Properti membagi dengan 11. Tanda-tanda utama dapat dibagi

Materi ini dikhususkan untuk konsep seperti itu sebagai tanda dapat dibagi 2. Di paragraf pertama, kami akan merumuskannya dan memberikan contoh - tugas di mana Anda perlu mencari tahu apakah angka tertentu habis dibagi 2. Kemudian kami akan membuktikan fitur ini dan menjelaskan metode lain apa yang ada untuk menentukan pembagian oleh dua angka yang diberikan sebagai nilai ekspresi.

Rumusan dan contoh uji pembagian dengan 2

Untuk lebih memahami apa tanda-tanda dapat dibagi, Anda perlu mengulangi topik yang terkait dengan pembagian bilangan bulat. Definisi konsep utama terlihat seperti ini:

Definisi 1

Bilangan bulat yang berakhiran 8 , 6 , 4 , 2 dan 0 dapat dibagi 2 tanpa sisa. Jika pada akhir angka adalah angka 9, 7, 5, 3 atau 1, maka angka tersebut tidak habis dibagi 2.

Dengan bantuan tanda ini, dimungkinkan untuk mengungkapkan pembagian tidak hanya bilangan bulat positif (alami), tetapi juga bilangan bulat negatif, karena mereka juga dapat dibagi dengan 2 tanpa sisa.

Mari kita berikan beberapa contoh penggunaan fitur dalam masalah.

Contoh 1

Kondisi: tentukan bilangan 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 yang dapat dibagi dua.

Larutan

Tentu saja, kita cukup membagi semua angka ini dengan dua di kolom dan memeriksa apakah ada sisa di akhir atau tidak. Tetapi mengetahui tanda dapat dibagi dua, Anda dapat menyelesaikan masalah ini lebih cepat.

Tiga dari angka yang terdaftar, yaitu 8, - 946 dan 10 900, memiliki angka 8, 6 dan 0 di akhir, yang berarti pembagiannya dengan 2 dimungkinkan.

Angka yang tersisa (53 dan - 988 123 761) diakhiri dengan 3 dan 1, yang berarti angka tersebut tidak habis dibagi dua.

Menjawab: 8 , 946 dan 10 900 dapat dibagi dua, tetapi semua bilangan lain yang diberikan tidak bisa.

Fitur ini banyak digunakan dalam masalah di mana Anda perlu menguraikan bilangan menjadi faktor prima. Mari kita selesaikan satu contoh seperti itu.

Contoh 2

Kondisi: faktorkan 352 menjadi faktor prima.

Larutan

Karena angka terakhir pada bilangan asli adalah 2, maka menurut kriteria pembagian, kita dapat membaginya menjadi dua tanpa sisa. Mari kita lakukan ini: 352: 2 = 176 dan 352 = 2 176 . Angka yang dihasilkan 176 juga dibagi dua: 176: 2 \u003d 88, dan 176 \u003d 2 88. Angka ini juga dapat dibagi: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44 dan 352 \u003d 2 2 88 \u003d 2 2 2 44. Kami melanjutkan ekspansi: 44: 2 \u003d 22 dan 44 \u003d 2 22, oleh karena itu, 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; maka 22: 2 = 11, dari mana 22 = 2 11 dan 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Akhirnya, kami telah mencapai angka yang tidak habis dibagi 2. Tabel bilangan prima memberitahu kita bahwa bilangan ini adalah bilangan prima, jadi di situlah faktorisasi berakhir.

Menjawab: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

Pembagian bilangan menjadi genap dan ganjil didasarkan tepat pada apakah bilangan tersebut habis dibagi 2 atau tidak. Mengetahui tanda dapat dibagi ini, kita dapat mengatakan bahwa semua angka genap diakhiri dengan angka 0, 2, 4, 6 atau 8, dan semua angka ganjil - 1, 3, 5, 7 atau 9.

Bagaimana Anda bisa membuktikan uji pembagian dengan 2

Sebelum melanjutkan langsung ke pembuktian fitur ini, kita perlu membuktikan pernyataan tambahan. Ini diformulasikan seperti ini:

Definisi 2

Semua bilangan asli yang berakhiran nol dapat dibagi dua tanpa sisa.

Menggunakan aturan mengalikan bilangan asli dengan 10, kita dapat menyatakan bilangan tertentu a sebagai a = a 1 · 10 . Nomor sebuah 1, pada gilirannya, akan diperoleh dari a jika digit terakhir dihapus darinya.

Berikut adalah contoh tindakan tersebut: 470 = 47 10, di mana a = 470 dan a 1 = 47; atau 38.010 10, di sini a = 380 100 dan a 1 = 38.010. Faktor kedua dalam produk ini (10) dapat dibagi 2, sehingga seluruh produk dapat dibagi 2. Pernyataan ini didasarkan pada sifat keterbagian yang sesuai.

Kami beralih ke bukti tes untuk pembagian dengan 2. Untuk membuatnya lebih nyaman, kami menyajikannya sebagai teorema, yaitu. sebagai kondisi yang diperlukan dan cukup untuk pembagian bilangan bulat dengan dua.

