Svojstvo dijeljenja sa 11. Glavni znakovi djeljivosti

Ovaj materijal posvećen je takvom konceptu kao znaku djeljivosti sa 2. U prvom odlomku ćemo ga formulirati i dati primjere - zadatke u kojima trebate saznati je li određeni broj djeljiv sa 2. Zatim ćemo dokazati ovu osobinu i objasniti koje druge metode postoje za određivanje djeljivosti sa dva broja datih kao vrijednost izraza.

Formulacija i primjeri testa djeljivosti sa 2

Da biste bolje razumjeli koji su znaci djeljivosti, potrebno je ponoviti temu o djeljivosti cijelih brojeva. Definicija glavnog koncepta izgleda ovako:

Definicija 1

Cijeli broj koji se završava na 8, 6, 4, 2 i 0 može se podijeliti sa 2 bez ostatka. Ako je na kraju broja broj 9, 7, 5, 3 ili 1, onda takav broj nema djeljivost sa 2.

Uz pomoć ove značajke moguće je otkriti djeljivost ne samo pozitivnog cijelog broja (prirodnog), već i negativnog cijelog broja, jer se i oni mogu podijeliti sa 2 bez ostatka.

Navedimo neke primjere upotrebe neke karakteristike u problemima.

Primjer 1

Stanje: odredi koji se od brojeva 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 može podijeliti na dva.

Rješenje

Naravno, sve ove brojeve možemo jednostavno podijeliti sa dva u koloni i provjeriti ima li na kraju ostatak ili ne. Ali znajući znak djeljivosti sa dva, ovaj problem možete riješiti mnogo brže.

Tri od navedenih brojeva, odnosno 8, - 946 i 10 900, imaju na kraju brojeve 8, 6 i 0, što znači da je moguće njihovo dijeljenje sa 2.

Preostali brojevi (53 i - 988 123 761) završavaju se na 3 i 1, što znači da nisu potpuno djeljivi sa dva.

odgovor: 8 , − 946 i 10 900 mogu se podijeliti sa dva, ali svi ostali dati brojevi ne mogu.

Ova karakteristika se široko koristi u problemima u kojima morate rastaviti broj na proste faktore. Hajde da riješimo jedan takav primjer.

Primjer 2

Stanje: rastaviti 352 na proste faktore.

Rješenje

Pošto je posljednja znamenka u originalnom broju 2, onda ga prema kriteriju djeljivosti možemo podijeliti na dva bez ostatka. Uradimo ovo: 352: 2 = 176 i 352 = 2 176 . Rezultirajući broj 176 također je podijeljen sa dva: 176: 2 = 88 i 176 = 2 88. Ovaj broj se također može podijeliti: 88: 2 = 44, 88 = 2 44 i 352 = 2 2 88 = 2 2 2 44. Nastavljamo proširenje: 44: 2 = 22 i 44 = 2 22, dakle, 352 = 2 2 2 44 = 2 2 2 2 22; onda je 22: 2 = 11, odakle je 22 = 2 11 i 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Konačno, došli smo do broja koji nije djeljiv sa 2. Tabela prostih brojeva nam govori da je ovaj broj prost, tako da se tu završava faktorizacija.

odgovor: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

Podjela brojeva na parne i neparne zasniva se upravo na tome da li su djeljivi sa 2 ili ne. Poznavajući ovaj znak djeljivosti, možemo reći da se svi parni brojevi završavaju brojem 0, 2, 4, 6 ili 8, a svi neparni brojevi - 1, 3, 5, 7 ili 9.

Kako možete dokazati test djeljivosti sa 2

Prije nego što pređemo direktno na dokaz ove karakteristike, moramo dokazati dodatnu tvrdnju. Formulisan je ovako:

Definicija 2

Svi prirodni brojevi koji završavaju na nulu mogu se podijeliti sa dva bez ostatka.

Koristeći pravilo množenja prirodnog broja sa 10, možemo predstaviti određeni broj a kao a = a 1 · 10 . Broj a 1, zauzvrat, će se dobiti iz a ako se iz njega ukloni posljednja znamenka.

Evo primjera takve akcije: 470 = 47 10, gdje je a = 470 i a 1 = 47; ili 38 010 10, ovdje a = 380 100 i a 1 = 38 010. Drugi faktor u ovom proizvodu (10) može se podijeliti sa 2, tako da se cijeli proizvod može podijeliti sa 2. Ova izjava je zasnovana na odgovarajućem svojstvu djeljivosti.

Prelazimo na dokaz testa djeljivosti sa 2. Da bismo to učinili praktičnijim, predstavljamo ga kao teoremu, tj. kao neophodan i dovoljan uslov za deljivost celog broja sa dva.

