Šta je pozitivan cijeli broj. Brojevi

Formiraju se informacije u ovom članku opšta ideja o cijeli brojevi. Prvo se daje definicija cijelih brojeva i daju se primjeri. Zatim se razmatraju cijeli brojevi na brojevnoj liniji, iz kojih postaje jasno koji se brojevi nazivaju pozitivnim cijelim brojevima, a koji negativnim cijelim brojevima. Nakon toga je prikazano kako se promjene u količinama opisuju cijelim brojevima, a negativni cijeli brojevi razmatraju u smislu duga.

Navigacija po stranici.

Cijeli brojevi - definicija i primjeri

Definicija.

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, broj nula, kao i brojevi suprotni prirodnim.

Definicija cijelih brojeva kaže da je bilo koji od brojeva 1, 2, 3, …, broj 0, kao i bilo koji od brojeva −1, −2, −3, … cijeli broj. Sada možemo lako donijeti cjelobrojni primjeri. Na primjer, broj 38 je cijeli broj, broj 70 040 je također cijeli broj, nula je cijeli broj (sjetite se da nula NIJE prirodan broj, nula je cijeli broj), brojevi −999 , −1 , −8 934 832 su također primjeri cijelih brojeva.

Pogodno je sve cijele brojeve predstaviti kao niz cijelih brojeva, koji ima sljedeći oblik: 0, ±1, ±2, ±3, ... Niz cijelih brojeva se može napisati i na sljedeći način: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Iz definicije cijelih brojeva slijedi da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva. Dakle, svaki prirodni broj je cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.

Cijeli brojevi na koordinatnoj liniji

Definicija.

Cjelobrojni pozitivni brojevi su cijeli brojevi koji su veći od nule.

Definicija.

Cjelobrojni negativni brojevi su cijeli brojevi manji od nule.

Cjelobrojni pozitivni i negativni brojevi također se mogu odrediti njihovim položajem na koordinatnoj liniji. Na horizontalnoj koordinatnoj liniji, tačke čije su koordinate pozitivni cijeli brojevi leže desno od početka. Zauzvrat, tačke sa negativnim celobrojnim koordinatama nalaze se levo od tačke O.

Jasno je da je skup svih pozitivnih cijelih brojeva skup prirodnih brojeva. Zauzvrat, skup svih negativnih cijelih brojeva je skup svih brojeva suprotnih prirodnim brojevima.

Zasebno, skrećemo vam pažnju na činjenicu da bilo koji prirodan broj možemo sa sigurnošću nazvati cijelim brojem, a nijedan cijeli broj NE možemo nazvati prirodnim brojem. Prirodnim možemo nazvati samo svaki pozitivan cijeli broj, budući da negativni cijeli brojevi i nula nisu prirodni.

Cjelobrojni nepozitivni i cjelobrojni nenegativni brojevi

Hajde da damo definicije nepozitivnih celih brojeva i nenegativnih celih brojeva.

Definicija.

Pozivaju se svi pozitivni cijeli brojevi zajedno sa nulom cijelih nenegativnih brojeva.

Definicija.

Cjelobrojni nepozitivni brojevi su svi negativni cijeli brojevi zajedno sa brojem 0 .

Drugim riječima, nenegativni cijeli broj je cijeli broj koji je veći ili jednak nuli, a nepozitivni cijeli broj je cijeli broj manji ili jednak nuli.

Primjeri nepozitivnih cijelih brojeva su brojevi -511, -10 030, 0, -2, a kao primjeri nenegativnih cijelih brojeva navedimo brojeve 45, 506, 0, 900 321.

Najčešće se termini "ne-pozitivni cijeli brojevi" i "ne-negativni cijeli brojevi" koriste radi sažetosti. Na primjer, umjesto izraza "broj a je cijeli broj, a a veći od nule ili jednak nuli", možete reći "a je nenegativan cijeli broj".

Opis promjene vrijednosti pomoću cijelih brojeva

Vrijeme je da razgovaramo o tome čemu služe cijeli brojevi.

Glavna svrha cijelih brojeva je da je uz njihovu pomoć prikladno opisati promjenu broja bilo koje stavke. Hajde da se pozabavimo ovim primerima.

Pretpostavimo da postoji određena količina dijelova na zalihama. Ako se, na primjer, u skladište dovede još 400 dijelova, tada će se broj dijelova u skladištu povećati, a broj 400 izražava ovu promjenu količine u pozitivnom smjeru (u smjeru povećanja). Ako se na primjer uzme 100 dijelova iz skladišta, tada će se broj dijelova u skladištu smanjiti, a broj 100 će iskazati promjenu količine u negativnom smjeru (u smjeru smanjenja). U skladište se neće unositi dijelovi, niti se dijelovi oduzimati iz skladišta, tada možemo govoriti o nepromjenjivosti broja dijelova (tj. možemo govoriti o nultoj promjeni količine).

