11-д хуваах шинж.Хуваагдахын үндсэн шинжүүд

Энэ материал нь 2-т хуваагдах шинж тэмдэг болох ийм ойлголтод зориулагдсан болно. Эхний догол мөрөнд бид үүнийг томъёолж, жишээг өгөх болно - тодорхой тоо 2-т хуваагдах эсэхийг олж мэдэх шаардлагатай даалгавар. Дараа нь бид энэ шинж чанарыг баталж, илэрхийллийн утга болгон өгсөн тоонуудын хоёрт хуваагдах чадварыг тодорхойлох өөр ямар аргууд байдгийг тайлбарлах болно.

2-т хуваагдах тестийн томъёолол ба жишээ

Хуваагдах шинж тэмдгүүд юу болохыг илүү сайн ойлгохын тулд бүхэл тоон хуваагдахтай холбоотой сэдвийг давтах хэрэгтэй. Үндсэн ойлголтын тодорхойлолт дараах байдалтай байна.

Тодорхойлолт 1

8, 6, 4, 2, 0-ээр төгссөн бүхэл тоог 2-т үлдэгдэлгүйгээр хувааж болно. Хэрэв тооны төгсгөлд 9, 7, 5, 3 эсвэл 1 гэсэн тоо байгаа бол ийм тоо 2-т хуваагдах чадваргүй болно.

Энэ функцийн тусламжтайгаар эерэг бүхэл (натурал) төдийгүй сөрөг бүхэл тоонд хуваагдах чадварыг илрүүлэх боломжтой, учир нь тэдгээрийг үлдэгдэлгүйгээр 2-т хувааж болно.

Асуудалд функцийг ашиглах зарим жишээг өгье.

Жишээ 1

Нөхцөл: 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 тоонуудын аль нь хоёр хуваагдаж болохыг тодорхойл.

Шийдэл

Мэдээжийн хэрэг, бид эдгээр бүх тоог нэг багананд хоёр хувааж, төгсгөлд нь үлдэгдэл байгаа эсэхийг шалгаж болно. Гэхдээ хоёр хуваагдах тэмдгийг мэдсэнээр та энэ асуудлыг илүү хурдан шийдэж чадна.

Жагсаалтад орсон гурван тоо, тухайлбал 8, 946 ба 10 900-ийн төгсгөлд 8, 6, 0 гэсэн тоонууд байгаа бөгөөд энэ нь тэдгээрийг 2-т хуваах боломжтой гэсэн үг юм.

Үлдсэн тоонууд (53 ба - 988 123 761) 3 ба 1-ээр төгсдөг бөгөөд энэ нь хоёрт бүрэн хуваагддаггүй гэсэн үг юм.

Хариулт: 8 , − 946 ба 10 900-ыг хоёр хувааж болох боловч бусад бүх тоонуудыг хувааж болохгүй.

Энэ функцийг хэд хэдэн үндсэн хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай асуудлуудад өргөн хэрэглэгддэг. Ийм нэг жишээг шийдье.

Жишээ 2

Нөхцөл: 352-ыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах.

Шийдэл

Анхны тооны сүүлчийн орон нь 2 тул хуваагдах шалгуурын дагуу бид үүнийг үлдэгдэлгүйгээр хоёр хувааж болно. Үүнийг хийцгээе: 352: 2 = 176 ба 352 = 2 176. Үүссэн 176 тоог мөн хоёр хуваана: 176: 2 \u003d 88, 176 \u003d 2 88. Энэ тоог мөн хувааж болно: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44, 352 \u003d 2 2 88 \u003d 2 2 2 44. Бид өргөтгөлийг үргэлжлүүлж байна: 44: 2 \u003d 22 ба 44 \u003d 2 22, тиймээс 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; дараа нь 22: 2 = 11, үүнээс 22 = 2 11 ба 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Эцэст нь бид 2-т хуваагддаггүй тоонд хүрлээ. Анхны тооны хүснэгт нь энэ тоог анхны тоо гэж хэлж байгаа тул үржвэрийн хуваалт энд дуусдаг.

Хариулт: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

Тоонуудыг тэгш, сондгой гэж хуваах нь 2-т хуваагдах эсэхээс шууд хамаардаг. Хуваагдах шинж тэмдгийг мэдсэнээр бүх тэгш тоонууд 0, 2, 4, 6 эсвэл 8 тоогоор төгсдөг ба бүх сондгой тоонууд - 1, 3, 5, 7 эсвэл 9 гэж хэлж болно.

2-т хуваагдах тестийг хэрхэн батлах вэ?

Энэ шинж чанарыг нотлохын өмнө бид нэмэлт мэдэгдлийг батлах хэрэгтэй. Үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно.

Тодорхойлолт 2

Тэгээр төгссөн бүх натурал тоог үлдэгдэлгүйгээр хоёр хувааж болно.

Натурал тоог 10-аар үржүүлэх дүрмийг ашиглан бид тодорхой a тоог a = a 1 · 10 гэж илэрхийлж болно. Тоо a 1, хэрэв сүүлийн цифрийг хасвал a-аас авах болно.

Ийм үйлдлийн жишээ энд байна: 470 = 47 10, энд a = 470 ба 1 = 47; эсвэл 38 010 10, энд a = 380 100 ба 1 = 38 010 байна. Энэ бүтээгдэхүүний хоёр дахь хүчин зүйл (10) нь 2-т хуваагдаж болох тул бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүнийг 2-т хувааж болно. Энэ мэдэгдэл нь хуваагдах шинж чанарт үндэслэсэн болно.

Бид 2-т хуваагдах тестийн нотолгоо руу шилждэг. Үүнийг илүү тохиромжтой болгохын тулд бид үүнийг теорем хэлбэрээр танилцуулж байна, өөрөөр хэлбэл. бүхэл тоо хоёрт хуваагдах зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл.

Теорем 1

Бүхэл тоог 2-т хуваахын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай нөхцөл бол сүүлчийн орон нь 0, 2, 4, 6 эсвэл 8 байх явдал юм.

