Τι είναι θετικός ακέραιος αριθμός. Αριθμοί

Οι πληροφορίες σε αυτό το άρθρο σχηματίζονται γενική ιδέασχετικά με ολόκληροι αριθμοί. Αρχικά, δίνεται ο ορισμός των ακεραίων και δίνονται παραδείγματα. Στη συνέχεια, εξετάζονται οι ακέραιοι αριθμοί στην αριθμητική γραμμή, από τους οποίους γίνεται σαφές ποιοι αριθμοί ονομάζονται θετικοί ακέραιοι και ποιοι αρνητικοί. Μετά από αυτό, φαίνεται πώς περιγράφονται οι αλλαγές στις ποσότητες χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς και οι αρνητικοί ακέραιοι θεωρούνται με την έννοια του χρέους.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ακέραιοι - ορισμός και παραδείγματα

Ορισμός.

Ολόκληροι αριθμοίείναι φυσικοί αριθμοί, ο αριθμός μηδέν, καθώς και αριθμοί αντίθετοι με τους φυσικούς.

Ο ορισμός των ακεραίων δηλώνει ότι οποιοσδήποτε από τους αριθμούς 1, 2, 3, …, ο αριθμός 0, καθώς και οποιοσδήποτε από τους αριθμούς −1, −2, −3, … είναι ακέραιος. Τώρα μπορούμε εύκολα να φέρουμε ακέραια παραδείγματα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 38 είναι ακέραιος, ο αριθμός 70 040 είναι επίσης ακέραιος, το μηδέν είναι ακέραιος (υπενθυμίζουμε ότι το μηδέν ΔΕΝ είναι φυσικός αριθμός, το μηδέν είναι ακέραιος), οι αριθμοί −999 , −1 , −8 934 Το 832 είναι επίσης παραδείγματα ακεραίων αριθμών.

Είναι βολικό να αναπαραστήσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς ως μια ακολουθία ακεραίων, η οποία έχει την ακόλουθη μορφή: 0, ±1, ±2, ±3, … Η ακολουθία των ακεραίων μπορεί επίσης να γραφτεί ως εξής: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Από τον ορισμό των ακεραίων προκύπτει ότι το σύνολο φυσικούς αριθμούςείναι ένα υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων. Επομένως, κάθε φυσικός αριθμός είναι ακέραιος, αλλά δεν είναι κάθε ακέραιος φυσικός αριθμός.

Ακέραιοι αριθμοί στη γραμμή συντεταγμένων

Ορισμός.

Ακέραιοι θετικοί αριθμοίείναι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν.

Ορισμός.

Ακέραιοι αρνητικοί αριθμοίείναι ακέραιοι αριθμοί που είναι μικρότεροι από το μηδέν.

Οι ακέραιοι θετικοί και αρνητικοί αριθμοί μπορούν επίσης να προσδιοριστούν από τη θέση τους στη γραμμή συντεταγμένων. Σε μια οριζόντια γραμμή συντεταγμένων, τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες είναι θετικοί ακέραιοι βρίσκονται στα δεξιά της αρχής. Με τη σειρά τους, σημεία με αρνητικές ακέραιες συντεταγμένες βρίσκονται στα αριστερά του σημείου Ο .

Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. Με τη σειρά του, το σύνολο όλων των αρνητικών ακεραίων είναι το σύνολο όλων των αριθμών απέναντι από τους φυσικούς αριθμούς.

Ξεχωριστά, εφιστούμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι μπορούμε να ονομάσουμε με ασφάλεια οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ακέραιο και ΔΕΝ μπορούμε να ονομάσουμε κανέναν ακέραιο αριθμό φυσικό αριθμό. Φυσικό μπορούμε να ονομάσουμε μόνο κάθε θετικό ακέραιο, αφού οι αρνητικοί ακέραιοι και το μηδέν δεν είναι φυσικοί.

Ακέραιοι μη θετικοί και ακέραιοι μη αρνητικοί αριθμοί

Ας δώσουμε ορισμούς μη θετικών ακεραίων και μη αρνητικών ακεραίων.

Ορισμός.

Όλοι οι θετικοί ακέραιοι μαζί με το μηδέν καλούνται ακέραιοι μη αρνητικοί αριθμοί.

Ορισμός.

Ακέραιοι μη θετικοί αριθμοίείναι όλοι αρνητικοί ακέραιοι μαζί με τον αριθμό 0 .

Με άλλα λόγια, ένας μη αρνητικός ακέραιος είναι ένας ακέραιος που είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν, και ένας μη θετικός ακέραιος είναι ένας ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος με μηδέν.

Παραδείγματα μη θετικών ακεραίων είναι οι αριθμοί -511, -10 030, 0, -2 και ως παραδείγματα μη αρνητικών ακεραίων, ας δώσουμε τους αριθμούς 45, 506, 0, 900 321.

Τις περισσότερες φορές, οι όροι «μη θετικοί ακέραιοι αριθμοί» και «μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί» χρησιμοποιούνται για συντομία. Για παράδειγμα, αντί για τη φράση "ο αριθμός a είναι ακέραιος και ο a είναι μεγαλύτερος από το μηδέν ή ίσος με μηδέν", μπορείτε να πείτε "a είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος".

Περιγραφή μεταβαλλόμενων τιμών με χρήση ακέραιων αριθμών

Ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για το τι χρησιμεύουν οι ακέραιοι.

Ο κύριος σκοπός των ακεραίων είναι ότι με τη βοήθειά τους είναι βολικό να περιγραφεί η αλλαγή στον αριθμό οποιωνδήποτε στοιχείων. Ας το αντιμετωπίσουμε αυτό με παραδείγματα.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια συγκεκριμένη ποσότητα εξαρτημάτων σε απόθεμα. Εάν, για παράδειγμα, φέρουν 400 επιπλέον εξαρτήματα στην αποθήκη, τότε ο αριθμός των εξαρτημάτων στην αποθήκη θα αυξηθεί και ο αριθμός 400 εκφράζει αυτήν την αλλαγή στην ποσότητα σε θετική κατεύθυνση (προς την κατεύθυνση της αύξησης). Εάν, για παράδειγμα, ληφθούν 100 εξαρτήματα από την αποθήκη, τότε ο αριθμός των εξαρτημάτων στην αποθήκη θα μειωθεί και ο αριθμός 100 θα εκφράζει την αλλαγή της ποσότητας σε αρνητική κατεύθυνση (προς τη μείωση). Τα εξαρτήματα δεν θα μεταφερθούν στην αποθήκη και τα μέρη δεν θα αφαιρεθούν από την αποθήκη, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για το αμετάβλητο του αριθμού των εξαρτημάτων (δηλαδή, μπορούμε να μιλήσουμε για μηδενική αλλαγή στην ποσότητα).

