La propiedad de dividir por 11. Los principales signos de divisibilidad.

Este material está dedicado a tal concepto como un signo de divisibilidad por 2. En el primer párrafo, lo formularemos y daremos ejemplos: tareas en las que debe averiguar si un número específico es divisible por 2. Luego probaremos esta característica y explicaremos qué otros métodos existen para determinar la divisibilidad por dos de números dados como valor de expresiones.

Formulación y ejemplos de la prueba de divisibilidad por 2

Para comprender mejor cuáles son los signos de la divisibilidad, debe repetir el tema relacionado con la divisibilidad de los números enteros. La definición del concepto principal se ve así:

Definición 1

Un número entero que termina en 8, 6, 4, 2 y 0 se puede dividir por 2 sin resto. Si al final del número está el número 9, 7, 5, 3 o 1, entonces dicho número no tiene divisibilidad por 2.

Con la ayuda de esta característica, es posible revelar la divisibilidad no solo del todo positivo (natural), sino también del todo numero negativo, ya que también se pueden dividir por 2 sin resto.

Demos algunos ejemplos del uso de una característica en problemas.

Ejemplo 1

Condición: determine cuál de los números 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 se puede dividir en dos.

Solución

Por supuesto, podemos simplemente dividir todos estos números por dos en una columna y verificar si hay un resto al final o no. Pero conociendo el signo de la divisibilidad por dos, puedes resolver este problema mucho más rápido.

Tres de los números enumerados, a saber, 8, - 946 y 10 900, tienen los números 8, 6 y 0 al final, lo que significa que es posible su división por 2.

Los números restantes (53 y - 988 123 761) terminan en 3 y 1, lo que significa que no son completamente divisibles por dos.

Respuesta: 8 , − 946 y 10 900 se pueden dividir por dos, pero todos los demás números dados no.

Esta característica se usa ampliamente en problemas en los que necesita descomponer un número en factores primos. Resolvamos uno de esos ejemplos.

Ejemplo 2

Condición: factorizar 352 en factores primos.

Solución

Dado que el último dígito en el número original es 2, entonces, de acuerdo con el criterio de divisibilidad, podemos dividirlo en dos sin dejar resto. Hagamos esto: 352: 2 = 176 y 352 = 2 176 . El número resultante 176 también se divide por dos: 176: 2 \u003d 88 y 176 \u003d 2 88. Este número también se puede dividir: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44 y 352 \u003d 2 2 88 \u003d 2 2 2 44. Continuamos la expansión: 44: 2 \u003d 22 y 44 \u003d 2 22, por lo tanto, 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; entonces 22: 2 = 11, de donde 22 = 2 11 y 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Finalmente, hemos llegado a un número que no es divisible por 2. La tabla de números primos nos dice que este número es primo, así que ahí es donde termina la factorización.

Respuesta: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

La división de números en pares e impares se basa precisamente en si son divisibles por 2 o no. Conociendo este signo de divisibilidad, podemos decir que todos los números pares terminan con el número 0, 2, 4, 6 u 8, y todos los números impares: 1, 3, 5, 7 o 9.

¿Cómo puedes probar la prueba de divisibilidad por 2?

Antes de proceder directamente a la prueba de esta característica, necesitamos probar una afirmación adicional. Está formulado así:

Definición 2

Todos los números naturales que terminan en cero se pueden dividir por dos sin resto.

Usando la regla de multiplicar un número natural por 10, podemos representar cierto número a como a = a 1 · 10 . Número un 1, a su vez, se obtendrá de a si se le quita el último dígito.

He aquí ejemplos de tal acción: 470 = 47 10, donde a = 470 ya 1 = 47; o 38 010 10, aquí a = 380 100 y a 1 = 38 010. El segundo factor de este producto (10) se puede dividir por 2, por lo que todo el producto se puede dividir por 2. Esta afirmación se basa en la correspondiente propiedad de divisibilidad.

Pasamos a la prueba de la prueba de divisibilidad por 2. Para hacerlo más conveniente, lo presentamos como un teorema, es decir como condición necesaria y suficiente para la divisibilidad de un número entero por dos.

Teorema 1

Para dividir un entero a por dos, una condición necesaria y suficiente es que el último dígito sea 0, 2, 4, 6 u 8.

Prueba 1

¿Cómo probar esta afirmación? Primero, representemos el número original a como la suma de decenas y unidades, es decir Escribámoslo como a = a 1 10 + a 0 . Aquí un 1 será el número resultante de a cuando se elimina el último dígito, y un 0 corresponde al último dígito de este número (las expresiones 49 = 4 10 + 9 , 28 378 = 2 837 10 + 8 también pueden ser ejemplos de tal representación). Trabajar un 1 10, tomado de la igualdad a = a 1 · 10 + a 0 , siempre será divisible por dos, lo que se demuestra mediante este teorema.