Баталгаа 1

Энэ мэдэгдлийг хэрхэн батлах вэ? Эхлээд анхны a тоог арав, нэгийн нийлбэрээр илэрхийлье, өөрөөр хэлбэл. a = a 1 10 + a 0 гэж бичье. Энд 1 нь сүүлийн цифрийг хассан үед a-аас олж авсан тоо байх ба 0 нь энэ тооны сүүлийн оронтой тохирч байна (49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10 + 8 илэрхийлэл нь мөн жишээ байж болно. ийм төлөөлөл). Ажил 110, a = a 1 · 10 + a 0 тэгшитгэлээс авсан нь үргэлж хоёрт хуваагдах бөгөөд үүнийг энэ теоремыг ашиглан харуулсан болно.

Үлдсэн нотолгоо нь хуваагдах тодорхой шинж чанар дээр суурилдаг, тухайлбал: хэрэв бид t = u + v тэгшитгэлийг үүсгэдэг гурван тоотой бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь z бүхэл тоонд хуваагддаг бол гурав дахь тоог мөн хувааж болно. z.

Хэрэв a хоёр хуваагдаж чадвал энэ шинж чанар, түүнчлэн a \u003d a 1 10 + a 0 дүрслэлийн дагуу 0 тоо хоёр хуваагдах бөгөөд энэ нь зөвхөн 0 \u003d 0 тохиолдолд л боломжтой юм. , 2, 4, 6 эсвэл найман .

Хэрэв а нь 2-т хуваагдахгүй бол ижил шинж чанарт үндэслэн тоо a 0 2-т хуваагдахгүй бөгөөд энэ нь зөвхөн 0 = 1, 3, 5, 7 эсвэл 9 үед л боломжтой. Энэ бол зайлшгүй шаардлагатай нотолгоо юм.

Одоо эсрэг талын нөхцөл байдлыг харцгаая. Хэрэв бидэнд сүүлийн орон нь 0, 2, 4, 6 эсвэл 8 байх a тоо байвал a 0хуваасан 2 . Тодорхойлсон хуваагдах шинж чанар ба төлөөлөл a = a1 10 + a0 a -д хуваагддаг гэж дүгнэхийг зөвшөөрнө үү 2 . Хэрэв a нь 1 , 3 , 5 , 7 эсвэл 9 гэсэн сүүлийн цифртэй бол 0 нь дараахь тоонд хуваагдахгүй. 2 , тиймээс a нь мөн хуваагддаггүй 2 , эс бөгөөс a = a 1 10 + a 0 дүрслэл нь өөрөө хуваагдах болно. 2 , энэ нь боломжгүй юм. Нөхцөл байдлын хангалттай байдал нотлогдсон.

Төгсгөлд нь бид 1, 3, 5, 7 эсвэл 9 гэсэн сүүлийн цифртэй тоонуудыг хоёрт хуваахад үргэлж нэгийн үлдэгдлийг өгдөг гэдгийг анхаарна уу.

Өгөгдсөн тоо эдгээр цифрүүдийн аль нэгээр төгссөн тохиолдлыг авч үзье. Дараа нь бид a-г a = b + 1 хэлбэрээр төлөөлж, b нь 0, 2, 4, 6, эсвэл 8-ыг сүүлчийн оронтойгоор илэрхийлж болно. Хуваагдах шалгуурын ачаар 2 b тоог хувааж болно 2 , иймээс, хуваагдах байдлын тодорхойлолтоор үүнийг b = 2 · q гэж илэрхийлж болно, энд q нь бүхэл тоо байх болно. Бид a = 2 q + 1 гэдгийг олж мэдсэн. Энэ дүрслэл нь а тоог хуваах үед үүнийг харуулж байна 2 үр дүн нь q бүрэн бус хэсэг ба 1-ийн үлдэгдэл (шаардлагатай бол бүхэл тоог үлдэгдэлтэй хуваах тухай өгүүллийг дахин уншина уу).

2-т хуваагдах чадварыг тодорхойлох бусад тохиолдлууд

Энэ догол мөрөнд бид 2-т хуваагдах чадварыг тодорхойлох шаардлагатай тоог шууд өгөөгүй, харин шууд илэрхийллийн зарим утгаараа тодорхойлогддог тохиолдлуудад дүн шинжилгээ хийх болно. Энд бид дээр дурдсан тэмдгийг ашиглах боломжгүй бөгөөд энэ илэрхийллийг 2-т шууд хуваах боломжгүй юм. Тиймээс бид өөр шийдлийг олох хэрэгтэй.

Дараахь хуваагдах шинж чанарт үндэслэсэн ийм асуудлыг шийдвэрлэх арга байдаг: бүхэл тоонуудын үржвэр нь ядаж нэг хүчин зүйл нь хуваагдах үед тодорхой тоонд хуваагдаж болно. Иймд шууд утгаараа илэрхийлэлийг нэг нь хоёрт хуваагддаг салангид хүчин зүйлийн үржвэр болгон хувиргаж чадвал анхны илэрхийлэл мөн 2-т хуваагддаг болохыг батлах боломжтой болно.

Өгөгдсөн илэрхийллийг хувиргахын тулд бид Ньютоны бином томъёог ашиглаж болно. Ийм даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 3

Нөхцөл: 3 n + 4 n - 1 илэрхийллийн утгыг зарим натурал n -д 2-т хувааж болох эсэхийг тодорхойлох.

Шийдэл

Эхлээд 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 гэсэн тодорхой тэгш байдлыг бичье. Одоо бид Ньютоны хоёр гишүүний томьёог авч, түүнийг хэрэгжүүлж, олж авсан зүйлээ хялбарчлав.

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Сүүлчийн тэгш байдлын хувьд бид хаалтнаас хоёрыг гаргаж аваад дараах тэгшитгэлийг авна.

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

Энэ тэгшитгэлд n-ийн аль ч натурал утгын баруун талыг хоёр хувааж болно, учир нь тэнд 2-той тэнцэх хүчин зүйл байна. Илэрхийллийн хооронд тэнцүү тэмдэг байгаа тул та зүүн талд нь 2-оор хувааж болно.

