Свойство деления на 11. Основные признаки делимости

Данный материал посвящен такому понятию, как признак делимости на 2 . В первом пункте мы сформулируем его и приведем примеры – задачи, в которым нужно выяснить, делится ли конкретное число на 2 . Затем мы докажем этот признак и поясним, какие еще существуют методы определения делимости на два чисел, заданных в виде значения выражений.

Формулировка и примеры признака делимости на 2

Чтобы лучше понять, что такое признаки делимости, нужно повторить тему, связанную с делимостью целых чисел. Определение основного понятия выглядит так:

Определение 1

Целое число, которое заканчивается цифрами 8 , 6 , 4 , 2 и 0 , может быть разделено на 2 без остатка. Если в конце числа стоит цифра 9 , 7 , 5 , 3 или 1 , то такое число делимостью на 2 не обладает.

С помощью данного признака можно выявить делимость не только целого положительного (натурального), но и целого отрицательного числа, поскольку они тоже могут быть разделены на 2 без остатка.

Приведем несколько примеров использования признака в задачах.

Пример 1

Условие: определите, какие из чисел 8 , − 946 , 53 , 10 900 , − 988 123 761 можно разделить на два.

Решение

Разумеется, мы можем просто разделить все эти числа на два в столбик и проверить, будет ли в конце остаток или нет. Но зная признак делимости на два, можно решить эту задачу гораздо быстрее.

Три числа из перечисленных, а именно 8 , - 946 и 10 900 , имеют в конце цифры 8 , 6 и 0 , значит, их деление на 2 возможно.

Остальные числа (53 и − 988 123 761) заканчиваются на 3 и 1 , значит, нацело на два они не делятся.

Ответ: на два можно разделить 8 , − 946 и 10 900 , а все прочие заданные числа нельзя.

Этот признак широко используется в задачах, где нужно раскладывать число на простые множители. Решим один такой пример.

Пример 2

Условие: выполните разложение 352 на простые множители.

Решение

Поскольку последняя цифра в исходном числе – 2 , то согласно признаку делимости, мы можем разделить его на два без остатка. Сделаем это: 352: 2 = 176 , а 352 = 2 · 176 . Полученное число 176 тоже делится на два: 176: 2 = 88 , а 176 = 2 · 88 . Это число тоже можно разделить: 88: 2 = 44 , 88 = 2 · 44 и 352 = 2 · 2 · 88 = 2 · 2 · 2 · 44 . Продолжаем разложение: 44: 2 = 22 и 44 = 2 · 22 , следовательно, 352 = 2 · 2 · 2 · 44 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22 ; потом 22: 2 = 11 , откуда 22 = 2 · 11 и 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 . Наконец мы дошли до числа, которое на 2 не делится. Таблица простых чисел говорит нам, что это число является простым, значит, на этом разложение на множители заканчивается.

Ответ: 352 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 11 .

Деление чисел на четные и нечетные основано как раз на том, делятся ли они на 2 или нет. Зная этот признак делимости, можно сказать, что все четные числа имеют в конце цифру 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , а все нечетные – 1 , 3 , 5 , 7 или 9 .

Как можно доказать признак делимости на 2

Перед тем, как перейти непосредственно к доказательству этого признака, нам надо доказать дополнительное утверждение. Оно формулируется так:

Определение 2

Все натуральные числа, которые заканчиваются на нуль, могут быть разделены на два без остатка.

Пользуясь правилом умножения натурального числа на 10 , мы можем представить некое число a как a = a 1 · 10 . Число a 1 , в свою очередь, получится из a , если убрать у него последнюю цифру.

Приведем примеры такого действия: 470 = 47 · 10 , где a = 470 и a 1 = 47 ; или же 38 010 · 10 , здесь a = 380 100 и a 1 = 38 010 . Второй множитель в этом произведении (10) может быть разделен на 2 , значит, все произведение может быть разделено на 2 . Это утверждение основано на соответствующем свойстве делимости.

Переходим к доказательству признака делимости на 2 . Чтобы было удобнее, представим его как теорему, т.е. как необходимое и достаточное условие делимости целого числа на два.

Теорема 1

Для деления целого числа a на два необходимым и достаточным условием является наличие последней цифры 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .

Доказательство 1

Как доказать это утверждение? Для начала представим исходное число a в виде суммы десятков и единиц, т.е. запишем его как a = a 1 · 10 + a 0 . Здесь a 1 будет числом, получившимся из a при устранении последней цифры, а a 0 соответствует последней цифре данного числа (примерами такого представления также могут быть выражения 49 = 4 · 10 + 9 , 28 378 = 2 837 · 10 + 8). Произведение a 1 · 10 , взятое из равенства a = a 1 · 10 + a 0 , всегда будет делиться на два, что и показано с помощью этой теоремы.

Остальная часть доказательства основана на определенном свойстве делимости, а именно: если у нас есть три числа, образующие равенство t = u + v , и два из них делятся на целое число z , то и третье число также можно разделить на z .

Если a можно разделить на два, то согласно этому свойству, а также представлению a = a 1 · 10 + a 0 , число a 0 будет делиться на два, а такое возможно, только если a 0 = 0 , 2 , 4 , 6 или 8 .

А если a на 2 не делится, то исходя из того же самого свойства, число a 0 на 2 тоже делиться не будет, что возможно только при a 0 = 1 , 3 , 5 , 7 или 9 . Это и есть нужное нам доказательство необходимости.

Теперь разберем обратную ситуацию. Если у нас есть число a , последней цифрой которого является число 0 , 2 , 4 , 6 или 8 , то a 0 делится на 2 . Указанное свойство делимости и представление a = a 1 · 10 + a 0 позволяют нам заключить, что a делится на 2 . Если a имеет последнюю цифру 1 , 3 , 5 , 7 или 9 , то то a 0 не делится на 2 , значит, a тоже не делится на 2 , иначе само представление a = a 1 · 10 + a 0 делилось бы на 2 , что невозможно. Достаточность условия доказана.

В конце отметим, что числа с последней цифрой 1 , 3 , 5 , 7 или 9 при делении на два всегда дают в остатке единицу.

Возьмем случай, когда заданное число кончается одной из этих цифр. Тогда мы можем представить a как a = b + 1 , при этом число b будет иметь в качестве последней цифры 0 , 2 , 4 , 6 или 8 . В силу признака делимости на 2 число b можно разделить на 2 , значит, по определению делимости оно также может быть представлено в виде b = 2 · q , где q будет некоторым целым числом. Мы получили, что a = 2 · q + 1 . Данное представление показывает нам, что при делении числа a на 2 получается неполное частное q и остаток 1 (если нужно, перечитайте статью о делении целых чисел с остатком).

Прочие случаи определения делимости на 2

В этом пункте мы разберем те случаи, когда число, делимость которого на 2 нужно определить, не задано непосредственно, а определяется некоторым значением буквенного выражения. Здесь воспользоваться признаком, приведенным выше, мы не можем, и непосредственно разделить это выражение на 2 тоже невозможно. Значит, нужно найти какое-то другое решение.

Существует подход к решению таких задач, который основан на следующем свойстве делимости: произведение целых чисел можно разделить на некое число тогда, когда на него делится хотя бы один из множителей. Следовательно, если мы сможем преобразовать буквенное выражение в произведение отдельных множителей, один из которых делится на два, то тогда возможно будет доказать делимость на 2 и исходного выражения.

Чтобы преобразовать заданное выражение, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Посмотрим такую задачу.

Пример 3

Условие: определите, можно ли разделить на 2 значение выражения 3 n + 4 n - 1 для некоторого натурального n .

Решение

Сначала запишем очевидное равенство 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Теперь берем формулу бинома Ньютона, применяем ее и упрощаем то, что у нас получилось:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 · 2 n + C n 1 · 2 n - 1 · 1 + ⋯ + C n n - 2 · 2 2 + 1 n - 2 + C n n · 2 + 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + n · 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + 6 n

В последнем равенстве выносим два за скобки и получаем следующее равенство:

3 n + 4 n - 1 = 2 · 2 n - 1 + C n 1 · 2 n - 2 + … + C n n - 2 · 2 + 3 n

В данном равенстве можно разделить правую часть на два при любом натуральном значении n , поскольку там есть множитель, равный 2 . Поскольку между выражениями стоит знак равенства, то выполнить деление на 2 можно и для левой части.

