Mis on positiivne täisarv. Numbrid

Selles artiklis sisalduv teave vormib üldine idee umbes täisarvud. Esiteks antakse täisarvude definitsioon ja tuuakse näiteid. Järgmiseks vaadeldakse arvureal olevaid täisarve, millest selgub, milliseid numbreid nimetatakse positiivseteks ja milliseid negatiivseteks täisarvudeks. Pärast seda näidatakse, kuidas kirjeldatakse koguste muutusi täisarvude abil ja negatiivseid täisarve vaadeldakse võla tähenduses.

Leheküljel navigeerimine.

Täisarvud – määratlus ja näited

Definitsioon.

Täisarvud on naturaalarvud, arv null, samuti naturaalarvudele vastupidised arvud.

Täisarvude definitsioon ütleb, et iga arv 1, 2, 3, …, arv 0 ja ka mis tahes arv −1, −2, −3, … on täisarv. Nüüd saame lihtsalt tuua täisarvu näited. Näiteks arv 38 on täisarv, arv 70 040 on samuti täisarv, null on täisarv (tuletage meelde, et null EI OLE naturaalarv, null on täisarv), arvud −999 , −1 , −8 934 832 on ka täisarvude näited.

Kõik täisarvud on mugav esitada täisarvude jadana, millel on järgmine kuju: 0, ±1, ±2, ±3, … Täisarvude jada saab kirjutada ka järgmiselt: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Täisarvude definitsioonist järeldub, et naturaalarvude hulk on täisarvude hulga alamhulk. Seetõttu on iga naturaalarv täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.

Täisarvud koordinaatjoonel

Definitsioon.

Positiivsed täisarvud on täisarvud, mis on suuremad kui null.

Definitsioon.

Negatiivsed täisarvud on täisarvud, mis on väiksemad kui null.

Täisarvulisi positiivseid ja negatiivseid arve saab määrata ka nende asukoha järgi koordinaatjoonel. Horisontaalsel koordinaatjoonel asuvad punktid, mille koordinaadid on positiivsed täisarvud, lähtepunktist paremal. Negatiivsete täisarvuliste koordinaatidega punktid asuvad omakorda punktist O vasakul.

On selge, et kõigi positiivsete täisarvude hulk on naturaalarvude hulk. Kõikide negatiivsete täisarvude hulk on omakorda kõigi naturaalarvudele vastandlike arvude hulk.

Eraldi juhime teie tähelepanu tõsiasjale, et igat naturaalarvu saame julgelt nimetada täisarvuks ja me EI saa nimetada ühtegi täisarvu naturaalarvuks. Looduslikuks saame nimetada ainult mis tahes positiivset täisarvu, kuna negatiivsed täisarvud ja null ei ole loomulikud.

Mittepositiivsed täisarvud ja mittenegatiivsed täisarvud

Anname mittepositiivsete ja mittenegatiivsete täisarvude definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse kõik positiivsed täisarvud koos nulliga täisarvud mittenegatiivsed arvud.

Definitsioon.

Mittepositiivsed täisarvud on kõik negatiivsed täisarvud koos arvuga 0 .

Teisisõnu, mittenegatiivne täisarv on täisarv, mis on suurem või võrdne nulliga, ja mittepositiivne täisarv on täisarv, mis on nullist väiksem või sellega võrdne.

Mittepositiivsete täisarvude näideteks on arvud -511, -10 030, 0, -2 ning mittenegatiivsete täisarvude näidetena tuuakse numbrid 45, 506, 0, 900 321.

Kõige sagedamini kasutatakse lühiduse huvides termineid "mittepositiivsed täisarvud" ja "mitte-negatiivsed täisarvud". Näiteks fraasi "arv a on täisarv ja a on suurem kui null või võrdne nulliga" asemel võite öelda "a on mittenegatiivne täisarv".

Väärtuste muutmise kirjeldus täisarvude abil

On aeg rääkida sellest, mille jaoks on täisarvud.

Täisarvude peamine eesmärk on see, et nende abil on mugav kirjeldada mistahes üksuste arvu muutust. Käsitleme seda näidete abil.

Oletame, et laos on teatud hulk osi. Kui lattu tuuakse näiteks 400 detaili juurde, siis osade arv laos suureneb ja number 400 väljendab seda koguse muutust positiivses suunas (kasvu suunas). Kui laost võetakse näiteks 100 osa, siis osade arv laos väheneb ja number 100 väljendab koguse muutust negatiivses suunas (vähenemise suunas). Osasid lattu ei tooda ja laost ära ei viida, siis saab rääkida osade arvu muutumisest (ehk siis saab rääkida koguse nullmuutusest).