U navedenim primjerima, promjena broja dijelova može se opisati cijelim brojevima 400 , −100 i 0, redom. Pozitivan cijeli broj 400 označava pozitivnu promjenu količine (povećanje). Negativni cijeli broj −100 izražava negativnu promjenu količine (smanjenje). Cijeli broj 0 označava da se količina nije promijenila.

Pogodnost korištenja cijelih brojeva u odnosu na korištenje prirodnih brojeva je u tome što nema potrebe eksplicitno naznačiti da li se količina povećava ili smanjuje – cijeli broj kvantitativno specificira promjenu, a predznak cijelog broja ukazuje na smjer promjene.

Cijeli brojevi također mogu izraziti ne samo promjenu količine, već i promjenu neke vrijednosti. Pozabavimo se ovim na primjeru promjene temperature.

Povećanje temperature za, recimo, 4 stepena izražava se kao pozitivan cijeli broj 4. Smanjenje temperature, na primjer, za 12 stepeni može se opisati negativnim cijelim brojem -12. A invarijantnost temperature je njena promjena, određena cijelim brojem 0.

Odvojeno, mora se reći o tumačenju negativnih cijelih brojeva kao iznosa duga. Na primjer, ako imamo 3 jabuke, tada pozitivni cijeli broj 3 predstavlja broj jabuka koje posjedujemo. S druge strane, ako nekome moramo dati 5 jabuka, a nemamo ih na raspolaganju, onda se ova situacija može opisati negativnim cijelim brojem −5. U ovom slučaju „posjedujemo“ −5 jabuka, znak minus označava dug, a broj 5 kvantificira dug.

Razumijevanje negativnog cijelog broja kao duga omogućava, na primjer, opravdanje pravila za dodavanje negativnih cijelih brojeva. Uzmimo primjer. Ako neko duguje 2 jabuke jednoj osobi i jednu jabuku drugoj, onda je ukupan dug 2+1=3 jabuke, dakle −2+(−1)=−3 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.

Broj- najvažniji matematički koncept koji se menjao tokom vekova.

Prve ideje o broju proizašle su iz brojanja ljudi, životinja, voća, raznih proizvoda itd. Rezultat su prirodni brojevi: 1, 2, 3, 4, ...

Istorijski gledano, prvo proširenje koncepta broja je dodavanje razlomaka prirodnom broju.

Shot naziva se dio (udio) jedinice ili više njenih jednakih dijelova.

Označeno: , gdje m,n- cijeli brojevi;

Razlomci sa nazivnikom 10 n, gdje n je cijeli broj, oni se nazivaju decimalni: .

Među decimalnim razlomcima posebno mjesto zauzima periodični razlomci: - čisti periodični razlomak, - mješovita periodična frakcija.

Dalje širenje pojma broja već je uzrokovano razvojem same matematike (algebre). Descartes u 17. vijeku uvodi koncept negativan broj.

Zovu se brojevi cijeli (pozitivni i negativni), razlomci (pozitivni i negativni) i nula racionalni brojevi. Svaki racionalni broj može se napisati kao konačni i periodični razlomak.

Za proučavanje varijabli koje se neprestano mijenjaju, pokazalo se da je potrebno proširiti koncept broja - uvođenje realnih (realnih) brojeva - dodavanjem iracionalnih brojeva racionalnim brojevima: iracionalni brojevi su beskonačni decimalni neperiodični razlomci.

Iracionalni brojevi su se pojavili prilikom mjerenja nesamjerljivih segmenata (strana i dijagonala kvadrata), u algebri - pri vađenju korijena, primjer transcendentalnog, iracionalnog broja je π, e .

Brojevi prirodno(1, 2, 3,...), cijeli(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionalno(predstavljeno kao razlomak) i iracionalno(ne može se predstaviti kao razlomak ) formiraju set pravi (pravi) brojevi.

Zasebno se u matematici razlikuju kompleksni brojevi.

