A 11-gyel való osztás tulajdonsága. Az oszthatóság főbb jelei

Ezt az anyagot egy ilyen fogalomnak szentelték, mint a 2-vel oszthatóság jelét. Az első bekezdésben megfogalmazzuk, és példákat adunk - olyan feladatokat, amelyekben meg kell találnia, hogy egy adott szám osztható-e 2-vel. Ezután bizonyítjuk ezt a tulajdonságot, és elmagyarázzuk, milyen más módszerek léteznek a kifejezések értékeként megadott számok kettővel való oszthatóságának meghatározására.

A 2-vel osztható teszt megfogalmazása és példái

Ahhoz, hogy jobban megértsük, mik az oszthatóság jelei, meg kell ismételni az egész számok oszthatóságával kapcsolatos témát. A fő fogalom meghatározása így néz ki:

1. definíció

A 8-ra, 6-ra, 4-re, 2-re és 0-ra végződő egész szám maradék nélkül osztható 2-vel. Ha a szám végén 9, 7, 5, 3 vagy 1 van, akkor egy ilyen szám nem osztható 2-vel.

Ennek a jelnek a segítségével nem csak egy pozitív egész (természetes), hanem egy negatív egész szám oszthatósága is feltárható, hiszen ezek maradék nélkül is oszthatók 2-vel.

Mutassunk néhány példát egy jellemző felhasználására problémákban.

1. példa

Állapot: határozza meg, hogy a 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 számok közül melyik osztható ketté.

Megoldás

Természetesen ezeket a számokat egyszerűen eloszthatjuk kettővel egy oszlopban, és ellenőrizhetjük, hogy van-e maradék a végén vagy sem. De a kettővel való oszthatóság jelének ismeretében sokkal gyorsabban megoldhatja ezt a problémát.

A felsorolt ​​számok közül háromnak, nevezetesen a 8-nak, a - 946-nak és a 10 900-nak a végén 8, 6 és 0 található, ami azt jelenti, hogy 2-vel oszthatók.

A fennmaradó számok (53 és - 988 123 761) 3-ra és 1-re végződnek, ami azt jelenti, hogy nem oszthatók teljesen kettővel.

Válasz: 8 , − 946 és 10 900 osztható kettővel, de az összes többi megadott szám nem.

Ezt a funkciót széles körben használják olyan problémák esetén, amikor egy számot prímtényezőkre kell bontani. Oldjunk meg egy ilyen példát.

2. példa

Állapot: faktorizálja a 352-t prímtényezőkké.

Megoldás

Mivel az eredeti számban az utolsó számjegy 2, így az oszthatósági kritérium szerint maradék nélkül ketté tudjuk osztani. Tegyük ezt: 352: 2 = 176 és 352 = 2 176 . A kapott 176-os számot szintén elosztjuk kettővel: 176: 2 \u003d 88 és 176 \u003d 2 88. Ez a szám is felosztható: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44 és 352 \u003d 2 2 88 = 2 2 2 44. Folytatjuk a bővítést: 44: 2 \u003d 22 és 44 \u003d 2 22, tehát 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; akkor 22: 2 = 11, ahonnan 22 = 2 11 és 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Végül elértünk egy 2-vel nem osztható számhoz. A prímszámtáblázat azt mondja, hogy ez a szám prím, tehát itt ér véget a faktorizáció.

Válasz: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

A számok páros és páratlan felosztása pontosan azon alapul, hogy oszthatók-e 2-vel vagy sem. Az oszthatóság ezen jelének ismeretében azt mondhatjuk, hogy minden páros szám 0, 2, 4, 6 vagy 8-ra végződik, és minden páratlan szám 1, 3, 5, 7 vagy 9-re.

Hogyan bizonyíthatod a 2-vel való oszthatóság próbáját?

Mielőtt közvetlenül ennek a tulajdonságnak a bizonyításához kezdenénk, egy további állítást kell bizonyítanunk. Így van megfogalmazva:

2. definíció

Minden nullára végződő természetes szám maradék nélkül osztható kettővel.

A természetes szám 10-zel való szorzásának szabályát alkalmazva egy bizonyos a számot a = a 1 · 10-ként ábrázolhatunk. Szám egy 1, viszont az a-ból kapjuk meg, ha az utolsó számjegyet eltávolítjuk belőle.

Íme példák egy ilyen műveletre: 470 = 47 10, ahol a = 470 és a 1 = 47; vagy 38 010 10, itt a = 380 100 és a 1 = 38 010. Ebben a termékben a második tényező (10) osztható 2-vel, így a teljes termék osztható 2-vel. Ez az állítás az oszthatóság megfelelő tulajdonságán alapul.

Rátérünk a 2-vel osztható teszt bizonyítására. A kényelmesebbé tétel érdekében tételként mutatjuk be, i.e. mint szükséges és elégséges feltétele egy egész szám kettõvel való oszthatóságának.