Toodud näidetes saab osade arvu muutust kirjeldada täisarvude 400 , −100 ja 0 abil. Positiivne täisarv 400 näitab koguse positiivset muutust (kasvu). Negatiivne täisarv −100 väljendab koguse negatiivset muutust (vähenemist). Täisarv 0 näitab, et kogus ei ole muutunud.

Täisarvude kasutamise mugavus võrreldes naturaalarvude kasutamisega seisneb selles, et pole vaja selgesõnaliselt näidata, kas kogus kasvab või väheneb – täisarv määrab muutuse kvantitatiivselt ja täisarvu märk näitab muutuse suunda.

Täisarvud võivad väljendada ka mitte ainult koguse muutust, vaid ka mõne väärtuse muutust. Käsitleme seda temperatuurimuutuse näitel.

Temperatuuri tõusu näiteks 4 kraadi võrra väljendatakse positiivse täisarvuna 4 . Temperatuuri langust näiteks 12 kraadi võrra saab kirjeldada negatiivse täisarvuga -12. Ja temperatuuri invariantsus on selle muutus, mis on määratud täisarvuga 0.

Eraldi tuleb öelda negatiivsete täisarvude tõlgendamise kohta võlasummana. Näiteks kui meil on 3 õuna, siis positiivne täisarv 3 tähistab meile kuuluvate õunte arvu. Teisest küljest, kui me peame kellelegi kinkima 5 õuna, kuid meil pole neid käepärast, saab seda olukorda kirjeldada negatiivse täisarvuga −5 . Sel juhul "omame" −5 õuna, miinusmärk tähistab võlga ja number 5 määrab võla suuruse.

Negatiivse täisarvu mõistmine võlana võimaldab näiteks põhjendada negatiivsete täisarvude liitmise reeglit. Võtame näite. Kui keegi võlgneb ühele inimesele 2 õuna ja teisele ühe õuna, siis on võlg kokku 2+1=3 õuna, seega −2+(−1)=−3 .

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya. jne Matemaatika. 6. klass: õpik õppeasutustele.

Number- kõige olulisem matemaatiline mõiste, mis on sajandite jooksul muutunud.

Esimesed ideed arvu kohta tekkisid inimeste, loomade, puuviljade, erinevate toodete jne loendamisest. Tulemuseks on naturaalarvud: 1, 2, 3, 4, ...

Ajalooliselt on arvu mõiste esimene laiendus murdarvude liitmine naturaalarvule.

Lask nimetatakse osaks (aktsiaks) või selle mitmeks võrdseks osaks.

Määratud: , kus m,n- täisarvud;

Murrud nimetajaga 10 n, kus n on täisarv, neid nimetatakse koma: .

Kümnendmurdude hulgas on eriline koht perioodilised murrud: - puhas perioodiline murd, - segatud perioodiline murd.

Arvu mõiste edasist laienemist põhjustab juba matemaatika enda (algebra) areng. Descartes 17. sajandil tutvustab kontseptsiooni negatiivne arv.

Kutsutakse täisarvu (positiivne ja negatiivne), murdosa (positiivne ja negatiivne) ja nulli ratsionaalsed arvud. Iga ratsionaalarvu saab kirjutada lõpliku ja perioodilise murruna.

Pidevalt muutuvate muutujate uurimiseks osutus vajalikuks laiendada arvu mõistet - reaal(reaal)arvude kasutuselevõttu - lisades ratsionaalarvudele irratsionaalarvud: irratsionaalsed arvud on lõpmatud kümnendmurrud, mis ei ole perioodilised.

Irratsionaalarvud ilmnesid võrreldamatute segmentide (ruudu külg ja diagonaal) mõõtmisel algebras - juurte eraldamisel on transtsendentaalse irratsionaalarvu näide π, e .

Numbrid loomulik(1, 2, 3,...), terve(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), ratsionaalne(esitatud murdosana) ja irratsionaalne(pole esitatav murdena ) moodustavad komplekti tõeline (tõeline) numbrid.

Eraldi matemaatikas eristatakse kompleksarve.

Kompleksarvud tekivad seoses juhtumi ruutude lahendamise probleemiga D< 0 (здесь D on ruutvõrrandi diskriminant). Pikka aega ei leidnud need numbrid füüsilist kasutust, mistõttu hakati neid nimetama "imaginaarseteks" numbriteks. Nüüd on need aga väga laialdaselt kasutusel erinevates füüsika ja tehnoloogia valdkondades: elektrotehnikas, hüdro- ja aerodünaamikas, elastsuse teoorias jne.

Kompleksarvud on kirjutatud järgmiselt: z= a+ bi. Siin a Ja b – reaalarvud, aga i – kujuteldav ühik.e. i 2 = - üks. Number a helistas abstsiss, a b-ordinaat kompleksarv a+ bi. Kaks kompleksarvu a+ bi Ja a-bi helistas konjugaat kompleksarvud.