Ответ: данное выражение можно разделить на 2 .

Довольно часто доказать делимость можно с помощью метода математической индукции. Возьмем то же выражение, что и в примере выше, и покажем, как применить данный метод на практике.

Пример 4

Условие: выясните, будет ли выражение 3 n + 4 n - 1 делиться на 2 при любом натуральном значении n .

Решение

Используем математическую индукцию. Для начала докажем, что значение выражения 3 n + 4 n - 1 при n , равном единице, можно разделить на 2 . У нас получится 3 1 + 4 · 1 - 1 = 6 , шесть делится на два без остатка. Идем дальше. Возьмем n , равное k , и сделаем предположение, что 3 k + 4 k - 1 делится на два.

Используя данное предположение, докажем, что 3 n + 4 n - 1 можно разделить на 2 , если это возможно для 3 k + 4 k - 1 . Чтобы это доказать, нам нужно выполнить несколько преобразований.

3 · 3 k + 4 k - 1 делится на два, поскольку это возможно для 3 k + 4 k - 1 , выражение 2 · 4 k - 3 тоже можно поделить на 2 , потому что у него есть множитель 2 , значит, разность этих двух выражений тоже делится на 2 , что объясняется соответствующим свойством делимости.

Ответ : выражение 3 n + 4 n - 1 делится на 2 при любом натуральном n .

Отдельно остановимся на случае, когда в произведении рядом стоят два числа, идущие друг за другом в натуральном ряду чисел. Такое произведение тоже делится на два.

Пример 5

К примеру, выражение вида (n + 7) · (n − 1) · (n + 2) · (n + 6) делится на 2 при любом натуральном значении n , поскольку в нем есть числа, идущие в натуральном ряду друг за другом – это n + 6 и n + 7 .

Точно также при наличии двух множителей, между которыми расположено четное число членов натурального ряда, произведение может быть разделено на 2 . Так, на два делится значение (n + 1) · (n + 6) при любом натуральном n , поскольку между n + 5 и n + 6 расположено четное количество чисел: n + 2 , n + 3 , n + 4 и n + 5 .

Объединим все, о чем мы говорили в предыдущих пунктах. Если можно показать, что значение выражения делится на два при n = 2 · m , а также при n = 2 · m + 1 и произвольном целом m , то это будет доказательством делимости исходного выражения на 2 при любых целых значениях n .

Пример 6

Условие: выясните, делится ли на 2 выражение n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 при любых натуральных значениях n .

Решение

Сначала представим данное выражение в виде произведения (n + 2) 2 · (n + 3) . При необходимости повторите, как правильно раскладывать многочлен на множители. Мы имеем два множителя n + 2 и n + 3 , которые соответствуют числам, стоящим рядом в натуральном ряду. Одно из них в любом случае делится на 2 , значит, и все произведение тоже делится на 2 . То же относится и к исходному выражению.

У этой задачи есть и другое решение. Если n = 2 · m , то n + 2 2 · n + 3 = 2 m + 2 2 · 2 m + 2 2 = 4 · m + 1 2 · 2 m + 3 . Здесь есть множитель, равный четырем, благодаря чему все произведение будет делиться на 2 .

Если же n = 2 · m + 1 , то

(n + 2) 2 · n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 · 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 · 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 · 2 · 2

Здесь присутствует множитель 2 , значит, все произведение обладает делимостью на 2 .

Ответ: это и есть доказательство того, что выражение n 3 + 7 · n 2 + 16 · n + 12 = (n + 2) 2 · (n + 3) можно разделить на два при любом натуральном значении n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Приступим к рассмотрению темы «Признак делимости на 3 ». Начнем с формулировки признака, приведем доказательство теоремы. Затем рассмотрим основные подходы к установлению делимости на 3 чисел, значение которых задано некоторым выражением. В разделе приведен разбор решения основных типов задач, основанных на применении признака делимости на 3 .

Признак делимости на 3 , примеры

Формулируется признак делимости на 3 просто: целое число будет делиться на 3 без остатка, если сумма входящих в его состав цифр делится на 3 . Если суммарное значение всех цифр, которые входят в состав целого числа, на 3 не делится, то и само исходное число на 3 не делится. Получить сумму всех входящих в целое число цифр можно с помощью сложения натуральных чисел.