Teorema 1

Da bi se cijeli broj a podijelio sa dva, neophodan i dovoljan uslov je da posljednja znamenka bude 0, 2, 4, 6 ili 8.

Dokaz 1

Kako dokazati ovu tvrdnju? Prvo, predstavimo originalni broj a kao zbir desetica i jedinica, tj. zapišimo to kao a = a 1 10 + a 0 . Ovdje će 1 biti broj koji proizlazi iz a kada se posljednja znamenka eliminira, a 0 odgovara posljednjoj cifri ovog broja (izrazi 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10 + 8 također mogu biti primjeri takvo predstavljanje). Posao a 1 10, uzeto iz jednakosti a = a 1 · 10 + a 0 , uvijek će biti djeljivo sa dva, što je prikazano pomoću ove teoreme.

Ostatak dokaza zasniva se na određenom svojstvu djeljivosti, naime: ako imamo tri broja koji čine jednadžbu t = u + v, a dva od njih su djeljiva cijelim brojem z, tada se i treći broj može podijeliti od z .

Ako se a može podijeliti sa dva, tada će prema ovom svojstvu, kao i prema prikazu a = a 1 10 + a 0, broj a 0 biti podijeljen sa dva, a to je moguće samo ako je 0 = 0 , 2, 4, 6 ili osam .

A ako a nije djeljivo sa 2, onda na osnovu istog svojstva, broj a 0 neće biti djeljiv ni sa 2, što je moguće samo kada je a 0 = 1, 3, 5, 7 ili 9. Ovo je neophodan dokaz neophodnosti.

Pogledajmo sada obrnutu situaciju. Ako imamo broj a čija je zadnja cifra 0, 2, 4, 6 ili 8, tada a 0 podijeljena 2 . Specificirano svojstvo djeljivosti i reprezentacija a = a1 10 + a0 dopušta nam da zaključimo da je a djeljivo sa 2 . Ako a ima posljednju cifru 1, 3, 5, 7 ili 9, tada 0 nije djeljivo sa 2 , tako da a također nije djeljivo sa 2 , inače bi reprezentacija a = a 1 10 + a 0 sama po sebi bila djeljiva sa 2 , što je nemoguće. Dokazana je dovoljnost uslova.

Na kraju, napominjemo da brojevi sa posljednjom cifrom 1, 3, 5, 7 ili 9, kada se podijele sa dva, uvijek daju ostatak od jedan.

Uzmimo slučaj kada se dati broj završava jednom od ovih cifara. Tada možemo predstaviti a kao a = b + 1, pri čemu b ima 0, 2, 4, 6 ili 8 kao posljednju cifru. Na osnovu kriterija djeljivosti po 2 broj b se može podijeliti sa 2 , dakle, prema definiciji djeljivosti, može se predstaviti i kao b = 2 · q , gdje će q biti neki cijeli broj. Dobili smo da je a = 2 q + 1 . Ovaj prikaz nam pokazuje da kada dijelimo broj a sa 2 rezultat je nepotpuni količnik q i ostatak od 1 (ako je potrebno, pročitajte ponovo članak o podjeli cijelih brojeva s ostatkom).

Ostali slučajevi određivanja djeljivosti sa 2

U ovom paragrafu ćemo analizirati one slučajeve u kojima broj čiju djeljivost sa 2 treba odrediti nije direktno dat, već je određen nekom vrijednošću doslovnog izraza. Ovdje ne možemo koristiti predznak koji je gore naveden, a također je nemoguće direktno podijeliti ovaj izraz sa 2. Dakle, moramo naći neko drugo rješenje.

Postoji pristup rješavanju takvih problema koji se zasniva na sljedećem svojstvu djeljivosti: proizvod cijelih brojeva može se podijeliti određenim brojem kada je barem jedan od faktora djeljiv s njim. Stoga, ako možemo transformirati doslovni izraz u proizvod odvojenih faktora, od kojih je jedan djeljiv sa dva, tada će biti moguće dokazati da je i originalni izraz djeljiv sa 2.

Za transformaciju datog izraza možemo koristiti Newtonovu binomnu formulu. Pogledajmo takav zadatak.

Primjer 3

Stanje: odrediti može li se vrijednost izraza 3 n + 4 n - 1 podijeliti sa 2 za neko prirodno n .

Rješenje

Prvo, zapišimo očiglednu jednakost 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Sada uzimamo Newtonovu binomnu formulu, primjenjujemo je i pojednostavljujemo ono što smo dobili:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

U posljednjoj jednakosti vadimo dvije iz zagrada i dobivamo sljedeću jednakost:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

U ovoj jednakosti, desnu stranu možete podijeliti sa dva za bilo koju prirodnu vrijednost n, jer tamo postoji faktor jednak 2. Pošto između izraza postoji znak jednakosti, možete podijeliti sa 2 i na lijevoj strani.

odgovor: ovaj izraz se može podijeliti sa 2.