1. tétel

Egy a egész szám kettővel való osztásához szükséges és elégséges feltétel, hogy az utolsó számjegy 0, 2, 4, 6 vagy 8 legyen.

1. bizonyíték

Hogyan lehet ezt az állítást bizonyítani? Először ábrázoljuk az eredeti a számot tízesek és egyesek összegeként, azaz. írjuk fel úgy, hogy a = a 1 10 + a 0 . Itt az 1 az a-ból kapott szám, amikor az utolsó számjegyet kihagyjuk, a 0 pedig ennek a számnak az utolsó számjegyének felel meg (a 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10 + 8 kifejezések is lehetnek példák ilyen ábrázolás). Munka egy 110, amelyet az a = a 1 · 10 + a 0 egyenlőségből vettünk, mindig osztható lesz kettővel, amit ezzel a tétellel mutatunk be.

A bizonyítás többi része az oszthatóság egy bizonyos tulajdonságára támaszkodik, nevezetesen: ha három olyan számunk van, amelyek a t = u + v egyenletet alkotják, és közülük kettő osztható egy z egész számmal, akkor a harmadik szám is osztható z .

Ha a osztható kettővel, akkor ennek a tulajdonságnak, valamint az a \u003d a 1 10 + a 0 ábrázolásnak megfelelően az a 0 szám osztva lesz kettővel, és ez csak akkor lehetséges, ha a 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 vagy nyolc .

És ha a nem osztható 2-vel, akkor ugyanazon tulajdonság alapján a szám egy 0 2-vel sem osztható, ami csak akkor lehetséges, ha a 0 = 1, 3, 5, 7 vagy 9. Ez a szükséges bizonyíték.

Most nézzük a fordított helyzetet. Ha van egy a számunk, amelynek utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8, akkor egy 0 osztva 2 . Meghatározott oszthatósági tulajdonság és ábrázolás a = a1 10 + a0 arra a következtetésre juthatunk, hogy a osztható vele 2 . Ha a utolsó számjegye 1, 3, 5, 7 vagy 9, akkor a 0 nem osztható 2 , tehát a szintén nem osztható vele 2 , különben maga az a = a 1 10 + a 0 ábrázolás osztható lenne 2 , ami lehetetlen. A feltétel elégséges volta bizonyított.

Végül megjegyezzük, hogy az 1, 3, 5, 7 vagy 9 utolsó számjegyű számok kettővel osztva mindig egy maradékot adnak.

Vegyük azt az esetet, amikor az adott szám ezen számjegyek valamelyikével végződik. Ekkor a-t ábrázolhatjuk a = b + 1-ként, ahol b utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8. Az oszthatóság kritériuma alapján 2 a b szám osztható 2 , ezért az oszthatóság definíciója szerint úgy is ábrázolható, hogy b = 2 · q , ahol q valamilyen egész szám. Azt kaptuk, hogy a = 2 q + 1 . Ez az ábrázolás azt mutatja, hogy amikor az a számot elosztjuk 2 az eredmény egy hiányos q hányados és 1 maradéka (ha szükséges, olvassa el újra az egész számok maradékkal való osztásáról szóló cikket).

A 2-vel való oszthatóság meghatározásának egyéb esetei

Ebben a bekezdésben azokat az eseteket elemezzük, amikor a 2-vel osztható számot nem közvetlenül adjuk meg, hanem a literális kifejezés valamely értéke határozza meg. Itt nem használhatjuk a fent megadott jelet, és ezt a kifejezést sem lehet közvetlenül 2-vel osztani. Tehát valami más megoldást kell találnunk.

Az ilyen problémák megoldására létezik egy megközelítés, amely az oszthatóság következő tulajdonságán alapul: az egész számok szorzata akkor osztható egy bizonyos számmal, ha legalább az egyik tényező osztható vele. Ezért, ha egy szó szerinti kifejezést különálló tényezők szorzatává tudunk alakítani, amelyek közül az egyik osztható kettővel, akkor bebizonyíthatjuk, hogy az eredeti kifejezés is osztható 2-vel.

A megadott kifejezés átalakításához használhatjuk a Newton-féle binomiális képletet. Nézzünk egy ilyen feladatot.

3. példa

Állapot: határozza meg, hogy a 3 n + 4 n - 1 kifejezés értéke osztható-e 2-vel valamilyen természetes n esetén.

Megoldás

Először is írjuk fel a 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 nyilvánvaló egyenlőséget. Most vesszük Newton binomiális képletét, alkalmazzuk, és egyszerűsítjük, amit kaptunk:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Az utolsó egyenlőségben a zárójelekből kiveszünk kettőt, és a következő egyenlőséget kapjuk:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

Ebben az egyenlőségben a jobb oldalt eloszthatja kettővel bármely n természetes értékéhez, mivel ott van egy 2-vel egyenlő tényező. Mivel a kifejezések között egyenlőségjel van, a bal oldalon is lehet osztani 2-vel.

