Prezentare pe tema „Istoria apariției numerelor” prezentare pentru o lecție de matematică (clasa a 2-a) pe tema. Prezentare pe tema „Istoria apariției numerelor” prezentare pentru o lecție de algebră (clasa a 5-a) pe tema Prezentarea istoriei apariției numerelor prime

• Ce este un număr?
• Figuri ale civilizațiilor antice

2.1. Numerele în Egiptul Antic

2.2. Figuri Maya

2.3. Figuri grecești antice

2.4. Figuri ale Chinei antice

Ce este un număr?

Numerele au existat întotdeauna, doar regulile de reprezentare a acestora erau diferite. Dar sensul era același: numerele erau reprezentate folosind anumite semne – numere .

Număr este caracterul folosit pentru a reprezenta numărul.

Număr - aceasta este o valoare care este alcătuită din numere după anumite reguli. Aceste reguli se numesc sisteme numerice 1 .

De-a lungul secolelor de istorie umană, au existat multe moduri diferite de a scrie un număr , unele au supraviețuit până în vremurile noastre, iar altele au rămas în istorie.

• Inițial, omul a devenit numără pe degete . Cea mai veche și simplă „mașină de calcul” a fost mult timp degetele de la mâini și de la picioare.

Figuri ale civilizațiilor antice Numerele în Egiptul Antic

Au apărut primele cifre scrise, despre care avem dovezi sigure în Egipt și Mesopotamia acum aproximativ 5000 de ani.

În sistemul egiptean, numerele erau simboluri hieroglifice ; au notat numerele 1, 10, 100 etc. până la un milion. Numerele care nu sunt divizibile cu 10 au fost scrise ca repetarea acestor numere . Fiecare cifră poate fi repetat de la una la 9 ori . De exemplu, numărul 4622 a fost notat după cum urmează:

Figuri Maya

Maya antică a ajuns să folosească în mod independent principiul pozițional. Înregistrând caractere digitale care formează un număr, a condus Maya vertical , de jos în sus, ca și cum ar ridica un fel de numere.

Maya a crezut douăzeci Aveau un sistem de numărare vigesimal. Au fost notate numerele de la 1 la 20 puncte și liniuțe.

Figuri grecești antice

În Grecia antică erau în circulație două sisteme de numere principale - Pod (sau gerodian) și ionic (este tot alexandrin sau alfabetic).

Sistem de numere la mansardă a fost zecimal, folosit repetări ale simbolurilor colective. Folosit deja de greci al 5-lea secol. î.Hr.

• trăsătură , notând unul, repetat de numărul necesar de ori, însemna numere până la patru.
• În loc de cinci linii, a fost introdus un nou simbol G , prima literă a cuvântului „penta” (cinci).
• Ajungând la zece, au introdus un nou simbol D , prima literă a cuvântului „deca” (zece). T
• Simboluri noi pentru fiecare putere nouă a lui 10: simbol H însemna 100 (hekaton), X - 1000 (chilioi), simbolul M - 10000 (myrioi sau myriad). Numerele 6, 7, 8, 9 indicată prin combinații ale acestor semne:

Sistem de numere ionice – alfabetic. S-a răspândit la începutul epocii alexandrine.

• Pentru a distinge numerele de cuvinte, grecii au plasat deasupra literei corespunzătoare linie orizontală.
• similitudine Litera greacă O cu notaţie modernă zero poate
• Scrierea în caractere alfabetice se putea face în orice ordine, deoarece numărul a fost obținut ca sumă a valorilor literelor individuale.

Figuri ale Chinei antice

Această numerotare este una dintre cel mai vechi și mai progresist . Acest numărând aproximativ 4.000 de mii de ani în urmă in China.

• Cifrele au fost scrise începând cu valori mai mari și terminând cu valori mai mici.
• Dacă nu erau zeci, unități sau vreo altă cifră, atunci la început nu au pus nimic și a trecut la nivelul următor .
• Pentru a nu confunda cifrele, mai multe hieroglife oficiale , scris după hieroglifa principală și care arată ce semnificație are numărul hieroglif în această categorie.

