπου q θα είναι κάποιος ακέραιος αριθμός. Πήραμε ότι a = 2 q + 1 . Αυτή η αναπαράσταση μας δείχνει ότι όταν διαιρούμε τον αριθμό a με 2 το αποτέλεσμα είναι ένα ημιτελές πηλίκο q και ένα υπόλοιπο 1 (αν χρειάζεται, ξαναδιαβάστε το άρθρο για τη διαίρεση ακεραίων με υπόλοιπο).

Άλλες περιπτώσεις προσδιορισμού της διαιρετότητας με το 2

Σε αυτήν την παράγραφο, θα αναλύσουμε εκείνες τις περιπτώσεις όπου ο αριθμός του οποίου η διαιρετότητα με το 2 πρέπει να προσδιοριστεί δεν δίνεται άμεσα, αλλά καθορίζεται από κάποια τιμή της κυριολεκτικής έκφρασης. Εδώ δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το πρόσημο που δίνεται παραπάνω, και είναι επίσης αδύνατο να διαιρεθεί άμεσα αυτή η έκφραση με 2. Άρα, πρέπει να βρούμε κάποια άλλη λύση.

Υπάρχει μια προσέγγιση για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων, η οποία βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα της διαιρετότητας: το γινόμενο των ακεραίων αριθμών μπορεί να διαιρεθεί με έναν ορισμένο αριθμό όταν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες διαιρείται με αυτόν. Επομένως, εάν μπορούμε να μετατρέψουμε μια κυριολεκτική έκφραση σε γινόμενο χωριστών παραγόντων, ένας από τους οποίους διαιρείται με δύο, τότε θα μπορούμε να αποδείξουμε ότι η αρχική έκφραση διαιρείται επίσης με το 2.

Για να μετασχηματίσουμε τη δεδομένη έκφραση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα. Ας δούμε ένα τέτοιο έργο.

Παράδειγμα 3

Κατάσταση:προσδιορίστε εάν η τιμή της παράστασης 3 n + 4 n - 1 μπορεί να διαιρεθεί με το 2 για κάποιο φυσικό n .

Λύση

Αρχικά, ας γράψουμε την προφανή ισότητα 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Τώρα παίρνουμε τον διωνυμικό τύπο του Νεύτωνα, τον εφαρμόζουμε και απλοποιούμε αυτό που έχουμε:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Στην τελευταία ισότητα, βγάζουμε δύο από αγκύλες και παίρνουμε την ακόλουθη ισότητα:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

Σε αυτήν την ισότητα, μπορείτε να διαιρέσετε τη δεξιά πλευρά με δύο για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n, αφού υπάρχει ένας παράγοντας ίσος με 2 εκεί. Δεδομένου ότι υπάρχει σύμβολο ίσου μεταξύ των εκφράσεων, μπορείτε να διαιρέσετε με το 2 και στην αριστερή πλευρά.

Απάντηση:αυτή η έκφραση μπορεί να διαιρεθεί με 2.

Αρκετά συχνά, η διαιρετότητα μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής. Ας πάρουμε την ίδια έκφραση όπως στο παραπάνω παράδειγμα και δείξουμε πώς να εφαρμόσουμε αυτή τη μέθοδο στην πράξη.

Παράδειγμα 4

Κατάσταση:βρείτε αν η παράσταση 3 n + 4 n - 1 διαιρείται με το 2 για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n .

Λύση

Χρησιμοποιούμε μαθηματική επαγωγή. Αρχικά, ας αποδείξουμε ότι η τιμή της παράστασης 3 n + 4 n - 1 με n ίσο με ένα μπορεί να διαιρεθεί με το 2 . Παίρνουμε 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, το έξι διαιρείται με το δύο χωρίς υπόλοιπο. Προχώρα. Ας πάρουμε το n ίσο με k και ας υποθέσουμε ότι το 3 k + 4 k - 1 διαιρείται με το δύο.

Χρησιμοποιώντας αυτήν την υπόθεση, αποδεικνύουμε ότι το 3 n + 4 n - 1 μπορεί να διαιρεθεί με το 2 εάν αυτό είναι δυνατό για 3 k + 4 k - 1 . Για να το αποδείξουμε αυτό, πρέπει να πραγματοποιήσουμε αρκετούς μετασχηματισμούς.

3 3 k + 4 k - 1 διαιρείται με το δύο, αφού αυτό είναι δυνατό για 3 k + 4 k - 1 , η έκφραση 2 4 k - 3 μπορεί επίσης να διαιρεθεί με το 2, επειδή έχει συντελεστή 2, που σημαίνει ότι η διαφορά αυτών των δύο παραστάσεων διαιρείται και με το 2, κάτι που εξηγείται από την αντίστοιχη ιδιότητα της διαιρετότητας.

Απάντηση: η έκφραση 3 n + 4 n - 1 διαιρείται με το 2 για οποιοδήποτε φυσικό n .

Ας σταθούμε χωριστά στην περίπτωση που υπάρχουν δύο αριθμοί ο ένας δίπλα στον άλλο στο γινόμενο, που ακολουθούν ο ένας τον άλλο στη φυσική σειρά αριθμών. Ένα τέτοιο έργο χωρίζεται επίσης στα δύο.

