Que es un entero positivo. Números

La información en este artículo forma Idea general sobre números enteros. Primero, se da la definición de números enteros y se dan ejemplos. A continuación, se consideran los números enteros en la recta numérica, a partir de los cuales queda claro qué números se llaman números enteros positivos y cuáles son números enteros negativos. Después de eso, se muestra cómo los cambios en las cantidades se describen usando números enteros y los números enteros negativos se consideran en el sentido de la deuda.

Navegación de página.

Números enteros - definición y ejemplos

Definición.

Números enteros son los números naturales, el número cero, así como los números opuestos a los naturales.

La definición de números enteros establece que cualquiera de los números 1, 2, 3, …, el número 0, y también cualquiera de los números −1, −2, −3, … es un número entero. Ahora podemos traer fácilmente ejemplos enteros. Por ejemplo, el número 38 es un número entero, el número 70040 también es un número entero, el cero es un número entero (recuerde que el cero NO es un número natural, el cero es un número entero), los números −999 , −1 , −8 934 832 también son ejemplos de números enteros.

Es conveniente representar todos los números enteros como una secuencia de números enteros, que tiene la siguiente forma: 0, ±1, ±2, ±3,… La secuencia de números enteros también se puede escribir de la siguiente manera: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

De la definición de números enteros se sigue que el conjunto números naturales es un subconjunto del conjunto de enteros. Por lo tanto, todo número natural es un número entero, pero no todo número entero es un número natural.

Números enteros en la línea de coordenadas

Definición.

Números enteros positivos son números enteros mayores que cero.

Definición.

Números enteros negativos son números enteros menores que cero.

Los números enteros positivos y negativos también se pueden determinar por su posición en la línea de coordenadas. En una línea de coordenadas horizontal, los puntos cuyas coordenadas son números enteros positivos se encuentran a la derecha del origen. A su vez, los puntos con coordenadas enteras negativas se ubican a la izquierda del punto O.

Es claro que el conjunto de todos los números enteros positivos es el conjunto de los números naturales. A su vez, el conjunto de todos los enteros negativos es el conjunto de todos los números opuestos a los números naturales.

Por separado, llamamos su atención sobre el hecho de que podemos llamar con seguridad a cualquier número natural un número entero, y NO podemos llamar a ningún número entero un número natural. Podemos llamar natural solo a cualquier número entero positivo, ya que los números enteros negativos y el cero no son naturales.

Números enteros no positivos y enteros no negativos

Demos definiciones de enteros no positivos y enteros no negativos.

Definición.

Todos los números enteros positivos junto con cero se llaman números enteros no negativos.

Definición.

Números enteros no positivos son todos enteros negativos junto con el número 0 .

En otras palabras, un entero no negativo es un entero mayor o igual a cero, y un entero no positivo es un entero menor o igual a cero.

Ejemplos de enteros no positivos son los números -511, -10 030, 0, -2, y como ejemplos de enteros no negativos, démosle los números 45, 506, 0, 900 321.

La mayoría de las veces, los términos "enteros no positivos" y "enteros no negativos" se utilizan por brevedad. Por ejemplo, en lugar de la frase "el número a es un número entero y a es mayor que cero o igual a cero", puede decir "a es un número entero no negativo".

Descripción de cambiar valores usando números enteros

Es hora de hablar sobre para qué sirven los números enteros.

El objetivo principal de los números enteros es que, con su ayuda, es conveniente describir el cambio en el número de cualquier elemento. Abordemos esto con ejemplos.

Supongamos que hay una cierta cantidad de piezas en stock. Si, por ejemplo, se llevan al almacén 400 piezas más, entonces aumentará el número de piezas en el almacén, y el número 400 expresa este cambio en la cantidad en una dirección positiva (en la dirección del aumento). Si, por ejemplo, se toman 100 piezas del almacén, la cantidad de piezas en el almacén disminuirá y el número 100 expresará el cambio en la cantidad en una dirección negativa (en la dirección de disminución). Las partes no se llevarán al almacén y las partes no se sacarán del almacén, entonces podemos hablar sobre la invariabilidad del número de partes (es decir, podemos hablar sobre un cambio cero en la cantidad).