Теперь рассмотрим примеры применения признака делимости на 3 .

Пример 1

Делится ли на 3 число - 42 ?

Решение

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, сложим все цифры, входящие в состав числа - 42: 4 + 2 = 6 .

Ответ: согласно признаку делимости, раз сумма цифр, входящих с восстав исходного числа, делится на три, то и само исходное число делится на 3 .

Для того, чтобы ответить на вопрос о том, делится ли на 3 число 0 , нам понадобится свойство делимости, согласно которому нуль делится на любое целое число. Получается, что нуль делится на три.

Существуют задачи, для решения которых прибегать в признаку делимости на 3 необходимо несколько раз.

Пример 2

Покажите, что число 907 444 812 делится на 3 .

Решение

Найдем сумму всех цифр, которые образуют запись исходного числа: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Теперь нам нужно определить, делится ли на 3 число 39 . Еще раз складываем цифры, входящие в состав этого числа: 3 + 9 = 12 . Нам осталось провести сложение цифр еще раз для того, чтобы получить окончательный ответ: 1 + 2 = 3 . Число 3 делится на 3

Ответ: исходное число 907 444 812 также делится на 3 .

Пример 3

Делится ли на 3 число − 543 205 ?

Решение

Посчитаем сумму цифр, входящих в состав исходного числа: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Теперь посчитаем сумму цифр полученного числа: 1 + 9 = 10 . Для того, чтобы получить окончательный ответ, найдем результат еще одного сложения: 1 + 0 = 1 .
Ответ: единица на 3 не делится, значит и исходное число на 3 не делится.

Для того, чтобы определить, делится ли данное число на 3 без остатка, мы можем провести деление данного числа на 3 . Если разделить число − 543 205 из рассмотренного выше примера столбиком на три, то в ответе мы не получим целого числа. Это точно также значит, что − 543 205 на 3 без остатка не делится.

Доказательство признака делимости на 3

Здесь нам понадобятся следующие навыки: разложение числа по разрядам и правило умножения на 10 , 100 и т.д. Для того, чтобы провести доказательство, нам необходимо получить представление числа a вида , где a n , a n − 1 , … , a 0 – это цифры, которые располагаются слева направо в записи числа.

Приведем пример с использованием конкретного числа: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 · 100 + 2 · 10 + 8 .

Запишем ряд равенств: 10 = 9 + 1 = 3 · 3 + 1 , 100 = 99 + 1 = 33 · 3 + 1 , 1 000 = 999 + 1 = 333 · 3 + 1 и проч.

А теперь подставим эти равенства вместо 10 , 100 и 1000 в равенства, приведенные ранее a = a n · 10 n + a n - 1 · 10 n - 1 + … + a 2 · 10 2 + a 1 · 10 + a 0 .

Так мы пришли к равенству:

a = a n · 10 n + … + a 2 · 100 + a 1 · 10 + a 0 = = a n · 33 . . . . 3 · 3 + 1 + … + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0

А теперь применим свойства сложения и свойства умножения натуральных чисел для того, чтобы переписать полученное равенство следующим образом:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Выражение a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - это сумма цифр исходного числа a . Введем для нее новое краткое обозначение А . Получаем: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

В этом случае представление числа a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A принимает такой вид, который нам будет удобно использовать для доказательства признака делимости на 3 .

Определение 1

Теперь вспомним следующие свойства делимости:

• необходимым и достаточным условием для того, чтобы целое число a делилось на целое число
  ​​​​​​ b , является условие, по которому модуль числа a делится на модуль числа b ;
• если в равенстве a = s + t все члены, кроме какого-то одного, делятся на некоторое целое число b , то и этот один член делится на b .

Мы заложили основу для того, чтобы провести доказательство признака делимости на 3 . Теперь же сформулируем этот признак в виде теоремы и докажем ее.

Теорема 1

Для того, чтобы утверждать, что целое число a делится на 3 , нам необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр, которая образует запись числа a , делилась на 3 .

Доказательство 1

Если взять значение a = 0 , то теорема очевидна.

Если ы возьмем число a , отличное от нуля, то модуль числа a будет натуральным числом. Это позволяет нам записать следующее равенство:

a = 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , где A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - сумма цифр числа a .

