Ce este un număr întreg pozitiv. Numerele

Informațiile din acest articol formează ideea generala despre numere întregi. În primul rând, este dată definiția numerelor întregi și sunt date exemple. În continuare, sunt luate în considerare numerele întregi de pe dreapta numerică, din care devine clar care numere sunt numite numere întregi pozitive și care sunt numere întregi negative. După aceea, se arată cum sunt descrise modificările cantităților folosind numere întregi, iar numerele întregi negative sunt considerate în sensul datoriei.

Navigare în pagină.

Numerele întregi - definiție și exemple

Definiție.

Numere întregi sunt numere naturale, numărul zero, precum și numere opuse celor naturale.

Definiția numerelor întregi afirmă că oricare dintre numerele 1, 2, 3, …, numărul 0 și, de asemenea, oricare dintre numerele −1, −2, −3, … este un întreg. Acum putem aduce cu ușurință exemple întregi. De exemplu, numărul 38 este un număr întreg, numărul 70 040 este de asemenea un număr întreg, zero este un număr întreg (amintim că zero NU este un număr natural, zero este un număr întreg), numerele −999 , −1 , −8 934 832 sunt, de asemenea, exemple de numere întregi.

Este convenabil să se reprezinte toate numerele întregi ca o secvență de numere întregi, care are următoarea formă: 0, ±1, ±2, ±3, … Secvența de numere întregi poate fi scrisă și după cum urmează: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Din definiția numerelor întregi rezultă că mulțimea numerelor naturale este o submulțime a mulțimii numerelor întregi. Prin urmare, fiecare număr natural este un număr întreg, dar nu orice număr întreg este un număr natural.

Numerele întregi pe linia de coordonate

Definiție.

Numerele întregi pozitive sunt numere întregi mai mari decât zero.

Definiție.

Numerele întregi negative sunt numere întregi mai mici decât zero.

Numerele întregi pozitive și negative pot fi determinate și de poziția lor pe linia de coordonate. Pe o linie de coordonate orizontală, punctele ale căror coordonate sunt numere întregi pozitive se află la dreapta originii. La rândul lor, punctele cu coordonate întregi negative sunt situate la stânga punctului O .

Este clar că mulțimea tuturor numerelor întregi pozitive este mulțimea numerelor naturale. La rândul său, mulțimea tuturor numerelor întregi negative este mulțimea tuturor numerelor opuse numerelor naturale.

Separat, vă atragem atenția asupra faptului că putem numi în siguranță orice număr natural număr întreg și NU putem numi niciun număr întreg număr natural. Putem numi natural numai orice număr întreg pozitiv, deoarece numerele întregi negative și zero nu sunt naturale.

Numere întregi nepozitive și numere întregi nenegative

Să dăm definiții ale numerelor întregi nepozitive și ale numerelor întregi nenegative.

Definiție.

Toate numerele întregi pozitive împreună cu zero sunt numite numere întregi nenegative.

Definiție.

Numere întregi nepozitive sunt toate numere întregi negative împreună cu numărul 0 .

Cu alte cuvinte, un număr întreg nenegativ este un număr întreg care este mai mare sau egal cu zero, iar un număr întreg nepozitiv este un număr întreg mai mic sau egal cu zero.

Exemple de numere întregi nepozitive sunt numerele -511, -10 030, 0, -2 și, ca exemple de numere întregi nenegative, să dăm numerele 45, 506, 0, 900 321.

Cel mai adesea, termenii „numere întregi nepozitive” și „numere întregi nenegative” sunt folosiți pentru concizie. De exemplu, în loc de expresia „numărul a este un număr întreg, iar a este mai mare decât zero sau egal cu zero”, puteți spune „a este un număr întreg nenegativ”.

Descrierea modificării valorilor folosind numere întregi

Este timpul să vorbim despre ce sunt numerele întregi.

Scopul principal al numerelor întregi este că, cu ajutorul lor, este convenabil să descrieți schimbarea numărului oricăror elemente. Să ne ocupăm de asta cu exemple.

Să presupunem că există o anumită cantitate de piese în stoc. Dacă, de exemplu, în depozit sunt aduse încă 400 de piese, atunci numărul de piese din depozit va crește, iar numărul 400 exprimă această modificare a cantității în sens pozitiv (în sensul creșterii). Dacă, de exemplu, se iau 100 de piese din depozit, atunci numărul de piese din depozit va scădea, iar numărul 100 va exprima modificarea cantității în sens negativ (în sensul scăderii). Nicio piesă nu va fi adusă în depozit și nicio piesă nu va fi luată din depozit, atunci putem vorbi despre invarianța numărului de piese (adică putem vorbi despre o modificare zero a cantității).

În exemplele date, modificarea numărului de părți poate fi descrisă folosind numerele întregi 400, -100 și, respectiv, 0. Un număr întreg pozitiv 400 indică o modificare pozitivă a cantității (creștere). Numărul întreg negativ −100 exprimă o modificare negativă a cantității (scădere). Numărul întreg 0 indică faptul că cantitatea nu s-a modificat.

Comoditatea utilizării numerelor întregi în comparație cu utilizarea numerelor naturale este că nu este necesar să se indice în mod explicit dacă cantitatea este în creștere sau descreștere - întregul specifică modificarea cantitativ, iar semnul întregului indică direcția schimbării.

De asemenea, numerele întregi pot exprima nu numai o modificare a cantității, ci și o modificare a unei anumite valori. Să ne ocupăm de asta folosind exemplul schimbării temperaturii.

O creștere a temperaturii cu, să zicem, 4 grade este exprimată ca un întreg pozitiv 4 . O scădere a temperaturii, de exemplu, cu 12 grade poate fi descrisă printr-un număr întreg negativ -12. Și invarianța temperaturii este modificarea acesteia, determinată de întregul 0.

Separat, trebuie spus despre interpretarea numerelor întregi negative ca valoare a datoriei. De exemplu, dacă avem 3 mere, atunci numărul întreg pozitiv 3 reprezintă numărul de mere pe care le deținem. Pe de altă parte, dacă trebuie să dăm cuiva 5 mere și nu le avem disponibile, atunci această situație poate fi descrisă folosind un număr întreg negativ -5. În acest caz, „deținem” −5 mere, semnul minus indică datoria, iar numărul 5 cuantifică datoria.

Înțelegerea unui număr întreg negativ ca o datorie permite, de exemplu, să justifice regula pentru adăugarea numerelor întregi negative. Să luăm un exemplu. Dacă cineva datorează 2 mere unei persoane și un măr altuia, atunci datoria totală este 2+1=3 mere, deci −2+(−1)=−3 .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. etc.Matematica. Clasa a VI-a: manual pentru instituțiile de învățământ.

Număr- cel mai important concept matematic care s-a schimbat de-a lungul secolelor.

Primele idei despre număr au apărut din numărarea oamenilor, animalelor, fructelor, diverselor produse etc. Rezultatul sunt numere naturale: 1, 2, 3, 4, ...

Din punct de vedere istoric, prima extensie a conceptului de număr este adăugarea numerelor fracționale la un număr natural.

Lovitură numită parte (cotă) dintr-o unitate sau mai multe părți egale ale acesteia.

Desemnat: , unde m,n- numere întregi;

Fracții cu numitorul 10 n, Unde n este un întreg, se numesc zecimal: .

Printre fracțiile zecimale, un loc special este ocupat de fractii periodice: - fracție periodică pură, - fracție periodică mixtă.

Extinderea în continuare a conceptului de număr este deja cauzată de dezvoltarea matematicii în sine (algebra). Descartes în secolul al XVII-lea introduce conceptul număr negativ.

Se numesc numere întregi (pozitive și negative), fracționale (pozitive și negative) și zero numere rationale. Orice număr rațional poate fi scris ca o fracție finită și periodică.

Pentru a studia variabilele în continuă schimbare, sa dovedit a fi necesară extinderea conceptului de număr - introducerea numerelor reale (reale) - prin adăugarea numerelor iraționale la numerele raționale: numere irationale sunt fracții zecimale neperiodice infinite.

Numerele iraționale au apărut la măsurarea segmentelor incomensurabile (latura și diagonala unui pătrat), în algebră - la extragerea rădăcinilor, un exemplu de număr transcendental, irațional este π, e .

Numerele natural(1, 2, 3,...), întreg(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), raţional(reprezentat ca o fracție) și iraţional(nu se poate reprezenta ca fracție ) formează un set real (real) numerele.

Separat, în matematică, se disting numerele complexe.

Numere complexe apar în legătură cu problema rezolvării pătratelor pentru caz D< 0 (здесь D este discriminantul ecuației pătratice). Multă vreme, aceste numere nu și-au găsit utilizare fizică, motiv pentru care au fost numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii și tehnologiei: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe se scriu ca: z= A+ bi. Aici Ași b – numere reale, A i – unitate imaginară.e. i 2 = -unu. Număr A numit abscisă, A b-ordonată număr complex A+ bi. Două numere complexe A+ biși a-bi numit conjuga numere complexe.

Proprietăți:

1. Număr real A poate fi scris și ca număr complex: A+ 0i sau A - 0i. De exemplu 5 + 0 iși 5 - 0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + bi numit pur imaginar număr. Înregistrare biînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexe A+ biși c+ di sunt considerate egale dacă A= cși b= d. În caz contrar, numerele complexe nu sunt egale.

Acțiuni:

Plus. Suma numerelor complexe A+ biși c+ di se numește număr complex ( A+ c) + (b+ d)i. Prin urmare, atunci când se adună numere complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Scădere. Diferența dintre două numere complexe A+ bi(redus) și c+ di(scăzut) se numește număr complex ( a-c) + (b-d)i. Prin urmare, la scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele acestora se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexe A+ biși c+ di se numește număr complex.

(ac-bd) + (anunț+ bc)i. Această definiție provine din două cerințe:

1) numere A+ biși c+ di trebuie să se înmulțească ca binoamele algebrice,

2) număr i are principala proprietate: i 2 = –1.

EXEMPLU ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . Prin urmare, muncăa două numere complexe conjugate este egală cu un număr real pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complex A+ bi(divizibil) cu altul c+ di (divizor) - înseamnă a găsi al treilea număr e+ fi(chat), care, atunci când este înmulțit cu un divizor c+ di, care are ca rezultat dividendul A+ bi. Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8+ i) : (2 – 3i) .

Soluție. Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțirea numărătorului și numitorului cu 2 + 3 iși făcând toate transformările, obținem:

Sarcina 1: Adunați, scădeți, înmulțiți și împărțiți z 1 la z 2

Extragerea rădăcinii pătrate: Rezolvați ecuația X 2 = -A. Pentru a rezolva această ecuație suntem forțați să folosim un nou tip de numere - numere imaginare . Prin urmare, imaginar se numeste numarul a cărui a doua putere este un număr negativ. Conform acestei definiții a numerelor imaginare, putem defini și imaginar unitate:

Apoi pentru ecuație X 2 = - 25 obținem doi imaginar rădăcină:

Sarcina 2: Rezolvați ecuația:

1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul -3, punct B este numărul 2 și O-zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. Pentru aceasta, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complex A+ bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisăA si ordonatab. Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

modul număr complex se numește lungimea vectorului OP, ilustrând un număr complex pe coordonată ( integrat) avion. Modulul numărului complex A+ bi notat cu | A+ bi| sau) lit r si este egal cu:

Numerele complexe conjugate au același modul.

Regulile pentru întocmirea unui desen sunt aproape aceleași ca și pentru un desen într-un sistem de coordonate carteziene.De-a lungul axelor, trebuie să setați dimensiunea, rețineți:

e
unitate de-a lungul axei reale; Rez

unitate imaginară de-a lungul axei imaginare. sunt z

Sarcina 3. Construiți următoarele numere complexe pe planul complex: , , , , , , ,

1. Numerele sunt exacte și aproximative. Numerele pe care le întâlnim în practică sunt de două feluri. Unele dau adevărata valoare a cantității, altele doar aproximative. Primul se numește exact, al doilea - aproximativ. Cel mai adesea este convenabil să folosiți un număr aproximativ în loc de un număr exact, mai ales că în multe cazuri numărul exact nu poate fi găsit deloc.

Deci, dacă ei spun că sunt 29 de elevi în clasă, atunci numărul 29 este exact. Dacă se spune că distanța de la Moscova la Kiev este de 960 km, atunci aici numărul 960 este aproximativ, deoarece, pe de o parte, instrumentele noastre de măsurare nu sunt absolut precise, pe de altă parte, orașele în sine au o oarecare măsură.

Rezultatul operațiilor cu numere aproximative este, de asemenea, un număr aproximativ. Efectuând unele operații asupra numerelor exacte (împărțirea, extragerea rădăcinii), puteți obține și numere aproximative.

Teoria calculelor aproximative permite:

1) cunoașterea gradului de acuratețe al datelor, evaluarea gradului de acuratețe a rezultatelor;

2) preia datele cu un grad adecvat de acuratețe, suficient pentru a asigura acuratețea necesară a rezultatului;

3) raționalizați procesul de calcul, eliberându-l de acele calcule care nu vor afecta acuratețea rezultatului.

2. Rotunjire. O sursă de numere aproximative este rotunjirea. Rotunjiți atât numerele aproximative, cât și cele exacte.

Rotunjirea unui număr dat la unele dintre cifrele sale este înlocuirea acestuia cu un număr nou, care se obține din cel dat prin eliminarea tuturor cifrelor sale scrise în dreapta cifrei acestei cifre, sau prin înlocuirea lor cu zerouri. Aceste zerouri sunt de obicei subliniate sau scrise mai mic. Pentru a asigura cea mai apropiată apropiere a numărului rotunjit de cel care este rotunjit, trebuie folosite următoarele reguli: pentru a rotunji numărul la unitatea unei anumite cifre, trebuie să eliminați toate cifrele după cifra acestei cifre și înlocuiți-le cu zerouri în numărul întreg. Aceasta ia în considerare următoarele:

1) dacă prima (stânga) dintre cifrele aruncate este mai mică de 5, atunci ultima cifră rămasă nu este modificată (rotunjirea în jos);

2) dacă prima cifră aruncată este mai mare de 5 sau egală cu 5, atunci ultima cifră rămasă este mărită cu unu (rotunjire în sus).

Să arătăm asta cu exemple. A rotunji:

a) până la zecimi de 12,34;

b) până la sutimi de 3,2465; 1038,785;

c) până la miimi de 3,4335.

d) până la 12375 mii; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Erori absolute și relative. Diferența dintre numărul exact și valoarea sa aproximativă se numește eroarea absolută a numărului aproximativ. De exemplu, dacă numărul exact 1,214 este rotunjit la zecimi, obținem un număr aproximativ de 1,2. În acest caz, eroarea absolută a numărului aproximativ 1,2 este 1,214 - 1,2, adică. 0,014.

Dar în majoritatea cazurilor valoare exacta valoarea considerată este necunoscută, dar doar aproximativă. Atunci eroarea absolută este, de asemenea, necunoscută. În aceste cazuri, indicați limita pe care nu o depășește. Acest număr se numește eroare absolută marginală. Ei spun că valoarea exactă a unui număr este egală cu valoarea sa aproximativă, cu o eroare mai mică decât eroarea de limită. De exemplu, numărul 23,71 este valoarea aproximativă a numărului 23,7125 cu o precizie de 0,01, deoarece eroarea de aproximare absolută este 0,0025 și mai mică de 0,01. Aici eroarea absolută la limită este egală cu 0,01 * .

Eroare absolută de limită a numărului aproximativ A notat cu simbolul Δ A. Înregistrare

X≈A(±Δ A)

trebuie înțeles astfel: valoarea exactă a cantității X este între A– Δ Ași A+ Δ A, care se numesc limitele inferioare și, respectiv, superioare. Xși notează NG X VG X.

De exemplu, dacă X≈ 2,3 (±0,1), apoi 2,2<X< 2,4.

În schimb, dacă 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Eroarea absolută sau marginală absolută nu caracterizează calitatea măsurării. Aceeași eroare absolută poate fi considerată semnificativă și nesemnificativă, în funcție de numărul care exprimă valoarea măsurată. De exemplu, dacă măsurăm distanța dintre două orașe cu o precizie de un kilometru, atunci o astfel de precizie este destul de suficientă pentru această schimbare, în timp ce, în același timp, la măsurarea distanței dintre două case de pe aceeași stradă, o astfel de precizie va fi inacceptabil. Prin urmare, acuratețea valorii aproximative a unei mărimi depinde nu numai de mărimea erorii absolute, ci și de valoarea mărimii măsurate. Prin urmare, măsura preciziei este eroarea relativă.

Eroarea relativă este raportul dintre eroarea absolută și valoarea numărului aproximativ. Raportul dintre eroarea absolută la limită și numărul aproximativ se numește eroare relativă la limită; denotă-l astfel: Erorile relative și relative la limită sunt de obicei exprimate ca procent. De exemplu, dacă măsurătorile arată că distanța Xîntre două puncte este mai mare de 12,3 km, dar mai mică de 12,7 km, atunci se ia ca valoare aproximativă media aritmetică a acestor două numere, adică. jumătatea lor, atunci eroarea absolută la graniță este egală cu jumătatea diferenței acestor numere. În acest caz X≈ 12,5 (±0,2). Aici, eroarea absolută la limită este de 0,2 km, iar relativă la limită

1) Împărțim imediat la, deoarece ambele numere sunt divizibile 100% cu:

2) Voi împărți la numerele mari rămase (e), deoarece sunt împărțite la fără rest (în același timp, nu voi descompune - este deja un divizor comun):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Voi pleca singur și voi începe să iau în considerare numerele și. Ambele numere sunt exact divizibile cu (se termină în cifre pare (în acest caz, prezentăm ca, dar pot fi împărțite cu)):

4) Lucrăm cu numere și. Au divizori comuni? Este la fel de ușor ca în pașii anteriori și nu poți spune, așa că îi vom descompune în factori simpli:

5) După cum putem vedea, am avut dreptate: și nu avem divizori comuni, iar acum trebuie să ne înmulțim.
GCD

Sarcina numărul 2. Găsiți GCD al numerelor 345 și 324

Nu pot găsi rapid cel puțin un divizor comun aici, așa că doar descompun în factori primi (cât mai puțini posibil):

Exact, GCD, și nu am verificat inițial criteriul de divizibilitate și, poate, nu ar trebui să fac atâtea acțiuni.

Dar ai verificat, nu?

După cum puteți vedea, este destul de ușor.

Cel mai mic multiplu comun (LCM) - economisește timp, ajută la rezolvarea problemelor în afara casetei

Să presupunem că aveți două numere - și. Care este cel mai mic număr care este divizibil cu fără urmă(adică complet)? E greu de imaginat? Iată un indiciu vizual pentru tine:

Îți amintești ce înseamnă scrisoarea? Așa este, doar numere întregi. Deci, care este cel mai mic număr care se potrivește cu x? :

În acest caz.

Din acest exemplu simplu decurg mai multe reguli.

Reguli pentru găsirea rapidă a NOC

Regula 1. Dacă unul dintre cele două numere naturale este divizibil cu un alt număr, atunci cel mai mare dintre aceste două numere este cel mai mic multiplu comun al lor.

Găsiți următoarele numere:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Desigur, ai făcut față cu ușurință acestei sarcini și ai primit răspunsurile - și.

Rețineți că în regulă vorbim despre DOUĂ numere, dacă sunt mai multe numere, atunci regula nu funcționează.

De exemplu, LCM (7;14;21) nu este egal cu 21, deoarece nu poate fi împărțit fără un rest la.

Regula 2. Dacă două (sau mai multe) numere sunt între prime, atunci cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul lor.

găsi NOC pentru următoarele numere:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

ai numarat? Iată răspunsurile - , ; .

După cum înțelegeți, nu este întotdeauna atât de ușor să luați și să luați același x, așa că pentru numere puțin mai complexe există următorul algoritm:

Să exersăm?

Găsește cel mai mic multiplu comun - LCM (345; 234)

Să defalcăm fiecare număr:

De ce am scris doar?

Amintiți-vă semnele de divizibilitate cu: divizibil cu (ultima cifră este pară) și suma cifrelor este divizibil cu.

În consecință, putem împărți imediat prin, scriindu-l ca.

Acum scriem cea mai lungă expansiune într-o linie - a doua:

Să adăugăm la el numerele din prima expansiune, care nu sunt în ceea ce am scris:

Notă: am scris totul, cu excepția faptului că îl avem deja.

Acum trebuie să înmulțim toate aceste numere!

Găsiți singur cel mai mic multiplu comun (LCM).

Ce răspunsuri ai primit?

Iată ce mi s-a întâmplat:

Cât timp ți-a luat să găsești NOC? Timpul meu este de 2 minute, chiar știu un truc, pe care vă sugerez să-l deschideți chiar acum!

Dacă sunteți foarte atent, atunci probabil ați observat că pentru numerele date am căutat deja GCDși ai putea lua factorizarea acestor numere din acel exemplu, simplificându-ți astfel sarcina, dar acest lucru este departe de tot.

Uită-te la poză, poate îți vor veni și alte gânduri:

Bine? Vă dau un indiciu: încercați să vă înmulțiți NOCși GCDîntre ele și notează toți factorii care vor fi la înmulțire. Ai reușit? Ar trebui să ajungi cu un lanț ca acesta:

Aruncați o privire mai atentă: comparați factorii cu modul în care sunt descompuse.

Ce concluzie poți trage din asta? Corect! Dacă înmulțim valorile NOCși GCDîntre ele, atunci obținem produsul acestor numere.

În consecință, având numere și semnificație GCD(sau NOC), noi putem gasi NOC(sau GCD) în felul următor:

1. Găsiți produsul numerelor:

2. Împărțim produsul rezultat la nostru GCD (6240; 6800) = 80:

Asta e tot.

Să scriem regula în formă generală:

Încerca să găsească GCD daca se stie ca:

Ai reușit? .

Numerele negative - „numere false” și recunoașterea lor de către omenire.

După cum ați înțeles deja, acestea sunt numere opuse celor naturale, adică:

S-ar părea că sunt atât de speciali?

Dar adevărul este că numerele negative și-au „câștigat” locul de drept în matematică până în secolul al XIX-lea (până în acel moment a existat o mare controversă dacă există sau nu).

Numărul negativ însuși a apărut din cauza unei astfel de operații cu numere naturale ca „scădere”.

Într-adevăr, scădeți din - acesta este un număr negativ. De aceea se numește adesea mulțimea numerelor negative „o extensie a mulțimii numerelor naturale”.

Numerele negative nu au fost recunoscute de oameni pentru o lungă perioadă de timp.

Deci, Egiptul Antic, Babilonul și Grecia Antică - luminile vremii lor, nu au recunoscut numerele negative, iar în cazul obținerii rădăcinilor negative în ecuație (de exemplu, așa cum avem noi), rădăcinile au fost respinse ca imposibile.

Pentru prima dată numerele negative au primit dreptul de a exista în China, iar apoi în secolul al VII-lea în India.

Ce părere ai despre această mărturisire?

Așa este, numerele negative au început să denote datorii (altfel – lipsa).

Se credea că numerele negative sunt o valoare temporară, care, ca urmare, se va schimba în pozitivă (adică banii vor fi în continuare returnați creditorului). Cu toate acestea, matematicianul indian Brahmagupta considera deja atunci numerele negative pe picior de egalitate cu cele pozitive.

În Europa, utilitatea numerelor negative, precum și faptul că pot denota datorii, a venit mult mai târziu, adică un mileniu.

Prima mențiune a fost văzută în 1202 în „Cartea Abacului” a lui Leonard de Pisa (spun imediat că autorul cărții nu are nicio legătură cu Turnul din Pisa, dar numerele Fibonacci sunt opera lui ( porecla lui Leonardo din Pisa este Fibonacci).

Deci, în secolul al XVII-lea, Pascal a crezut că.

Cum crezi că a justificat-o?

Așa e, „nimic nu poate fi mai puțin decât NIMIC”.

Un ecou al acelor timpuri rămâne faptul că un număr negativ și operația de scădere sunt notate cu același simbol - minus „-”. Și adevărat: . Numărul „ ” este pozitiv, din care se scade, sau negativ, căruia i se adaugă?... Ceva din seria „care vine primul: găina sau oul?” Iată un asemenea fel de filozofie matematică.

Numerele negative și-au asigurat dreptul de a exista odată cu apariția geometriei analitice, cu alte cuvinte, când matematicienii au introdus așa ceva ca o axă reală.

Din acest moment a venit egalitatea. Cu toate acestea, au existat încă mai multe întrebări decât răspunsuri, de exemplu:

proporţie

Această proporție se numește paradoxul Arno. Gândește-te la asta, ce este îndoielnic la asta?

Să vorbim împreună " " mai mult decât " " nu? Astfel, conform logicii, partea stângă a proporției ar trebui să fie mai mare decât partea dreaptă, dar sunt egale... Aici este paradoxul.

Drept urmare, matematicienii au fost de acord că Karl Gauss (da, da, acesta este cel care a considerat suma (sau) numerelor) în 1831 a pus capăt acesteia.

El a spus că numerele negative au aceleași drepturi ca și cele pozitive, iar faptul că nu se aplică tuturor lucrurilor nu înseamnă nimic, deoarece nici fracțiile nu se aplică la multe lucruri (nu se întâmplă ca un săpător să sape o groapă, nu puteți cumpăra un bilet la cinema etc.).

Matematicienii s-au calmat abia în secolul al XIX-lea, când teoria numerelor negative a fost creată de William Hamilton și Hermann Grassmann.

Atât de controversate sunt, aceste numere negative.

Apariția „golului” sau biografia lui zero.

La matematică, un număr special.

La prima vedere, acest lucru nu este nimic: adăugați, scădeți - nimic nu se va schimba, dar trebuie doar să-l atribuiți dreptului „”, iar numărul rezultat va fi de multe ori mai mare decât cel inițial.

Înmulțind cu zero, transformăm totul în nimic, dar nu putem împărți cu „nimic”. Într-un cuvânt, numărul magic)

Istoria lui zero este lungă și complicată.

O urmă de zero se găsește în scrierile chinezilor din 2000 d.Hr. și chiar mai devreme cu Maya. Prima utilizare a simbolului zero, așa cum este astăzi, a fost văzută printre astronomii greci.

Există multe versiuni ale motivului pentru care a fost aleasă o astfel de denumire „nimic”.

Unii istorici sunt înclinați să creadă că acesta este un omicron, adică. Prima literă a cuvântului grecesc pentru nimic este ouden. Potrivit unei alte versiuni, cuvântul „obol” (o monedă aproape deloc valoare) a dat viață simbolului zero.

Zero (sau zero) ca simbol matematic apare pentru prima dată printre indieni(rețineți că numerele negative au început să se „dezvolte” acolo).

Prima dovadă sigură a scrierii zero datează din 876, iar în ele „” este o componentă a numărului.

Zero a venit și în Europa cu întârziere - abia în 1600 și, la fel ca numerele negative, s-a confruntat cu rezistență (ce poți face, sunt europeni).

„Zero a fost adesea urât, temut mult timp și chiar interzis”— scrie matematicianul american Charles Seif.

Deci, sultanul turc Abdul-Hamid al II-lea la sfârșitul secolului al XIX-lea. le-a ordonat cenzorilor săi să șteargă formula de apă H2O din toate manualele de chimie, luând litera „O” drept zero și nu dorind ca inițialele lui să fie defăimate de apropierea de josnicul zero.

Pe Internet puteți găsi fraza: „Zero este cea mai puternică forță din Univers, poate face orice! Zero creează ordine în matematică și, de asemenea, aduce haos în ea. Punct absolut corect :)

Rezumatul secțiunii și formulele de bază

Setul de numere întregi este format din 3 părți:

• numere naturale (le vom analiza mai detaliat mai jos);
• numere opuse celor naturale;
• zero - " "

Se notează mulțimea numerelor întregi litera Z.

1. Numerele naturale

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim pentru a număra obiectele.

Se notează mulțimea numerelor naturale litera N.

În operațiunile cu numere întregi, veți avea nevoie de capacitatea de a găsi GCD și LCM.

Cel mai mare divizor comun (GCD)

Pentru a găsi NOD-ul aveți nevoie de:

1. Descompuneți numerele în factori primi (în numere care nu pot fi împărțite cu nimic altceva decât el însuși sau prin, de exemplu, etc.).
2. Notați factorii care fac parte din ambele numere.
3. Înmulțiți-le.

Cel mai mic multiplu comun (LCM)

Pentru a găsi NOC aveți nevoie de:

1. Factorizează numerele în factori primi (știi deja să faci asta foarte bine).
2. Scrieți factorii incluși în extinderea unuia dintre numere (este mai bine să luați cel mai lung lanț).
3. Adaugă la ei factorii lipsă din expansiunile numerelor rămase.
4. Aflați produsul factorilor rezultați.

2. Numerele negative

Acestea sunt numere care sunt opuse numerelor naturale, adică:

Acum vreau să aud de la tine...

Sper că ați apreciat „trucurile” super-utile ale acestei secțiuni și ați înțeles cum vă vor ajuta la examen.

Și mai important, în viață. Nu vorbesc despre asta, dar crede-mă, asta este. Abilitatea de a număra rapid și fără erori salvează în multe situații de viață.

Acum e rândul tău!

Scrieți, veți folosi metode de grupare, criterii de divizibilitate, GCD și LCM în calcule?

Poate le-ai mai folosit? Unde si cum?

Poate ai intrebari. Sau sugestii.

Scrieți în comentarii cum vă place articolul.

Și mult succes la examene!

Dacă adunăm numărul 0 la stânga unei serii de numere naturale, obținem o serie de numere întregi pozitive:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Numerele întregi negative

Să luăm în considerare un mic exemplu. Figura din stânga arată un termometru care arată o temperatură de 7 °C căldură. Dacă temperatura scade cu 4°C, termometrul va indica 3°C de căldură. O scădere a temperaturii corespunde unei acțiuni de scădere:

Notă: toate gradele sunt scrise cu litera C (Celsius), semnul gradului este separat de număr printr-un spațiu. De exemplu, 7 °C.

Dacă temperatura scade cu 7 °C, termometrul va indica 0 °C. O scădere a temperaturii corespunde unei acțiuni de scădere:

Dacă temperatura scade cu 8 °C, atunci termometrul va afișa -1 °C (1 °C de îngheț). Dar rezultatul scăderii 7 - 8 nu poate fi scris folosind numere naturale și zero.

Să ilustrăm scăderea pe o serie de numere întregi pozitive:

1) Numărăm 4 numere la stânga de la numărul 7 și obținem 3:

2) Numărăm 7 numere la stânga de la numărul 7 și obținem 0:

Este imposibil să numărați 8 numere într-o serie de numere întregi pozitive de la numărul 7 la stânga. Pentru a face acțiunea 7 - 8 fezabilă, extindem seria numerelor întregi pozitive. Pentru a face acest lucru, la stânga lui zero, scriem (de la dreapta la stânga) în ordine toate numerele naturale, adăugând la fiecare dintre ele un semn -, arătând că acest număr este la stânga lui zero.

Intrările -1, -2, -3, ... citesc minus 1 , minus 2 , minus 3 etc.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Se numește seria de numere rezultată lângă numere întregi. Punctele din stânga și dreapta din această intrare înseamnă că seria poate fi continuată la nesfârșit la dreapta și la stânga.

În dreapta numărului 0 din acest rând sunt numerele care sunt numite natural sau total pozitiv(pe scurt - pozitiv).

În stânga numărului 0 din acest rând sunt numerele care sunt numite total negativ(pe scurt - negativ).

Numărul 0 este un număr întreg, dar nu este nici pozitiv, nici negativ. Separă numerele pozitive și cele negative.

Prin urmare, o serie de numere întregi constă din numere întregi negative, zero și numere întregi pozitive.

Comparație între numere întregi

Comparați două numere întregi- înseamnă a afla care dintre ele este mai mare, care este mai mică sau a determina dacă numerele sunt egale.

Puteți compara numere întregi folosind un rând de numere întregi, deoarece numerele din acesta sunt aranjate de la cel mai mic la cel mai mare dacă vă deplasați de-a lungul rândului de la stânga la dreapta. Prin urmare, într-o serie de numere întregi, puteți înlocui virgulele cu un semn mai puțin decât:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Prin urmare, Dintre două numere întregi, cel din dreapta este cel mai mare, iar cel din stânga este cel mai mic., mijloace:

1) Orice număr pozitiv este mai mare decât zero și mai mare decât orice număr negativ:

1 > 0; 15 > -16

2) Orice număr negativ mai mic decât zero:

7 < 0; -357 < 0

3) Dintre cele două numere negative, cel care se află la dreapta în seria numerelor întregi este mai mare.

Există multe tipuri de numere, unul dintre ele este numerele întregi. Au apărut numerele întregi pentru a facilita numărarea nu numai în sens pozitiv, ci și în sens negativ.

Luați în considerare un exemplu:
Ziua afara erau 3 grade. Spre seară temperatura a scăzut cu 3 grade.
3-3=0
Afară erau 0 grade. Și noaptea temperatura a scăzut cu 4 grade și a început să se arate pe termometru -4 grade.
0-4=-4

O serie de numere întregi.

Nu putem descrie o astfel de problemă cu numere naturale; vom considera această problemă pe o dreaptă de coordonate.

Avem o serie de numere:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Această serie de numere se numește lângă numere întregi.

Numerele întregi pozitive. Numerele negative întregi.

O serie de numere întregi este formată din numere pozitive și negative. La dreapta lui zero sunt numere naturale sau sunt numite și ele numere întregi pozitive. Și la stânga lui zero mergi numere întregi negative.

Zero nu este nici pozitiv, nici negativ. Este granița dintre numerele pozitive și cele negative.

este un set de numere format din numere naturale, numere întregi negative și zero.

O serie de numere întregi în direcții pozitive și negative este mulţime nesfârşită.

Dacă luăm oricare două numere întregi, atunci numerele dintre aceste numere întregi vor fi numite set final.

De exemplu:
Să luăm numere întregi de la -2 la 4. Toate numerele dintre aceste numere sunt incluse în mulțimea finită. Setul nostru finit de numere arată astfel:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Numerele naturale sunt notate cu litera latină N.
Numerele întregi sunt notate cu litera latină Z. Întregul set de numere naturale și numere întregi poate fi reprezentat în figură.


numere întregi nepozitive cu alte cuvinte, sunt numere întregi negative.
Numerele întregi nenegative sunt numere întregi pozitive.