Στα παραδείγματα που δίνονται, η αλλαγή στον αριθμό των μερών μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τους ακέραιους αριθμούς 400 , −100 και 0, αντίστοιχα. Ένας θετικός ακέραιος αριθμός 400 υποδηλώνει θετική αλλαγή στην ποσότητα (αύξηση). Ο αρνητικός ακέραιος −100 εκφράζει αρνητική μεταβολή στην ποσότητα (μείωση). Ο ακέραιος αριθμός 0 δείχνει ότι η ποσότητα δεν έχει αλλάξει.

Η ευκολία της χρήσης ακεραίων σε σύγκριση με τη χρήση φυσικών αριθμών είναι ότι δεν χρειάζεται να δηλωθεί ρητά εάν η ποσότητα αυξάνεται ή μειώνεται - ο ακέραιος καθορίζει την αλλαγή ποσοτικά και το πρόσημο του ακέραιου υποδεικνύει την κατεύθυνση της αλλαγής.

Οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν επίσης να εκφράσουν όχι μόνο μια αλλαγή στην ποσότητα, αλλά και μια αλλαγή σε κάποια τιμή. Ας το αντιμετωπίσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα της αλλαγής θερμοκρασίας.

Μια αύξηση της θερμοκρασίας, ας πούμε, κατά 4 βαθμούς εκφράζεται ως θετικός ακέραιος αριθμός 4 . Μια μείωση της θερμοκρασίας, για παράδειγμα, κατά 12 μοίρες μπορεί να περιγραφεί με έναν αρνητικό ακέραιο −12. Και το αμετάβλητο της θερμοκρασίας είναι η μεταβολή της, που καθορίζεται από τον ακέραιο 0.

Ξεχωριστά, πρέπει να ειπωθεί για την ερμηνεία των αρνητικών ακεραίων ως το ποσό του χρέους. Για παράδειγμα, αν έχουμε 3 μήλα, τότε ο θετικός ακέραιος 3 αντιπροσωπεύει τον αριθμό των μήλων που έχουμε. Από την άλλη πλευρά, αν πρέπει να δώσουμε 5 μήλα σε κάποιον και δεν τα έχουμε διαθέσιμα, τότε αυτή η κατάσταση μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας έναν αρνητικό ακέραιο −5. Σε αυτήν την περίπτωση, «κατέχουμε» −5 μήλα, το σύμβολο μείον υποδηλώνει χρέος και ο αριθμός 5 ποσοτικοποιεί το χρέος.

Η κατανόηση ενός αρνητικού ακέραιου ως χρέους επιτρέπει, για παράδειγμα, να δικαιολογήσει τον κανόνα για την προσθήκη αρνητικών ακεραίων. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα. Αν κάποιος χρωστάει 2 μήλα σε ένα άτομο και ένα μήλο σε άλλο, τότε το συνολικό χρέος είναι 2+1=3 μήλα, άρα −2+(−1)=−3 .

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N.Ya. κλπ. Μαθηματικά. 6η τάξη: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα.

Αριθμός- η πιο σημαντική μαθηματική έννοια που έχει αλλάξει στο πέρασμα των αιώνων.

Οι πρώτες ιδέες για τον αριθμό προέκυψαν από την καταμέτρηση ανθρώπων, ζώων, φρούτων, διαφόρων προϊόντων κ.λπ. Το αποτέλεσμα είναι φυσικοί αριθμοί: 1, 2, 3, 4, ...

Ιστορικά, η πρώτη επέκταση της έννοιας του αριθμού είναι η προσθήκη κλασματικών αριθμών σε έναν φυσικό αριθμό.

Βολήονομάζεται μέρος (μερίδιο) μιας μονάδας ή πολλά ίσα μέρη αυτής.

Ορίζεται: , όπου m,n- ολόκληροι αριθμοί;

Κλάσματα με παρονομαστή 10 n, όπου nείναι ακέραιος, λέγονται δεκαδικός: .

Μεταξύ των δεκαδικών κλασμάτων, ιδιαίτερη θέση κατέχει περιοδικά κλάσματα: - καθαρό περιοδικό κλάσμα, - μικτό περιοδικό κλάσμα.

Περαιτέρω επέκταση της έννοιας του αριθμού προκαλείται ήδη από την ανάπτυξη των ίδιων των μαθηματικών (άλγεβρα). Ο Ντεκάρτ τον 17ο αιώνα εισάγει την έννοια αρνητικός αριθμός.

Οι αριθμοί ακέραιοι (θετικοί και αρνητικοί), κλασματικοί (θετικοί και αρνητικοί) και μηδέν λέγονται ρητοί αριθμοί. Οποιοσδήποτε ρητός αριθμός μπορεί να γραφτεί ως πεπερασμένο και περιοδικό κλάσμα.

Για να μελετήσουμε συνεχώς μεταβαλλόμενες μεταβλητές, αποδείχθηκε ότι ήταν απαραίτητο να επεκταθεί η έννοια του αριθμού - η εισαγωγή πραγματικών (πραγματικών) αριθμών - προσθέτοντας παράλογους αριθμούς σε ρητικούς αριθμούς: παράλογους αριθμούςείναι άπειρα δεκαδικά μη περιοδικά κλάσματα.

Οι παράλογοι αριθμοί εμφανίστηκαν κατά τη μέτρηση ασύμμετρων τμημάτων (πλευρά και διαγώνιος τετραγώνου), στην άλγεβρα - κατά την εξαγωγή ριζών, ένα παράδειγμα υπερβατικού, άρρητου αριθμού είναι π, μι .

Αριθμοί φυσικός(1, 2, 3,...), ολόκληρος(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), λογικός(παριστάνεται ως κλάσμα) και παράλογος(δεν αναπαρίσταται ως κλάσμα ) σχηματίστε ένα σύνολο πραγματικό (πραγματικό)αριθμοί.

Ξεχωριστά στα μαθηματικά διακρίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί.

Μιγαδικοί αριθμοίπροκύπτουν σε σχέση με το πρόβλημα της επίλυσης τετραγώνων για την υπόθεση ρε< 0 (здесь ρεείναι η διάκριση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης). Για πολύ καιρό αυτοί οι αριθμοί δεν έβρισκαν φυσική χρήση, γι' αυτό και ονομάζονταν «φανταστικοί» αριθμοί. Ωστόσο, τώρα χρησιμοποιούνται πολύ ευρέως σε διάφορους τομείς της φυσικής και της τεχνολογίας: ηλεκτρολογική μηχανική, υδρο- και αεροδυναμική, θεωρία ελαστικότητας κ.λπ.

Μιγαδικοί αριθμοί γράφονται ως: z= ένα+ δις. Εδώ ένακαι σι – πραγματικούς αριθμούς, ένα Εγώ – φανταστική μονάδα.μι. Εγώ 2 = -ένας. Αριθμός έναπου ονομάζεται τετμημένη, ένα σι-τεταγμένημιγαδικός αριθμός ένα+ δις. Δύο μιγαδικοί αριθμοί ένα+ διςκαι a-biπου ονομάζεται κλίνωμιγαδικοί αριθμοί.

Ιδιότητες:

1. Πραγματικός αριθμός έναμπορεί επίσης να γραφτεί ως μιγαδικός αριθμός: ένα+ 0Εγώή ένα - 0Εγώ. Για παράδειγμα 5 + 0 Εγώκαι 5-0 Εγώσημαίνει τον ίδιο αριθμό 5.