En los ejemplos dados, el cambio en el número de partes se puede describir utilizando los números enteros 400, −100 y 0, respectivamente. Un número entero positivo 400 indica un cambio positivo en la cantidad (aumento). El entero negativo −100 expresa un cambio negativo en la cantidad (disminución). El entero 0 indica que la cantidad no ha cambiado.

La conveniencia de usar números enteros en comparación con el uso de números naturales es que no hay necesidad de indicar explícitamente si la cantidad aumenta o disminuye: el número entero determina el cambio cuantitativamente y el signo del número entero indica la dirección del cambio.

Los números enteros también pueden expresar no solo un cambio en la cantidad, sino también un cambio en algún valor. Abordemos esto usando el ejemplo del cambio de temperatura.

Un aumento de temperatura de, digamos, 4 grados se expresa como un número entero positivo 4 . Una disminución de la temperatura, por ejemplo, de 12 grados se puede describir con un número entero negativo −12. Y la invariancia de la temperatura es su cambio, determinado por el número entero 0.

Por separado, hay que decir sobre la interpretación de los números enteros negativos como el monto de la deuda. Por ejemplo, si tenemos 3 manzanas, entonces el entero positivo 3 representa el número de manzanas que poseemos. Por otro lado, si tenemos que dar 5 manzanas a alguien y no las tenemos disponibles, entonces esta situación se puede describir usando un número entero negativo −5. En este caso, "poseemos" −5 manzanas, el signo menos indica deuda y el número 5 cuantifica deuda.

La comprensión de un número entero negativo como una deuda permite, por ejemplo, justificar la regla para sumar números enteros negativos. Tomemos un ejemplo. Si alguien le debe 2 manzanas a una persona y una manzana a otra, entonces la deuda total es 2+1=3 manzanas, entonces −2+(−1)=−3 .

Bibliografía.

• Vilenkin N. Ya. etc Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.

Número- el concepto matemático más importante que ha cambiado a lo largo de los siglos.

Las primeras ideas sobre el número surgieron a partir de contar personas, animales, frutas, productos diversos, etc. El resultado son los números naturales: 1, 2, 3, 4,...

Históricamente, la primera extensión del concepto de número es la suma de números fraccionarios a un número natural.

Disparo llamado parte (participación) de una unidad o varias partes iguales de ella.

Designado: , donde Minnesota- números enteros;

Fracciones con denominador 10 norte, dónde norte es un número entero, se llaman decimal: .

Entre las fracciones decimales, un lugar especial lo ocupa fracciones periódicas: - fracción periódica pura, - fracción periódica mixta.

Una mayor expansión del concepto de número ya está provocada por el desarrollo de las propias matemáticas (álgebra). Descartes en el siglo XVII introduce el concepto numero negativo.

Los números enteros (positivos y negativos), fraccionarios (positivos y negativos) y el cero se llaman numeros racionales. Cualquier número racional se puede escribir como una fracción finita y periódica.

Para estudiar variables que cambian continuamente, resultó ser necesario expandir el concepto de número, la introducción de números reales (reales), agregando números irracionales a números racionales: Numeros irracionales son fracciones infinitas decimales no periódicas.

Los números irracionales aparecieron al medir segmentos inconmensurables (lado y diagonal de un cuadrado), en álgebra: al extraer raíces, un ejemplo de un número irracional trascendental es π, mi .

Números natural(1, 2, 3,...), entero(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racional(representado como una fracción) y irracional(no representable como una fracción ) formar un conjunto real real) números.

Por separado en matemáticas, se distinguen los números complejos.

Números complejos surgen en conexión con el problema de resolver cuadrados para el caso D< 0 (здесь D es el discriminante de la ecuación cuadrática). Durante mucho tiempo, estos números no encontraron uso físico, por lo que se les llamó números "imaginarios". Sin embargo, ahora son muy utilizados en varios campos de la física y la tecnología: ingeniería eléctrica, hidrodinámica y aerodinámica, teoría de la elasticidad, etc.

Números complejos se escriben como: z= a+ bi. Aquí a y b – numeros reales, a i – unidad imaginaria.mi. i 2 = -una. Número a llamó abscisa, a b-ordenada Número complejo a+ bi. Dos números complejos a+ bi y a-bi llamó conjugado números complejos.