Válasz: ez a kifejezés osztható 2-vel.

Az oszthatóság gyakran matematikai indukciós módszerrel igazolható. Vegyük ugyanazt a kifejezést, mint a fenti példában, és mutassuk meg, hogyan alkalmazzuk ezt a módszert a gyakorlatban.

4. példa

Állapot: nézd meg, hogy a 3 n + 4 n - 1 kifejezés osztható-e 2-vel n bármely természetes értékére.

Megoldás

Matematikai indukciót használunk. Először is bizonyítsuk be, hogy a 3 n + 4 n - 1 kifejezés értéke, ahol n egyenlő eggyel, osztható 2-vel. 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6 kapunk, a hat maradék nélkül osztható kettővel. Lépj tovább. Tegyük fel, hogy n egyenlő k-val, és tegyük fel, hogy 3 k + 4 k - 1 osztható kettővel.

Ezzel a feltevéssel igazoljuk, hogy 3 n + 4 n - 1 osztható 2-vel, ha ez lehetséges 3 k + 4 k - 1 esetén. Ennek bizonyításához több transzformációt kell végrehajtanunk.

3 3 k + 4 k - 1 osztható kettővel, mivel ez 3 k + 4 k - 1 esetén lehetséges, a 2 4 k - 3 kifejezés osztható 2-vel is, mert 2-es tényezője van, ami azt jelenti, hogy e két kifejezés különbsége is osztható 2-vel, amit az oszthatóság megfelelő tulajdonsága magyaráz.

Válasz: a 3 n + 4 n - 1 kifejezés osztható 2 - vel bármely természetes n esetén .

Külön foglalkozzunk azzal az esettel, amikor a szorzatban két, a természetes számsorban egymást követő szám van egymás mellett. Egy ilyen mű is két részre oszlik.

5. példa

Például egy olyan kifejezés, mint az (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6), osztható 2-vel n bármely természetes értékére, mivel olyan számokat tartalmaz, amelyek a természetes sorozatban egymás után következnek. n+6 és n+7.

Hasonlóképpen, ha van két tényező, amelyek között a természetes sorozat páros számú tagja van, akkor a szorzat osztható 2-vel. Tehát az (n + 1) (n + 6) értéket el kell osztani kettővel bármely természetes n esetén, mivel n + 5 és n + 6 között páros számú szám van: n + 2, n + 3, n + 4 és n + 5.

Kombináljuk mindazt, amiről az előző bekezdésekben beszéltünk. Ha kimutatható, hogy egy kifejezés értéke osztható kettővel, amikor n = 2 m, valamint at n = 2 m + 1és egy tetszőleges m egész szám, akkor ez annak a bizonyítéka, hogy az eredeti kifejezés osztható 2-vel n bármely egész értékére.

6. példa

Állapot: ellenőrizze, hogy a kifejezés osztható-e 2-vel n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 n bármely természeti értékére.

Megoldás

Először ezt a kifejezést (n + 2) 2 · (n + 3) szorzatként ábrázoljuk. Ha szükséges, ismételje meg a polinom helyes faktorizálását. Két szorzónk van n + 2és n + 3, amelyek a természetes sorozatban egymás mellett álló számoknak felelnek meg. Mindenesetre az egyik osztható 2-vel, ami azt jelenti, hogy a teljes szorzat is osztható 2-vel. Ugyanez vonatkozik az eredeti kifejezésre is.

Ennek a problémának van egy másik megoldása is. Ha egy n = 2 m, akkor n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3. Itt van egy négyes tényező, aminek köszönhetően a teljes szorzat osztható lesz 2-vel.

Ha n = 2 m + 1, akkor

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Itt van egy 2-es tényező, ami azt jelenti, hogy a teljes szorzat osztható 2-vel.

Válasz: ez a bizonyíték arra, hogy a kifejezés n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) n bármely természeti értékére osztható kettővel.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Kezdjük el a "A 3-mal oszthatóság jele" témával foglalkozni. Kezdjük az előjel megfogalmazásával, megadjuk a tétel bizonyítását. Ezután megvizsgáljuk a 3 számmal való oszthatóság megállapításának főbb módjait, amelyek értékét valamilyen kifejezés adja meg. A rész a főbb problématípusok megoldásának elemzését adja a 3-mal oszthatóság ismérvének alkalmazása alapján.

3-mal oszthatóság jele, példák

A 3-mal való oszthatóság előjele egyszerűen megfogalmazható: egy egész szám akkor lesz osztható 3-mal, ha a számjegyeinek összege osztható 3-mal. Ha az egész számot alkotó összes számjegy összértéke nem osztható 3-mal, akkor maga az eredeti szám nem osztható 3-mal. Egy egész szám összes számjegyének összegét természetes számok összeadásával kaphatja meg.