Teorema 1

Untuk membagi bilangan bulat a dengan dua, syarat perlu dan cukup adalah bahwa angka terakhir adalah 0 , 2 , 4 , 6 atau 8 .

Bukti 1

Bagaimana membuktikan pernyataan ini? Pertama, mari kita nyatakan bilangan asli a sebagai jumlah puluhan dan satuan, mis. mari kita tulis sebagai a = a 1 10 + a 0 . Di sini a 1 akan menjadi angka yang dihasilkan dari a ketika digit terakhir dihilangkan, dan 0 sesuai dengan digit terakhir dari angka ini (ekspresi 49 = 4 10 + 9 , 28 378 = 2 837 10 + 8 juga dapat menjadi contoh dari representasi seperti itu). Kerja 1 10, diambil dari persamaan a = a 1 · 10 + a 0 , akan selalu habis dibagi dua, yang ditunjukkan dengan menggunakan teorema ini.

Sisa pembuktian bergantung pada sifat keterbagian tertentu, yaitu: jika kita memiliki tiga bilangan yang membentuk persamaan t = u + v , dan dua di antaranya habis dibagi bilangan bulat z , maka bilangan ketiga juga dapat dibagi dengan z.

Jika a dapat dibagi dua, maka menurut properti ini, serta representasi a \u003d a 1 10 + a 0, angka a 0 akan dibagi dua, dan ini hanya mungkin jika a 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 atau delapan .

Dan jika a tidak habis dibagi 2, maka berdasarkan sifat yang sama, bilangan sebuah 0 tidak akan habis dibagi 2, yang hanya mungkin jika 0 = 1, 3, 5, 7 atau 9. Ini adalah bukti kebutuhan yang diperlukan.

Sekarang mari kita lihat situasi sebaliknya. Jika kita memiliki bilangan a yang angka terakhirnya adalah 0, 2 , 4 , 6 atau 8 , maka sebuah 0 dibagi dengan 2 . Properti dan Representasi Divisibilitas Tertentu a = a1 10 + a0 mari kita simpulkan bahwa a habis dibagi 2 . Jika a memiliki angka terakhir 1 , 3 , 5 , 7 atau 9 , maka a 0 tidak habis dibagi 2 , jadi a juga tidak habis dibagi 2 , jika tidak, representasi a = a 1 10 + a 0 itu sendiri akan habis dibagi 2 , yang tidak mungkin. Kecukupan kondisi terbukti.

Pada akhirnya, kami mencatat bahwa angka dengan angka terakhir 1, 3, 5, 7 atau 9, ketika dibagi dua, selalu memberikan sisa satu.

Mari kita ambil kasus ketika nomor yang diberikan berakhir dengan salah satu digit ini. Kemudian kita dapat merepresentasikan a sebagai a = b + 1 , dengan b memiliki 0 , 2 , 4 , 6 , atau 8 sebagai digit terakhirnya. Berdasarkan kriteria dapat dibagi oleh 2 bilangan b dapat dibagi dengan 2 , oleh karena itu, dengan definisi dapat dibagi, itu juga dapat direpresentasikan sebagai b = 2 · q , di mana q akan menjadi bilangan bulat. Kami mendapatkan bahwa a = 2 q + 1 . Representasi ini menunjukkan kepada kita bahwa ketika membagi bilangan a dengan 2 hasilnya adalah hasil bagi q tidak lengkap dan sisa 1 (jika perlu, baca kembali artikel tentang pembagian bilangan bulat dengan sisa).

Kasus lain untuk menentukan pembagian dengan 2

Dalam paragraf ini, kita akan menganalisis kasus-kasus di mana bilangan yang habis dibagi 2 perlu ditentukan tidak diberikan secara langsung, tetapi ditentukan oleh beberapa nilai dari ekspresi literal. Di sini kita tidak dapat menggunakan tanda yang diberikan di atas, dan juga tidak mungkin untuk langsung membagi ekspresi ini dengan 2. Jadi, kita perlu mencari solusi lain.

Ada pendekatan untuk memecahkan masalah seperti itu, yang didasarkan pada sifat dapat dibagi berikut: produk bilangan bulat dapat dibagi dengan angka tertentu ketika setidaknya salah satu faktor habis dibagi olehnya. Oleh karena itu, jika kita dapat mengubah ekspresi literal menjadi produk dari faktor-faktor yang terpisah, salah satunya habis dibagi dua, maka akan mungkin untuk membuktikan bahwa ekspresi aslinya juga habis dibagi 2.

Untuk mengubah ekspresi yang diberikan, kita dapat menggunakan rumus binomial Newton. Mari kita lihat tugas seperti itu.

Contoh 3

Kondisi: tentukan apakah nilai dari ekspresi 3 n + 4 n - 1 dapat dibagi 2 untuk beberapa n alami .

Larutan

Pertama, mari kita tulis persamaan yang jelas 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Sekarang kita ambil rumus binomial Newton, terapkan dan sederhanakan apa yang kita dapatkan:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Dalam persamaan terakhir, kami mengambil dua dari tanda kurung dan mendapatkan persamaan berikut:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

Dalam persamaan ini, Anda dapat membagi ruas kanan dengan dua untuk setiap nilai natural n, karena ada faktor yang sama dengan 2 di sana. Karena ada tanda sama dengan antara ekspresi, Anda juga dapat membagi dengan 2 di sisi kiri.