- 1 000;

Această notație a numărului multiplicativ , adică folosește

multiplicare:

1 x 1000 și 5 x 100+4 x 10+8

Numerotare chirilică slavă

Această formă de scriere a numerelor a primit grozav Răspândire datorită faptului că avea o asemănare totală cu Notație greacă pentru numere . Dacă ne uităm cu atenție, vom vedea asta după "A" există o scrisoare "în" , dar nu "b" așa cum ar trebui Alfabetul slav , adică se folosesc doar litere care sunt în alfabetul grecesc.

Pentru a distinge între litere și cifre, o pictogramă specială a fost plasată deasupra numerelor - titlu (~)

numerația romană

Vechii romani au inventat un sistem calcul bazat pe folosirea literelor pentru a afișa numere. Fiecare literă avea un înțeles diferit, fiecare cifră corespundea numărului de poziție al literei.

numerația romană

Pentru a citi o cifră romană, ar trebui să urmați cinci reguli de bază:

• Literele sunt scrise de la stânga la dreapta, începând cu cea mai mare valoare.
• Scrisori I.X.C și M se poate repeta până la Trei ori la rând.
• Literele V. L. D nu pot fi repetate.
• Numerele 6, 8, 40, 80, 800 trebuie scrise prin combinarea literelor: VII (6), VIII (8), XL (40), LXXX (80), CD (400), DCCC (800).

• O linie orizontală deasupra unei litere își mărește valoarea de 1000 de ori.

apoi XV(15), CCXLIII(243), ZCXV(2115)

apoi III(3), XX(20), CCC(300), MCCXXX(1320)

V (5000), CIII(103000), IXDL(9550)

3.1. numerotarea indiană

3.2. Contribuția musulmanilor la dezvoltarea sistemului nostru de numere

3.3. Sistem de numere modern

3.4. Care este sistemul nostru de calcul?

3.4. Compararea scrierii numerelor între diferite popoare

„Noi numim inventat indienii și numerele 1, 2, . . . , 9 și zero arabic , deoarece le-au împrumutat de la arabi, dar arabii înșiși au numit aceste cifre indiene și aritmetice, bazate pe sistemul zecimal - „ cont indian „(Hisabal – Hind).

în vale indus a existat o civilizație, unul dintre centrele căreia era un oraș excavat lângă dealurile din Mohenjo - Daro. Această civilizație, fondată de populația originară a Indiei, a fost distrusă triburile ariene Russ care a venit din Himalaya...

Preoți [arieni] aduși cu ei Vedere vedica asupra lumii și a scris cărțile sfinte brahmanii „Vede” („Cunoaștere”). Au creat și ei sistem de facturare. Prin secolele VII - V. î.Hr e. includ primele monumente matematice indiene în schimburi... Majoritatea tratatelor științifice ale indienilor sunt scrise în sanscrit - limbajul cărților religioase ale brahmanilor. Această limbă a unit numeroasele popoare din India, care vorbeau limbi diferite.

numerotarea indiană

Numărarea numerelor întregi în India din timpurile antice [ariene] purtate caracter zecimal . sanscrit - Limba indo-europeană, similară cu a noastră: 1 - eka, 2 - dvi, 3 - trei .

numerotarea indiană

Împreună cu înregistrare digitală utilizat pe scară largă în India notație verbală pentru numere , acest lucru a fost facilitat de limba sanscrită bogată în vocabularul său, care are multe sinonime:

• zero notat prin cuvinte „gol”, „cer”, „gaură”; unitate lună, pământ ; egalitate de puncte - cuvinte ; patru - cuvinte „oceane”, „părturi ale lumii” etc.
• zero notat prin cuvinte „gol”, „cer”, „gaură”;
• unitate - articole care sunt disponibile numai la singular: lună, pământ ;
• egalitate de puncte - cuvinte „gemeni”, „ochi”, „nări”, „buze” ;
• patru - cuvinte „oceane”, „părturi ale lumii” etc.

numerotarea indiană

Aplicație principiul pozițional în numerotarea verbală , în care același cuvânt, în funcție de loc, are o valoare numerică diferită, iar denumirile categoriilor sunt omise, a fost consemnată încă din secolul al V-lea. De exemplu, numărul 1021 a fost scris cu cuvintele „Lună – gaură – aripi – Lună”.

numerotarea indiană

bazat pe numere brahmi lucrat cu cifre indiene moderne « devaeagari » ( scrisoare divină ) folosit în sistemul pozițional zecimal din care provin sistemele poziționale zecimale ale arabilor și europeni.