Omadused:

1. Reaalarv aga võib kirjutada ka kompleksarvuna: a+ 0i või a - 0i. Näiteks 5 + 0 i ja 5-0 i tähendab sama numbrit 5 .

2. Kompleksarv 0 + bi helistas puhtalt väljamõeldud number. Salvestamine bi tähendab sama mis 0 + bi.

3. Kaks kompleksarvu a+ bi Ja c+ di loetakse võrdseks, kui a= c Ja b= d. Vastasel juhul pole kompleksarvud võrdsed.

Toimingud:

Lisand. Kompleksarvude summa a+ bi Ja c+ di nimetatakse kompleksarvuks ( a+ c) + (b+ d)i. Sellel viisil, kompleksarvude liitmisel liidetakse eraldi nende abstsissid ja ordinaadid.

Lahutamine. Kahe kompleksarvu erinevus a+ bi(vähendatud) ja c+ di(lahutatud) nimetatakse kompleksarvuks ( a-c) + (b-d)i. Sellel viisil, kahe kompleksarvu lahutamisel lahutatakse nende abstsissid ja ordinaadid eraldi.

Korrutamine. Kompleksarvude korrutis a+ bi Ja c+ di nimetatakse kompleksarvuks.

(ac-bd) + (reklaam+ eKr)i. See määratlus tuleneb kahest nõudest:

1) numbrid a+ bi Ja c+ di peavad korrutama nagu algebralised binoomid,

2) number i omab peamist omadust: i 2 = –1.

NÄIDE ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . Järelikult töödKahe konjugeeritud kompleksarvu väärtus on võrdne positiivse reaalarvuga.

Jaoskond. Jagage kompleksarv a+ bi(jagatav) teisele c+ di (jagaja) - tähendab kolmanda numbri leidmist e+ fi(vestlus), mis korrutatuna jagajaga c+ di, mille tulemuseks on dividend a+ bi. Kui jagaja ei ole null, on jagamine alati võimalik.

NÄIDE Otsi (8+ i) : (2 – 3i) .

Lahendus. Kirjutame selle suhte ümber murruna:

Selle lugeja ja nimetaja korrutamine 2 + 3-ga i ja tehes kõik teisendused, saame:

Ülesanne 1: z liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine 1 kuni z 2

Ruutjuure ekstraheerimine: Lahenda võrrand x 2 = -a. Selle võrrandi lahendamiseks oleme sunnitud kasutama uut tüüpi numbreid - kujuteldavad numbrid . Sellel viisil, kujuteldav numbrile helistatakse mille teine ​​aste on negatiivne arv. Selle imaginaararvude definitsiooni järgi saame defineerida ja kujuteldav üksus:

Siis võrrandi jaoks x 2 = - 25 saame kaks kujuteldav juur:

Ülesanne 2: Lahenda võrrand:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Kompleksarvude geomeetriline esitus. Reaalarvud on esitatud arvureal olevate punktidega:

Siin on mõte A tähendab numbrit -3, punkt B on number 2 ja O-null. Seevastu kompleksarvud on esindatud koordinaattasandi punktidega. Selleks valime ristkülikukujulised (Cartesiuse) koordinaadid, millel on mõlemal teljel sama skaala. Siis kompleksarv a+ bi tähistatakse punktiga P koos abstsissigaaga ja ordinaatb. Seda koordinaatsüsteemi nimetatakse keeruline lennuk .

moodul kompleksarvu nimetatakse vektori pikkuseks OP, mis kujutab kompleksarvu koordinaadil ( integreeritud) lennuk. Kompleksarvu moodul a+ bi tähistatud | a+ bi| või) kiri r ja on võrdne:

Konjugeeritud kompleksarvudel on sama moodul.

Joonise koostamise reeglid on peaaegu samad, mis Descartes'i koordinaatsüsteemis joonisel. Mööda telge tuleb määrata mõõtmed, pange tähele:

e
üksus piki reaaltelge; Rez

mõtteline ühik piki mõttelist telge. im z

Ülesanne 3. Koostage komplekstasandil järgmised kompleksarvud: , , , , , , ,

1. Arvud on täpsed ja ligikaudsed. Praktikas kohtame kahte tüüpi numbreid. Mõned annavad koguse tegeliku väärtuse, teised vaid ligikaudsed. Esimest nimetatakse täpseks, teist - ligikaudseks. Enamasti on mugav täpse arvu asemel kasutada ligikaudset arvu, seda enam, et paljudel juhtudel ei leita täpset arvu üldse.

Seega, kui öeldakse, et klassis on 29 õpilast, siis on number 29 täpne. Kui öeldakse, et Moskva ja Kiievi kaugus on 960 km, siis siin on arv 960 ligikaudne, kuna ühelt poolt pole meie mõõteriistad absoluutselt täpsed, teisest küljest on linnadel endil teatud ulatus.