Menjawab: ekspresi ini dapat dibagi 2 .

Cukup sering, keterbagian dapat dibuktikan dengan menggunakan metode induksi matematika. Mari kita ambil ekspresi yang sama seperti pada contoh di atas dan tunjukkan bagaimana menerapkan metode ini dalam praktik.

Contoh 4

Kondisi: cari tahu apakah ekspresi 3 n + 4 n - 1 habis dibagi 2 untuk setiap nilai natural n .

Larutan

Kami menggunakan induksi matematika. Pertama, mari kita buktikan bahwa nilai dari ekspresi 3 n + 4 n - 1 dengan n sama dengan satu dapat dibagi 2 . Kami mendapatkan 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, enam habis dibagi dua tanpa sisa. Pindah. Misalkan n sama dengan k dan asumsikan bahwa 3 k + 4 k - 1 habis dibagi dua.

Dengan menggunakan asumsi ini, kami membuktikan bahwa 3 n + 4 n - 1 dapat dibagi 2 jika ini memungkinkan untuk 3 k + 4 k - 1 . Untuk membuktikannya, kita perlu melakukan beberapa transformasi.

3 3 k + 4 k - 1 habis dibagi dua, karena ini mungkin untuk 3 k + 4 k - 1 , ekspresi 2 4 k - 3 juga dapat dibagi 2, karena memiliki faktor 2, yang berarti bahwa perbedaan dari dua ekspresi ini juga habis dibagi 2, yang dijelaskan oleh sifat keterbagian yang sesuai.

Menjawab: ekspresi 3 n + 4 n - 1 habis dibagi 2 untuk setiap n alami .

Mari kita membahas secara terpisah kasus ketika ada dua angka di samping satu sama lain dalam produk, mengikuti satu sama lain dalam deret angka alami. Pekerjaan seperti itu juga dibagi menjadi dua.

Contoh 5

Misalnya, ekspresi seperti (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) habis dibagi 2 untuk setiap nilai alami n, karena mengandung bilangan yang mengikuti satu demi satu dalam deret alami adalah n + 6 dan n + 7 .

Demikian pula, jika ada dua faktor, di antaranya ada jumlah anggota deret alami yang genap, produk dapat dibagi dengan 2. Jadi, nilai (n + 1) (n + 6) dibagi dua untuk setiap n alami, karena antara n + 5 dan n + 6 ada bilangan genap: n + 2, n + 3, n + 4 dan n + 5.

Mari kita gabungkan semua yang kita bicarakan di paragraf sebelumnya. Jika dapat ditunjukkan bahwa nilai suatu ekspresi habis dibagi dua ketika n = 2 m, serta di n = 2 m + 1 dan bilangan bulat sewenang-wenang m , maka ini akan menjadi bukti bahwa ekspresi asli habis dibagi 2 untuk setiap nilai bilangan bulat n .

Contoh 6

Kondisi: periksa apakah ekspresi habis dibagi 2 n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 untuk setiap nilai alami n.

Larutan

Pertama, kami menyatakan ekspresi ini sebagai produk (n + 2) 2 · (n + 3) . Jika perlu, ulangi cara memfaktorkan polinomial dengan benar. Kami memiliki dua pengganda n + 2 dan n + 3, yang sesuai dengan angka-angka yang berdiri bersebelahan dalam deret alami. Bagaimanapun, salah satunya habis dibagi 2, yang berarti seluruh produk juga habis dibagi 2. Hal yang sama berlaku untuk ekspresi aslinya.

Masalah ini memiliki solusi lain. Jika sebuah n = 2 m, maka n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3 . Ada faktor empat di sini, karena seluruh produk akan habis dibagi 2.

Jika n = 2 m + 1, kemudian

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Ada faktor 2 di sini, yang berarti bahwa seluruh produk habis dibagi 2.

Menjawab: ini adalah bukti bahwa ekspresi n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) dapat dibagi dua untuk setiap nilai natural n.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Mari kita mulai mempertimbangkan topik "Tanda dapat dibagi 3". Mari kita mulai dengan perumusan tanda, kita akan memberikan bukti teorema. Kemudian kami akan mempertimbangkan pendekatan utama untuk menetapkan pembagian dengan 3 angka, yang nilainya diberikan oleh beberapa ekspresi. Bagian ini memberikan analisis solusi dari jenis masalah utama berdasarkan penggunaan kriteria dapat dibagi oleh 3 .

Tanda habis dibagi 3, contoh

Tanda habis dibagi 3 dirumuskan secara sederhana: suatu bilangan bulat akan habis dibagi 3 tanpa sisa jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Jika nilai total semua angka yang membentuk bilangan bulat tidak habis dibagi 3, maka bilangan asli itu sendiri tidak habis dibagi 3. Anda bisa mendapatkan jumlah semua digit dalam bilangan bulat dengan menambahkan bilangan asli.