2. Μιγαδικός αριθμός 0 + διςπου ονομάζεται καθαρά φανταστικό αριθμός. Εγγραφή διςσημαίνει το ίδιο με το 0 + δις.

3. Δύο μιγαδικοί αριθμοί ένα+ διςκαι ντο+ diθεωρούνται ίσα αν ένα= ντοκαι σι= ρε. Διαφορετικά, οι μιγαδικοί αριθμοί δεν είναι ίσοι.

Ενέργειες:

Πρόσθεση. Το άθροισμα των μιγαδικών αριθμών ένα+ διςκαι ντο+ diονομάζεται μιγαδικός αριθμός ( ένα+ ντο) + (σι+ ρε)Εγώ. Με αυτόν τον τρόπο, κατά την πρόσθεση μιγαδικών αριθμών, τα τετμημένα και οι τεταγμένες τους προστίθενται χωριστά.

Αφαίρεση. Η διαφορά μεταξύ δύο μιγαδικών αριθμών ένα+ δις(μειωμένο) και ντο+ di(αφαιρείται) ονομάζεται μιγαδικός αριθμός ( μετα Χριστον) + (β-δ)Εγώ. Με αυτόν τον τρόπο, κατά την αφαίρεση δύο μιγαδικών αριθμών, τα τετμημένα και οι τεταγμένες τους αφαιρούνται χωριστά.

Πολλαπλασιασμός. Το γινόμενο μιγαδικών αριθμών ένα+ διςκαι ντο+ diονομάζεται μιγαδικός αριθμός.

(ac-bd) + (Ενα δ+ προ ΧΡΙΣΤΟΥ)Εγώ. Αυτός ο ορισμός προκύπτει από δύο απαιτήσεις:

1) αριθμοί ένα+ διςκαι ντο+ diπρέπει να πολλαπλασιάζονται όπως τα αλγεβρικά διώνυμα,

2) αριθμός Εγώέχει την κύρια ιδιοκτησία: Εγώ 2 = –1.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ( α + δι)(a-bi)= α 2 +β 2 . Συνεπώς, δουλειάδύο συζευγμένων μιγαδικών αριθμών ισούται με θετικό πραγματικό αριθμό.

Διαίρεση. Διαιρέστε έναν μιγαδικό αριθμό ένα+ δις(διαιρούμενο) σε άλλο ντο+ di (διαιρών) - σημαίνει να βρεις τον τρίτο αριθμό μι+ fi(συνομιλία), η οποία, όταν πολλαπλασιάζεται με διαιρέτη ντο+ di, που έχει ως αποτέλεσμα το μέρισμα ένα+ δις. Εάν ο διαιρέτης δεν είναι μηδέν, η διαίρεση είναι πάντα δυνατή.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Εύρεση (8+ Εγώ) : (2 – 3Εγώ) .

Λύση. Ας ξαναγράψουμε αυτόν τον λόγο ως κλάσμα:

Πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του με 2 + 3 Εγώκαι κάνοντας όλους τους μετασχηματισμούς, παίρνουμε:

Εργασία 1: Προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση z 1 σε z 2

Εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας: Λύστε την εξίσωση Χ 2 = -ένα. Για να λύσουμε αυτή την εξίσωσηαναγκαζόμαστε να χρησιμοποιήσουμε έναν νέο τύπο αριθμών - φανταστικοί αριθμοί . Με αυτόν τον τρόπο, φανταστικο καλείται ο αριθμός του οποίου η δεύτερη δύναμη είναι αρνητικός αριθμός. Σύμφωνα με αυτόν τον ορισμό των φανταστικών αριθμών, μπορούμε να ορίσουμε και φανταστικο μονάδα:

Μετά για την εξίσωση Χ 2 = - 25 παίρνουμε δύο φανταστικορίζα:

Εργασία 2: Λύστε την εξίσωση:

1) x 2 = – 36; 2) Χ 2 = – 49; 3) Χ 2 = – 121

Γεωμετρική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από σημεία στην αριθμητική γραμμή:

Εδώ είναι η ουσία ΕΝΑσημαίνει αριθμός -3, τελεία σιείναι ο αριθμός 2, και Ο-μηδέν. Αντίθετα, οι μιγαδικοί αριθμοί αντιπροσωπεύονται από σημεία στο επίπεδο συντεταγμένων. Για αυτό, επιλέγουμε ορθογώνιες (καρτεσιανές) συντεταγμένες με τις ίδιες κλίμακες και στους δύο άξονες. Στη συνέχεια ο μιγαδικός αριθμός ένα+ διςθα παριστάνεται με μια τελεία Π με τετμημένηένα και τεταγμένησι. Αυτό το σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται σύνθετο επίπεδο .

μονάδα μέτρησης μιγαδικός αριθμός ονομάζεται μήκος του διανύσματος ΕΠ, που απεικονίζει έναν μιγαδικό αριθμό στη συντεταγμένη ( περιεκτικός) αεροπλάνο. Συντελεστής μιγαδικού αριθμού ένα+ διςσυμβολίζεται με | ένα+ δις| ή) επιστολή rκαι ισούται με:

Οι συζευγμένοι μιγαδικοί αριθμοί έχουν τον ίδιο συντελεστή.

Οι κανόνες για τη σύνταξη ενός σχεδίου είναι σχεδόν οι ίδιοι όπως για ένα σχέδιο σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Κατά μήκος των αξόνων, πρέπει να ορίσετε τη διάσταση, σημειώστε:

μι
μονάδα κατά μήκος του πραγματικού άξονα. Rez

νοητή μονάδα κατά μήκος του φανταστικού άξονα. im z

Εργασία 3. Κατασκευάστε τους ακόλουθους μιγαδικούς αριθμούς στο μιγαδικό επίπεδο: , , , , , , ,

1. Οι αριθμοί είναι ακριβείς και κατά προσέγγιση.Οι αριθμοί που συναντάμε στην πράξη είναι δύο ειδών. Μερικοί δίνουν την πραγματική αξία της ποσότητας, άλλοι μόνο κατά προσέγγιση. Το πρώτο ονομάζεται ακριβές, το δεύτερο - κατά προσέγγιση. Τις περισσότερες φορές είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν κατά προσέγγιση αριθμό αντί για έναν ακριβή αριθμό, ειδικά επειδή σε πολλές περιπτώσεις ο ακριβής αριθμός δεν μπορεί να βρεθεί καθόλου.

Άρα, αν λένε ότι στην τάξη είναι 29 μαθητές, τότε ο αριθμός 29 είναι ακριβής. Αν λένε ότι η απόσταση από τη Μόσχα στο Κίεβο είναι 960 km, τότε εδώ ο αριθμός 960 είναι κατά προσέγγιση, αφού, αφενός, τα όργανα μέτρησής μας δεν είναι απολύτως ακριβή, αφετέρου, οι ίδιες οι πόλεις έχουν κάποια έκταση.