Παράδειγμα 5

Για παράδειγμα, μια παράσταση όπως (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) διαιρείται με το 2 για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n, καθώς περιέχει αριθμούς που ακολουθούν ο ένας μετά τον άλλο στη φυσική σειρά είναι n + 6 και n + 7 .

Ομοίως, εάν υπάρχουν δύο παράγοντες, μεταξύ των οποίων υπάρχει ζυγός αριθμός μελών της φυσικής σειράς, το προϊόν μπορεί να διαιρεθεί με το 2. Άρα, η τιμή (n + 1) (n + 6) διαιρείται με δύο για οποιοδήποτε φυσικό n, αφού μεταξύ n + 5 και n + 6 υπάρχει ένας ζυγός αριθμός αριθμών: n + 2, n + 3, n + 4 και n + 5.

Ας συνδυάσουμε όλα όσα μιλήσαμε στις προηγούμενες παραγράφους. Αν μπορεί να φανεί ότι η τιμή μιας παράστασης διαιρείται με δύο όταν n = 2 m, καθώς και στο n = 2 m + 1και έναν αυθαίρετο ακέραιο m , τότε αυτό θα είναι απόδειξη ότι η αρχική έκφραση διαιρείται με το 2 για οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές του n .

Παράδειγμα 6

Κατάσταση:ελέγξτε αν η έκφραση διαιρείται με το 2 n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12για τυχόν φυσικές τιμές του n.

Λύση

Αρχικά, αντιπροσωπεύουμε αυτήν την έκφραση ως γινόμενο (n + 2) 2 · (n + 3) . Εάν είναι απαραίτητο, επαναλάβετε πώς να παραγοντοποιήσετε σωστά ένα πολυώνυμο. Έχουμε δύο πολλαπλασιαστές n + 2και n + 3, που αντιστοιχούν στους αριθμούς που στέκονται ο ένας δίπλα στον άλλο στη φυσική σειρά. Σε κάθε περίπτωση, ένα από αυτά διαιρείται με το 2, που σημαίνει ότι ολόκληρο το γινόμενο διαιρείται επίσης με το 2. Το ίδιο ισχύει και για την αρχική έκφραση.

Αυτό το πρόβλημα έχει άλλη λύση. Αν ένα n = 2 m, μετά n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3 . Εδώ υπάρχει ένας παράγοντας τεσσάρων, λόγω του οποίου ολόκληρο το γινόμενο θα διαιρείται με το 2.

Αν n = 2 m + 1, έπειτα

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Εδώ υπάρχει ένας παράγοντας 2, που σημαίνει ότι ολόκληρο το γινόμενο έχει διαιρετότητα με το 2.

Απάντηση:αυτή είναι η απόδειξη ότι η έκφραση n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3)μπορεί να διαιρεθεί με δύο για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Ας αρχίσουμε να εξετάζουμε το θέμα "Το πρόσημο της διαιρετότητας με το 3". Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση του σημείου, θα δώσουμε την απόδειξη του θεωρήματος. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τις κύριες προσεγγίσεις για τον καθορισμό της διαιρετότητας με 3 αριθμούς, η τιμή των οποίων δίνεται από κάποια έκφραση. Η ενότητα παρέχει μια ανάλυση της λύσης των κύριων τύπων προβλημάτων με βάση τη χρήση του κριτηρίου της διαιρετότητας με το 3 .

Σημείο διαιρετότητας με το 3, παραδείγματα

Το πρόσημο της διαιρετότητας με το 3 διατυπώνεται απλά: ένας ακέραιος θα διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3. Εάν η συνολική τιμή όλων των ψηφίων που αποτελούν έναν ακέραιο δεν διαιρείται με το 3, τότε ο ίδιος ο αρχικός αριθμός δεν διαιρείται με το 3. Μπορείτε να πάρετε το άθροισμα όλων των ψηφίων σε έναν ακέραιο προσθέτοντας φυσικούς αριθμούς.

Ας δούμε τώρα παραδείγματα εφαρμογής του κριτηρίου διαιρετότητας με το 3.

Παράδειγμα 1

Το 42 διαιρείται με το 3;

Λύση

Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση, ας αθροίσουμε όλους τους αριθμούς που απαρτίζουν τον αριθμό - 42: 4 + 2 = 6.

Απάντηση:σύμφωνα με το κριτήριο της διαιρετότητας, εφόσον το άθροισμα των ψηφίων που περιλαμβάνονται στην αύξηση του αρχικού αριθμού διαιρείται με το τρία, τότε ο ίδιος ο αρχικός αριθμός διαιρείται με το 3.

Για να απαντήσουμε στο ερώτημα αν ο αριθμός 0 διαιρείται με το 3, χρειαζόμαστε την ιδιότητα διαιρετότητας, σύμφωνα με την οποία το μηδέν διαιρείται με οποιονδήποτε ακέραιο. Αποδεικνύεται ότι το μηδέν διαιρείται με το τρία.

Υπάρχουν προβλήματα για τη λύση των οποίων είναι απαραίτητο να καταφύγουμε στο κριτήριο της διαιρετότητας με το 3 πολλές φορές.