Kompleksni brojevi nastaju u vezi sa problemom rješavanja kvadrata za slučaj D< 0 (здесь D je diskriminanta kvadratne jednačine). Dugo vremena ovi brojevi nisu našli fizičku upotrebu, zbog čega su nazvani "imaginarni" brojevi. Međutim, sada se vrlo široko koriste u raznim oblastima fizike i tehnologije: elektrotehnici, hidro- i aerodinamici, teoriji elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi zapisuju se kao: z= a+ bi. Evo a I b – realni brojevi, ali i – imaginarna jedinica.e. i 2 = -jedan. Broj a pozvao apscisa, a b-ordinate kompleksni broj a+ bi. Dva kompleksna broja a+ bi I a-bi pozvao konjugirati kompleksni brojevi.

Svojstva:

1. Realni broj ali može se napisati i kao kompleksan broj: a+ 0i ili a - 0i. Na primjer 5 + 0 i i 5 - 0 i znači isti broj 5 .

2. Kompleksni broj 0 + bi pozvao čisto imaginarno broj. Snimanje bi znači isto što i 0 + bi.

3. Dva kompleksna broja a+ bi I c+ di smatraju se jednakim ako a= c I b= d. Inače, kompleksni brojevi nisu jednaki.

Akcije:

Dodatak. Zbir kompleksnih brojeva a+ bi I c+ di naziva se kompleksnim brojem ( a+ c) + (b+ d)i. Na ovaj način, kod sabiranja kompleksnih brojeva, njihove apscise i ordinate se sabiraju posebno.

Oduzimanje. Razlika između dva kompleksna broja a+ bi(smanjeno) i c+ di(oduzeto) se naziva kompleksnim brojem ( a-c) + (b-d)i. Na ovaj način, pri oduzimanju dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.

Množenje. Proizvod kompleksnih brojeva a+ bi I c+ di naziva se kompleksnim brojem.

(ac-bd) + (ad+ bc)i. Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+ bi I c+ di moraju se množiti kao algebarski binomi,

2) broj i ima glavnu imovinu: i 2 = –1.

PRIMJER ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . shodno tome, raddva konjugirana kompleksna broja jednaka je pozitivnom realnom broju.

divizija. Podijelite kompleksan broj a+ bi(djeljivo) na drugu c+ di (razdjelnik) - znači pronaći treći broj e+ fi(chat), koji, kada se pomnoži sa djeliteljem c+ di, što rezultira dividendom a+ bi. Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8+ i) : (2 – 3i) .

Rješenje. Prepišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3 i i radeći sve transformacije, dobijamo:

Zadatak 1: Dodajte, oduzmite, pomnožite i podijelite z 1 do z 2

Izdvajanje kvadratnog korijena: Riješite jednačinu x 2 = -a. Za rješavanje ove jednačine prisiljeni smo koristiti novu vrstu brojeva - imaginarni brojevi . Na ovaj način, imaginarni broj je pozvan čiji je drugi stepen negativan broj. Prema ovoj definiciji imaginarnih brojeva, možemo definirati i imaginarni jedinica:

Zatim za jednadžbu x 2 = - 25 dobijamo dva imaginarni korijen:

Zadatak 2: Riješite jednačinu:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje je poenta A znači broj -3, tačka B je broj 2, i O-nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. Za to biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate s istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broj a+ biće biti predstavljena tačkom P sa apscisomali i ordinateb. Ovaj koordinatni sistem se zove složena ravan .

modul kompleksni broj naziva se dužina vektora OP, koji prikazuje kompleksan broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Kompleksni broj modula a+ bi označeno sa | a+ bi| ili) pismo r i jednak je:

Konjugirani kompleksni brojevi imaju isti modul.

Pravila za crtanje crteža su skoro ista kao i za crtež u kartezijanskom koordinatnom sistemu.Duž osa treba postaviti dimenziju, imajte na umu:

e
jedinica duž realne ose; Rez

imaginarna jedinica duž imaginarne ose. im z

Zadatak 3. Konstruirajte sljedeće kompleksne brojeve na kompleksnoj ravni: , , , , , , ,

1. Brojevi su tačni i približni. Brojevi s kojima se susrećemo u praksi su dvije vrste. Neki daju pravu vrijednost količine, drugi samo približne. Prvi se zove tačan, drugi - približan. Najčešće je zgodno koristiti približan broj umjesto tačnog, pogotovo jer se u mnogim slučajevima tačan broj uopće ne može pronaći.

Dakle, ako kažu da u razredu ima 29 učenika, onda je broj 29 tačan. Ako kažu da je udaljenost od Moskve do Kijeva 960 km, onda je ovdje broj 960 približan, jer, s jedne strane, naši mjerni instrumenti nisu apsolutno tačni, s druge strane, sami gradovi imaju određenu mjeru.

Rezultat operacija s približnim brojevima je također približan broj. Izvođenjem nekih operacija na tačnim brojevima (dijeljenje, izdvajanje korijena), možete dobiti i približne brojeve.