Most nézzünk példákat a 3-mal oszthatósági kritérium alkalmazására.

1. példa

A 42 osztható 3-mal?

Megoldás

A kérdés megválaszolásához adjuk össze a számot alkotó összes számot - 42: 4 + 2 = 6.

Válasz: az oszthatósági kritérium szerint, mivel az eredeti szám növekedésében szereplő számjegyek összege osztható hárommal, akkor maga az eredeti szám osztható 3-mal.

Annak a kérdésnek a megválaszolásához, hogy a 0 osztható-e 3-mal, szükségünk van az oszthatósági tulajdonságra, amely szerint a nulla bármely egész számmal osztható. Kiderült, hogy a nulla osztható hárommal.

Vannak olyan problémák, amelyek megoldásához többször is a 3-mal osztható kritériumhoz kell folyamodni.

2. példa

Mutasd meg a számot 907 444 812 osztható 3-mal.

Megoldás

Keressük meg az összes számjegy összegét, amelyek az eredeti szám rekordját alkotják: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Most meg kell határoznunk, hogy a 39 osztható-e 3-mal. Adja hozzá még egyszer az ezt a számot alkotó számokat: 3 + 9 = 12 . Nekünk marad a számok összeadása, hogy megkapjuk a végső választ: 1 + 2 = 3 . A 3-as szám osztható 3-mal

Válasz: eredeti szám 907 444 812 is osztható 3-mal.

3. példa

Osztható-e 3-mal − 543 205 ?

Megoldás

Számítsuk ki az eredeti számot alkotó számjegyek összegét: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Most számoljuk ki a kapott szám számjegyeinek összegét: 1 + 9 = 10 . A végső válasz érdekében nézzük meg még egy kiegészítés eredményét: 1 + 0 = 1 .
Válasz: Az 1 nem osztható 3-mal, így az eredeti szám sem osztható 3-mal.

Annak megállapításához, hogy egy adott szám osztható-e 3-mal maradék nélkül, eloszthatjuk az adott számot 3-mal. Ha elosztjuk a számot − 543 205 a fenti példából három oszloppal, akkor a válaszban nem kapunk egész számot. Ez is pontosan azt jelenti − 543 205 nem osztható 3-mal.

A 3-mal osztható teszt bizonyítása

Itt a következő készségekre van szükségünk: egy szám számjegyekre bontása és a 10-zel, 100-zal stb. való szorzás szabálya. A bizonyítás végrehajtásához meg kell szereznünk az űrlap a számának reprezentációját , ahol a n , a n − 1 , … , a 0- Ezek azok a számok, amelyek balról jobbra helyezkednek el a szám jelölésében.

Íme egy példa egy adott szám használatára: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Írjunk fel egyenlőségsorozatot: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 és így tovább.

Most cseréljük be ezeket az egyenlőségeket 10, 100 és 1000 helyett a korábban megadott egyenlőségekbe a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Elérkeztünk tehát az egyenlőséghez:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

És most alkalmazzuk az összeadás és a természetes számok szorzás tulajdonságait, hogy a kapott egyenlőséget a következőképpen írjuk át:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n +. . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n +. . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

Kifejezés a n +. . . + a 2 + a 1 + a 0 az eredeti a szám számjegyeinek összege. Vezessünk be egy új rövid jelölést DE. A következőt kapjuk: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

Ebben az esetben a számábrázolás a = 3 33 . . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A olyan alakot ölt, amely alkalmas a 3-mal való oszthatóság bizonyítására.

1. definíció

Most emlékezzünk az oszthatóság következő tulajdonságaira:

• szükséges és elégséges feltétele annak, hogy egy a egész szám osztható legyen egy egész számmal
  b , az a feltétel, amellyel az a szám modulusa osztható a b szám modulusával;
• ha egyenlőségben a = s + t minden tag, egy kivételével, osztható valamilyen b egész számmal, akkor ez az egy tag is osztható b-vel.

Lefektettük az alapot a 3-mal osztható teszt bizonyításához. Most fogalmazzuk meg ezt a kritériumot tétel formájában, és bizonyítsuk be.

1. tétel

Ahhoz, hogy kijelenthessük, hogy egy a egész szám osztható 3-mal, szükséges és elegendő számunkra, hogy az a szám rekordját alkotó számjegyek összege osztható 3-mal.

1. bizonyíték

Ha az értéket vesszük a = 0, akkor a tétel nyilvánvaló.

Ha nullától eltérő számot veszünk, akkor a abszolút értéke természetes szám lesz. Ez lehetővé teszi a következő egyenlőség felírását:

a = 3 33 . . . 3 a n +. . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , ahol A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - az a szám számjegyeinek összege.

