Kas yra teigiamas sveikasis skaičius. Skaičiai

Šiame straipsnyje pateikta informacija formuojasi bendra idėja apie Sveiki skaičiai. Pirma, pateikiamas sveikųjų skaičių apibrėžimas ir pateikti pavyzdžiai. Toliau nagrinėjami sveikieji skaičiai skaičių eilutėje, iš kurių paaiškėja, kurie skaičiai vadinami teigiamais, o kurie – neigiamais sveikaisiais skaičiais. Po to parodoma, kaip dydžių pokyčiai apibūdinami naudojant sveikuosius skaičius, o neigiami sveikieji skaičiai laikomi skolos prasme.

Puslapio naršymas.

Sveikieji skaičiai – apibrėžimas ir pavyzdžiai

Apibrėžimas.

Sveiki skaičiai yra natūralūs skaičiai, skaičius nulis, taip pat skaičiai, priešingi natūraliems.

Sveikųjų skaičių apibrėžimas teigia, kad bet kuris iš skaičių 1, 2, 3, …, skaičius 0, taip pat bet kuris skaičius −1, −2, −3, … yra sveikasis skaičius. Dabar galime lengvai atnešti sveikųjų skaičių pavyzdžiai. Pavyzdžiui, skaičius 38 yra sveikas skaičius, skaičius 70 040 taip pat yra sveikas skaičius, nulis yra sveikas skaičius (prisiminkime, kad nulis NĖRA natūralusis skaičius, nulis yra sveikas skaičius), skaičiai –999 , –1 , –8 934 832 taip pat yra sveikųjų skaičių pavyzdžiai.

Visus sveikuosius skaičius patogu pavaizduoti kaip sveikųjų skaičių seką, kurios forma yra tokia: 0, ±1, ±2, ±3, … Sveikųjų skaičių seką taip pat galima parašyti taip: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Iš sveikųjų skaičių apibrėžimo matyti, kad natūraliųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių aibės poaibis. Todėl kiekvienas natūralusis skaičius yra sveikasis skaičius, bet ne kiekvienas sveikas skaičius yra natūralusis skaičius.

Sveikieji skaičiai koordinačių tiesėje

Apibrėžimas.

Sveikieji teigiami skaičiai yra sveikieji skaičiai, didesni už nulį.

Apibrėžimas.

Sveikieji neigiami skaičiai yra sveikieji skaičiai, mažesni už nulį.

Sveikieji teigiami ir neigiami skaičiai taip pat gali būti nustatyti pagal jų vietą koordinačių tiesėje. Horizontalioje koordinačių linijoje taškai, kurių koordinatės yra teigiami sveikieji skaičiai, yra į dešinę nuo pradžios. Savo ruožtu taškai su neigiamomis sveikųjų skaičių koordinatėmis yra taško O kairėje.

Akivaizdu, kad visų teigiamų sveikųjų skaičių aibė yra natūraliųjų skaičių aibė. Savo ruožtu visų neigiamų sveikųjų skaičių aibė yra visų skaičių, priešingų natūraliems skaičiams, aibė.

Atskirai atkreipiame jūsų dėmesį į tai, kad bet kurį natūralųjį skaičių galime drąsiai vadinti sveikuoju skaičiumi, o NEGALIMA pavadinti bet kurio sveikojo skaičiaus natūraliuoju skaičiumi. Natūraliu galime vadinti tik bet kurį teigiamą sveikąjį skaičių, nes neigiami sveikieji skaičiai ir nulis nėra natūralūs.

Sveikieji neteigiami ir sveikieji neneigiami skaičiai

Pateiksime neteigiamų ir neneigiamų sveikųjų skaičių apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Visi teigiami sveikieji skaičiai kartu su nuliu vadinami sveikieji neneigiami skaičiai.

Apibrėžimas.

Sveikieji skaičiai, kurie nėra teigiami yra visi neigiami sveikieji skaičiai kartu su skaičiumi 0 .

Kitaip tariant, neneigiamas sveikasis skaičius yra sveikasis skaičius, didesnis arba lygus nuliui, o neteigiamas sveikasis skaičius yra mažesnis arba lygus nuliui.

Neteigiamų sveikųjų skaičių pavyzdžiai yra skaičiai -511, -10 030, 0, -2, o kaip neneigiamų sveikųjų skaičių pavyzdžius pateikime skaičius 45, 506, 0, 900 321.

Dažniausiai terminai „neteigiami sveikieji skaičiai“ ir „neneigiami sveikieji skaičiai“ vartojami trumpumui. Pavyzdžiui, vietoj frazės „skaičius a yra sveikas skaičius, o a yra didesnis už nulį arba lygus nuliui“, galite pasakyti „a yra neneigiamas sveikasis skaičius“.

Vertybių keitimo naudojant sveikuosius skaičius aprašymas

Atėjo laikas pakalbėti apie tai, kam skirti sveikieji skaičiai.

Pagrindinė sveikųjų skaičių paskirtis yra ta, kad jų pagalba būtų patogu apibūdinti bet kokių elementų skaičiaus pokytį. Panagrinėkime tai su pavyzdžiais.