Često se djeljivost može dokazati metodom matematičke indukcije. Uzmimo isti izraz kao u gornjem primjeru i pokažimo kako primijeniti ovu metodu u praksi.

Primjer 4

Stanje: saznati da li je izraz 3 n + 4 n - 1 djeljiv sa 2 za bilo koju prirodnu vrijednost n .

Rješenje

Koristimo matematičku indukciju. Prvo, dokažimo da se vrijednost izraza 3 n + 4 n - 1 sa n jednakim jedan može podijeliti sa 2 . Dobijamo 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, šest je djeljivo sa dva bez ostatka. Pomakni se. Uzmimo n jednako k i pretpostavimo da je 3 k + 4 k - 1 deljivo sa dva.

Koristeći ovu pretpostavku, dokazujemo da se 3 n + 4 n - 1 može podijeliti sa 2 ako je to moguće za 3 k + 4 k - 1 . Da bismo to dokazali, potrebno je izvršiti nekoliko transformacija.

3 3 k + 4 k - 1 je deljivo sa dva, pošto je to moguće za 3 k + 4 k - 1 , izraz 2 4 k - 3 se takođe može podeliti sa 2, jer ima faktor 2, što znači da je razlika ova dva izraza također deljiva sa 2, što se objašnjava odgovarajućim svojstvom djeljivosti.

Odgovori: izraz 3 n + 4 n - 1 je djeljiv sa 2 za bilo koje prirodno n .

Zaustavimo se posebno na slučaju kada se u proizvodu nalaze dva broja jedan pored drugog, koji slijede jedan za drugim u prirodnom nizu brojeva. Takav rad se takođe deli na dva dela.

Primjer 5

Na primjer, izraz kao što je (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) je djeljiv sa 2 za bilo koju prirodnu vrijednost n, jer sadrži brojeve koji slijede jedan za drugim u prirodnom nizu su n + 6 i n + 7 .

Slično, ako postoje dva faktora, između kojih postoji paran broj članova prirodnog niza, proizvod se može podijeliti sa 2. Dakle, vrijednost (n + 1) (n + 6) je podijeljena sa dva za bilo koje prirodno n, jer između n + 5 i n + 6 postoji paran broj brojeva: n + 2, n + 3, n + 4 i n + 5.

Hajde da spojimo sve o čemu smo govorili u prethodnim paragrafima. Ako se može pokazati da je vrijednost izraza djeljiva sa dva kada n = 2 m, kao i n = 2 m + 1 i proizvoljan cijeli broj m, onda će to biti dokaz da je originalni izraz djeljiv sa 2 za bilo koje cjelobrojne vrijednosti od n.

Primjer 6

Stanje: provjeriti da li je izraz djeljiv sa 2 n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 za bilo koje prirodne vrijednosti n.

Rješenje

Prvo, predstavljamo ovaj izraz kao proizvod (n + 2) 2 · (n + 3) . Ako je potrebno, ponovite kako pravilno faktorizirati polinom. Imamo dva množitelja n + 2 i n + 3, koji odgovaraju brojevima koji stoje jedan do drugog u prirodnom nizu. U svakom slučaju, jedan od njih je djeljiv sa 2, što znači da je i cijeli proizvod djeljiv sa 2. Isto važi i za originalni izraz.

Ovaj problem ima još jedno rješenje. Ako a n = 2 m, tada je n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3 . Ovdje postoji faktor četiri, zbog čega će cijeli proizvod biti djeljiv sa 2.

Ako n = 2 m + 1, onda

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Ovdje postoji faktor 2, što znači da cijeli proizvod ima djeljivost sa 2.

odgovor: ovo je dokaz da izraz n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) može se podijeliti sa dva za bilo koju prirodnu vrijednost n.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Počnimo s razmatranjem teme "Znak djeljivosti sa 3". Počnimo sa formulacijom znaka, daćemo dokaz teoreme. Zatim ćemo razmotriti glavne pristupe utvrđivanju djeljivosti sa 3 broja, čija je vrijednost data nekim izrazom. Odjeljak daje analizu rješenja glavnih tipova problema na osnovu upotrebe kriterija djeljivosti sa 3 .

Znak djeljivosti sa 3, primjeri

Znak djeljivosti sa 3 je jednostavno formuliran: cijeli broj će biti djeljiv sa 3 bez ostatka ako je zbir njegovih znamenki djeljiv sa 3. Ako ukupna vrijednost svih znamenki koje čine cijeli broj nije djeljiva sa 3, tada sam originalni broj nije djeljiv sa 3. Možete dobiti zbir svih cifara u cijelom broju dodavanjem prirodnih brojeva.