Teorija približnih proračuna omogućava:

1) znajući stepen tačnosti podataka, proceni stepen tačnosti rezultata;

2) uzima podatke sa odgovarajućim stepenom tačnosti, dovoljnim da obezbedi potrebnu tačnost rezultata;

3) racionalizovati proces izračunavanja, oslobađajući ga od onih proračuna koji neće uticati na tačnost rezultata.

2. Zaokruživanje. Jedan od izvora približnih brojeva je zaokruživanje. Zaokružite i približne i tačne brojeve.

Zaokruživanje datog broja na neku od njegovih znamenki je njegova zamjena novim brojem, koji se dobija od datog broja odbacivanjem svih njegovih cifara zapisanih desno od cifre ove cifre, ili njihovim zamjenom nulama. Ove nule su obično podvučene ili napisane manje. Da biste osigurali najbližu blizinu zaokruženog broja onome koji se zaokružuje, potrebno je koristiti sljedeća pravila: da biste zaokružili broj na jedinicu određene cifre, morate odbaciti sve znamenke iza cifre ove cifre, i zamijenite ih nulama u cijelom broju. Ovo uzima u obzir sljedeće:

1) ako je prva (lijeva) odbačenih cifara manja od 5, onda se posljednja preostala cifra ne mijenja (zaokružuje naniže);

2) ako je prva odbačena cifra veća od 5 ili jednaka 5, onda se posljednja preostala cifra povećava za jedan (zaokruživanje).

Pokažimo to primjerima. Zaokružiti:

a) do desetine 12,34;

b) do stotinke 3,2465; 1038.785;

c) do hiljaditih od 3,4335.

d) do 12375 hiljada; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038.785 ≈ 1038.79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Apsolutne i relativne greške. Razlika između tačnog broja i njegove približne vrijednosti naziva se apsolutna greška približnog broja. Na primjer, ako se tačan broj 1,214 zaokruži na desetine, dobićemo približan broj od 1,2. U ovom slučaju, apsolutna greška približnog broja 1,2 je 1,214 - 1,2, tj. 0,014.

Ali u većini slučajeva tačna vrijednost razmatrana vrijednost je nepoznata, ali samo približna. Tada je i apsolutna greška nepoznata. U tim slučajevima navedite granicu koju ne prelazi. Ovaj broj se naziva granična apsolutna greška. Kažu da je tačna vrijednost broja jednaka njegovoj približnoj vrijednosti sa greškom manjom od granične greške. Na primjer, broj 23,71 je približna vrijednost broja 23,7125 sa tačnošću od 0,01, pošto je apsolutna greška aproksimacije 0,0025 i manja od 0,01. Ovdje je granična apsolutna greška jednaka 0,01 *.

Granična apsolutna greška približnog broja ali označena simbolom Δ a. Snimanje

x≈a(±Δ a)

treba shvatiti na sljedeći način: tačnu vrijednost količine x je između ali– Δ a I ali+ Δ ali, koje se nazivaju donja i gornja granica, respektivno. X i označimo NG x VG X.

Na primjer, ako x≈ 2,3 (±0,1), zatim 2,2<x< 2,4.

Obrnuto, ako je 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Apsolutna ili granična apsolutna greška ne karakteriše kvalitet mjerenja. Ista apsolutna greška se može smatrati značajnom i beznačajnom, u zavisnosti od broja koji izražava izmerenu vrednost. Na primjer, ako mjerimo udaljenost između dva grada sa tačnošću od jednog kilometra, onda je takva tačnost sasvim dovoljna za ovu promjenu, dok će u isto vrijeme, kada se mjeri udaljenost između dvije kuće u istoj ulici, takva tačnost će biti neprihvatljivo. Shodno tome, tačnost približne vrednosti veličine zavisi ne samo od veličine apsolutne greške, već i od vrednosti merene veličine. Stoga je mjera tačnosti relativna greška.

