Egészek és tizedek. Egész számok: általános ábrázolás

Ebben a cikkben meghatározzuk az egész számok halmazát, megvizsgáljuk, mely egész számokat nevezzük pozitívnak és melyeket negatívnak. Azt is bemutatjuk, hogyan használjuk az egész számokat bizonyos mennyiségek változásainak leírására. Kezdjük az egész számok meghatározásával és példáival.

Egész számok. Definíció, példák

Először idézzük fel a természetes számokat ℕ. Már maga a név is azt sugallja, hogy ezek olyan számok, amelyeket ősidők óta természetesen számlálásra használnak. Az egész számok fogalmának lefedéséhez ki kell terjesztenünk a természetes számok definícióját.

Definíció 1. Egész számok

Az egész számok természetes számok, ellentétes számok és nulla szám.

Az egész számok halmazát a ℤ betű jelöli.

A természetes számok halmaza ℕ a ℤ egész számok részhalmaza. Bármely természetes szám egész szám, de nem minden egész természetes szám.

A definícióból következik, hogy az 1, 2, 3 számok bármelyike ​​egész szám. ... , 0 szám, valamint - 1, - 2, - 3,. ...

Ennek megfelelően példákat adunk. A 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 számok egész számok.

Legyen a koordinátavonal vízszintesen megrajzolva és jobbra irányítva. Vessünk egy pillantást rá, hogy megjelenítsük az egész számok egyenes vonalon való elrendezését.

A koordináta egyenes origója a 0 számnak felel meg, a nulla két oldalán lévő pontok pedig pozitív és negatív egész számoknak felelnek meg. Minden pont egyetlen egész számnak felel meg.

Az egyenes koordinátája egész szám bármely pontjához eljuthat, ha az origóból bizonyos számú egységszakaszt félreteszünk.

Pozitív és negatív egész számok

Az összes egész szám közül logikus különbséget tenni pozitív és negatív egész számok között. Adjuk meg a definícióikat.

Definíció 2. Pozitív egész számok

A pozitív egész számok plusz előjelű egész számok.

Például a 7-es szám egy pluszjel, azaz egy pozitív egész szám. A koordinátavonalon ez a szám a referenciaponttól jobbra található, amelyhez a 0-t vettük. További példák pozitív egész számokra: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definíció 3. Negatív egész számok

A negatív egész számok mínuszjellel rendelkező egész számok.

Példák negatív egész számokra: - 528, - 2568, - 1.

A 0 elválasztja a pozitív és negatív egész számokat, és maga sem nem pozitív, sem nem negatív.

Minden olyan szám, amely a pozitív egész szám ellentéte, definíció szerint negatív egész szám. Ennek fordítva is igaz. Bármely negatív egész szám inverze pozitív egész szám.

A negatív és pozitív egész számok más definícióit is megadhatja a nullával való összehasonlításukkal.

Definíció 4. Pozitív egész számok

A pozitív egész számok olyan egész számok, amelyek nagyobbak nullánál.

Definíció 5. Negatív egész számok

A negatív egész számok olyan egész számok, amelyek nullánál kisebbek.

Ennek megfelelően a pozitív számok a koordináta egyenes origójától jobbra, a negatív egészek pedig a nullától balra.

Korábban azt mondtuk, hogy a természetes számok egész számok részhalmaza. Tisztázzuk ezt a pontot. A természetes számok halmaza pozitív egész számokból áll. A negatív egész számok halmaza viszont az ellentétes természetes számok halmaza.

Fontos!

Bármely természetes szám nevezhető egész számnak, de egyetlen egész nem nevezhető természetesnek. Arra a kérdésre válaszolva, hogy vannak-e negatív számok természetes, bátran ki kell mondanunk – nem, nem azok.

Nem pozitív és nem negatív egész számok

Adjunk definíciókat.

6. definíció. Nem negatív egész számok

A nem negatív egész számok pozitív egészek és a szám nulla.

7. definíció. Nem pozitív egész számok

A nem pozitív egész számok negatív egész számok és a nulla szám.

Mint látható, a nulla szám nem pozitív és nem negatív.

Példák nemnegatív egész számokra: 52, 128, 0.

Példák nem pozitív egész számokra: - 52, - 128, 0.

A nem negatív szám nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő szám. Ennek megfelelően a nem pozitív egész szám nullánál kisebb vagy azzal egyenlő.

A "nem pozitív szám" és a "nem negatív szám" kifejezéseket a rövidség kedvéért használják. Például ahelyett, hogy azt mondanánk, hogy az a szám nullánál nagyobb vagy azzal egyenlő egész szám, a következőt mondhatja: a egy nem negatív egész szám.

Egész számok használata a mennyiségek változásainak leírására

Mire használják az egész számokat? Először is, segítségükkel kényelmes leírni és meghatározni az objektumok számának változását. Mondjunk egy példát.

Legyen bizonyos számú főtengely tárolva a raktárban. Ha további 500 főtengely kerül a raktárba, ezek száma megnő. Az 500-as szám csak a részletek számának változását (növekedését) fejezi ki. Ha ezután 200 alkatrészt elvisznek a raktárból, akkor ez a szám fogja jellemezni a főtengelyek számának változását is. Ezúttal lefelé.

Ha semmit nem visznek el a raktárból, és semmit sem hoznak, akkor a 0 szám jelzi az alkatrészszám változatlanságát.

Az egész számok használatának nyilvánvaló kényelme a természetes számokkal ellentétben, hogy előjelük egyértelműen jelzi az érték változásának (növekedés vagy csökkenés) irányát.

A hőmérséklet 30 fokos csökkenése negatív számmal - 30, a 2 fokos növekedés pedig pozitív egész számmal 2 jellemezhető.

Íme egy másik példa egész számok használatára. Ezúttal mondjuk 5 érmét kell adnunk valakinek. Akkor azt mondhatjuk, hogy van - 5 érménk. Az 5-ös szám az adósság összegét írja le, a mínusz jel pedig azt, hogy vissza kell fizetnünk az érméket.