El resto de la prueba se basa en cierta propiedad de divisibilidad, a saber: si tenemos tres números que forman la ecuación t = u + v, y dos de ellos son divisibles por un número entero z, entonces el tercer número también se puede dividir por z

Si a se puede dividir por dos, entonces de acuerdo con esta propiedad, así como la representación a \u003d a 1 10 + a 0, el número a 0 se dividirá por dos, y esto solo es posible si a 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 u 8 .

Y si a no es divisible por 2, entonces en base a la misma propiedad, el número un 0 tampoco será divisible por 2, lo cual solo es posible cuando a 0 = 1, 3, 5, 7 o 9. Esta es la prueba necesaria de la necesidad.

Ahora veamos la situación inversa. Si tenemos un número a cuya última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8, entonces un 0 dividido por 2 . Propiedad de divisibilidad especificada y representación a = a1 10 + a0 permite concluir que a es divisible por 2 . Si a tiene el último dígito 1, 3, 5, 7 o 9, entonces un 0 no es divisible por 2 , entonces a tampoco es divisible por 2 , de lo contrario, la representación a = a 1 10 + a 0 en sí misma sería divisible por 2 , lo cual es imposible. Se prueba la suficiencia de la condición.

Al final, notamos que los números con el último dígito 1, 3, 5, 7 o 9, cuando se dividen por dos, siempre dan un resto de uno.

Tomemos el caso cuando el número dado termina con uno de estos dígitos. Entonces podemos representar a como a = b + 1, con b teniendo 0, 2, 4, 6 u 8 como su último dígito. En virtud del criterio de divisibilidad por 2 el número b se puede dividir por 2 , por lo tanto, por la definición de divisibilidad, también se puede representar como b = 2 · q , donde q será un número entero. Obtuvimos que a = 2 q + 1 . Esta representación nos muestra que al dividir el número a por 2 el resultado es un cociente incompleto q y un resto de 1 (si es necesario, vuelva a leer el artículo sobre la división de números enteros con un resto).

Otros casos de determinación de divisibilidad por 2

En este párrafo analizaremos aquellos casos en los que el número cuya divisibilidad por 2 necesita determinarse no viene dado directamente, sino que está determinado por algún valor de la expresión literal. Aquí no podemos usar el signo dado arriba, y tampoco es posible dividir directamente esta expresión por 2. Entonces, necesitamos encontrar alguna otra solución.

Existe un enfoque para resolver este tipo de problemas, que se basa en la siguiente propiedad de divisibilidad: el producto de números enteros se puede dividir por un cierto número cuando al menos uno de los factores es divisible por él. Por lo tanto, si podemos convertir una expresión literal en un producto de factores separados, uno de los cuales es divisible por dos, entonces será posible probar que la expresión original también es divisible por 2.

Para transformar la expresión dada, podemos usar la fórmula binomial de Newton. Veamos tal tarea.

Ejemplo 3

Condición: determinar si el valor de la expresión 3 n + 4 n - 1 se puede dividir por 2 para algún n natural.

Solución

Primero, escribamos la igualdad obvia 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Ahora tomamos la fórmula binomial de Newton, la aplicamos y simplificamos lo que obtuvimos:

3 norte + 4 norte - 1 = 2 + 1 norte + 4 norte - 1 = = C norte 0 2 norte + C norte 1 2 norte - 1 1 + ⋯ + C norte norte - 2 2 2 + 1 norte - 2 + C norte norte 2 + 1 norte - 1 + C norte norte 1 norte + + 4 norte - 1 = 2 norte + C norte 1 2 norte - 1 + … + C norte norte - 2 2 2 + norte 2 + 1 + + 4 norte - 1 = 2 norte + C norte 1 2 norte - 1 + ... + C norte norte - 2 2 2 + 6 norte

En la última igualdad, sacamos dos entre paréntesis y obtenemos la siguiente igualdad:

3 norte + 4 norte - 1 = 2 2 norte - 1 + C norte 1 2 norte - 2 + … + C norte norte - 2 2 + 3 norte

En esta igualdad, puedes dividir el lado derecho por dos para cualquier valor natural de n, ya que allí hay un factor igual a 2. Como hay un signo igual entre las expresiones, también puedes dividir por 2 en el lado izquierdo.

Respuesta: esta expresión se puede dividir por 2 .

Muy a menudo, la divisibilidad se puede probar usando el método de inducción matemática. Tomemos la misma expresión que en el ejemplo anterior y mostremos cómo aplicar este método en la práctica.

Ejemplo 4

Condición: averiguar si la expresión 3 n + 4 n - 1 es divisible por 2 para cualquier valor natural de n .

Solución

Utilizamos la inducción matemática. Primero, demostremos que el valor de la expresión 3 n + 4 n - 1 con n igual a uno se puede dividir por 2 . Obtenemos 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, seis es divisible por dos sin resto. Adelante. Tomemos n igual a k y supongamos que 3 k + 4 k - 1 es divisible por dos.

Usando esta suposición, demostramos que 3 n + 4 n - 1 se puede dividir por 2 si esto es posible para 3 k + 4 k - 1 . Para probar esto, necesitamos realizar varias transformaciones.

3 3 k + 4 k - 1 es divisible por dos, ya que esto es posible para 3 k + 4 k - 1 , la expresión 2 4 k - 3 también se puede dividir por 2, porque tiene un factor de 2, lo que significa que la diferencia de estas dos expresiones también es divisible por 2, lo que se explica por la correspondiente propiedad de divisibilidad.

Respuesta: la expresión 3 n + 4 n - 1 es divisible por 2 para cualquier n natural.

Detengámonos por separado en el caso en que hay dos números uno al lado del otro en el producto, que se siguen en la serie natural de números. Tal trabajo también se divide en dos.

Ejemplo 5

Por ejemplo, una expresión como (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) es divisible por 2 para cualquier valor natural de n, ya que contiene números que se suceden uno tras otro en la serie natural son n + 6 y n + 7 .

De manera similar, si hay dos factores, entre los cuales hay un número par de miembros de la serie natural, el producto se puede dividir por 2. Entonces, el valor (n + 1) (n + 6) se divide por dos para cualquier n natural, ya que entre n + 5 y n + 6 hay un número par de números: n + 2, n + 3, n + 4 y norte + 5.

Combinemos todo lo que hablamos en los párrafos anteriores. Si se puede demostrar que el valor de una expresión es divisible por dos cuando norte = 2 metros, así como en n = 2 m + 1 y un entero arbitrario m, entonces esto será una prueba de que la expresión original es divisible por 2 para cualquier valor entero de n.

Ejemplo 6

Condición: comprobar si la expresión es divisible por 2 norte 3 + 7 norte 2 + 16 norte + 12 para cualquier valor natural de n.

Solución

Primero, representamos esta expresión como un producto (n + 2) 2 · (n + 3) . Si es necesario, repite cómo factorizar correctamente un polinomio. Tenemos dos multiplicadores. n+2 Y norte + 3, que corresponden a números, parado cerca en la serie natural. En cualquier caso, uno de ellos es divisible por 2, lo que significa que todo el producto también es divisible por 2. Lo mismo se aplica a la expresión original.

Este problema tiene otra solución. Si norte = 2 metros, luego norte + 2 2 norte + 3 = 2 metro + 2 2 2 metro + 2 2 = 4 metro + 1 2 2 metro + 3 . Aquí hay un factor de cuatro, por lo que todo el producto será divisible por 2.

Si n = 2 m + 1, Eso

(n + 2) 2 norte + 3 = 2 metro + 1 + 2 2 2 metro + 1 + 3 = 2 metro + 3 2 2 metro + 4 = = 2 metro + 3 2 2 2

Aquí hay un factor 2, lo que significa que todo el producto tiene divisibilidad por 2.

Respuesta: esta es la prueba de que la expresión norte 3 + 7 norte 2 + 16 norte + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) se puede dividir por dos para cualquier valor natural de n.

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Comencemos considerando el tema "El signo de la divisibilidad por 3". Comencemos con la formulación del signo, daremos la prueba del teorema. Luego consideraremos los principales enfoques para establecer la divisibilidad por 3 números, cuyo valor viene dado por alguna expresión. La sección proporciona un análisis de la solución de los principales tipos de problemas basados ​​en el uso del criterio de divisibilidad por 3 .

Signo de divisibilidad por 3, ejemplos

El signo de la divisibilidad por 3 se formula de forma sencilla: un número entero será divisible por 3 sin resto si la suma de sus cifras es divisible por 3. Si el valor total de todos los dígitos que componen un número entero no es divisible por 3, entonces el número original en sí mismo no es divisible por 3. Puedes obtener la suma de todos los dígitos de un entero sumando números naturales.

Ahora veamos ejemplos de aplicación del criterio de divisibilidad por 3.

Ejemplo 1

¿42 es divisible por 3?

Solución

Para responder a esta pregunta, sumamos todos los números que forman el número - 42: 4 + 2 = 6.

Respuesta: según el criterio de divisibilidad, dado que la suma de los dígitos incluidos en la subida del número original es divisible por tres, entonces el número original mismo es divisible por 3.

Para responder a la pregunta de si el número 0 es divisible por 3, necesitamos la propiedad de divisibilidad, según la cual el cero es divisible por cualquier número entero. Resulta que cero es divisible por tres.

Hay problemas para cuya solución es necesario recurrir varias veces al criterio de divisibilidad por 3.

Ejemplo 2

Demuestre que el número 907 444 812 es divisible por 3

Solución

Encontremos la suma de todos los dígitos que forman el registro del número original: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Ahora necesitamos determinar si el número 39 es divisible por 3. Una vez más, suma los números que componen este número: 3 + 9 = 12 . Nos queda realizar de nuevo la suma de los números para obtener la respuesta final: 1 + 2 = 3 . el numero 3 es divisible por 3

Respuesta: número original 907 444 812 también es divisible por 3.

Ejemplo 3

es divisible por 3 − 543 205 ?

Solución

Calculemos la suma de los dígitos que forman el número original: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Ahora calculemos la suma de los dígitos del número resultante: 1 + 9 = 10 . Para obtener la respuesta final, encontremos el resultado de una adición más: 1 + 0 = 1 .
Respuesta: 1 no es divisible por 3, por lo que el número original tampoco es divisible por 3.

Para determinar si un número dado es divisible por 3 sin resto, podemos dividir el número dado por 3. Si dividimos el número − 543 205 del ejemplo anterior con una columna de tres, entonces en la respuesta no obtendremos un número entero. Esto también significa exactamente que − 543 205 no es divisible por 3

Prueba de la prueba de divisibilidad por 3

Aquí necesitamos las siguientes habilidades: descomponer un número en dígitos y la regla para multiplicar por 10, 100, etc. Para llevar a cabo la demostración necesitamos obtener una representación del número a de la forma , Dónde un norte , un norte - 1 , ... , un 0- Son los números que se ubican de izquierda a derecha en la notación del número.

Aquí hay un ejemplo usando un número específico: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Escribamos una serie de igualdades: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 y así sucesivamente.

Ahora sustituyamos estas igualdades en lugar de 10, 100 y 1000 en las igualdades dadas anteriormente un = un norte 10 norte + un norte - 1 10 norte - 1 + … + un 2 10 2 + un 1 10 + un 0.

Así llegamos a la igualdad:

un = un norte 10 norte + … + un 2 100 + un 1 10 + un 0 = = un norte 33 . . . . 3 3 + 1 + … + un 2 33 3 + 1 + un 1 3 3 + 1 + un 0

Y ahora aplicamos las propiedades de la suma y las propiedades de la multiplicación de números naturales para reescribir la igualdad resultante de la siguiente manera:

un = un norte 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + un 2 33 3 + 1 + un 1 3 3 + 1 + un 0 = = 3 33 . . . 3 un norte + un norte + . . . + + 3 33 un 2 + un 2 + 3 3 un 1 + un 1 + un 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 un 2 + 3 3 un 1 + + un norte + . . . + un 2 + un 1 + un 0 = = 3 33 . . . 3 un norte + … + 33 un 2 + 3 un 1 + + un norte + . . . + a2 + a1 + a0

Expresión a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 es la suma de los dígitos del número original a . Introduzcamos una nueva notación abreviada para ello. A. Obtenemos: A = a n + . . . + un 2 + un 1 + un 0 .

En este caso, la representación numérica es a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A toma una forma que nos será conveniente para demostrar la prueba de divisibilidad por 3 .

Definición 1

Ahora recuerda las siguientes propiedades de la divisibilidad:

• una condición necesaria y suficiente para que un número entero a sea divisible por un número entero
  b, es la condición por la cual el módulo del número a es divisible por el módulo del número b;
• si en igualdad un = s + t todos los términos, excepto alguno, son divisibles por algún número entero b, entonces este término también es divisible por b.

Hemos sentado las bases para probar la prueba de divisibilidad por 3. Ahora formulemos este criterio en forma de teorema y demostrémoslo.

Teorema 1

Para afirmar que un entero a es divisible por 3, nos es necesario y suficiente que la suma de las cifras que forman el registro del número a sea divisible por 3.

Prueba 1

Si tomamos el valor un = 0, entonces el teorema es obvio.

Si tomamos un número a distinto de cero, entonces el valor absoluto de a será un número natural. Esto nos permite escribir la siguiente igualdad:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , donde A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - la suma de los dígitos del número a .

Como la suma y el producto de números enteros es un número entero, entonces
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 es un número entero, entonces por definición de divisibilidad el producto es 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 es divisible por 3 para cualquier un 0 , un 1 , ... , un norte.

Si la suma de las cifras de un número a dividido por 3 , eso es, A dividido por 3 , entonces, en virtud de la propiedad de divisibilidad indicada antes del teorema, a es divisible por 3 , por eso, a dividido por 3 . Esto prueba la suficiencia.

Si a dividido por 3 , entonces a es divisible por 3 , entonces, debido a la misma propiedad de divisibilidad, el número
A dividido por 3 , es decir, la suma de las cifras del número a dividido por 3 . Esto prueba la necesidad.

Otros casos de divisibilidad por 3

Los números enteros se pueden dar como el valor de alguna expresión que contiene una variable, dado un cierto valor de esa variable. Entonces, para algún n natural, el valor de la expresión 4 n + 3 n - 1 es un número natural. En este caso, la división directa por 3 no puede darnos una respuesta a la pregunta de si un número es divisible por 3 . Aplicando la prueba de divisibilidad a 3 también puede ser difícil. Considere ejemplos de tales problemas y analice los métodos para su solución.

Se pueden aplicar varios enfoques para resolver tales problemas. La esencia de uno de ellos es la siguiente:

• representar la expresión original como un producto de varios factores;
• averiguar si al menos uno de los factores puede ser divisible por 3 ;
• Con base en la propiedad de divisibilidad, concluimos que todo el producto es divisible por 3 .

En el curso de la solución, a menudo hay que recurrir al uso de la fórmula binomial de Newton.

Ejemplo 4

¿El valor de la expresión 4 n + 3 n - 1 es divisible por 3 para cualquier natural norte?

Solución

Escribamos la igualdad 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Aplicamos la fórmula binomial de Newton del binomio de Newton:

4 norte + 3 norte - 4 = (3 + 1) norte + 3 norte - 4 = = (C norte 0 3 norte + C norte 1 3 norte - 1 1 + . . . + + C norte norte - 2 3 2 1 norte - 2 + C norte norte - 1 3 1 norte - 1 + C norte norte 1 norte) + + 3 norte - 4 = = 3 norte + C norte 1 3 norte - 1 1 + . . . + C norte norte - 2 3 2 + norte 3 + 1 + + 3 norte - 4 = = 3 norte + C norte 1 3 norte - 1 1 + . . . + C norte norte - 2 3 2 + 6 norte - 3

Ahora tomemos 3 fuera de los corchetes: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C norte norte - 2 3 + 2 norte - 1 . El producto resultante contiene un multiplicador 3 , y el valor de la expresión entre paréntesis para n natural es un número natural. Esto nos permite afirmar que el producto resultante y la expresión original 4 n + 3 n - 1 es divisible por 3 .

Respuesta: Sí.

También podemos aplicar el método de inducción matemática.

Ejemplo 5

Demostrar por el método de inducción matemática que para cualquier
n el valor de la expresión n n 2 + 5 es divisible por 3 .

Solución

Encuentra el valor de la expresión n n 2 + 5 para n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 es divisible por 3 .

Ahora suponga que el valor de la expresión n n 2 + 5 para n = k dividido por 3 . De hecho, tendremos que trabajar con la expresión k · k 2 + 5 , que esperamos sea divisible por 3 .

Dado que k k 2 + 5 es divisible por 3 , mostremos que el valor de la expresión n n 2 + 5 para n=k+1 dividido por 3 , es decir, mostraremos que k + 1 k + 1 2 + 5 es divisible por 3 .

Hagamos las transformaciones:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

La expresión k (k 2 + 5) es divisible por 3 y la expresión 3 k 2 + k + 2 es divisible por 3 , por lo que su suma es divisible por 3 .

Entonces demostramos que el valor de la expresión n (n 2 + 5) es divisible por 3 para cualquier n natural.

Analicemos ahora el enfoque de la prueba de divisibilidad por 3 , que se basa en el siguiente algoritmo de acciones:

• mostramos que el valor de esta expresión con la variable n para n = 3 m , n = 3 m + 1 y n = 3 m + 2, Dónde metro es un entero arbitrario, divisible por 3 ;
• concluimos que la expresión será divisible por 3 para cualquier entero n.

Para no distraer la atención de los detalles menores, aplicamos este algoritmo a la solución del ejemplo anterior.

Ejemplo 6

Demostrar que n (n 2 + 5) es divisible por 3 para cualquier n natural.

Solución

pretendamos que norte = 3 metros. Entonces: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. El producto que obtuvimos contiene el multiplicador. 3 , por lo que el producto mismo es divisible por 3 .

pretendamos que n = 3 m + 1. Entonces:

norte norte 2 + 5 = 3 metro 3 metro 2 + 5 = (3 metro + 1) 9 metro 2 + 6 metro + 6 = = 3 metro + 1 3 (2 metro 2 + 2 metro + 2)

El producto que recibimos se divide en 3 .

Supongamos que n = 3 · m + 2 . Entonces:

norte norte 2 + 5 = 3 metro + 1 3 metro + 2 2 + 5 = 3 metro + 2 9 metro 2 + 12 metro + 9 = = 3 metro + 2 3 3 metro 2 + 4 metro + 3

Este trabajo también se divide en 3 .

Respuesta: Entonces probamos que la expresión n n 2 + 5 es divisible por 3 para cualquier n natural.

Ejemplo 7

¿Está dividido en 3 el valor de la expresión 10 3 n + 10 2 n + 1 para algún n natural.

Solución

pretendamos que n=1. Obtenemos:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

pretendamos que n=2. Obtenemos:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Entonces podemos concluir que para cualquier n natural obtendremos números que son divisibles por 3. Esto significa que 10 3 n + 10 2 n + 1 es divisible por 3 para cualquier n natural.

Respuesta: Sí

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SIGNOS DE DIVISIBILIDAD números: los criterios (reglas) más simples que permiten juzgar la divisibilidad (sin resto) de algunos números naturales entre otros. Resolviendo la cuestión de la divisibilidad de los números, los signos de divisibilidad se reducen a operaciones sobre números pequeños, generalmente realizadas en la mente.
Dado que la base del sistema numérico generalmente aceptado es 10, los más simples y comunes son los signos de divisibilidad en divisores de números de tres tipos: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
El primer tipo: signos de divisibilidad por divisores del número 10 k, para la divisibilidad de cualquier número entero N por cualquier divisor de número q del número 10 k es necesario y suficiente que la última faceta de k dígitos (terminación de k dígitos) del número N es divisible por q. En particular (para k \u003d 1, 2 y 3), obtenemos los siguientes signos de divisibilidad en divisores de números 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) y 10 3 \u003d 1000 (Yo 3):
yo 1 . Para 2, 5 y 10, el final de un solo dígito (último dígito) del número debe ser divisible por 2, 5 y 10. Por ejemplo, el número 80 110 es divisible por 2, 5 y 10, ya que el último el dígito 0 de este número es divisible por 2, 5 10; 37835 es divisible por 5 pero no por 2 y 10 porque el último dígito de 5 es divisible por 5 pero no por 2 y 10.

yo 2 Por 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100, el final de dos dígitos de un número debe ser divisible por 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100, respectivamente. ejemplo, el número 7,840,700 es divisible por 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100, ya que el 00 de dos dígitos que termina en este número es divisible por 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100; el número 10 831 750 es divisible por 2, 5, 10, 25 y 50, pero no es divisible por 4, 20 y 100, ya que la terminación de dos dígitos 50 de este número es divisible por 2, 5, 10, 25 y 50, pero no es divisible por 4, 20 y 100.

yo 3 . Para 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 y 1000, el final de tres dígitos del número debe dividirse por 2,4,5,8 ,10, 20, respectivamente, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 y 1000. Por ejemplo, el número 675 081 000 es divisible por todos los números enumerados en este atributo, ya que la terminación de tres dígitos 000 del número dado es divisible por cada uno de ellos; el número 51 184 032 es divisible por 2, 4 y 8 y no es divisible por el resto, ya que la terminación de tres dígitos 032 del número dado es divisible solo por 2, 4 y 8 y no es divisible por el resto.

El segundo tipo son signos de divisibilidad por divisores del número 10 k - 1: para la divisibilidad de cualquier número entero N por cualquier divisor entero q del número 10 k - 1, es necesario y suficiente que la suma de k-dígitos esté frente a del número N es divisible por q. En particular (para k = 1, 2 y 3), obtenemos los siguientes signos de divisibilidad en divisores de números 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) y 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . Por 3 y 9: la suma de los dígitos (caras de un dígito) del número debe ser divisible por 3 y 9, respectivamente.Por ejemplo, el número 510 887 250 es divisible por 3 y 9, ya que la suma de los dígitos es 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (y 3+6=9) de este número es divisible por 3 y 9; el número 4 712 586 es divisible por 3, pero no por 9, ya que la suma de los dígitos 4+7+1+2+5+8+6=33 (y 3+3=6) de este número es divisible por 3, pero no divisible por 9.

II 2 . Por 3, 9, 11, 33 y 99: la suma de las caras de dos dígitos del número debe ser divisible por 3, 9, 11, 33 y 99, respectivamente. Por ejemplo, el número 396 198 297 es divisible por 3 , 9, 11, 33 y 99, ya que la suma de las caras de dos dígitos 3+96+19+ +82+97=297 (y 2+97=99) es divisible por 3, 9,11, 33 y 99; el número 7 265 286 303 es divisible por 3, 11 y 33, pero no es divisible por 9 y 99, ya que la suma de las caras de dos cifras es 72+65+28+63+03=231 (y 2+31= 33) de este número es divisible por 3, 11 y 33 y no es divisible por 9 y 99.

II 3 . Por 3, 9, 27, 37, 111, 333 y 999: la suma de las caras de tres dígitos del número debe ser divisible por 3, 9, 27, 37, 111, 333 y 999, respectivamente. Por ejemplo, el el número 354 645 871 128 es divisible por todos los que figuran en este signo de número, ya que la suma de las caras de tres dígitos 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (y 1 + 998 = 999) de este número es divisible por cada uno de ellos.

El tercer tipo - criterios de divisibilidad en divisores del número 10 k + 1: para la divisibilidad de cualquier número entero N por cualquier divisor entero q del número 10 k + 1, es necesario y suficiente que la diferencia entre la suma de k -caras de dígitos en N en lugares pares, y la suma de caras de k dígitos en N en lugares impares se divide por q. En particular (para k \u003d 1, 2 y 3), obtenemos los siguientes signos de divisibilidad en divisores de números 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) y 10 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . Por 11: la diferencia entre la suma de dígitos (caras de un dígito) en lugares pares y la suma de dígitos (caras de un solo dígito) en lugares impares debe ser divisible por 11. Por ejemplo, el número 876 583 598 es divisible por 11, ya que la diferencia 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (y 1 - 1=0) entre la suma de los dígitos en lugares pares y la suma de los dígitos en lugares impares es divisible por 11

III 2 . Por 101 - la diferencia entre la suma de caras de dos dígitos en lugares pares y la suma de caras de dos dígitos en lugares impares debe ser divisible por 101. Por ejemplo, el número 8 130 197 es divisible por 101, ya que la diferencia es 8-13 + 01- 97 = 101 (y 1-01=0) entre la suma de caras de dos dígitos en lugares pares de este número y la suma de caras de dos dígitos en lugares impares es divisible por 101.

III 3 . En 7, 11, 13, 77, 91, 143 y 1001, la diferencia entre la suma de caras de tres dígitos en lugares pares en el número y la suma de caras de tres dígitos en lugares impares debe dividirse por 7, 11, 13, 77, respectivamente, 91, 143 y 1001. Por ejemplo, el número 539 693 385 es divisible por 7, 11 y 77, pero no es divisible por 13, 91, 143 y 1001, ya que 539 - 693+385=231 es divisible por 7, 11 y 77 y no es divisible por 13, 91, 143 y 1001.

Hay signos por los que a veces es fácil averiguar, sin dividir, si un número dado es divisible o no por otros números.

Los números que son divisibles por 2 se llaman incluso. El número cero también es un número par. Todos los demás números se llaman extraño:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - par,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... son impares.

Signos de divisibilidad

Signo de divisibilidad por 2. Un número es divisible por 2 si su última cifra es par. Por ejemplo, el número 4376 es divisible por 2 porque el último dígito (6) es par.

Signo de divisibilidad por 3. Solo son divisibles por 3 aquellos números cuya suma de dígitos es divisible por 3. Por ejemplo, el número 10815 es divisible por 3, ya que la suma de sus dígitos 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 es divisible por 3.

Signos de divisibilidad por 4. Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos son ceros o forman un número divisible por 4. Por ejemplo, el número 244500 es divisible por 4 porque termina en dos ceros. Los números 14708 y 7524 son divisibles por 4 porque los dos últimos dígitos de estos números (08 y 24) son divisibles por 4.

Signos de divisibilidad por 5. Los números que terminan en 0 o 5 son divisibles por 5. Por ejemplo, el número 320 es divisible por 5 porque el último dígito es 0.

Signo de divisibilidad por 6. Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3. Por ejemplo, el número 912 es divisible por 6 porque es divisible por 2 y 3.

Signos de divisibilidad por 8. Divisibles por 8 son aquellos números en los que las tres últimas cifras son ceros o forman un número que es divisible por 8. Por ejemplo, el número 27000 es divisible por 8, ya que termina en tres ceros. El número 63128 es divisible por 8 porque los últimos tres dígitos forman el número (128) que es divisible por 8.

Signo de divisibilidad por 9. Solo aquellos números cuya suma de dígitos sea divisible por 9 son divisibles por 9. Por ejemplo, el número 2637 es divisible por 9, ya que la suma de sus dígitos 2 + 6 + 3 + 7 = 18 es divisible por 9.

Signos de divisibilidad por 10, 100, 1000, etc. 10, 100, 1000, etc. son divisibles por aquellos números que terminan respectivamente en un cero, dos ceros, tres ceros, etc. Por ejemplo, el número 3800 es divisible por 10 y 100.

Signo de divisibilidad por 3
Un número es divisible por 3 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 3.

Divisibilidad por 4 signos
Un número es divisible por 4 si y solo si el número de sus dos últimas cifras es cero o divisible por 4.

Signo de divisibilidad por 5
Un número es divisible por 5 si y solo si el último dígito es divisible por 5 (es decir, igual a 0 o 5).

Signo de divisibilidad por 6
Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y 3.

Signo de divisibilidad por 7
Un número es divisible por 7 si y solo si el resultado de restar dos veces el último dígito de este número sin el último dígito es divisible por 7 (por ejemplo, 259 es divisible por 7, ya que 25 - (2 9) = 7 es divisible por 7).

Signo de divisibilidad por 8
Un número es divisible por 8 si y solo si sus tres últimas cifras son ceros o forman un número divisible por 8.

Signo de divisibilidad por 9
Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus dígitos es divisible por 9.

Signo de divisibilidad por 10
Un número es divisible por 10 si y solo si termina en cero.

Signo de divisibilidad por 11
Un número es divisible por 11 si y solo si la suma de los dígitos con signos alternos es divisible por 11 (es decir, 182919 es divisible por 11, ya que 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 es divisible por 11) - una consecuencia del hecho de que todos los números de la forma 10 n cuando se dividen por 11 dan un resto de (-1) n .

Signo de divisibilidad por 12
Un número es divisible por 12 si y solo si es divisible por 3 y 4.

Signo de divisibilidad por 13
Un número es divisible por 13 si y solo si el número de sus decenas, sumado a cuatro veces el número de unidades, es un múltiplo de 13 (por ejemplo, 845 es divisible por 13, ya que 84 + (4 5) = 104 es divisible por 13).

Signo de divisibilidad por 14
Un número es divisible por 14 si y solo si es divisible por 2 y 7.

Signo de divisibilidad por 15
Un número es divisible por 15 si y solo si es divisible por 3 y 5.

Signo de divisibilidad por 17
Un número es divisible por 17 si y solo si el número de sus decenas, sumado al número de unidades aumentadas en 12, es un múltiplo de 17 (por ejemplo, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Dado que 34 es divisible por 17, entonces 29053 también es divisible por 17). El signo no siempre es conveniente, pero tiene un cierto significado en matemáticas. Hay una forma un poco más simple: un número es divisible por 17 si y solo si la diferencia entre el número de sus decenas y cinco veces el número de unidades es un múltiplo de 17 (por ejemplo, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15, ya que 15 no es divisible por 17, entonces 32952 tampoco es divisible por 17)

Signo de divisibilidad por 19
Un número es divisible por 19 si y solo si el número de sus decenas, sumado al doble del número de unidades, es múltiplo de 19 (por ejemplo, 646 es divisible por 19, ya que 64 + (6 2) = 76 es divisible por 19).

Signo de divisibilidad por 23
Un número es divisible por 23 si y solo si sus centenas más el triple de sus decenas es múltiplo de 23 (por ejemplo, 28842 es divisible por 23, ya que 288 + (3 * 42) = 414 continúa 4 + (3 * 14) = 46 es obviamente divisible por 23).

Signo de divisibilidad por 25
Un número es divisible por 25 si y solo si sus dos últimos dígitos son divisibles por 25 (es decir, forman 00, 25, 50 o 75) o el número es un múltiplo de 5.

Signo de divisibilidad por 99
Dividimos el número en grupos de 2 dígitos de derecha a izquierda (el grupo más a la izquierda puede tener un dígito) y encontramos la suma de estos grupos, considerándolos números de dos dígitos. Esta suma es divisible por 99 si y solo si el número mismo es divisible por 99.

Signo de divisibilidad por 101
Dividimos el número en grupos de 2 dígitos de derecha a izquierda (el grupo más a la izquierda puede tener un dígito) y encontramos la suma de estos grupos con signos variables, considerándolos números de dos dígitos. Esta suma es divisible por 101 si y solo si el número mismo es divisible por 101. Por ejemplo, 590547 es divisible por 101, ya que 59-05+47=101 es divisible por 101).