Παράδειγμα 2

Δείξτε ότι ο αριθμός 907 444 812 διαιρείται με το 3.

Λύση

Ας βρούμε το άθροισμα όλων των ψηφίων που σχηματίζουν την εγγραφή του αρχικού αριθμού: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Τώρα πρέπει να προσδιορίσουμε αν ο αριθμός 39 διαιρείται με το 3. Για άλλη μια φορά, προσθέστε τους αριθμούς που απαρτίζουν αυτόν τον αριθμό: 3 + 9 = 12 . Μένει να κάνουμε ξανά την πρόσθεση των αριθμών για να πάρουμε την τελική απάντηση: 1 + 2 = 3 . Ο αριθμός 3 διαιρείται με το 3

Απάντηση:αρχικός αριθμός 907 444 812 διαιρείται επίσης με το 3.

Παράδειγμα 3

Διαιρείται με το 3 − 543 205 ?

Λύση

Ας υπολογίσουμε το άθροισμα των ψηφίων που απαρτίζουν τον αρχικό αριθμό: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Τώρα ας υπολογίσουμε το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού που προκύπτει: 1 + 9 = 10 . Για να λάβουμε την τελική απάντηση, ας βρούμε το αποτέλεσμα μιας ακόμη προσθήκης: 1 + 0 = 1 .
Απάντηση:Το 1 δεν διαιρείται με το 3, επομένως ο αρχικός αριθμός δεν διαιρείται ούτε με το 3.

Για να προσδιορίσουμε αν ένας δεδομένος αριθμός διαιρείται με το 3 χωρίς υπόλοιπο, μπορούμε να διαιρέσουμε τον δεδομένο αριθμό με το 3. Αν διαιρέσουμε τον αριθμό − 543 205 από το παραπάνω παράδειγμα με στήλη τριών, τότε στην απάντηση δεν θα πάρουμε ακέραιο. Αυτό σημαίνει επίσης ακριβώς αυτό − 543 205 δεν διαιρείται με το 3.

Απόδειξη της δοκιμής διαιρετότητας με το 3

Εδώ χρειαζόμαστε τις ακόλουθες δεξιότητες: την αποσύνθεση ενός αριθμού σε ψηφία και τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό με το 10, το 100 κ.λπ. Για να πραγματοποιήσουμε την απόδειξη, πρέπει να λάβουμε μια αναπαράσταση του αριθμού α της φόρμας , όπου a n , a n − 1 , … , a 0- Αυτοί είναι οι αριθμοί που βρίσκονται από αριστερά προς τα δεξιά στη σημειογραφία του αριθμού.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρησιμοποιώντας έναν συγκεκριμένο αριθμό: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Ας γράψουμε μια σειρά ισοτήτων: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 κ.ο.κ.

Τώρα ας αντικαταστήσουμε αυτές τις ισότητες αντί για 10, 100 και 1000 στις ισότητες που δόθηκαν προηγουμένως a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Φτάσαμε λοιπόν στην ισότητα:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Και τώρα εφαρμόζουμε τις ιδιότητες της πρόσθεσης και τις ιδιότητες του πολλαπλασιασμού των φυσικών αριθμών για να ξαναγράψουμε την ισότητα που προκύπτει ως εξής:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

Έκφραση a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 είναι το άθροισμα των ψηφίων του αρχικού αριθμού a . Ας εισάγουμε μια νέα σύντομη σημειογραφία για αυτό ΑΛΛΑ. Παίρνουμε: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

Σε αυτή την περίπτωση, η αναπαράσταση του αριθμού είναι a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A παίρνει μια μορφή που θα μας βολεύει να χρησιμοποιήσουμε για να αποδείξουμε το τεστ διαιρετότητας με το 3 .

Ορισμός 1

Τώρα θυμηθείτε τις ακόλουθες ιδιότητες της διαιρετότητας:

• απαραίτητη και επαρκής προϋπόθεση για να διαιρείται ένας ακέραιος αριθμός με έναν ακέραιο
  b , είναι η συνθήκη με την οποία το μέτρο του αριθμού a διαιρείται με το μέτρο του αριθμού b .
• αν σε ισότητα a = s + tόλοι οι όροι, εκτός από κάποιους, διαιρούνται με κάποιον ακέραιο b, τότε αυτός ο ένας όρος διαιρείται επίσης με τον b.

Έχουμε θέσει τα θεμέλια για την απόδειξη της διαιρετότητας με το 3. Τώρα ας διατυπώσουμε αυτό το κριτήριο με τη μορφή ενός θεωρήματος και ας το αποδείξουμε.

Θεώρημα 1

Για να υποστηρίξουμε ότι ένας ακέραιος αριθμός a διαιρείται με το 3, χρειαζόμαστε και χρειαζόμαστε μόνο ότι το άθροισμα των ψηφίων που σχηματίζουν την εγγραφή του αριθμού a διαιρείται με το 3.

Απόδειξη 1

Αν πάρουμε την τιμή a = 0, τότε το θεώρημα είναι προφανές.

Αν πάρουμε έναν αριθμό a διαφορετικό από το μηδέν, τότε η απόλυτη τιμή του a θα είναι ένας φυσικός αριθμός. Αυτό μας επιτρέπει να γράψουμε την ακόλουθη ισότητα:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , όπου A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού a .