Mivel az egész számok összege és szorzata egész szám, akkor
33 . . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 egész szám, akkor az oszthatóság definíciója szerint a szorzat 3 · 33 . . . 3 a n +. . . + 33 a 2 + 3 a 1 osztható 3 bármilyen a 0 , a 1 , … , a n.

Ha egy szám számjegyeinek összege a osztva 3 , vagyis A osztva 3 , akkor a tétel előtt jelzett oszthatósági tulajdonság alapján a osztható -vel 3 , Következésképpen a osztva 3 . Ez bizonyítja az elégségességet.

Ha egy a osztva 3 , akkor a osztható vele 3 , akkor ugyanazon oszthatósági tulajdonság miatt a szám
A osztva 3 , vagyis a szám számjegyeinek összege a osztva 3 . Ez bizonyítja a szükségességet.

A vele való oszthatóság egyéb esetei 3

Egész számok megadhatók valamilyen változót tartalmazó kifejezés értékeként, ha a változónak adott értéke van. Tehát valamilyen természetes n esetén a 4 n + 3 n - 1 kifejezés értéke természetes szám. Ebben az esetben a közvetlen osztás 3 nem adhat választ arra a kérdésre, hogy egy szám osztható-e vele 3 . Az oszthatósági teszt alkalmazása a 3 nehéz is lehet. Tekintsen példákat ilyen problémákra, és elemezze a megoldási módszereket.

Az ilyen problémák megoldására többféle megközelítés alkalmazható. Az egyik lényege a következő:

• az eredeti kifejezést több tényező termékeként ábrázolja;
• derítse ki, hogy legalább az egyik tényező osztható-e vele 3 ;
• az oszthatósági tulajdonság alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a teljes szorzat osztható vele 3 .

A megoldás során gyakran a Newton-féle binomiális képlethez kell folyamodni.

4. példa

Osztható-e a 4 n + 3 n - 1 kifejezés értéke 3 bármilyen természetes n?

Megoldás

Írjuk fel a 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 egyenlőséget. Alkalmazzuk a Newton-binomiális képletet:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Most pedig vegyük 3 a zárójeleken kívül: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . A kapott termék szorzót tartalmaz 3 , és a természetes n zárójelben lévő kifejezés értéke természetes szám. Ez lehetővé teszi, hogy kijelentsük, hogy a kapott szorzat és az eredeti 4 n + 3 n - 1 kifejezés osztható 3 .

Válasz: Igen.

Alkalmazhatjuk a matematikai indukció módszerét is.

5. példa

Bizonyítsa be a matematikai indukció módszerével, hogy bármely természetes
n az n n 2 + 5 kifejezés értéke osztható -val 3 .

Megoldás

Keresse meg az n n 2 + 5 kifejezés értékét for n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 osztható vele 3 .

Most tegyük fel, hogy az n n 2 + 5 kifejezés értéke for n=k osztva 3 . Valójában a k · k 2 + 5 kifejezéssel kell dolgoznunk, amely várhatóan osztható 3 .

Tekintettel arra, hogy k k 2 + 5 osztható vele 3 , mutassuk meg, hogy az n n 2 + 5 kifejezés értéke for n=k+1 osztva 3 , azaz megmutatjuk, hogy k + 1 k + 1 2 + 5 osztható -vel 3 .

Végezzük el az átalakításokat:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

A k (k 2 + 5) kifejezés osztható vele 3 a 3 k 2 + k + 2 kifejezés pedig osztható vele 3 , így ezek összege osztható vele 3 .

Tehát bebizonyítottuk, hogy az n (n 2 + 5) kifejezés értéke osztható -val 3 bármely természetes n .

Most elemezzük a vele való oszthatóság bizonyításának megközelítését 3 , amely a következő műveleti algoritmuson alapul:

• megmutatjuk, hogy ennek a kifejezésnek az értéke az n változóval n = 3 m , n = 3 m + 1 és n = 3 m + 2, ahol m egy tetszőleges egész szám, osztható vele 3 ;
• arra a következtetésre jutunk, hogy a kifejezés osztható lesz 3 bármely n egész számra.

Annak érdekében, hogy ne vonjuk el a figyelmet a kisebb részletekről, ezt az algoritmust alkalmazzuk az előző példa megoldására.

6. példa

Mutassuk meg, hogy n (n 2 + 5) osztható vele 3 bármely természetes n .

Megoldás

Tegyünk úgy, mintha n = 3 m. Ekkor: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. A kapott termék tartalmazza a szorzót 3 , tehát maga a szorzat osztható vele 3 .

Tegyünk úgy, mintha n = 3 m + 1. Akkor:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

A kapott terméket felosztjuk 3 .

