Bugaev Nikolaj Vasilijevič. Bugaev, nikolai vasilievich Naučna aktivnost u oblasti filozofije

Nikolaj Vasiljevič Bugajev(1837-1903) - ruski matematičar i filozof. dopisni član Carske Petrogradske akademije nauka (1879); počasni profesor matematike na Carskom moskovskom univerzitetu, predsednik Moskovskog matematičkog društva (1891-1903), najistaknutiji predstavnik moskovske filozofsko-matematičke škole. Otac pesnika Andreja Belog.

Biografija

Nikolaj Bugajev je rođen u provinciji Tbilisi u porodici vojnog doktora kavkaskih trupa. Godine 1847. otac ga je poslao u Moskvu da uči u gimnaziji; studirao je u Prvoj moskovskoj gimnaziji (prema drugim izvorima - u Drugoj moskovskoj gimnaziji), već od četvrtog razreda nije dobijao ništa od kuće i živio je isključivo od onoga što je zarađivao od časova; srednju školu je završio sa zlatnom medaljom.

Godine 1855. upisao je Fizičko-matematički fakultet Moskovskog univerziteta. Među Bugajevljevim nastavnicima bili su profesori N. Ye. Zernov, N. D. Brashman, A. Yu. Davidov. Poznato je da se nakon predavanja Bugajev bavio samoobrazovanjem, čitajući radove iz filozofije i političke ekonomije kod kuće.

Godine 1859., nakon što je diplomirao na univerzitetu kao kandidat, Bugajev je zamoljen da ostane na univerzitetu kako bi se pripremio za profesora, ali je on odbio, odlučivši se za vojnu karijeru. Nakon što je stupio u službu kao podoficir u grenadirski inženjerijski bataljon sa dodjelom borbenog inženjerskog bataljona u lajb-gardu, istovremeno je primljen kao eksterni učenik u Nikolajevsku inžinjerijsku školu u Sankt Peterburgu. Godine 1860. Bugajev je, nakon položenog ispita, unapređen u vojnog inženjera-zastavnika i nastavio studije na Nikolajevskoj inženjerskoj akademiji, gdje je slušao predavanja matematičara M.V. Ostrogradskog. Školovanje na akademiji je prekinuto nakon što su, u znak protesta protiv izbacivanja jednog od zastavnika, mnogi njegovi drugovi, među kojima je bio i Bugajev, podnijeli zahtjeve za njihovo isključenje. Molbe su odobrene, Bugajev je upućen u inženjerijski bataljon. Ubrzo je napustio vojnu službu i 1861. godine, vrativši se u Moskvu, počeo se pripremati za odbranu disertacije.

Godine 1863. Bugajev je odbranio magistarski rad na temu „Konvergencija beskonačnih nizova u njihovim Vanjski izgled“ Nakon čega je dobio službeni put u inostranstvo na dvije i po godine kako bi se pripremio za zvanje profesora. Među onima čija je predavanja slušao u Njemačkoj i Francuskoj ističu se Joseph Bertrand (1822-1900), Karl Weierstrass (1815-1897), Jean Dugamel (1797-1872), Ernst Kummer (1810-1893), Gabriel Lame ( 1795 -1870), Joseph Liouville (1809-1882), Joseph Serre (1819-1885), Michel Chasle (1793-1880). Bugajev je među njima izdvojio Ernsta Kumera; Nikolaj Vasiljevič je pohađao predavanja iz analitičke mehanike, teorije brojeva, teorije površina i teorije hipergeometrijskih redova.

Godine 1865. Bugajev se vraća u Moskvu i biva izabran za docenta na katedri za čistu matematiku. Ovom periodu pripada i njegovo aktivno učešće u radu Moskovskog matematičkog društva, organizovanog u vreme njegovog odlaska.

U februaru 1866. Bugajev je odbranio doktorsku disertaciju o nizu povezanih sa bazom prirodnih logaritama e („Numerički identiteti povezani sa svojstvima simbola E“) i u januaru 1867. postao je izvanredni profesor na Moskovskom univerzitetu, a decembra 1869. - običan profesor... Prvo je čitao teoriju brojeva, a kasnije račun konačnih razlika, račun varijacija, teoriju eliptičkih funkcija, teoriju funkcija kompleksne varijable. Za to vrijeme bio je pomoćni predsjednik Društva za širenje tehničkog znanja.

Godine 1879. Bugajev je izabran za dopisnog člana Carske Petrogradske akademije nauka.

Godine 1886. Bugajev je postao potpredsjednik Moskovskog matematičkog društva, a od 1891. do kraja života - predsjednik Društva.

N.V. Bugaev je dva puta bio dekan Fakulteta fizike i matematike na univerzitetu: 1887-1891 i 1893-1897.

Naučna djelatnost u oblasti matematike

Istraživanja su uglavnom u oblastima analize i teorije brojeva. Dokazao pretpostavke koje je formulisao Liouville. Najvažniji Bugajevljev rad o teoriji brojeva zasnivao se na analogiji između određenih operacija u teoriji brojeva i operacija diferencijacije i integracije u analizi. Konstruisao sistematsku teoriju diskontinuiranih funkcija.

Nikolaj Vasiljevič Bugajev(1837-1903) - ruski matematičar i filozof. dopisni član Carske Petrogradske akademije nauka (); Počasni profesor matematike na Carskom Moskovskom univerzitetu, predsednik Moskovskog matematičkog društva (-), najistaknutiji predstavnik Moskovske filozofsko-matematičke škole. Otac pesnika Andreja Belog.

Collegiate YouTube

1 / 3

✪ G.V. Leibniz. O dubokom poreklu stvari (audio knjiga)

✪ Leonid Podimov - Kako razlikovati nauku od pseudonauke?

✪ 22.12.2017 Konstantin Root - Trčanje: od mitova do nauke o podacima

Titlovi

Gottfried Wilhelm Leibniz. O DUBOKOM POREKLU STVARI (De rerum originatione radicali). Bilješka. Djelo se nalazi u izdanju Gerhardta u 7. tomu. Datirano od strane samog autora 23. novembra 1697. godine i nije objavljeno za njegovog života. Sadrži ideje razvijene u kasnijoj Teodikiji. Prijevod je preuzet iz izdanja V.P. Preobraženskog (i pripada njemu). Kraj napomene. O DUBOKOM POREKLU STVARI Pored sveta ili skupa (agregatuma) konačnih stvari, postoji izvesno Jedno Biće koje vlada nad njima (Unum Dominans) ne samo onako kako je moja duša u meni, ili, tačnije, moja "Ja" je u mom telu, ali iu mnogo višem smislu. Ovo Jedno Biće, gospodar univerzuma, ne samo da upravlja svetom, već ga i stvara i uređuje; ona je viša od svijeta i, da tako kažemo, nadsvijeta, i na osnovu toga konstituiše poslednji razlog stvari. Jer nemoguće je pronaći dovoljnu osnovu za postojanje, ni u jednoj pojedinačnoj stvari, ni u njihovoj zbirci, ni u agregatu (seriji). Pretpostavimo da postoji jedna vječna knjiga osnovnih principa geometrije i da bi druge predstavljale niz uzastopnih lista iz nje; Očigledno je da iako se svaka knjiga mogla pratiti do prethodne, koja joj je poslužila kao uzor, međutim, koliko god knjiga uzeli, idući od sljedećih do prethodnih, nikada nećemo doći do potpune i savršeno objašnjenje ove knjige, jer imamo. Uvijek će se postavljati pitanje zašto takve knjige postoje od vijeka, odnosno zašto baš te knjige i kako su tačno napisane. Ali ono što važi za knjige važi i za različite države sveta; Uprkos poznatim zakonima transformacije, svako naredno stanje je na neki način samo kopija prethodnog i, bez obzira na koje prethodno stanje se uzdignemo, u njemu nikada nećemo naći savršeno objašnjenje, odnosno razlog zašto postoji poznati svijet i zašto je to ovaj svijet, a ne drugi. Može se pretpostaviti proizvoljno vječno postojanje svijeta; ali budući da u njemu pretpostavljamo samo sekvencijalni niz stanja i nijedno od njih ne sadrži dovoljnu osnovu za to, a bilo koji broj svjetova neće pomoći da se to ni najmanje objasni, očito je da se moraju tražiti temelji svijeta izvan svijeta. Jer jasno je da čak i vječne stvari, čak i ako nemaju uzrok, ipak imaju neku osnovu: u nepromjenjivim stvarima to je sama njihova nužnost ili njihova suština; u nizu stvari koje se mijenjaju, pod pretpostavkom da se one vječno zamjenjuju jedna drugu, ova osnova će se sastojati (kao što ćemo kasnije vidjeti) u prevlasti sklonosti, gdje razlozi ne primoravaju apsolutnu, ili metafizičku, nužnost (koja bi impliciraju suprotno), ali naginju. Iz ovoga očito proizlazi da se, čak i uz pretpostavku vječnosti svijeta, ne može izbjeći posljednji nadsvjetski temelj stvari, odnosno Bog. Dakle, temelji svijeta sadržani su u nečemu izvan svijeta, različitom od povezanosti stanja ili niza stvari, čija ukupnost čini svijet. Dakle, od fizičke ili hipotetičke nužnosti, koja određuje naknadno stanje svijeta ovisno o prethodnom, treba prijeći na nešto što bi imalo apsolutnu, ili metafizičku, nužnost što ne bi dopuštalo daljnje objašnjenje. Zaista, stvarni svijet je neophodan samo fizički, ili hipotetički, a ne apsolutno ili metafizički. Zaista, pošto je on ono što jeste, onda stvari moraju biti takve kakve jesu. Ali kako se posljednji uzrok mora sastojati u nečemu što posjeduje metafizičku nužnost i kako osnova postojanja može proizaći samo iz nečega postojećeg, onda mora postojati Jedno Biće s metafizičkom nužnošću, ili takvo, čija je suština postojanje; i, prema tome, postoji nešto drugo osim mnoštva bića, ili svijeta, koji, kao što smo prepoznali i dokazali, ne sadrži metafizičku nužnost. Ali da bismo nešto jasnije pokazali kako iz vječnih, ili suštinskih, i metafizičkih istina izviru vremenske, slučajne ili fizičke istine, moramo priznati da već zato što postoji nešto, a ne ništa, u stvarima mogućim, tj. u samoj mogućnosti ili suštini, postoji zahtev (exigentia) postojanja, takoreći, neki tvrde da postoji; jednom rečju, sama suština teži egzistenciji. Iz čega proizlazi da sve moguće, odnosno izražavajući suštinu ili moguću stvarnost, stvari s istim pravom teže postojanju, ovisno o količini svoje stvarne suštine ili prema stepenu savršenstva koji sadrže, jer savršenstvo nije ništa. drugo, kao iznos entiteta. Otuda je sasvim očito da među beskrajnim kombinacijama mogućih stvari i mogućih nizova postoji jedna u kojoj je najveća količina suštine ili mogućnosti svedena na biće. Zaista, u stvarima uvijek postoji neki određujući princip zasnovan na principu najvećeg i najmanjeg, ili na činjenici da se najveći rezultat postiže uz najmanju cijenu. U ovom slučaju, mjesto, vrijeme – jednom riječju, sposobnost opažanja ili kapacitet svijeta – mogu se smatrati materijalom koji je najpogodniji za izgradnju svijeta, dok raznolikost oblika odgovara pogodnosti građevine, broju i milost stanova. Ovdje postoji određena sličnost sa nekim igrama u kojima je potrebno zauzeti sva mjesta na tabli prema određenim zakonima. Uz nedostatak spretnosti, biće nezgodnih mjesta i morat ćete ostaviti mnogo više praznih mjesta nego što bi to bilo moguće ili poželjno; a ipak postoji vrlo jednostavan način da zauzmete što više prostora na ovoj ploči. Dakle, baš kao da treba da izgradimo trougao, koji nije definisan nikakvim drugim karakteristikama, onda sledi da on mora biti jednakostraničan; a ako treba ići od jedne tačke do druge, a smjer linije nije definiran, tada se bira najlakši i najkraći put; na isti način, kada se jednom prizna da biće ima prednost u odnosu na nosioca, tj. Odnosno, da postoji razlog zašto nešto postoji, a ne ništa, i da treba ići od mogućnosti do stvarnosti, onda će iz ovoga, čak i u nedostatku bilo kakve druge definicije, slijediti da količina postojanja treba biti kao što veći za dati kapacitet prostora i vremena (ili za dati mogući poredak postojanja), baš kao što bi kvadrati trebali biti tako smješteni na datoj površini tako da ih sadrži najveći broj. Iz ovoga postaje iznenađujuće jasno kako se u početnom formiranju stvari može primijeniti neka vrsta Božanske matematike, ili metafizičkog mehanizma, i kako se odvija princip najvećeg broja egzistencija. To se dešava na isti način kao što je između svih uglova u geometriji određeni ugao prava linija i tečnosti, smeštene u različitim medijima, poprimaju najprometniji ili sferični oblik; ili, još bolje (kao u običnoj mehanici), kada se nekoliko teških tijela bori među sobom, kretanje odavde kao rezultat sadrži najveći pad. Jer, kao što sve moguće stvari s istim pravom teže postojanju proporcionalno stepenu njihove stvarnosti, tako i sva teška tijela jednako teže da padaju proporcionalno svojoj gravitaciji, a, s jedne strane, postoji kretanje koje sadrži najveća sila pada, pa, s druge strane, postoji svijet u kojem se ostvaruje najveći dio mogućih stvari. Ovo pokazuje kako fizička nužnost slijedi iz metafizičke; jer, iako se svijet ne može nazvati nužnim metafizički u smislu da bi njegova suprotnost sadržavala kontradikciju ili logički apsurd, on je ipak neophodan fizički ili na takav način određen da njegova suprotnost sadrži nesavršenost ili moralni apsurd. I kao što je mogućnost početak (principium) suštine, tako je savršenstvo (ili stepen suštine), koje se sastoji u zajedničkoj mogućnosti najvećeg broja stvari, početak postojanja. Iz ovoga je jasno kako je Stvoritelj svijeta slobodan, iako sve čini prema osnovama koje ga određuju: djeluje po principu mudrosti ili savršenstva. Zaista, ravnodušnost dolazi iz neznanja, a što je mudriji, to ga više određuje viši stepen savršenstva. Ali, reći će mi, ma koliko genijalno izgledalo ovo poređenje nekog određujućeg metafizičkog mehanizma sa mehanizmom teških tijela, griješi se, međutim, u činjenici da teška tijela proizvode stvarno djelovanje, dok mogućnosti i entiteti koji prethode postojanju ili su izvan njega ne predstavljaju ništa drugo do izume, ili fikcije, u kojima je nemoguće tražiti osnovu postojanja. Odgovorit ću vam da ni ova bića, ni ove vječne istine, čiji predmet čine, nisu fikcije, već postoje u određenom polju ideja, da tako kažem, to jest u samom Bogu, izvoru svake suštine i postojanje svih stvari. A postojanje realnog niza stvari samo po sebi dovoljno pokazuje da moja tvrdnja nije nimalo proizvoljna. Budući da, uostalom, ovaj niz sadrži u sebi temelj svog postojanja (kao što smo gore pokazali) i budući da se taj temelj mora tražiti u metafizičkim nužnostima, ili vječnim istinama, i budući da, konačno, ono što postoji može proizaći samo iz onoga što postojale (kao što smo već napomenuli), onda slijedi da vječne istine imaju svoje postojanje u nekom subjektu, apsolutno i metafizički neophodnom, odnosno u Bogu, kroz koji se ostvaruju, inače bi (barbarski rečeno, ali grafički) ostale samo imaginarni. Zaista, primjećujemo da se sve na svijetu događa ne samo po geometrijskim zakonima, već i po metafizičkim zakonima. vječne istine , odnosno ne samo nužnostima materije, već i nužnošću forme. I to je istina ne samo općenito u odnosu na princip koji smo razmatrali, prema kojem je postojanje svijeta poželjnije od njegovog nepostojanja, a postojanje u ovom obliku bolje od drugog postojanja – princip koji se može sastojati samo od tendencija od mogućeg do postojanja, ali čak i prelazeći na pojedinosti i detalje, vidjet ćemo da se metafizički zakoni uzroka, sile, djelovanja primjenjuju u cijeloj prirodi u zadivljujućem redu (ratione) i prevladavaju nad čisto geometrijskim zakonima materije, kao što sam otkrio kada sam objašnjavao zakone kretanja; ovo me je toliko začudilo da sam, kao što sam na drugom mestu istakao, bio primoran da napustim zakon geometrijskog sastava sile koji sam branio u mladosti, kada sam bio materijalističkiji. Dakle, našli smo posljednji temelj i suštine i postojanja u Jednom Biću, koje nužno mora biti veće i više od samog svijeta, i prije njega, budući da iz njega crpe svoju stvarnost ne samo one egzistencije koje ovaj mir, već čak i sve moguće (possibilia). A ovaj početak stvari može se tražiti samo u jednom izvoru s obzirom na vezu koju sve stvari imaju jedna s drugom. Očigledno je da sve postojeće stvari kontinuirano izviru iz ovog izvora, da su i bile njegova djela, jer je razumljivo zašto je upravo ovo stanje svijeta, a ne neko drugo, jučerašnje, a ne današnje, poteklo iz samog svijeta. S istom očiglednošću može se razumjeti kako Bog djeluje fizički i slobodno, kako je u njemu sadržan djelatni i konačni uzrok stvari i kako otkriva ne samo veličinu i moć u izgradnji svjetskog mehanizma, već i svoju dobrotu i mudrost općenito, stvaranje. A da ne bismo pomislili da mi ovde brkamo moralno savršenstvo, ili dobrotu, sa metafizičkim savršenstvom, ili veličinom, i da ne bi odbacili prvo, priznajući ovo drugo, moramo znati da iz onoga što smo rekli sledi da svijet je savršen ne samo fizički ili, možda, metafizički (jer veliki broj proizvedenih stvari sadrži najveću moguću količinu stvarnosti), već i moralno, u smislu da je za same duhove moralno savršenstvo fizičko savršenstvo. Dakle, svijet predstavlja ne samo najčudesniju mašinu, već – budući da se sastoji od duhova – i najbolje stanje, u kojem je osigurano svo moguće blaženstvo i sva moguća radost koji čine njihovo fizičko savršenstvo. Ali, reći će mi, u ovom svijetu se događa suprotno: dobri ljudi su često vrlo nesretni, a o životinjama da i ne govorimo, nedužni ljudi su opterećeni nesrećom i umiru u mukama; konačno, svijet, posebno ako obratimo pažnju na život ljudske rase, više liči na neuređeni haos nego na harmonično djelo najviše mudrosti. Priznajem da se tako na prvi pogled može činiti, ali ako se zagledate dublje u stvari, onda se a priori, iz razloga koje smo naveli, pokazalo da treba pretpostaviti suprotno, odnosno da sve stvari, a time i duhovi , dostići najviši stepen mogućeg savršenstva... Zaista, ne treba donositi presude bez razmatranja cijelog zakona, kako kažu pravnici. Znamo samo vrlo mali dio vječnosti koji se proteže u beskonačnost; vrlo je malo - znati nekoliko hiljada godina o kojima nam je legenda sačuvala istorija. Pa ipak, s tako malo iskustva, usuđujemo se suditi o beskonačnom i vječnom, poput ljudi rođenih i odgajanih u zatvoru, ili bolje reći, u sarmatskim podzemnim rudnicima soli, koji vjeruju da na svijetu nema druge svjetlosti. osim lampe, slabe, čija je svjetlost jedva dovoljna da im pokaže put. Pogledajmo lijepu sliku i zatvorimo je tako da bude vidljiv njen najmanji dio; ispitajući ga što je moguće pažljivije i pažljivije, videćemo samo nekakvu mešavinu boja, skicirane neselektivno i bez ikakve umetnosti. Ali ako, skinuvši veo, pogledamo sliku iz odgovarajuće tačke gledišta, vidjet ćemo da je ono što se činilo nekako skiciranim na platnu izveo tvorac ovog djela sa velikom umjetnošću. Ono što važi za viziju u slikarstvu, važi i za sluh u muzici. Talentovani kompozitori često miješaju disonance s akordima kako bi uzbudili i, da tako kažem, iznervirali slušaoca, koji nakon nekog bolnog stresa sa tim većim zadovoljstvom osjeća da je sve u redu. Isto tako, zadovoljni smo kada smo izloženi manjim opasnostima ili manjim nesrećama, bilo zbog toga što smo zadovoljni svešću o svojoj snazi ​​ili srećom, ili zbog osećaja ponosa; na isti način, nalazimo zadovoljstvo u takvim strašnim spektaklima kao što su ples na konopcu ili salto; zabavljeni, skoro smo pustili djecu iz ruku, pretvarajući se da ćemo ih baciti daleko od sebe, kao majmun koji je odveo Christierna, kralja Danske dok je još bio dijete i ležao u pelenama, nosio ga do samog vrha krova i, plašeći sve, odneo ga, kao u šali, zdravog i zdravog do kolevke. Po istom principu, nije mudro stalno jesti slatku hranu; s njima je potrebno pomiješati ljute, kisele, pa čak i gorke začine koji podstiču okus. Ko nije okusio gorko, ne zaslužuje slatkiše, a neće ih ni cijeniti. Sam zakon zadovoljstva je da zadovoljstvo ne bi trebalo da bude monotono, jer u drugom slučaju izaziva gađenje, ne zadovoljavajući nas, već nas ostavlja ravnodušnim. Kada kažemo da se jedan dio može uznemiriti a da se ne naruši opći sklad, onda to ne treba shvatiti u smislu da se pojedini dijelovi ne uzimaju u obzir i da je dovoljno da svijet u cjelini bude savršen sam po sebi, barem je ljudska rasa bila nesrećna i u svemiru nije bilo brige za pravdu i za našu sudbinu, - tako misle neki, ne baš razumno prosuđujući sveukupnost stvari. Jer, kao što se u dobro uređenoj državi, koliko je to moguće, vodi briga za pojedince, tako ni univerzum ne može biti savršen ako se u njemu, uz održavanje opšte harmonije, ne poštuju privatni interesi. I u tom pogledu nije bilo moguće uspostaviti bolje pravilo od zakona koji tvrdi da svako treba da učestvuje u savršenstvu svemira i sopstvenoj sreći, srazmerno njegovoj vrlini i dobru težnji ka opštem dobru koje ga nadahnjuje, tj. , ispunjenje zapovijesti milosrđa i ljubavi prema Bogu – ono što samo čini, po mišljenju najmudrijih teologa, snagu i moć kršćanske religije. I ne bi trebalo izgledati iznenađujuće da duhovi imaju tako veliko mjesto u svemiru. Na kraju krajeva, oni odražavaju najvjerniju sliku najvišeg Stvoritelja; između njih i njega ne postoji samo, kao i u svemu drugome, odnos mašine prema gospodaru, već i odnos građanina prema suverenu; moraju postojati sve dok postoji univerzum; oni na neki način izražavaju i koncentrišu sve u sebi, tako da se za duhove može reći da su dijelovi koji sadrže cjelinu (totales partes). Što se tiče nedaća koje su zadesile dobre ljude, sa sigurnošću se može reći da se u konačnici kroz njih postiže još veće dobro; i to je istina ne samo u teološkom, već i u fizičkom smislu. Zrno bačeno u zemlju pati prije nego što urodi plodom. I može se tvrditi da su katastrofe koje su privremeno bolne na kraju korisne, jer su najkraći putevi do savršenstva. Dakle, u fizici se tekućine koje sporije fermentiraju ne pročišćavaju tako brzo kao one koje jačom fermentacijom izbacuju većom snagom poznate dijelove i stoga prije dolaze u svoj pravi oblik. O tome možemo reći da se, da bi se skočilo dalje, mora odmaknuti. Dakle, svu ovu poziciju treba smatrati ne samo prijatnom i utješnom, već i potpuno istinitom. I općenito, u svemiru nema ničeg istinitijeg od sreće, ništa blaženije i ugodnije od istine. Da bi se upotpunila ljepota i opće savršenstvo božanskih tvorevina, mora se priznati da postoji određeni kontinuirani i slobodan napredak u cijelom svemiru (Universi), koji sve više promovira kulturu (cultum). Dakle, civilizacija (kultura) svakim danom pokriva sve veći dio naše zemlje. I mada je istina da neki njeni delovi divljaju ili su uništeni i potisnuti, ali to se mora prihvatiti kako smo upravo protumačili nedaće, tj. da ovi padovi i padovi pogoduju višoj svrsi, na isti način na koji izvlačimo određenu korist od samog gubitka. Na mogući prigovor da bi svijet odavno postao raj, lako je odgovoriti. Iako su mnoga stvorenja već dostigla savršenstvo, ali iz činjenice da je kontinuirano djeljivo do beskonačnosti, proizlazi da u beskrajnoj dubini stvari uvijek postoje dijelovi kao da spavaju, koji bi se trebali probuditi, razviti, poboljšati i, da tako kažem, podići na viši nivo savršenstva i kulture. Prema tome, nema ograničenja za napredak.

Biografija

Nikolaj Bugajev rođen je u provinciji Tbilisi u porodici vojnog doktora kavkaskih trupa. Godine 1847. otac ga je poslao u Moskvu da uči u gimnaziji; studirao je u Prvoj moskovskoj gimnaziji (prema drugim izvorima - u Drugoj moskovskoj gimnaziji), već od četvrtog razreda nije dobijao ništa od kuće i živio je isključivo od onoga što je zarađivao od časova. Sa zlatnom medaljom završio je 1. moskovsku gimnaziju 1855. godine.

U februaru 1866. Bugajev je odbranio doktorsku disertaciju o nizu povezanih sa bazom prirodnih logaritama („Numerički identiteti povezani sa svojstvima simbola E“) i januara 1867. postao izvanredni profesor na Moskovskom univerzitetu, a decembra 1869. običan profesor. Prvo je čitao teoriju brojeva, a kasnije račun konačnih razlika, račun varijacija, teoriju eliptičkih funkcija, teoriju funkcija kompleksne varijable. Za to vrijeme bio je pomoćni predsjednik Društva za širenje tehničkog znanja.

N.V. Bugaev je dva puta bio dekan Fakulteta fizike i matematike na univerzitetu: 1887-1891 i 1893-1897.

Moskovsko matematičko društvo

Godine 1863-1865. Bugajev je bio u Evropi. U to vreme u Moskvi, u septembru 1864. godine, nastalo je Moskovsko matematičko društvo – prvo kao naučni krug nastavnika matematike (uglavnom sa Moskovskog univerziteta), udruženih oko profesora Nikolaja Dmitrijeviča Brašmana. Vrativši se u Moskvu, Bugaev je aktivno učestvovao u tome naučni rad Društvo. Početni cilj društva bio je da se kroz originalne sažetke međusobno upoznaju sa novim radovima iz različitih oblasti matematike i srodnih nauka – kako svojih tako i drugih naučnika; ali već u januaru 1866. godine, kada je podnet zahtev za zvanično odobrenje Društva, u njegovom statutu je zabeležen mnogo ambiciozniji cilj: „Moskovsko matematičko društvo se osniva sa ciljem da unapredi razvoj matematičkih nauka u Rusiji. " Društvo je zvanično odobreno u januaru 1867.

Bugajev je do svoje smrti bio aktivni zaposlenik Društva, bio je član njegovog biroa i obavljao je dužnost sekretara. Od 1886. godine, nakon Davidovljeve smrti, Vasilij Jakovljevič Cinger (1836-1907) izabran je za predsjednika Moskovskog matematičkog društva, a Bugajev za potpredsjednika. Godine 1891, nakon što je Zinger zatražio ostavku iz zdravstvenih razloga, Bugajev je izabran za predsjednika Društva; Nikolaj Vasiljevič je ovu dužnost obavljao do kraja svojih dana.

Za objavljivanje izvještaja pročitanih na skupovima organizovan je časopis „Matematički zbornik“, čiji je prvi broj izašao 1866. godine; u njemu je štampana većina Bugajevljevih dela.

Naučna djelatnost u oblasti filozofije

Filozofija Bugajev je bio aktivno uključen u studentskim godinama. Tada ga je zanimala mogućnost pomirenja idealizma sa realizmom, rekao je da je "sve relativno i samo u datim uslovima postaje apsolutno".

Kasnije su Bugajeva privukle ideje pozitivizma, ali se na kraju udaljio od njih.

Na sastanku Moskovskog matematičkog društva u martu 1904., posvećenom uspomeni na Bugajeva, profesor filozofije Lev Mihajlovič Lopatin (1855-1920) je u svom govoru rekao da je Nikolaj Bugajev „prema unutrašnjem raspoloženju svog uma, prema njegovao težnje svog duha... bio je isto toliko filozof, kao i matematičar." U središtu Bugajevljevog filozofskog pogleda nalazi se (prema Lopatinu) kreativno prerađen koncept njemačkog matematičara i filozofa Gottfrieda Leibniza (1646-1716) - monada. Prema Leibnizu, svijet se sastoji od monada - mentalno aktivnih supstanci koje su među sobom u odnosu na unaprijed uspostavljenu harmoniju. Pod monadom Bugajev razumije "nezavisnu i nezavisnu individuu ... živi element ..." - živi, ​​budući da ima psihički sadržaj, čija je suština postojanje monade za sebe. Za Bugajeva je monada onaj jedini element koji je osnovni za proučavanje, budući da je monada „cjelina, nedjeljiva, jedinstvena, nepromjenjiva i ravnopravna početak sa svim mogućim odnosima prema drugim monadama i prema samoj sebi“, odnosno „ono što u generalno, određeni broj promjena ostaje nepromijenjen." Bugajev u svojim radovima istražuje svojstva monada, nudi neke metode za analizu monada, ukazuje na neke od zakona svojstvenih monadama.

Ko smo, kakav položaj zauzimamo i zauzimamo u svijetu, u kakvom smo kontaktu sa okolinom, koje fizičke i duhovne funkcije, sredstva i metode možemo imati za svoje zadatke, ciljeve i djela u budućnosti - ova pitanja zahtijevaju za njihovo rešenje pre svega, tačni elementarni principi, čijem su potkrepljivanju mnogi osnivači Moskovskog matematičkog društva, uključujući Nikolaja Vasiljeviča, ceo svoj život posvetili radu. Oni su dali duboko, mudro, pobožno, pokorno stvari Stvoritelja, naučno, praktično i filozofsko objašnjenje ovih principa, koji su abeceda mudraca.
Neka cijeli savez osnivača Moskovskog matematičkog društva bude zauvijek u sjećanju, a ime Nikolaja Vasiljeviča Bugajeva neka bude nezaboravno.

Naučni radovi

Naslovi Bugajevljevih radova dati su u skladu sa spiskom objavljenim u časopisu "Matematički zbornik" za 1905. godinu. Neka od ovih djela u članku iz Enciklopedijskog rječnika Brockhausa i Efrona posvećenog Bugajevu imaju malo drugačija imena.

Bavi se matematikom:

• Vodič za aritmetiku. Cjelobrojna aritmetika.
• Vodič za aritmetiku. Razlomka aritmetike.
• Knjiga zadataka o cjelobrojnoj aritmetici.
• Knjiga o aritmetici razlomaka.
• Osnovna algebra.
• Pitanja za algebru.
• Početna geometrija. Planimetrija.
• Početna geometrija. Stereometrija.
• Sergej Aleksejevič Usov. // Izvještaj Moskovskog univerziteta. - 1887.
• Dokaz Cauchyjeve teoreme. // Bilten matematičkih nauka.
• Dokaz Wilsonove teoreme. // Bilten matematičkih nauka.
• Napomene o jednom radu više Serre algebre. // Bilten matematičkih nauka.
• Racionalne funkcije koje izražavaju dva korijena kubične jednadžbe u terminima trećeg. // Bilten matematičkih nauka.
• Grafički način za crtanje tangente na krivu u ravnini. // Bilten matematičkih nauka.
• Rješenje jednačina 4. stepena. // Bilten matematičkih nauka.
• Integracija racionalnih razlomaka bez dekompozicije. // Bilten matematičkih nauka.
• Napomena o teoriji jednakih korijena. // Bilten matematičkih nauka.
• O Popperovom pravilu konvergencije. // Matematička zbirka. - tom 2.
• Konvergencija beskonačnih nizova u njihovom izgledu.
• Numerički identiteti povezani sa svojstvima simbola E... // Matematička zbirka. - tom 1.
• Doktrina numeričkih derivata. // Matematička zbirka. - tt. 5, 6.
• Neke primjene teorije eliptičkih funkcija na teoriju diskontinuiranih funkcija. // Matematička zbirka. - tt. 11, 12.
• Opće osnove obračuna Eφx sa jednom nezavisnom promenljivom. // Matematička zbirka. - tt. 12, 13.
• Uvod u teoriju brojeva. // Naučne beleške Moskovskog univerziteta.
• Integrabilni oblici diferencijalnih jednačina. // Matematička zbirka. - v. 4.
• Neke posebne teoreme za numeričke funkcije. // Matematička zbirka. - tom 3.
• Diferencijalne jednadžbe 1. reda. // Matematička zbirka. - tom 3.
• Opća teorema teorije brojeva sa jednom proizvoljnom funkcijom. // Matematička zbirka. - tom 2.
• Ojlerova teorema o politopima. Svojstva ravne geometrijske mreže. // Matematička zbirka. - tom 2.
• Neka pitanja numeričke algebre. // Matematička zbirka. - v. 7.
• Numeričke jednačine drugog stepena. // Matematička zbirka. - v. 8.
• Teoriji djeljivosti brojeva. // Matematička zbirka. - v. 8.
• O teoriji funkcionalnih jednadžbi. // Matematička zbirka. - v. 8.
• Rješavanje jednog šahovskog pitanja pomoću numeričkih funkcija. // Matematička zbirka. - v. 9.
• Neka svojstva odbitaka i numeričkih suma. // Matematička zbirka. - v. 10.
• Rješavanje poređenja drugog stepena sa modulom jednostavno. // Matematička zbirka. - v. 10.
• Racionalne funkcije vezane za teoriju približnog vađenja kvadratnih korijena. // Matematička zbirka. - v. 10.
• Jedan opći zakon teorije particioniranja brojeva. // Matematička zbirka. - v. 12.
• Svojstva jednog numeričkog integrala s obzirom na djelitelje i njegove različite primjene. Logaritamske numeričke funkcije. // Matematička zbirka. - v. 13.
• Opće metode za izračunavanje numeričkih integrala nad djeliteljima. Prirodna klasifikacija cijelih brojeva i diskontinuiranih funkcija. // Matematička zbirka. - v. 14.
• Opće transformacije numeričkih integrala s obzirom na djelitelje. // Matematička zbirka. - v. 14.
• O teoriji konvergencije redova. // Matematička zbirka. - v. 14.
• Geometrija proizvoljnih vrijednosti. // Matematička zbirka. - v. 14.
• Različite primjene principa najvećeg i najmanjeg eksponenata na teoriju algebarskih funkcija. // Matematička zbirka. - v. 14.
• Jedna opšta teorema za algebarske krive višeg reda. // Matematička zbirka. - v. 15.
• O jednačinama petog stepena, rješivim u radikalima ( u koautorstvu sa L.K. Lakhtinom). // Matematička zbirka. - v. 15.
• Diskontinuirana geometrija. // Matematička zbirka. - v. 15.
• Početak najvećeg i najmanjeg eksponenata u teoriji diferencijalnih jednadžbi. Cjelokupni parcijalni integrali. // Matematička zbirka. - tom 16.
• Razlomački parcijalni integrali diferencijalnih jednačina.
• Konačni oblik eliptičkih integrala.
• Opšti uslovi integrabilnosti u konačnom obliku eliptičkog diferencijala.
• Algebarski parcijalni integrali diferencijalnih jednadžbi.
• Određeni numerički integrali u odnosu na djelitelje.
• Određeni numerički integrali nad djeliteljima mješovitog karaktera.
• Metoda uzastopnih aproksimacija. Njegova primjena na numeričko rješenje algebarskih jednačina viših stupnjeva.
• Metoda uzastopnih aproksimacija. Njegova primjena na proširenje funkcija u neprekidne serije.
• Metoda uzastopnih aproksimacija. Njegova primjena na izvođenje Taylorovih i Lagrangeovih teorema u transformiranom obliku.
• Metoda uzastopnih aproksimacija. Njegova primjena na integraciju diferencijalnih jednadžbi.
• Metoda uzastopnih aproksimacija. Pomoćne i dodatne metode aproksimativnog računa.
• Monogenost integrala diferencijalnih jednadžbi.
• Približno izračunavanje određenih integrala.
• O teoremi iz teorije brojeva.
• Aplikacija Calculus E (φx) na definiciju cjelobrojnog kvocijenta dva polinoma.
• Geometrijske tehnike približne kvadrature i kubične zapremine.
• Različiti načini proučavanja određenih numeričkih integrala u odnosu na djelitelje.
• Veza numeričkih integrala nad djeliteljima s numeričkim integralima nad prirodnim brojevima.
• Veza numeričkih integrala nad prirodnim brojevima sa određenim numeričkim integralima mešovitog karaktera.
• Generalizirani oblik Lagrangeovog niza.
• Na seriji sličnoj Lagrange seriji.
• Dekompozicija funkcija u nizu brojeva po funkcijama ψ (n).
• Razna matematička pitanja E (x).
• Neki opći odnosi u teoriji višestrukih integrala.

Bavi se filozofijom i pedagogijom:

• O slobodnoj volji. // Zbornik radova Psihološkog društva. - 1869.
• Osnovni principi evolucijske monadologije.
• Matematika kao naučno i pedagoško sredstvo. // Matematička zbirka. - tom 3.

Nikolaj Vasiljevič Bugajev
Matematičar, filozof, prevodilac, javna ličnost
2 / 14.IX 1837, Dušet - 29.V / 11.VI 1903, Moskva
Diplomirani, profesor, dekan Fakulteta fizike i matematike Moskovskog univerziteta

Nikolaj Vasiljevič Bugajev - dopisni član Carske akademije nauka, počasni član Kazanskog i Jurijevskog univerziteta, Moskovskog društva prirodnjaka, Društva ljubitelja prirodnih nauka, Kazanskog društva za fiziku i matematiku, redovni član Češkog kraljevskog društva u Pragu i mnogih ruskih naučna društva, uključujući Društvo za širenje tehničkog znanja i Moskovsko psihološko društvo. Otac pesnika Andreja Belog.
N.V. Bugaev je rođen na Kavkazu u porodici vojnog doktora. Godine 1847. dolazi u Moskvu da uči u I. moskovskoj gimnaziji. U svojoj knjizi Na prelazu dva veka, Andrej Beli ovako opisuje svoje školske godine:

Donese ti vrelu laganu zoru,
Neka je slavljen tvoj pobjednički izlazak sunca.
Čekali smo vekovima<:>
Nama slava dolazi sa dobrim vijestima.

Udavi svoju majku, ti sine tvoj,
Ne daj mu da plače od patnje,
Svojim poljupcem obrišite suze iz njegovih očiju<:>
Istok će nam dati spas i pomoći

Neka tama digne oružje protiv nas,
Smѣlѣy! kroz posledice poslednjih suđenja
Istina nam je već vidljiva:
Od Urala do Šumave
Budućnost pripada nama.

U Odeljenju za pisane izvore Državnog istorijskog muzeja, u fondu Moskovskog univerziteta profesor i filolog Pjotr ​​Aleksejevič Besonov (1828-1898), među materijalima o univerzitetu, štampana kopija ruskog prevoda studentske himne „Gaudeamus igitur" (OPI GIM. F. 56. D. 664. L. 40-41):

Budimo veseli prijatelji,
Spava li mladost?
Nakon vesele mladosti,
Nakon teške starosti
Zemlja će nas prihvatiti.

Gdje je sve pred nama
Jeste li živjeli u ovom svijetu?
Ko je sišao u podzemni svijet,
Ko je otišao u planinski svet,
Gdje smo bili prije.

Naš život je kratak,
Nevidljivo treperi.
Smrt će nam stići,
Da donesem zemlju majci sira
Svi smo mi bezopasni.

Slava članovima naše
Univerzitet.
Slava svim profesorima,
I studenti, slava Vama
Sve na mnogo godina!

Ovaj najraniji poznati prijevod himne na ruski načinio je N. V. Bugaev 1873. godine i objavljen u univerzitetskoj štampariji. Atribuciju ovog izvora izvršilo je osoblje Državnog istorijskog instituta Državnog istorijskog muzeja autogramom olovkom NV Bugajeva na naslovnoj stranici publikacije, što je potvrđeno poređenjem rukopisa autora himne sa ostali autogrami NV Bugajeva koji se čuvaju u ORKiR NB MSU.
Naučnik se nije bavio samo prevođenjem poezije, već je i sam komponovao poeziju. Ponekad je svoje pjesme uključivao u naučne izvještaje. Dakle, 4. februara 1889., dovršavajući izvještaj "O slobodnoj volji" u Moskovskom psihološkom društvu, autor je iznio glavnu tezu svog filozofskog pogleda na svijet u dvanaest poetskih stihova. U govoru "Matematika i naučno-filozofski pogled" na Ciriškom kongresu 1898., pročitanom na francuskom (kasnije je govor ponovljen na X kongresu prirodnjaka u Kijevu i objavljen u posebnom izdanju na ruskom), dijalog između čovjeka a Priroda se također čula u obliku pjesme. (Obje pjesme su u nastavku.) Ova tehnika je svakako pojačala emocionalni utjecaj na publiku.

A. V. Ulanova

Glavni izvori: [Lakhtin 1904, Storozhenko 1904].

B Ugajev (Nikolaj Vasiljevič) - počasni redovni profesor matematike na Moskovskom univerzitetu, rođen je 1837. u Dušeti (Tifliska gubernija), gde je stekao osnovno obrazovanje, a 1847. poslao ga je otac, vojni lekar kavkaskih trupa, u 2. moskovsku gimnaziju. Nakon što je tamo završio kurs sa zlatnom medaljom, upisao se na Fizičko-matematički fakultet Moskovskog univerziteta, gde je studirao pod rukovodstvom profesora Zernova, Brašmana, Davidova i dr. Nakon završetka kursa 1859. godine, ostavljen je na univerzitetu. pripremiti se za profesorsku zvanje; ali, želeći da stekne i primenjeno matematičko obrazovanje, upisao je inženjersku školu, a zatim, nakon unapređenja u oficira, na Nikolajevskoj inženjerskoj akademiji, gde je slušao predavanja Ostrogradskog. Godine 1861., povodom privremenog zatvaranja akademije, Bugajev je upućen u 5. inženjerijski bataljon, ali se ubrzo nakon penzionisanja vratio na Moskovski univerzitet, gdje je položio magistarski ispit i 1863. godine odbranio magistarski rad. "Konvergencija beskrajnih redova u njihovom izgledu." Iste godine ga je ministarstvo poslalo u inostranstvo, gdje je proveo oko 2 1/2 godine. Po povratku, 1866. godine odbranio je tezu za zvanje doktora čiste matematike "Numerički identiteti u vezi sa svojstvima simbola E". Od 1887. do 1891. bio je dekan fakulteta. Bugajev je započeo svoju naučnu i književnu karijeru 1861. godine u Gusevljevom Biltenu matematičkih nauka, gde je objavio sledeće članke: "Dokaz Cauchyjeve teoreme"; "Dokaz Wilsonove teoreme"; "Napomene o jednom radu više Serre algebre"; "Racionalne funkcije koje izražavaju dva korijena kubične jednadžbe u treći. Novi način rješavanja ove jednačine"; "Grafički način crtanja tangenti na krivulje na ravni"; "Rješenje jednačina 4. stepena"; "Integracija racionalnih razlomaka bez pomoći dekompozicije"; "Napomene o teoriji jednakih korijena". Većina Bugajevljevih naučnih radova nalazi se u "Matematičkoj zbirci", i to: "Numerički identiteti povezani sa svojstvima simbola E" ("Matematička zbirka", tom I); "Opšta teorema teorije brojeva sa jednom proizvoljnom funkcijom" ("Matematički zbornik", tom II); "O Pommerovom pravilu konvergencije" ("Matematička zbirka", vol. II); "Ojlerova teorema o poliedrima; svojstvo ravne geometrijske mreže" (ibid.); "Neke posebne teoreme za numeričke funkcije" ("Matematička zbirka", vol. III); "Diferencijalne jednačine prvog reda" (ibid.); „Matematika kao naučno i pedagoško sredstvo“ (ibid.); "Integrabilni oblici diferencijalnih jednačina 1. reda" ("Matematički zbornik", knj. IV); "Učenje o numeričkim derivatima" ("Matematički zbornik", vol. V i VI); "Neka pitanja numeričke algebre" ("Matematički zbornik", vol. VII); "Numeričke jednačine 2. stepena" (Matematički zbornik", tom VIII);" Teoriji djeljivosti brojeva "(ibid.);" Teoriji funkcionalnih jednačina "(ibid.);" Rješenje šaha. problem upotrebe numeričkih funkcija "("Matematička zbirka", tom IX); "Neka svojstva ostataka i numeričkih suma" ("Matematička zbirka", tom X); "Rješenje jednačina 2. stepena sa jednostavnim modulom" (ibid. ); "Racionalne funkcije pronađene u vezi s teorijom približnog vađenja kvadratnih korijena "(ibid.);" Neke primjene teorije eliptičkih funkcija na teoriju diskontinuiranih funkcija "(" Matematički zbornik ", tom XI i XII );" Jedan opšti zakon teorije particionisanja brojeva "(" Matematička zbirka ", v. XII);" Opšte osnove računa E ... (x) sa jednom nezavisnom promenljivom "(" Matematička zbirka ", sv. . XII i XIII);" Svojstva jednog numeričkog integrala s obzirom na djelitelje i njegove primjene. Logaritamske numeričke funkcije "(" Matematička zbirka ", vol. XIII);" Opće metode za izračunavanje numeričkih integrala s obzirom na djelitelje. Prirodna klasifikacija cijelih brojeva i diskontinuiranih funkcija "("Matematički zbornik", tom XIV);"Opće transformacije numeričkih integrala i djelitelja"("Matematički zbornik", tom XIV);"O teoriji konvergencije nizova"(ibid. .);" Geometrija proizvoljnih veličina "(ibid.);" Razne primjene početka najvećeg i najmanjeg eksponenata u teoriji algebarskih funkcija "(ibid.);" Jedna opšta teorema teorije algebarskih krivulja viših red "(" Matematička zbirka ", tom XV);" O jednačinama petog stepena, rešenim u radikalima "(zajedno sa Lahtinom, ibid.);" Diskontinualna geometrija "(ibid.);" Početak najvećeg i najmanji eksponenti u teoriji diferencijalnih jednadžbi. Cijeli parcijalni integrali" ("Matematička zbirka", tom XVI). Osim toga, u izvještaju univerziteta za 1887.: "S.A. Usov "(biografija) iu" Zbornik radova Psihološkog društva "za 1889.:" O slobodi volje. "aritmetici ";" Problematika aritmetici ";" Početna algebra ";" Pitanja algebre ";" Početna geometrija. " u "Comptes rendus" Pariske akademije nauka. Profesor Bugajev nije bio samo aktivni zaposlenik Moskovskog matematičkog društva, već je dugo vremena bio u sastavu njegovog biroa, prvo kao sekretar, a potom i kao potpredsjednik društva. Trenutno je izabran za njegovog predsjednika; istovremeno je i počasni član društva za širenje tehničkog znanja, neizostavan član društva prirodnih nauka i punopravni član društva psihologa i prirodnjaka. Gotovo svi univerziteti u Rusiji imaju profesore matematike koji su bili Bugajevljevi učenici; u Moskvi - Nekrasov, u Harkovu - Andrejev, u Varšavi - Sonin i Anisimov, u Kazanju - Nazimov, u Kijevu - Pokrovski, u Odesi - Preobraženski. Pored ovih naučnika, slavu su stekli i pokojni Baskakov i Liventsov. Bugajevljeve naučne studije su vrlo raznolike, ali se većina njih odnosi na teoriju diskontinuiranih funkcija i analizu. U istraživanju teorije diskontinuiranih funkcija (tzv. teorija brojeva) autor je pošao od ideje da se čista matematika dijeli na dvije jednake podjele: analizu ili teoriju kontinuiranih funkcija i teoriju diskontinuiranih funkcija. Ova dva odjela, po mišljenju autora, imaju potpunu korespondenciju. Neodređena analiza i teorija oblika, ili tzv. teorija brojeva, odgovaraju algebri diskontinuiranih funkcija. U "Numeričkim identitetima itd.", "Doktrini numeričkih derivata" i drugim člancima Bugajev po prvi put daje sistematski prikaz teorije diskontinuiranih funkcija i ukazuje na metode za njihovo proučavanje. Mnoge autorove rezultate potvrdili su mnogo godina kasnije naučnici Cesaro, Hermite, Gegenbauer i drugi. Uz pomoć rezultata koje je pronašao u gornjim radovima, Bugajev je mogao proučavati teoriju određenih primjena eliptičkih funkcija na teoriju brojeva na potpuno poseban način, i ne samo da je dokazao mnoge nedokazane Liouvilleove teoreme, već je, osim toga, pronašao čak i složenije teoreme koje bi se teško mogle izvesti bez pomoći tehnika numeričke analize; ove studije su u eseju "Neke primjene teorije eliptičkih funkcija". Radovi na analizi obuhvataju magistarski rad o konvergenciji redova, u kojem je moguće dobiti beskonačan broj kriterijuma konvergencije zasnovanih na ideji konjugacije redova. U eseju "Opći temelji računa E ... (x) itd." Bugajev predlaže novi račun, koji stoji u istom odnosu prema analizi, u kojem račun E (x) stoji u odnosu na teoriju brojeva. Ovdje Bugajev pokazuje da su diferencijalni računi, računi konačnih razlika, derivacijski račun posebni slučajevi ovog računa. Rešavajući mnoga nova pitanja i dajući nove korelacije, autor omogućava brže donošenje odluka iu prethodnim pitanjima. U članku "Racionalne funkcije itd." moguće je izraziti proširenje kvadratnog korijena polinoma racionalnim funkcijama s bilo kojom aproksimacijom. U djelima pedagoškog Bugajeva skreće pažnju, između ostalog, na književnu obradu jezika, a u knjizi problema Bugajev upozorava mnogo prije uputa poznatog engleskog psihologa Bena, birajući za mnoge probleme specifične činjenice koje karakterišu različite aspekte fenomena prirode, istorije i života. D. Bobylev.