Το αποτέλεσμα των πράξεων με κατά προσέγγιση αριθμούς είναι επίσης ένας κατά προσέγγιση αριθμός. Εκτελώντας ορισμένες πράξεις σε ακριβείς αριθμούς (διαίρεση, εξαγωγή της ρίζας), μπορείτε επίσης να λάβετε κατά προσέγγιση αριθμούς.

Η θεωρία των κατά προσέγγιση υπολογισμών επιτρέπει:

1) γνωρίζοντας τον βαθμό ακρίβειας των δεδομένων, αξιολογήστε τον βαθμό ακρίβειας των αποτελεσμάτων.

2) λαμβάνει δεδομένα με κατάλληλο βαθμό ακρίβειας, επαρκή για να διασφαλίσει την απαιτούμενη ακρίβεια του αποτελέσματος·

3) εξορθολογίστε τη διαδικασία υπολογισμού, απαλλάσσοντάς την από εκείνους τους υπολογισμούς που δεν θα επηρεάσουν την ακρίβεια του αποτελέσματος.

2. Στρογγυλοποίηση.Μια πηγή κατά προσέγγιση αριθμών είναι η στρογγυλοποίηση. Στρογγυλοποιήστε και τους κατά προσέγγιση και τους ακριβείς αριθμούς.

Η στρογγυλοποίηση ενός δεδομένου αριθμού σε κάποια από τα ψηφία του είναι η αντικατάστασή του με έναν νέο αριθμό, ο οποίος προκύπτει από τον δεδομένο απορρίπτοντας όλα τα ψηφία του που είναι γραμμένα στα δεξιά του ψηφίου αυτού του ψηφίου ή αντικαθιστώντας τα με μηδενικά. Αυτά τα μηδενικά είναι συνήθως υπογραμμισμένα ή γραμμένα μικρότερα. Για να εξασφαλιστεί η πλησιέστερη εγγύτητα του στρογγυλεμένου αριθμού με τον στρογγυλεμένο, θα πρέπει να χρησιμοποιούνται οι ακόλουθοι κανόνες: για να στρογγυλοποιήσετε τον αριθμό στη μονάδα ενός συγκεκριμένου ψηφίου, πρέπει να απορρίψετε όλα τα ψηφία μετά το ψηφίο αυτού του ψηφίου και να αντικαταστήσετε τους με μηδενικά σε ολόκληρο τον αριθμό. Αυτό λαμβάνει υπόψη τα ακόλουθα:

1) εάν το πρώτο (αριστερά) από τα ψηφία που απορρίφθηκαν είναι μικρότερο από 5, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει δεν αλλάζει (στρογγυλοποίηση προς τα κάτω).

2) εάν το πρώτο ψηφίο που απορρίφθηκε είναι μεγαλύτερο από 5 ή ίσο με 5, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει αυξάνεται κατά ένα (στρογγυλοποίηση προς τα πάνω).

Ας το δείξουμε αυτό με παραδείγματα. Μανδρίζω:

α) μέχρι δέκατα του 12,34·

β) έως τα εκατοστά του 3,2465. 1038.785;

γ) έως τα χιλιοστά του 3,4335.

δ) έως 12375 χιλιάδες. 320729.

α) 12,34 ≈ 12,3;

β) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

γ) 3,4335 ≈ 3,434.

δ) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Απόλυτα και σχετικά λάθη.Η διαφορά μεταξύ του ακριβούς αριθμού και της κατά προσέγγιση τιμής του ονομάζεται απόλυτο σφάλμα του κατά προσέγγιση αριθμού. Για παράδειγμα, εάν ο ακριβής αριθμός 1,214 στρογγυλοποιηθεί στα δέκατα, θα έχουμε έναν κατά προσέγγιση αριθμό 1,2. Σε αυτή την περίπτωση, το απόλυτο σφάλμα του κατά προσέγγιση αριθμού 1,2 είναι 1,214 - 1,2, δηλ. 0,014.

Αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις ακριβής αξίαΗ θεωρούμενη τιμή είναι άγνωστη, αλλά μόνο κατά προσέγγιση. Τότε το απόλυτο σφάλμα είναι επίσης άγνωστο. Σε αυτές τις περιπτώσεις, σημειώστε το όριο που δεν υπερβαίνει. Αυτός ο αριθμός ονομάζεται οριακό απόλυτο σφάλμα. Λένε ότι η ακριβής τιμή ενός αριθμού είναι ίση με την κατά προσέγγιση τιμή του με σφάλμα μικρότερο από το οριακό σφάλμα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 23,71 είναι η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού 23,7125 με ακρίβεια 0,01, αφού το απόλυτο σφάλμα προσέγγισης είναι 0,0025 και μικρότερο από 0,01. Εδώ το απόλυτο σφάλμα συνόρων είναι ίσο με 0,01 * .

Συνοριακό απόλυτο σφάλμα του κατά προσέγγιση αριθμού έναπου συμβολίζεται με το σύμβολο Δ ένα. Εγγραφή

Χ≈ένα(±Δ ένα)

θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως εξής: η ακριβής αξία της ποσότητας Χβρίσκεται στο ενδιάμεσο ένα– Δ ένακαι ένα+ Δ ένα, τα οποία ονομάζονται κατώτερο και άνω όριο, αντίστοιχα. Χκαι δηλώνουν NG Χ VG Χ.

Για παράδειγμα, εάν Χ≈ 2,3 (±0,1), μετά 2,2<Χ< 2,4.

Αντίθετα, εάν 7.3< Χ< 7,4, тоΧ≈ 7,35 (±0,05). Το απόλυτο ή οριακό απόλυτο σφάλμα δεν χαρακτηρίζει την ποιότητα της μέτρησης. Το ίδιο απόλυτο σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί σημαντικό και ασήμαντο, ανάλογα με τον αριθμό που εκφράζει τη μετρούμενη τιμή. Για παράδειγμα, αν μετρήσουμε την απόσταση μεταξύ δύο πόλεων με ακρίβεια ενός χιλιομέτρου, τότε αυτή η ακρίβεια είναι αρκετά επαρκής για αυτήν την αλλαγή, ενώ ταυτόχρονα, κατά τη μέτρηση της απόστασης μεταξύ δύο σπιτιών στον ίδιο δρόμο, αυτή η ακρίβεια θα είναι Απαράδεκτος. Επομένως, η ακρίβεια της κατά προσέγγιση τιμής μιας ποσότητας εξαρτάται όχι μόνο από το μέγεθος του απόλυτου σφάλματος, αλλά και από την τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Επομένως, το μέτρο της ακρίβειας είναι το σχετικό σφάλμα.