Tegyük fel, hogy n = 3 · m + 2 . Akkor:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Ez a munka is fel van osztva 3 .

Válasz:Így bebizonyítottuk, hogy az n n 2 + 5 kifejezés osztható vele 3 bármely természetes n .

7. példa

Fel van osztva 3 a 10 3 n + 10 2 n + 1 kifejezés értéke valamilyen természetes n-re.

Megoldás

Tegyünk úgy, mintha n=1. Kapunk:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Tegyünk úgy, mintha n=2. Kapunk:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Ebből arra következtethetünk, hogy bármely természetes n-re olyan számokat kapunk, amelyek oszthatók 3-mal. Ez azt jelenti, hogy 10 3 n + 10 2 n + 1 osztható 3-mal bármely természetes n esetén.

Válasz: Igen

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

AZ OSZTHATÓSÁG JELEI számok - a legegyszerűbb kritériumok (szabályok), amelyek lehetővé teszik egyes természetes számok oszthatóságának (maradvány nélkül) megítélését másokkal. A számok oszthatóságának kérdését megoldva az oszthatóság jelei a kis számokkal végzett, általában az elmében végrehajtott műveletekre redukálódnak.
Mivel az általánosan elfogadott számrendszer alapja 10, a legegyszerűbbek és legáltalánosabbak a háromféle szám osztóira való oszthatóság jelei: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Az első típus - a 10 k szám osztóival való oszthatóság jelei, bármely N egész osztásához a 10 k szám tetszőleges q egész osztójával szükséges és elegendő, hogy az utolsó k számjegyű oldal (k számjegyvég) az N szám osztható q-val. Különösen (k \u003d 1, 2 és 3 esetén) a következő oszthatósági jeleket kapjuk a 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) és 10 3 \u003d 1000 számok osztóira (I 3):
én 1. 2, 5 és 10 - a szám egyjegyű végződésének (utolsó számjegyének) oszthatónak kell lennie 2-vel, 5-tel és 10-zel. Például a 80 110 szám osztható 2-vel, 5-tel és 10-zel, mivel az utolsó számjegy ennek a számnak a 0-ja osztható 2-vel, 5-tel és tízzel; A 37835 osztható 5-tel, de nem osztható 2-vel és 10-zel, mert az 5 utolsó számjegye osztható 5-tel, de nem osztható 2-vel és 10-zel.

én 2. 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 és 100-zal egy szám kétjegyű végének oszthatónak kell lennie 2-vel, 4-gyel, 5-tel, 10-nel, 20-mal, 25-tel, 50-nel és 100-zal. például a 7 840 700 szám osztható 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 és 100 számmal, mivel ennek a számnak a kétjegyű 00-as vége osztható 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 számmal. és 100; a 10 831 750 szám osztható 2-vel, 5-tel, 10-zel, 25-tel és 50-nel, de nem osztható 4-gyel, 20-zal és 100-zal, mivel ennek a számnak a kétjegyű 50-es vége osztható 2-vel, 5-tel, 10-tel, 25-tel és 50, de nem osztható 4-gyel, 20-zal és 100-zal.

én 3. 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 és 1000 esetén - a szám háromjegyű végét el kell osztani 2,4,5,8-cal ,10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 és 1000. Például a 675 081 000 szám osztható az ebben a jelben szereplő összes számmal, mivel a háromjegyű végződés a megadott szám 000-ét elosztjuk mindegyikkel; az 51 184 032 szám osztható 2-vel, 4-gyel és 8-cal, és nem osztható a többivel, mivel az adott szám háromjegyű 032-es vége csak 2-vel, 4-gyel és 8-cal osztható, a többivel nem.

A második típus - a 10 k - 1 szám osztóival való oszthatóság jelei: ahhoz, hogy bármely N egész szám osztható legyen a 10 k - 1 szám bármely q egész osztójával, szükséges és elegendő, hogy a k számjegyű lapok összege az N szám osztható q-val. Konkrétan (k = 1, 2 és 3 esetén) a következő oszthatósági jeleket kapjuk a 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) és 10 3 - 1 számok osztóira = 999 (II 3):
II 1 . 3-mal és 9-cel - a szám számjegyeinek (egyjegyű lapjainak) összegének oszthatónak kell lennie 3-mal, illetve 9-cel. Például az 510 887 250 szám osztható 3-mal és 9-cel, mivel a számjegyek összege 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (és 3+6=9) ebből a számból osztható 3-mal és 9-cel; a 4 712 586 szám osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel, mivel ennek a számnak a 4+7+1+2+5+8+6=33 (és 3+3=6) számjegyeinek összege osztható 3-mal, de nem osztható 9-cel.