Sekarang mari kita lihat contoh penerapan kriteria keterbagian dengan 3.

Contoh 1

Apakah 42 habis dibagi 3?

Larutan

Untuk menjawab pertanyaan ini, mari kita jumlahkan semua angka yang membentuk angka - 42: 4 + 2 = 6.

Menjawab: menurut kriteria keterbagian, karena jumlah angka-angka yang termasuk dalam kenaikan bilangan asli habis dibagi tiga, maka bilangan asli itu sendiri habis dibagi 3.

Untuk menjawab pertanyaan apakah angka 0 habis dibagi 3, kita memerlukan sifat dapat dibagi, yang menyatakan bahwa nol habis dibagi bilangan bulat apa pun. Ternyata nol habis dibagi tiga.

Ada masalah untuk solusinya yang perlu menggunakan kriteria dapat dibagi 3 beberapa kali.

Contoh 2

Tunjukkan bahwa bilangan 907 444 812 habis dibagi 3.

Larutan

Mari kita cari jumlah semua angka yang membentuk catatan bilangan asli: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Sekarang kita perlu menentukan apakah bilangan 39 habis dibagi 3. Sekali lagi, tambahkan angka-angka yang membentuk angka ini: 3 + 9 = 12 . Tinggal kita melakukan penjumlahan angka lagi untuk mendapatkan jawaban akhir: 1 + 2 = 3 . Bilangan 3 habis dibagi 3

Menjawab: nomor asli 907 444 812 juga habis dibagi 3.

Contoh 3

Apakah habis dibagi 3 − 543 205 ?

Larutan

Mari kita hitung jumlah digit yang membentuk bilangan asli: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Sekarang mari kita hitung jumlah digit angka yang dihasilkan: 1 + 9 = 10 . Untuk mendapatkan jawaban akhir, mari kita cari hasil dari satu tambahan lagi: 1 + 0 = 1 .
Menjawab: 1 tidak habis dibagi 3, jadi bilangan asli juga tidak habis dibagi 3.

Untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 3 tanpa sisa, kita dapat membagi bilangan tersebut dengan 3. Jika kita membagi angka − 543 205 dari contoh di atas dengan kolom tiga, maka dalam jawaban kita tidak akan mendapatkan bilangan bulat. Ini juga berarti persis bahwa − 543 205 tidak habis dibagi 3.

Bukti tes untuk dapat dibagi oleh 3

Di sini kita membutuhkan keterampilan berikut: menguraikan angka menjadi angka dan aturan untuk mengalikan dengan 10, 100, dll. Untuk melakukan pembuktian, kita perlu mendapatkan representasi dari bilangan a dari bentuk , di mana a n , a n 1 , … , a 0- Ini adalah angka yang terletak dari kiri ke kanan dalam notasi angka.

Berikut adalah contoh menggunakan nomor tertentu: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Mari kita menulis serangkaian persamaan: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 dan seterusnya.

Sekarang mari kita substitusikan persamaan-persamaan ini alih-alih 10, 100 dan 1000 ke dalam persamaan-persamaan yang diberikan sebelumnya a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Jadi kami sampai pada kesetaraan:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Dan sekarang kita terapkan sifat-sifat penjumlahan dan sifat-sifat perkalian bilangan asli untuk menulis ulang persamaan yang dihasilkan sebagai berikut:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

Ekspresi a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 adalah jumlah digit dari bilangan asli a . Mari kita perkenalkan notasi pendek baru untuk itu TETAPI. Kami mendapatkan: A = a n + . . . + a2 + a1 + a 0 .

Dalam hal ini, representasi bilangan adalah a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A mengambil bentuk yang akan memudahkan kita untuk membuktikan uji pembagian dengan 3 .

Definisi 1

Sekarang ingat sifat-sifat pembagian berikut:

• syarat perlu dan cukup agar bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat
  b , adalah kondisi dimana modulus bilangan a habis dibagi modulus bilangan b ;
• jika dalam persamaan a = s + t semua suku, kecuali satu, habis dibagi beberapa bilangan bulat b, maka suku yang satu ini juga habis dibagi b.

Kami telah meletakkan dasar untuk membuktikan uji pembagian dengan 3. Sekarang mari kita merumuskan kriteria ini dalam bentuk teorema dan membuktikannya.

Teorema 1

Untuk menyatakan bahwa suatu bilangan bulat a habis dibagi 3, perlu dan cukup bagi kita bahwa jumlah angka-angka yang membentuk catatan bilangan a habis dibagi 3.

Bukti 1

Jika kita mengambil nilai a = 0, maka teoremanya jelas.

Jika kita mengambil bilangan a selain nol, maka nilai mutlak a adalah bilangan asli. Ini memungkinkan kita untuk menulis persamaan berikut:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , di mana A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - jumlah digit angka a .

Karena jumlah dan hasil kali bilangan bulat adalah bilangan bulat, maka
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 adalah bilangan bulat, maka menurut definisi dapat dibagi, hasilnya adalah 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 habis dibagi 3 untuk apa saja a 0, a 1 , … , a n.