Relativna greška je omjer apsolutne greške i vrijednosti približnog broja. Odnos granične apsolutne greške i približnog broja naziva se granična relativna greška; označite to ovako: Relativne i granične relativne greške obično se izražavaju u postocima. Na primjer, ako mjerenja pokažu da je udaljenost X između dvije tačke je više od 12,3 km, ali manje od 12,7 km, tada se kao približna vrijednost uzima aritmetička sredina ova dva broja, tj. njihov polovični zbir, tada je granična apsolutna greška jednaka polurazlici ovih brojeva. U ovom slučaju X≈ 12,5 (±0,2). Ovdje je granična apsolutna greška 0,2 km, a granična relativna

1) Odmah dijelim sa, pošto su oba broja 100% djeljiva sa:

2) Podijelit ću s preostalim velikim brojevima (s), jer su podijeljeni sa bez ostatka (istovremeno, neću razlagati - to je već zajednički djelitelj):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Otići ću na miru i početi razmatrati brojeve i. Oba broja su tačno djeljiva sa (završavaju se parnim znamenkama (u ovom slučaju predstavljamo kao, ali se mogu podijeliti sa)):

4) Radimo sa brojevima i. Da li imaju zajedničke djelitelje? Lako je kao u prethodnim koracima, i ne možete reći, pa ćemo ih onda samo rastaviti na jednostavne faktore:

5) Kao što vidimo, bili smo u pravu: i nemamo zajedničkih djelitelja, a sada treba množiti.
GCD

Zadatak broj 2. Pronađite GCD brojeva 345 i 324

Ovdje ne mogu brzo pronaći barem jedan zajednički djelitelj, pa samo razlažem na proste faktore (što je manje moguće):

Tačno, GCD, i ja u početku nismo provjerili kriterij djeljivosti i, možda, ne bih morao raditi toliko radnji.

Ali provjerili ste, zar ne?

Kao što vidite, prilično je lako.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM) - štedi vrijeme, pomaže u rješavanju problema izvan okvira

Recimo da imate dva broja - i. Koji je najmanji broj koji je djeljiv bez traga(tj. potpuno)? Teško je zamisliti? Evo vizuelnog traga za vas:

Sjećate li se šta to pismo znači? Tako je, samo cijeli brojevi. Dakle, koji je najmanji broj koji odgovara x? :

U ovom slučaju.

Iz ovog jednostavnog primjera slijedi nekoliko pravila.

Pravila za brzo pronalaženje NOC-a

Pravilo 1. Ako je jedan od dva prirodna broja djeljiv drugim brojem, tada je veći od ova dva broja njihov najmanji zajednički višekratnik.

Pronađite sljedeće brojeve:

• NOK (7;21)
• NOK (6;12)
• NOK (5;15)
• NOC (3;33)

Naravno, lako ste se nosili sa ovim zadatkom i dobili ste odgovore -, i.

Imajte na umu da u pravilu govorimo o DVA broja, ako ima više brojeva, onda pravilo ne funkcionira.

Na primjer, LCM (7;14;21) nije jednak 21, jer se ne može podijeliti bez ostatka sa.

Pravilo 2. Ako su dva (ili više od dva) broja međusobno prosta, tada je najmanji zajednički višekratnik jednak njihovom proizvodu.

naći NOC za sljedeće brojeve:

• NOC (1;3;7)
• NOK (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Jeste li brojali? Evo odgovora - , ; .

Kao što razumijete, nije uvijek tako lako uzeti i pokupiti ovaj isti x, tako da za malo složenije brojeve postoji sljedeći algoritam:

Hoćemo li vježbati?

Pronađite najmanji zajednički višekratnik - LCM (345; 234)

Hajde da raščlanimo svaki broj:

Zašto sam upravo napisao?

Zapamtite znakove djeljivosti sa: djeljiv sa (posljednja cifra je parna) i zbir cifara je djeljiv sa.

U skladu s tim, možemo odmah podijeliti po, zapisati kao.

Sada ispisujemo najdužu ekspanziju u redu - drugu:

Dodajmo tome brojeve iz prvog proširenja, kojih nema u onome što smo napisali:

Napomena: sve smo ispisali osim za, pošto ga već imamo.

Sada moramo pomnožiti sve ove brojeve!

Pronađite najmanji zajednički višekratnik (LCM) sami

Koje ste odgovore dobili?

Evo šta mi se desilo:

Koliko vam je trebalo da pronađete NOC? Moje vrijeme je 2 minute, stvarno znam jedan trik, koji predlažem da otvorite odmah!

Ako ste veoma pažljivi, onda ste verovatno primetili da smo za date brojeve već tražili GCD i mogli biste uzeti faktorizaciju ovih brojeva iz tog primjera, čime biste pojednostavili svoj zadatak, ali to je daleko od svega.

Pogledajte sliku, možda vam padne na pamet još neka razmišljanja:

Pa? Dat ću vam savjet: pokušajte umnožiti NOC I GCD između sebe i zapišite sve faktore koji će biti pri množenju. Jeste li uspjeli? Trebali biste završiti s ovakvim lancem:

Pogledajte to izbliza: uporedite faktore sa načinom na koji se i razlažu.