Ha egy személynek 2 érmével tartozunk, másiknak 3, akkor a teljes tartozás (5 érme) kiszámítható a negatív számok összeadásának szabályával:

2 + (- 3) = - 5

Ha hibát észlel a szövegben, kérjük, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl + Enter billentyűket

A számoknak számos fajtája létezik, amelyek közül néhány egész szám. Egész számok jelentek meg annak érdekében, hogy ne csak a pozitív, hanem a negatív irányba is könnyebb legyen számolni.

Nézzünk egy példát:
Napközben 3 fok volt kint a hőmérséklet. Estére 3 fokkal csökkent a hőmérséklet.
3-3=0
Az utcán 0 fok lett. És éjszaka a hőmérséklet 4 fokkal csökkent, és -4 fokot kezdett mutatni a hőmérő.
0-4=-4

Egész számok sorozata.

Természetes számokkal nem írhatunk le ilyen problémát, ezt a feladatot a koordinátaegyenesen fogjuk megvizsgálni.

Van egy számsorunk:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ezt a számsort nevezzük egész számok sorozata.

Pozitív egész számok. Negatív egész számok.

Egész számok sorozata pozitív és negatív számokból áll. A nullától jobbra természetes számok vannak, vagy hívják őket pozitív egész számok... És a nullától balra menj egész negatív számok.

A nulla nem pozitív és nem negatív. Ez a határ a pozitív és a negatív számok között.

Természetes számokból, negatív egész számokból és nullából álló számok halmaza.

Pozitív és negatív egész számok sorozata az végtelen készlet.

Ha bármely két egész számot veszünk, akkor az ezen egész számok közötti számokat hívjuk meg véges halmaz.

Például:
Vegyünk egész számokat -2 és 4 között. A számok között lévő összes szám egy véges halmazban található. A véges számkészletünk így néz ki:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

A természetes számokat a latin N betű jelöli.
Az egész számokat a latin Z betű jelöli. A természetes számok és egész számok összes halmaza ábrázolható az ábrán.


Nem pozitív egész számok más szóval, ezek negatív egész számok.
Nem negatív egész számok Pozitív egész számok.

Leegyszerűsítve, ezek egy speciális recept alapján vízben főzött zöldségek. Két kezdeti komponenst (zöldségsaláta és víz) és a végeredményt - a borscsot - veszem figyelembe. Geometriailag ez egy téglalapnak tekinthető, amelynek egyik oldala a salátát, a másik oldala pedig a vizet jelképezi. E két oldal összege jelenti a borscsot. Az ilyen "borscht" téglalap átlója és területe tisztán matematikai fogalmak, és soha nem használják a borscs receptekben.

A matematika tankönyvekben nem találsz semmit a lineáris szögfüggvényekről. De nélkülük nem létezhet matematika. A matematika törvényei, akárcsak a természet törvényei, attól függetlenül működnek, hogy tudunk-e létezésükről vagy sem.

A lineáris szögfüggvények összeadási törvények. Nézze meg, hogyan válik az algebra geometriává és a geometriából trigonometriává.

Eltekinthetünk a lineáris szögfüggvényektől? Megteheti, mert a matematikusok még mindig nélkülözik. A matematikusok trükkje abban rejlik, hogy mindig csak azokról a problémákról beszélnek, amelyeket ők maguk is tudnak, és soha nem beszélnek azokról a problémákról, amelyeket nem tudnak megoldani. Néz. Ha ismerjük az összeadás és az egyik tag eredményét, akkor kivonást használunk a másik tag megkereséséhez. Minden. Más feladatokat nem ismerünk és nem is tudjuk megoldani. Mi a teendő, ha csak az összeadás eredményét ismerjük, és nem ismerjük mindkét kifejezést? Ebben az esetben az összeadás eredményét lineáris szögfüggvények segítségével két tagra kell bontani. Ezután mi magunk választjuk ki, hogy mi lehet az egyik tag, és a lineáris szögfüggvények megmutatják, hogy mi legyen a második tag, hogy az összeadás eredménye pontosan az legyen, amire szükségünk van. Végtelen számú ilyen kifejezéspár lehet. V Mindennapi élet jól megtehetjük az összeg felbontása nélkül is, nekünk elég a kivonás. De a természet törvényeinek tudományos kutatásában az összeg tagokra bontása nagyon hasznos lehet.

Az összeadás másik törvénye, amelyről a matematikusok nem szívesen beszélnek (egy másik trükkjük), megköveteli, hogy a kifejezések mértékegységei azonosak legyenek. A saláta, a víz és a borscs esetében ezek lehetnek súly-, térfogat-, érték- vagy mértékegységek.

Az ábra a matematikai különbségek két szintjét mutatja. Az első szint a számok mezőjében tapasztalható különbségek, amelyeket jeleznek a, b, c... Ezt csinálják a matematikusok. A második szint az egységek területének különbségei, amelyek szögletes zárójelben vannak feltüntetve, és betűvel jelölve U... Ezt csinálják a fizikusok. Megérthetjük a harmadik szintet - különbségeket a leírt objektumok területén. Különböző objektumok ugyanannyi mértékegységet tartalmazhatnak. Hogy ez mennyire fontos, azt a borscht trigonometria példáján láthatjuk. Ha a különböző objektumok mértékegységeinek azonos jelöléséhez alsó indexeket adunk, akkor pontosan meg tudjuk mondani, hogy egy adott objektumot melyik matematikai érték ír le, és hogyan változik az idő múlásával vagy a cselekvéseinkkel összefüggésben. Levél által W Vizet fogok kijelölni, a betűvel S Kijelölöm a salátát és a levelet B- Borsch. Így néznek ki a borsch lineáris szögfüggvényei.