Хариулт:Энэ илэрхийлэлийг 2-т хувааж болно.

Ихэнх тохиолдолд хуваагдах чадварыг математик индукцийн аргыг ашиглан баталж болно. Дээрх жишээн дээрхтэй ижил илэрхийллийг авч, энэ аргыг практикт хэрхэн хэрэгжүүлэхийг харуулъя.

Жишээ 4

Нөхцөл: 3 n + 4 n - 1 илэрхийлэл нь n -ийн аль нэг натурал утгад 2-т хуваагдах эсэхийг ол.

Шийдэл

Бид математикийн индукцийг ашигладаг. Эхлээд n нь нэгтэй тэнцүү 3 n + 4 n - 1 илэрхийллийн утгыг 2-т хувааж болохыг баталъя. Бид 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6 авна, зургаа нь хоёрт үлдэгдэлгүй хуваагдана. Үргэлжлүүл. n-ийг k-тэй тэнцүү авч 3 k + 4 k - 1 нь хоёр хуваагдана гэж үзье.

Энэ таамаглалыг ашиглан бид 3 k + 4 k - 1-ийн хувьд боломжтой бол 3 n + 4 n - 1-ийг 2-т хувааж болохыг баталж байна. Үүнийг батлахын тулд бид хэд хэдэн хувиргалт хийх хэрэгтэй.

3 3 k + 4 k - 1 нь хоёр хуваагдана, энэ нь 3 k + 4 k - 1-ийн хувьд боломжтой тул 2 4 k - 3 илэрхийлэл нь 2-ын хүчин зүйлтэй тул 2-т хуваагдаж болно. Энэ хоёр илэрхийллийн ялгаа нь мөн 2-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь хуваагдах харгалзах шинж чанараар тайлбарлагдана.

Хариулт: 3 n + 4 n - 1 илэрхийлэл нь аливаа натурал n -д 2-т хуваагдана.

Бүтээгдэхүүнд бие биенийхээ хажууд хоёр тоо байгаа тохиолдолд натурал тоонуудын дарааллаар бие биенээ дагаж байгаа тохиолдолд тусад нь авч үзье. Ийм бүтээлийг бас хоёр хуваадаг.

Жишээ 5

Жишээлбэл, (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) гэх мэт илэрхийлэл нь n-ийн аль ч натурал утгын хувьд 2-т хуваагддаг, учир нь энэ нь натурал цувралд ар араас нь дагах тоонуудыг агуулдаг. n + 6 ба n + 7 байна.

Үүний нэгэн адил, хэрэв байгалийн цувралын тэгш тооны гишүүд байгаа хоёр хүчин зүйл байвал бүтээгдэхүүнийг 2-т хувааж болно. Тиймээс (n + 1) (n + 6) утгыг аль ч натурал n-д хоёр хуваана, учир нь n + 5 ба n + 6 хооронд тэгш тооны тоо байдаг: n + 2, n + 3, n + 4 ба n + 5.

Өмнөх догол мөрөнд ярьсан бүх зүйлийг нэгтгэж үзье. Хэзээ илэрхийллийн утга хоёрт хуваагддаг болохыг харуулж чадвал n = 2 м, түүнчлэн n = 2 м + 1болон дурын бүхэл тоо m байвал энэ нь анхны илэрхийлэл нь n-ийн бүхэл тоон утгын хувьд 2-т хуваагддаг болохыг нотлох болно.

Жишээ 6

Нөхцөл:илэрхийлэл 2-т хуваагдах эсэхийг шалгана уу n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 n-ийн аливаа байгалийн утгын хувьд.

Шийдэл

Нэгдүгээрт, бид энэ илэрхийллийг бүтээгдэхүүн (n + 2) 2 · (n + 3) хэлбэрээр илэрхийлнэ. Шаардлагатай бол олон гишүүнтийг хэрхэн зөв үржүүлэхийг давт. Бидэнд хоёр үржүүлэгч байна n + 2болон n + 3, энэ нь байгалийн цувралд бие биенийхээ хажууд байгаа тоонуудтай тохирч байна. Ямар ч тохиолдолд тэдгээрийн аль нэг нь 2-т хуваагддаг бөгөөд энэ нь бүхэл бүтэн үржвэр нь мөн 2-т хуваагддаг гэсэн үг юм. Анхны илэрхийлэлд мөн адил хамаарна.

Энэ асуудалд өөр шийдэл бий. Хэрвээ n = 2 м, дараа нь n + 2 2 n + 3 = 2 м + 2 2 2 м + 2 2 = 4 м + 1 2 2 м + 3 байна. Энд 4-ийн хүчин зүйл байгаа бөгөөд үүний ачаар бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүн 2-т хуваагдана.

Хэрэв n = 2 м + 1, дараа нь

(n + 2) 2 n + 3 = 2 м + 1 + 2 2 2 м + 1 + 3 = 2 м + 3 2 2 м + 4 = = 2 м + 3 2 2 2

Энд 2 хүчин зүйл байгаа бөгөөд энэ нь бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүн 2-т хуваагдах чадвартай гэсэн үг юм.

Хариулт:энэ бол илэрхийллийн баталгаа юм n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) n-ийн аль ч натурал утгыг хоёрт хувааж болно.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

"3-т хуваагдах тэмдэг" сэдвийг авч үзье. Тэмдгийн томъёололоос эхэлцгээе, бид теоремын баталгааг өгөх болно. Дараа нь бид 3-т хуваагдах тоог тогтоох үндсэн аргуудыг авч үзэх болно, тэдгээрийн утгыг ямар нэг илэрхийллээр өгсөн болно. Энэ хэсэгт 3-т хуваагдах шалгуурыг ашигласан үндсэн төрлийн асуудлын шийдлийн дүн шинжилгээг өгсөн болно.