Tarkime, kad sandėlyje yra tam tikras kiekis dalių. Jei, pavyzdžiui, į sandėlį bus atvežta dar 400 detalių, tai detalių skaičius sandėlyje padidės, o skaičius 400 išreiškia šį kiekio pokytį teigiama kryptimi (didėjimo kryptimi). Jei, pavyzdžiui, iš sandėlio paimama 100 dalių, tai sandėlyje esančių dalių skaičius sumažės, o skaičius 100 išreikš kiekio kitimą neigiama kryptimi (mažėjimo kryptimi). Jokios detalės į sandėlį nebus atvežtos ir iš sandėlio nebus išvežtos, tada galima kalbėti apie dalių skaičiaus nekintamumą (tai yra, galima kalbėti apie nulinį kiekio pokytį).

Pateiktuose pavyzdžiuose dalių skaičiaus pokytį galima apibūdinti naudojant atitinkamai sveikuosius skaičius 400 , -100 ir 0. Teigiamas sveikasis skaičius 400 rodo teigiamą kiekio pokytį (padidėjimą). Neigiamas sveikasis skaičius −100 išreiškia neigiamą kiekio pokytį (sumažėjimą). Sveikasis skaičius 0 rodo, kad kiekis nepasikeitė.

Patogumas naudojant sveikuosius skaičius, palyginti su natūraliųjų skaičių naudojimu, yra tas, kad nereikia aiškiai nurodyti, ar kiekis didėja, ar mažėja – sveikasis skaičius nurodo pokytį kiekybiškai, o sveikojo skaičiaus ženklas rodo pokyčio kryptį.

Taip pat sveikieji skaičiai gali išreikšti ne tik kiekio, bet ir kokios nors reikšmės pasikeitimą. Išspręskime tai naudodami temperatūros pokyčių pavyzdį.

Temperatūros padidėjimas, tarkime, 4 laipsniais, išreiškiamas kaip teigiamas sveikasis skaičius 4 . Temperatūros sumažėjimas, pavyzdžiui, 12 laipsnių, gali būti apibūdintas neigiamu sveikuoju skaičiumi –12. O temperatūros invariantas yra jos pokytis, nustatomas sveikuoju skaičiumi 0.

Atskirai reikia pasakyti apie neigiamų sveikųjų skaičių kaip skolos dydžio interpretavimą. Pavyzdžiui, jei turime 3 obuolius, teigiamas sveikasis skaičius 3 reiškia mums priklausančių obuolių skaičių. Kita vertus, jei kam nors turime duoti 5 obuolius, o jų neturime, tuomet šią situaciją galima apibūdinti naudojant neigiamą sveikąjį skaičių −5. Šiuo atveju mums „priklauso“ −5 obuoliai, minuso ženklas rodo skolą, o skaičius 5 – skolą.

Neigiamojo sveikojo skaičiaus supratimas kaip skola leidžia, pavyzdžiui, pagrįsti neigiamų sveikųjų skaičių pridėjimo taisyklę. Paimkime pavyzdį. Jei kas nors vienam žmogui skolingas 2 obuolius, o kitam – vieną, tai bendra skola yra 2+1=3 obuoliai, taigi −2+(−1)=−3 .

Bibliografija.

• Vilenkinas N.Ya. ir tt Matematika. 6 klasė: vadovėlis ugdymo įstaigoms.

Skaičius– svarbiausia per šimtmečius keitusi matematinė sąvoka.

Pirmosios idėjos apie skaičių kilo skaičiuojant žmones, gyvūnus, vaisius, įvairius produktus ir kt. Rezultatas yra natūralieji skaičiai: 1, 2, 3, 4, ...

Istoriškai pirmasis skaičiaus sąvokos išplėtimas yra trupmeninių skaičių pridėjimas prie natūraliojo skaičiaus.

Nušautas vadinama vieneto dalimi (akcija) arba keliomis lygiomis jo dalimis.

Paskirta: , kur m,n- Sveiki skaičiai;

Trupmenos su vardikliu 10 n, kur n yra sveikasis skaičius, jie vadinami dešimtainis: .

Tarp dešimtainių trupmenų ypatingą vietą užima periodinės trupmenos: - gryna periodinė trupmena, - mišri periodinė trupmena.

Tolimesnį skaičiaus sampratos išplėtimą jau sukelia pačios matematikos (algebros) raida. Dekartas XVII a pristato koncepciją neigiamas skaičius.

Vadinami sveikieji skaičiai (teigiami ir neigiami), trupmeniniai (teigiami ir neigiami) ir nuliai racionalūs numeriai. Bet kurį racionalųjį skaičių galima parašyti kaip baigtinę ir periodinę trupmeną.

Norint ištirti nuolat kintančius kintamuosius, paaiškėjo, kad reikia išplėsti skaičiaus sampratą - realiųjų (realiųjų) skaičių įvedimą - prie racionaliųjų skaičių pridedant neracionalius skaičius: neracionalūs skaičiai yra begalinės dešimtainės neperiodinės trupmenos.

Iracionalūs skaičiai atsirado matuojant nesulyginamus atkarpas (kvadrato kraštinę ir įstrižainę), algebroje - išskiriant šaknis, transcendentinio, neracionalaus skaičiaus pavyzdys yra π, e .

Skaičiai natūralus(1, 2, 3,...), visas(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionalus(pavaizduota trupmena) ir neracionalus(nepateikiama kaip trupmena ) suformuoti rinkinį tikras (tikras) numeriai.

Atskirai matematikoje išskiriami kompleksiniai skaičiai.