Jika jumlah angka-angka dari suatu bilangan sebuah dibagi dengan 3 , itu adalah, SEBUAH dibagi dengan 3 , maka, berdasarkan sifat dapat dibagi yang ditunjukkan sebelum teorema, a habis dibagi oleh 3 , Akibatnya, sebuah dibagi dengan 3 . Ini membuktikan kecukupannya.

Jika sebuah sebuah dibagi dengan 3 , maka a habis dibagi 3 , maka, karena sifat dapat dibagi yang sama, bilangan
SEBUAH dibagi dengan 3 , yaitu jumlah angka-angka dari bilangan tersebut sebuah dibagi dengan 3 . Ini membuktikan perlunya.

Kasus lain dari pembagian oleh 3

Bilangan bulat dapat diberikan sebagai nilai dari beberapa ekspresi yang berisi variabel, diberikan nilai tertentu dari variabel itu. Jadi, untuk beberapa n alami, nilai ekspresi 4 n + 3 n - 1 adalah bilangan asli. Dalam hal ini, pembagian langsung dengan 3 tidak dapat memberi kita jawaban atas pertanyaan apakah suatu bilangan habis dibagi 3 . Menerapkan uji keterbagian ke 3 juga bisa sulit. Pertimbangkan contoh masalah tersebut dan analisis metode untuk menyelesaikannya.

Beberapa pendekatan dapat diterapkan untuk memecahkan masalah tersebut. Inti dari salah satunya adalah sebagai berikut:

• mewakili ekspresi asli sebagai produk dari beberapa faktor;
• cari tahu apakah setidaknya salah satu faktor dapat dibagi dengan 3 ;
• berdasarkan sifat dapat dibagi, kita simpulkan bahwa seluruh hasil kali habis dibagi 3 .

Dalam penyelesaiannya, seseorang sering kali harus menggunakan rumus binomial Newton.

Contoh 4

Apakah nilai dari ekspresi 4 n + 3 n - 1 habis dibagi 3 untuk alam apa pun n?

Larutan

Mari kita tulis persamaan 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Kami menerapkan rumus binomial Newton dari binomial Newton:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Sekarang mari kita ambil 3 di luar tanda kurung: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . Produk yang dihasilkan mengandung pengganda 3 , dan nilai ekspresi dalam tanda kurung untuk n alami adalah bilangan asli. Hal ini memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa produk yang dihasilkan dan ekspresi asli 4 n + 3 n - 1 habis dibagi oleh 3 .

Menjawab: Ya.

Kita juga bisa menerapkan metode induksi matematika.

Contoh 5

Buktikan dengan menggunakan metode induksi matematika bahwa untuk sebarang alam
n nilai ekspresi n n 2 + 5 habis dibagi 3 .

Larutan

Tentukan nilai dari ekspresi n n 2 + 5 untuk n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 habis dibagi 3 .

Sekarang anggaplah bahwa nilai dari ekspresi n n 2 + 5 untuk n=k dibagi dengan 3 . Faktanya, kita harus bekerja dengan ekspresi k · k 2 + 5 , yang kita harapkan dapat dibagi oleh 3 .

Diketahui k k 2 + 5 habis dibagi 3 , mari kita tunjukkan bahwa nilai dari ekspresi n n 2 + 5 untuk n=k+1 dibagi dengan 3 , yaitu, kita akan menunjukkan bahwa k + 1 k + 1 2 + 5 habis dibagi 3 .

Mari kita lakukan transformasi:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Ekspresi k (k 2 + 5) habis dibagi 3 dan ekspresi 3 k 2 + k + 2 habis dibagi 3 , jadi jumlah mereka habis dibagi 3 .

Jadi kami membuktikan bahwa nilai ekspresi n (n 2 + 5) habis dibagi 3 untuk setiap n alami.

Mari kita sekarang menganalisis pendekatan untuk bukti dapat dibagi dengan 3 , yang didasarkan pada algoritme tindakan berikut:

• kami menunjukkan bahwa nilai ekspresi ini dengan variabel n untuk n = 3 m , n = 3 m + 1 dan n = 3 m + 2, di mana m adalah bilangan bulat arbitrer, habis dibagi 3 ;
• kami menyimpulkan bahwa ekspresi akan habis dibagi 3 untuk sembarang bilangan bulat n.

Agar tidak mengalihkan perhatian dari detail kecil, kami menerapkan algoritme ini ke solusi dari contoh sebelumnya.

Contoh 6

Tunjukkan bahwa n (n 2 + 5) habis dibagi 3 untuk setiap n alami.

Larutan

Mari kita berpura-pura itu n = 3 m. Maka: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. Produk yang kami dapatkan mengandung pengganda 3 , jadi hasil kali itu sendiri habis dibagi 3 .

Mari kita berpura-pura itu n = 3 m + 1. Kemudian:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

Produk yang kami terima dibagi menjadi: 3 .

Mari kita asumsikan bahwa n = 3 · m + 2 . Kemudian:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Pekerjaan ini juga dibagi menjadi 3 .

Menjawab: Jadi kami membuktikan bahwa ekspresi n n 2 + 5 habis dibagi 3 untuk setiap n alami.