3-т хуваагдах тэмдэг, жишээ

3-т хуваагдах тэмдгийг энгийнээр томъёолсон: хэрэв бүхэл тоо нь 3-т хуваагдаж, цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т үлдэгдэлгүй хуваагдана. Хэрэв бүхэл тоог бүрдүүлдэг бүх цифрүүдийн нийт утга 3-т хуваагдахгүй бол анхны тоо нь өөрөө 3-т хуваагдахгүй. Натурал тоог нэмснээр бүхэл тоон дахь бүх цифрүүдийн нийлбэрийг гаргаж болно.

Одоо 3-т хуваагдах тестийг ашиглах жишээг харцгаая.

Жишээ 1

42 тоо 3-т хуваагдах уу?

Шийдэл

Энэ асуултад хариулахын тулд 42: 4 + 2 = 6 гэсэн тоог бүрдүүлдэг бүх тоог нэгтгэж үзье.

Хариулт:хуваагдах шалгуурын дагуу анхны тооны өсөлтөд орсон цифрүүдийн нийлбэр нь гуравт хуваагддаг тул анхны тоо нь өөрөө 3-т хуваагдана.

0 тоо 3-т хуваагдах эсэх асуултад хариулахын тулд тэг нь ямар ч бүхэл тоонд хуваагддаг хуваагдах шинж чанар хэрэгтэй. Тэг нь гуравт хуваагддаг болох нь харагдаж байна.

Асуудлыг шийдвэрлэхийн тулд 3-т хуваагдах шалгуурыг хэд хэдэн удаа ашиглах шаардлагатай байдаг.

Жишээ 2

Тэр тоог харуул 907 444 812 3-т хуваагддаг.

Шийдэл

Анхны тооны бичлэгийг бүрдүүлж буй бүх цифрүүдийн нийлбэрийг олъё. 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Одоо бид 39 тоо 3-т хуваагдах эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Дахин нэг удаа энэ тоог бүрдүүлж буй тоонуудыг нэмнэ үү. 3 + 9 = 12 . Эцсийн хариултыг авахын тулд тоонуудыг дахин нэмэх нь бидэнд үлдлээ. 1 + 2 = 3 . 3-ын тоо 3-т хуваагдана

Хариулт:анхны дугаар 907 444 812 Мөн 3-т хуваагддаг.

Жишээ 3

3-т хуваагдах уу? − 543 205 ?

Шийдэл

Анхны тоог бүрдүүлж буй цифрүүдийн нийлбэрийг тооцоолъё. 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Одоо гарсан тооны цифрүүдийн нийлбэрийг тооцоолъё. 1 + 9 = 10 . Эцсийн хариултыг авахын тулд дахиад нэг нэмэлтийн үр дүнг олъё: 1 + 0 = 1 .
Хариулт: 1 нь 3-т хуваагддаггүй тул анхны тоо нь 3-т хуваагддаггүй.

Өгөгдсөн тоо 3-т үлдэгдэлгүй хуваагдах эсэхийг тодорхойлохын тулд өгөгдсөн тоог 3-т хувааж болно. Хэрэв бид тоог хуваавал − 543 205 Дээрх жишээнээс гурван баганатай бол хариултанд бид бүхэл тоо авахгүй. Энэ нь бас яг тийм гэсэн үг − 543 205 3-т хуваагддаггүй.

3-т хуваагдах тестийн баталгаа

Энд бидэнд дараах ур чадвар хэрэгтэй: тоог оронтой тоонд задлах, 10, 100-аар үржүүлэх дүрэм гэх мэт. Баталгаажуулахын тулд бид маягтын a тооны дүрслэлийг авах шаардлагатай , хаана a n , a n − 1 , … , a 0- Эдгээр нь дугаарын тэмдэглэгээнд зүүнээс баруун тийш байрлах тоонууд юм.

Тодорхой дугаарыг ашигласан жишээ энд байна: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Тэнцүү байдлын цуваа бичье: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 гэх мэт.

Одоо 10, 100, 1000-ын оронд эдгээр тэгшитгэлүүдийг өмнө нь өгсөн тэгшитгэлд орлъё. a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Тиймээс бид тэгш байдалд хүрсэн:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Одоо бид үүссэн тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичихийн тулд натурал тоог нэмэх болон үржүүлэх шинж чанаруудыг ашиглана.

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

a n + илэрхийлэл. . . + a 2 + a 1 + a 0 нь анхны a тооны цифрүүдийн нийлбэр юм. Үүний шинэ богино тэмдэглэгээг танилцуулъя ГЭХДЭЭ. Бид дараахийг авна: A = a n +. . . + a 2 + a 1 + a 0.

Энэ тохиолдолд тооны дүрслэл нь a = 3 33 байна. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A нь 3-т хуваагдах тестийг батлахад тохиромжтой хэлбэртэй байна.

Тодорхойлолт 1

Одоо хуваагдах чадварын дараах шинж чанаруудыг санаарай.

• a бүхэл тоо бүхэл тоонд хуваагдах зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл
  b , a тооны модуль нь b тооны модульд хуваагдах нөхцөл юм;
• тэгш эрхтэй бол a = s + tзарим гишүүнээс бусад бүх гишүүн бүхэл b тоонд хуваагддаг бол энэ нэг гишүүн мөн b-д хуваагдана.

Бид 3-т хуваагдах шалгуурыг батлах суурийг тавьсан. Одоо энэ шалгуурыг теорем хэлбэрээр томъёолж, баталъя.

Теорем 1

Бүхэл тоо нь 3-т хуваагддаг гэдгийг батлахын тулд a тооны бичлэгийг бүрдүүлж буй цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагдах нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Баталгаа 1

Хэрэв бид үнэ цэнийг нь авбал a = 0, тэгвэл теорем тодорхой болно.

Хэрэв тэгээс өөр a тоог авбал a-ийн абсолют утга нь натурал тоо болно. Энэ нь дараах тэгш байдлыг бичих боломжийг бидэнд олгоно.

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , энд A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - a тооны цифрүүдийн нийлбэр.

Бүхэл тоонуудын нийлбэр ба үржвэр нь бүхэл тоо тул
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 нь бүхэл тоо, тэгвэл хуваагдах чадварын тодорхойлолтоор үржвэр нь 3 · 33 болно. . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 нь хуваагдана 3 ямар ч хувьд a 0 , a 1 , … , a n.