Sudėtingi skaičiai kyla dėl bylos kvadratų sprendimo problemos D< 0 (здесь D yra kvadratinės lygties diskriminantas). Ilgą laiką šie skaičiai nerado fizinio panaudojimo, todėl buvo vadinami „įsivaizduojamais“ skaičiais. Tačiau dabar jie itin plačiai naudojami įvairiose fizikos ir technologijų srityse: elektrotechnikoje, hidro- ir aerodinamikoje, tamprumo teorijoje ir kt.

Sudėtingi skaičiai rašomi taip: z= a+ bi. čia a ir b – realūs skaičiai, a i – įsivaizduojamas vienetas.e. i 2 = -vienas. Skaičius a paskambino abscisė, a b-ordinatės kompleksinis skaičius a+ bi. Du kompleksiniai skaičiai a+ bi ir a-bi paskambino konjugatas kompleksiniai skaičiai.

Savybės:

1. Tikrasis skaičius a taip pat gali būti parašytas kaip kompleksinis skaičius: a+ 0i arba a - 0i. Pavyzdžiui, 5 + 0 i ir 5-0 i reiškia tą patį skaičių 5 .

2. Kompleksinis skaičius 0 + bi paskambino grynai įsivaizduojamas numerį. Įrašymas bi reiškia tą patį kaip 0 + bi.

3. Du kompleksiniai skaičiai a+ bi ir c+ di laikomi lygiaverčiais, jei a= c ir b= d. Priešingu atveju kompleksiniai skaičiai nėra lygūs.

Veiksmai:

Papildymas. Kompleksinių skaičių suma a+ bi ir c+ di vadinamas kompleksiniu skaičiumi ( a+ c) + (b+ d)i. Šiuo būdu, sudedant kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės pridedamos atskirai.

Atimtis. Skirtumas tarp dviejų kompleksinių skaičių a+ bi(sumažintas) ir c+ di(atimtas) vadinamas kompleksiniu skaičiumi ( a-c) + (b-d)i. Šiuo būdu, atimant du kompleksinius skaičius, jų abscisės ir ordinatės atimamos atskirai.

Daugyba. Kompleksinių skaičių sandauga a+ bi ir c+ di vadinamas kompleksiniu skaičiumi.

(ac-bd) + (Reklama+ pr. Kr)i. Šis apibrėžimas kyla iš dviejų reikalavimų:

1) skaičiai a+ bi ir c+ di turi daugintis kaip algebriniai dvejetainiai,

2) skaičius i turi pagrindinę savybę: i 2 = –1.

PAVYZDYS ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . Vadinasi, dirbtidviejų konjuguotų kompleksinių skaičių yra lygus teigiamam realiajam skaičiui.

Padalinys. Padalinkite kompleksinį skaičių a+ bi(dalomas) į kitą c+ di (daliklis) - reiškia surasti trečiąjį skaičių e+ fi(pokalbis), kurį padauginus iš daliklio c+ di, dėl ko gaunamas dividendas a+ bi. Jei daliklis nėra nulis, dalyba visada galima.

PAVYZDYS Rasti (8+ i) : (2 – 3i) .

Sprendimas. Perrašykime šį santykį į trupmeną:

Jo skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš 2 + 3 i ir atlikę visas transformacijas, gauname:

1 užduotis: Sudėkite, atimkite, padauginkite ir padalykite z 1 iki z 2

Kvadratinės šaknies ištraukimas: Išspręskite lygtį x 2 = -a. Norėdami išspręsti šią lygtį esame priversti naudoti naujo tipo skaičius - menami skaičiai . Šiuo būdu, įsivaizduojamas skambinama numeriu kurio antroji laipsnis yra neigiamas skaičius. Pagal šį įsivaizduojamų skaičių apibrėžimą galime apibrėžti ir įsivaizduojamas vienetas:

Tada dėl lygties x 2 = - 25 gauname du įsivaizduojamasšaknis:

2 užduotis: Išspręskite lygtį:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas. Tikrieji skaičiai žymimi taškais skaičių eilutėje:

Čia yra esmė A reiškia skaičių -3, tašką B yra skaičius 2 ir O- nulis. Priešingai, kompleksiniai skaičiai vaizduojami taškais koordinačių plokštumoje. Tam pasirenkame stačiakampes (Dekarto) koordinates su vienodomis mastelėmis abiejose ašyse. Tada kompleksinis skaičius a+ bi bus pavaizduotas tašku P su abscisėmisa ir ordinateb. Ši koordinačių sistema vadinama sudėtinga plokštuma .

modulis kompleksinis skaičius vadinamas vektoriaus ilgiu OP, vaizduojantis kompleksinį skaičių koordinatėje ( visapusiškas) lėktuvas. Kompleksinio skaičiaus modulis a+ bižymimas | a+ bi| arba) laiškas r ir yra lygus:

Konjuguoti kompleksiniai skaičiai turi tą patį modulį.

Brėžinio sudarymo taisyklės yra beveik tokios pačios kaip ir brėžinio Dekarto koordinačių sistemoje. Išilgai ašių reikia nustatyti matmenis, atkreipkite dėmesį:

e
vienetas išilgai tikrosios ašies; Rez

įsivaizduojamas vienetas išilgai įsivaizduojamos ašies. aš z

3 užduotis. Kompleksinėje plokštumoje sukonstruokite šiuos kompleksinius skaičius: , , , , , , ,

1. Skaičiai yra tikslūs ir apytiksliai. Skaičiai, su kuriais susiduriame praktiškai, yra dviejų rūšių. Vieni pateikia tikrąją kiekio vertę, kiti tik apytikslę. Pirmasis vadinamas tiksliu, antrasis - apytikslis. Dažniausiai vietoj tikslaus skaičiaus patogu naudoti apytikslį skaičių, juolab kad daugeliu atvejų tikslaus skaičiaus iš viso nepavyksta rasti.