Pogledajmo sada primjere primjene kriterija djeljivosti sa 3.

Primjer 1

Da li je 42 deljivo sa 3?

Rješenje

Da bismo odgovorili na ovo pitanje, zbrojimo sve brojeve koji čine broj - 42: 4 + 2 = 6.

odgovor: prema kriteriju djeljivosti, budući da je zbir cifara uključenih u porast originalnog broja djeljiv sa tri, tada je i sam originalni broj djeljiv sa 3.

Da bismo odgovorili na pitanje da li je broj 0 djeljiv sa 3, potrebno nam je svojstvo djeljivosti prema kojem je nula djeljiva s bilo kojim cijelim brojem. Ispada da je nula deljiva sa tri.

Postoje problemi za čije rješavanje je potrebno nekoliko puta pribjeći kriteriju djeljivosti sa 3.

Primjer 2

Pokaži da je broj 907 444 812 je djeljiv sa 3.

Rješenje

Nađimo zbir svih cifara koje čine zapis originalnog broja: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Sada moramo utvrditi da li je broj 39 djeljiv sa 3. Još jednom dodajte brojeve koji čine ovaj broj: 3 + 9 = 12 . Ostaje nam da ponovo izvršimo sabiranje brojeva kako bismo dobili konačan odgovor: 1 + 2 = 3 . Broj 3 je djeljiv sa 3

odgovor: originalni broj 907 444 812 takođe je deljiv sa 3.

Primjer 3

Da li je deljivo sa 3 − 543 205 ?

Rješenje

Izračunajmo zbir cifara koje čine originalni broj: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Sada izračunajmo zbir cifara rezultirajućeg broja: 1 + 9 = 10 . Da bismo dobili konačan odgovor, pronađimo rezultat još jednog dodavanja: 1 + 0 = 1 .
odgovor: 1 nije djeljiv sa 3, tako da ni originalni broj nije djeljiv sa 3.

Da bismo utvrdili da li je dati broj djeljiv sa 3 bez ostatka, možemo dati broj podijeliti sa 3. Ako podijelimo broj − 543 205 iz gornjeg primjera sa kolonom od tri, onda u odgovoru nećemo dobiti cijeli broj. Ovo takođe znači upravo to − 543 205 nije djeljiva sa 3.

Dokaz testa djeljivosti sa 3

Ovdje su nam potrebne sljedeće vještine: rastavljanje broja na znamenke i pravilo za množenje sa 10, 100 itd. Da bismo izveli dokaz, potrebno je da dobijemo prikaz broja a oblika , gdje a n , a n − 1 , … , a 0- To su brojevi koji se nalaze s lijeva na desno u zapisu broja.

Evo primjera koristeći određeni broj: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Napišimo niz jednakosti: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 i tako dalje.

Sada zamijenimo ove jednakosti umjesto 10, 100 i 1000 u jednakosti date ranije a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Tako smo došli do ravnopravnosti:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

A sada primjenjujemo svojstva sabiranja i svojstva množenja prirodnih brojeva kako bismo rezultujuću jednakost prepisali na sljedeći način:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

Izraz a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 je zbir cifara originalnog broja a . Hajde da uvedemo novu kratku notaciju za to ALI. Dobijamo: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

U ovom slučaju, brojčani prikaz je a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A ima oblik koji će nam odgovarati da dokažemo test djeljivosti sa 3 .

Definicija 1

Sada zapamtite sljedeća svojstva djeljivosti:

• neophodan i dovoljan uslov da ceo broj a bude deljiv celim brojem
  b , je uslov kojim je modul broja a djeljiv sa modulom broja b ;
• ako je u jednakosti a = s + t svi članovi, osim nekog, su djeljivi sa nekim cijelim brojem b, tada je i ovaj član djeljiv sa b.

Postavili smo temelje za dokazivanje testa djeljivosti sa 3. Sada formulirajmo ovaj kriterij u obliku teoreme i dokažimo ga.

Teorema 1

Da bismo potvrdili da je cijeli broj a djeljiv sa 3, potrebno nam je i dovoljno da je zbir cifara koje čine zapis broja a djeljiv sa 3.

Dokaz 1

Ako uzmemo vrijednost a = 0, onda je teorema očigledna.

Ako uzmemo broj a koji nije nula, tada će apsolutna vrijednost a biti prirodan broj. Ovo nam omogućava da zapišemo sljedeću jednakost:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , gdje je A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - zbir cifara broja a .

Budući da je zbroj i proizvod cijelih brojeva cijeli broj, onda
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 je cijeli broj, tada je po definiciji djeljivosti proizvod 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 je deljivo sa 3 za bilo koji a 0 , a 1 , … , a n.

Ako je zbir cifara broja a podijeljena 3 , to je, A podijeljena 3 , onda, na osnovu svojstva djeljivosti naznačenog prije teoreme, a je djeljivo sa 3 , Shodno tome, a podijeljena 3 . Ovo dokazuje dovoljnost.

Ako a a podijeljena 3 , tada je a djeljivo sa 3 , zatim, zbog istog svojstva djeljivosti, broj
A podijeljena 3 , odnosno zbir cifara broja a podijeljena 3 . Ovo dokazuje neophodnost.

Ostali slučajevi djeljivosti po 3

Cijeli brojevi se mogu dati kao vrijednost nekog izraza koji sadrži varijablu, uz određenu vrijednost te varijable. Dakle, za neko prirodno n, vrijednost izraza 4 n + 3 n - 1 je prirodan broj. U ovom slučaju, direktna podjela na 3 ne može nam dati odgovor na pitanje da li je broj djeljiv sa 3 . Primjena testa djeljivosti na 3 takođe može biti teško. Razmotrite primjere takvih problema i analizirajte metode za njihovo rješavanje.

Za rješavanje takvih problema može se primijeniti nekoliko pristupa. Suština jednog od njih je sljedeća:

• predstavljaju originalni izraz kao proizvod više faktora;
• saznati može li se barem jedan od faktora podijeliti sa 3 ;
• na osnovu svojstva djeljivosti zaključujemo da je cijeli proizvod djeljiv sa 3 .

U toku rješavanja često se mora pribjeći korištenju Newtonove binomne formule.

Primjer 4

Je li vrijednost izraza 4 n + 3 n - 1 djeljiva sa 3 za bilo koji prirodni n?

Rješenje

Zapišimo jednakost 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Primjenjujemo Newtonovu binomsku formulu Newtonovog binoma:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Sada uzmimo 3 izvan zagrada: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . Dobiveni proizvod sadrži množitelj 3 , a vrijednost izraza u zagradama za prirodno n je prirodan broj. Ovo nam omogućava da tvrdimo da je rezultirajući proizvod i originalni izraz 4 n + 3 n - 1 djeljiv sa 3 .

odgovor: Da.

Možemo primijeniti i metodu matematičke indukcije.

Primjer 5

Dokažite metodom matematičke indukcije da za bilo koju prirodnu
n vrijednost izraza n n 2 + 5 je djeljiva sa 3 .

Rješenje

Pronađite vrijednost izraza n n 2 + 5 for n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 je djeljivo sa 3 .

Pretpostavimo sada da je vrijednost izraza n n 2 + 5 for n=k podijeljena 3 . U stvari, morat ćemo raditi s izrazom k · k 2 + 5 , za koji očekujemo da će biti djeljiv sa 3 .

S obzirom da je k · k 2 + 5 deljivo sa 3 , pokažimo da je vrijednost izraza n n 2 + 5 for n=k+1 podijeljena 3 , odnosno pokazaćemo da je k + 1 k + 1 2 + 5 deljivo sa 3 .

Uradimo transformacije:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Izraz k (k 2 + 5) je djeljiv sa 3 a izraz 3 k 2 + k + 2 je djeljiv sa 3 , pa je njihov zbir djeljiv sa 3 .

Tako smo dokazali da je vrijednost izraza n (n 2 + 5) djeljiva sa 3 za bilo koji prirodni n .

Analizirajmo sada pristup dokazu djeljivosti po 3 , koji se zasniva na sljedećem algoritmu radnji:

• pokazujemo da je vrijednost ovog izraza sa varijablom n za n = 3 m , n = 3 m + 1 i n = 3 m + 2, gdje m je proizvoljan cijeli broj, djeljiv sa 3 ;
• zaključujemo da će izraz biti djeljiv sa 3 za bilo koji cijeli broj n.

Kako ne bismo skrenuli pažnju sa manjih detalja, ovaj algoritam primjenjujemo na rješenje prethodnog primjera.

Primjer 6

Pokažite da je n (n 2 + 5) deljivo sa 3 za bilo koji prirodni n .

Rješenje

Pretvarajmo se to n = 3 m. Tada: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. Proizvod koji smo dobili sadrži množitelj 3 , pa je sam proizvod djeljiv sa 3 .

Pretvarajmo se to n = 3 m + 1. onda:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

Proizvod koji smo dobili podijeljen je na 3 .

Pretpostavimo da je n = 3 · m + 2 . onda:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Ovaj rad je takođe podeljen na 3 .

odgovor: Tako smo dokazali da je izraz n n 2 + 5 djeljiv sa 3 za bilo koji prirodni n .

Primjer 7

Da li je podeljen na 3 vrijednost izraza 10 3 n + 10 2 n + 1 za neko prirodno n .

Rješenje

Pretvarajmo se to n=1. Dobijamo:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Pretvarajmo se to n=2. Dobijamo:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10 000 + 1 = 1010001

Dakle, možemo zaključiti da ćemo za bilo koje prirodno n dobiti brojeve koji su djeljivi sa 3. To znači da je 10 3 n + 10 2 n + 1 deljivo sa 3 za bilo koje prirodno n.

odgovor: Da

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

ZNACI DJELJIVOSTI brojevi - najjednostavniji kriterijumi (pravila) koji omogućavaju procenu deljivosti (bez ostatka) nekih prirodnih brojeva drugim. Rješavajući pitanje djeljivosti brojeva, znaci djeljivosti se svode na operacije nad malim brojevima, koje se obično izvode u umu.
Budući da je osnova općeprihvaćenog brojevnog sistema 10, najjednostavniji i najčešći su znakovi djeljivosti na djelitelje brojeva tri vrste: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Prvi tip - znaci djeljivosti djeliteljima broja 10 k, za djeljivost bilo kojeg cijelog broja N bilo kojim cijelim djeliteljem q broja 10 k potrebno je i dovoljno da zadnje k-cifreno lice (k-cifreni završetak) broja N je djeljiv sa q. Konkretno (za k = 1, 2 i 3), dobivamo sljedeće znakove djeljivosti na djelitelje brojeva 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) i 10 3 \u003d 1000 (I 3):
I 1 . Za 2, 5 i 10 - jednocifreni završetak (poslednja cifra) broja mora biti deljiv sa 2, 5 i 10. Na primer, broj 80 110 je deljiv sa 2, 5 i 10, pošto je poslednji cifra 0 ovog broja je djeljiva sa 2, 5 i deset; 37835 je djeljivo sa 5, ali ne sa 2 i 10 jer je zadnja znamenka od 5 djeljiva sa 5, ali ne sa 2 i 10.

I 2 . Sa 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 i 100, dvocifreni završetak broja mora biti deljiv sa 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 i 100, respektivno. na primjer, broj 7.840.700 je djeljiv sa 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 i 100, jer je dvocifreni završetak 00 ovog broja djeljiv sa 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 i 100; broj 10 831 750 je djeljiv sa 2, 5, 10, 25 i 50, ali nije djeljiv sa 4, 20 i 100, jer je dvocifreni završetak 50 ovog broja djeljiv sa 2, 5, 10, 25 i 50, ali nije djeljiv sa 4, 20 i 100.

I 3 . Za 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 i 1000 - trocifreni završetak broja mora se podijeliti sa 2,4,5,8 ,10, 20, respektivno, 25 40 50 100 125 200 250 500 i 1000 broj 51 184 032 je djeljiv sa 2, 4 i 8 i nije djeljiv sa ostatkom, jer je trocifreni završetak 032 datog broja djeljiv samo sa 2, 4 i 8 i nije djeljiv sa ostatkom.

Drugi tip su znakovi djeljivosti djeliteljima broja 10 k - 1: za djeljivost bilo kojeg cijelog broja N bilo kojim cijelim djeliteljem q broja 10 k - 1, potrebno je i dovoljno da zbir k-cifrenih lica broja N je djeljiv sa q. Konkretno (za k = 1, 2 i 3) dobijamo sljedeće znakove djeljivosti na djelioce brojeva 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) i 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . Sa 3 i 9 - zbir cifara (jednocifrenih lica) broja mora biti deljiv sa 3 i 9. 5+0=36 (i 3+6=9) ovog broja je deljivo sa 3 i 9; broj 4 712 586 je djeljiv sa 3, ali nije djeljiv sa 9, jer je zbir cifara 4+7+1+2+5+8+6=33 (i 3+3=6) ovog broja djeljiv sa 3, ali nije deljivo sa 9.

II 2 . Sa 3, 9, 11, 33 i 99 - zbir dvocifrenih strana broja mora biti djeljiv sa 3, 9, 11, 33 i 99. Na primjer, broj 396 198 297 je djeljiv sa 3 , 9, 11, 33 i 99, pošto je zbir dvocifrenih lica 3+96+19+ +82+97=297 (i 2+97=99) djeljiv sa 3, 9,11, 33 i 99; broj 7 265 286 303 je djeljiv sa 3, 11 i 33, ali nije djeljiv sa 9 i 99, jer je zbir dvocifrenih lica 72+65+28+63+03=231 (i 2+31= 33) ovog broja je deljiv sa 3, 11 i 33 i nije deljiv sa 9 i 99.

II 3 . Sa 3, 9, 27, 37, 111, 333 i 999 - zbir trocifrenih lica broja mora biti djeljiv sa 3, 9, 27, 37, 111, 333 i 999. Na primjer, broj 354 645 871 128 je djeljiv sa svim onima navedenim u ovom znaku broja, jer je zbir trocifrenih lica 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (i 1 + 998 = 999) ovog broja djeljiv sa svaki od njih.

Treći tip su kriteriji za djeljivost djeliteljima broja 10 k + 1: za djeljivost bilo kojeg cijelog broja N bilo kojim cijelim djeliteljem q broja 10 k + 1, potrebno je i dovoljno da razlika između sume k-cifrenih lica na parnim mjestima u N i zbir k-cifrenih lica u N na neparnim mjestima podijeljen je sa q. Konkretno (za k \u003d 1, 2 i 3), dobivamo sljedeće znakove djeljivosti na djelitelje brojeva 10 1 + 1 = 11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) i 10 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . Sa 11 - razlika između zbira cifara (jednocifrena lica) na parnim mjestima i zbira cifara (jednocifrena lica) na neparnim mjestima mora biti djeljiva sa 11. Na primjer, broj 876 583 598 je djeljiv sa 11, pošto je razlika 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (i 1 - 1=0) između zbira cifara na parnim mjestima i zbira cifara na neparnim mjestima djeljiva do 11.

III 2 . Sa 101 - razlika između zbira dvocifrenih lica na parnim mjestima i zbira dvocifrenih lica na neparnim mjestima mora biti djeljiva sa 101. Na primjer, broj 8 130 197 je djeljiv sa 101, jer je razlika 8-13 + 01- 97 = 101 (i 1-01=0) između zbira dvocifrenih lica na parnim mjestima u ovom broju i zbira dvocifrenih lica na neparnim mjestima je djeljiv sa 101.

III 3 . Sa 7, 11, 13, 77, 91, 143 i 1001 - razlika između zbira trocifrenih lica na parnim mjestima i zbira trocifrenih lica na neparnim mjestima mora se podijeliti sa 7, 11, 13, 77 91, 143 i 1001. Na primjer, broj 539 693 385 je djeljiv sa 7, 11 i 77, ali nije djeljiv sa 13, 91, 143 i 1001, jer je 539 - 693+385 djeljiv sa 23 7, 11 i 77 i nije djeljiv sa 13, 91, 143 i 1001.

Postoje znakovi po kojima je ponekad lako saznati, bez stvarnog dijeljenja, da li je dati broj djeljiv ili nije djeljiv nekim drugim brojevima.

Zovu se brojevi koji su djeljivi sa 2 čak. Broj nula je takođe paran broj. Svi ostali brojevi se pozivaju odd:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - parno,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... su neparni.

Znakovi djeljivosti

Znak djeljivosti sa 2. Broj je djeljiv sa 2 ako je njegova zadnja cifra paran. Na primjer, broj 4376 je djeljiv sa 2 jer je posljednja znamenka (6) paran.

Znak djeljivosti sa 3. Samo oni brojevi su djeljivi sa 3 čiji je zbir cifara djeljiv sa 3. Na primjer, broj 10815 je djeljiv sa 3, jer je zbir njegovih cifara 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 djeljiv sa 3.

Znakovi djeljivosti sa 4. Broj je djeljiv sa 4 ako su njegove posljednje dvije cifre nule ili čine broj koji je djeljiv sa 4. Na primjer, broj 244500 je djeljiv sa 4 jer se završava s dvije nule. Brojevi 14708 i 7524 su djeljivi sa 4 jer su zadnje dvije cifre ovih brojeva (08 i 24) djeljive sa 4.

Znakovi djeljivosti sa 5. Brojevi koji završavaju sa 0 ili 5 djeljivi su sa 5. Na primjer, broj 320 je djeljiv sa 5 jer je zadnja cifra 0.

Znak djeljivosti sa 6. Broj je djeljiv sa 6 ako je djeljiv i sa 2 i sa 3. Na primjer, broj 912 je djeljiv sa 6 jer je djeljiv sa 2 i 3.

Znakovi djeljivosti sa 8. Deljivi sa 8 su oni brojevi u kojima su poslednje tri cifre nule ili čine broj koji je deljiv sa 8. Na primer, broj 27000 je deljiv sa 8, jer se završava sa tri nule. Broj 63128 je djeljiv sa 8 jer posljednje tri cifre čine broj (128) koji je djeljiv sa 8.

Znak djeljivosti sa 9. Samo oni brojevi čiji je zbir cifara djeljiv sa 9 su djeljivi sa 9. Na primjer, broj 2637 je djeljiv sa 9, jer je zbir njegovih cifara 2 + 6 + 3 + 7 = 18 djeljiv sa 9.

Znakovi djeljivosti sa 10, 100, 1000 itd. 10, 100, 1000 i tako dalje djeljivi su onim brojevima koji završavaju s jednom nulom, dvije nule, tri nule itd. Na primjer, broj 3800 je djeljiv sa 10 i 100.