Το σχετικό σφάλμα είναι ο λόγος του απόλυτου σφάλματος προς την τιμή του κατά προσέγγιση αριθμού. Ο λόγος του συνοριακού απόλυτου σφάλματος προς τον κατά προσέγγιση αριθμό ονομάζεται οριακό σχετικό σφάλμα. συμβολίστε το ως εξής: Τα σχετικά και τα οριακά σχετικά σφάλματα εκφράζονται συνήθως ως ποσοστό. Για παράδειγμα, εάν οι μετρήσεις δείχνουν ότι η απόσταση Χμεταξύ δύο σημείων είναι περισσότερο από 12,3 km, αλλά λιγότερο από 12,7 km, τότε ο αριθμητικός μέσος όρος αυτών των δύο αριθμών λαμβάνεται ως κατά προσέγγιση τιμή, δηλ. το μισό άθροισμά τους, τότε το οριακό απόλυτο σφάλμα είναι ίσο με τη μισή διαφορά αυτών των αριθμών. Σε αυτήν την περίπτωση Χ≈ 12,5 (±0,2). Εδώ, το απόλυτο σφάλμα ορίου είναι 0,2 km και το όριο σχετικό

1) Διαιρώ αμέσως με, αφού και οι δύο αριθμοί διαιρούνται 100% με:

2) Θα διαιρέσω με τους υπόλοιπους μεγάλους αριθμούς (ες), αφού διαιρούνται με χωρίς υπόλοιπο (ταυτόχρονα, δεν θα αποσυντεθεί - είναι ήδη ένας κοινός διαιρέτης):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Θα φύγω και θα αρχίσω να εξετάζω τους αριθμούς και. Και οι δύο αριθμοί διαιρούνται ακριβώς με (τελούν σε ζυγά ψηφία (στην περίπτωση αυτή παρουσιάζουμε ως, αλλά μπορούν να διαιρεθούν με)):

4) Δουλεύουμε με αριθμούς και. Έχουν κοινούς διαιρέτες; Είναι τόσο εύκολο όσο στα προηγούμενα βήματα, και δεν μπορείτε να το πείτε, οπότε θα τα αναλύσουμε σε απλούς παράγοντες:

5) Όπως μπορούμε να δούμε, είχαμε δίκιο: και δεν έχουμε κοινούς διαιρέτες, και τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε.
GCD

Εργασία αριθμός 2. Βρείτε το GCD των αριθμών 345 και 324

Δεν μπορώ να βρω γρήγορα τουλάχιστον έναν κοινό διαιρέτη εδώ, οπότε απλώς αποσυνθέτω σε πρώτους παράγοντες (όσο το δυνατόν λιγότερους):

Ακριβώς, GCD, και δεν έλεγξα αρχικά το κριτήριο διαιρετότητας και, ίσως, δεν θα έπρεπε να κάνω τόσες πολλές ενέργειες.

Αλλά έλεγξες, σωστά;

Όπως μπορείτε να δείτε, είναι αρκετά εύκολο.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) - εξοικονομεί χρόνο, βοηθά στην επίλυση προβλημάτων εκτός του πλαισίου

Ας υποθέσουμε ότι έχετε δύο αριθμούς - και. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός που διαιρείται με χωρίς ίχνος(δηλαδή εντελώς); Είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς; Εδώ είναι μια οπτική ένδειξη για εσάς:

Θυμάστε τι σημαίνει το γράμμα; Αυτό είναι σωστό, απλά ολόκληροι αριθμοί.Ποιος είναι λοιπόν ο μικρότερος αριθμός που ταιριάζει στο x; :

Σε αυτήν την περίπτωση.

Από αυτό το απλό παράδειγμα προκύπτουν αρκετοί κανόνες.

Κανόνες για γρήγορη εύρεση του NOC

Κανόνας 1. Αν ένας από τους δύο φυσικούς αριθμούς διαιρείται με έναν άλλο αριθμό, τότε ο μεγαλύτερος από αυτούς τους δύο αριθμούς είναι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιό τους.

Βρείτε τους παρακάτω αριθμούς:

• NOC (7,21)
• NOC (6,12)
• NOC (5,15)
• NOC (3,33)

Φυσικά, αντιμετωπίσατε εύκολα αυτό το έργο και πήρατε τις απαντήσεις -, και.

Σημειώστε ότι στον κανόνα μιλάμε για ΔΥΟ αριθμούς, αν υπάρχουν περισσότεροι αριθμοί, τότε ο κανόνας δεν λειτουργεί.

Για παράδειγμα, το LCM (7;14;21) δεν είναι ίσο με 21, αφού δεν μπορεί να διαιρεθεί χωρίς υπόλοιπο με.

Κανόνας 2. Αν δύο (ή περισσότεροι από δύο) αριθμοί είναι συμπρώτοι, τότε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο είναι ίσο με το γινόμενο τους.

εύρημα NOCγια τους παρακάτω αριθμούς:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

μετρήσατε; Εδώ είναι οι απαντήσεις - , ; .

Όπως καταλαβαίνετε, δεν είναι πάντα τόσο εύκολο να πάρετε και να σηκώσετε αυτό το ίδιο x, επομένως για λίγο πιο σύνθετους αριθμούς υπάρχει ο ακόλουθος αλγόριθμος:

Να ασκηθούμε;

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο - LCM (345; 234)

Ας αναλύσουμε κάθε αριθμό:

Γιατί μόλις έγραψα;

Θυμηθείτε τα πρόσημα της διαιρετότητας με: διαιρείται με (το τελευταίο ψηφίο είναι άρτιο) και το άθροισμα των ψηφίων διαιρείται με.

Αντίστοιχα, μπορούμε αμέσως να διαιρέσουμε με, γράφοντάς το ως.

Τώρα γράφουμε τη μεγαλύτερη επέκταση σε μια γραμμή - τη δεύτερη:

Ας προσθέσουμε σε αυτό τους αριθμούς από την πρώτη επέκταση, οι οποίοι δεν είναι σε αυτό που γράψαμε:

Σημείωση: γράψαμε τα πάντα εκτός από το, αφού το έχουμε ήδη.

Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε όλους αυτούς τους αριθμούς!

Βρείτε μόνοι σας το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM).

Τι απαντήσεις πήρατε;

Να τι μου συνέβη:

Πόσο καιρό σου πήρε για να βρεις NOC? Ο χρόνος μου είναι 2 λεπτά, το ξέρω πραγματικά ένα κόλπο, που σας προτείνω να ανοίξετε αμέσως!

Εάν είστε πολύ προσεκτικοί, τότε πιθανότατα έχετε παρατηρήσει ότι για τους συγκεκριμένους αριθμούς έχουμε ήδη αναζητήσει GCDκαι θα μπορούσατε να πάρετε την παραγοντοποίηση αυτών των αριθμών από αυτό το παράδειγμα, απλοποιώντας έτσι την εργασία σας, αλλά αυτό απέχει πολύ από όλα.

Κοιτάξτε την εικόνα, ίσως σας έρθουν κάποιες άλλες σκέψεις:

Καλά? Θα σας δώσω μια υπόδειξη: προσπαθήστε να πολλαπλασιάσετε NOCκαι GCDμεταξύ τους και να γράψουν όλους τους παράγοντες που θα είναι κατά τον πολλαπλασιασμό. Κατάφερες? Θα πρέπει να καταλήξετε με μια αλυσίδα όπως αυτή:

Ρίξτε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτό: συγκρίνετε τους παράγοντες με το πώς και αποσυντίθενται.