Propiedades:

1. número real a también se puede escribir como un número complejo: a+ 0i o a - 0i. Por ejemplo 5 + 0 i y 5 - 0 i significa el mismo número 5 .

2. Número complejo 0 + bi llamó puramente imaginario número. Grabación bi significa lo mismo que 0 + bi.

3. Dos números complejos a+ bi y C+ di se consideran iguales si a= C y b= d. De lo contrario, los números complejos no son iguales.

Comportamiento:

Suma. La suma de números complejos a+ bi y C+ di se llama un número complejo ( a+ C) + (b+ d)i. De este modo, al sumar números complejos, sus abscisas y ordenadas se suman por separado.

Sustracción. La diferencia entre dos números complejos. a+ bi(reducido) y C+ di(sustraído) se llama número complejo ( C.A) + (BD)i. De este modo, al restar dos números complejos, sus abscisas y ordenadas se restan por separado.

Multiplicación. El producto de números complejos. a+ bi y C+ di se llama un número complejo.

(ac-bd) + (anuncio+ antes de Cristo)i. Esta definición se deriva de dos requisitos:

1) números a+ bi y C+ di debe multiplicarse como binomios algebraicos,

2) número i tiene la propiedad principal: i 2 = –1.

EJEMPLO ( un + bi)(a-bi)= un 2 +b 2 . Como consecuencia, trabajarde dos números complejos conjugados es igual a un número real positivo.

División. Dividir un número complejo a+ bi(divisible) a otro C+ di (divisor) - significa encontrar el tercer número mi+ fi(chat), que, cuando se multiplica por un divisor C+ di, lo que resulta en el dividendo a+ bi. Si el divisor no es cero, la división siempre es posible.

EJEMPLO Buscar (8+ i) : (2 – 3i) .

Solución Reescribamos esta razón como una fracción:

Multiplicando su numerador y denominador por 2 + 3 i y haciendo todas las transformaciones, obtenemos:

Tarea 1: sumar, restar, multiplicar y dividir z 1 a z 2

Extrayendo la raíz cuadrada: Resuelve la ecuación X 2 = -una. Para resolver esta ecuación nos vemos obligados a utilizar un nuevo tipo de números: números imaginarios . De este modo, imaginario el numero se llama cuya segunda potencia es un número negativo. De acuerdo con esta definición de números imaginarios, podemos definir y imaginario unidad:

Entonces para la ecuación X 2 = - 25 obtenemos dos imaginario raíz:

Tarea 2: Resuelve la ecuación:

1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Representación geométrica de números complejos. Los números reales se representan por puntos en la recta numérica:

Aquí está el punto A significa número -3, punto B es el número 2, y O-cero. Por el contrario, los números complejos se representan mediante puntos en el plano de coordenadas. Para ello, elegimos coordenadas rectangulares (cartesianas) con las mismas escalas en ambos ejes. Entonces el número complejo a+ bi estará representado por un punto P con abscisaa y ordenadab. Este sistema de coordenadas se llama plano complejo .

módulo número complejo se llama la longitud del vector OP, representando un número complejo en la coordenada ( integrado) plano. Módulo de número complejo a+ bi denotado por | a+ bi| o) letra r y es igual a:

Los números complejos conjugados tienen el mismo módulo.

Las reglas para dibujar un dibujo son casi las mismas que para un dibujo en un sistema de coordenadas cartesiano.A lo largo de los ejes, debe establecer la dimensión, tenga en cuenta:

mi
unidad a lo largo del eje real; Rez

unidad imaginaria a lo largo del eje imaginario. soy z

Tarea 3. Construya los siguientes números complejos en el plano complejo: , , , , , , ,

1. Los números son exactos y aproximados. Los números que encontramos en la práctica son de dos tipos. Algunos dan el valor real de la cantidad, otros solo aproximados. El primero se llama exacto, el segundo - aproximado. La mayoría de las veces es conveniente usar un número aproximado en lugar de un número exacto, especialmente porque en muchos casos no se puede encontrar el número exacto.

Entonces, si dicen que hay 29 estudiantes en la clase, entonces el número 29 es exacto. Si dicen que la distancia de Moscú a Kyiv es de 960 km, entonces aquí el número 960 es aproximado, ya que, por un lado, nuestros instrumentos de medición no son absolutamente precisos, por otro lado, las ciudades mismas tienen cierta extensión.