DIN ISTORIA NUMERELOR Denisenko Alla Petrovna

slide 2

Plan: 1. De ce avem nevoie de numere 2. Cum au învățat oamenii să scrie numere 3. Numerele egiptene antice 4. Numerele romane antice 5. Numerele chinezești 6. Numerele MAYA 7. Numerele moderne

slide 3

Sarcină: Să se familiarizeze cu istoria apariției numărului și rolul acestuia. Relevanța subiectului: Lumea modernă, ca o persoană fără aer, nu se poate descurca fără numere. La urma urmei, chiar și un sunet sau o imagine este înregistrată printr-o combinație de numere.

slide 4

Aproape toți oamenii de pe Pământ știu ce sunt numerele. Chiar dacă luăm o carte străină și nu înțelegem un cuvânt, tot putem citi limbajul numerelor. Dar nu a fost întotdeauna așa

Slide 5

Oamenii au început să învețe să numere din timpuri imemoriale, iar viața însăși a fost profesorul lor. Pentru ca prada să nu plece, a trebuit să fie înconjurată, ei bine, cel puțin așa: cinci oameni în dreapta, șapte în spate, patru în stânga. Aici nu te poți lipsi de un cont! Și liderul tribului primitiv a făcut față acestei sarcini. Chiar și în acele zile în care o persoană nu cunoștea cuvinte precum „cinci” sau „șapte”, putea arăta numerele de pe degete.

slide 6

Cum au învățat oamenii să scrie numere Au trecut mulți, mulți ani. Viața unei persoane s-a schimbat. Cunoștințele oamenilor au crescut treptat, și cu cât mai departe, cu atât a crescut nevoia de a putea număra și măsura. Crescătorii de vite trebuiau să-și numere turmele și, în același timp, numărul putea ajunge la sute și mii. Pentru un fermier, numărarea timpului pe lunile lunare nu mai era suficient de bună. Aveam nevoie de un calendar precis. În plus, oamenii au avut de-a face cu un număr mare. A trebuit să-mi dau seama cum să le înregistrez!

Slide 7

În diferite țări și în momente diferite, acest lucru a fost făcut în moduri diferite. Aceste „numere” sunt foarte diferite și uneori chiar amuzante pentru diferite popoare. În Egiptul antic, numerele primelor zece erau notate cu numărul corespunzător de bețe. În loc de numărul „3” - trei bețe. Dar pentru zeci există deja un semn diferit - ca o potcoavă.

Slide 8

Vechii romani aveau alte numere. Încă mai folosim uneori cifre romane. Ele pot fi văzute atât pe cadranul ceasului, cât și în carte, unde este indicat numărul capitolului. Dacă te uiți cu atenție, cifrele romane arată ca niște degete. Unul este un deget; două - două degete; cinci este cinci cu degetul mare deoparte; șase înseamnă cinci și încă un deget. Autograf B.N. Elțin (primul președinte al Rusiei) 10 noiembrie 1988. Luna este indicată cu cifre romane.

Slide 9

Așa arătau cifrele antice chinezești Indienii Maya reușeau să scrie orice număr folosind doar un punct, o linie și un cerc.

Pentru a utiliza previzualizarea prezentărilor, creați un cont Google (cont) și conectați-vă: https://accounts.google.com

Subtitrări slide-uri:

Troshenkova Sveta, grupa de 41 de ani Istoria apariției numerelor.

Istoria apariției numerelor Oamenii antici, cu excepția unui topor de piatră și a unei piei în loc de haine, nu aveau nimic, așa că nu aveau ce să numere. Treptat au început să îmblânzească vitele, să cultive câmpurile; a apărut comerțul și aici nu se poate lipsi de cont. La început au numărat pe degete. Când degetele de la o mână se terminau, treceau la cealaltă, iar dacă nu erau suficiente la ambele mâini, treceau la picioare.

Istoria apariției numerelor Primii care au venit cu înregistrarea numerelor au fost vechii sumerieni. Au folosit doar două numere. O liniuță verticală a indicat o unitate, iar un unghi de două liniuțe înclinate a notat zece. Aceste linii erau obținute sub formă de pene, deoarece scriau cu un băț ascuțit pe tăblițe umede de lut, care apoi erau uscate și arse. Asa aratau placile.

Istoria apariției numerelor Poporul mayaș antic, în loc de numerele în sine, a desenat capete înfricoșătoare, ca extratereștrii, și a fost foarte dificil să distingem un cap - un număr de altul.

Istoria apariției numerelor Indienii și popoarele din Asia antică, când numărau, făceau noduri pe șireturi de diferite lungimi și culori. Unii bogați au acumulat câțiva metri din această frânghie „carte de conturi”, încercați, amintiți-vă într-un an ce înseamnă patru noduri pe un șnur roșu! Prin urmare, cel care s-a înnodat a fost numit amintitorul.

Istoria apariției numerelor Vechii egipteni pe papirusuri foarte lungi și scumpe au scris în loc de numere semne foarte complexe și greoaie. De exemplu, iată cum arăta numărul 5656.

Istoria numerelor Era foarte incomod să depozitezi tăblițe de lut, frânghii înnodate și suluri de papirus. Și asta a continuat până când vechii indieni și-au inventat propriul semn pentru fiecare număr. Iată cum arătau

Istoria apariției numerelor Arabii au fost primii care au împrumutat numere de la indieni și le-au adus în Europa. Puțin mai târziu, arabii au simplificat aceste icoane, au început să arate așa. Sunt similare cu multe dintre numerele noastre. Arabii numeau zero, sau „gol”, „sifra”. De atunci, a apărut cuvântul „cifră”. Adevărat, acum toate cele zece pictograme pentru înregistrarea numerelor pe care le folosim se numesc numere.

Istoria apariției numerelor Din numărarea degetelor a apărut sistemul de numere chinari (o mână), zecimal (două mâini), vigesimal (degetele de la mâini și de la picioare). În antichitate, nu exista un sistem unic de numărare pentru toate țările. Unele sisteme numerice au luat ca bază 12, altele - 60, altele - 20, 2, 5, 8.

Istoria apariției numerelor Romanii au introdus sistemul numeric zecimal. Numerele romane sunt încă folosite în ceasuri și pentru cuprinsul cărților, dar acest sistem de numere era și prea complicat pentru numărare. Strămoșii poporului rus - slavii foloseau litere pentru a desemna numere. Acest mod de a desemna numerele se numește numere.

Istoria apariției numerelor Pentru a desemna numere mari, slavii au venit cu propriul lor mod original: Zece mii - întuneric, zece subiecte - o legiune, zece legiuni - un leodr, zece leodr - un corb, zece corbi - o punte . Acest mod de desemnare a numerelor era foarte incomod. Prin urmare, Petru I a introdus în Rusia cele zece numere obișnuite pentru noi, pe care încă le folosim.

Semnificația numerelor conform lui Pitagora Pitagora, studenții și adepții săi au redus toate numerele la numere de la 1 la 9 inclusiv, deoarece sunt numerele originale din care pot fi obținute toate celelalte. Celebrul Cornelius Agrippa în lucrarea sa „Filosofia ocultă”, publicată în 1533, a numit aceste numere și semnificațiile lor.

Sensul numerelor conform lui Pitagora Numărul 1 este numărul scopului, care se manifestă sub formă de agresivitate și ambiție. Numărul 2 este un număr cu extreme. Menține echilibrul prin amestecarea calităților pozitive și negative. Cifra 3 înseamnă instabilitate. Combină talentul și veselia și simbolizează adaptabilitatea.

Semnificația numerelor conform lui Pitagora numărul 4 - numărul înseamnă stabilitate și putere. Cifra 5 simbolizează riscul. Acest număr este atât cel mai fericit, cât și cel mai imprevizibil. Cifra 6 este un simbol al fiabilității. Este în armonie cu natura. Acesta este numărul ideal.

Semnificația numerelor conform lui Pitagora numărul 7 - numărul simbolizează misterul, precum și studiul și cunoașterea. Cifra 8 este numărul succesului material. Înseamnă fiabilitate adusă la perfecțiune, echilibru. Numărul 9 este un simbol al succesului universal. Combină caracteristicile întregului grup.

Resurse de informare Numbers of Destiny: numerologie pitagoreică, indiană și chineză.-Compilare, prefață de Andrey Kostenko. Sankt Petersburg, „Exlibris”, 2003 I. Ya. Depman Lumea numerelor: povești despre matematică: Det. Lit., 1982 A. Likum Totul despre orice. Enciclopedie populară pentru copii - M .: Societatea Filologică „Cuvânt”, 1993, volumul 1,7,9. A. Lopatina Bună Matematică. M: „Amrita Rus” 2004 Resurse de internet.

slide 2

POARTĂ:

Aflați istoria apariției numerelor în diferite țări

slide 3

Oamenii primitivi nu cunoșteau contul. Nu aveau de la cine să învețe. Viața însăși a fost profesorul lor. Observând natura înconjurătoare, de care viața lui depindea complet, strămoșul nostru îndepărtat a învățat mai întâi să izoleze obiectele individuale de multe obiecte diferite. Dintr-o haită de lupi - conducătorul haitei, dintr-o turmă de căprioare - o căprioară, dintr-un puiet de rațe plutitoare - o pasăre, dintr-un spic cu boabe - un bob. La început, ei au definit acest raport drept „unu” și „mulți”. Observațiile frecvente ale seturilor formate dintr-o pereche de obiecte (ochi, urechi, coarne, aripi, mâini) au condus o persoană la conceptul de număr. Strămoșul nostru îndepărtat, vorbind despre a vedea două rațe, le-a comparat cu o pereche de ochi. Și dacă a văzut mai mulți dintre ei, a spus: „Mulți”. Doar treptat o persoană a învățat să evidențieze trei obiecte, apoi patru, cinci, șase etc. Cum au învățat oamenii să numere?

slide 4

A învăța să numere viața necesară. Obținând hrană, oamenii au fost nevoiți să vâneze animale mari: elan, urs, zimbri. Strămoșii noștri vânau în grupuri mari, uneori tot tribul. Pentru ca vânătoarea să aibă succes, era necesar să se poată înconjura fiara. De obicei, bătrânul punea doi vânători în spatele bârlogului ursului, patru cu sulițe la bârlog, trei pe o parte și trei pe cealaltă parte a bârlogului. Pentru a face acest lucru, trebuia să poată număra și, din moment ce nu existau nume de numere atunci, a arătat numărul pe degete. Și picioarele, apropo, degetele au jucat un rol semnificativ în istoria numărării, mai ales când oamenii au început să schimbe obiectele muncii lor între ei. Așa că, de exemplu, dorind să schimbe o suliță făcută de el cu un vârf de piatră cu cinci piei cu haine, o persoană și-a pus mâna pe pământ și a arătat că trebuie pusă câte o piele pe fiecare deget al mâinii sale. Un cinci însemna 5, doi - 10. Când nu erau suficiente brațe, se foloseau și picioarele. Două brațe și un picior - 15, două brațe și două picioare - 20. Au existat nume speciale pentru numere - la început doar pentru unu și doi. Numerele mai mari de doi au fost numite folosind adunarea: 3 este doi și unu, 4 este doi și doi, 5 este doi, doi mai mult și unul.

Slide 5

Cum au învățat oamenii să scrie numere?

În diferite țări și în momente diferite, acest lucru a fost făcut în moduri diferite. Înainte ca oamenii să știe să facă hârtie, înregistrările au apărut sub formă de crestături pe bețișoare și oase de animale, sub formă de scoici sau pietricele depuse, sau sub formă de noduri legate de o curea sau o frânghie. ... Într-unul dintre desene, un bărbat a ridicat ambele mâini în sus. Avea de ce să fie surprins. La urma urmei, însemna un milion întreg. Și nu este o glumă. Vechii egipteni au desenat un astfel de omuleț când au vrut să înfățișeze un milion. Bărbatul a îndeplinit îndatoririle numărului. Acum, noi, obișnuiți cu înscrierea numerelor, nici nu credem că a existat un alt sistem de scriere a numerelor. Aceste „numere” erau foarte diferite și uneori chiar amuzante pentru diferite popoare. În Egiptul antic, numerele primelor zece erau notate cu numărul corespunzător de bețe. Și „zece” a fost indicat printr-o paranteză în formă de potcoavă. Pentru a scrie 15, a fost necesar să se pună 5 bețe și 1 potcoavă. Și așa mai departe până la o sută. Pentru o sută, s-a inventat un cârlig, pentru o mie - o insignă ca o floare. Zece mii erau indicate printr-un model cu degetele, o sută de mii printr-o broască și un milion prin figura familiară cu mâinile ridicate. Nu era foarte convenabil să notezi numere mari în acest fel și a fost destul de incomod să le adunăm, să scazi, să înmulțim, să le împărțim. A fost multă agitație cu aceste icoane hieroglifice!

slide 6

În jurul mileniului al treilea î.Hr., egiptenii au venit cu propriul sistem numeric, în care icoane speciale - hieroglife - erau folosite pentru a desemna numerele cheie 1, 10, 100 și așa mai departe.

Slide 7

Valoarea unui număr nu depindea de ordinea în care se află semnele sale constitutive: ele puteau fi scrise de sus în jos, de la dreapta la stânga sau amestecate.

Slide 8

Numerele egiptene antice

1 10 100 100 000 10 000 1 000 000 1000 1

Slide 9

Numerele au fost formate din aceste simboluri cheie prin adunare: 3 2 5 2

slide 10

Mult mai bine a venit cu înregistrarea numerelor în Babilonul antic. Este foarte asemănător cu cel modern, doar noi numărăm în zeci, sute, mii și așa mai departe, în timp ce locuitorii Babilonului antic combinau unități de 60, 3600 (60x60=3600), și dacă era necesar, 60x60x60=216000 și așa pe. Ei au scris în Babilonul antic pe tăblițe de lut moale cu bețe ascuțite, apoi tăblițele au fost arse și au devenit tari și durabile. În timpul săpăturilor s-au găsit biblioteci și arhive întregi din astfel de tăblițe. Este dificil să descrii figuri complexe cu un băț pe lut, prin urmare scrierea babiloniană a constat în principal din diverse combinații de pene (se numește cuneiform). Unitățile erau reprezentate de pene verticale înguste, iar zeci de pene orizontale largi, toate numerele până la 60 au fost „colectate” din astfel de pene. Când a fost necesar să scrieți un număr mai mare de 60, atunci a fost deschis următorul bit - au scris în el de câte ori se încadrează numărul 60 în numărul care se scrie și ce a rămas (adică restul împărțirii la 60) ) a fost notat, ca si pana acum, la prima categorie. S-au lăsat spații între cifre, astfel încât numerele din diferite cifre să nu se amestece. O astfel de înregistrare a numerelor este convenabilă, deoarece dacă știm să înmulțim și să adunăm numerele din prima categorie, atunci este foarte ușor să învățați cum să efectuați aceste acțiuni cu orice numere - aceste calcule pot fi făcute „în coloană”, așa cum ești predat la școală. Adevărat, sistemul babilonian era încă foarte greoi din cauza faptului că 60 este un număr destul de mare, deci nu a fost folosit nicăieri altundeva. Însă sistemul de numerotare și calcul care s-a dezvoltat în India în jurul secolului al VI-lea d.Hr. s-a dovedit a fi atât de convenabil și de succes încât este folosit acum în întreaga lume. Europenii l-au cunoscut în secolele X-XIII prin arabi, care au fost primii care au apreciat meritele acestui mod de a scrie numerele, au învățat și transferat în Europa, așa că noile numere din Europa au început să se numească arabă. Acest lucru s-a întâmplat și pentru că cel mai simplu dispozitiv de numărare, care funcționează în sistemul numeric zecimal, a fost întotdeauna la îndemână - acestea sunt cele 10 degete ale lui.

slide 11

NUMERELE ARABE

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Au fost inventate cu mult timp în urmă, în secolul al VI-lea, în India; dar numerele se numesc arabe pentru că au venit în Europa de la arabi. În Rusia, cifrele arabe au început să fie folosite sub Petru I. Fiecare cifră reprezintă o singură cifră. Numerele formate din două cifre se numesc numere din două cifre, cele din trei se numesc numere din trei cifre.

slide 12

NUMERE ROMANE

Sunt șapte: Unu - І Cinci - V Zece - X Cincizeci - L O sută - C Cinci sute - D Mie - M Reguli pentru citirea și scrierea numerelor: Citiți numerele scrise cu cifre romane, de la stânga la dreapta. Dacă o cifră mai mare este scrisă înaintea uneia mai mici, atunci când citiți se adaugă valorile lor. În acest caz, aceeași cifră poate fi repetată de două sau de trei ori.

Vizualizați toate diapozitivele

slide 1

slide 2

slide 3

slide 4

slide 5

slide 6

Slide 7

Slide 8

slide 9

slide 10

slide 11

slide 12

slide 13

slide 14

slide 15

slide 16

diapozitivul 17

slide 18

diapozitivul 19

slide 20

slide 21

slide 22

slide 23