Так как сумма и произведение целых чисел есть целое число, то
33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 - целое число, тогда по определению делимости произведение 3 · 33 . . . 3 · a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 делится на 3 при любых a 0 , a 1 , … , a n .

Если сумма цифр числа a делится на 3 , то есть, A делится на 3 , то в силу свойства делимости, указанного перед теоремой, a делится на 3 , следовательно, a делится на 3 . Так доказана достаточность.

Если a делится на 3 , то и a делится на 3 , тогда в силу того же свойства делимости число
A делится на 3 , то есть, сумма цифр числа a делится на 3 . Так доказана необходимость.

Другие случаи делимости на 3

Целые числа могут быть заданы как значение некоторого выражения, которое содержит переменную, при определенном значении этой переменной. Так, при некотором натуральном n значение выражения 4 n + 3 n - 1 является натуральным числом. В этом случае непосредственное деление на 3 не может дать нам ответ на вопрос, делится ли число на 3 . Применение признака делимости на 3 также может быть затруднено. Рассмотрим примеры таких задач и разберем методы их решения.

Для решения таких задач может быть применено несколько подходов. Суть одного из них заключается в следующем:

• представляем исходное выражение как произведение нескольких множителей;
• выясняем, может ли хотя бы один из множителей делиться на 3 ;
• на основе свойства делимости делаем вывод о том, что все произведение делится на 3 .

В ходе решения часто приходится прибегать к использованию формулы бинома Ньютона.

Пример 4

Делится ли значение выражения 4 n + 3 n - 1 на 3 при любом натуральном n ?

Решение

Запишем равенство 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Применим формулу бинома Ньютона бинома Ньютона:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 · 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + + C n n - 2 · 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + 6 n - 3

Теперь вынесем 3 за скобки: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Полученное произведение содержит множитель 3 , а значение выражения в скобках при натуральных n представляет собой натуральное число. Это позволяет нам утверждать, что полученное произведение и исходное выражение 4 n + 3 n - 1 делится на 3 .

Ответ: Да.

Также мы можем применить метод математической индукции.

Пример 5

Докажите с использованием метода математической индукции, что при любом натуральном
n значение выражения n · n 2 + 5 делится на 3 .

Решение

Найдем значение выражения n · n 2 + 5 при n = 1 : 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 делится на 3 .

Теперь предположим, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k делится на 3 . Фактически, нам придется работать с выражением k · k 2 + 5 , которое, как мы ожидаем, будет делиться на 3 .

Учитывая, что k · k 2 + 5 делится на 3 , покажем, что значение выражения n · n 2 + 5 при n = k + 1 делится на 3 , то есть, покажем, что k + 1 · k + 1 2 + 5 делится на 3 .

Выполним преобразования:

k + 1 · k + 1 2 + 5 = = (k + 1) · (k 2 + 2 k + 6) = = k · (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + k · 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k · (k 2 + 5) + 3 · k 2 + k + 2

Выражение k · (k 2 + 5) делится на 3 и выражение 3 · k 2 + k + 2 делится на 3 , поэтому их сумма делится на 3 .

Так мы доказали, что значение выражения n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .

Теперь разберем подход к доказательству делимости на 3 , которых основан на следующем алгоритме действий:

• показываем, что значение данного выражения с переменной n при n = 3 · m , n = 3 · m + 1 и n = 3 · m + 2 , где m – произвольное целое число, делится на 3 ;
• делаем вывод о том, что выражение будет делиться на 3 при любом целом n .

Для того, чтобы не отвлекать внимание от второстепенных деталей, применим данный алгоритм к решению предыдущего примера.

Пример 6

Покажите, что n · (n 2 + 5) делится на 3 при любом натуральном n .

Решение

Предположим, что n = 3 · m . Тогда: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5 . Произведение, которое мы получили, содержит множитель 3 , следовательно само произведение делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 1 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 m 2 + 2 m + 2)

Произведение, которое мы получили, делится на 3 .

Предположим, что n = 3 · m + 2 . Тогда:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Это произведение также делится на 3 .

Ответ: Так мы доказали, что выражение n · n 2 + 5 делится на 3 при любом натуральном n .