Kakav zaključak možete izvući iz ovoga? Tačno! Ako pomnožimo vrijednosti NOC I GCD između sebe, onda dobijamo proizvod ovih brojeva.

Shodno tome, imaju brojeve i značenje GCD(ili NOC), možemo pronaći NOC(ili GCD) na sljedeći način:

1. Pronađite proizvod brojeva:

2. Dobiveni proizvod podijelimo našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je sve.

Napišimo pravilo u opštem obliku:

Pokusaj naci GCD ako se zna da:

Jeste li uspjeli? .

Negativni brojevi - "lažni brojevi" i njihovo prepoznavanje od strane čovječanstva.

Kao što ste već shvatili, ovo su brojevi suprotni prirodnim, odnosno:

Čini se da su tako posebni?

Ali činjenica je da su negativni brojevi “osvojili” svoje pravo mjesto u matematici sve do 19. vijeka (do tog trenutka je postojala ogromna kontroverza da li postoje ili ne).

Sam negativan broj nastao je zbog takve operacije s prirodnim brojevima kao što je "oduzimanje".

Zaista, oduzmite od - to je negativan broj. Zato se skup negativnih brojeva često naziva "proširenje skupa prirodnih brojeva".

Negativne brojeve ljudi dugo nisu prepoznavali.

Dakle, Stari Egipat, Babilon i Stara Grčka - svjetla svog vremena, nisu prepoznavali negativne brojeve, a u slučaju dobivanja negativnih korijena u jednadžbi (na primjer, kao što imamo), korijeni su odbačeni kao nemogući.

Prvi put negativni brojevi su dobili pravo na postojanje u Kini, a potom u 7. veku u Indiji.

Šta mislite o ovom priznanju?

Tako je, počeli su se označavati negativni brojevi dugovi (inače - manjak).

Vjerovalo se da su negativni brojevi privremena vrijednost, koja će se kao rezultat promijeniti u pozitivnu (to jest, novac će se i dalje vraćati kreditoru). Međutim, indijski matematičar Brahmagupta je već tada smatrao negativne brojeve ravnopravno s pozitivnim.

U Evropi je korisnost negativnih brojeva, kao i činjenica da oni mogu označiti dug, došla mnogo kasnije, odnosno milenijumom.

Prvi pomen je viđen 1202. godine u „Knjizi o abakusu“ Leonarda iz Pize (odmah kažem da autor knjige nema nikakve veze sa Krivim tornjem u Pizi, ali su Fibonačijevi brojevi njegovo delo ( nadimak Leonarda iz Pize je Fibonači)).

Dakle, u XVII veku, Paskal je to verovao.

Šta mislite kako je to opravdao?

Tako je, "ništa ne može biti manje od NIŠTA".

Odjek tih vremena ostaje činjenica da se negativni broj i operacija oduzimanja označavaju istim simbolom - minus "-". I istina: . Da li je broj " " pozitivan, koji se oduzima, ili negativan, koji se dodaje? ... Nešto iz serije "što je prvo: kokoška ili jaje?" Evo takve vrste ove matematičke filozofije.

Negativni brojevi su osigurali svoje pravo na postojanje pojavom analitičke geometrije, drugim riječima, kada su matematičari uveli nešto poput realne ose.

Od tog trenutka je došla jednakost. Međutim, i dalje je bilo više pitanja nego odgovora, na primjer:

proporcija

Ova proporcija se naziva Arnoov paradoks. Razmislite o tome, šta je tu sumnjivo?

Hajde da razgovaramo zajedno " " više od " " zar ne? Dakle, po logici, lijeva strana proporcije bi trebala biti veća od desne, ali su jednake... Ovdje je paradoks.

Kao rezultat toga, matematičari su se složili da je Karl Gauss (da, da, ovo je onaj koji je razmatrao zbir (ili) brojeva) 1831. godine stavio tačku na to.

Rekao je da negativni brojevi imaju ista prava kao i pozitivni, a to što se ne odnose na sve ne znači ništa, jer razlomci ne važe ni za mnoge stvari (ne dešava se da kopač iskopa rupu, ne možete kupiti kartu za kino itd.).

Matematičari su se smirili tek u 19. veku, kada su teoriju negativnih brojeva stvorili Vilijam Hamilton i Herman Grasman.

Eto koliko su oni kontroverzni, ti negativni brojevi.

Pojava "praznine", ili biografija nule.

U matematici, poseban broj.

Na prvi pogled, ovo nije ništa: dodajte, oduzmite - ništa se neće promijeniti, ali samo morate to pripisati pravu na "", a rezultirajući broj će biti višestruko veći od originalnog.