Хэрэв тооны цифрүүдийн нийлбэр ахуваасан 3 , тэр бол, Ахуваасан 3 , тэгвэл теоремын өмнө заасан хуваагдах шинж чанарын ачаар a нь дараахь байдлаар хуваагдана. 3 , Иймээс, ахуваасан 3 . Энэ нь хангалттай гэдгийг баталж байна.

Хэрвээ ахуваасан 3 , тэгвэл a нь хуваагдана 3 , тэгвэл хуваагдах ижил шинж чанараас шалтгаалан тоо
Ахуваасан 3 , өөрөөр хэлбэл, тухайн тооны цифрүүдийн нийлбэр ахуваасан 3 . Энэ нь зайлшгүй шаардлагатайг нотолж байна.

Хуваагдах бусад тохиолдлууд 3

Бүхэл тоог тухайн хувьсагчийн тодорхой утгыг өгөгдсөн хувьсагч агуулсан зарим илэрхийллийн утга болгон өгч болно. Тэгэхээр зарим натурал n-ийн хувьд 4 n + 3 n - 1 илэрхийллийн утга нь натурал тоо юм. Энэ тохиолдолд шууд хуваах 3 тоо хуваагддаг уу гэсэн асуултад хариулт өгч чадахгүй 3 . Хуваагдах тестийг ашиглаж байна 3 бас хэцүү байж болно. Ийм асуудлын жишээг авч үзээд тэдгээрийг шийдвэрлэх аргуудад дүн шинжилгээ хий.

Иймэрхүү асуудлыг шийдэхийн тулд хэд хэдэн аргыг хэрэглэж болно. Тэдний нэгний мөн чанар нь дараах байдалтай байна.

• анхны илэрхийлэлийг хэд хэдэн хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болгон илэрхийлэх;
• хүчин зүйлсийн ядаж нэг нь хуваагдах боломжтой эсэхийг олж мэд 3 ;
• хуваагдах шинж чанарт үндэслэн бид бүхэл бүтэн бүтээгдэхүүн нь хуваагддаг гэж дүгнэж байна 3 .

Шийдлийн явцад Ньютоны бином томъёог ашиглах шаардлагатай болдог.

Жишээ 4

4 n + 3 n - 1 илэрхийллийн утга нь хуваагдах уу 3 аливаа байгалийн хувьд n?

Шийдэл

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 тэгшитгэлийг бичье. Бид Ньютоны биномийн Ньютоны бином томъёог хэрэглэнэ.

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Одоо авч үзье 3 хаалтны гадна талд: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1. Үүссэн бүтээгдэхүүн нь үржүүлэгчийг агуулдаг 3 , мөн натурал n-ийн хаалтанд байгаа илэрхийллийн утга нь натурал тоо юм. Энэ нь үр дүнд бий болсон бүтээгдэхүүн болон анхны илэрхийлэл 4 n + 3 n - 1 нь хуваагдах боломжтой гэдгийг батлах боломжийг бидэнд олгодог. 3 .

Хариулт:Тиймээ.

Мөн бид математикийн индукцийн аргыг хэрэглэж болно.

Жишээ 5

Математикийн индукцийн аргыг ямар ч байгалийн хувьд ашиглахыг нотлох
n илэрхийллийн утга n n 2 + 5-д хуваагдана 3 .

Шийдэл

n n 2 + 5 илэрхийллийн утгыг ол n=1: 1 1 2 + 5 = 6. 6-д хуваагдана 3 .

Одоо илэрхийллийн утга n n 2 + 5 байна гэж бодъё n=kхуваасан 3 . Үнэн хэрэгтээ бид k · k 2 + 5 илэрхийлэлтэй ажиллах шаардлагатай бөгөөд үүнийг бид хуваана гэж найдаж байна. 3 .

k k 2 + 5 нь хуваагдах боломжтой 3 , илэрхийллийн утга нь n n 2 + 5 болохыг харуулъя n=k+1хуваасан 3 , өөрөөр хэлбэл, бид k + 1 k + 1 2 + 5 нь хуваагддаг болохыг харуулах болно. 3 .

Өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k) 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

k (k 2 + 5) илэрхийлэл нь хуваагдана 3 ба 3 k 2 + k + 2 илэрхийлэл нь хуваагдана 3 , тиймээс тэдгээрийн нийлбэр нь хуваагддаг 3 .

Тиймээс бид n (n 2 + 5) илэрхийллийн утга нь хуваагддаг болохыг баталсан 3 ямар ч байгалийн n .

Одоо хуваагдах чадварыг нотлох арга барилд дүн шинжилгээ хийцгээе 3 , энэ нь дараах үйлдлийн алгоритм дээр суурилдаг.

• n = 3 m , n = 3 m + 1 ба n хувьсагчтай энэ илэрхийллийн утгыг бид харуулж байна. n = 3 м + 2, хаана м-д хуваагддаг дурын бүхэл тоо юм 3 ;
• илэрхийлэл хуваагдана гэж бид дүгнэж байна 3 дурын бүхэл тооны хувьд n.

Өчүүхэн нарийн ширийн зүйлсээс анхаарлыг сарниулахгүйн тулд бид энэ алгоритмыг өмнөх жишээний шийдэлд ашигладаг.

Жишээ 6

n (n 2 + 5) нь хуваагддаг болохыг харуул 3 ямар ч байгалийн n .

Шийдэл

Ингэж жүжиглэе n = 3 м. Дараа нь: n n 2 + 5 = 3 м 3 м 2 + 5 = 3 м 9 м 2 + 5. Бидний авсан бүтээгдэхүүн үржүүлэгчийг агуулна 3 , тиймээс бүтээгдэхүүн нь өөрөө хуваагддаг 3 .