Taigi, jei jie sako, kad klasėje yra 29 mokiniai, tada skaičius 29 yra tikslus. Jei sakoma, kad atstumas nuo Maskvos iki Kijevo yra 960 km, tai čia skaičius 960 yra apytikslis, nes, viena vertus, mūsų matavimo prietaisai nėra visiškai tikslūs, kita vertus, patys miestai turi tam tikrą mastą.

Operacijų su apytiksliais skaičiais rezultatas taip pat yra apytikslis skaičius. Atlikdami kai kurias operacijas su tiksliais skaičiais (dalydami, ištraukę šaknį), galite gauti ir apytikslius skaičius.

Apytikslių skaičiavimų teorija leidžia:

1) žinodamas duomenų tikslumo laipsnį, įvertinti rezultatų tikslumo laipsnį;

2) imti duomenis su atitinkamu tikslumu, pakankamu užtikrinti reikiamą rezultato tikslumą;

3) racionalizuoti skaičiavimo procesą, išlaisvinant jį nuo tų skaičiavimų, kurie neturės įtakos rezultato tikslumui.

2. Apvalinimas. Vienas apytikslių skaičių šaltinis yra apvalinimas. Suapvalinkite apytikslius ir tikslius skaičius.

Duoto skaičiaus suapvalinimas iki kai kurių jo skaitmenų yra jo pakeitimas nauju skaičiumi, kuris gaunamas iš duoto, išmetant visus jo skaitmenis, įrašytus dešinėje šio skaitmens skaitmens, arba pakeičiant juos nuliais. Šie nuliai paprastai yra pabraukti arba rašomi mažesni. Siekiant užtikrinti, kad suapvalintas skaičius būtų kuo arčiausiai suapvalintas, reikia laikytis šių taisyklių: norėdami suapvalinti skaičių iki tam tikro skaitmens vieneto, turite išmesti visus skaitmenis po šio skaitmens skaitmens ir pakeisti juos su nuliais visame skaičiuje. Tai atsižvelgia į šiuos dalykus:

1) jei pirmasis (kairysis) iš išmestų skaitmenų yra mažesnis nei 5, tai paskutinis likęs skaitmuo nekeičiamas (apvalinamas žemyn);

2) jei pirmasis išmestas skaitmuo yra didesnis nei 5 arba lygus 5, tai paskutinis likęs skaitmuo padidinamas vienu (apvalinamas).

Parodykime tai pavyzdžiais. Suapvalinti:

a) iki dešimtųjų 12.34 val.;

b) iki šimtosios dalies 3,2465; 1038.785;

c) iki 3,4335 tūkstantųjų dalių.

d) iki 12375 tūkst.; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Absoliučios ir santykinės paklaidos. Skirtumas tarp tikslaus skaičiaus ir jo apytikslės reikšmės vadinamas absoliučia apytikslio skaičiaus paklaida. Pavyzdžiui, jei tikslus skaičius 1,214 yra suapvalintas iki dešimtųjų, gauname apytikslį skaičių 1,2. Šiuo atveju apytikslio skaičiaus 1,2 absoliuti paklaida yra 1,214 - 1,2, t.y. 0,014.

Tačiau daugeliu atvejų tiksli vertė laikoma vertė nežinoma, bet tik apytikslė. Tada absoliuti klaida taip pat nežinoma. Tokiais atvejais nurodykite ribą, kurios ji neviršija. Šis skaičius vadinamas ribine absoliučia paklaida. Jie sako, kad tiksli skaičiaus reikšmė yra lygi jo apytikslei vertei, o paklaida yra mažesnė už ribos paklaidą. Pavyzdžiui, skaičius 23,71 yra apytikslė skaičiaus 23,7125 reikšmė, kurios tikslumas yra 0,01, nes absoliuti aproksimavimo paklaida yra 0,0025 ir mažesnė nei 0,01. Čia ribos absoliuti paklaida yra lygi 0,01 * .

Apytikslio skaičiaus ribinė absoliuti paklaida ažymimas simboliu Δ a. Įrašymas

x≈a(±Δ a)

turėtų būti suprantama taip: tiksli kiekio vertė x yra tarp a– Δ a ir a+ Δ a, kurios atitinkamai vadinamos apatine ir viršutine ribomis. X ir žymi NG x VG X.

Pavyzdžiui, jei x≈ 2,3 (±0,1), tada 2,2<x< 2,4.

Ir atvirkščiai, jei 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (± 0,05). Absoliuti ar ribinė absoliuti paklaida nebūdinga matavimo kokybei. Ta pati absoliuti paklaida gali būti laikoma reikšminga ir nereikšminga, atsižvelgiant į skaičių, išreiškiantį išmatuotą vertę. Pavyzdžiui, jei atstumą tarp dviejų miestų matuojame vieno kilometro tikslumu, tai tokio tikslumo šiam pokyčiui visiškai pakanka, tuo tarpu matuojant atstumą tarp dviejų toje pačioje gatvėje esančių namų, toks tikslumas bus nepriimtina. Todėl dydžio apytikslės reikšmės tikslumas priklauso ne tik nuo absoliučios paklaidos dydžio, bet ir nuo išmatuoto dydžio vertės. Todėl tikslumo matas yra santykinė paklaida.