Ha kivesszük a víz egy részét és a saláta egy részét, akkor ezekből együtt egy adag borscs lesz. Itt azt javaslom, hogy tartson egy kis szünetet a borscstól, és emlékezzen távoli gyermekkorára. Emlékszel, hogyan tanítottak meg minket összerakni nyuszikat és kacsákat? Meg kellett találni, hány állat lesz. Akkor mire tanítottak minket? Megtanítottuk az egységeket a számoktól elválasztani és számokat összeadni. Igen, bármilyen szám hozzáadható bármely másik számhoz. Ez egy egyenes út a modern matematika autizmusához - nem világos, hogy mit, nem világos, miért, és nagyon rosszul értjük, hogy ez hogyan kapcsolódik a valósághoz, a három különbség miatt a matematika csak egyet működtet. . Helyesebb lenne megtanulni, hogyan lehet egyik mértékegységről a másikra váltani.

És a nyuszik, a kacsák és az állatok darabokban számolhatók. A különböző objektumok egyetlen közös mértékegysége lehetővé teszi, hogy összeadjuk őket. Ez a probléma gyerekes változata. Vessünk egy pillantást a felnőttek hasonló problémájára. Mi történik, ha nyuszikat és pénzt adsz hozzá? Itt két megoldás lehetséges.

Első lehetőség... Meghatározzuk a nyuszik piaci értékét és hozzáadjuk a rendelkezésre álló pénzösszeghez. Vagyonunk összértékét pénzben kifejezve megkaptuk.

Második lehetőség... A nálunk lévő bankjegyek számához hozzáadhatja a nyuszik számát. Az ingó vagyon darabszámát darabonként kapjuk meg.

Amint látja, ugyanaz az összeadási törvény különböző eredményeket ad. Minden attól függ, hogy pontosan mit akarunk tudni.

De térjünk vissza a borscsunkhoz. Most meglátjuk, hogy mikor mi lesz különböző jelentések lineáris szögfüggvények szöge.

A szög nulla. Van salátánk, de nincs víz. Borscht nem főzhetünk. A borscs mennyisége is nulla. Ez egyáltalán nem jelenti azt, hogy a nulla borscs egyenlő a nulla vízzel. Nulla borscht lehet nulla saláta (derékszög).

Számomra személy szerint ez a fő matematikai bizonyítéka annak, hogy. A nulla hozzáadásakor nem változtatja meg a számot. Maga az összeadás ugyanis lehetetlen, ha csak egy tag van, és nincs második tag. Tetszés szerint kapcsolódhat ehhez, de ne feledje – minden nullával végzett matematikai műveletet maguk a matematikusok találták ki, ezért dobja el a logikáját, és ostobán tömje össze a matematikusok által kitalált definíciókat: "nullával osztás lehetetlen", "bármely szám nullával szorozva egyenlő nulla", "a nulla kiütési pontért" és egyéb hülyeségek. Elég egyszer megjegyezni, hogy a nulla nem szám, és soha nem lesz kérdés, hogy a nulla természetes szám-e vagy sem, mert egy ilyen kérdés általában elveszti értelmét: hogyan tekinthetünk olyan számnak, amely nem szám. Ez olyan, mintha azt kérdeznénk, milyen színűnek kell lennie egy láthatatlan színnek. Nullát adni egy számhoz olyan, mintha nem létező festékkel festenénk. Száraz ecsettel integettünk, és mindenkinek azt mondtuk, hogy "festettünk". De elkalandozom egy kicsit.

A szög nagyobb, mint nulla, de kisebb, mint negyvenöt fok. Sok a salátánk, de kevés a víz. Ennek eredményeként sűrű borscsot kapunk.

A szög negyvenöt fok. Egyenlő mennyiségű víz és saláta van. Ez a tökéletes borscs (igen, a szakácsok megbocsátanak, ez csak matematika).

A szög negyvenöt foknál nagyobb, de kilencven foknál kisebb. Sok vízünk van és kevés salátánk. Kapsz folyékony borscsot.

Derékszög. Van vizünk. A salátából már csak az emlékek maradnak, ahogy tovább mérjük a szöget az egykor a salátát jelző vonalról. Borscht nem főzhetünk. A borscs mennyisége nulla. Ebben az esetben kapaszkodj és igyál vizet, amíg van)

Itt. Valami ilyesmi. Elmondhatok itt más történeteket is, amelyek több mint helyénvalóak lesznek itt.

Két barátnak volt részesedése a közös üzletben. Miután megölték egyiküket, minden a másikra került.

A matematika megjelenése bolygónkon.

Mindezeket a történeteket a matematika nyelvén, lineáris szögfüggvények segítségével mesélik el. Máskor megmutatom ezeknek a függvényeknek a valódi helyét a matematika szerkezetében. Addig is térjünk vissza a borscs trigonometriájához, és vegyük figyelembe a vetületeket.

2019. október 26., szombat

2019. augusztus 7., szerda

A témáról szóló beszélgetést lezárva, végtelen számú mérlegelendő. Az eredmény az, hogy a „végtelen” fogalma úgy hat a matematikusokra, mint egy boa-szűkítő a nyúlra. A végtelentől való remegő félelem megrabolja a matematikusokat józan ész... Íme egy példa:

Az eredeti forrás található. Az alfa a valós számot jelenti. Az egyenlőségjel a fenti kifejezésekben azt jelzi, hogy ha egy számot vagy végtelent adunk a végtelenhez, akkor semmi sem változik, az eredmény ugyanaz a végtelen lesz. Ha példának vesszük a természetes számok végtelen halmazát, akkor a vizsgált példák a következő formában jeleníthetők meg:

Helyességének vizuális bizonyítására a matematikusok számos különféle módszert dolgoztak ki. Én személy szerint úgy tekintek ezekre a módszerekre, mint a sámánokat táncoló tamburákkal. Lényegében mindegyik abból adódik, hogy vagy a szobák egy része nem foglalt, és új vendégek költöznek be, vagy a látogatók egy részét kidobják a folyosóra, hogy helyet adjanak a vendégeknek (nagyon emberileg). Az ilyen döntésekről alkotott véleményemet egy fantasztikus történet formájában mutattam be a Szőkéről. Mire épül az érvelésem? A végtelen számú látogató áthelyezése végtelenül sok időt vesz igénybe. Miután az első szobát felszabadítottuk egy vendégnek, az egyik látogató a század végéig mindig végigmegy a folyosón a szobájából a másikba. Az időfaktort persze hülyén lehet figyelmen kívül hagyni, de az már a "nem hülyéknek írják a törvény" kategóriából lesz. Minden attól függ, hogy mit csinálunk: a valóságot a matematikai elméletekhez igazítjuk, vagy fordítva.

Mi az a "végtelen szálloda"? A végtelen szálloda olyan szálloda, amelyben mindig van szabad hely, függetlenül attól, hogy hány szoba van elfoglalva. Ha a végtelen látogatói folyosón minden szoba foglalt, akkor van egy másik végtelen folyosó a vendégszobákkal. Végtelen számú ilyen folyosó lesz. Sőt, a "végtelen szállodának" végtelen számú emelete van végtelen számú épületben, végtelen számú bolygón, végtelen számú univerzumban, amelyeket végtelen számú isten hozott létre. A matematikusok azonban nem képesek elhatárolódni a hétköznapi hétköznapi problémáktól: Isten-Allah-Buddha mindig csak egy, a szálloda egy, a folyosó csak egy. Íme, matematikusok, és megpróbálják manipulálni a szállodai szobák sorozatszámát, meggyőzve minket arról, hogy lehetséges "bedugni a cuccot".

Érvelésem logikáját a természetes számok végtelen halmazának példáján mutatom be. Először is meg kell válaszolnia egy nagyon egyszerű kérdést: hány természetes számkészlet létezik - egy vagy több? Erre a kérdésre nincs helyes válasz, hiszen a számokat mi magunk találtuk ki, a Természetben nincsenek számok. Igen, a természet kiválóan tud számolni, de ehhez más matematikai eszközöket használ, amelyeket nem ismerünk. Ahogy a Természet gondolja, máskor elmondom. Mivel mi találtuk ki a számokat, mi magunk döntjük el, hogy hány természetes számhalmaz van. Mérlegelje mindkét lehetőséget, ahogy egy igazi tudóshoz illik.

1. lehetőség. „Adjunk nekünk” egyetlen természetes számkészletet, amely nyugodtan hever a polcon. Ezt a készletet levesszük a polcról. Ennyi, más természetes szám nem maradt a polcon, és nincs is hova venni. Ehhez a készlethez nem tudunk hozzáadni egyet, mert már megvan. És ha nagyon akarod? Nincs mit. A már elvett készletből kivehetünk egyet és visszatehetjük a polcra. Ezt követően levehetünk egy egységet a polcról, és hozzáadhatjuk a megmaradthoz. Ennek eredményeként ismét egy végtelen természetes számhalmazt kapunk. Az összes manipulációnkat így írhatja le:

Az algebrai jelölésrendszerben és a halmazelméletben alkalmazott jelölésrendszerben végzett műveleteket a halmaz elemeinek részletes felsorolásával írtam le. Az alsó index azt jelzi, hogy egyetlen természetes számkészletünk van. Kiderül, hogy a természetes számok halmaza csak akkor marad változatlan, ha kivonunk belőle és hozzáadjuk ugyanazt az egységet.

Második lehetőség. Sok különböző végtelen természetes számhalmaz található a polcon. Hangsúlyozom - MÁS, annak ellenére, hogy gyakorlatilag megkülönböztethetetlenek. Egy ilyen készletet veszünk. Ezután kiveszünk egyet a természetes számok másik halmazából, és hozzáadjuk a már felvett halmazhoz. Akár két természetes számhalmazt is összeadhatunk. Íme, amit kapunk:

Az „egy” és a „kettő” alsó indexek azt jelzik, hogy ezek az elemek különböző halmazokhoz tartoztak. Igen, ha hozzáadunk egyet a végtelen halmazhoz, akkor az eredmény is egy végtelen halmaz lesz, de nem lesz ugyanaz, mint az eredeti halmaz. Ha egy végtelen halmazhoz hozzáadunk egy másik végtelen halmazt, akkor az eredmény egy új végtelen halmaz, amely az első két halmaz elemeiből áll.

A számláláshoz sok természetes számot ugyanúgy használnak, mint a mérésekhez vonalzót. Most képzelje el, hogy hozzáad egy centimétert a vonalzóhoz. Ez már egy másik vonal lesz, nem egyenlő az eredetivel.

Elfogadhatod vagy nem fogadhatod el az érvelésemet – ez a te dolgod. De ha valaha is matematikai problémákba ütközik, gondolja át, nem követi-e a matematikusok generációi által kitaposott hamis érvelés útját. Hiszen a matematika mindenekelőtt stabil gondolkodási sztereotípiát alakít ki bennünk, és csak ezután ad hozzánk szellemi képességeket (vagy éppen ellenkezőleg, megfoszt bennünket a szabad gondolkodástól).

pozg.ru

2019. augusztus 4., vasárnap

Írtam egy utószavát egy cikkhez, és láttam ezt a csodálatos szöveget a Wikipédián:

Ezt olvassuk: „... gazdag elméleti alapja Babilon matematikája nem volt holisztikus jellegű, és különböző technikák halmazává redukálódott, amelyek nélkülözték a közös rendszert és bizonyítékbázist."

Azta! Milyen okosak vagyunk, és milyen jól látjuk mások hiányosságait. Nehéz nekünk a modern matematikát ugyanabban a kontextusban nézni? Kissé átfogalmazva a fenti szöveget, én személy szerint a következőket kaptam:

A modern matematika gazdag elméleti alapja nem holisztikus, hanem olyan, egymástól eltérő szakaszok halmazára redukálódik, amelyek nélkülözik a közös rendszert és bizonyítékbázist.

Nem megyek messzire, hogy megerősítsem szavaimat – olyan nyelvezete és konvenciói vannak, amelyek különböznek a matematika sok más ágának nyelvétől és konvencióitól. Ugyanazok a nevek a matematika különböző ágaiban eltérő jelentéssel bírhatnak. Publikációk egész sorát akarom szentelni a modern matematika legnyilvánvalóbb baklövéseinek. Hamarosan találkozunk.

2019. augusztus 3., szombat

Hogyan lehet egy halmazt részhalmazokra osztani? Ehhez meg kell adni egy új mértékegységet, amely a kiválasztott halmaz egyes elemeinél jelen van. Nézzünk egy példát.

Legyen nekünk sok A négy emberből áll. Ez a halmaz az „emberek” alapján jött létre. Jelöljük betűvel ennek a halmaznak az elemeit a, egy számjegyet tartalmazó alsó index a készlet minden egyes személyének sorszámát jelzi. Vezessünk be egy új mértékegységet, a „nemet”, és jelöljük betűvel b... Mivel a szexuális jellemzők minden emberben benne vannak, a halmaz minden elemét megsokszorozzuk A nem szerint b... Vegye figyelembe, hogy mostanra "embereink" sokasága "szexuális jellemzőkkel rendelkező emberek" sokaságává vált. Ezt követően feloszthatjuk a nemi jellemzőket férfiasra bmés a nők bw szexuális jellemzők. Most már alkalmazhatunk egy matematikai szűrőt: ezek közül a nemi jellemzők közül választunk ki egyet, nem mindegy, hogy melyik férfi vagy nő. Ha valakinek megvan, akkor megszorozzuk eggyel, ha nincs ilyen előjel, akkor nullával. És akkor alkalmazzuk a szokásos iskolai matematikát. Nézze meg, mi történt.

Szorzás, kicsinyítés és átrendezés után két részhalmazt kaptunk: a férfiak részhalmazát Bmés a nők egy részhalmaza Bw... A matematikusok ugyanezt gondolják, amikor a halmazelméletet a gyakorlatban alkalmazzák. De nem szentelnek minket a részleteknek, hanem kész eredményt adnak - "sok ember a férfiak egy részhalmazából és a nők egy részhalmazából áll." Természetesen felmerülhet a kérdés, hogy a fenti transzformációkban mennyire helyesen alkalmazzák a matematikát? Biztosíthatom önöket, valójában mindent helyesen csináltak, elég, ha ismerjük az aritmetika, a Boole-algebra és a matematika egyéb ágainak matematikai alapjait. Ami? Majd máskor mesélek róla.

Ami a szuperhalmazokat illeti, két halmazt összevonhat egy szuperhalmazba, ha kiválasztja a két halmaz elemeihez tartozó mértékegységet.

Amint láthatja, a mértékegységek és az általános matematika a halmazelméletet a múlté teszi. Azt jelzi, hogy a halmazelmélet nem minden rendben, hogy a matematikusok saját nyelvezetet és jelölést találtak ki a halmazelmélethez. A matematikusok azt csinálták, amit egykor a sámánok. Csak a sámánok tudják, hogyan kell „helyesen” alkalmazni „tudásukat”. Megtanítják nekünk ezt a "tudást".

Végül szeretném megmutatni, hogyan manipulálnak a matematikusok.

2019. január 7., hétfő

A Kr.e. V. században ókori görög filozófus Eleai Zénón megfogalmazta híres apóriáit, amelyek közül a leghíresebb az "Achilles és a teknősbéka" című aporia. Így hangzik:

Tegyük fel, hogy Akhilleusz tízszer gyorsabban fut, mint egy teknős, és ezer lépéssel mögötte van. Amíg Akhilleusz lefutja ezt a távot, a teknős száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. Amikor Akhilleusz száz lépést futott, a teknős még tíz lépést fog kúszni, és így tovább. A folyamat a végtelenségig folytatódik, Akhilleusz soha nem fogja utolérni a teknőst.

Ez az érvelés logikus sokkoló volt minden következő generáció számára. Arisztotelész, Diogenész, Kant, Hegel, Hilbert... Valamennyien, így vagy úgy, Zénón aporiáit tekintették. A sokk olyan erős volt, hogy " ... a viták jelenleg is folynak, a tudományos közösségnek még nem sikerült egységes véleményre jutnia a paradoxonok lényegéről ... matematikai elemzés, halmazelmélet, új fizikai és filozófiai megközelítések vontak be a kérdés vizsgálatába ; egyik sem lett általánosan elfogadott megoldás a kérdésre..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mindenki megérti, hogy becsapják, de senki sem érti, mi a megtévesztés.

A matematika szempontjából Zénón aporiájában egyértelműen bemutatta a nagyságról a másikra való átmenetet. Ez az átmenet konstansok helyett alkalmazást jelent. Ha jól értem, a változó mértékegységek használatára szolgáló matematikai apparátus vagy még nem alakult ki, vagy nem alkalmazták Zénó apóriájára. A megszokott logikánk alkalmazása csapdába vezet bennünket. A gondolkodás tehetetlensége folytán az idő állandó mértékegységeit alkalmazzuk a reciprokra. Fizikai szempontból időtágulásnak tűnik, amíg teljesen le nem áll abban a pillanatban, amikor Akhilleusz egy szintben van a teknőssel. Ha megáll az idő, Akhilleusz már nem tudja megelőzni a teknőst.

Ha megfordítjuk a már megszokott logikát, minden a helyére kerül. Akhilleusz állandó sebességgel fut. Útjának minden következő szakasza tízszer rövidebb, mint az előző. Ennek megfelelően a leküzdésére fordított idő tízszer kevesebb, mint az előzőnél. Ha ebben a helyzetben alkalmazzuk a "végtelen" fogalmát, akkor helyes lenne azt mondani, hogy "Achilles végtelenül gyorsan utoléri a teknőst."

Hogyan lehet elkerülni ezt a logikai csapdát? Maradjon állandó időegységekben, és ne menjen visszafelé. Zénón nyelvén ez így néz ki:

Azalatt az idő alatt, amíg Akhilleusz ezer lépést fut, a teknős száz lépést kúszik ugyanabba az irányba. A következő időintervallumban, amely megegyezik az elsővel, Akhilleusz további ezer lépést fut, a teknős pedig száz lépést kúszik. Most Akhilleusz nyolcszáz lépéssel a teknős előtt jár.

Ez a megközelítés adekvát módon írja le a valóságot minden logikai paradoxon nélkül. De ez nem teljes megoldás a problémára. Einstein kijelentése a fénysebesség felülmúlhatatlanságáról nagyon hasonlít az "Achilles és a teknős" zenói apóriájához. Ezt a problémát még tanulmányoznunk, újragondolnunk és megoldanunk kell. A megoldást pedig nem szabad a végtelenségig keresni nagy számok, és mértékegységekben.

Egy másik érdekes aporia Zeno egy repülő nyílról mesél:

A repülő nyíl mozdulatlan, hiszen az idő minden pillanatában nyugalomban van, és mivel minden pillanatban nyugalomban van, mindig nyugalomban van.

Ebben az apóriában a logikai paradoxont ​​nagyon egyszerűen leküzdjük - elég tisztázni, hogy minden időpillanatban a repülő nyíl a tér különböző pontjain nyugszik, ami valójában mozgás. Itt még egy szempontot kell megjegyezni. Egy úton lévő autó egyetlen fényképéből lehetetlen meghatározni sem a mozgás tényét, sem a távolságot. Az autó mozgásának tényének megállapításához két fényképre van szükség, amelyek ugyanarról a pontról készültek, különböző időpontokban, de lehetetlen meghatározni a távolságot tőlük. Az autótól való távolság meghatározásához két, a tér különböző pontjairól készült fényképre van szükség egyidejűleg, de ezekből nem tudja meghatározni a mozgás tényét (természetesen további adatokra van szükség a számításokhoz, a trigonometria segít) . Amire külön szeretném felhívni a figyelmet, az az, hogy két időpont és két térpont különböző dolog, amit nem szabad összekeverni, mert más-más lehetőséget adnak a kutatásra.
Hadd mutassam meg a folyamatot egy példán keresztül. Kiválasztjuk a "piros szilárd pattanásban" - ez a mi "egészünk". Ugyanakkor azt látjuk, hogy ezek a dolgok íjjal vannak, de íjak nincsenek. Ezután kiválasztjuk az „egész” egy részét, és egy készletet alkotunk „egy íjjal”. A sámánok így táplálják magukat azzal, hogy halmazelméletüket a valósághoz kötik.

Most csináljunk egy kis piszkos trükköt. Vegyük a „szilárd pattanásban egy masnit”, és kombináljuk ezeket az „egészeket” szín szerint, kiválasztva a piros elemeket. Sok "pirost" kaptunk. Most egy kérdés, amit ki kell tölteni: a kapott "íjjal" és "piros" halmazok ugyanazok, vagy két különböző halmaz? Csak a sámánok tudják a választ. Pontosabban ők maguk nem tudnak semmit, de ahogy mondják, úgy legyen.

Ez az egyszerű példa azt mutatja, hogy a halmazelmélet teljesen haszontalan, ha a valóságról van szó. mi a titok? Készítettünk egy készletet "piros szilárd anyagból egy dudor íjjal". A formálás négy különböző mértékegység szerint történt: szín (piros), szilárdság (szilárd), érdesség (pattanásban), díszek (masnival). Csak a mértékegységek halmaza teszi lehetővé a valós objektumok megfelelő leírását a matematika nyelvén... Így néz ki.

A különböző indexekkel ellátott "a" betű különböző mértékegységeket jelöl. A mértékegységek zárójelben vannak kiemelve, amivel az "egész" kiosztásra kerül az előzetes szakaszban. A zárójelek közül kiemeljük azt a mértékegységet, amellyel a halmaz keletkezik. Az utolsó sor a végeredményt mutatja - a készlet elemét. Mint látható, ha mértékegységeket használunk egy halmaz kialakításához, akkor az eredmény nem függ cselekvéseink sorrendjétől. És ez a matematika, nem a sámánok tamburákkal való tánca. A sámánok „intuitív módon” ugyanarra az eredményre juthatnak, „nyilvánvalóságból” érvelve, mert a mértékegységek nem szerepelnek „tudományos” arzenáljukban.

Nagyon egyszerűen használható az egységek felosztása vagy több készlet egy szuperszettbe történő kombinálása. Nézzük meg közelebbről ennek a folyamatnak az algebráját.

A cikkben található információk formák alapgondolat O egész számok... Először is megadjuk az egész számok definícióját, és példákat adunk. Továbbá figyelembe veszik a számegyenesen lévő egész számokat, amelyekből kiderül, hogy mely számokat nevezzük pozitív és melyeket negatív egész számoknak. Ezt követően bemutatjuk, hogyan írják le az értékek változásait egész számokkal, a negatív egészeket pedig az eladósodottság értelmében.

Oldalnavigáció.

Egész számok - definíció és példák

Meghatározás.

Egész számok- ezek természetes számok, a nulla szám, valamint a természetes számokkal ellentétes számok.

Az egész számok definíciója kimondja, hogy az 1, 2, 3,… számok bármelyike, a 0 szám, valamint a −1, −2, −3,… számok bármelyike ​​egész szám. Most már könnyedén vezethetünk példák egész számokra... Például a 38-as szám egész szám, a 70 040-es is egész szám, a nulla egy egész szám (emlékezzünk arra, hogy a nulla NEM természetes szám, a nulla egész szám), a -999, -1, -8 934 számok A 832 is példák egész számokra.

Célszerű minden egész számot egész számsorozatként ábrázolni, amelynek a következő alakja van: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Egész számok sorozata így írható fel: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Az egész számok definíciójából következik, hogy a természetes számok halmaza az egész számok halmazának részhalmaza. Ezért minden természetes szám egész szám, de egyetlen egész sem természetes.

Egész számok a koordináta egyenesen

Meghatározás.

Pozitív egész számok Olyan egész számok, amelyek nagyobbak nullánál.

Meghatározás.

Negatív egész számok Olyan egész számok, amelyek kisebbek nullánál.

A pozitív és negatív egész számok a koordinátaegyenesen elfoglalt helyzetük alapján is meghatározhatók. A vízszintes koordinátavonalon azok a pontok, amelyek koordinátái pozitív egész számok, az origótól jobbra helyezkednek el. A negatív egész koordinátájú pontok viszont az O ponttól balra helyezkednek el.

Nyilvánvaló, hogy az összes pozitív egész halmaz a természetes számok halmaza. Az összes negatív egész szám halmaza viszont a természetes számokkal ellentétes számok halmaza.

Külön szeretnénk felhívni a figyelmet arra, hogy bármely természetes számot nyugodtan nevezhetünk egész számnak, és NEM nevezhetünk természetesnek. Természetesnek csak bármilyen pozitív egész számot nevezhetünk, mivel a negatív egész és a nulla nem természetes.

Nem pozitív egész számok és nem negatív egész számok

Adjuk meg a nem pozitív és a nem negatív egész számok definícióit.

Meghatározás.

Minden pozitív egész számot a nullával együtt hívunk nem negatív egész számok.

Meghatározás.

Nem pozitív egész számok- ezek mind negatív egész számok a 0 számmal együtt.

Más szavakkal, a nem negatív egész szám nullánál nagyobb vagy egyenlő, a nem pozitív egész szám pedig nullánál kisebb vagy azzal egyenlő egész szám.

A nem pozitív egész számok példái a -511, -10 030, 0, -2, a nem negatív egészek példáiként pedig a 45, 506, 0, 900 321 számokat adjuk meg.

Leggyakrabban a "nem pozitív egész számok" és a "nem negatív egész számok" kifejezéseket a rövidség kedvéért használják. Például az „a szám egy egész szám, és a nagyobb vagy egyenlő nullával” kifejezés helyett azt mondhatja, hogy „a egy nem negatív egész szám”.

Értékek megváltoztatásának leírása egész számok használatával

Ideje beszélni arról, hogy mire valók az egész számok.

Az egész számok fő célja, hogy kényelmesen leírhassuk az objektumok számának változását. Nézzük meg példákkal.

Legyen bizonyos számú alkatrész a raktárban. Ha például 400-zal több alkatrészt visznek be a raktárba, akkor a raktárban lévő alkatrészek száma megnő, és a 400-as szám ezt a mennyiségi változást fejezi ki pozitív irányban (felfelé). Ha például 100 alkatrészt vesznek el a raktárból, akkor a raktárban lévő alkatrészek száma csökken, a 100-as szám pedig a mennyiség negatív irányú (lefelé) változását fejezi ki. A raktárba alkatrészt nem hoznak, raktárból pedig nem visznek el, akkor beszélhetünk az alkatrészszám változatlanságáról (vagyis nulla mennyiségváltozásról).

A megadott példákban a részek számának változása a 400, -100 és 0 egész számokkal írható le. A 400 pozitív egész szám pozitív változást (növekedést) jelez. A -100 negatív egész szám negatív mennyiségváltozást (csökkenést) fejez ki. A 0 egész szám azt jelzi, hogy a mennyiség változatlan maradt.

Az egész számok használatának kényelme a természetes számokhoz képest, hogy nem kell kifejezetten jelezni, hogy a szám növekszik vagy csökken - az egész szám számszerűsíti a változást, az egész szám előjele pedig a változás irányát.

Az egész számok nemcsak mennyiségi, hanem mennyiségi változást is kifejezhetnek. Foglalkozzunk ezzel a hőmérséklet-változások példáján keresztül.

A 4 fokos hőmérséklet-emelkedést pozitív egész számként 4 fejezzük ki. Például a hőmérséklet 12 fokos csökkenése negatív egész számmal írható le -12. A hőmérséklet állandósága pedig annak változása, amelyet a 0 egész szám határozza meg.

Külön meg kell említeni a negatív egész számok tartozás összegeként való értelmezését. Például, ha van 3 almánk, akkor a pozitív egész 3 a birtokunkban lévő almák számát jelzi. Másrészt, ha valakinek 5 almát kell adnunk, és nincs meg, akkor ez a helyzet a −5 negatív egész számmal írható le. Ebben az esetben –5 almánk „van”, a mínusz jel az adósságot, az 5-ös pedig az adósságot számszerűsíti.

A negatív egész szám adósságként való értelmezése lehetővé teszi például a negatív egész számok hozzáadásának szabályának igazolását. Mondjunk egy példát. Ha valaki 2 almával tartozik egyik embernek és egy almával a másiknak, akkor a teljes tartozás 2 + 1 = 3 alma, tehát −2 + (- 1) = - 3.

Bibliográfia.

• Vilenkin N. Ya. és más matematika. 6. évfolyam: tankönyv oktatási intézmények számára.

A negatív számokat először az ókori Kínában és Indiában kezdték használni, Európában Nicolas Schuecke (1484) és Michael Stiefel (1544) vezette be őket a matematikai használatba.

Algebrai tulajdonságok

$\backslash \; mathbb\; (Z)$ nem záródik két egész szám osztása alatt (például 1/2). Az alábbi táblázat az összeadás és szorzás néhány alapvető tulajdonságát szemlélteti bármely egész szám esetén. a, bés c.

| lista5 = Bíboros számok - Mindenképpen át kell ülni az ágyba, itt ez semmiképpen nem lesz lehetséges ...
A pácienst annyira körülvették az orvosok, hercegnők és szolgálók, hogy Pierre már nem látta azt a vörös-sárga, szürke sörényű fejét, amely annak ellenére, hogy más arcokat is látott, egy pillanatra sem hagyta el a szemeit az egész szolgálat alatt. . Pierre a széket körülvevő emberek óvatos mozgásából sejtette, hogy a haldoklót felemelték és viszik.
– Kapaszkodj a kezembe, úgy elejted – hallotta az egyik szolga ijedt suttogását –, alulról... egy másik – szóltak a hangok, valamint a nehéz lélegzetvétel és a láblépés. az emberek sietősebbek lettek, mintha a cipelő súly meghaladja az erejüket...
A hordozók, köztük Anna Mihajlovna, egy szintre húzódtak a fiatalemberrel, és egy pillanatra az emberek háta és feje mögül megpillantott egy magas, kövér, nyitott mellkast, a beteg kövér vállát. , amit a hóna alatt tartó emberek emeltek fel, és egy ősz hajú göndör, oroszlánfej. Ezt a szokatlanul széles homlokú és arccsontú, szép érzéki szájú, fenségesen hideg tekintetű fejet nem torzította el a halál közelsége. Ugyanaz volt, mint akit Pierre ismerte három hónappal ezelőtt, amikor a gróf elengedte őt Pétervárra. De ez a fej tehetetlenül himbálózott a hordozók egyenetlen lépéseitől, és a hideg, közömbös tekintet nem tudta, hol álljon meg.
Néhány perc telt el a magas ágy nyüzsgése mellett; a beteget szállító emberek szétszéledtek. Anna Mihajlovna megérintette Pierre kezét, és azt mondta neki: „Venezi”. [Menj.] Pierre elment vele az ágyhoz, amelyre ünnepi pózban, nyilvánvalóan az imént végzett szentséghez kapcsolódóan fektették a beteget. Felemelt fejjel feküdt a párnákon. Kezeit szimmetrikusan egy zöld selyemtakaróra fektették, tenyérrel lefelé. Amikor Pierre közeledett, a gróf egyenesen ránézett, de olyan pillantással nézett, amelynek értelmét és jelentését az ember nem értette meg. Vagy ez a pillantás nem mondott semmit, kivéve azt, hogy amíg van szem, addig valahova nézni kell, vagy túl sokat mondott. Pierre megállt, nem tudta, mit tegyen, és kérdőn nézett vezetőjére, Anna Mihajlovnára. Anna Mihajlovna elhamarkodottan intett neki a szemével, a beteg kezére mutatott, és ajkával puszit küldött neki. Pierre szorgalmasan nyújtogatta a nyakát, nehogy belekapjon a takaróba, követte a tanácsát, és megcsókolta széles csontozatú és húsos kezét. A gróf egyik keze, egyetlen izma sem remegett meg. Pierre ismét kérdőn nézett Anna Mihajlovnára, és azt kérdezte, most mit tegyen. Anna Mihajlovna szemével az ágy mellett álló fotelre mutatott. Pierre engedelmesen leülni kezdett a fotelre, szeme továbbra is azt kérdezte, megtette-e, amit kellett. Anna Mihajlovna elismerően bólintott. Pierre ismét egy egyiptomi szobor szimmetrikusan naiv helyzetét vette fel, láthatóan részvétét fejezi ki amiatt, hogy ügyetlen és kövér teste ekkora helyet foglalt el, és minden szellemi erejét felhasználva a lehető legkisebbnek látszott. A grófra nézett. A gróf arra a helyre nézett, ahol Pierre arca volt, miközben állt. Anna Mihajlovna a maga pozíciójában tisztában volt az apa és fia találkozásának utolsó percének megható fontosságával. Ez két percig tartott, ami Pierre egy órának tűnt. Hirtelen borzongás jelent meg a gróf arcának nagy izmaiban és ráncaiban. A borzongás felerősödött, gyönyörű szája eltorzult (Pierre csak ekkor jött rá, hogy apja milyen mértékben áll közel a halálhoz), a kicsavarodott szájból homályos rekedt hang hallatszott. Anna Mihajlovna szorgalmasan a beteg szemébe nézett, és megpróbálta kitalálni, mire van szüksége, és most Pierre-re mutatott, most igyon, most kérdőn Vaszilij hercegnek nevezett suttogással, most a takaróra mutatott. A beteg szeme és arca türelmetlenséget mutatott. Igyekezett ránézni a szolgára, aki az ágy fejénél állt, minden veszteség nélkül.
– Át akarnak borulni a másik oldalra – suttogta a szolga, és felállt, hogy a gróf nehéz testét a fal felé fordítsa.
Pierre felkelt, hogy segítsen a szolgának.
Miközben a grófot megfordították, az egyik keze tehetetlenül hátraesett, és hiábavaló erőfeszítéseket tett, hogy vonszolja. Vajon a gróf észrevette-e azt a rémült pillantást, amellyel Pierre ezt az élettelen kezet nézte, vagy milyen más gondolat villant fel haldokló fejében abban a pillanatban, de az engedetlen kezet, Pierre rémült arckifejezését, ismét a kéz, és arcán gyenge, szenvedő mosoly jelent meg, amely nem terjedt egészen az arcvonásaiig, mintegy gúnyt fejezve ki saját tehetetlensége miatt. E mosoly láttán Pierre hirtelen borzongást érzett a mellkasában, megcsípte az orrát, és a könnyek elhomályosították a látását. A beteget oldalára fordították a falnak. Sóhajtott.
„Il est assoupi, [elszunnyadt]” – mondta Anna Mihajlovna, és észrevette az őt helyettesítő hercegnőt. - Allons. [Menjünk-hoz.]
Pierre kiment.