Αφού το άθροισμα και το γινόμενο των ακεραίων είναι ακέραιος, τότε
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 είναι ένας ακέραιος αριθμός, τότε από τον ορισμό της διαιρετότητας το γινόμενο είναι 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 διαιρείται με 3 για κάθε a 0 , a 1 , … , a n.

Αν το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού έναδιαιρείται με 3 , αυτό είναι, ΕΝΑδιαιρείται με 3 , τότε, δυνάμει της ιδιότητας διαιρετότητας που υποδεικνύεται πριν από το θεώρημα, το a διαιρείται με 3 , Συνεπώς, έναδιαιρείται με 3 . Αυτό αποδεικνύει την επάρκεια.

Αν ένα έναδιαιρείται με 3 , τότε το a διαιρείται με 3 , τότε, λόγω της ίδιας ιδιότητας διαιρετότητας, ο αριθμός
ΕΝΑδιαιρείται με 3 , δηλαδή το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού έναδιαιρείται με 3 . Αυτό αποδεικνύει την αναγκαιότητα.

Άλλες περιπτώσεις διαιρετότητας με 3

Οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν να δοθούν ως η τιμή κάποιας έκφρασης που περιέχει μια μεταβλητή, δεδομένης μιας συγκεκριμένης τιμής αυτής της μεταβλητής. Έτσι, για κάποιο φυσικό n, η τιμή της παράστασης 4 n + 3 n - 1 είναι ένας φυσικός αριθμός. Σε αυτή την περίπτωση, απευθείας διαίρεση με 3 δεν μπορεί να μας δώσει απάντηση στο ερώτημα αν ένας αριθμός διαιρείται με 3 . Εφαρμογή του τεστ διαιρετότητας σε 3 μπορεί επίσης να είναι δύσκολο. Εξετάστε παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων και αναλύστε τις μεθόδους επίλυσής τους.

Μπορούν να εφαρμοστούν διάφορες προσεγγίσεις για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων. Η ουσία ενός από αυτά είναι η εξής:

• αντιπροσωπεύουν την αρχική έκφραση ως προϊόν πολλών παραγόντων.
• Μάθετε εάν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες μπορεί να διαιρεθεί με 3 ;
• με βάση την ιδιότητα διαιρετότητας, συμπεραίνουμε ότι ολόκληρο το γινόμενο διαιρείται με 3 .

Στην πορεία της λύσης, συχνά πρέπει να καταφύγουμε στη χρήση του διωνυμικού τύπου του Νεύτωνα.

Παράδειγμα 4

Η τιμή της παράστασης 4 n + 3 n - 1 διαιρείται με 3 για κάθε φυσικό n?

Λύση

Ας γράψουμε την ισότητα 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Εφαρμόζουμε τον διωνυμικό τύπο του Newton του διωνύμου του Newton:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Τώρα ας πάρουμε 3 έξω από τις αγκύλες: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . Το προϊόν που προκύπτει περιέχει έναν πολλαπλασιαστή 3 , και η τιμή της έκφρασης σε αγκύλες για φυσικό n είναι ένας φυσικός αριθμός. Αυτό μας επιτρέπει να ισχυριστούμε ότι το προϊόν που προκύπτει και η αρχική έκφραση 4 n + 3 n - 1 διαιρείται με 3 .

Απάντηση:Ναί.

Μπορούμε επίσης να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.

Παράδειγμα 5

Να αποδείξετε χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής ότι για κάθε φυσικό
n η τιμή της παράστασης n n 2 + 5 διαιρείται με 3 .

Λύση

Βρείτε την τιμή της παράστασης n n 2 + 5 για n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . Το 6 διαιρείται με 3 .

Τώρα ας υποθέσουμε ότι η τιμή της παράστασης n n 2 + 5 για n=kδιαιρείται με 3 . Στην πραγματικότητα, θα πρέπει να δουλέψουμε με την έκφραση k · k 2 + 5 , την οποία περιμένουμε να διαιρείται με 3 .

Δεδομένου ότι το k k 2 + 5 διαιρείται με 3 , ας δείξουμε ότι η τιμή της παράστασης n n 2 + 5 για n=k+1διαιρείται με 3 , δηλαδή, θα δείξουμε ότι το k + 1 k + 1 2 + 5 διαιρείται με 3 .

Ας κάνουμε τους μετασχηματισμούς:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Η έκφραση k (k 2 + 5) διαιρείται με 3 και η παράσταση 3 k 2 + k + 2 διαιρείται με 3 , οπότε το άθροισμά τους διαιρείται με 3 .

Αποδείξαμε λοιπόν ότι η τιμή της παράστασης n (n 2 + 5) διαιρείται με 3 για κάθε φυσικό ν .

Ας αναλύσουμε τώρα την προσέγγιση της απόδειξης διαιρετότητας με 3 , το οποίο βασίζεται στον ακόλουθο αλγόριθμο ενεργειών:

• δείχνουμε ότι η τιμή αυτής της παράστασης με τη μεταβλητή n για n = 3 m , n = 3 m + 1 και n = 3 m + 2, όπου Μείναι ένας αυθαίρετος ακέραιος αριθμός, διαιρούμενος με 3 ;
• συμπεραίνουμε ότι η έκφραση θα διαιρείται με 3 για κάθε ακέραιο ν.