Znak djeljivosti sa 3
Broj je djeljiv sa 3 ako i samo ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 3.

Deljivost sa 4 znaka
Broj je djeljiv sa 4 ako i samo ako je broj njegove posljednje dvije znamenke nula ili djeljiv sa 4.

Znak djeljivosti sa 5
Broj je djeljiv sa 5 ako i samo ako je posljednja znamenka djeljiva sa 5 (tj. jednaka je 0 ili 5).

Znak djeljivosti sa 6
Broj je djeljiv sa 6 ako i samo ako je djeljiv sa 2 i 3.

Znak djeljivosti sa 7
Broj je djeljiv sa 7 ako i samo ako je rezultat dvostrukog oduzimanja zadnje cifre od ovog broja bez zadnje znamenke djeljiv sa 7 (na primjer, 259 je djeljivo sa 7, jer je 25 - (2 9) = 7 djeljivo od 7).

Znak djeljivosti sa 8
Broj je djeljiv sa 8 ako i samo ako su njegove posljednje tri cifre nule ili čine broj koji je djeljiv sa 8.

Znak djeljivosti sa 9
Broj je djeljiv sa 9 ako i samo ako je zbir njegovih cifara djeljiv sa 9.

Znak djeljivosti sa 10
Broj je djeljiv sa 10 ako i samo ako se završava nulom.

Znak djeljivosti sa 11
Broj je djeljiv sa 11 ako i samo ako je zbir cifara sa naizmjeničnim predznacima djeljiv sa 11 (to jest, 182919 je djeljiv sa 11, jer je 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 djeljiv sa 11) - posledica činjenice da svi brojevi oblika 10 n kada se podele sa 11 daju ostatak od (-1) n .

Znak djeljivosti sa 12
Broj je djeljiv sa 12 ako i samo ako je djeljiv sa 3 i 4.

Znak djeljivosti sa 13
Broj je djeljiv sa 13 ako i samo ako je broj njegovih desetica, dodat četverostrukom broju jedinica, višestruki od 13 (na primjer, 845 je djeljivo sa 13, jer je 84 + (4 5) = 104 djeljivo sa 13).

Znak djeljivosti sa 14
Broj je djeljiv sa 14 ako i samo ako je djeljiv sa 2 i 7.

Znak djeljivosti sa 15
Broj je djeljiv sa 15 ako i samo ako je djeljiv sa 3 i 5.

Znak djeljivosti sa 17
Broj je djeljiv sa 17 ako i samo ako je broj njegovih desetica, dodat broju jedinica uvećanih za 12, višekratnik od 17 (na primjer, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Pošto je 34 deljivo sa 17, onda je 29053 takođe deljivo sa 17). Znak nije uvijek prikladan, ali ima određeno značenje u matematici. Postoji malo jednostavniji način - broj je djeljiv sa 17 ako i samo ako je razlika između broja njegovih desetica i petostrukog broja jedinica višestruka od 17 (na primjer, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. pošto 15 nije deljivo sa 17, onda ni 32952 nije deljivo sa 17)

Znak djeljivosti sa 19
Broj je djeljiv sa 19 ako i samo ako je broj njegovih desetica, dodat dvostrukom broju jedinica, višekratnik od 19 (na primjer, 646 je djeljivo sa 19, jer je 64 + (6 2) = 76 djeljivo do 19).

Znak djeljivosti sa 23
Broj je djeljiv sa 23 ako i samo ako su njegove stotine plus utrostručene njegove desetice višestruki od 23 (na primjer, 28842 je djeljivo sa 23, jer 288 + (3 * 42) = 414 nastavlja 4 + (3 * 14) = 46 je očigledno deljivo sa 23).

Znak djeljivosti sa 25
Broj je djeljiv sa 25 ako i samo ako su njegove posljednje dvije znamenke djeljive sa 25 (to jest, oblik 00, 25, 50 ili 75) ili je broj višekratnik broja 5.

Znak djeljivosti sa 99
Broj dijelimo na grupe od po 2 cifre s desna na lijevo (krajnja lijeva grupa može imati jednu cifru) i nalazimo zbir ovih grupa, smatrajući ih dvocifrenim brojevima. Ovaj zbir je djeljiv sa 99 ako i samo ako je sam broj djeljiv sa 99.

Znak djeljivosti sa 101
Broj dijelimo na grupe od po 2 znamenke s desna na lijevo (krajnja lijeva grupa može imati jednu cifru) i nalazimo zbir ovih grupa sa promjenjivim predznacima, smatrajući ih dvocifrenim brojevima. Ovaj zbir je djeljiv sa 101 ako i samo ako je sam broj djeljiv sa 101. Na primjer, 590547 je djeljiv sa 101, jer je 59-05+47=101 djeljivo sa 101).