Τι συμπέρασμα μπορείτε να βγάλετε από αυτό; Σωστά! Αν πολλαπλασιάσουμε τις τιμές NOCκαι GCDμεταξύ τους, τότε παίρνουμε το γινόμενο αυτών των αριθμών.

Αντίστοιχα, έχοντας αριθμούς και νόημα GCD(ή NOC), μπορούμε να βρούμε NOC(ή GCD) με τον ακόλουθο τρόπο:

1. Βρείτε το γινόμενο των αριθμών:

2. Διαιρούμε το προϊόν που προκύπτει με το δικό μας GCD (6240; 6800) = 80:

Αυτό είναι όλο.

Ας γράψουμε τον κανόνα σε γενική μορφή:

Προσπαθώ να βρω GCDαν είναι γνωστό ότι:

Κατάφερες? .

Αρνητικοί αριθμοί - «ψευδείς αριθμοί» και η αναγνώρισή τους από την ανθρωπότητα.

Όπως καταλάβατε ήδη, πρόκειται για αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς, δηλαδή:

Φαίνεται ότι είναι τόσο ξεχωριστοί;

Αλλά το γεγονός είναι ότι οι αρνητικοί αριθμοί «κέρδισαν» τη θέση που τους αρμόζει στα μαθηματικά μέχρι τον 19ο αιώνα (μέχρι εκείνη τη στιγμή υπήρχε τεράστια διαμάχη αν υπάρχουν ή όχι).

Ο ίδιος ο αρνητικός αριθμός προέκυψε λόγω μιας τέτοιας πράξης με φυσικούς αριθμούς όπως η "αφαίρεση".

Πράγματι, αφαιρέστε από - αυτός είναι ένας αρνητικός αριθμός. Γι' αυτό συχνά καλείται το σύνολο των αρνητικών αριθμών «μια επέκταση του συνόλου των φυσικών αριθμών».

Οι αρνητικοί αριθμοί δεν αναγνωρίζονταν από τους ανθρώπους για μεγάλο χρονικό διάστημα.

Έτσι, η Αρχαία Αίγυπτος, η Βαβυλώνα και η Αρχαία Ελλάδα - τα φώτα της εποχής τους, δεν αναγνώρισαν αρνητικούς αριθμούς και στην περίπτωση απόκτησης αρνητικών ριζών στην εξίσωση (για παράδειγμα, όπως έχουμε), οι ρίζες απορρίφθηκαν ως αδύνατες.

Για πρώτη φορά οι αρνητικοί αριθμοί απέκτησαν το δικαίωμα ύπαρξης στην Κίνα και στη συνέχεια τον 7ο αιώνα στην Ινδία.

Τι πιστεύετε για αυτή την εξομολόγηση;

Σωστά, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να υποδηλώνουν χρέη (αλλιώς - έλλειψη).

Θεωρήθηκε ότι οι αρνητικοί αριθμοί είναι μια προσωρινή τιμή, η οποία ως αποτέλεσμα θα αλλάξει σε θετική (δηλαδή, τα χρήματα θα εξακολουθήσουν να επιστραφούν στον πιστωτή). Ωστόσο, ο Ινδός μαθηματικός Brahmagupta ήδη θεωρούσε τους αρνητικούς αριθμούς σε ίση βάση με τους θετικούς.

Στην Ευρώπη, η χρησιμότητα των αρνητικών αριθμών, καθώς και το γεγονός ότι μπορούν να υποδηλώσουν χρέος, ήρθε πολύ αργότερα, δηλαδή μια χιλιετία.

Η πρώτη αναφορά έγινε το 1202 στο "Book of the Abacus" του Leonard of Pisa (λέω αμέσως ότι ο συγγραφέας του βιβλίου δεν έχει καμία σχέση με τον Πύργο της Πίζας, αλλά οι αριθμοί Fibonacci είναι έργο του (το Το ψευδώνυμο του Λεονάρντο της Πίζας είναι Φιμπονάτσι)).

Έτσι, τον XVII αιώνα, ο Pascal πίστευε ότι.

Πώς πιστεύετε ότι το δικαιολόγησε;

Σωστά, «τίποτα δεν μπορεί να είναι λιγότερο από ΤΙΠΟΤΑ».

Ηχώ εκείνων των χρόνων παραμένει το γεγονός ότι ένας αρνητικός αριθμός και η λειτουργία της αφαίρεσης συμβολίζονται με το ίδιο σύμβολο - μείον "-". Και αλήθεια: . Είναι ο αριθμός " " θετικός, που αφαιρείται από, ή αρνητικός, που προστίθεται; ... Κάτι από τη σειρά "που έρχεται πρώτο: το κοτόπουλο ή το αυγό;" Εδώ είναι ένα τέτοιο είδος αυτής της μαθηματικής φιλοσοφίας.

Οι αρνητικοί αριθμοί εξασφάλισαν το δικαίωμά τους να υπάρχουν με την εμφάνιση της αναλυτικής γεωμετρίας, με άλλα λόγια, όταν οι μαθηματικοί εισήγαγαν ένα τέτοιο πράγμα ως πραγματικό άξονα.

Από αυτή τη στιγμή ήρθε η ισότητα. Ωστόσο, υπήρχαν ακόμη περισσότερες ερωτήσεις παρά απαντήσεις, για παράδειγμα:

ποσοστό

Αυτή η αναλογία ονομάζεται παράδοξο του Άρνο. Σκεφτείτε το, τι είναι αμφίβολο;

Ας μιλήσουμε μαζί "" περισσότερο από "" σωστά; Έτσι, σύμφωνα με τη λογική, η αριστερή πλευρά της αναλογίας θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από τη δεξιά πλευρά, αλλά είναι ίσες ... Εδώ είναι το παράδοξο.

Ως αποτέλεσμα, οι μαθηματικοί συμφώνησαν ότι ο Καρλ Γκάους (ναι, ναι, αυτός είναι που θεώρησε το άθροισμα (ή) των αριθμών) το 1831 έβαλε τέλος σε αυτό.

Είπε ότι οι αρνητικοί αριθμοί έχουν τα ίδια δικαιώματα με τους θετικούς και το γεγονός ότι δεν ισχύουν για όλα τα πράγματα δεν σημαίνει τίποτα, αφού τα κλάσματα δεν ισχύουν ούτε για πολλά πράγματα (δεν συμβαίνει να σκάβει μια τρύπα ένας ανασκαφέας, δεν μπορείτε να αγοράσετε εισιτήριο για τον κινηματογράφο κ.λπ.).

Οι μαθηματικοί ηρέμησαν μόλις τον 19ο αιώνα, όταν δημιουργήθηκε η θεωρία των αρνητικών αριθμών από τον William Hamilton και τον Hermann Grassmann.

Τόσο αμφιλεγόμενα είναι, αυτοί οι αρνητικοί αριθμοί.

Ανάδυση του «κενού», ή η βιογραφία του μηδέν.

Στα μαθηματικά, ένας ειδικός αριθμός.

Με την πρώτη ματιά, αυτό δεν είναι τίποτα: προσθέστε, αφαιρέστε - τίποτα δεν θα αλλάξει, αλλά πρέπει απλώς να το αποδώσετε στα δεξιά στο "", και ο αριθμός που προκύπτει θα είναι πολλές φορές μεγαλύτερος από τον αρχικό.

Πολλαπλασιάζοντας με το μηδέν, μετατρέπουμε τα πάντα σε τίποτα, αλλά δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το «τίποτα». Με μια λέξη, ο μαγικός αριθμός)

Η ιστορία του μηδέν είναι μακρά και περίπλοκη.

Ένα ίχνος του μηδενός βρίσκεται στα γραπτά των Κινέζων το 2000 μ.Χ. και ακόμη νωρίτερα με τους Μάγια. Η πρώτη χρήση του συμβόλου μηδέν, όπως είναι σήμερα, παρατηρήθηκε μεταξύ των Ελλήνων αστρονόμων.

Υπάρχουν πολλές εκδοχές για το γιατί επιλέχθηκε ένας τέτοιος προσδιορισμός «τίποτα».

Μερικοί ιστορικοί τείνουν να πιστεύουν ότι αυτό είναι ένα όμικρον, δηλ. Το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης για το τίποτα είναι ούδεν. Σύμφωνα με μια άλλη εκδοχή, η λέξη "obol" (ένα νόμισμα σχεδόν χωρίς αξία) έδωσε ζωή στο σύμβολο του μηδέν.

Το μηδέν (ή το μηδέν) ως μαθηματικό σύμβολο εμφανίζεται για πρώτη φορά μεταξύ των Ινδών(σημειώστε ότι οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να «αναπτύσσονται» εκεί).

Η πρώτη αξιόπιστη απόδειξη της γραφής μηδέν χρονολογείται από το 876, και σε αυτά το "" είναι ένα συστατικό του αριθμού.

Το μηδέν ήρθε και στην Ευρώπη καθυστερημένα - μόλις το 1600, και όπως και οι αρνητικοί αριθμοί, αντιμετώπισε αντίσταση (τι να κάνετε, είναι Ευρωπαίοι).

«Συχνά το μηδέν μισούνταν, το φοβόντουσαν για μεγάλο χρονικό διάστημα, ακόμη και το απαγορευόταν»— γράφει ο Αμερικανός μαθηματικός Τσαρλς Σέιφ.

Έτσι, ο Τούρκος Σουλτάνος ​​Αμπντούλ-Χαμίτ Β' στα τέλη του 19ου αιώνα. διέταξε τους λογοκριτές του να διαγράψουν τη φόρμουλα του νερού H2O από όλα τα εγχειρίδια χημείας, παίρνοντας το γράμμα «Ο» ως μηδέν και μη θέλοντας να δυσφημιστούν τα αρχικά του λόγω της εγγύτητας με το απεχθές μηδέν.

Στο Διαδίκτυο μπορείτε να βρείτε τη φράση: «Το μηδέν είναι η πιο ισχυρή δύναμη στο Σύμπαν, μπορεί να κάνει τα πάντα! Το μηδέν δημιουργεί τάξη στα μαθηματικά και φέρνει επίσης χάος σε αυτά. Απόλυτα σωστό σημείο :)

Περίληψη της ενότητας και βασικοί τύποι

Το σύνολο των ακεραίων αποτελείται από 3 μέρη:

• φυσικοί αριθμοί (θα τους εξετάσουμε λεπτομερέστερα παρακάτω).
• αριθμοί αντίθετοι με τους φυσικούς.
• μηδέν - " "

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται γράμμα Ζ.

1. Φυσικοί αριθμοί

Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί που χρησιμοποιούμε για να μετρήσουμε αντικείμενα.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται γράμμα Ν.

Σε πράξεις με ακέραιους αριθμούς, θα χρειαστείτε τη δυνατότητα εύρεσης GCD και LCM.

Μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης (GCD)

Για να βρείτε το NOD χρειάζεστε:

1. Αποσύνθεση αριθμών σε πρώτους παράγοντες (σε αριθμούς που δεν μπορούν να διαιρεθούν με τίποτα άλλο εκτός από τον εαυτό τους ή με, για παράδειγμα, κ.λπ.).
2. Καταγράψτε τους παράγοντες που αποτελούν μέρος και των δύο αριθμών.
3. Πολλαπλασιάστε τα.

Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM)

Για να βρείτε το NOC χρειάζεστε:

1. Παραγοντοποιήστε τους αριθμούς σε πρώτους παράγοντες (ξέρετε ήδη πώς να το κάνετε αυτό πολύ καλά).
2. Γράψτε τους παράγοντες που περιλαμβάνονται στην επέκταση ενός από τους αριθμούς (είναι καλύτερα να πάρετε τη μεγαλύτερη αλυσίδα).
3. Προσθέστε σε αυτούς τους παράγοντες που λείπουν από τις επεκτάσεις των υπόλοιπων αριθμών.
4. Βρείτε το γινόμενο των παραγόντων που προκύπτουν.

2. Αρνητικοί αριθμοί

Αυτοί είναι αριθμοί που είναι αντίθετοι με τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή:

Τώρα θέλω να σε ακούσω...

Ελπίζω να εκτιμήσατε τα εξαιρετικά χρήσιμα «κόλπα» αυτής της ενότητας και να καταλάβατε πώς θα σας βοηθήσουν στην εξέταση.

Και το πιο σημαντικό, στη ζωή. Δεν το συζητώ, αλλά πιστέψτε με, αυτό είναι. Η ικανότητα μέτρησης γρήγορα και χωρίς σφάλματα σώζει σε πολλές καταστάσεις ζωής.

Τωρα ειναι η σειρα σου!

Γράψτε, θα χρησιμοποιήσετε μεθόδους ομαδοποίησης, κριτήρια διαιρετότητας, GCD και LCM στους υπολογισμούς;

Ίσως τα έχετε χρησιμοποιήσει στο παρελθόν; Πού και πώς;

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια πώς σας αρέσει το άρθρο.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Αν προσθέσουμε τον αριθμό 0 στα αριστερά μιας σειράς φυσικών αριθμών, παίρνουμε μια σειρά θετικών ακεραίων:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Ακέραιοι αρνητικοί αριθμοί

Ας εξετάσουμε ένα μικρό παράδειγμα. Το σχήμα στα αριστερά δείχνει ένα θερμόμετρο που δείχνει θερμοκρασία 7 °C θερμότητας. Εάν η θερμοκρασία πέσει κατά 4°C, το θερμόμετρο θα δείξει 3°C θερμότητας. Η μείωση της θερμοκρασίας αντιστοιχεί σε μια ενέργεια αφαίρεσης:

Σημείωση: όλοι οι βαθμοί γράφονται με το γράμμα C (Κελσίου), το πρόσημο του βαθμού χωρίζεται από τον αριθμό με ένα κενό. Για παράδειγμα, 7 °C.