Για να μην αποσπάσουμε την προσοχή από μικρές λεπτομέρειες, εφαρμόζουμε αυτόν τον αλγόριθμο στη λύση του προηγούμενου παραδείγματος.

Παράδειγμα 6

Δείξτε ότι το n (n 2 + 5) διαιρείται με 3 για κάθε φυσικό ν .

Λύση

Ας το προσποιηθούμε n = 3 m. Τότε: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. Το γινόμενο που πήραμε περιέχει τον πολλαπλασιαστή 3 , άρα το ίδιο το προϊόν διαιρείται με 3 .

Ας το προσποιηθούμε n = 3 m + 1. Επειτα:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

Το προϊόν που παραλάβαμε χωρίζεται σε 3 .

Ας υποθέσουμε ότι n = 3 · m + 2 . Επειτα:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Αυτή η εργασία χωρίζεται επίσης σε 3 .

Απάντηση:Αποδείξαμε λοιπόν ότι η παράσταση n n 2 + 5 διαιρείται με 3 για κάθε φυσικό ν .

Παράδειγμα 7

Είναι χωρισμένο σε 3 την τιμή της παράστασης 10 3 n + 10 2 n + 1 για κάποιο φυσικό n .

Λύση

Ας το προσποιηθούμε n=1. Παίρνουμε:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Ας το προσποιηθούμε n=2. Παίρνουμε:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Μπορούμε λοιπόν να συμπεράνουμε ότι για κάθε φυσικό n θα πάρουμε αριθμούς που διαιρούνται με το 3. Αυτό σημαίνει ότι το 10 3 n + 10 2 n + 1 διαιρείται με το 3 για οποιοδήποτε φυσικό n.

Απάντηση:Ναί

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

ΣΗΜΑΔΙΑ ΔΙΑΙΡΟΤΗΤΑΣαριθμοί - τα απλούστερα κριτήρια (κανόνες) που επιτρέπουν να κρίνουμε τη διαιρετότητα (χωρίς υπόλοιπο) ορισμένων φυσικών αριθμών από άλλους. Επιλύοντας το ζήτημα της διαιρετότητας των αριθμών, τα σημάδια της διαιρετότητας μειώνονται σε πράξεις σε μικρούς αριθμούς, που συνήθως εκτελούνται στο μυαλό.
Δεδομένου ότι η βάση του γενικά αποδεκτού συστήματος αριθμών είναι το 10, τα πιο απλά και κοινά είναι τα σημάδια διαιρετότητας σε διαιρέτες αριθμών τριών τύπων: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Ο πρώτος τύπος - σημάδια διαιρετότητας με διαιρέτες του αριθμού 10 k, για τη διαιρετότητα οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού N με οποιονδήποτε ακέραιο διαιρέτη q του αριθμού 10 k είναι απαραίτητο και αρκετό η τελευταία όψη k-ψηφίου (κατάληξη k-ψηφίου) του αριθμού N διαιρείται με q. Συγκεκριμένα (για k \u003d 1, 2 και 3), λαμβάνουμε τα ακόλουθα σημάδια διαιρετότητας σε διαιρέτες των αριθμών 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) και 10 3 \u003d 1000 (Ι 3):
Ι 1 . 2, 5 και 10 - το μονοψήφιο τέλος (τελευταίο ψηφίο) του αριθμού πρέπει να διαιρείται με το 2, το 5 και το 10, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 80 110 διαιρείται με το 2, το 5 και το 10, αφού το τελευταίο ψηφίο Το 0 αυτού του αριθμού διαιρείται με το 2, το 5 και το δέκα. Το 37835 διαιρείται με το 5 αλλά όχι με το 2 και το 10 γιατί το τελευταίο ψηφίο του 5 διαιρείται με το 5 αλλά όχι με το 2 και το 10.

I 2 . Με τα 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 και 100, η ​​διψήφια κατάληξη ενός αριθμού πρέπει να διαιρείται με το 2, το 4, το 5, το 10, το 20, το 25, το 50 και το 100, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 7.840.700 διαιρείται με το 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 και 100, αφού το διψήφιο τέλος 00 αυτού του αριθμού διαιρείται με το 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 και 100? ο αριθμός 10 831 750 διαιρείται με το 2, 5, 10, 25 και 50, αλλά δεν διαιρείται με το 4, το 20 και το 100, αφού το διψήφιο τέλος 50 αυτού του αριθμού διαιρείται με το 2, 5, 10, 25 και 50, αλλά δεν διαιρείται με το 4, το 20 και το 100.

Ι 3 . Για 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 και 1000 - η τριψήφια κατάληξη του αριθμού πρέπει να διαιρεθεί με το 2,4,5,8 ,10, 20, αντίστοιχα, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 και 1000. Για παράδειγμα, ο αριθμός 675 081 000 διαιρείται με όλους τους αριθμούς που αναφέρονται σε αυτό το ζώδιο, αφού το τριψήφιο τέλος 000 του δεδομένου αριθμού διαιρείται με καθένα από αυτά. ο αριθμός 51 184 032 διαιρείται με το 2, το 4 και το 8 και δεν διαιρείται με το υπόλοιπο, αφού το τριψήφιο τέλος 032 του συγκεκριμένου αριθμού διαιρείται μόνο με το 2, το 4 και το 8 και δεν διαιρείται με το υπόλοιπο.