Santykinė paklaida – tai absoliučios paklaidos ir apytikslio skaičiaus reikšmės santykis. Ribinės absoliučios paklaidos santykis su apytiksliu skaičiumi vadinamas ribine santykine paklaida; pažymėkite taip: Santykinės ir ribinės santykinės paklaidos dažniausiai išreiškiamos procentais. Pavyzdžiui, jei matavimai rodo, kad atstumas X tarp dviejų taškų yra didesnis nei 12,3 km, bet mažesnis nei 12,7 km, tada šių dviejų skaičių aritmetinis vidurkis imamas kaip apytikslis dydis, t.y. jų pusinės sumos, tada ribinė absoliuti paklaida yra lygi šių skaičių pusės skirtumui. Tokiu atveju X≈ 12,5 (± 0,2). Čia ribos absoliuti paklaida yra 0,2 km, o ribos santykinė

1) Daliju iš karto iš, nes abu skaičiai dalijasi 100% iš:

2) Padalinsiu iš likusių didelių skaičių (-ių), nes jie dalijami be likučio (tuo pačiu neskirsiu - tai jau bendras daliklis):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Paliksiu vienas ir pradėsiu svarstyti skaičius ir. Abu skaičiai tiksliai dalijasi iš (pabaiga lyginiais skaitmenimis (šiuo atveju pateikiame kaip, bet galime dalytis iš)):

4) Dirbame su skaičiais ir. Ar jie turi bendrų daliklių? Tai taip pat paprasta, kaip ir ankstesniuose žingsniuose, ir jūs negalite pasakyti, todėl mes tiesiog išskaidysime juos į paprastus veiksnius:

5) Kaip matome, buvome teisūs: ir neturime bendrų daliklių, o dabar reikia dauginti.
GCD

Užduotis numeris 2. Raskite skaičių 345 ir 324 GCD

Negaliu greitai rasti bent vieno bendro daliklio, todėl aš tiesiog suskaidu į pirminius veiksnius (kuo mažiau):

Būtent, GCD, ir aš iš pradžių netikrinau dalijimosi kriterijaus ir, ko gero, man nereikės tiek daug veiksmų.

Bet tu patikrinai, ar ne?

Kaip matote, tai gana paprasta.

Mažiausias kartotinis (LCM) – taupo laiką, padeda spręsti problemas už dėžutės ribų

Tarkime, kad turite du skaičius – ir. Koks yra mažiausias skaičius, kuris dalijasi iš be pėdsakų(t.y. visiškai)? Sunku įsivaizduoti? Štai jums vaizdinis patarimas:

Ar prisimeni, ką reiškia raidė? Teisingai, tiesiog Sveiki skaičiai. Taigi koks yra mažiausias skaičius, tinkantis x? :

Tokiu atveju.

Iš šio paprasto pavyzdžio išplaukia keletas taisyklių.

Taisyklės, kaip greitai surasti NOC

1 taisyklė. Jei vienas iš dviejų natūraliųjų skaičių dalijasi iš kito skaičiaus, tai didesnis iš šių dviejų skaičių yra jų mažiausias bendras kartotinis.

Raskite šiuos skaičius:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Žinoma, jūs lengvai susidorojote su šia užduotimi ir gavote atsakymus - ir.

Atkreipkite dėmesį, kad taisyklėje kalbame apie DU skaičius, jei yra daugiau skaičių, tai taisyklė neveikia.

Pavyzdžiui, LCM (7;14;21) nėra lygus 21, nes jo negalima padalyti be likučio iš.

2 taisyklė. Jei du (arba daugiau nei du) skaičiai yra pirminiai, tai mažiausias bendras kartotinis yra lygus jų sandaugai.

rasti NOCšiems numeriams:

• NOC (1; 3; 7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2; 3; 7)
• NOC (3;5;2)

Ar skaičiavai? Štai atsakymai - , ; .

Kaip suprantate, ne visada taip lengva paimti ir pasiimti tą patį x, todėl šiek tiek sudėtingesniems skaičiams yra toks algoritmas:

Praktikuosime?

Raskite mažiausią bendrą kartotinį – LCM (345; 234)

Išskaidykime kiekvieną skaičių:

Kodėl aš ką tik parašiau?

Prisiminkite dalijimosi iš ženklų ženklus: dalijasi iš (paskutinis skaitmuo yra lyginis), o skaitmenų suma dalijasi iš.

Atitinkamai galime iš karto padalyti iš, užrašydami kaip.

Dabar išrašome ilgiausią išplėtimą eilutėje - antrą:

Pridėkime prie jo skaičius iš pirmojo išplėtimo, kurių nėra toje, ką išrašėme:

Pastaba: išrašėme viską, išskyrus, nes jau turime.

Dabar turime padauginti visus šiuos skaičius!

Pats susiraskite mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM).

Kokius atsakymus sulaukei?

Štai kas man atsitiko:

Kiek laiko užtruko, kol radote NOC? Mano laikas yra 2 minutės, aš tikrai žinau vienas triukas, kurią siūlau atidaryti dabar!

Jei esate labai dėmesingas, tikriausiai pastebėjote, kad pateiktų skaičių jau ieškojome GCD ir jūs galite paimti šių skaičių faktorių sudarymą iš to pavyzdžio, taip supaprastindami savo užduotį, bet tai toli gražu ne viskas.

Pažiūrėk į paveikslėlį, gal kils kitų minčių:

Na? Duosiu užuominą: pabandykite padauginti NOC ir GCD tarpusavyje ir surašykite visus veiksnius, kurie bus dauginant. Ar susitvarkei? Turėtumėte gauti tokią grandinę:

Pažvelkite į tai atidžiau: palyginkite veiksnius su tuo, kaip ir yra skaidomi.

Kokią išvadą galite padaryti iš to? Teisingai! Jei padauginsime reikšmes NOC ir GCD tarpusavyje, tada gauname šių skaičių sandaugą.

Atitinkamai, turintys skaičius ir reikšmę GCD(arba NOC), galime rasti NOC(arba GCD) tokiu būdu:

1. Raskite skaičių sandaugą:

2. Gautą produktą padaliname iš mūsų GCD (6240; 6800) = 80:

Tai viskas.

Parašykime taisyklę bendra forma:

Pabandyk surasti GCD jei žinoma, kad:

Ar susitvarkei? .

Neigiami skaičiai – „klaidingi skaičiai“ ir jų atpažinimas žmonijos.

Kaip jau supratote, tai yra skaičiai, priešingi natūraliems, tai yra:

Atrodytų, jie tokie ypatingi?

Tačiau faktas yra tas, kad neigiami skaičiai „iškovojo“ deramą vietą matematikoje iki pat XIX amžiaus (iki to momento buvo daug ginčų, ar jie egzistuoja, ar ne).

Pats neigiamas skaičius atsirado dėl tokios operacijos su natūraliaisiais skaičiais kaip „atimtis“.

Iš tiesų, atimkite iš – tai neigiamas skaičius. Štai kodėl dažnai vadinama neigiamų skaičių aibė „natūraliųjų skaičių aibės išplėtimas“.

Neigiamų skaičių žmonės ilgai neatpažino.

Taigi, Senovės Egiptas, Babilonas ir Senovės Graikija - savo laikų šviesuliai, nepripažino neigiamų skaičių, o gavus neigiamas šaknis lygtyje (pavyzdžiui, kaip mes turime), šaknys buvo atmestos kaip neįmanomos.

Pirmą kartą neigiami skaičiai įgijo teisę egzistuoti Kinijoje, o vėliau VII amžiuje Indijoje.

Ką manote apie šią išpažintį?

Teisingai, pradėjo reikšti neigiami skaičiai skolos (kitaip – ​​trūkumas).

Buvo manoma, kad neigiami skaičiai yra laikina reikšmė, kuri dėl to pasikeis į teigiamą (tai yra, pinigai vis tiek bus grąžinti kreditoriui). Tačiau indų matematikas Brahmagupta jau tada laikė neigiamus skaičius vienodai su teigiamais.

Europoje neigiamų skaičių naudingumas, taip pat tai, kad jie gali reikšti skolą, atsirado daug vėliau, tai yra tūkstantmečiu.

Pirmasis paminėjimas buvo pastebėtas 1202 m. Leonardo Pizoje „Abakų knygoje“ (iš karto sakau, kad knygos autorius neturi nieko bendra su Pizos bokštu, bet Fibonačio skaičiai yra jo darbas ( Leonardo iš Pizos slapyvardis yra Fibonacci)).

Taigi XVII amžiuje Paskalis tuo tikėjo.

Kaip manote, kaip jis tai pateisino?

Tiesa, „nieko negali būti mažiau už NIEKĄ“.

Tų laikų aidu išlieka tai, kad neigiamas skaičius ir atimties operacija žymimi tuo pačiu simboliu – minus „-“. Ir tiesa:. Ar skaičius „ “ teigiamas, iš kurio atimamas, ar neigiamas, prie kurio pridedama?... Kažkas iš serijos „kas pirmas: višta ar kiaušinis? Štai tokia matematinė filosofija.

Neigiami skaičiai užsitikrino teisę egzistuoti atsiradus analitinei geometrijai, kitaip tariant, kai matematikai įvedė tokį dalyką kaip realią ašį.

Nuo šios akimirkos atėjo lygybė. Tačiau vis tiek buvo daugiau klausimų nei atsakymų, pavyzdžiui:

proporcija

Ši proporcija vadinama Arno paradoksu. Pagalvok, kas tame abejotina?

Pakalbėkime kartu daugiau nei „ “, tiesa? Taigi, pagal logiką, kairė proporcijos pusė turėtų būti didesnė už dešinę, bet jos yra lygios... Čia yra paradoksas.

Dėl to matematikai sutiko, kad Karlas Gaussas (taip, taip, tai yra tas, kuris laikė skaičių sumą (ar)) 1831 m.

Sakė, kad neigiami skaičiai turi tokias pačias teises kaip ir teigiami, o tai, kad jie galioja ne visiems dalykams, nieko nereiškia, nes trupmenos irgi daugeliui dalykų negalioja (nebūna, kad duobkasys duobę kasa negalite nusipirkti bilieto į kiną ir pan.).

Matematikai nurimo tik XIX amžiuje, kai neigiamų skaičių teoriją sukūrė Williamas Hamiltonas ir Hermannas Grassmannas.

Štai kokie prieštaringi jie yra šie neigiami skaičiai.

„Tuštumos“ arba nulio biografijos atsiradimas.

Matematikoje specialus skaičius.

Iš pirmo žvilgsnio tai nieko: pridėti, atimti - niekas nepasikeis, bet jūs tiesiog turite priskirti jį prie "", o gautas skaičius bus daug kartų didesnis nei pradinis.

Daugindami iš nulio viską paverčiame niekuo, bet negalime dalyti iš „nieko“. Žodžiu, stebuklingas skaičius)

Nulio istorija ilga ir sudėtinga.

Nulio pėdsakas rastas kinų raštuose 2000 m. o dar anksčiau su majais. Pirmą kartą nulio simbolis, kaip ir šiandien, buvo panaudotas tarp graikų astronomų.

Yra daugybė versijų, kodėl pasirinktas toks pavadinimas „nieko“.

Kai kurie istorikai linkę manyti, kad tai omikronas, t.y. Pirmoji graikiško žodžio, reiškiančio nieką, raidė yra ouden. Pagal kitą versiją, žodis „obol“ (beveik jokios vertės moneta) suteikė gyvybę nulio simboliui.

Nulis (arba nulis) kaip matematinis simbolis pirmą kartą pasirodo tarp indėnų(atkreipkite dėmesį, kad neigiami skaičiai ten pradėjo „vystyti“).

Pirmieji patikimi nulio rašymo įrodymai datuojami 876 m., o juose „“ yra skaičiaus komponentas.

Nulis irgi į Europą atkeliavo pavėluotai – tik 1600 m., ir kaip ir neigiami skaičiai susidūrė su pasipriešinimu (ką darysi, jie europiečiai).

„Zero dažnai buvo nekenčiamas, ilgai bijomasi ir netgi uždraustas“– rašo amerikiečių matematikas Charlesas Seifas.

Taigi, turkų sultonas Abdul-Hamidas II XIX amžiaus pabaigoje. įsakė savo cenzoriams ištrinti H2O vandens formulę iš visų chemijos vadovėlių, paimdamas raidę "O" kaip nulį ir nenorėdamas, kad jo inicialai būtų šmeižiami dėl artumo prie niekingo nulio.

Internete galima rasti frazę: „Nulis yra pati galingiausia jėga Visatoje, ji gali viską! Nulis sukuria tvarką matematikoje, taip pat įneša į ją chaosą. Visiškai teisingas punktas :)

Skyriaus santrauka ir pagrindinės formulės

Sveikųjų skaičių rinkinys susideda iš 3 dalių:

• natūralieji skaičiai (toliau juos nagrinėsime plačiau);
• skaičiai, priešingi natūraliems;
• nulis - " "

Pažymima sveikųjų skaičių aibė raidė Z.

1. Natūralūs skaičiai

Natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame objektams skaičiuoti.

Pažymima natūraliųjų skaičių aibė raidė N.

Atliekant operacijas su sveikaisiais skaičiais, jums reikės galimybės rasti GCD ir LCM.

Didžiausias bendras daliklis (GCD)

Norėdami rasti NOD, jums reikia:

1. Išskaidykite skaičius į pirminius veiksnius (į skaičius, kurių negalima padalyti iš nieko kito, išskyrus save ar, pavyzdžiui, ir pan.).
2. Užrašykite veiksnius, kurie yra abiejų skaičių dalis.
3. Padauginkite juos.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Norėdami rasti NOC, jums reikia:

1. Suskirstykite skaičius į pirminius veiksnius (jau žinote, kaip tai padaryti labai gerai).
2. Užrašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą (geriau imti ilgiausią grandinę).
3. Pridėkite prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimo.
4. Raskite gautų veiksnių sandaugą.

2. Neigiami skaičiai

Tai yra skaičiai, kurie yra priešingi natūraliems skaičiams, tai yra:

Dabar noriu išgirsti iš tavęs...

Tikiuosi, kad įvertinote itin naudingas šios skilties „gudrybes“ ir supratote, kaip jos jums padės egzamine.

Ir dar svarbiau – gyvenime. Aš nekalbu apie tai, bet patikėkite manimi, tai yra. Gebėjimas greitai ir be klaidų skaičiuoti gelbsti daugelyje gyvenimo situacijų.

Dabar tavo eilė!

Parašyk, ar skaičiavimuose naudosi grupavimo metodus, dalijamumo kriterijus, GCD ir LCM?

Gal jau jas naudojote? Kur ir kaip?

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Komentaruose parašykite, kaip jums patinka straipsnis.

Ir sėkmės egzaminuose!

Jei natūraliųjų skaičių eilės kairėje pridėsime skaičių 0, gausime teigiamų sveikųjų skaičių serija:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Sveikieji neigiami skaičiai

Panagrinėkime nedidelį pavyzdį. Paveikslėlyje kairėje pavaizduotas termometras, rodantis 7 °C šilumos temperatūrą. Temperatūrai nukritus 4°C, termometras rodys 3°C šilumos. Temperatūros sumažėjimas atitinka atimties veiksmą:

Pastaba: visi laipsniai rašomi raide C (Celsijaus), laipsnio ženklas nuo skaičiaus atskiriamas tarpu. Pavyzdžiui, 7 °C.

Temperatūrai nukritus 7 °C, termometras rodys 0 °C. Temperatūros sumažėjimas atitinka atimties veiksmą:

Temperatūrai nukritus 8 °C, termometras rodys –1 °C (1 °C šalčio). Tačiau atėmus 7–8 rezultatas negali būti parašytas naudojant natūraliuosius skaičius ir nulį.

Pavaizduokime atimtį iš teigiamų sveikųjų skaičių serijos:

1) Suskaičiuojame 4 skaičius į kairę nuo skaičiaus 7 ir gauname 3:

2) Suskaičiuojame 7 skaičius į kairę nuo skaičiaus 7 ir gauname 0:

Neįmanoma suskaičiuoti 8 skaičių teigiamų sveikųjų skaičių serijoje nuo skaičiaus 7 į kairę. Kad būtų galima atlikti 7–8 veiksmą, išplečiame teigiamų sveikųjų skaičių seriją. Norėdami tai padaryti, į kairę nuo nulio surašome (iš dešinės į kairę) visus natūraliuosius skaičius, prie kiekvieno iš jų pridėdami po ženklą, rodantį, kad šis skaičius yra nulio kairėje.

Įrašai -1, -2, -3, ... skaitomi minus 1, minus 2, minus 3 ir tt:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Gauta skaičių serija vadinama šalia sveikųjų skaičių. Taškai kairėje ir dešinėje šiame įraše reiškia, kad seriją galima tęsti neribotą laiką į dešinę ir į kairę.

Šioje eilutėje skaičiaus 0 dešinėje yra skambinami skaičiai natūralus arba visas teigiamas(trumpai - teigiamas).

Šioje eilutėje skaičiaus 0 kairėje yra skambinami skaičiai visas neigiamas(trumpai - neigiamas).

Skaičius 0 yra sveikasis skaičius, bet nėra nei teigiamas, nei neigiamas. Jis atskiria teigiamus ir neigiamus skaičius.

Vadinasi, sveikųjų skaičių seriją sudaro neigiami sveikieji skaičiai, nulis ir teigiami sveikieji skaičiai.

Sveikųjų skaičių palyginimas

Palyginkite du sveikuosius skaičius- reiškia išsiaiškinti, kuris iš jų didesnis, kuris mažesnis, arba nustatyti, kad skaičiai yra lygūs.

Galite palyginti sveikuosius skaičius naudodami sveikųjų skaičių eilutę, nes joje esantys skaičiai yra išdėstyti nuo mažiausio iki didžiausio, jei eilute judate iš kairės į dešinę. Todėl sveikųjų skaičių serijoje kablelius galite pakeisti mažesniu nei ženklu:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Vadinasi, iš dviejų sveikųjų skaičių, esantis dešinėje nuo eilutės yra didesnis, o esantis kairėje nuo eilutės yra mažesnis, reiškia:

1) Bet kuris teigiamas skaičius yra didesnis už nulį ir didesnis už bet kurį neigiamą skaičių:

1 > 0; 15 > -16

2) Bet koks neigiamas skaičius, mažesnis už nulį:

7 < 0; -357 < 0

3) Iš dviejų neigiamų skaičių tas, kuris yra dešinėje sveikųjų skaičių serijoje, yra didesnis.

Yra daugybė skaičių tipų, vienas iš jų yra sveikieji skaičiai. Sveikieji skaičiai atsirado tam, kad būtų lengviau skaičiuoti ne tik teigiama, bet ir neigiama kryptimi.

Apsvarstykite pavyzdį:
Dieną lauke buvo 3 laipsniai šilumos. Iki vakaro temperatūra nukrito 3 laipsniais.
3-3=0
Lauke buvo 0 laipsnių. O naktį temperatūra nukrito 4 laipsniais ir termometras pradėjo rodyti -4 laipsnius.
0-4=-4

Sveikųjų skaičių serija.

Negalime aprašyti tokios problemos su natūraliaisiais skaičiais, mes nagrinėsime šią problemą koordinačių tiesėje.

Turime skaičių seriją:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ši skaičių serija vadinama šalia sveikųjų skaičių.

Sveikieji teigiami skaičiai. Visi neigiami skaičiai.

Sveikųjų skaičių serija susideda iš teigiamų ir neigiamų skaičių. Dešinėje nuo nulio yra natūralūs skaičiai arba jie taip pat vadinami sveiki teigiami skaičiai. Ir eikite į kairę nuo nulio sveiki neigiami skaičiai.

Nulis nėra nei teigiamas, nei neigiamas. Tai riba tarp teigiamų ir neigiamų skaičių.

yra skaičių rinkinys, susidedantis iš natūraliųjų skaičių, neigiamų sveikųjų skaičių ir nulio.

Sveikųjų skaičių serija teigiama ir neigiama kryptimis yra begalinė daugybė.

Jei imsime bet kokius du sveikuosius skaičius, tada bus vadinami skaičiai tarp šių sveikųjų skaičių pabaigos rinkinys.

Pavyzdžiui:
Paimkime sveikuosius skaičius nuo -2 iki 4. Visi skaičiai tarp šių skaičių įeina į baigtinę aibę. Mūsų baigtinis skaičių rinkinys atrodo taip:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Natūralūs skaičiai žymimi lotyniška raide N.
Sveikieji skaičiai žymimi lotyniška raide Z. Paveiksle galima pavaizduoti visą natūraliųjų skaičių ir sveikųjų skaičių aibę.


Neteigiami sveikieji skaičiai kitaip tariant, jie yra neigiami sveikieji skaičiai.
Neneigiami sveikieji skaičiai yra teigiami sveikieji skaičiai.