Ligikaudsete arvudega tehte tulemus on samuti ligikaudne arv. Täpsete arvudega mõningaid tehteid tehes (jagades, juure eraldades) saad ka ligikaudsed arvud.

Ligikaudsete arvutuste teooria võimaldab:

1) teades andmete täpsusastet, hindab tulemuste täpsusastet;

2) võtma andmeid asjakohase täpsusega, mis on piisav tulemuse nõutava täpsuse tagamiseks;

3) ratsionaliseerida arvutusprotsess, vabastades selle arvutustest, mis ei mõjuta tulemuse täpsust.

2. Ümardamine.Üks ligikaudsete arvude allikas on ümardamine. Ümardage nii ligikaudsed kui ka täpsed arvud.

Antud arvu ümardamine mõne selle numbrini on selle asendamine uue numbriga, mis saadakse antud numbrist, jättes kõrvale kõik selle numbri numbrist paremale kirjutatud numbrid või asendades need nullidega. Need nullid on tavaliselt alla joonitud või kirjutatud väiksemaks. Tagamaks ümardatud arvu lähimat lähedust ümardatavale, tuleks järgida järgmisi reegleid: arvu ümardamiseks teatud numbri ühikuni tuleb kõik selle numbri järel olevad numbrid kõrvale jätta ja asendage need täisarvus nullidega. See võtab arvesse järgmist:

1) kui äravisatud numbrite esimene (vasak) on väiksem kui 5, siis viimast allesjäänud numbrit ei muudeta (ümardatakse alla);

2) kui esimene äravisatud number on suurem kui 5 või võrdne 5-ga, siis viimast allesjäänud numbrit suurendatakse ühe võrra (ümardamine ülespoole).

Näitame seda näidetega. Kokku võtma:

a) kuni kümnendikuni 12.34;

b) kuni sajandikuni 3,2465; 1038,785;

c) kuni tuhandikuni 3,4335.

d) kuni 12375 tuhat; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Absoluutsed ja suhtelised vead. Täpse arvu ja selle ligikaudse väärtuse erinevust nimetatakse ligikaudse arvu absoluutseks veaks. Näiteks kui täpne arv 1,214 ümardada kümnendikku, saame ligikaudseks arvuks 1,2. Sel juhul on ligikaudse arvu 1,2 absoluutviga 1,214 - 1,2, s.o. 0,014.

Kuid enamikul juhtudel täpne väärtus arvestatav väärtus on teadmata, kuid see on ainult ligikaudne. Siis pole ka absoluutne viga teada. Sellistel juhtudel märkige piir, mida see ei ületa. Seda arvu nimetatakse absoluutseks piirveaks. Nad ütlevad, et arvu täpne väärtus on võrdne selle ligikaudse väärtusega, kusjuures viga on väiksem kui piirviga. Näiteks arv 23,71 on arvu 23,7125 ligikaudne väärtus täpsusega 0,01, kuna absoluutne lähendusviga on 0,0025 ja väiksem kui 0,01. Siin on piiri absoluutne viga 0,01*.

Ligikaudse arvu absoluutne piirviga aga tähistatud sümboliga Δ a. Salvestamine

x≈a(±Δ a)

tuleks mõista järgmiselt: koguse täpne väärtus x on vahepeal aga– Δ a Ja aga+ Δ aga, mida nimetatakse vastavalt alumiseks ja ülemiseks piiriks. X ja tähistab NG x VG X.

Näiteks kui x≈ 2,3 (±0,1), siis 2,2<x< 2,4.

Ja vastupidi, kui 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Absoluutne või piirviga ei iseloomusta mõõtmise kvaliteeti. Sama absoluutviga võib pidada oluliseks ja ebaoluliseks, olenevalt arvust, mis väljendab mõõdetud väärtust. Näiteks kui mõõta kahe linna vahemaad ühe kilomeetri täpsusega, siis selline täpsus on selle muutuse jaoks täiesti piisav, samas kui samal tänaval kahe maja vahelist kaugust mõõtes on selline täpsus vastuvõetamatu. Seetõttu ei sõltu suuruse ligikaudse väärtuse täpsus mitte ainult absoluutvea suurusest, vaid ka mõõdetava suuruse väärtusest. Seetõttu on täpsuse mõõt suhteline viga.