Ο δεύτερος τύπος - σημάδια διαιρετότητας με διαιρέτες του αριθμού 10 k - 1: για τη διαιρετότητα οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού N με οποιονδήποτε ακέραιο διαιρέτη q του αριθμού 10 k - 1, είναι απαραίτητο και αρκετό το άθροισμα των όψεων k-ψηφίων του αριθμού N διαιρείται με q. Συγκεκριμένα (για k = 1, 2 και 3), λαμβάνουμε τα ακόλουθα σημάδια διαιρετότητας σε διαιρέτες των αριθμών 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) και 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . Με το 3 και το 9 - το άθροισμα των ψηφίων (μονοψήφιες όψεις) του αριθμού πρέπει να διαιρείται με το 3 και το 9, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 510 887 250 διαιρείται με το 3 και το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων είναι 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (και 3+6=9) αυτού του αριθμού διαιρείται με το 3 και το 9. ο αριθμός 4 712 586 διαιρείται με το 3, αλλά δεν διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων 4+7+1+2+5+8+6=33 (και 3+3=6) αυτού του αριθμού διαιρείται με το 3, αλλά δεν διαιρείται με το 9.

II 2 . Με 3, 9, 11, 33 και 99 - το άθροισμα των διψήφιων όψεων του αριθμού πρέπει να διαιρείται με το 3, 9, 11, 33 και 99, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 396 198 297 διαιρείται με το 3 , 9, 11, 33 και 99, αφού το άθροισμα των διψήφιων όψεων 3+96+19+ +82+97=297 (και 2+97=99) διαιρείται με το 3, 9,11, 33 και 99. ο αριθμός 7 265 286 303 διαιρείται με το 3, το 11 και το 33, αλλά δεν διαιρείται με το 9 και το 99, αφού το άθροισμα των διψήφιων όψεων 72+65+28+63+03=231 (και 2+31= 33) αυτού του αριθμού διαιρείται με το 3, το 11 και το 33 και δεν διαιρείται με το 9 και το 99.

II 3 . Με τα 3, 9, 27, 37, 111, 333 και 999 - το άθροισμα των τριψήφιων όψεων του αριθμού πρέπει να διαιρείται με το 3, το 9, το 27, το 37, το 111, το 333 και το 999, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, το Ο αριθμός 354 645 871 128 διαιρείται με όλα όσα αναφέρονται σε αυτό το σύμβολο ενός αριθμού, αφού το άθροισμα των τριψήφιων όψεων 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (και 1 + 998 = 999) αυτού του αριθμού διαιρείται με καθένα από αυτά.

Ο τρίτος τύπος - κριτήρια για διαιρετότητα σε διαιρέτες του αριθμού 10 k + 1: για τη διαιρετότητα οποιουδήποτε ακέραιου αριθμού N με οποιονδήποτε ακέραιο διαιρέτη q του αριθμού 10 k + 1, είναι απαραίτητο και αρκετό η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος του k -Οι όψεις των ψηφίων στο N σε ζυγά σημεία και το άθροισμα των όψεων k-ψηφίων στο N σε περιττές θέσεις διαιρείται με το q. Συγκεκριμένα (για k \u003d 1, 2 και 3), λαμβάνουμε τα ακόλουθα σημάδια διαιρετότητας σε διαιρέτες των αριθμών 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) και 10 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . Με το 11 - η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος των ψηφίων (μονοψήφιες όψεις) σε ζυγά σημεία και του αθροίσματος των ψηφίων (μονοψήφιες όψεις) σε περιττές θέσεις πρέπει να διαιρείται με το 11. Για παράδειγμα, ο αριθμός 876 583 598 διαιρείται με 11, αφού η διαφορά 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (και 1 - 1=0) μεταξύ του αθροίσματος των ψηφίων σε ζυγά σημεία και του αθροίσματος των ψηφίων σε περιττές θέσεις διαιρείται με το 11.

III 2 . Με το 101 - η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος των διψήφιων όψεων σε ζυγά σημεία και του αθροίσματος των διψήφιων όψεων σε περιττές θέσεις πρέπει να διαιρείται με το 101. Για παράδειγμα, ο αριθμός 8 130 197 διαιρείται με το 101, αφού η διαφορά είναι 8-13 + 01- 97 = 101 (και 1-01=0) μεταξύ του αθροίσματος των διψήφιων όψεων σε ζυγές θέσεις αυτού του αριθμού και του αθροίσματος των διψήφιων όψεων σε περιττές θέσεις διαιρείται με το 101.

III 3 . Με 7, 11, 13, 77, 91, 143 και 1001 - η διαφορά μεταξύ του αθροίσματος τριψήφιων όψεων σε ζυγά σημεία και του αθροίσματος τριψήφιων προσώπων σε περιττές θέσεις πρέπει να διαιρεθεί με το 7, 11, 13, 77 , αντίστοιχα, 91, 143 και 1001. Για παράδειγμα, ο αριθμός 539 693 385 διαιρείται με το 7, το 11 και το 77, αλλά δεν διαιρείται με το 13, το 91, το 143 και το 1001, αφού το 539 - 693+385 διαιρείται με 23 7, 11 και 77 και δεν διαιρείται με τα 13, 91, 143 και 1001.