II 2. 3-mal, 9-cel, 11-gyel, 33-mal és 99-cel - a szám kétjegyű lapjainak összegének oszthatónak kell lennie 3-mal, 9-cel, 11-gyel, 33-mal és 99-cel. Például a 396 198 297 szám osztható 3-mal , 9, 11, 33 és 99, mivel a 3+96+19+ +82+97=297 (és 2+97=99) kétszámjegyű lapok összege osztható 3-mal, 9,11-gyel, 33-mal és 99-cel; a 7 265 286 303 szám osztható 3-mal, 11-gyel és 33-mal, de nem osztható 9-cel és 99-cel, mivel a kétjegyű lapok összege 72+65+28+63+03=231 (és 2+31= 33) ennek a számnak osztható 3-mal, 11-gyel és 33-mal, és nem osztható 9-cel és 99-cel.

II 3. 3, 9, 27, 37, 111, 333 és 999 - a szám háromjegyű lapjainak összegének oszthatónak kell lennie 3-mal, 9-cel, 27-tel, 37-tel, 111-gyel, 333-mal és 999-cel. a 354 645 871 128 szám osztható mindazokkal, amelyek ebben a számjelben szerepelnek, mivel ennek a számnak a 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (és 1 + 998 = 999) háromjegyű lapjainak összege osztható mindegyikük.

A harmadik típus - a 10 k + 1 szám osztóira való oszthatóság kritériumai: ahhoz, hogy bármely N egész szám osztható legyen a 10 k + 1 szám bármely q egész osztójával, szükséges és elegendő, hogy a k összege közötti különbség -páros helyeken az N-ben lévő számjegylapok, a páratlan helyeken pedig az N-ben lévő k számjegyű lapok összegét elosztjuk q-val. Különösen (k \u003d 1, 2 és 3 esetén) a következő oszthatósági jeleket kapjuk a 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) és 10 számok osztóira 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . 11-gyel - a páros helyeken lévő számjegyek (egyjegyű lapok) és a páratlan helyeken lévő számjegyek (egyjegyű lapok) összege közötti különbségnek oszthatónak kell lennie 11-gyel. Például a 876 583 598 szám osztható 11, mivel a különbség 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (és 1 - 1=0) a páros helyeken lévő számjegyek összege és a páratlan helyeken lévő számjegyek összege között osztható 11-gyel.

III 2. 101-gyel - a páros helyeken lévő kétszámjegyű lapok összege és a páratlan helyeken lévő kétszámjegyű lapok összege közötti különbségnek oszthatónak kell lennie 101-gyel. Például a 8 130 197 szám osztható 101-gyel, mivel a különbség 8-13 + 01-97 = 101 (és 1-01=0) ebben a számban a páros helyeken lévő kétjegyű lapok összege és a páratlan helyeken lévő kétjegyű lapok összege között osztható 101-gyel.

III 3. 7, 11, 13, 77, 91, 143 és 1001 - a páros helyeken lévő háromjegyű lapok összege és a páratlan helyen lévő háromjegyű lapok összege közötti különbséget el kell osztani 7-tel, 11-gyel, 13-mal, 77-tel Például az 539 693 385 szám osztható 7-tel, 11-gyel és 77-tel, de nem osztható 13-mal, 91-gyel, 143-mal és 1001-gyel, mivel az 539 - 693+385=231 osztható 7, 11 és 77 és nem osztható 13-mal, 91-gyel, 143-mal és 1001-gyel.

Vannak olyan jelek, amelyekkel néha osztás nélkül is könnyen megállapítható, hogy egy adott szám osztható-e vagy nem osztható-e más számokkal.

A 2-vel osztható számokat nevezzük még. A nulla szám is páros szám. Az összes többi számot hívják páratlan:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - páros,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... páratlan.

Az oszthatóság jelei

2-vel oszthatóság jele. Egy szám akkor osztható 2-vel, ha az utolsó számjegye páros. Például a 4376 szám osztható 2-vel, mert az utolsó számjegy (6) páros.

3-mal oszthatóság jele. Csak azok a számok oszthatók 3-mal, amelyek számjegyeinek összege osztható 3-mal. Például az 10815 szám osztható 3-mal, mivel az 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 számjegyeinek összege osztható 3-mal.

A 4-gyel oszthatóság jelei. Egy szám osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegye nulla, vagy olyan számot alkot, amely osztható 4-gyel. Például a 244500 szám osztható 4-gyel, mert két nullára végződik. Az 14708 és 7524 számok oszthatók 4-gyel, mert ezeknek a számoknak az utolsó két számjegye (08 és 24) osztható 4-gyel.

Az 5-tel oszthatóság jelei. A 0-ra vagy 5-re végződő számok oszthatók 5-tel. Például a 320-as szám osztható 5-tel, mert az utolsó számjegy 0.

6-tal oszthatóság jele. Egy szám osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal is. Például a 912 szám osztható 6-tal, mert osztható 2-vel és 3-mal is.

A 8-cal való oszthatóság jelei. 8-cal oszthatók azok a számok, amelyekben az utolsó három számjegy nulla, vagy 8-cal osztható számot alkot. Például a 27000 szám osztható 8-cal, mivel három nullára végződik. A 63128 szám osztható 8-cal, mert az utolsó három számjegy alkotja a (128) számot, amely osztható 8-cal.

9-cel oszthatóság jele. Csak azok a számok oszthatók 9-cel, amelyek számjegyeinek összege osztható 9-cel. Például a 2637 szám osztható 9-cel, mivel a 2 + 6 + 3 + 7 = 18 számjegyeinek összege osztható 9-cel.

Az oszthatóság jelei 10, 100, 1000 stb. A 10, 100, 1000 és így tovább oszthatók azokkal a számokkal, amelyek rendre egy nullára, két nullára, három nullára végződnek, és így tovább. Például a 3800-as szám osztható 10-zel és 100-zal.

3-mal oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 3-mal, ha számjegyeinek összege osztható 3-mal.

4 előjellel való oszthatóság
Egy szám akkor és csak akkor osztható 4-gyel, ha az utolsó két számjegye nulla vagy osztható 4-gyel.

5-tel oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 5-tel, ha az utolsó számjegy osztható 5-tel (azaz egyenlő 0-val vagy 5-tel).

6-tal oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 6-tal, ha osztható 2-vel és 3-mal.

7-tel oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 7-tel, ha az utolsó számjegy nélküli számból az utolsó számjegy kétszeresének kivonása osztható 7-tel (például a 259 osztható 7-tel, mivel a 25 - (2 9) = 7 osztható által 7).

8-cal való oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 8-cal, ha az utolsó három számjegye nulla, vagy 8-cal osztható számot alkot.

9-cel oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 9-cel, ha számjegyeinek összege osztható 9-cel.

10-zel való oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 10-zel, ha nullára végződik.

11-gyel osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 11-gyel, ha a váltakozó előjelű számjegyek összege osztható 11-gyel (azaz 182919 osztható 11-gyel, mivel 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 osztható 11) - annak a ténynek a következménye, hogy minden 10 n alakú szám 11-gyel osztva (-1) n maradékot ad.

12-vel osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 12-vel, ha osztható 3-mal és 4-gyel.

13-mal osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 13-mal, ha a tízeseinek száma az egységek számának négyszereséhez hozzáadva 13 többszöröse (például 845 osztható 13-mal, mivel a 84 + (4 5) = 104 osztható 13-mal).

14-gyel osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 14-gyel, ha osztható 2-vel és 7-tel.

15-tel osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 15-tel, ha osztható 3-mal és 5-tel.

17-tel osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 17-tel, ha a tízeseinek száma a 12-vel növelt egységek számához hozzáadva 17 többszöröse (például 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Mivel a 34 osztható 17-tel, így a 29053 is osztható 17-tel). A jel nem mindig kényelmes, de van egy bizonyos jelentése a matematikában. Van egy kicsit egyszerűbb módszer: Egy szám akkor és csak akkor osztható 17-tel, ha a tízeseinek száma és az egységek számának ötszöröse közötti különbség 17 többszöröse (például 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. mivel a 15 nem osztható 17-tel, így a 32952 sem osztható 17-tel)

19-cel oszthatóság jele
Egy szám akkor és csak akkor osztható 19-cel, ha tízeseinek száma az egységek kétszereséhez hozzáadva 19 többszöröse (például a 646 osztható 19-cel, mivel a 64 + (6 2) = 76 osztható 19-ig).

23-mal osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 23-mal, ha százai plusz hármasa tízei többszöröse 23-nak (például a 28842 osztható 23-mal, mivel 288 + (3 * 42) = 414 folytatódik 4 + (3 * 14) = 46 nyilvánvalóan osztható 23-mal).

25-tel osztható jel
Egy szám akkor és csak akkor osztható 25-tel, ha az utolsó két számjegye osztható 25-tel (azaz 00, 25, 50 vagy 75), vagy ha a szám 5 többszöröse.

99-cel oszthatóság jele
A számot jobbról balra 2 jegyű csoportokra osztjuk (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és megkeressük ezeknek a csoportoknak az összegét, tekintve őket kétjegyű számoknak. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 99-cel, ha maga a szám osztható 99-cel.

101-gyel osztható jel
A számot jobbról balra 2 jegyű csoportokra osztjuk (a bal szélső csoport egyjegyű lehet), és megkeressük ezeknek a változó előjelű csoportoknak az összegét, kétjegyű számoknak tekintve. Ez az összeg akkor és csak akkor osztható 101-gyel, ha maga a szám osztható 101-gyel. Például 590547 osztható 101-gyel, mivel az 59-05+47=101 osztható 101-gyel.