Contoh 7

Apakah dibagi menjadi 3 nilai ekspresi 10 3 n + 10 2 n + 1 untuk beberapa n alami .

Larutan

Mari kita berpura-pura itu n=1. Kita mendapatkan:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Mari kita berpura-pura itu n=2. Kita mendapatkan:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa untuk setiap n alami kita akan mendapatkan bilangan yang habis dibagi 3. Ini berarti bahwa 10 3 n + 10 2 n + 1 habis dibagi 3 untuk setiap n alami.

Menjawab: Ya

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

TANDA-TANDA DIVISIBILITAS angka - kriteria (aturan) paling sederhana yang memungkinkan untuk menilai keterbagian (tanpa sisa) dari beberapa bilangan asli oleh yang lain. Memecahkan pertanyaan tentang pembagian angka, tanda-tanda dapat dibagi direduksi menjadi operasi pada angka kecil, biasanya dilakukan dalam pikiran.
Karena basis dari sistem bilangan yang diterima secara umum adalah 10, yang paling sederhana dan umum adalah tanda-tanda dapat dibagi menjadi pembagi bilangan dari tiga jenis: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Tipe pertama - tanda-tanda pembagian oleh pembagi angka 10 k, untuk pembagian bilangan bulat apa pun N oleh pembagi bilangan bulat apa pun q dari angka 10 k perlu dan cukup bahwa faset k-digit terakhir (akhiran k-digit) bilangan N habis dibagi q. Khususnya (untuk k \u003d 1, 2 dan 3), kami memperoleh tanda-tanda pembagian berikut menjadi pembagi angka 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) dan 10 3 \u003d 1000 (saya 3):
saya 1 . Untuk 2, 5 dan 10 - akhir satu digit (digit terakhir) dari angka tersebut harus dibagi masing-masing dengan 2, 5 dan 10. Misalnya, angka 80 110 habis dibagi 2, 5 dan 10, sejak yang terakhir angka 0 dari angka ini habis dibagi 2, 5 dan sepuluh; 37835 habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 2 dan 10 karena angka terakhir dari 5 habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 2 dan 10.

saya 2 . Dengan 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, dan 100, akhiran dua digit suatu bilangan harus habis dibagi 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, dan 100, berturut-turut. contoh, bilangan 7.840.700 habis dibagi 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 dan 100, karena dua angka yang berakhiran 00 dari bilangan ini habis dibagi 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 dan 100; bilangan 10 831 750 habis dibagi 2, 5, 10, 25 dan 50, tetapi tidak habis dibagi 4, 20 dan 100, karena dua angka yang berakhiran 50 dari bilangan ini habis dibagi 2, 5, 10, 25 dan 50, tetapi tidak habis dibagi 4 , 20 dan 100.

saya 3 . Untuk 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 dan 1000 - akhir tiga digit angka harus dibagi 2,4,5,8 ,10, 20, berturut-turut, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, dan 1000. Misalnya, angka 675.081 000 habis dibagi semua angka yang tercantum dalam atribut ini, karena akhiran tiga digit 000 dari angka yang diberikan dapat dibagi oleh masing-masing dari mereka; bilangan 51 184 032 habis dibagi 2, 4 dan 8 dan tidak habis dibagi sisanya, karena tiga angka yang berakhiran 032 dari bilangan yang diberikan hanya habis dibagi 2, 4 dan 8 dan tidak habis dibagi sisanya.

Tipe kedua adalah tanda-tanda habis dibagi oleh pembagi dari angka 10 k - 1: untuk setiap bilangan bulat N yang dapat dibagi oleh setiap pembagi bilangan bulat q dari angka 10 k - 1, perlu dan cukup bahwa jumlah k-digit menghadap bilangan N habis dibagi q. Khususnya (untuk k = 1, 2 dan 3), kita memperoleh tanda-tanda pembagian berikut menjadi pembagi bilangan 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) dan 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . Dengan 3 dan 9 - jumlah digit (wajah satu digit) dari nomor tersebut masing-masing harus habis dibagi 3 dan 9. Misalnya, angka 510 887 250 habis dibagi 3 dan 9, karena jumlah digit adalah 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (dan 3+6=9) dari bilangan ini habis dibagi 3 dan 9; bilangan 4 712 586 habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 9, karena jumlah angka 4+7+1+2+5+8+6=33 (dan 3+3=6) dari bilangan ini habis dibagi dengan 3, tetapi tidak habis dibagi 9.

II2 . Dengan 3, 9, 11, 33 dan 99 - jumlah wajah dua digit dari nomor tersebut harus dibagi masing-masing dengan 3, 9, 11, 33 dan 99. Misalnya, angka 396 198 297 habis dibagi 3 , 9, 11, 33 dan 99, karena jumlah dua digit menghadap 3+96+19+ +82+97=297 (dan 2+97=99) habis dibagi 3, 9.11, 33 dan 99; bilangan 7 265 286 303 habis dibagi 3, 11 dan 33, tetapi tidak habis dibagi 9 dan 99, karena jumlah dari dua digit wajah 72+65+28+63+03=231 (dan 2+31= 33) dari bilangan ini habis dibagi 3 , 11 dan 33 dan tidak habis dibagi 9 dan 99.