Υπάρχουν σημάδια με τα οποία μερικές φορές είναι εύκολο να ανακαλύψουμε, χωρίς να διαιρέσουμε πραγματικά, εάν ένας δεδομένος αριθμός διαιρείται ή δεν διαιρείται με κάποιους άλλους αριθμούς.

Οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 λέγονται ακόμη και. Ο αριθμός μηδέν είναι επίσης ζυγός αριθμός. Όλοι οι άλλοι αριθμοί καλούνται Περιττός:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - ζυγά,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... είναι περιττοί.

Σημάδια διαιρετότητας

Σήμα διαιρετότητας με το 2. Ένας αριθμός διαιρείται με το 2 αν το τελευταίο του ψηφίο είναι άρτιο. Για παράδειγμα, ο αριθμός 4376 διαιρείται με το 2 επειδή το τελευταίο ψηφίο (6) είναι άρτιο.

Σήμα διαιρετότητας με το 3. Μόνο εκείνοι οι αριθμοί διαιρούνται με το 3 των οποίων το άθροισμα ψηφίων διαιρείται με το 3. Για παράδειγμα, ο αριθμός 10815 διαιρείται με το 3, αφού το άθροισμα των ψηφίων του 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 διαιρείται με το 3.

Σημάδια διαιρετότητας με το 4. Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 εάν τα δύο τελευταία του ψηφία είναι μηδενικά ή σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται με το 4. Για παράδειγμα, ο αριθμός 244500 διαιρείται με το 4 επειδή τελειώνει σε δύο μηδενικά. Οι αριθμοί 14708 και 7524 διαιρούνται με το 4 γιατί τα δύο τελευταία ψηφία αυτών των αριθμών (08 και 24) διαιρούνται με το 4.

Σημάδια διαιρετότητας με το 5. Οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 διαιρούνται με το 5. Για παράδειγμα, ο αριθμός 320 διαιρείται με το 5 επειδή το τελευταίο ψηφίο είναι 0.

Σήμα διαιρετότητας με το 6. Ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν διαιρείται και με το 2 και με το 3. Για παράδειγμα, ο αριθμός 912 διαιρείται με το 6 επειδή διαιρείται και με το 2 και με το 3.

Σημάδια διαιρετότητας με 8. Διαιρούμενοι με το 8 είναι εκείνοι οι αριθμοί στους οποίους τα τρία τελευταία ψηφία είναι μηδενικά ή σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται με το 8. Για παράδειγμα, ο αριθμός 27000 διαιρείται με το 8, αφού τελειώνει με τρία μηδενικά. Ο αριθμός 63128 διαιρείται με το 8 γιατί τα τρία τελευταία ψηφία σχηματίζουν τον αριθμό (128) που διαιρείται με το 8.

Σήμα διαιρετότητας με το 9. Μόνο εκείνοι οι αριθμοί των οποίων το άθροισμα ψηφίων διαιρείται με το 9 διαιρούνται με το 9. Για παράδειγμα, ο αριθμός 2637 διαιρείται με το 9, αφού το άθροισμα των ψηφίων του 2 + 6 + 3 + 7 = 18 διαιρείται με το 9.

Σημάδια διαιρετότητας με το 10, το 100, το 1000 κ.λπ.Τα 10, 100, 1000 και ούτω καθεξής διαιρούνται με τους αριθμούς που τελειώνουν αντίστοιχα με ένα μηδέν, δύο μηδενικά, τρία μηδενικά κ.ο.κ. Για παράδειγμα, ο αριθμός 3800 διαιρείται με το 10 και το 100.

Σήμα διαιρετότητας με το 3
Ένας αριθμός διαιρείται με το 3 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

Διαιρετότητα με 4 πρόσημο
Ένας αριθμός διαιρείται με το 4 εάν και μόνο αν ο αριθμός των δύο τελευταίων ψηφίων του είναι μηδέν ή διαιρείται με το 4.

Σήμα διαιρετότητας με το 5
Ένας αριθμός διαιρείται με το 5 αν και μόνο αν το τελευταίο ψηφίο διαιρείται με το 5 (δηλαδή ίσο με 0 ή 5).

Σήμα διαιρετότητας με το 6
Ένας αριθμός διαιρείται με το 6 αν και μόνο αν διαιρείται με το 2 και το 3.

Σήμα διαιρετότητας με το 7
Ένας αριθμός διαιρείται με το 7 εάν και μόνο εάν το αποτέλεσμα της αφαίρεσης δύο φορές του τελευταίου ψηφίου από αυτόν τον αριθμό χωρίς το τελευταίο ψηφίο διαιρείται με το 7 (για παράδειγμα, το 259 διαιρείται με το 7, αφού 25 - (2 9) = 7 διαιρείται κατά 7).