Suhteline viga on absoluutse vea ja ligikaudse arvu suhe. Piiri absoluutvea ja ligikaudse arvu suhet nimetatakse piiri suhteliseks veaks; tähistage seda järgmiselt: Suhtelised ja piirsuhtelised vead väljendatakse tavaliselt protsentides. Näiteks kui mõõtmised näitavad, et vahemaa X kahe punkti vahel on rohkem kui 12,3 km, kuid alla 12,7 km, siis võetakse nende kahe arvu aritmeetiline keskmine ligikaudseks väärtuseks, s.o. nende poolsumma, siis on piiri absoluutviga võrdne nende arvude poolvahega. Sel juhul X≈ 12,5 (±0,2). Siin on piiri absoluutne viga 0,2 km ja piiri suhteline

1) Jagan kohe arvuga, kuna mõlemad arvud jaguvad 100% arvuga:

2) Jagan ülejäänud suurte arvudega, kuna need jagatakse ilma jäägita (samal ajal ma ei lagune - see on juba ühine jagaja):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ma lahkun ja hakkan üksi ning hakkan arvestama numbreid ja. Mõlemad arvud on täpselt jaguvad arvuga (lõpevad paarisnumbritega (sel juhul esitame kujul, kuid neid saab jagada)):

4) Töötame numbritega ja. Kas neil on ühiseid jagajaid? See on sama lihtne kui eelmistes sammudes ja te ei saa seda öelda, nii et jagame need lihtsalt lihtsateks teguriteks:

5) Nagu näeme, oli meil õigus: ja neil pole ühiseid jagajaid ja nüüd tuleb korrutada.
GCD

Ülesanne number 2. Leidke arvude 345 ja 324 GCD

Ma ei leia siit kiiresti vähemalt üht ühist jagajat, seega jagan lihtsalt algteguriteks (võimalikult vähesteks):

Täpselt, GCD, ja ma ei kontrollinud algselt jagatavuskriteeriumit ja võib-olla ei peaks ma nii palju toiminguid tegema.

Aga sa kontrollisid, eks?

Nagu näete, on see üsna lihtne.

Least common multiple (LCM) – säästab aega, aitab lahendada probleeme väljaspool kasti

Oletame, et teil on kaks numbrit – ja. Mis on väikseim arv, millega jagub jäljetult(st täielikult)? Raske ette kujutada? Siin on teile visuaalne vihje:

Kas mäletate, mida see kiri tähendab? See on õige, lihtsalt täisarvud. Mis on siis väikseim arv, mis sobib x-ga? :

Sel juhul.

Sellest lihtsast näitest tuleneb mitu reeglit.

Reeglid NOC kiireks leidmiseks

Reegel 1. Kui üks kahest naturaalarvust jagub teise arvuga, on nendest kahest arvust suurem nende vähim ühiskordne.

Leidke järgmised numbrid:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Muidugi tulite selle ülesandega hõlpsalt toime ja saite vastused - ja.

Pange tähele, et reeglis räägime KAHEST numbrist, kui numbreid on rohkem, siis reegel ei tööta.

Näiteks LCM (7;14;21) ei ole võrdne 21-ga, kuna seda ei saa ilma jäägita jagada.

Reegel 2. Kui kaks (või rohkem kui kaks) arvu on kaasalgarvud, siis vähim ühiskordne on võrdne nende korrutisega.

leida NOC järgmistele numbritele:

• NOC (1; 3; 7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2; 3; 7)
• NOC (3;5;2)

Kas sa lugesid? Siin on vastused - , ; .

Nagu aru saate, ei ole alati nii lihtne seda sama x-i võtta ja üles võtta, nii et veidi keerukamate arvude jaoks on järgmine algoritm:

Kas harjutame?

Leia vähim ühine kordne – LCM (345; 234)

Jaotame iga numbri:

Miks ma just kirjutasin?

Pidage meeles jaguvuse märke: jagub arvuga (viimane number on paaris) ja numbrite summa jagub arvuga.

Vastavalt sellele saame kohe jagada, kirjutades selle kui.

Nüüd kirjutame reale välja pikima laienduse - teise:

Lisame sellele esimese laienduse numbrid, mis ei sisaldu selles, mida me välja kirjutasime:

Märkus: kirjutasime välja kõik, välja arvatud, kuna meil on see juba olemas.

Nüüd peame kõik need arvud korrutama!

Leidke ise vähim ühiskordne (LCM).

Milliseid vastuseid saite?

Minuga juhtus järgmine:

Kui kaua sul aega kulus, et leida NOC? Minu aeg on 2 minutit, ma tõesti tean üks trikk, mille soovitan sul kohe avada!

Kui olete väga tähelepanelik, siis ilmselt märkasite, et antud numbrite jaoks oleme juba otsinud GCD ja võite võtta nende arvude faktoriseerimise sellest näitest, lihtsustades sellega oma ülesannet, kuid see pole kaugeltki kõik.

Vaata pilti, äkki tulevad sulle veel mõned mõtted:

Noh? Ma annan teile vihje: proovige korrutada NOC Ja GCD omavahel ja pane kirja kõik tegurid, mis korrutamisel tulevad. Kas said hakkama? Peaksite saama sellise ahela:

Vaadake seda lähemalt: võrrelge tegureid sellega, kuidas ja need lagunevad.

Millise järelduse saate sellest teha? Õige! Kui korrutame väärtused NOC Ja GCD omavahel, siis saame nende arvude korrutise.

Vastavalt sellele, omades numbreid ja tähendust GCD(või NOC), leiame NOC(või GCD) järgmisel viisil:

1. Leidke arvude korrutis:

2. Jagame saadud toote meie omaga GCD (6240; 6800) = 80:

See on kõik.

Kirjutame reegli üldkujul:

Proovige leida GCD kui on teada, et:

Kas said hakkama? .

Negatiivsed arvud – "valearvud" ja nende äratundmine inimkonna poolt.

Nagu te juba aru saite, on need arvud vastupidised loomulikele numbritele, see tähendab:

Tundub, et nad on nii erilised?

Kuid tõsiasi on see, et negatiivsed arvud "võitsid" oma õige koha matemaatikas kuni 19. sajandini (kuni selle hetkeni oli tohutult vaidlusi, kas need on olemas või mitte).

Negatiivne arv ise tekkis sellise tehte tõttu naturaalarvudega nagu "lahutamine".

Tõepoolest, lahutage - see on negatiivne arv. Seetõttu nimetatakse sageli negatiivsete arvude hulka "naturaalarvude hulga laiendus".

Inimesed ei tundnud negatiivseid numbreid pikka aega ära.

Niisiis, Vana-Egiptus, Babülon ja Vana-Kreeka - oma aja tuled - ei tundnud negatiivseid numbreid ära ja võrrandis negatiivsete juurte saamise korral (näiteks nagu meil) lükati juured tagasi kui võimatud.

Esimest korda said negatiivsed arvud õiguse eksisteerida Hiinas ja seejärel 7. sajandil Indias.

Mida arvate sellest ülestunnistusest?

Täpselt nii, negatiivsed numbrid hakkasid tähistama võlad (muidu - puudus).

Usuti, et negatiivsed numbrid on ajutine väärtus, mis selle tulemusena muutub positiivseks (st raha tagastatakse ikkagi võlausaldajale). India matemaatik Brahmagupta pidas aga negatiivseid arve positiivsetega võrdseks.

Euroopas tuli negatiivsete arvude kasulikkus, aga ka asjaolu, et need võivad tähistada võlga, palju hiljem, see tähendab aastatuhande pärast.

Esimest korda mainiti 1202. aastal Pisa Leonardi "Abakuse raamatus" (ütlen kohe, et raamatu autoril pole Pisa torniga mingit pistmist, aga Fibonacci numbrid on tema töö ( Pisa Leonardo hüüdnimi on Fibonacci)).

Nii uskus Pascal seda XVII sajandil.

Mis sa arvad, kuidas ta seda õigustas?

See on õige, "miski ei saa olla vähem kui MITTE MISKI".

Nende aegade kaja on tõsiasi, et negatiivset arvu ja lahutamise operatsiooni tähistatakse sama sümboliga - miinus "-". Ja tõsi:. Kas arv " " on positiivne, millest lahutatakse, või negatiivne, millele liidetakse? ... Midagi sarjast "Kumb on enne: kana või muna?" Siin on selline matemaatiline filosoofia.

Negatiivsed arvud kindlustasid oma õiguse eksisteerida analüütilise geomeetria tulekuga ehk siis, kui matemaatikud võtsid sellise asja kasutusele reaalteljena.

Sellest hetkest alates tuli võrdsus. Küsimusi oli siiski rohkem kui vastuseid, näiteks:

proportsioon

Seda osakaalu nimetatakse Arno paradoksiks. Mõelge sellele, mis on selles kaheldav?

Räägime koos rohkem kui " " eks? Seega loogika kohaselt peaks proportsiooni vasak pool olema suurem kui parem pool, kuid need on võrdsed ... Siin on see paradoks.

Selle tulemusena leppisid matemaatikud ühel meelel, et Karl Gauss (jah, jah, see on see, kes arvestas arvude summaga (või)) tegi sellele 1831. aastal lõpu.

Ta ütles, et negatiivsetel arvudel on samad õigused kui positiivsetel ja see, et nad ei kehti kõigi asjade kohta, ei tähenda midagi, kuna ka murded ei kehti paljude asjade kohta (ei juhtu, et kaevaja kaevab auku, te ei saa osta piletit kinosse jne).

Matemaatikud rahunesid alles 19. sajandil, mil negatiivsete arvude teooria lõid William Hamilton ja Hermann Grassmann.

Nii vastuolulised need negatiivsed numbrid ongi.