El resultado de operaciones con números aproximados también es un número aproximado. Al realizar algunas operaciones con números exactos (dividir, extraer la raíz), también puede obtener números aproximados.

La teoría de los cálculos aproximados permite:

1) conocer el grado de precisión de los datos, evaluar el grado de precisión de los resultados;

2) tomar datos con un grado apropiado de precisión, suficiente para asegurar la precisión requerida del resultado;

3) racionalizar el proceso de cálculo, liberándolo de aquellos cálculos que no afectarán la precisión del resultado.

2. Redondeo. Una fuente de números aproximados es el redondeo. Redondea los números aproximados y exactos.

Redondear un número dado a alguna de sus cifras es sustituirlo por un número nuevo, que se obtiene a partir del dado descartando todas sus cifras escritas a la derecha de la cifra de esta cifra, o sustituyéndolas por ceros. Estos ceros suelen estar subrayados o escritos más pequeños. Para garantizar la mayor proximidad del número redondeado al número redondeado, se deben utilizar las siguientes reglas: para redondear el número a uno de un dígito determinado, debe descartar todos los dígitos después del dígito de este dígito y reemplazarlos con ceros en el número entero. Esto tiene en cuenta lo siguiente:

1) si el primero (a la izquierda) de los dígitos descartados es menor que 5, entonces el último dígito restante no se cambia (redondeando hacia abajo);

2) si el primer dígito descartado es mayor que 5 o igual a 5, entonces el último dígito restante se incrementa en uno (redondeando hacia arriba).

Mostremos esto con ejemplos. Redondeo:

a) hasta décimas de 12,34;

b) hasta las centésimas de 3,2465; 1038.785;

c) hasta las milésimas de 3,4335.

d) hasta 12375 mil; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12 375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Errores absolutos y relativos. La diferencia entre el número exacto y su valor aproximado se llama error absoluto del número aproximado. Por ejemplo, si el número exacto 1,214 se redondea a décimas, obtenemos un número aproximado de 1,2. En este caso, el error absoluto del número aproximado 1.2 es 1.214 - 1.2, es decir 0.014.

Pero en la mayoría de los casos valor exacto el valor considerado es desconocido, pero solo aproximado. Entonces el error absoluto también es desconocido. En estos casos, indicar el límite que no se excede. Este número se llama error absoluto marginal. Dicen que el valor exacto de un número es igual a su valor aproximado con un error menor que el error de contorno. Por ejemplo, el número 23,71 es el valor aproximado del número 23,7125 con una precisión de 0,01, ya que el error absoluto de aproximación es 0,0025 y menor que 0,01. Aquí el error absoluto del límite es igual a 0.01 * .

Error absoluto límite del número aproximado a denotado por el símbolo Δ a. Grabación

X≈a(±Δ a)

debe entenderse como sigue: el valor exacto de la cantidad X está en el medio a– Δ a y a+ Δ a, que se denominan límites inferior y superior, respectivamente. X y denote NG X VG X.

Por ejemplo, si X≈ 2,3 (±0,1), luego 2,2<X< 2,4.

Por el contrario, si 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). El error absoluto absoluto o marginal no caracteriza la calidad de la medición. El mismo error absoluto puede considerarse significativo e insignificante, según el número que exprese el valor medido. Por ejemplo, si medimos la distancia entre dos ciudades con una precisión de un kilómetro, dicha precisión es suficiente para este cambio, mientras que al mismo tiempo, al medir la distancia entre dos casas en la misma calle, dicha precisión será inaceptable. Por lo tanto, la precisión del valor aproximado de una cantidad depende no solo de la magnitud del error absoluto, sino también del valor de la cantidad medida. Por lo tanto, la medida de la precisión es el error relativo.

El error relativo es la relación entre el error absoluto y el valor del número aproximado. La relación entre el error absoluto de límite y el número aproximado se denomina error relativo de límite; indicarlo así: Los errores relativos y relativos al límite generalmente se expresan como un porcentaje. Por ejemplo, si las mediciones muestran que la distancia X entre dos puntos es más de 12,3 km, pero menos de 12,7 km, entonces se toma como valor aproximado la media aritmética de estos dos números, es decir su media suma, entonces el error absoluto de frontera es igual a la media diferencia de estos números. En este caso X≈ 12,5 (±0,2). Aquí, el error absoluto del límite es de 0,2 km, y el relativo del límite

1) Divido inmediatamente por, ya que ambos números son 100% divisibles por:

2) Dividiré por los números grandes restantes, ya que se dividen sin resto (al mismo tiempo, no descompondré, ya es un divisor común):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Me iré solo y comenzaré a considerar los números y. Ambos números son exactamente divisibles por (terminan en dígitos pares (en este caso, los presentamos como, pero se pueden dividir por)):

4) Trabajamos con números y. ¿Tienen divisores comunes? Es tan fácil como en los pasos anteriores, y no se puede decir, así que los descompondremos en factores simples:

5) Como podemos ver, teníamos razón: y no tenemos divisores comunes, y ahora tenemos que multiplicar.
MCD

Tarea número 2. Encuentra el MCD de los números 345 y 324

No puedo encontrar rápidamente al menos un divisor común aquí, así que simplemente lo descompongo en factores primos (la menor cantidad posible):

Exacto, GCD, y no comprobé inicialmente el criterio de divisibilidad y, tal vez, no tendría que hacer tantas acciones.

Pero lo comprobaste, ¿verdad?

Como puedes ver, es bastante fácil.

Mínimo común múltiplo (MCM): ahorra tiempo, ayuda a resolver problemas fuera de la caja

Digamos que tienes dos números - y. ¿Cuál es el número más pequeño que es divisible por sin dejar rastro(es decir, completamente)? ¿Es difícil de imaginar? Aquí hay una pista visual para ti:

¿Recuerdas lo que significa la letra? Así es, solo números enteros Entonces, ¿cuál es el número más pequeño que se ajusta a x? :

En este caso.

Varias reglas se derivan de este ejemplo simple.

Reglas para encontrar rápidamente el NOC

Regla 1. Si uno de dos números naturales es divisible por otro número, entonces el mayor de estos dos números es su mínimo común múltiplo.

Encuentra los siguientes números:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Por supuesto, hiciste frente fácilmente a esta tarea y obtuviste las respuestas, y.

Tenga en cuenta que en la regla estamos hablando de DOS números, si hay más números, entonces la regla no funciona.

Por ejemplo, MCM (7;14;21) no es igual a 21, ya que no se puede dividir sin resto por.

Regla 2. Si dos (o más de dos) números son coprimos, entonces el mínimo común múltiplo es igual a su producto.

encontrar CON para los siguientes números:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

¿Contaste? Aquí están las respuestas - , ; .

Como comprenderá, no siempre es tan fácil tomar y recoger esta misma x, por lo que para números un poco más complejos existe el siguiente algoritmo:

¿Practicamos?

Encuentra el mínimo común múltiplo - MCM (345; 234)

Desglosemos cada número:

¿Por qué acabo de escribir?

Recuerda los signos de divisibilidad por: divisible por (el último dígito es par) y la suma de los dígitos es divisible por.

En consecuencia, podemos dividir inmediatamente por, escribiéndolo como.

Ahora escribimos la expansión más larga en una línea, la segunda:

Agreguemos los números de la primera expansión, que no están en lo que escribimos:

Nota: escribimos todo excepto porque ya lo tenemos.

¡Ahora tenemos que multiplicar todos estos números!

Encuentra tú mismo el mínimo común múltiplo (mcm)

¿Qué respuestas obtuviste?

Esto es lo que me pasó:

¿Cuánto tiempo te tomó encontrar CON? Mi tiempo es de 2 minutos, realmente lo sé. un truco, que te sugiero que abras ahora mismo!

Si está muy atento, probablemente haya notado que para los números dados ya hemos buscado MCD y podría tomar la factorización de estos números de ese ejemplo, simplificando así su tarea, pero esto está lejos de todo.

Mira la imagen, tal vez se te ocurran otros pensamientos:

¿Bien? Te doy una pista: intenta multiplicar CON y MCD entre ellos y anotar todos los factores que habrá al multiplicar. ¿Lograste? Deberías terminar con una cadena como esta:

Míralo más de cerca: compara los factores con cómo y se descomponen.

¿Qué conclusión puedes sacar de esto? ¡Correctamente! Si multiplicamos los valores CON y MCD entre ellos, entonces obtenemos el producto de estos números.

En consecuencia, tener números y significado MCD(o CON), podemos encontrar CON(o MCD) de la siguiente manera:

1. Encuentra el producto de números:

2. Dividimos el producto resultante por nuestro MCD (6240; 6800) = 80:

Eso es todo.

Escribamos la regla en forma general:

Tratar de encontrar MCD si se sabe que:

¿Lograste? .

Números negativos: "números falsos" y su reconocimiento por parte de la humanidad.

Como ya entendiste, estos son números opuestos a los naturales, es decir:

Parecería que son tan especiales?

Pero el hecho es que los números negativos “ganaron” el lugar que les corresponde en las matemáticas hasta el siglo XIX (hasta ese momento hubo una gran controversia sobre si existían o no).

El número negativo en sí surgió debido a una operación con números naturales como "resta".

De hecho, restar de - eso es un número negativo. Es por eso que el conjunto de números negativos se suele llamar "una extensión del conjunto de números naturales".

Las personas no reconocieron los números negativos durante mucho tiempo.

Entonces, el Antiguo Egipto, Babilonia y la Antigua Grecia, las luces de su tiempo, no reconocieron los números negativos, y en el caso de obtener raíces negativas en la ecuación (por ejemplo, como lo hemos hecho), las raíces fueron rechazadas como imposibles.

Por primera vez, los números negativos obtuvieron su derecho a existir en China, y luego en el siglo VII en India.

¿Qué opinas de esta confesión?

Así es, los números negativos comenzaron a denotar deudas (de lo contrario - escasez).

Se creía que los números negativos son un valor temporal, que como resultado cambiará a positivo (es decir, el dinero aún se devolverá al acreedor). Sin embargo, el matemático indio Brahmagupta ya consideraba los números negativos en pie de igualdad con los positivos.

En Europa, la utilidad de los números negativos, así como el hecho de que puedan denotar deuda, llegó mucho más tarde, es decir, un milenio.

La primera mención se vio en 1202 en el "Libro del Ábaco" de Leonardo de Pisa (digo enseguida que el autor del libro no tiene nada que ver con la Torre Inclinada de Pisa, pero los números de Fibonacci son obra suya (el el apodo de Leonardo de Pisa es Fibonacci)).

Entonces, en el siglo XVII, Pascal creía eso.

¿Cómo crees que lo justificó?

Así es, "nada puede ser menos que NADA".

Un eco de aquellos tiempos sigue siendo el hecho de que un número negativo y la operación de resta se denotan con el mismo símbolo - menos "-". Y verdadero: . ¿El número " " es positivo, al que se le resta, o negativo, al que se le suma?... Algo de la serie "¿qué viene primero: el huevo o la gallina?" Aquí hay un tipo de esta filosofía matemática.

Los números negativos aseguraron su derecho a existir con el advenimiento de la geometría analítica, en otras palabras, cuando los matemáticos introdujeron un eje real.

Fue a partir de este momento que llegó la igualdad. Sin embargo, todavía había más preguntas que respuestas, por ejemplo:

proporción

Esta proporción se llama la paradoja de Arno. Piénsalo, ¿qué hay de dudoso al respecto?

Hablemos juntos " "más que" "no? Así, según la lógica, el lado izquierdo de la proporción debería ser mayor que el lado derecho, pero son iguales... Aquí está la paradoja.

Como resultado, los matemáticos coincidieron en que Karl Gauss (sí, sí, este es el que consideró la suma (o) de números) en 1831 puso fin a ella.

Dijo que los números negativos tienen los mismos derechos que los positivos, y el hecho de que no se apliquen a todas las cosas no significa nada, ya que las fracciones tampoco se aplican a muchas cosas (no sucede que un cavador cava un hoyo, no se puede comprar una entrada para el cine, etc.).

Los matemáticos se calmaron solo en el siglo XIX, cuando William Hamilton y Hermann Grassmann crearon la teoría de los números negativos.

Así de controvertidos son estos números negativos.

Aparición del "vacío", o la biografía del cero.

En matemáticas, un número especial.

A primera vista, esto no es nada: sume, reste: nada cambiará, pero solo tiene que atribuirlo a la derecha de "", y el número resultante será muchas veces mayor que el original.

Al multiplicar por cero, convertimos todo en nada, pero no podemos dividir por "nada". En una palabra, el número mágico)

La historia del cero es larga y complicada.

Se encuentra un rastro de cero en los escritos de los chinos en el año 2000 d.C. e incluso antes con los mayas. El primer uso del símbolo cero, como lo es hoy, se vio entre los astrónomos griegos.

Hay muchas versiones de por qué se eligió tal designación "nada".

Algunos historiadores se inclinan a creer que se trata de un omicrón, es decir, La primera letra de la palabra griega para nada es ouden. Según otra versión, la palabra “óbol” (moneda de casi ningún valor) dio vida al símbolo del cero.

El cero (o cero) como símbolo matemático aparece por primera vez entre los indios(Tenga en cuenta que los números negativos comenzaron a "desarrollarse" allí).

La primera evidencia confiable de escribir cero data del año 876, y en ellos "" es un componente del número.

El cero también llegó a Europa con retraso: solo en 1600, y al igual que los números negativos, enfrentó resistencia (qué puedes hacer, son europeos).

“Zero a menudo fue odiado, temido durante mucho tiempo e incluso prohibido”— escribe el matemático estadounidense Charles Seif.

Entonces, el sultán turco Abdul-Hamid II a fines del siglo XIX. ordenó a sus censores eliminar la fórmula del agua H2O de todos los libros de texto de química, tomando la letra "O" por cero y no queriendo que sus iniciales fueran difamadas por la proximidad al despreciable cero.

En Internet puedes encontrar la frase: “¡El cero es la fuerza más poderosa del Universo, puede hacer cualquier cosa! El cero crea orden en las matemáticas y también trae caos. Punto absolutamente correcto :)

Resumen de la sección y fórmulas básicas

El conjunto de números enteros consta de 3 partes:

• números naturales (los consideraremos con más detalle a continuación);
• números opuestos a los naturales;
• cero - " "

El conjunto de números enteros se denota letra z

1. Números naturales

Los números naturales son los números que usamos para contar objetos.

El conjunto de los números naturales se denota letra n

En operaciones con números enteros, necesitará la capacidad de encontrar MCD y MCM.

Máximo Común Divisor (MCD)

Para encontrar el NOD necesitas:

1. Descomponer números en factores primos (en números que no se pueden dividir por nada más que por sí mismos o por, por ejemplo, etc.).
2. Escribe los factores que forman parte de ambos números.
3. Multiplícalos.

Mínimo común múltiplo (mcm)

Para encontrar el NOC necesitas:

1. Factoriza números en factores primos (ya sabes cómo hacerlo muy bien).
2. Escriba los factores incluidos en la expansión de uno de los números (es mejor tomar la cadena más larga).
3. Súmales los factores que faltan de las expansiones de los números restantes.
4. Encuentra el producto de los factores resultantes.

2. Números negativos

Estos son números que son opuestos a los números naturales, es decir:

Ahora quiero saber de ti...

Espero que hayas apreciado los "trucos" súper útiles de esta sección y hayas entendido cómo te ayudarán en el examen.

Y lo que es más importante, en la vida. No estoy hablando de eso, pero créanme, este sí lo es. La capacidad de contar rápidamente y sin errores salva en muchas situaciones de la vida.

¡Ahora es tu turno!

Escriba, ¿usará métodos de agrupación, criterios de divisibilidad, MCD y MCM en los cálculos?

¿Quizás los has usado antes? ¿Dónde y cómo?

Tal vez tenga preguntas. O sugerencias.

Escribe en los comentarios cómo te ha gustado el artículo.

¡Y suerte con tus exámenes!

Si sumamos el número 0 a la izquierda de una serie de números naturales, obtenemos una serie de enteros positivos:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Números enteros negativos

Consideremos un pequeño ejemplo. La figura de la izquierda muestra un termómetro que marca una temperatura de 7 °C calor. Si la temperatura baja 4°C, el termómetro marcará 3°C de calor. Una disminución de la temperatura corresponde a una acción de sustracción:

Nota: todos los grados se escriben con la letra C (Celsius), el signo del grado se separa del número por un espacio. Por ejemplo, 7 °C.

Si la temperatura desciende 7 °C, el termómetro marcará 0 °C. Una disminución de la temperatura corresponde a una acción de sustracción:

Si la temperatura desciende 8 °C, el termómetro marcará -1 °C (1 °C de escarcha). Pero el resultado de restar 7 - 8 no se puede escribir usando números naturales y cero.

Ilustremos la resta en una serie de enteros positivos:

1) Contamos 4 números a la izquierda del número 7 y obtenemos 3:

2) Contamos 7 números a la izquierda del número 7 y obtenemos 0:

Es imposible contar 8 números en una serie de enteros positivos desde el número 7 a la izquierda. Para hacer factible la acción 7 - 8, expandimos la serie de enteros positivos. Para ello, a la izquierda del cero, escribimos (de derecha a izquierda) en orden todos los números naturales, añadiéndole a cada uno de ellos un signo -, mostrando que este número está a la izquierda del cero.

Las entradas -1, -2, -3, ... leen menos 1 , menos 2 , menos 3 , etc.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

La serie de números resultante se llama junto a números enteros. Los puntos a la izquierda y a la derecha en esta entrada significan que la serie puede continuar indefinidamente hacia la derecha y hacia la izquierda.

A la derecha del número 0 en esta fila están los números que se llaman natural o todo positivo(brevemente - positivo).

A la izquierda del número 0 en esta fila están los números que se llaman todo negativo(brevemente - negativo).

El número 0 es un número entero, pero no es ni positivo ni negativo. Separa números positivos y negativos.

Como consecuencia, una serie de enteros consta de enteros negativos, cero y enteros positivos.

Comparación de enteros

Compara dos números enteros- significa averiguar cuál de ellos es mayor, cuál es menor, o determinar que los números son iguales.

Puede comparar números enteros usando una fila de enteros, ya que los números en ella están ordenados de menor a mayor si se mueve a lo largo de la fila de izquierda a derecha. Por lo tanto, en una serie de números enteros, puede reemplazar las comas con un signo menor que:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Como consecuencia, De dos enteros, el de la derecha es el mayor y el de la izquierda es el menor., medio:

1) Cualquier número positivo es mayor que cero y mayor que cualquier número negativo:

1 > 0; 15 > -16

2) Cualquier número negativo menor que cero:

7 < 0; -357 < 0

3) De los dos números negativos, el que está a la derecha en la serie de los enteros es mayor.

Hay muchos tipos de números, uno de ellos son los enteros. Los números enteros aparecieron para facilitar el conteo no solo en una dirección positiva, sino también en una negativa.

Considere un ejemplo:
Durante el día hacía 3 grados afuera. Por la tarde la temperatura bajó 3 grados.
3-3=0
Hacía 0 grados afuera. Y por la noche, la temperatura bajó 4 grados y comenzó a mostrar en el termómetro -4 grados.
0-4=-4

Una serie de números enteros.

No podemos describir tal problema con números naturales; consideraremos este problema en una línea de coordenadas.

Tenemos una serie de números:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Esta serie de números se llama junto a números enteros.

Números enteros positivos. Números enteros negativos.

Una serie de números enteros consta de números positivos y negativos. A la derecha del cero están los números naturales, o también se les llama numeros enteros positivos. Y a la izquierda del cero vamos números enteros negativos.

El cero no es ni positivo ni negativo. Es el límite entre los números positivos y negativos.

es un conjunto de números formado por números naturales, enteros negativos y cero.

Una serie de números enteros en direcciones positivas y negativas es multitud sin fin.

Si tomamos dos enteros cualesquiera, entonces los números entre estos enteros se llamarán conjunto final.

Por ejemplo:
Tomemos números enteros de -2 a 4. Todos los números entre estos números están incluidos en el conjunto finito. Nuestro conjunto finito de números se ve así:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Los números naturales se denotan con la letra latina N.
Los números enteros se denotan con la letra latina Z. El conjunto completo de números naturales y enteros se puede representar en la figura.


enteros no positivos en otras palabras, son enteros negativos.
enteros no negativos son enteros positivos.