Σήμα διαιρετότητας με το 8
Ένας αριθμός διαιρείται με το 8 αν και μόνο αν τα τρία τελευταία του ψηφία είναι μηδενικά ή σχηματίζουν έναν αριθμό που διαιρείται με το 8.

Σήμα διαιρετότητας με το 9
Ένας αριθμός διαιρείται με το 9 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Σήμα διαιρετότητας με το 10
Ένας αριθμός διαιρείται με το 10 αν και μόνο αν τελειώνει σε μηδέν.

Σήμα διαιρετότητας με το 11
Ένας αριθμός διαιρείται με το 11 αν και μόνο αν το άθροισμα των ψηφίων με εναλλασσόμενα πρόσημα διαιρείται με το 11 (δηλαδή, το 182919 διαιρείται με το 11, αφού το 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 διαιρείται με το 11) - συνέπεια του γεγονότος ότι όλοι οι αριθμοί της μορφής 10 n όταν διαιρούνται με το 11 δίνουν ένα υπόλοιπο (-1) n .

Σήμα διαιρετότητας με το 12
Ένας αριθμός διαιρείται με το 12 αν και μόνο αν διαιρείται με το 3 και το 4.

Σήμα διαιρετότητας με το 13
Ένας αριθμός διαιρείται με το 13 αν και μόνο αν ο αριθμός των δεκάδων του, προστεθειμένος στο τετραπλάσιο του αριθμού των μονάδων, είναι πολλαπλάσιο του 13 (για παράδειγμα, το 845 διαιρείται με το 13, αφού 84 + (4 5) = 104 είναι διαιρείται με το 13).

Σήμα διαιρετότητας με το 14
Ένας αριθμός διαιρείται με το 14 αν και μόνο αν διαιρείται με το 2 και το 7.

Σήμα διαιρετότητας με το 15
Ένας αριθμός διαιρείται με το 15 αν και μόνο αν διαιρείται με το 3 και το 5.

Σήμα διαιρετότητας με το 17
Ένας αριθμός διαιρείται με το 17 αν και μόνο αν ο αριθμός των δεκάδων του, που προστίθεται στον αριθμό των μονάδων αυξημένος κατά 12, είναι πολλαπλάσιος του 17 (για παράδειγμα, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Αφού το 34 διαιρείται με το 17, τότε το 29053 διαιρείται επίσης με το 17). Το σημάδι δεν είναι πάντα βολικό, αλλά έχει μια ορισμένη σημασία στα μαθηματικά. Υπάρχει ένας ελαφρώς απλούστερος τρόπος - Ένας αριθμός διαιρείται με το 17 εάν και μόνο εάν η διαφορά μεταξύ του αριθμού των δεκάδων του και του πέντε φορές του αριθμού των μονάδων είναι πολλαπλάσιο του 17 (για παράδειγμα, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. αφού το 15 δεν διαιρείται με το 17, τότε το 32952 δεν διαιρείται ούτε με το 17)

Σήμα διαιρετότητας με το 19
Ένας αριθμός διαιρείται με το 19 αν και μόνο αν ο αριθμός των δεκάδων του, προστιθέμενος στο διπλάσιο του αριθμού των μονάδων, είναι πολλαπλάσιο του 19 (για παράδειγμα, το 646 διαιρείται με το 19, αφού 64 + (6 2) = 76 διαιρείται από 19).

Σήμα διαιρετότητας με το 23
Ένας αριθμός διαιρείται με το 23 αν και μόνο αν οι εκατοντάδες του συν το τριπλάσιο οι δεκάδες του είναι πολλαπλάσιο του 23 (για παράδειγμα, το 28842 διαιρείται με το 23, αφού 288 + (3 * 42) = 414 συνεχίζει 4 + (3 * 14) = Το 46 διαιρείται προφανώς με το 23).

Σήμα διαιρετότητας με το 25
Ένας αριθμός διαιρείται με το 25 εάν και μόνο εάν τα δύο τελευταία ψηφία του διαιρούνται με το 25 (δηλαδή, η μορφή 00, 25, 50 ή 75) ή ο αριθμός είναι πολλαπλάσιο του 5.

Σήμα διαιρετότητας με το 99
Χωρίζουμε τον αριθμό σε ομάδες των 2 ψηφίων από τα δεξιά προς τα αριστερά (η πιο αριστερή ομάδα μπορεί να έχει ένα ψηφίο) και βρίσκουμε το άθροισμα αυτών των ομάδων, θεωρώντας ότι είναι διψήφιοι αριθμοί. Αυτό το άθροισμα διαιρείται με το 99 αν και μόνο αν ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 99.

Σήμα διαιρετότητας με το 101
Χωρίζουμε τον αριθμό σε ομάδες των 2 ψηφίων από τα δεξιά προς τα αριστερά (η πιο αριστερή ομάδα μπορεί να έχει ένα ψηφίο) και βρίσκουμε το άθροισμα αυτών των ομάδων με μεταβλητά πρόσημα, θεωρώντας ότι είναι διψήφιοι αριθμοί. Αυτό το άθροισμα διαιρείται με το 101 εάν και μόνο αν ο ίδιος ο αριθμός διαιρείται με το 101. Για παράδειγμα, ο αριθμός 590547 διαιρείται με το 101, αφού το 59-05+47=101 διαιρείται με το 101).