II 3 . Dengan 3, 9, 27, 37, 111, 333 dan 999 - jumlah dari tiga digit wajah dari bilangan tersebut harus habis dibagi 3, 9, 27, 37, 111, 333 dan 999. Misalnya, bilangan 354 645 871 128 habis dibagi semua yang tercantum dalam tanda bilangan ini, karena jumlah dari tiga digit wajah 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (dan 1 + 998 = 999) dari bilangan ini habis dibagi masing-masing dari mereka.

Tipe ketiga - kriteria untuk dapat dibagi menjadi pembagi dari angka 10 k + 1: untuk setiap bilangan bulat N yang dapat dibagi oleh setiap pembagi bilangan bulat q dari angka 10 k + 1, perlu dan cukup bahwa perbedaan antara jumlah k -digit wajah di N di tempat genap, dan jumlah k-digit wajah di N di tempat ganjil dibagi q. Secara khusus (untuk k \u003d 1, 2 dan 3), kami memperoleh tanda-tanda pembagian berikut menjadi pembagi angka 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) dan 10 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . Dengan 11 - selisih antara jumlah digit (wajah satu digit) di tempat genap dan jumlah digit (wajah satu digit) di tempat ganjil harus habis dibagi 11. Misalnya, angka 876 583 598 habis dibagi 11, karena selisih 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (dan 1 - 1=0) antara jumlah angka di tempat genap dan jumlah angka di tempat ganjil habis dibagi 11.

III2. Dengan 101 - selisih antara jumlah wajah dua digit di tempat genap dan jumlah wajah dua digit di tempat ganjil harus habis dibagi 101. Misalnya, angka 8 130 197 habis dibagi 101, karena selisihnya adalah 8-13 + 01- 97 = 101 (dan 1-01=0) antara jumlah wajah dua digit di tempat genap dalam bilangan ini dan jumlah wajah dua digit di tempat ganjil habis dibagi 101.

III 3 . Pada 7, 11, 13, 77, 91, 143, dan 1001 - selisih antara jumlah wajah tiga digit di tempat genap dalam angka dan jumlah wajah tiga digit di tempat ganjil harus dibagi 7, 11, 13, 77, berturut-turut, 91, 143 dan 1001. Misalnya, bilangan 539 693 385 habis dibagi 7, 11 dan 77, tetapi tidak habis dibagi 13, 91, 143 dan 1001, karena 539 - 693+385=231 habis dibagi 7, 11 dan 77 dan tidak habis dibagi 13, 91, 143 dan 1001.

Ada tanda-tanda yang kadang-kadang mudah untuk diketahui, tanpa benar-benar membagi, apakah suatu bilangan habis dibagi atau tidak habis dibagi beberapa bilangan lain.

Bilangan yang habis dibagi 2 disebut bahkan. Angka nol juga merupakan angka genap. Semua nomor lain disebut aneh:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - genap,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... ganjil.

Tanda-tanda perpecahan

Tanda habis dibagi 2. Suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhirnya genap. Misalnya, angka 4376 habis dibagi 2 karena angka terakhir (6) genap.

Tanda habis dibagi 3. Hanya bilangan-bilangan yang habis dibagi 3 yang jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Misalnya, bilangan 10815 habis dibagi 3, karena jumlah angka-angkanya 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 habis dibagi 3.

Tanda-tanda habis dibagi 4. Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dua angka terakhirnya adalah nol atau membentuk bilangan yang habis dibagi 4. Misalnya, bilangan 244500 habis dibagi 4 karena berakhir dengan dua nol. Bilangan 14708 dan 7524 habis dibagi 4 karena dua angka terakhir dari bilangan tersebut (08 dan 24) habis dibagi 4.

Tanda-tanda habis dibagi 5. Bilangan yang berakhiran 0 atau 5 habis dibagi 5. Misalnya, bilangan 320 habis dibagi 5 karena angka terakhirnya adalah 0.

Tanda habis dibagi 6. Suatu bilangan habis dibagi 6 jika habis dibagi 2 dan 3. Misalnya, bilangan 912 habis dibagi 6 karena habis dibagi 2 dan 3.

Tanda-tanda habis dibagi 8. Habis dibagi 8 adalah bilangan-bilangan yang tiga angka terakhirnya adalah nol atau membentuk bilangan yang habis dibagi 8. Misalnya, bilangan 27000 habis dibagi 8, karena diakhiri dengan tiga nol. Bilangan 63128 habis dibagi 8 karena tiga angka terakhir membentuk bilangan (128) yang habis dibagi 8.

Tanda habis dibagi 9. Hanya bilangan yang jumlah angkanya habis dibagi 9 yang habis dibagi 9. Misalnya, bilangan 2637 habis dibagi 9, karena jumlah angkanya 2 + 6 + 3 + 7 = 18 habis dibagi 9.