Ингэж жүжиглэе n = 3 м + 1. Дараа нь:

n n 2 + 5 = 3 м 3 м 2 + 5 = (3 м + 1) 9 м 2 + 6 м + 6 = = 3 м + 1 3 (2 м 2 + 2 м + 2)

Бидний хүлээн авсан бүтээгдэхүүн нь хуваагдана 3 .

n = 3 · m + 2 гэж үзье. Дараа нь:

n n 2 + 5 = 3 м + 1 3 м + 2 2 + 5 = 3 м + 2 9 м 2 + 12 м + 9 = = 3 м + 2 3 3 м 2 + 4 м + 3

Энэ ажил нь мөн хуваагдана 3 .

Хариулт:Тиймээс бид n n 2 + 5 илэрхийлэл нь хуваагддаг болохыг баталсан 3 ямар ч байгалийн n .

Жишээ 7

гэж хуваагддаг уу 3 зарим натурал n-ийн хувьд 10 3 n + 10 2 n + 1 илэрхийллийн утга.

Шийдэл

Ингэж жүжиглэе n=1. Бид авах:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Ингэж жүжиглэе n=2. Бид авах:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Тиймээс бид аливаа натурал n-ийн хувьд 3-т хуваагдах тоонуудыг авна гэж дүгнэж болно. Энэ нь аливаа байгалийн n-д 10 3 n + 10 2 n + 1 нь 3-т хуваагдана гэсэн үг юм.

Хариулт:Тиймээ

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

ХУВААХ ТЭМДЭГтоонууд - зарим натурал тоонуудын хуваагдах чадварыг (үлдэгдэлгүй) бусад тоогоор шүүх боломжтой болгодог хамгийн энгийн шалгуур (дүрэм). Тоонуудыг хуваах тухай асуултыг шийдэхдээ хуваагдах шинж тэмдгүүд нь ихэвчлэн оюун ухаанд хийгддэг жижиг тоонуудын үйлдлүүд болж буурдаг.
Нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн тооны системийн суурь нь 10 байдаг тул хамгийн энгийн бөгөөд нийтлэг нь 10 к, 10 к - 1, 10 к + 1 гэсэн гурван төрлийн тоог хуваагчдад хуваагдах шинж тэмдгүүд юм.
Эхний төрөл - 10 к тооны хуваагчдад хуваагдах шинж тэмдэг, ямар ч бүхэл тоо N-ийг 10 k тооны аль ч бүхэл хуваагч q-д хуваахын тулд сүүлчийн к оронтой нүүр (k цифрийн төгсгөл) байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. N тоо нь q-д хуваагдана. Ялангуяа (k \u003d 1, 2 ба 3-ын хувьд) бид 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) ба 10 3 \u003d 1000 тоонуудын хуваагчдад хуваагдах дараах шинж тэмдгүүдийг олж авдаг. (I 3):
би 1. 2, 5, 10-ын хувьд - тооны нэг оронтой төгсгөл (сүүлийн орон) нь 2, 5, 10-д хуваагдах ёстой.Жишээ нь, 80 110 тоо нь 2, 5, 10-д хуваагддаг. энэ тооны 0 цифр нь 2, 5, аравт хуваагддаг; 37835 нь 5-д хуваагддаг боловч 2 ба 10-д хуваагддаггүй, учир нь 5-ын сүүлийн цифр нь 5-д хуваагддаг боловч 2 ба 10-д хуваагддаггүй.

Би 2. 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100-д ​​тооны хоёр оронтой төгсгөл нь 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100-д ​​хуваагдах ёстой. жишээлбэл, 7,840,700 тоо нь 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100-д ​​хуваагддаг, учир нь энэ тооны хоёр оронтой төгсгөлийн 00 нь 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50-д хуваагддаг. ба 100; 10 831 750 тоо нь 2, 5, 10, 25, 50-д хуваагддаг боловч 4, 20, 100-д ​​хуваагддаггүй, учир нь энэ тооны хоёр оронтой төгсгөл 50 нь 2, 5, 10, 25 болон хуваагддаг. 50, гэхдээ 4, 20, 100-д ​​хуваагддаггүй.

Би 3. 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000-ын хувьд гурван оронтой тооны төгсгөлийг 2,4,5,8-д хуваах ёстой. ,10, 20 тус тус 25 40 50 100 125 200 250 500 ба 1000 51 184 032 тоо нь 2, 4, 8-д хуваагддаг бөгөөд бусад тоонд хуваагддаггүй, учир нь өгөгдсөн тооны гурван оронтой төгсгөл 032 нь зөвхөн 2, 4, 8-д хуваагддаг бөгөөд үлдсэн хэсэгт хуваагддаггүй.

Хоёрдахь төрөл нь 10 k - 1 тооны хуваагчдад хуваагдах шинж тэмдэг юм: аливаа бүхэл тоо N-ийг 10 k - 1 тооны бүхэл тоо q хуваагчтай хуваахын тулд k оронтой нүүрний нийлбэр байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. N тоо нь q-д хуваагдана. Ялангуяа (k = 1, 2, 3-ын хувьд) бид 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) ба 10 3 - 1 тоонуудын хуваагчдад хуваагдах дараах тэмдгүүдийг олж авдаг. = 999 (II 3):
II 1. 3 ба 9-д - тухайн тооны цифрүүдийн (нэг оронтой нүүр) нийлбэр нь 3 ба 9-д хуваагдах ёстой.Энэ тооны 5+0=36 (болон 3+6=9) нь 3-т хуваагдана. 9; 4 712 586 тоо нь 3-т хуваагддаг боловч 9-д хуваагддаггүй, учир нь энэ тооны 4+7+1+2+5+8+6=33 (болон 3+3=6) цифрүүдийн нийлбэр нь хуваагддаг. 3-т хуваагдана, гэхдээ 9-д хуваагдахгүй.

II 2. 3, 9, 11, 33, 99-д - тухайн тооны хоёр оронтой нүүрний нийлбэр нь 3, 9, 11, 33, 99-д хуваагдах ёстой.Жишээ нь 396 198 297 тоо нь 3-т хуваагддаг. , 9, 11, 33 ба 99, учир нь хоёр оронтой нүүр царайны нийлбэр 3+96+19+ +82+97=297 (болон 2+97=99) нь 3, 9.11, 33, 99-д хуваагддаг; 7 265 286 303 тоо нь 3, 11, 33-т хуваагддаг боловч 9 ба 99-д хуваагддаггүй, учир нь хоёр оронтой нүүрний нийлбэр нь 72+65+28+63+03=231 (ба 2+31=) 33) энэ тоо нь 3, 11, 33-т хуваагддаг ба 9 ба 99-д хуваагддаггүй.

II 3. 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999-д - тухайн тооны гурван оронтой нүүрний нийлбэр нь 3, 9, 27, 37, 111, 333, 999-д хуваагдах ёстой. Жишээлбэл, Энэ тооны 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (болон 1 + 998 = 999) гэсэн гурван оронтой нүүрний нийлбэр нь 354 645 871 128 тоонд хуваагддаг тул энэ тооны энэ тэмдэгт жагсаасан бүх тоонд хуваагддаг. тус бүр нь.

Гурав дахь төрөл нь 10 k + 1 тооны хуваагчдад хуваагдах шалгуурууд юм: аливаа N бүхэл тоог 10 k + 1 тооны q бүхэл тоонд хуваахын тулд нийлбэрийн зөрүү нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. N-ийн тэгш газар дахь k оронтой нүүр, сондгой газар N-д байгаа k оронтой нүүрний нийлбэр нь q-д хуваагдана. Ялангуяа (k \u003d 1, 2 ба 3-ын хувьд) бид 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) ба 10 тоонуудыг хуваагчдад хуваагдах дараах шинж тэмдгүүдийг олж авдаг. 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1. 11-ээр - тэгш газар дахь цифрүүдийн нийлбэр (нэг оронтой нүүр) ба сондгой газар дахь цифрүүдийн нийлбэр (нэг оронтой нүүр) хоёрын зөрүү нь 11-д хуваагдах ёстой. Жишээлбэл, 876 583 598 тоо нь дараахь байдлаар хуваагдана. 11, учир нь тэгш орны цифрүүдийн нийлбэр ба сондгой орны цифрүүдийн нийлбэрийн хооронд 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (болон 1 - 1=0) ялгаа гарна. 11-д хуваагддаг.

III 2. 101-ээр - тэгш газар дахь хоёр оронтой нүүрний нийлбэр ба сондгой газар дахь хоёр оронтой нүүрний нийлбэрийн зөрүү нь 101-д хуваагдах ёстой. Жишээлбэл, 8 130 197 тоо нь 101-д хуваагддаг тул ялгаа нь 8-13 + 01- 97 = 101 (болон 1-01=0) нь энэ тооны тэгш газар дахь хоёр оронтой нүүрний нийлбэр ба сондгой газар дахь хоёр оронтой нүүрний нийлбэрийн хооронд 101-д хуваагдана.

III 3. 7, 11, 13, 77, 91, 143, 1001 - тэгш газар дахь гурван оронтой нүүрний нийлбэр ба сондгой газар гурван оронтой нүүрний нийлбэр хоорондын зөрүүг 7, 11, 13, 77-д хуваах ёстой. , тус тус 91, 143 ба 1001. Жишээлбэл, 539 693 385 тоо нь 7, 11, 77-д хуваагддаг боловч 13, 91, 143, 1001-д хуваагддаггүй, учир нь 539 - 693+385=2 хуваагддаг. 7, 11, 77 ба 13, 91, 143, 1001-д хуваагддаггүй.

Өгөгдсөн тоо бусад тоонд хуваагдах уу, хуваагдахгүй байна уу гэдгийг бодитойгоор хуваахгүйгээр заримдаа олж мэдэхэд хялбар шинж тэмдгүүд байдаг.

2-т хуваагддаг тоонуудыг дуудна бүр. Тэг тоо нь мөн тэгш тоо юм. Бусад бүх дугаарыг дуудаж байна хачин:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - тэгш,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... сондгой.

Хуваагдах шинж тэмдэг

2-т хуваагдах тэмдэг. Хэрэв сүүлийн орон нь тэгш байвал тоо 2-т хуваагдана. Жишээлбэл, 4376 тоо нь 2-т хуваагддаг, учир нь сүүлийн орон (6) нь тэгш байдаг.

3-т хуваагдах тэмдэг. Зөвхөн цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагддаг тоонууд л 3-т хуваагдана. Жишээлбэл, 10815 тоо нь 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагддаг тул 3-т хуваагддаг.

4-т хуваагдах шинж тэмдэг. Хэрэв сүүлийн хоёр орон нь тэг эсвэл 4-т хуваагдах тоог бүрдүүлж байвал тухайн тоо 4-т хуваагдана. Жишээлбэл, 244500 тоо нь хоёр тэгээр төгссөн тул 4-т хуваагддаг. 14708 ба 7524 тоонууд 4-т хуваагддаг тул эдгээр тоонуудын сүүлийн хоёр орон (08 ба 24) 4-т хуваагддаг.

5-д хуваагдах шинж тэмдэг. 0 эсвэл 5-аар төгссөн тоонууд 5-д хуваагддаг.Жишээ нь 320-ийн тоо 5-д хуваагддаг, учир нь сүүлийн цифр нь 0.

6-д хуваагдах тэмдэг. 2 ба 3-т хоёуланд нь хуваагддаг тоо 6-д хуваагдана.Жишээ нь 912 тоо нь 2 ба 3-т хуваагддаг тул 6-д хуваагддаг.

8-д хуваагдах шинж тэмдэг. 8-д хуваагдана гэдэг нь сүүлийн гурван орон нь тэг буюу 8-д хуваагдах тоог үүсгэдэг тоонууд юм. Жишээлбэл, 27000 тоо нь гурван тэгээр төгсдөг тул 8-д хуваагддаг. Сүүлийн гурван орон нь 8-д хуваагддаг тоог (128) бүрдүүлж байгаа тул 63128 тоо 8-д хуваагдана.

9-д хуваагдах тэмдэг. Цифрүүдийн нийлбэр нь 9-д хуваагддаг тоонууд л 9-д хуваагдана.Жишээ нь 2637 тоо нь 2+6+3+7=18 цифрүүдийн нийлбэр нь 9-д хуваагддаг тул 9-д хуваагдана.

10, 100, 1000 гэх мэтээр хуваагдах шинж тэмдэг. 10, 100, 1000 гэх мэт тоонууд нь нэг тэг, хоёр тэг, гурван тэг гэх мэтээр төгссөн тоонд хуваагдана. Жишээлбэл, 3800 тоо нь 10 ба 100-д ​​хуваагддаг.

3-т хуваагдах тэмдэг
Цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагдах тохиолдолд л тоо 3-т хуваагдана.

4 тэмдгээр хуваагдах
Сүүлийн хоёр оронтой тоо нь тэг эсвэл 4-т хуваагдаж байвал тухайн тоо 4-т хуваагдана.

5-д хуваагдах тэмдэг
Сүүлийн цифр нь 5-д хуваагддаг (өөрөөр хэлбэл 0 эсвэл 5-тай тэнцүү) тохиолдолд тоо 5-д хуваагдана.

6-д хуваагдах тэмдэг
Тоо нь 2 ба 3-т хуваагдах тохиолдолд л 6-д хуваагдана.

7-д хуваагдах тэмдэг
Энэ тооноос сүүлийн цифргүй тоог 2 дахин хассаны үр дүн 7-д хуваагдах тохиолдолд тоо 7-д хуваагдана (жишээ нь 259 нь 7-д хуваагдана, учир нь 25 - (2 9) = 7 нь хуваагдана). 7).

8-д хуваагдах тэмдэг
Сүүлийн гурван орон нь тэг буюу 8-д хуваагдах тоог бүрдүүлж байвал тухайн тоо 8-д хуваагдана.

9-д хуваагдах тэмдэг
Цифрүүдийн нийлбэр нь 9-д хуваагдах тохиолдолд л тоо 9-д хуваагдана.

10-д хуваагдах тэмдэг
Тоо нь тэгээр төгссөн тохиолдолд л 10-д хуваагдана.

11-д хуваагдах тэмдэг
1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 нь 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 нь 182919 нь 11-д хуваагддаг (өөрөөр хэлбэл 182919 нь 11-д хуваагддаг) тохиолдолд тоо 11-д хуваагдана. 11) - 10 n хэлбэрийн бүх тоог 11-д хуваахад (-1) n-ийн үлдэгдлийг өгдөг баримтын үр дагавар.

12-т хуваагдах тэмдэг
Тоо нь 3 ба 4-т хуваагдах тохиолдолд л 12-т хуваагдана.

13-т хуваагдах тэмдэг
Нэгжийн тоог дөрөв дахин нэмсэн аравтын тоо нь 13-ын үржвэр бол тоо нь 13-т хуваагдана (жишээлбэл, 845 нь 13-т хуваагдана, учир нь 84 + (4 5) = 104 нь 13-т хуваагддаг).

14-т хуваагдах тэмдэг
Тоо нь 2 ба 7-д хуваагддаг тохиолдолд л 14-т хуваагдана.

15-т хуваагдах тэмдэг
Тоо нь 3 ба 5-т хуваагдах тохиолдолд л 15-д хуваагдана.

17-д хуваагдах тэмдэг
Тоо нь 17-д хуваагдана, хэрэв нэгжийн тоо 12-оор нэмэгдсэн бол түүний аравтын тоо нь 17-ын үржвэр (жишээлбэл, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30) +72=102→10+ 24 = 34. 34 нь 17-д хуваагддаг тул 29053 нь мөн 17-д хуваагдана). Энэ тэмдэг нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй, гэхдээ энэ нь математикт тодорхой утгатай байдаг. Бага зэрэг хялбар арга бий - Аравтын тоо ба нэгжийн тоог тав дахин нугасны зөрүү нь 17-д үржвэр байвал тоо нь 17-д хуваагдана (жишээлбэл, 32952→3295-10=3285→328). -25=303→30-15=15. 15 нь 17-д хуваагддаггүй тул 32952 нь 17-д хуваагддаггүй)

19-д хуваагдах тэмдэг
Нэгжийн тоог хоёр дахин нэмэгдүүлсэн аравтын тоо нь 19-ийн үржвэр бол тоо нь 19-д хуваагдана (жишээлбэл, 646 нь 19-д хуваагдана, учир нь 64 + (6 2) = 76 нь хуваагдана. 19 гэхэд).

23-т хуваагдах тэмдэг
Тоо нь 23-т хуваагдана, хэрэв 23-ын үржвэр нь 23-т хуваагдана (жишээ нь 28842 нь 288 + (3 * 42) = 414 нь 4 + (3 * 14) үргэлжилдэг тул 28842 нь 23-т хуваагдана. 46 нь 23-т хуваагдах нь ойлгомжтой).

25-д хуваагдах тэмдэг
Тооны сүүлийн хоёр цифр нь 25-д хуваагдах (өөрөөр хэлбэл 00, 25, 50, 75) эсвэл 5-ын үржвэр бол тоо нь 25-д хуваагдана.

99-д хуваагдах тэмдэг
Бид тоог баруунаас зүүн тийш 2 оронтой бүлэгт хувааж (хамгийн зүүн бүлэг нь нэг оронтой байж болно) хоёр оронтой тоо гэж үзэн эдгээр бүлгүүдийн нийлбэрийг олно. Энэ нийлбэр нь 99-д хуваагддаг бөгөөд хэрэв тухайн тоо өөрөө 99-д хуваагддаг.

101-д хуваагдах тэмдэг
Бид тоог баруунаас зүүн тийш 2 оронтой бүлэгт хуваадаг (хамгийн зүүн талын бүлэг нь нэг оронтой байж болно) ба эдгээр бүлгүүдийн нийлбэрийг хоёр оронтой тоо гэж үзэн хувьсах тэмдэгтэйгээр олно. Энэ нийлбэр нь тухайн тоо нь өөрөө 101-д хуваагддаг тохиолдолд л 101-д хуваагдана. Жишээлбэл, 590547 нь 101-д хуваагддаг, учир нь 59-05+47=101 нь 101-д хуваагддаг).