"Tühjuse" tekkimine ehk nulli elulugu.

Matemaatikas eriarv.

Esmapilgul pole see midagi: liitke, lahutage - midagi ei muutu, kuid peate selle lihtsalt omistama "" õigusele ja saadud arv on mitu korda suurem kui algne.

Nulliga korrutades muudame kõik eimiskiks, aga jagada "mittemillegiga" ei saa. Ühesõnaga maagiline number)

Nulli ajalugu on pikk ja keeruline.

Hiinlaste kirjutistest leitakse 2000. aastal pKr. ja isegi varem maiadega. Nullsümboli esimest korda, nagu see praegu on, nähti Kreeka astronoomide seas.

Selle kohta, miks just selline tähistus "mitte midagi" valiti, on palju versioone.

Mõned ajaloolased kalduvad arvama, et tegemist on omikroniga, s.o. Kreeka sõna tühiku esimene täht on ouden. Teise versiooni kohaselt andis sõna “obol” (peaaegu väärtusetu münt) nulli sümbolile elu.

Null (või null) kui matemaatiline sümbol ilmub esmakordselt indiaanlaste seas(pange tähele, et negatiivsed numbrid hakkasid seal "arenema").

Esimesed usaldusväärsed tõendid nulli kirjutamise kohta pärinevad aastast 876 ja neis on "" arvu komponent.

Ka null jõudis Euroopasse hilinemisega – alles 1600. aastal ja nii nagu negatiivsed numbrid, seisis ka vastupanu (mis teha, nad on eurooplased).

"Zero oli sageli vihatud, kardeti pikka aega ja isegi keelatud"— kirjutab Ameerika matemaatik Charles Seif.

Niisiis, Türgi sultan Abdul-Hamid II 19. sajandi lõpus. käskis oma tsensoritel H2O vee valem kõigist keemiaõpikutest kustutada, võttes O-tähe nulliks ega tahtnud, et tema initsiaalid saaksid laimatud põlastusväärse nulli läheduse tõttu.

Internetist võib leida lause: “Null on Universumi võimsaim jõud, see suudab kõike! Null loob matemaatikas korra ja see toob sinna ka kaose. Täiesti õige jutt :)

Lõigu kokkuvõte ja põhivalemid

Täisarvude komplekt koosneb 3 osast:

• naturaalarvud (vaatleme neid allpool üksikasjalikumalt);
• loomulikele vastandlikud arvud;
• null - " "

Täisarvude hulk on tähistatud täht Z.

1. Naturaalarvud

Naturaalarvud on arvud, mida me kasutame objektide loendamiseks.

Naturaalarvude hulk on tähistatud täht N.

Täisarvudega toimingutes on teil vaja GCD ja LCM-i leidmise võimalust.

Suurim ühine jagaja (GCD)

NOD-i leidmiseks vajate:

1. Lagundada arvud algteguriteks (arvudeks, mida ei saa jagada millegi muuga peale iseenda ega näiteks vms).
2. Kirjutage üles tegurid, mis on osa mõlemast arvust.
3. Korrutage need.

Vähim levinud kordne (LCM)

NOC leidmiseks vajate:

1. Muutke arvud algteguriteks (te teate juba, kuidas seda teha).
2. Kirjutage üles tegurid, mis sisalduvad ühe arvu laiendamisel (parem on võtta pikim ahel).
3. Lisage neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid.
4. Leidke saadud tegurite korrutis.

2. Negatiivsed arvud

Need on arvud, mis on vastupidised naturaalarvudele, see tähendab:

Nüüd ma tahan sinust kuulda...

Loodan, et hindasite selle jaotise ülikasulikke "nippe" ja mõistsite, kuidas need teid eksamil aitavad.

Ja mis veelgi olulisem, elus. Ma ei räägi sellest, aga uskuge mind, see on nii. Kiire ja vigadeta loendamise oskus päästab paljudes elusituatsioonides.

Nüüd on sinu kord!

Kirjutage, kas kasutate arvutustes rühmitamismeetodeid, jagamiskriteeriume, GCD-d ja LCM-i?

Võib-olla olete neid varem kasutanud? Kus ja kuidas?

Võib-olla on teil küsimusi. Või ettepanekuid.

Kirjutage kommentaaridesse, kuidas teile artikkel meeldib.

Ja edu teile eksamitel!

Kui liita naturaalarvude reast vasakule number 0, saame positiivsete täisarvude jada:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Negatiivsed täisarvud

Vaatleme väikest näidet. Vasakpoolsel joonisel on termomeeter, mis näitab temperatuuri 7 °C soojust. Kui temperatuur langeb 4°C võrra, näitab termomeeter 3°C sooja. Temperatuuri langus vastab lahutamistoimingule:

Märkus: kõik kraadid on kirjutatud tähega C (Celsius), kraadi märk eraldatakse numbrist tühikuga. Näiteks 7 °C.