Пример 7

Делится ли на 3 значение выражения 10 3 n + 10 2 n + 1 при некотором натуральном n .

Решение

Предположим что n = 1 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Предположим, что n = 2 . Получаем:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Так мы можем сделать вывод, что при любом натуральном n мы будем получать числа, которые делятся на 3 . Это значит, что 10 3 n + 10 2 n + 1 при любом натуральном n делится на 3 .

Ответ: Да

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

ПРИЗНАКИ ДЕЛИМОСТИ чисел - простейшие критерии (правила), позволяющие судить о делимости (без остатка) одних натуральных чисел на другие. Решение вопроса о делимости чисел признаки делимости сводят к действиям над небольшими числами, обычно выполняемым в уме.
Так как основанием общепринятой системы счисления является 10, то наиболее простыми и распространенными являются признаки делимости на делители чисел трех видов: 10 k , 10 k - 1, 10 k + 1 .
Первый вид - признаки делимости на делители числа 10 k , для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k необходимо и достаточно, чтобы последняя k-циферная грань (к-циферное окончание) числа N делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) и 10 3 = 1000 (I 3):
I 1 . На 2, 5 и 10 - одноциферное окончание (последняя цифра) числа должно делиться соответственно на 2, 5 и 10. Например, число 80 110 делится на 2, 5 и 10, так как последняя цифра 0 этого числа делится на 2, 5 и 10; число 37 835 делится на 5, но не делится на 2 и 10, так как последняя цифра 5 этого числа делится на 5. но не делится на 2 и 10.

I 2 . На 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100-двуциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100. Например, число 7 840 700 делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100, так как двуциферное окончание 00 этого числа делится на 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100; число 10 831 750 делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100, так как двуциферное окончание 50 этого числа делится на 2, 5, 10, 25 и 50, но не делится на 4, 20 и 100.

I 3 . На 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000 - трехциферное окончание числа должно делиться соответственно на 2,4,5,8,10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 и 1000. Например, число 675 081 000 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится трехциферное окончание 000 заданного числа; число 51 184 032 делится на 2, 4 и 8 и не делится на остальные, так как трехциферное окончание 032 заданного числа делится только на 2, 4 и 8 и не делится на остальные.

Второй вид - признаки делимости на делители числа 10 k - 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делительq числа 10 k - 1 необходимо и достаточно, чтобы сумма k-циферных граней числа N делилась на q. В частности (при к=1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1=99 (II 2) и 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . На 3 и 9 -сумма цифр (одноциферных граней) числа должна делиться соответственно на 3 и 9. Например, число 510 887 250 делится на 3 и 9, так как сумма цифр 5+1+0+8+8+7+2+5+0=36 (и 3+6=9) этого числа делится на 3 и 9; число 4 712 586 делится на 3, но не делится на 9, так как сумма цифр 4+7+1+2+5+8+6=33 (и 3+3=6) этого числа делится на 3, но не делится на 9.

II 2 . На 3, 9, 11, 33 и 99 - сумма двуциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 11, 33 и 99. Например, число 396 198 297 делится на 3, 9, 11, 33 и 99, так как сумма двуциферных граней 3+96+19+ +82+97=297 (и 2+97=99) делится на 3, 9,11, 33 и 99; число 7 265 286 303 делится на 3, 11 и 33, но не делится на 9 и 99, так как сумма двуциферных граней 72+65+28+63+03=231 (и 2+31=33) этого числа делится на 3, 11 и 33 и не делится на 9 и 99.

II 3 . На 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999 - сумма трехциферных граней числа должна делиться соответственно на 3, 9, 27, 37, 111, 333 и 999. Например, число 354 645 871 128 делится на все перечисленные в этом признаке числа, так как на каждое из них делится сумма трехциферных граней 354+645+ +871 + 128=1998 (и 1 + 998 = 999) этого числа.

Третий вид - признаки делимости на делители числа 10 k + 1: для делимости любого целого числа N на любой целый делитель q числа 10 k + 1 необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой k-циферных граней, стоящих в N на четных местах, и суммой k-циферных граней, стоящих в N на нечетных местах, делилась на q. В частности (при к = 1, 2 и 3), получаем следующие признаки делимости на делители чисел 10 1 + 1 =11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) и 10 3 +1 = 1001 (III 3).

III 1 . На 11 - разность между суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на четных местах, и суммой цифр (одноциферных граней), стоящих на нечетных местах, должна делиться на 11. Например, число 876 583 598 делится на 11, так как разность 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (и 1 - 1=0) между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.

III 2 . На 101 - разность между суммой двуциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться на 101. Например, число 8 130 197 делится на 101, так как разность 8-13+01-97 = 101 (и 1-01=0) между суммой двуциферных граней, стоящих в этом числе на четных местах, и суммой двуциферных граней, стоящих на нечетных местах, делится на 101.

III 3 . На 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001 - разность между суммой трехциферных граней, стоящих в числе на четных местах, и суммой трехциферных граней, стоящих на нечетных местах, должна делиться соответственно на 7, 11, 13, 77, 91, 143 и 1001. Например, число 539 693 385 делится на 7, 11 и 77, но не делится на 13, 91, 143 и 1001, так как 539 - 693+385=231 делится на 7, 11 и 77 и не делится на 13, 91, 143 и 1001.

Существуют признаки, по которым иногда легко узнать, не производя деления на самом деле, делится или не делится данное число на некоторые другие числа.

Числа, которые делятся на 2, называют чётными . Число нуль тоже относится к чётным числам. Все остальные числа называют нечётными :

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - чётные,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - нечётные.

Признаки делимости

Признак делимости на 2 . Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Например, число 4376 делится на 2, так как последняя цифра (6) - чётная.

Признак делимости на 3 . На 3 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 3. Например, число 10815 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 делится на 3.

Признаки делимости на 4 . Число делится на 4, если две последние его цифры нули или образуют число, которое делится на 4. Например, число 244500 делится на 4, так как оно оканчивается двумя нулями. Числа 14708 и 7524 делятся на 4, так как две последние цифры этих чисел (08 и 24) делятся на 4.

Признаки делимости на 5 . На 5 делятся те числа, которые оканчиваются на 0 или 5. Например, число 320 делится на 5, так как последняя цифра 0.

Признак делимости на 6 . Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. Например, число 912 делится на 6, так как оно делится и на 2 и на 3.

Признаки делимости на 8 . На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры являются нулями или образуют число, которое делится на 8. Например, число 27000 делится на 8, так как оно оканчивается тремя нулями. Число 63128 делится на 8, так как три последние цифры образуют число (128), которое делится на 8.

Признак делимости на 9 . На 9 делятся только те числа, у которых сумма цифр делится на 9. Например, число 2637 делится на 9, так как сумма его цифр 2 + 6 + 3 + 7 = 18 делится на 9.

Признаки делимости на 10, 100, 1000 и т. д. На 10, 100, 1000 и так далее делятся те числа, которые оканчиваются соответственно одним нулём, двумя нулями, тремя нулями и так далее. Например, число 3800 делится на 10 и на 100.

Признак делимости на 3
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4
Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число из двух последних его цифр нули или делится на 4.

Признак делимости на 5
Число делится на 5 тогда и только тогда, когда последняя цифра делится на 5 (то есть равна 0 или 5).

Признак делимости на 6
Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 259 делится на 7, так как 25 - (2 · 9) = 7 делится на 7).

Признак делимости на 8
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры - нули или образуют число, которое делится на 8.

Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11) - следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 12
Число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 4.

Признак делимости на 13
Число делится на 13 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с учетверённым числом единиц, кратно 13 (например, 845 делится на 13, так как 84 + (4 · 5) = 104 делится на 13).

Признак делимости на 14
Число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7.

Признак делимости на 15
Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и на 5.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 19
Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, кратно 19 (например, 646 делится на 19, так как 64 + (6 · 2) = 76 делится на 19).

Признак делимости на 23
Число делится на 23 тогда и только тогда, когда число его сотен, сложенное с утроенным числом десятков, кратно 23 (например, 28842 делится на 23, так как 288 + (3 * 42) = 414 продолжаем 4 + (3 * 14) = 46 очевидно делится на 23).

Признак делимости на 25
Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры делятся на 25 (то есть образуют 00, 25, 50 или 75)или число кратно 5.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).