Tanda-tanda dapat dibagi dengan 10, 100, 1000, dll. 10, 100, 1000, dan seterusnya habis dibagi oleh bilangan-bilangan yang masing-masing berakhir dengan satu nol, dua nol, tiga nol, dan seterusnya. Misalnya, angka 3800 habis dibagi 10 dan 100.

Tanda habis dibagi 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3.

Dapat dibagi dengan 4 tanda
Suatu bilangan habis dibagi 4 jika dan hanya jika jumlah dua angka terakhirnya nol atau habis dibagi 4.

Tanda habis dibagi 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika dan hanya jika angka terakhir habis dibagi 5 (yaitu sama dengan 0 atau 5).

Tanda habis dibagi 6
Suatu bilangan habis dibagi 6 jika dan hanya jika habis dibagi 2 dan 3.

Tanda habis dibagi 7
Suatu bilangan habis dibagi 7 jika dan hanya jika hasil pengurangan dua kali digit terakhir dari bilangan ini tanpa digit terakhir habis dibagi 7 (misalnya, 259 habis dibagi 7, karena 25 - (2 9) = 7 habis dibagi oleh 7).

Tanda habis dibagi 8
Suatu bilangan habis dibagi 8 jika dan hanya jika tiga angka terakhirnya adalah nol atau membentuk bilangan yang habis dibagi 8.

Tanda habis dibagi 9
Suatu bilangan habis dibagi 9 jika dan hanya jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.

Tanda habis dibagi 10
Suatu bilangan habis dibagi 10 jika dan hanya jika berakhir dengan nol.

Tanda habis dibagi 11
Suatu bilangan habis dibagi 11 jika dan hanya jika jumlah angka-angka yang bertanda berselang-seling habis dibagi 11 (yaitu, 182919 habis dibagi 11, karena 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 habis dibagi 11) - konsekuensi dari fakta, bahwa semua bilangan berbentuk 10 n bila dibagi 11 memberikan sisa (-1) n .

Tanda habis dibagi 12
Suatu bilangan habis dibagi 12 jika dan hanya jika habis dibagi 3 dan 4.

Tanda habis dibagi 13
Suatu bilangan habis dibagi 13 jika dan hanya jika bilangan puluhannya, ditambah empat kali jumlah satuannya, adalah kelipatan 13 (misalnya, 845 habis dibagi 13, karena 84 + (4 5) = 104 adalah habis dibagi 13).

Tanda habis dibagi 14
Suatu bilangan habis dibagi 14 jika dan hanya jika habis dibagi 2 dan 7.

Tanda habis dibagi 15
Suatu bilangan habis dibagi 15 jika dan hanya jika habis dibagi 3 dan 5.

Tanda habis dibagi 17
Suatu bilangan habis dibagi 17 jika dan hanya jika bilangan puluhannya, ditambah dengan jumlah satuannya ditambah 12, adalah kelipatan 17 (misalnya, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Karena 34 habis dibagi 17, maka 29053 juga habis dibagi 17). Tanda tidak selalu nyaman, tetapi memiliki arti tertentu dalam matematika. Ada cara yang lebih sederhana - Suatu bilangan habis dibagi 17 jika dan hanya jika selisih antara bilangan puluhan dan lima kali jumlah satuannya adalah kelipatan 17 (misalnya, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. karena 15 tidak habis dibagi 17, maka 32952 juga tidak habis dibagi 17)

Tanda habis dibagi 19
Suatu bilangan habis dibagi 19 jika dan hanya jika bilangan puluhannya, ditambah dua kali jumlah satuannya, adalah kelipatan 19 (misalnya, 646 habis dibagi 19, karena 64 + (6 2) = 76 habis dibagi oleh 19).

Tanda habis dibagi 23
Suatu bilangan habis dibagi 23 jika dan hanya jika ratusan ditambah tiga kali puluhannya merupakan kelipatan 23 (misalnya, 28842 habis dibagi 23, karena 288 + (3 * 42) = 414 berlanjut 4 + (3 * 14) = 46 jelas habis dibagi 23).

Tanda habis dibagi 25
Suatu bilangan habis dibagi 25 jika dan hanya jika dua angka terakhirnya habis dibagi 25 (yaitu, bentuk 00, 25, 50, atau 75) atau bilangan tersebut merupakan kelipatan 5.

Tanda habis dibagi 99
Kami membagi nomor menjadi kelompok 2 digit dari kanan ke kiri (kelompok paling kiri dapat memiliki satu digit) dan menemukan jumlah dari kelompok-kelompok ini, menganggapnya sebagai angka dua digit. Jumlah ini habis dibagi 99 jika dan hanya jika bilangan itu sendiri habis dibagi 99.

Tanda habis dibagi 101
Kami membagi nomor menjadi kelompok 2 digit dari kanan ke kiri (kelompok paling kiri dapat memiliki satu digit) dan menemukan jumlah dari kelompok-kelompok ini dengan tanda-tanda variabel, menganggapnya sebagai angka dua digit. Jumlah ini habis dibagi 101 jika dan hanya jika bilangan itu sendiri habis dibagi 101. Misalnya, 590547 habis dibagi 101, karena 59-05+47=101 habis dibagi 101).