Množenjem sa nulom sve pretvaramo u ništa, ali ne možemo dijeliti ni sa "ništa". Jednom riječju, magični broj)

Istorija nule je duga i komplikovana.

Trag nule nalazi se u spisima Kineza 2000. godine nove ere. a još ranije kod Maja. Prva upotreba simbola nule, kakav je danas, viđena je među grčkim astronomima.

Postoji mnogo verzija zašto je odabrana takva oznaka "ništa".

Neki istoričari su skloni vjerovanju da se radi o omikronu, tj. Prvo slovo grčke riječi za ništa je ouden. Prema drugoj verziji, riječ "obol" (kovanica gotovo bez vrijednosti) dala je život simbolu nule.

Nula (ili nula) kao matematički simbol se prvi put pojavljuje među Indijancima(imajte na umu da su se negativni brojevi tamo počeli „razvijati“).

Prvi pouzdani dokazi o pisanju nule datiraju iz 876, a u njima je "" komponenta broja.

I nula je u Evropu došla sa zakašnjenjem - tek 1600. godine, i baš kao i negativni brojevi, naišla je na otpor (šta možete, oni su Evropljani).

“Zero je često bio omražen, dugo se bojao, pa čak i zabranjivan”— piše američki matematičar Charles Seif.

Dakle, turski sultan Abdul-Hamid II krajem 19. vijeka. naredio je svojim cenzorima da izbrišu formulu vode H2O iz svih udžbenika hemije, uzimajući slovo "O" za nulu i ne želeći da njegovi inicijali budu klevetani zbog blizine prezrene nule.

Na internetu možete pronaći frazu: „Nula je najmoćnija sila u svemiru, može sve! Nula stvara red u matematici, a unosi i haos u nju. Potpuno tačna poenta :)

Sažetak odjeljka i osnovne formule

Skup cijelih brojeva sastoji se od 3 dijela:

• prirodni brojevi (u nastavku ćemo ih detaljnije razmotriti);
• brojevi suprotni prirodnim;
• nula - " "

Skup cijelih brojeva je označen slovo Z.

1. Prirodni brojevi

Prirodni brojevi su brojevi koje koristimo za brojanje objekata.

Skup prirodnih brojeva je označen slovo N.

U operacijama s cijelim brojevima, trebat će vam sposobnost da pronađete GCD i LCM.

Najveći zajednički djelitelj (GCD)

Da biste pronašli NOD potrebno vam je:

1. Rastaviti brojeve na proste faktore (na brojeve koji se ne mogu podijeliti ničim drugim osim samim sobom ili, na primjer, itd.).
2. Zapišite faktore koji su dio oba broja.
3. Pomnožite ih.

Najmanji zajednički višekratnik (LCM)

Da biste pronašli NOC potrebno vam je:

1. Faktorizujte brojeve u proste faktore (to već znate vrlo dobro).
2. Napišite faktore uključene u proširenje jednog od brojeva (bolje je uzeti najduži lanac).
3. Dodajte im faktore koji nedostaju iz proširenja preostalih brojeva.
4. Pronađite proizvod rezultirajućih faktora.

2. Negativni brojevi

To su brojevi koji su suprotni prirodnim brojevima, odnosno:

Sada želim da čujem od tebe...

Nadam se da ste cijenili super-korisne "trikove" ovog odjeljka i shvatili kako će vam oni pomoći na ispitu.

I što je još važnije, u životu. Ne govorim o tome, ali vjerujte mi, ovaj jeste. Sposobnost brzog brojanja i bez grešaka spašava u mnogim životnim situacijama.

Sada je tvoj red!

Napišite, hoćete li u proračunima koristiti metode grupisanja, kriterije djeljivosti, GCD i LCM?

Možda ste ih već koristili? Gdje i kako?

Možda imate pitanja. Ili sugestije.

Napišite u komentarima kako vam se sviđa članak.

I sretno na ispitima!

Ako dodamo broj 0 lijevo od niza prirodnih brojeva, dobićemo niz pozitivnih cijelih brojeva:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Cjelobrojni negativni brojevi

Razmotrimo mali primjer. Slika lijevo prikazuje termometar koji pokazuje temperaturu od 7 °C topline. Ako temperatura padne za 4°C, termometar će pokazati 3°C topline. Smanjenje temperature odgovara akciji oduzimanja:

Napomena: svi stepeni se pišu slovom C (celzijus), znak stepena je odvojen od broja razmakom. Na primjer, 7 °C.