Kui temperatuur langeb 7 °C võrra, näitab termomeeter 0 °C. Temperatuuri langus vastab lahutamistoimingule:

Kui temperatuur langeb 8 °C, näitab termomeeter -1 °C (1 °C pakast). Kuid 7–8 lahutamise tulemust ei saa kirjutada naturaalarvude ja nulliga.

Illustreerime positiivsete täisarvude jada lahutamist:

1) Loeme arvust 7 vasakule 4 numbrit ja saame 3:

2) Loeme arvust 7 vasakule 7 numbrit ja saame 0:

Positiivsete täisarvude reas numbrist 7 vasakule on võimatu kokku lugeda 8 arvu. Toimingute 7–8 teostamiseks laiendame positiivsete täisarvude jada. Selleks kirjutame nullist vasakule (paremalt vasakule) kõik naturaalarvud, lisades neile igaühele - märgi, mis näitab, et see arv asub nullist vasakul.

Kirjed -1, -2, -3, ... loetakse miinus 1, miinus 2, miinus 3 jne:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Saadud arvude jada nimetatakse täisarvude kõrval. Täpid selles kirjes vasakul ja paremal tähendavad, et seeriat saab lõputult jätkata paremale ja vasakule.

Selle rea numbrist 0 paremal on numbrid, millele helistatakse loomulik või igati positiivne(lühidalt - positiivne).

Selle rea numbrist 0 vasakul on numbrid, millele helistatakse terve negatiivne(lühidalt - negatiivne).

Arv 0 on täisarv, kuid ei ole positiivne ega negatiivne. See eraldab positiivsed ja negatiivsed arvud.

Järelikult täisarvude jada koosneb negatiivsetest täisarvudest, nullist ja positiivsetest täisarvudest.

Täisarvude võrdlus

Võrrelge kahte täisarvu- tähendab, et välja selgitada, milline neist on suurem, kumb väiksem, või teha kindlaks, kas arvud on võrdsed.

Täisarve saate võrrelda täisarvude rea abil, kuna selles olevad arvud on paigutatud väikseimast suurimani, kui liigute mööda rida vasakult paremale. Seetõttu saate täisarvude reas asendada komad vähem kui märgiga:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Järelikult kahest täisarvust on reast paremal olev suurem ja reast vasakul olev väiksem, tähendab:

1) Iga positiivne arv on suurem kui null ja suurem kui mis tahes negatiivne arv:

1 > 0; 15 > -16

2) Iga negatiivne arv, mis on väiksem kui null:

7 < 0; -357 < 0

3) Kahest negatiivsest arvust on suurem täisarvude reas paremal olev.

Arve on mitut tüüpi, üks neist on täisarvud. Täisarvud ilmusid selleks, et oleks lihtsam lugeda mitte ainult positiivses, vaid ka negatiivses suunas.

Kaaluge näidet:
Päeval oli väljas 3 kraadi sooja. Õhtuks langes temperatuur 3 kraadi võrra.
3-3=0
Väljas oli 0 kraadi. Ja öösel langes temperatuur 4 kraadi võrra ja hakkas termomeetril näitama -4 kraadi.
0-4=-4

Täisarvude jada.

Sellist ülesannet ei saa kirjeldada naturaalarvudega, me käsitleme seda ülesannet koordinaatide sirgel.

Meil on rida numbreid:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Seda numbrite jada nimetatakse täisarvude kõrval.

Positiivsed täisarvud. Terved negatiivsed arvud.

Täisarvude jada koosneb positiivsetest ja negatiivsetest arvudest. Nullist paremal on naturaalarvud või neid nimetatakse ka terved positiivsed numbrid. Ja nullist vasakule minna terved negatiivsed arvud.

Null ei ole positiivne ega negatiivne. See on piir positiivsete ja negatiivsete arvude vahel.

on arvude hulk, mis koosneb naturaalarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja nullist.

Täisarvude jada positiivses ja negatiivses suunas on lõputu hulk.

Kui võtame suvalised kaks täisarvu, nimetatakse nende täisarvude vahelisi numbreid lõpukomplekt.

Näiteks:
Võtame täisarvud vahemikus -2 kuni 4. Kõik nende arvude vahel olevad arvud on kaasatud lõplikku hulka. Meie piiratud arvude komplekt näeb välja selline:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Naturaalarvud on tähistatud ladina tähega N.
Täisarve tähistatakse ladina tähega Z. Joonisel saab kujutada kogu naturaalarvude ja täisarvude komplekti.


Mittepositiivsed täisarvud teisisõnu, need on negatiivsed täisarvud.
Mittenegatiivsed täisarvud on positiivsed täisarvud.