Εάν η θερμοκρασία πέσει κατά 7 °C, το θερμόμετρο θα δείξει 0 °C. Η μείωση της θερμοκρασίας αντιστοιχεί σε μια ενέργεια αφαίρεσης:

Εάν η θερμοκρασία πέσει κατά 8 °C, τότε το θερμόμετρο θα δείξει -1 °C (1 °C παγετού). Αλλά το αποτέλεσμα της αφαίρεσης 7 - 8 δεν μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας φυσικούς αριθμούς και μηδέν.

Ας δείξουμε την αφαίρεση σε μια σειρά θετικών ακεραίων αριθμών:

1) Μετράμε 4 αριθμούς αριστερά από τον αριθμό 7 και παίρνουμε 3:

2) Μετράμε 7 αριθμούς αριστερά από τον αριθμό 7 και παίρνουμε 0:

Είναι αδύνατο να μετρήσετε 8 αριθμούς σε μια σειρά θετικών ακεραίων από τον αριθμό 7 προς τα αριστερά. Για να κάνουμε την ενέργεια 7 - 8 εφικτή, επεκτείνουμε τη σειρά των θετικών ακεραίων. Για να γίνει αυτό, στα αριστερά του μηδενός, γράφουμε (από τα δεξιά προς τα αριστερά) με τη σειρά όλους τους φυσικούς αριθμούς, προσθέτοντας σε καθέναν από αυτούς ένα σύμβολο - που δείχνει ότι αυτός ο αριθμός βρίσκεται στα αριστερά του μηδενός.

Οι καταχωρήσεις -1, -2, -3, ... διαβάζονται μείον 1 , μείον 2 , μείον 3 κ.λπ.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Η σειρά αριθμών που προκύπτει ονομάζεται δίπλα σε ακέραιους αριθμούς. Οι κουκκίδες αριστερά και δεξιά σε αυτήν την καταχώρηση σημαίνουν ότι η σειρά μπορεί να συνεχιστεί επ' αόριστον δεξιά και αριστερά.

Στα δεξιά του αριθμού 0 σε αυτή τη σειρά βρίσκονται οι αριθμοί που καλούνται φυσικόςή εντελώς θετικό(εν ολίγοις - θετικός).

Στα αριστερά του αριθμού 0 σε αυτή τη σειρά βρίσκονται οι αριθμοί που καλούνται εντελώς αρνητικό(εν ολίγοις - αρνητικός).

Ο αριθμός 0 είναι ακέραιος, αλλά δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός. Διαχωρίζει θετικούς και αρνητικούς αριθμούς.

Συνεπώς, μια σειρά ακεραίων αποτελείται από αρνητικούς ακέραιους, μηδέν και θετικούς ακέραιους.

Σύγκριση ακέραιων αριθμών

Συγκρίνετε δύο ακέραιους αριθμούς- σημαίνει να βρείτε ποιος από αυτούς είναι μεγαλύτερος, ποιος μικρότερος ή να προσδιορίσετε ότι οι αριθμοί είναι ίσοι.

Μπορείτε να συγκρίνετε ακέραιους αριθμούς χρησιμοποιώντας μια σειρά ακεραίων, καθώς οι αριθμοί σε αυτήν είναι διατεταγμένοι από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο αν μετακινηθείτε κατά μήκος της σειράς από αριστερά προς τα δεξιά. Επομένως, σε μια σειρά ακεραίων αριθμών, μπορείτε να αντικαταστήσετε τα κόμματα με ένα σύμβολο μικρότερο από:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Συνεπώς, Από δύο ακέραιους, ο ένας στα δεξιά είναι ο μεγαλύτερος και αυτός στα αριστερά είναι ο μικρότερος., που σημαίνει:

1) Κάθε θετικός αριθμός είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και μεγαλύτερος από οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό:

1 > 0; 15 > -16

2) Κάθε αρνητικός αριθμός μικρότερος από το μηδέν:

7 < 0; -357 < 0

3) Από τους δύο αρνητικούς αριθμούς, αυτός που βρίσκεται δεξιά στη σειρά των ακεραίων είναι μεγαλύτερος.

Υπάρχουν πολλοί τύποι αριθμών, ένας από αυτούς είναι οι ακέραιοι. Οι ακέραιοι αριθμοί εμφανίστηκαν για να διευκολυνθεί η μέτρηση όχι μόνο σε θετική κατεύθυνση, αλλά και σε αρνητική κατεύθυνση.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Κατά τη διάρκεια της ημέρας ήταν 3 βαθμοί έξω. Μέχρι το βράδυ η θερμοκρασία έπεσε κατά 3 βαθμούς.
3-3=0
Έξω ήταν 0 βαθμοί. Και το βράδυ η θερμοκρασία έπεσε κατά 4 βαθμούς και άρχισε να δείχνει στο θερμόμετρο -4 βαθμούς.
0-4=-4

Μια σειρά από ακέραιους αριθμούς.

Δεν μπορούμε να περιγράψουμε ένα τέτοιο πρόβλημα με φυσικούς αριθμούς· θα εξετάσουμε αυτό το πρόβλημα σε μια γραμμή συντεταγμένων.

Έχουμε μια σειρά από αριθμούς:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Αυτή η σειρά αριθμών ονομάζεται δίπλα σε ακέραιους αριθμούς.

Ακέραιοι θετικοί αριθμοί. Ολόκληροι αρνητικοί αριθμοί.

Μια σειρά ακεραίων αριθμών αποτελείται από θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. Στα δεξιά του μηδενός βρίσκονται φυσικοί αριθμοί, ή καλούνται επίσης ολόκληρους θετικούς αριθμούς. Και προς τα αριστερά του μηδενός πηγαίνετε ολόκληρους αρνητικούς αριθμούς.

Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικό ούτε αρνητικό. Είναι το όριο μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών.

είναι ένα σύνολο αριθμών που αποτελείται από φυσικούς αριθμούς, αρνητικούς ακέραιους και μηδέν.

Μια σειρά ακεραίων σε θετικές και αρνητικές κατευθύνσεις είναι ατελείωτο πλήθος.

Εάν πάρουμε οποιουσδήποτε δύο ακέραιους αριθμούς, τότε οι αριθμοί μεταξύ αυτών των ακεραίων θα καλούνται τελικό σετ.

Για παράδειγμα:
Ας πάρουμε ακέραιους αριθμούς από το -2 έως το 4. Όλοι οι αριθμοί μεταξύ αυτών των αριθμών περιλαμβάνονται στο πεπερασμένο σύνολο. Το πεπερασμένο σύνολο αριθμών μας μοιάζει με αυτό:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Οι φυσικοί αριθμοί συμβολίζονται με το λατινικό γράμμα N.
Οι ακέραιοι αριθμοί συμβολίζονται με το λατινικό γράμμα Z. Ολόκληρο το σύνολο των φυσικών αριθμών και των ακεραίων μπορεί να απεικονιστεί στο σχήμα.


Μη θετικοί ακέραιοι αριθμοίμε άλλα λόγια, είναι αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί.
Μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίείναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί.