Lastnost deljenja z 11. Glavni znaki deljivosti

To gradivo je posvečeno takemu konceptu, kot je znak deljivosti z 2. V prvem odstavku ga bomo oblikovali in podali primere - naloge, v katerih morate ugotoviti, ali je določeno število deljivo z 2. Nato bomo dokazali to lastnost in razložili, katere druge metode obstajajo za določitev deljivosti z dvema številom, ki so podana kot vrednost izrazov.

Formulacija in primeri testa deljivosti z 2

Da bi bolje razumeli, kaj so znaki deljivosti, morate ponoviti temo, povezano z deljivostjo celih števil. Opredelitev glavnega koncepta izgleda takole:

Definicija 1

Celo število, ki se konča z 8, 6, 4, 2 in 0, lahko delimo z 2 brez ostanka. Če je na koncu števila število 9, 7, 5, 3 ali 1, potem takšno število ni deljivo z 2.

S pomočjo tega znaka je mogoče razkriti deljivost ne le pozitivnega celega števila (naravnega), temveč tudi negativnega celega števila, saj jih je mogoče deliti tudi z 2 brez ostanka.

Naj navedemo nekaj primerov uporabe funkcije v težavah.

Primer 1

Pogoj: ugotovi, katero izmed števil 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 lahko razdelimo na dvoje.

rešitev

Seveda lahko vsa ta števila v stolpcu preprosto delimo z dva in preverimo, ali je na koncu ostanek ali ne. Toda če poznate znak deljivosti z dvema, lahko ta problem rešite veliko hitreje.

Tri od naštetih števil, in sicer 8, - 946 in 10 900, imajo na koncu številke 8, 6 in 0, kar pomeni, da jih je možno deliti z 2.

Preostali številki (53 in - 988 123 761) se končata na 3 in 1, kar pomeni, da nista popolnoma deljivi z dve.

odgovor: 8 , − 946 in 10 900 je mogoče deliti z dva, vsa druga dana števila pa ne.

Ta funkcija se pogosto uporablja pri problemih, kjer morate število razstaviti na prafaktorje. Rešimo en tak primer.

Primer 2

Pogoj: razloži 352 na prafaktorje.

rešitev

Ker je zadnja cifra v prvotnem številu 2, ga lahko po kriteriju deljivosti razdelimo na dvoje brez ostanka. Naredimo tole: 352: 2 = 176 in 352 = 2 176 . Nastalo število 176 je prav tako deljeno z dvema: 176: 2 \u003d 88 in 176 \u003d 2 88. To število je mogoče tudi razdeliti: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44 in 352 \u003d 2 2 88 = 2 2 2 44. Nadaljujemo z razširitvijo: 44: 2 \u003d 22 in 44 = 2 22, torej 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; potem 22: 2 = 11, od koder je 22 = 2 11 in 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Končno smo prišli do števila, ki ni deljivo z 2. Tabela praštevil nam pove, da je to število praštevilo, tako da se tu faktorizacija konča.

odgovor: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

Delitev števil na soda in liha temelji prav na tem, ali so deljiva z 2 ali ne. Če poznamo ta znak deljivosti, lahko rečemo, da se vsa soda števila končajo s številko 0, 2, 4, 6 ali 8, vsa liha števila pa z 1, 3, 5, 7 ali 9.

Kako lahko dokažeš preizkus deljivosti z 2

Preden nadaljujemo neposredno z dokazom te lastnosti, moramo dokazati dodatno trditev. Formulirano je takole:

Definicija 2

Vsa naravna števila, ki se končajo na nič, lahko delimo z dve brez ostanka.

S pravilom množenja naravnega števila z 10 lahko neko število a predstavimo kot a = a 1 · 10 . številka a 1, pa bo pridobljeno iz a, če iz njega odstranimo zadnjo števko.

Tu so primeri takšnega dejanja: 470 = 47 10, kjer je a = 470 in a 1 = 47; ali 38 010 10, tukaj je a = 380 100 in a 1 = 38 010. Drugi faktor v tem zmnožku (10) lahko delimo z 2, tako da lahko celoten zmnožek delimo z 2. Ta izjava temelji na ustrezni lastnosti deljivosti.

Prehajamo na dokaz testa deljivosti z 2. Da bi bilo bolj priročno, ga predstavimo kot izrek, tj. kot nujni in zadostni pogoj za deljivost celega števila z dve.

1. izrek

Za deljenje celega števila a z dve je nujen in zadosten pogoj, da je zadnja številka 0, 2, 4, 6 ali 8.

Dokaz 1

Kako dokazati to trditev? Najprej predstavimo prvotno število a kot vsoto desetic in enic, tj. zapišimo kot a = a 1 10 + a 0 . Tu bo 1 število, dobljeno iz a, ko se izloči zadnja cifra, 0 pa ustreza zadnji cifri tega števila (izrazi 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10 + 8 so lahko tudi primeri taka reprezentacija). delo a 1 10, vzeta iz enakosti a = a 1 · 10 + a 0 , bo vedno deljiva z dve, kar je prikazano s tem izrekom.

Preostali del dokaza sloni na določeni lastnosti deljivosti, in sicer: če imamo tri števila, ki tvorijo enačbo t = u + v , in sta dve deljivi s celim številom z , potem lahko tudi tretje število delimo z z .

Če je a mogoče deliti z dvema, potem bo glede na to lastnost, kot tudi predstavitev a \u003d a 1 10 + a 0, število a 0 deljeno z dve, kar je mogoče le, če je a 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 ali osem.

In če a ni deljivo z 2, potem temelji na isti lastnosti, številu a 0 tudi ne bo deljivo z 2, kar je možno le, če je a 0 = 1, 3, 5, 7 ali 9. To je nujen dokaz o nujnosti.

Zdaj pa poglejmo obratno situacijo. Če imamo število a, katerega zadnja cifra je 0, 2, 4, 6 ali 8, potem a 0 deljeno s 2 . Določena lastnost in predstavitev deljivosti a = a1 10 + a0 nam omogočajo, da sklepamo, da je a deljiv z 2 . Če ima a zadnjo števko 1, 3, 5, 7 ali 9, potem 0 ni deljiva z 2 , torej tudi a ni deljiv z 2 , sicer bi bila predstavitev a = a 1 10 + a 0 sama deljiva z 2 , kar je nemogoče. Zadostnost pogoja je dokazana.

Na koncu omenimo, da števila z zadnjo števko 1, 3, 5, 7 ali 9 pri deljenju z dve vedno dajo ostanek ena.

Vzemimo primer, ko se dano število konča z eno od teh števk. Potem lahko a predstavimo kot a = b + 1, pri čemer ima b 0, 2, 4, 6 ali 8 kot zadnjo števko. Na podlagi kriterija deljivosti z 2 število b lahko delimo z 2 , zato ga lahko po definiciji deljivosti predstavimo tudi kot b = 2 · q , kjer bo q neko celo število. Dobili smo, da je a = 2 q + 1 . Ta predstavitev nam pokaže, da pri deljenju števila a s 2 rezultat je nepopoln količnik q in ostanek 1 (če je treba, še enkrat preberi članek o deljenju celih števil z ostankom).

Drugi primeri ugotavljanja deljivosti z 2

V tem odstavku bomo analizirali tiste primere, ko število, katerega deljivost z 2 je treba določiti, ni neposredno podano, ampak je določeno z neko vrednostjo dobesednega izraza. Tukaj ne moremo uporabiti zgoraj navedenega znaka, prav tako pa tega izraza ni mogoče neposredno deliti z 2. Zato moramo najti drugo rešitev.

Obstaja pristop k reševanju tovrstnih problemov, ki temelji na naslednji lastnosti deljivosti: zmnožek celih števil je mogoče deliti z določenim številom, če je vsaj eden od faktorjev deljiv z njim. Torej, če lahko dobesedni izraz pretvorimo v produkt ločenih faktorjev, od katerih je eden deljiv z dve, potem bo mogoče dokazati, da je tudi prvotni izraz deljiv z 2.

Za transformacijo podanega izraza lahko uporabimo Newtonovo binomsko formulo. Oglejmo si takšno nalogo.

Primer 3

Pogoj: ugotovi, ali je vrednost izraza 3 n + 4 n - 1 mogoče deliti z 2 za nek naravni n.

rešitev

Najprej zapišimo očitno enakost 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Zdaj vzamemo Newtonovo binomsko formulo, jo uporabimo in poenostavimo, kar smo dobili:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Pri zadnji enakosti vzamemo dve iz oklepaja in dobimo naslednjo enakost:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

V tej enačbi lahko desno stran delite z dva za katero koli naravno vrednost n, saj je tam faktor enak 2. Ker je med izrazi enačaj, lahko delite z 2 tudi na levi strani.

odgovor: ta izraz lahko delimo z 2.

Precej pogosto je mogoče deljivost dokazati z metodo matematične indukcije. Vzemimo isti izraz kot v zgornjem primeru in pokažimo, kako to metodo uporabiti v praksi.

Primer 4

Pogoj: ugotovi, ali je izraz 3 n + 4 n - 1 deljiv z 2 za poljubno naravno vrednost n.

rešitev

Uporabljamo matematično indukcijo. Najprej dokažimo, da je vrednost izraza 3 n + 4 n - 1 z n enakim ena mogoče deliti z 2 . Dobimo 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, šest je deljivo z dvema brez ostanka. Pojdi naprej. Vzemimo n enako k in predpostavimo, da je 3 k + 4 k - 1 deljivo z dva.

Z uporabo te predpostavke dokažemo, da je 3 n + 4 n - 1 mogoče deliti z 2, če je to mogoče za 3 k + 4 k - 1. Da bi to dokazali, moramo izvesti več transformacij.

3 3 k + 4 k - 1 je deljivo z dve, ker je to mogoče za 3 k + 4 k - 1 , izraz 2 4 k - 3 lahko delimo tudi z 2, ker ima faktor 2, kar pomeni da je tudi razlika teh dveh izrazov deljiva z 2, kar pojasnjuje pripadajoča lastnost deljivosti.

Odgovori: izraz 3 n + 4 n - 1 je deljiv z 2 za vsak naravni n .

Posebej se posvetimo primeru, ko sta v zmnožku dve števili, ki si sledita v naravnem nizu števil. Tudi tako delo je razdeljeno na dvoje.

Primer 5

Na primer, izraz, kot je (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6), je deljiv z 2 za katero koli naravno vrednost n, ker vsebuje števila, ki si sledijo eno za drugim v naravnem nizu sta n + 6 in n + 7 .

Podobno, če obstajata dva faktorja, med katerima je sodo število članov naravne vrste, lahko produkt delimo z 2. Torej je vrednost (n + 1) (n + 6) deljena z dvema za kateri koli naravni n, saj je med n + 5 in n + 6 sodo število števil: n + 2, n + 3, n + 4 in n + 5.

Združimo vse, o čemer smo govorili v prejšnjih odstavkih. Če je mogoče dokazati, da je vrednost izraza deljiva z dve, ko n = 2 m, kot tudi pri n = 2 m + 1 in poljubno celo število m, potem bo to dokaz, da je izvirni izraz deljiv z 2 za katero koli celo število vrednosti n.

Primer 6

Pogoj: preveri, ali je izraz deljiv z 2 n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 za vse naravne vrednosti n.

rešitev

Najprej ta izraz predstavimo kot produkt (n + 2) 2 · (n + 3) . Po potrebi ponovite, kako pravilno faktorizirati polinom. Imamo dva množitelja n + 2 in n + 3, ki ustrezata številom, ki stojijo drug poleg drugega v naravnem nizu. Vsekakor pa je eden od njih deljiv z 2, kar pomeni, da je z 2 deljiv tudi celoten produkt. Enako velja za izvirni izraz.

Ta problem ima še eno rešitev. Če n = 2 m, potem je n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3 . Tukaj je faktor štiri, zaradi katerega bo celoten produkt deljiv z 2.

če n = 2 m + 1, potem

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Tukaj je faktor 2, kar pomeni, da je celoten produkt deljiv z 2.

odgovor: to je dokaz, da izraz n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) lahko delimo z dva za katero koli naravno vrednost n.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Začnimo obravnavati temo "Znak deljivosti s 3". Začnimo s formulacijo znaka, dali bomo dokaz izreka. Nato bomo obravnavali glavne pristope k ugotavljanju deljivosti s 3 številkami, katerih vrednost je podana z nekim izrazom. V razdelku je analiza rešitve glavnih vrst problemov, ki temelji na uporabi merila deljivosti s 3.

Znak deljivosti s 3, primeri

Znak deljivosti s 3 je formuliran preprosto: celo število bo deljivo s 3 brez ostanka, če je vsota njegovih števk deljiva s 3. Če skupna vrednost vseh števk, ki sestavljajo celo število, ni deljiva s 3, potem prvotno število samo po sebi ni deljivo s 3. Vsoto vseh števk v celem številu lahko dobite s seštevanjem naravnih števil.

Zdaj pa si poglejmo primere uporabe kriterija deljivosti s 3.

Primer 1

Ali je 42 deljivo s 3?

rešitev

Da bi odgovorili na to vprašanje, seštejmo vsa števila, ki sestavljajo število - 42: 4 + 2 = 6.

odgovor: glede na kriterij deljivosti, ker je vsota števk, vključenih v porast prvotnega števila, deljiva s tri, potem je samo prvotno število deljivo s 3.

Za odgovor na vprašanje, ali je število 0 deljivo s 3, potrebujemo lastnost deljivosti, po kateri je nič deljiva s poljubnim celim številom. Izkazalo se je, da je nič deljiva s tri.

Obstajajo problemi, za rešitev katerih se je treba večkrat zateči k kriteriju deljivosti s 3.

Primer 2

Pokažite, da je število 907 444 812 je deljivo s 3.

rešitev

Poiščimo vsoto vseh števk, ki tvorijo zapis prvotnega števila: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Zdaj moramo ugotoviti, ali je število 39 deljivo s 3. Še enkrat seštejte številke, ki sestavljajo to številko: 3 + 9 = 12 . Ostaja nam, da znova izvedemo seštevanje številk, da dobimo končni odgovor: 1 + 2 = 3 . Število 3 je deljivo s 3

odgovor: izvirna številka 907 444 812 je tudi deljivo s 3.

Primer 3

Ali je deljivo s 3 − 543 205 ?

rešitev

Izračunajmo vsoto števk, ki sestavljajo prvotno število: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Zdaj pa izračunajmo vsoto števk dobljenega števila: 1 + 9 = 10 . Da bi dobili končni odgovor, poiščimo rezultat še enega dodatka: 1 + 0 = 1 .
odgovor: 1 ni deljivo s 3, torej tudi prvotno število ni deljivo s 3.

Da bi ugotovili, ali je dano število deljivo s 3 brez ostanka, lahko dano število delimo s 3. Če število razdelimo − 543 205 iz zgornjega primera s stolpcem tri, potem v odgovoru ne bomo dobili celega števila. Tudi to pomeni točno to − 543 205 ni deljivo s 3.

Dokaz o testu deljivosti s 3

Tu potrebujemo naslednje veščine: razstavljanje števila na števke in pravilo množenja z 10, 100 itd. Da bi izvedli dokaz, moramo pridobiti predstavitev števila a oblike , kje a n , a n − 1 , … , a 0- To so števila, ki se v zapisu števila nahajajo od leve proti desni.

Tu je primer uporabe določene številke: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Zapišimo niz enakosti: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 in tako naprej.

Te enačbe nadomestimo namesto 10, 100 in 1000 v prej dane enačbe a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Tako smo prišli do enakosti:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

In zdaj uporabimo lastnosti seštevanja in lastnosti množenja naravnih števil, da prepišemo nastalo enakost, kot sledi:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

Izraz a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 je vsota števk prvotnega števila a. Uvedimo nov kratek zapis zanj AMPAK. Dobimo: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

V tem primeru je predstavitev števila a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A ima obliko, ki nam bo ustrezala za dokazovanje preizkusa deljivosti s 3.

Definicija 1

Zdaj si zapomnite naslednje lastnosti deljivosti:

• nujen in zadosten pogoj, da je celo število a deljivo s celim številom
  b , je pogoj, po katerem je modul števila a deljiv z modulom števila b ;
• če je v enakosti a = s + t vsi členi, razen enega, so deljivi z nekim celim številom b, potem je tudi ta člen deljiv z b.

Postavili smo temelje za dokazovanje testa deljivosti s 3. Zdaj pa oblikujmo ta kriterij v obliki izreka in ga dokažimo.

1. izrek

Za trditev, da je celo število a deljivo s 3, potrebujemo in potrebujemo le to, da je vsota števk, ki tvorijo zapis števila a, deljiva s 3.

Dokaz 1

Če vzamemo vrednost a = 0, potem je izrek očiten.

Če vzamemo število a, ki ni nič, bo absolutna vrednost a naravno število. To nam omogoča, da zapišemo naslednjo enakost:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , kjer je A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - vsota števk števila a .

Ker sta vsota in zmnožek celih števil celo število, potem
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 je celo število, potem je po definiciji deljivosti produkt 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 je deljivo z 3 za katero koli a 0 , a 1 , … , a n.

Če je vsota števk števila a deljeno s 3 , to je A deljeno s 3 , potem je na podlagi lastnosti deljivosti, navedene pred izrekom, a deljiv z 3 , Posledično, a deljeno s 3 . To dokazuje zadostnost.

Če a deljeno s 3 , potem je a deljiv z 3 , potem je zaradi iste lastnosti deljivosti število
A deljeno s 3 , to je vsota števk števila a deljeno s 3 . To dokazuje nujnost.

Drugi primeri deljivosti z 3

Cela števila lahko podamo kot vrednost nekega izraza, ki vsebuje spremenljivko, glede na določeno vrednost te spremenljivke. Torej je za nek naravni n vrednost izraza 4 n + 3 n - 1 naravno število. V tem primeru neposredno delitev z 3 nam ne more dati odgovora na vprašanje, ali je število deljivo z 3 . Uporaba testa deljivosti na 3 je lahko tudi težko. Razmislite o primerih takšnih problemov in analizirajte metode za njihovo reševanje.

Za reševanje takšnih težav je mogoče uporabiti več pristopov. Bistvo enega od njih je naslednje:

• predstavljajo prvotni izraz kot produkt več dejavnikov;
• ugotovi, ali je vsaj eden od faktorjev lahko deljiv s 3 ;
• na podlagi lastnosti deljivosti sklepamo, da je celoten produkt deljiv z 3 .

Pri reševanju se moramo pogosto zateči k uporabi Newtonove binomske formule.

Primer 4

Ali je vrednost izraza 4 n + 3 n - 1 deljiva s 3 za vsako naravno n?

rešitev

Zapišimo enakost 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Uporabimo Newtonovo binomsko formulo Newtonovega binoma:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Zdaj pa vzemimo 3 zunaj oklepaja: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . Nastali produkt vsebuje množitelj 3 , vrednost izraza v oklepaju za naravni n pa je naravno število. To nam omogoča, da trdimo, da je dobljeni produkt in prvotni izraz 4 n + 3 n - 1 deljiv z 3 .

odgovor: ja

Uporabimo lahko tudi metodo matematične indukcije.

Primer 5

Z metodo matematične indukcije dokažite, da za vsako naravno
n vrednost izraza n n 2 + 5 je deljiva z 3 .

rešitev

Poiščite vrednost izraza n n 2 + 5 za n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 je deljivo s 3 .

Zdaj predpostavimo, da je vrednost izraza n n 2 + 5 for n=k deljeno s 3 . Pravzaprav bomo morali delati z izrazom k · k 2 + 5 , za katerega pričakujemo, da bo deljiv z 3 .

Glede na to, da je k k 2 + 5 deljivo s 3 , pokažimo, da je vrednost izraza n n 2 + 5 za n=k+1 deljeno s 3 , kar pomeni, da bomo pokazali, da je k + 1 k + 1 2 + 5 deljivo z 3 .

Naredimo transformacije:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Izraz k (k 2 + 5) je deljiv z 3 in izraz 3 k 2 + k + 2 je deljiv z 3 , zato je njihova vsota deljiva z 3 .

Dokazali smo torej, da je vrednost izraza n (n 2 + 5) deljiva s 3 za vsako naravno n.

Analizirajmo zdaj pristop k dokazu deljivosti z 3 , ki temelji na naslednjem algoritmu dejanj:

• pokažemo, da je vrednost tega izraza s spremenljivko n za n = 3 m , n = 3 m + 1 in n = 3 m + 2, kje m je poljubno celo število, deljivo z 3 ;
• sklepamo, da bo izraz deljiv z 3 za poljubno celo število n.

Da ne bi odvrnili pozornosti od manjših podrobnosti, ta algoritem uporabimo za rešitev prejšnjega primera.

Primer 6

Pokažite, da je n (n 2 + 5) deljiv s 3 za vsako naravno n.

rešitev

Pretvarjajmo se, da n = 3 m. Potem: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. Zmnožek, ki smo ga dobili, vsebuje množitelj 3 , zato je sam produkt deljiv z 3 .

Pretvarjajmo se, da n = 3 m + 1. Nato:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

Izdelek, ki smo ga prejeli, je razdeljen na 3 .

Predpostavimo, da je n = 3 · m + 2 . Nato:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Tudi to delo je razdeljeno na 3 .

odgovor: Tako smo dokazali, da je izraz n n 2 + 5 deljiv s 3 za vsako naravno n.

Primer 7

Ali je razdeljen na 3 vrednost izraza 10 3 n + 10 2 n + 1 za nek naravni n.

rešitev

Pretvarjajmo se, da n=1. Dobimo:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Pretvarjajmo se, da n=2. Dobimo:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Torej lahko sklepamo, da bomo za vsak naravni n dobili števila, ki so deljiva s 3. To pomeni, da je 10 3 n + 10 2 n + 1 deljivo s 3 za vsak naravni n.

odgovor: ja

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

ZNAKI DELLJIVOSTIštevila - najpreprostejši kriteriji (pravila), ki omogočajo presojo deljivosti (brez ostanka) nekaterih naravnih števil z drugimi. Pri reševanju vprašanja deljivosti števil se znaki deljivosti zmanjšajo na operacije z majhnimi številkami, ki se običajno izvajajo v mislih.
Ker je osnova splošno sprejetega številskega sistema 10, so najbolj preprosti in pogosti znaki deljivosti na delilnike števil treh vrst: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Prvi tip - znaki deljivosti z delitelji števila 10 k, za deljivost poljubnega celega števila N s poljubnim celim deliteljem q števila 10 k je potrebno in zadostuje, da zadnja k-mestna ploskev (k-mestna končnica) števila N je deljivo s q. Zlasti (za k \u003d 1, 2 in 3) dobimo naslednje znake deljivosti na delitelje števil 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) in 10 3 \u003d 1000 (I 3):
jaz 1. Za 2, 5 in 10 - enomestna končnica (zadnja številka) števila mora biti deljiva z 2, 5 oziroma 10. Na primer, število 80 110 je deljivo z 2, 5 in 10, saj je zadnji števka 0 tega števila je deljiva z 2, 5 in deset; 37835 je deljivo s 5, ne pa z 2 in 10, ker je zadnja številka 5 deljiva s 5, ne pa z 2 in 10.

jaz 2. Z 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 in 100 mora biti dvomestna končnica števila deljiva z 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 oziroma 100. Za na primer, število 7.840.700 je deljivo z 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 in 100, saj je dvomestna končnica 00 tega števila deljiva z 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50. in 100; število 10 831 750 je deljivo z 2, 5, 10, 25 in 50, ni pa deljivo s 4, 20 in 100, saj je dvomestna končnica 50 tega števila deljiva z 2, 5, 10, 25 in 50, vendar ni deljivo s 4, 20 in 100.

jaz 3. Za 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 in 1000 - trimestno končnico števila je treba deliti z 2,4,5,8 ,10, 20 oziroma 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 in 1000. Število 675 081 000 je na primer deljivo z vsemi števili, navedenimi v tem atributu, saj je trimestna končnica 000 danega števila je deljivo z vsakim od njih; število 51 184 032 je deljivo z 2, 4 in 8 in ni deljivo z ostalimi, saj je trimestna končnica 032 danega števila deljiva samo z 2, 4 in 8 in ni deljiva z ostalimi.

Druga vrsta - znaki deljivosti z delitelji števila 10 k - 1: za deljivost katerega koli celega števila N s katerim koli celim deliteljem q števila 10 k - 1 je potrebno in zadostuje, da je vsota k-mestnih ploskev števila N je deljivo s q. Zlasti (za k = 1, 2 in 3) dobimo naslednje znake deljivosti na delitelje števil 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) in 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1. S 3 in 9 - vsota števk (enomestnih obrazov) števila mora biti deljiva s 3 oziroma 9. Na primer, število 510 887 250 je deljivo s 3 in 9, saj je vsota števk je 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (in 3+6=9) od tega števila je deljivo s 3 in 9; število 4 712 586 je deljivo s 3, ni pa deljivo z 9, saj je vsota števk 4+7+1+2+5+8+6=33 (in 3+3=6) tega števila deljiva s 3, vendar ni deljivo z 9.

II 2. S 3, 9, 11, 33 in 99 - vsota dvomestnih ploskev števila mora biti deljiva s 3, 9, 11, 33 oziroma 99. Na primer, število 396 198 297 je deljivo s 3 , 9, 11, 33 in 99, saj je vsota dvomestnih obrazov 3+96+19+ +82+97=297 (in 2+97=99) deljiva s 3, 9.11, 33 in 99; število 7 265 286 303 je deljivo s 3, 11 in 33, ni pa deljivo z 9 in 99, saj je vsota dvomestnih obrazov 72+65+28+63+03=231 (in 2+31= 33) tega števila je deljivo s 3, 11 in 33 in ni deljivo z 9 in 99.

II 3 . S 3, 9, 27, 37, 111, 333 in 999 – vsota trimestnih ploskev števila mora biti deljiva s 3, 9, 27, 37, 111, 333 oziroma 999. Na primer, število 354 645 871 128 je deljivo z vsemi, ki so navedeni v tem znaku števila, saj je vsota trimestnih ploskev 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (in 1 + 998 = 999) tega števila deljiva z vsak od njih.

Tretji tip - merila za deljivost na delitelje števila 10 k + 1: za deljivost poljubnega celega števila N s poljubnim celim deliteljem q števila 10 k + 1 je potrebno in zadostno, da razlika med vsoto k -mestnih ploskev v N na sodih mestih, vsota k-mestnih ploskev v N na lihih mestih pa je deljena s q. Zlasti (za k \u003d 1, 2 in 3) dobimo naslednje znake deljivosti na delitelje števil 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) in 10 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . Z 11 - razlika med vsoto števk (enomestne ploskve) na sodih mestih in vsoto cifer (enomestne ploskve) na lihih mestih mora biti deljiva z 11. Na primer, število 876 583 598 je deljivo z 11, saj je razlika 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (in 1 - 1=0) med vsoto števk na sodih mestih in vsoto števk na lihih mestih. je deljivo z 11.

III 2 . S 101 - razlika med vsoto dvomestnih obrazov na sodih mestih in vsoto dvomestnih obrazov na lihih mestih mora biti deljiva s 101. Na primer, število 8 130 197 je deljivo s 101, saj je razlika 8-13 + 01- 97 = 101 (in 1-01=0) med vsoto dvomestnih obrazov na sodih mestih tega števila in vsoto dvomestnih obrazov na lihih mestih je deljivo s 101.

III 3 . S 7, 11, 13, 77, 91, 143 in 1001 - razliko med vsoto trimestnih obrazov na sodih mestih in vsoto trimestnih obrazov na lihih mestih je treba deliti s 7, 11, 13, 77. 91, 143 in 1001. Na primer, število 539 693 385 je deljivo s 7, 11 in 77, ni pa deljivo s 13, 91, 143 in 1001, saj je 539 - 693+385=231 deljivo z 7, 11 in 77 in ni deljivo s 13, 91, 143 in 1001.

Obstajajo znaki, po katerih je včasih brez dejanskega deljenja enostavno ugotoviti, ali je dano število deljivo ali nedeljivo z nekaterimi drugimi števili.

Števila, ki so deljiva z 2, imenujemo celo. Tudi število nič je sodo število. Vse ostale številke so klicane Čuden:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - sodo,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... so liho.

Znaki deljivosti

Znak deljivosti z 2. Število je deljivo z 2, če je njegova zadnja številka soda. Na primer, število 4376 je deljivo z 2, ker je zadnja številka (6) soda.

Znak deljivosti s 3. S 3 so deljiva samo tista števila, katerih vsota števk je deljiva s 3. Na primer, število 10815 je deljivo s 3, saj je vsota njegovih števk 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 deljiva s 3.

Znaki deljivosti s 4. Število je deljivo s 4, če sta njegovi zadnji dve števki ničli ali tvorita število, ki je deljivo s 4. Na primer, število 244500 je deljivo s 4, ker se konča z dvema ničlama. Števili 14708 in 7524 sta deljivi s 4, ker sta zadnji dve števki teh števil (08 in 24) deljivi s 4.

Znaki deljivosti s 5. Številke, ki se končajo z 0 ali 5, so deljive s 5. Na primer, število 320 je deljivo s 5, ker je zadnja številka 0.

Znak deljivosti s 6. Število je deljivo s 6, če je deljivo z 2 in 3. Na primer, število 912 je deljivo s 6, ker je deljivo z 2 in 3.

Znaki deljivosti z 8. Z 8 so deljiva tista števila, pri katerih so zadnje tri števke ničle ali tvorijo število, ki je deljivo z 8. Na primer, število 27000 je deljivo z 8, saj se konča s tremi ničlami. Število 63128 je deljivo z 8, ker zadnje tri števke tvorijo število (128), ki je deljivo z 8.

Znak deljivosti z 9. Z 9 so deljiva samo tista števila, katerih vsota števk je deljiva z 9. Na primer, število 2637 je deljivo z 9, saj je vsota njegovih števk 2 + 6 + 3 + 7 = 18 deljiva z 9.

Znaki deljivosti z 10, 100, 1000 itd. 10, 100, 1000 in tako naprej so deljiva s tistimi številkami, ki se končajo z eno ničlo, dvema ničlama, tremi ničlami ​​itd. Na primer, število 3800 je deljivo z 10 in 100.

Znak deljivosti s 3
Število je deljivo s 3, če in samo če je vsota njegovih števk deljiva s 3.

Deljivost s 4 predznakom
Število je deljivo s 4, če in samo če je število njegovih zadnjih dveh števk nič ali deljivo s 4.

Znak deljivosti s 5
Število je deljivo s 5, če in samo če je zadnja številka deljiva s 5 (tj. enaka 0 ali 5).

Znak deljivosti s 6
Število je deljivo s 6, če in samo če je deljivo z 2 in 3.

Znak deljivosti s 7
Število je deljivo s 7, če in samo če je rezultat dvakratnega odštevanja zadnje števke od tega števila brez zadnje števke deljiv s 7 (na primer, 259 je deljivo s 7, ker je 25 - (2 9) = 7 deljivo z 7).

Znak deljivosti z 8
Število je deljivo z 8, če in samo če so njegove zadnje tri števke ničle ali tvorijo število, ki je deljivo z 8.

Znak deljivosti z 9
Število je deljivo z 9, če in samo če je vsota njegovih števk deljiva z 9.

Znak deljivosti z 10
Število je deljivo z 10, če in samo če se konča na nič.

Znak deljivosti z 11
Število je deljivo z 11, če in samo če je vsota števk z izmenjujočima se predznakoma deljiva z 11 (to pomeni, da je 182919 deljivo z 11, saj je 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 deljivo z 11) - posledica dejstva, da vsa števila oblike 10 n pri deljenju z 11 dajo ostanek (-1) n .

Znak deljivosti z 12
Število je deljivo z 12, če in samo če je deljivo s 3 in 4.

Znak deljivosti s 13
Število je deljivo s 13, če in samo če je število njegovih desetic, prišteto štirikratnemu številu enot, večkratnik 13 (na primer, 845 je deljivo s 13, ker je 84 + (4 5) = 104 deljivo s 13).

Znak deljivosti s 14
Število je deljivo s 14, če in samo če je deljivo z 2 in 7.

Znak deljivosti s 15
Število je deljivo s 15, če in samo če je deljivo s 3 in 5.

Znak deljivosti s 17
Število je deljivo s 17, če in samo če je število njegovih desetic, dodano številu enot, povečanih za 12, večkratnik 17 (na primer 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Ker je 34 deljivo s 17, je tudi 29053 deljivo s 17). Znak ni vedno priročen, vendar ima določen pomen v matematiki. Obstaja nekoliko enostavnejši način – Število je deljivo s 17, če in samo če je razlika med številom desetic in petkratnikom števila enot večkratnik 17 (na primer 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. ker 15 ni deljivo s 17, potem tudi 32952 ni deljivo s 17)

Znak deljivosti z 19
Število je deljivo z 19, če in samo če je število njegovih desetic, dodano dvakratnemu številu enot, večkratnik 19 (na primer, 646 je deljivo z 19, ker je 64 + (6 2) = 76 deljivo z 19).

Znak deljivosti s 23
Število je deljivo s 23, če in samo če so njegove stotice plus trojnik njegovih desetic večkratnik 23 (na primer, 28842 je deljivo s 23, saj se 288 + (3 * 42) = 414 nadaljuje 4 + (3 * 14) = 46 je očitno deljivo s 23).

Znak deljivosti s 25
Število je deljivo s 25, če in samo če sta njegovi zadnji dve števki deljivi s 25 (to je oblika 00, 25, 50 ali 75) ali je število večkratnik števila 5.

Znak deljivosti z 99
Število razdelimo v skupine po 2 števki od desne proti levi (skrajno leva skupina ima lahko eno števko) in poiščemo vsoto teh skupin, pri čemer menimo, da so dvomestna števila. Ta vsota je deljiva z 99, če in samo če je število samo deljivo z 99.

Znak deljivosti s 101
Število razdelimo v skupine po 2 števki od desne proti levi (skrajno leva skupina ima lahko eno števko) in poiščemo vsoto teh skupin s spremenljivimi predznaki, pri čemer menimo, da so dvomestna števila. Ta vsota je deljiva s 101, če in samo če je število samo deljivo s 101. Na primer, 590547 je deljivo s 101, ker je 59-05+47=101 deljivo s 101).