Ako temperatura padne za 7 °C, termometar će pokazati 0 °C. Smanjenje temperature odgovara akciji oduzimanja:

Ako temperatura padne za 8 °C, termometar će pokazati -1 °C (1 °C mraza). Ali rezultat oduzimanja 7 - 8 ne može se napisati korištenjem prirodnih brojeva i nule.

Ilustrirajmo oduzimanje na nizu pozitivnih cijelih brojeva:

1) Brojimo 4 broja lijevo od broja 7 i dobijemo 3:

2) Brojimo 7 brojeva lijevo od broja 7 i dobijemo 0:

Nemoguće je izbrojati 8 brojeva u nizu pozitivnih cijelih brojeva od broja 7 lijevo. Da bi radnja 7 - 8 bila izvodljiva, proširujemo niz pozitivnih cijelih brojeva. Da bismo to učinili, lijevo od nule, pišemo (s desna na lijevo) sve prirodne brojeve, dodajući svakom od njih znak -, koji pokazuje da je ovaj broj lijevo od nule.

Unosi -1, -2, -3, ... čitaju minus 1 , minus 2 , minus 3 itd.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Rezultirajući niz brojeva se zove pored celih brojeva. Tačke s lijeve i desne strane u ovom unosu znače da se niz može neograničeno nastaviti desno i lijevo.

Desno od broja 0 u ovom redu su brojevi koji se pozivaju prirodno ili potpuno pozitivno(ukratko - pozitivno).

Lijevo od broja 0 u ovom redu su brojevi koji se pozivaju cijeli negativan(ukratko - negativan).

Broj 0 je cijeli broj, ali nije ni pozitivan ni negativan. Odvaja pozitivne i negativne brojeve.

shodno tome, niz cijelih brojeva sastoji se od negativnih cijelih brojeva, nule i pozitivnih cijelih brojeva.

Integer Comparision

Usporedite dva cijela broja- znači saznati koji je od njih veći, a koji manji ili utvrditi da su brojevi jednaki.

Možete upoređivati ​​cijele brojeve koristeći red cijelih brojeva, jer su brojevi u njemu raspoređeni od najmanjeg do najvećeg ako se krećete duž reda slijeva nadesno. Stoga, u nizu cijelih brojeva, možete zamijeniti zareze znakom manje od:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

shodno tome, Od dva cijela broja, onaj s desne strane je veći, a onaj s lijeve strane je manji., znači:

1) Svaki pozitivan broj je veći od nule i veći od bilo kojeg negativnog broja:

1 > 0; 15 > -16

2) Bilo koji negativan broj manji od nule:

7 < 0; -357 < 0

3) Od dva negativna broja veći je onaj koji je desno u nizu cijelih brojeva.

Postoji mnogo vrsta brojeva, a jedan od njih su cijeli brojevi. Cijeli brojevi su se pojavili kako bi se olakšalo brojanje ne samo u pozitivnom smjeru, već iu negativnom.

Razmotrimo primjer:
Tokom dana napolju je bilo 3 stepena. Do večeri temperatura je pala za 3 stepena.
3-3=0
Napolju je bilo 0 stepeni. A noću je temperatura pala za 4 stepena i počela je pokazivati ​​na termometru -4 stepena.
0-4=-4

Niz cijelih brojeva.

Takav problem ne možemo opisati prirodnim brojevima, ovaj problem ćemo razmatrati na koordinatnoj liniji.

Imamo niz brojeva:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ova serija brojeva se zove pored celih brojeva.

Cjelobrojni pozitivni brojevi. Cijeli negativni brojevi.

Niz cijelih brojeva sastoji se od pozitivnih i negativnih brojeva. Desno od nule su prirodni brojevi, ili se oni takođe nazivaju cijelim pozitivnim brojevima. I lijevo od nule cijelih negativnih brojeva.

Nula nije ni pozitivna ni negativna. To je granica između pozitivnih i negativnih brojeva.

je skup brojeva koji se sastoji od prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva i nule.

Niz cijelih brojeva u pozitivnim i negativnim smjerovima je beskrajno mnoštvo.

Ako uzmemo bilo koja dva cijela broja, tada će biti pozvani brojevi između ovih cijelih brojeva krajnji set.

Na primjer:
Uzmimo cijele brojeve od -2 do 4. Svi brojevi između ovih brojeva su uključeni u konačni skup. Naš konačni skup brojeva izgleda ovako:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Prirodni brojevi se označavaju latiničnim slovom N.
Cijeli brojevi su označeni latiničnim slovom Z. Cijeli skup prirodnih brojeva i cijelih brojeva može se prikazati na slici.


Nepozitivni cijeli brojevi drugim riječima, oni su negativni cijeli brojevi.
Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi.