Interi e decimi. Interi: rappresentazione generale

In questo articolo, definiremo l'insieme degli interi, considereremo quali interi sono chiamati positivi e quali negativi. Mostreremo anche come vengono usati gli interi per descrivere i cambiamenti in determinate quantità. Iniziamo con la definizione e gli esempi di numeri interi.

Numeri interi. Definizione, esempi

Ricordiamo prima i numeri naturali . Il nome stesso suggerisce che questi sono numeri che sono stati naturalmente usati per contare da tempo immemorabile. Per coprire il concetto di numeri interi, abbiamo bisogno di espandere la definizione di numeri naturali.

Definizione 1. Interi

Gli interi sono i numeri naturali, i numeri opposti e il numero zero.

L'insieme degli interi è indicato dalla lettera .

L'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme degli interi ℤ. Qualsiasi numero naturale è un numero intero, ma non tutti i numeri interi sono un numero naturale.

Dalla definizione segue che uno qualsiasi dei numeri 1, 2, 3 è un numero intero. ... , numero 0, così come i numeri - 1, - 2, - 3,. ...

In conformità con questo, daremo esempi. I numeri 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 sono numeri interi.

Lascia che la linea delle coordinate sia disegnata orizzontalmente e diretta a destra. Diamo un'occhiata per visualizzare la disposizione degli interi su una linea retta.

L'origine sulla linea delle coordinate corrisponde al numero 0 e i punti che si trovano su entrambi i lati dello zero corrispondono a numeri interi positivi e negativi. Ogni punto corrisponde a un singolo numero intero.

Puoi arrivare a qualsiasi punto di una retta, la cui coordinata è un numero intero, allontanando un certo numero di segmenti unitari dall'origine.

Interi positivi e negativi

Di tutti gli interi, è logico distinguere tra interi positivi e negativi. Diamo le loro definizioni.

Definizione 2. Interi positivi

Gli interi positivi sono interi con segno più.

Ad esempio, il numero 7 è un segno più, ovvero un numero intero positivo. Sulla linea delle coordinate, questo numero si trova a destra del punto di riferimento, per il quale viene preso il numero 0. Altri esempi di numeri interi positivi: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definizione 3. Interi negativi

Gli interi negativi sono numeri interi con il segno meno.

Esempi di numeri interi negativi: - 528, - 2568, - 1.

Il numero 0 separa numeri interi positivi e negativi e di per sé non è né positivo né negativo.

Qualsiasi numero che è l'opposto di un numero intero positivo è, per definizione, un numero intero negativo. È vero anche il contrario. L'inverso di qualsiasi numero intero negativo è un numero intero positivo.

Puoi dare altre definizioni di numeri interi negativi e positivi usando il loro confronto con zero.

Definizione 4. Interi positivi

Gli interi positivi sono numeri interi maggiori di zero.

Definizione 5. Interi negativi

Gli interi negativi sono numeri interi minori di zero.

Di conseguenza, i numeri positivi sono a destra dell'origine sulla linea delle coordinate e gli interi negativi sono a sinistra di zero.

Abbiamo detto prima che i numeri naturali sono un sottoinsieme di interi. Chiariamo questo punto. L'insieme dei numeri naturali è costituito da interi positivi. A sua volta, l'insieme degli interi negativi è l'insieme dei numeri naturali opposti.

Importante!

Qualsiasi numero naturale può essere chiamato intero, ma nessun intero non può essere chiamato naturale. Rispondendo alla domanda se sono numeri negativi naturale, dobbiamo dire con coraggio - no, non lo sono.

Interi non positivi e non negativi

Diamo delle definizioni.

Definizione 6. Interi non negativi

Gli interi non negativi sono gli interi positivi e il numero zero.

Definizione 7. Interi non positivi

Gli interi non positivi sono gli interi negativi e il numero zero.

Come puoi vedere, il numero zero non è né positivo né negativo.

Esempi di numeri interi non negativi: 52, 128, 0.

Esempi di numeri interi non positivi: - 52, - 128, 0.

Un numero non negativo è un numero maggiore o uguale a zero. Di conseguenza, un numero intero non positivo è un numero minore o uguale a zero.

I termini "numero non positivo" e "numero non negativo" sono usati per brevità. Ad esempio, invece di dire che il numero a è un numero intero maggiore o uguale a zero, puoi dire: a è un numero intero non negativo.

Utilizzo di numeri interi per descrivere i cambiamenti nelle quantità

A cosa servono gli interi? Prima di tutto, con il loro aiuto è conveniente descrivere e determinare il cambiamento nel numero di qualsiasi oggetto. Facciamo un esempio.

Lascia che un certo numero di alberi a gomiti sia immagazzinato nel magazzino. Se vengono portati in magazzino altri 500 alberi motore, il loro numero aumenterà. Il numero 500 esprime solo la variazione (aumento) del numero di dettagli. Se poi vengono prelevati 200 pezzi dal magazzino, questo numero caratterizzerà anche la variazione del numero di alberi motore. Questa volta, verso il basso.

Se nulla verrà prelevato dal magazzino e nulla verrà portato, il numero 0 indicherà l'invariabilità del numero di parti.

L'ovvia comodità dell'uso di numeri interi, a differenza dei numeri naturali, è che il loro segno indica chiaramente la direzione della variazione del valore (aumento o diminuzione).

Una diminuzione della temperatura di 30 gradi può essere caratterizzata da un numero negativo - 30 e un aumento di 2 gradi - da un numero intero positivo 2.

Ecco un altro esempio di utilizzo di numeri interi. Questa volta, diciamo che dobbiamo dare 5 monete a qualcuno. Quindi, possiamo dire che abbiamo - 5 monete. Il numero 5 descrive l'importo del debito e il segno meno dice che dobbiamo restituire le monete.

Se dobbiamo 2 monete a una persona e 3 a un'altra, il debito totale (5 monete) può essere calcolato usando la regola dell'aggiunta di numeri negativi:

2 + (- 3) = - 5

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Esistono molte varietà di numeri, alcuni dei quali sono numeri interi. Sono apparsi numeri interi per facilitare il conteggio non solo nella direzione positiva, ma anche in quella negativa.

Consideriamo un esempio:
Durante il giorno la temperatura esterna era di 3 gradi. La sera la temperatura è scesa di 3 gradi.
3-3=0
Sulla strada sono diventati 0 gradi. E di notte la temperatura è scesa di 4 gradi e ha iniziato a mostrare sul termometro -4 gradi.
0-4=-4

Una serie di numeri interi.

Non possiamo descrivere un tale problema con i numeri naturali; considereremo questo problema sulla linea delle coordinate.

Abbiamo una serie di numeri:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Questa serie di numeri si chiama una serie di numeri interi.

Interi positivi. Interi negativi.

Una serie di numeri interi è composta da numeri positivi e negativi. A destra dello zero ci sono i numeri naturali o sono anche chiamati interi positivi... E a sinistra dello zero vai numeri interi negativi.

Lo zero non è né positivo né negativo. È il confine tra numeri positivi e negativi.

È un insieme di numeri composto da numeri naturali, interi negativi e zero.

Una serie di numeri interi positivi e negativi è insieme infinito.

Se prendiamo due interi qualsiasi, allora verranno chiamati i numeri tra questi interi un insieme finito.

Per esempio:
Prendi interi da -2 a 4. Tutti i numeri compresi tra questi numeri sono inclusi in un insieme finito. Il nostro insieme finito di numeri assomiglia a questo:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

I numeri naturali sono designati dalla lettera latina N.
Gli interi sono indicati dalla lettera latina Z. Tutto l'insieme di numeri naturali e interi può essere rappresentato nella figura.


Interi non positivi in altre parole, sono numeri interi negativi.
Interi non negativi Sono numeri interi positivi.

In poche parole, si tratta di verdure cotte in acqua secondo una ricetta speciale. Prenderò in considerazione due componenti iniziali (insalata di verdure e acqua) e il risultato finale: borscht. Geometricamente, questo può essere pensato come un rettangolo con un lato che rappresenta la lattuga e l'altro lato che rappresenta l'acqua. La somma di queste due parti rappresenterà il borscht. La diagonale e l'area di un tale rettangolo "borscht" sono concetti puramente matematici e non vengono mai utilizzati nelle ricette del borscht.

Non troverai nulla sulle funzioni degli angoli lineari nei libri di matematica. Ma senza di loro non ci può essere matematica. Le leggi della matematica, come le leggi della natura, funzionano indipendentemente dal fatto che si sappia o meno della loro esistenza.

Le funzioni angolari lineari sono leggi di addizione. Guarda come l'algebra si trasforma in geometria e la geometria in trigonometria.

Si possono fare a meno delle funzioni angolari lineari? Puoi, perché i matematici ne fanno ancora a meno. Il trucco dei matematici sta nel fatto che ci parlano sempre e solo di quei problemi che loro stessi sanno risolvere, e non parlano mai di quei problemi che non possono risolvere. Aspetto. Se conosciamo il risultato dell'addizione e di un termine, usiamo la sottrazione per trovare l'altro termine. Tutto quanto. Non conosciamo altri compiti e non siamo in grado di risolverli. Cosa fare se si conosce solo il risultato dell'addizione e non si conoscono entrambi i termini? In questo caso, il risultato dell'addizione deve essere scomposto in due termini utilizzando le funzioni degli angoli lineari. Quindi noi stessi scegliamo quale può essere un termine e le funzioni degli angoli lineari mostrano quale dovrebbe essere il secondo termine in modo che il risultato dell'addizione sia esattamente ciò di cui abbiamo bisogno. Ci può essere un numero infinito di tali coppie di termini. Nella vita di tutti i giorni, ce la caviamo perfettamente senza la scomposizione della somma, ci basta la sottrazione. Ma nella ricerca scientifica delle leggi di natura, la scomposizione della somma in termini può essere molto utile.

Un'altra legge di addizione, di cui i matematici non amano parlare (altro loro trucco), richiede che i termini abbiano le stesse unità di misura. Per insalata, acqua e borscht, possono essere unità di misura per peso, volume, valore o unità di misura.

La figura mostra due livelli di differenza per la matematica. Il primo livello sono le differenze nel campo dei numeri, che sono indicati un, B, C... Questo è ciò che fanno i matematici. Il secondo livello sono le differenze nell'area delle unità, che sono mostrate tra parentesi quadre e indicate dalla lettera tu... Questo è ciò che fanno i fisici. Possiamo capire il terzo livello: differenze nell'area degli oggetti descritti. Oggetti diversi possono avere lo stesso numero delle stesse unità di misura. Quanto sia importante, possiamo vedere nell'esempio della trigonometria borscht. Se aggiungiamo pedici alla stessa designazione di unità di misura di oggetti diversi, possiamo dire esattamente quale valore matematico descrive un particolare oggetto e come cambia nel tempo o in connessione con le nostre azioni. Per lettera W Designerò l'acqua, con la lettera S Designerò l'insalata e la lettera B- Borsch. Ecco come apparirebbero le funzioni angolari lineari per il borsch.

Se prendiamo una parte dell'acqua e una parte dell'insalata, insieme si trasformeranno in una porzione di borscht. Qui ti suggerisco di fare una pausa dal borscht e ricordare la tua infanzia lontana. Ricordi come ci hanno insegnato a mettere insieme coniglietti e anatre? Era necessario scoprire quanti animali ci sarebbero stati. Allora cosa ci hanno insegnato a fare? Ci è stato insegnato a separare le unità dai numeri e ad aggiungere i numeri. Sì, qualsiasi numero può essere aggiunto a qualsiasi altro numero. Questo è un percorso diretto all'autismo della matematica moderna - lo stiamo facendo non è chiaro cosa, non è chiaro perché, e capiamo molto poco come questo si relazioni con la realtà, a causa dei tre livelli di differenza, la matematica ne opera solo uno . Sarebbe più corretto imparare a passare da un'unità di misura all'altra.

E i conigli, le anatre e gli animali possono essere contati a pezzi. Un'unità di misura comune per oggetti diversi ci consente di sommarli insieme. Questa è una versione infantile del problema. Diamo un'occhiata a un problema simile per gli adulti. Cosa succede quando aggiungi coniglietti e soldi? Ci sono due possibili soluzioni qui.

Prima opzione... Determiniamo il valore di mercato dei conigli e lo aggiungiamo alla somma di denaro disponibile. Abbiamo il valore totale della nostra ricchezza in termini monetari.

Seconda opzione... Puoi aggiungere il numero di coniglietti al numero di banconote che abbiamo. Riceveremo il numero di beni mobili in pezzi.

Come puoi vedere, la stessa legge di addizione produce risultati diversi. Tutto dipende da cosa vogliamo sapere esattamente.

Ma torniamo al nostro borsch. Ora possiamo vedere cosa accadrà quando significati diversi angolo di funzioni angolari lineari.

L'angolo è zero. Abbiamo insalata, ma niente acqua. Non possiamo cucinare il borscht. Anche la quantità di borscht è zero. Ciò non significa affatto che zero borscht sia uguale a zero acqua. Zero borscht può essere a zero insalata (angolo retto).

Per me personalmente, questa è la principale prova matematica del fatto che. Zero non cambia il numero quando viene aggiunto. Questo perché l'addizione stessa è impossibile se c'è un solo termine e non c'è un secondo termine. Puoi trattarlo come preferisci, ma ricorda: tutte le operazioni matematiche con zero sono state inventate dai matematici stessi, quindi scarta la tua logica e stupidamente riempi le definizioni inventate dai matematici: "la divisione per zero è impossibile", "qualsiasi numero moltiplicato per zero è uguale a zero", "per il punto di eliminazione zero" e altre sciocchezze. Basta ricordare una volta che lo zero non è un numero, e non ti chiederai mai se zero sia un numero naturale o meno, perché una domanda del genere generalmente perde ogni significato: come possiamo considerare un numero che non è un numero. È come chiedere di che colore dovrebbe essere un colore invisibile. Aggiungere zero a un numero è come dipingere con una vernice che non esiste. Abbiamo agitato con un pennello asciutto e detto a tutti che "abbiamo dipinto". Ma sto divagando un po'.

L'angolo è maggiore di zero, ma minore di quarantacinque gradi. Abbiamo molta insalata, ma poca acqua. Di conseguenza, otteniamo un borscht denso.

L'angolo è di quarantacinque gradi. Abbiamo la stessa quantità di acqua e insalata. Questo è il borscht perfetto (sì, i cuochi mi perdoneranno, è solo matematica).

L'angolo è maggiore di quarantacinque gradi, ma minore di novanta gradi. Abbiamo molta acqua e poca insalata. Ottieni borscht liquido.

Angolo retto. Abbiamo acqua. Dell'insalata rimangono solo i ricordi, mentre continuiamo a misurare l'angolo dalla linea che un tempo rappresentava l'insalata. Non possiamo cucinare il borscht. La quantità di borscht è zero. In tal caso, tieni duro e bevi l'acqua mentre ce l'hai)))

Qui. Qualcosa come questo. Posso raccontare altre storie qui che saranno più che appropriate qui.

Due amici avevano le loro quote negli affari comuni. Dopo aver ucciso uno di loro, tutto è passato all'altro.

L'emergere della matematica sul nostro pianeta.

Tutte queste storie sono raccontate nel linguaggio della matematica usando funzioni angolari lineari. Un'altra volta ti mostrerò il posto reale di queste funzioni nella struttura della matematica. Nel frattempo, torniamo alla trigonometria del borscht e consideriamo le proiezioni.

sabato 26 ottobre 2019

mercoledì, 7 agosto 2019

Concludendo la conversazione, c'è un numero infinito da considerare. Il risultato è che il concetto di "infinito" agisce sui matematici come un boa constrictor su un coniglio. La tremante paura dell'infinito deruba i matematici buon senso... Ecco un esempio:

La fonte originale si trova. Alfa sta per numero reale. Il segno di uguale nelle espressioni sopra indica che se aggiungi un numero o infinito all'infinito, nulla cambierà, il risultato sarà lo stesso infinito. Se prendiamo come esempio un insieme infinito di numeri naturali, allora gli esempi considerati possono essere presentati nella forma seguente:

Per una prova visiva della loro correttezza, i matematici hanno escogitato molti metodi diversi. Personalmente, considero tutti questi metodi come sciamani danzanti con tamburelli. Essenzialmente, si riducono tutti al fatto che o alcune delle stanze non sono occupate e nuovi ospiti si stanno trasferendo, o che alcuni visitatori vengono gettati nel corridoio per fare spazio agli ospiti (molto umanamente). Ho presentato la mia opinione su tali decisioni sotto forma di una fantastica storia sulla bionda. Su cosa si basa il mio ragionamento? Il trasferimento di un numero infinito di visitatori richiede un tempo infinito. Dopo aver liberato la prima stanza per un ospite, uno dei visitatori camminerà sempre lungo il corridoio dalla sua stanza alla successiva fino alla fine del secolo. Certo, il fattore tempo può essere stupidamente ignorato, ma sarà già dalla categoria "la legge non è scritta per gli sciocchi". Tutto dipende da cosa stiamo facendo: adeguare la realtà per farla corrispondere alle teorie matematiche o viceversa.

Che cos'è un "hotel senza fine"? Un hotel senza fine è un hotel che ha sempre un numero qualsiasi di posti liberi, indipendentemente dal numero di camere occupate. Se tutte le stanze dell'infinito corridoio dei visitatori sono occupate, c'è un altro corridoio infinito con le stanze degli ospiti. Ci sarà un numero infinito di tali corridoi. Inoltre, l'"hotel infinito" ha un numero infinito di piani in un numero infinito di edifici su un numero infinito di pianeti in un numero infinito di universi creati da un numero infinito di Dei. I matematici, però, non riescono a prendere le distanze dai banali problemi quotidiani: Dio-Allah-Buddha è sempre uno solo, l'albergo è uno, il corridoio è uno solo. Qui ci sono matematici e stanno cercando di manipolare i numeri di serie delle camere d'albergo, convincendoci che è possibile "infilarci dentro la roba".

Ti mostrerò la logica del mio ragionamento sull'esempio di un insieme infinito di numeri naturali. Innanzitutto, devi rispondere a una domanda molto semplice: quanti insiemi di numeri naturali ci sono: uno o molti? Non esiste una risposta corretta a questa domanda, poiché abbiamo inventato i numeri noi stessi, in Natura non ci sono numeri. Sì, la Natura è bravissima a contare, ma per questo usa altri strumenti matematici che non ci sono familiari. Come pensa la Natura, te lo dirò un'altra volta. Poiché abbiamo inventato i numeri, decideremo noi stessi quanti insiemi di numeri naturali ci sono. Considera entrambe le opzioni, come si addice a un vero scienziato.

Opzione uno. "Ci sia dato" un unico insieme di numeri naturali, che giace serenamente sullo scaffale. Prendiamo questo set dallo scaffale. Questo è tutto, non ci sono altri numeri naturali rimasti sullo scaffale e non c'è nessun posto dove portarli. Non possiamo aggiungerne uno a questo set, poiché lo abbiamo già. E se davvero lo vuoi? Nessun problema. Possiamo prenderne uno dal set che abbiamo già preso e rimetterlo sullo scaffale. Dopodiché, possiamo prendere un'unità dallo scaffale e aggiungerla a ciò che ci rimane. Di conseguenza, otteniamo di nuovo un insieme infinito di numeri naturali. Puoi scrivere tutte le nostre manipolazioni in questo modo:

Ho annotato le azioni nel sistema di notazione algebrica e nel sistema di notazione adottato nella teoria degli insiemi, con una dettagliata enumerazione degli elementi dell'insieme. Il pedice indica che abbiamo un solo insieme di numeri naturali. Si scopre che l'insieme dei numeri naturali rimarrà invariato solo se si sottrae e si aggiunge la stessa unità.

Opzione due. Abbiamo molti diversi insiemi infiniti di numeri naturali sul nostro scaffale. Sottolineo - DIVERSO, nonostante siano praticamente indistinguibili. Prendiamo uno di questi set. Quindi prendiamo uno da un altro insieme di numeri naturali e lo aggiungiamo all'insieme che abbiamo già preso. Possiamo anche aggiungere due insiemi di numeri naturali. Ecco cosa otteniamo:

I pedici "uno" e "due" indicano che questi elementi appartenevano a insiemi diversi. Sì, se aggiungi uno all'insieme infinito, il risultato sarà anche un insieme infinito, ma non sarà lo stesso dell'insieme originale. Se aggiungiamo un altro insieme infinito a un insieme infinito, il risultato è un nuovo insieme infinito costituito dagli elementi dei primi due insiemi.

Molti numeri naturali vengono utilizzati per contare allo stesso modo di un righello per le misurazioni. Ora immagina di aggiungere un centimetro al righello. Questa sarà già una linea diversa, non uguale all'originale.

Puoi accettare o non accettare il mio ragionamento: sono affari tuoi. Ma se mai ti imbatti in problemi matematici, pensa se non stai seguendo il percorso del falso ragionamento percorso da generazioni di matematici. Dopotutto, fare matematica, prima di tutto, forma in noi uno stereotipo stabile di pensiero e solo dopo ci aggiunge capacità mentali (o, al contrario, ci priva del pensiero libero).

pozg.ru

domenica, 4 agosto 2019

Stavo scrivendo un poscritto a un articolo su e ho visto questo meraviglioso testo su Wikipedia:

Leggiamo: "... ricco basi teoriche la matematica di Babilonia non aveva un carattere olistico e si riduceva a un insieme di tecniche disparate, prive di un sistema comune e di una base di prove».

Oh! Quanto siamo intelligenti e quanto bene possiamo vedere le carenze degli altri. È difficile per noi guardare alla matematica moderna nello stesso contesto? Parafrasando leggermente il testo sopra, personalmente ho ottenuto quanto segue:

La ricca base teorica della matematica moderna non è olistica e si riduce a un insieme di sezioni disparate prive di un sistema comune e di una base di prove.

Non andrò lontano per confermare le mie parole: ha un linguaggio e convenzioni diverse dal linguaggio e dalle convenzioni di molti altri rami della matematica. Gli stessi nomi in diversi rami della matematica possono avere significati diversi. Voglio dedicare un'intera serie di pubblicazioni agli errori più evidenti della matematica moderna. A presto.

sabato 3 agosto 2019

Come si divide un insieme in sottoinsiemi? Per fare ciò è necessario inserire una nuova unità di misura che sia presente per alcuni elementi dell'insieme selezionato. Diamo un'occhiata a un esempio.

Facciamone molti UN composto da quattro persone. Questo insieme è stato formato sulla base di "persone" Indichiamo gli elementi di questo insieme con la lettera un, un pedice con una cifra indicherà il numero ordinale di ogni persona in questo set. Introduciamo una nuova unità di misura "sesso" e denotiamola con la lettera B... Poiché le caratteristiche sessuali sono inerenti a tutte le persone, moltiplichiamo ogni elemento dell'insieme UN per genere B... Nota che ora la nostra moltitudine di "persone" è diventata una moltitudine di "persone con caratteristiche sessuali". Dopodiché, possiamo dividere le caratteristiche sessuali in maschili bm e le donne bw caratteristiche sessuali. Ora possiamo applicare un filtro matematico: selezioniamo una di queste caratteristiche sessuali, non importa quale sia maschio o femmina. Se una persona ce l'ha, allora lo moltiplichiamo per uno, se non c'è un tale segno, lo moltiplichiamo per zero. E poi applichiamo la solita matematica scolastica. Guarda cosa è successo.

Dopo la moltiplicazione, la riduzione e il riarrangiamento, abbiamo ottenuto due sottoinsiemi: il sottoinsieme di men Bm e un sottoinsieme di donne bw... I matematici pensano allo stesso modo quando applicano la teoria degli insiemi nella pratica. Ma non ci dedicano ai dettagli, ma danno un risultato finale: "molte persone sono costituite da un sottoinsieme di uomini e un sottoinsieme di donne". Naturalmente, potresti chiederti come viene applicata correttamente la matematica nelle trasformazioni di cui sopra? Mi permetto di assicurarvi, infatti, le trasformazioni sono state fatte correttamente, è sufficiente conoscere le basi matematiche dell'aritmetica, dell'algebra booleana e di altre branche della matematica. Cos'è? Un'altra volta te ne parlerò.

Per quanto riguarda i superset, puoi combinare due insiemi in un unico superset scegliendo l'unità di misura presente per gli elementi di questi due insiemi.

Come puoi vedere, le unità di misura e la matematica comune rendono la teoria degli insiemi un ricordo del passato. Un'indicazione che la teoria degli insiemi non va bene è che i matematici hanno escogitato un proprio linguaggio e una notazione per la teoria degli insiemi. I matematici hanno fatto ciò che facevano una volta gli sciamani. Solo gli sciamani sanno applicare "correttamente" la loro "conoscenza". Ci insegnano questa "conoscenza".

Infine, voglio mostrarvi come manipolano i matematici.

lunedì 7 gennaio 2019

Nel V secolo a.C. filosofo greco antico Zenone di Elea formulò le sue famose aporie, la più famosa delle quali è l'aporia "Achille e la tartaruga". Ecco come suona:

Diciamo che Achille corre dieci volte più veloce di una tartaruga e si trova a mille passi dietro di essa. Durante il tempo impiegato da Achille per percorrere questa distanza, la tartaruga camminerà per cento passi nella stessa direzione. Quando Achille avrà percorso cento passi, la tartaruga ne farà altri dieci e così via. Il processo continuerà all'infinito, Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Questo ragionamento è stato uno shock logico per tutte le generazioni successive. Aristotele, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Tutti loro, in un modo o nell'altro, consideravano le aporie di Zenone. Lo shock è stato così forte che" ... le discussioni continuano al momento, la comunità scientifica non è ancora riuscita a raggiungere un'opinione comune sull'essenza dei paradossi ... analisi matematica, teoria degli insiemi, nuovi approcci fisici e filosofici sono stati coinvolti nello studio del problema ; nessuno di loro è diventato una soluzione generalmente accettata alla domanda ..."[Wikipedia," Le Aporie di Zenone "]. Tutti capiscono di essere stati ingannati, ma nessuno capisce quale sia l'inganno.

Dal punto di vista della matematica, Zenone nella sua aporia dimostrò chiaramente il passaggio dalla grandezza al. Questa transizione implica l'applicazione anziché le costanti. Per quanto ho capito, l'apparato matematico per usare le unità di misura variabili o non è stato ancora sviluppato, o non è stato applicato all'aporia di Zenone. Applicare la nostra solita logica ci porta in una trappola. Noi, per inerzia del pensiero, applichiamo unità di misura costanti del tempo al reciproco. Da un punto di vista fisico, sembra una dilatazione del tempo fino a quando non si ferma completamente nel momento in cui Achille è all'altezza della tartaruga. Se il tempo si ferma, Achille non può più superare la tartaruga.

Se capovolgiamo la logica a cui siamo abituati, tutto torna a posto. Achille corre a velocità costante. Ogni segmento successivo del suo percorso è dieci volte più corto del precedente. Di conseguenza, il tempo impiegato per superarlo è dieci volte inferiore a quello precedente. Se applichiamo il concetto di "infinito" in questa situazione, allora sarebbe corretto dire "Achille raggiungerà infinitamente rapidamente la tartaruga".

Come evitare questa trappola logica? Rimani in unità di tempo costanti e non tornare indietro. Nella lingua di Zenone, si presenta così:

Durante il tempo durante il quale Achille farà mille passi, la tartaruga camminerà cento passi nella stessa direzione. Nel prossimo intervallo di tempo, uguale al primo, Achille eseguirà altri mille passi e la tartaruga camminerà per cento passi. Ora Achille è ottocento passi avanti alla tartaruga.

Questo approccio descrive adeguatamente la realtà senza paradossi logici. Ma questa non è una soluzione completa al problema. L'affermazione di Einstein sull'insuperabilità della velocità della luce è molto simile all'aporia di Zenone "Achille e la tartaruga". Dobbiamo ancora studiare, ripensare e risolvere questo problema. E la soluzione non va cercata all'infinito grandi numeri, e in unità di misura.

Un'altra interessante aporia Zeno racconta di una freccia volante:

La freccia volante è immobile, poiché in ogni momento è ferma, e poiché è ferma in ogni momento, è sempre ferma.

In questa aporia, il paradosso logico viene superato in modo molto semplice: è sufficiente chiarire che in ogni momento una freccia volante si ferma in diversi punti dello spazio, che di fatto è movimento. Un altro punto dovrebbe essere notato qui. Da una singola fotografia di un'auto sulla strada, è impossibile determinare il fatto del suo movimento o la distanza da essa. Per determinare il fatto del movimento dell'auto, sono necessarie due fotografie, scattate dallo stesso punto in momenti diversi, ma è impossibile determinare la distanza da esse. Per determinare la distanza dall'auto, hai bisogno di due fotografie scattate contemporaneamente da punti diversi nello spazio, ma non possono determinare il fatto del movimento (ovviamente, sono ancora necessari dati aggiuntivi per i calcoli, la trigonometria ti aiuterà). Quello su cui voglio attirare l'attenzione è che due punti nel tempo e due punti nello spazio sono cose diverse che non devono essere confuse, perché offrono diverse opportunità di ricerca.
Lascia che ti mostri il processo con un esempio. Selezioniamo "rosso solido in un brufolo" - questo è il nostro "intero". Allo stesso tempo, vediamo che queste cose sono con un arco, ma non ci sono archi. Dopodiché selezioniamo una parte del "tutto" e formiamo un set "con un fiocco". È così che gli sciamani si nutrono legando la loro teoria degli insiemi alla realtà.

Ora facciamo un piccolo trucco sporco. Prendi "solido in un brufolo con un fiocco" e combina questi "interi" per colore, selezionando gli elementi rossi. Abbiamo un sacco di "rosso". Ora una domanda da riempire: i set risultanti "con fiocco" e "rosso" sono lo stesso set o sono due set diversi? Solo gli sciamani conoscono la risposta. Più precisamente, loro stessi non sanno nulla, ma come si suol dire, così sia.

Questo semplice esempio mostra che la teoria degli insiemi è completamente inutile quando si tratta di realtà. Qual è il segreto? Abbiamo formato un insieme di "solidi rossi in una protuberanza con un fiocco". La formazione avveniva secondo quattro diverse unità di misura: colore (rosso), forza (solida), ruvidità (in un brufolo), ornamenti (con un fiocco). Solo un insieme di unità di misura permette di descrivere adeguatamente oggetti reali nel linguaggio della matematica... Questo è quello che sembra.

La lettera "a" con indici diversi denota diverse unità di misura. Tra parentesi sono evidenziate le unità di misura, con le quali viene allocato il “tutto” in fase preliminare. L'unità di misura con cui è formato l'insieme è tolta dalle parentesi. L'ultima riga mostra il risultato finale - l'elemento del set. Come puoi vedere, se usiamo unità di misura per formare un insieme, il risultato non dipende dall'ordine delle nostre azioni. E questa è matematica, non la danza degli sciamani con i tamburelli. Gli sciamani possono "intuitivamente" arrivare allo stesso risultato, argomentandolo "per evidenza", perché le unità di misura non sono incluse nel loro arsenale "scientifico".

È molto facile usare le unità per dividere uno o combinare più set in un superset. Diamo un'occhiata più da vicino all'algebra di questo processo.

Le informazioni in questo articolo formano idea generale oh numeri interi... Innanzitutto, viene data la definizione di numeri interi e vengono forniti esempi. Inoltre, vengono considerati gli interi sulla linea dei numeri, da cui risulta chiaro quali numeri sono chiamati interi positivi e quali sono interi negativi. Successivamente, viene mostrato come vengono descritti i cambiamenti nei valori utilizzando numeri interi e gli interi negativi sono considerati nel senso di indebitamento.

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Interi - definizione ed esempi

Definizione.

Numeri interi- questi sono numeri naturali, il numero zero, così come i numeri opposti ai numeri naturali.

La definizione di interi afferma che uno qualsiasi dei numeri 1, 2, 3,..., il numero 0, nonché uno qualsiasi dei numeri -1, -2, -3,... è un numero intero. Ora possiamo facilmente guidare esempi di numeri interi... Ad esempio, il numero 38 è un intero, anche il numero 70 040 è un intero, zero è un intero (ricorda che zero NON è un numero naturale, zero è un intero), i numeri -999, -1, -8 934 832 sono anche esempi di numeri interi.

È conveniente rappresentare tutti gli interi come una sequenza di interi, che ha la forma seguente: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Una sequenza di interi può essere scritta in questo modo: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Dalla definizione di interi segue che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi. Pertanto, qualsiasi numero naturale è un intero, ma nessun numero intero è naturale.

Interi sulla linea delle coordinate

Definizione.

Interi positivi Sono numeri interi maggiori di zero.

Definizione.

Interi negativi Sono numeri interi minori di zero.

Gli interi positivi e negativi possono anche essere determinati dalla loro posizione sulla linea delle coordinate. Sulla linea delle coordinate orizzontali, i punti le cui coordinate sono numeri interi positivi si trovano a destra dell'origine. A loro volta, i punti con coordinate intere negative si trovano a sinistra del punto O.

È chiaro che l'insieme di tutti gli interi positivi è l'insieme dei numeri naturali. A sua volta, l'insieme di tutti gli interi negativi è l'insieme di tutti i numeri opposti ai numeri naturali.

Separatamente, vorremmo attirare la tua attenzione sul fatto che possiamo tranquillamente chiamare qualsiasi numero naturale un intero e NON possiamo chiamare nessun intero naturale. Possiamo chiamare naturale solo qualsiasi intero positivo, poiché gli interi negativi e lo zero non sono naturali.

Interi non positivi e interi non negativi

Diamo le definizioni di interi non positivi e di interi non negativi.

Definizione.

Vengono chiamati tutti gli interi positivi insieme al numero zero interi non negativi.

Definizione.

Interi non positivi- questi sono tutti numeri interi negativi insieme al numero 0.

In altre parole, un intero non negativo è un intero maggiore o uguale a zero e un intero non positivo è un intero minore o uguale a zero.

Esempi di interi non positivi sono i numeri -511, -10.030, 0, -2 e come esempi di interi non negativi diamo i numeri 45, 506, 0, 900 321.

Molto spesso, i termini "interi non positivi" e "interi non negativi" sono usati per brevità. Ad esempio, invece della frase "il numero a è un numero intero e a è maggiore o uguale a zero", puoi dire "a è un numero intero non negativo".

Descrivere i valori che cambiano usando numeri interi

È tempo di parlare di cosa servono gli interi.

Lo scopo principale degli interi è che sia conveniente usarli per descrivere il cambiamento nel numero di qualsiasi oggetto. Scopriamolo con degli esempi.

Lascia che ci sia un certo numero di parti nel magazzino. Se, ad esempio, vengono portati in magazzino 400 pezzi in più, il numero di pezzi nel magazzino aumenterà e il numero 400 esprime questa variazione della quantità in una direzione positiva (verso l'alto). Se, ad esempio, vengono prelevate 100 parti dal magazzino, allora il numero di parti nel magazzino diminuirà e il numero 100 esprimerà la variazione della quantità in direzione negativa (verso il basso). Le parti non verranno portate al magazzino e le parti dal magazzino non verranno portate via, quindi possiamo parlare dell'invariabilità del numero di parti (ovvero, possiamo parlare di variazione zero della quantità).

Negli esempi forniti, la variazione del numero di parti può essere descritta utilizzando rispettivamente gli interi 400, -100 e 0. Un numero intero positivo 400 indica una variazione positiva della quantità (aumento). Un intero negativo -100 esprime una variazione negativa della quantità (diminuzione). Un numero intero 0 indica che la quantità è rimasta invariata.

La comodità dell'uso di numeri interi rispetto all'utilizzo di numeri naturali è che non è necessario indicare esplicitamente se il numero è in aumento o in diminuzione: un numero intero quantifica il cambiamento e il segno dell'intero indica la direzione del cambiamento.

I numeri interi possono anche esprimere non solo una variazione di quantità, ma anche una variazione di una quantità. Affrontiamolo usando l'esempio delle variazioni di temperatura.

Un aumento della temperatura di, diciamo, 4 gradi è espresso come un numero intero positivo 4. Una diminuzione della temperatura, ad esempio, di 12 gradi può essere descritta da un numero intero negativo -12. E la costanza della temperatura è il suo cambiamento, determinato dall'intero 0.

Separatamente, va detto sull'interpretazione degli interi negativi come l'importo del debito. Ad esempio, se abbiamo 3 mele, l'intero positivo 3 indica il numero di mele che possediamo. D'altra parte, se dobbiamo dare 5 mele a qualcuno e non le abbiamo, allora questa situazione può essere descritta usando l'intero negativo -5. In questo caso, "abbiamo" -5 mele, il segno meno indica il debito e il numero 5 quantifica il debito.

Interpretare un numero intero negativo come un debito consente, ad esempio, di giustificare la regola per l'aggiunta di numeri interi negativi. Facciamo un esempio. Se qualcuno deve 2 mele a una persona e una mela a un'altra, il debito totale è 2 + 1 = 3 mele, quindi -2 + (- 1) = - 3.

Bibliografia.

• Vilenkin N. Ya. e altra matematica. Grado 6: libro di testo per le istituzioni educative.

Per la prima volta, i numeri negativi iniziarono ad essere usati nell'antica Cina e India, in Europa furono introdotti nell'uso matematico da Nicolas Schuke (1484) e Michael Stifel (1544).

Proprietà algebriche

$\backslash \; mathbb\; (Z)$ non è chiuso sotto la divisione di due interi (ad esempio, 1/2). La tabella seguente illustra alcune proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per qualsiasi numero intero. un, B e C.

| list5 = Numeri cardinali - Con tutti i mezzi è necessario trasferire al letto, qui non sarà possibile in alcun modo ...
Il paziente era così circondato da medici, principesse e servi che Pierre non riusciva più a vedere quella testa rosso-gialla con una criniera grigia, che, nonostante vedesse altre facce, non ha lasciato la sua vista per un momento durante l'intero servizio . Pierre intuì dal movimento attento delle persone che circondavano la sedia che il moribondo veniva sollevato e trasportato.
"Tienimi la mano, la lascerai cadere così", sentì un sussurro spaventato di uno dei servi, "dal basso ... un altro", dissero le voci, e il respiro pesante e il passo dei piedi della gente si affrettava, come se il peso che portavano fosse al di sopra delle loro forze...
I portatori, tra cui Anna Mikhailovna, si avvicinarono al giovane e per un momento, da dietro la schiena e la schiena della testa delle persone, vide un petto alto, grasso, aperto, le spalle grasse del paziente , sollevato da persone che lo tengono sotto le ascelle, e una testa di leone riccia dai capelli grigi. Questa testa, con fronte e zigomi insolitamente larghi, una bella bocca sensuale e uno sguardo freddo maestoso, non fu sfigurata dalla vicinanza della morte. Era la stessa che Pierre l'aveva conosciuta tre mesi prima, quando il Conte lo lasciò andare a Pietroburgo. Ma questa testa ondeggiava impotente dai passi irregolari dei portatori, e lo sguardo freddo e indifferente non sapeva dove fermarsi.
Passarono parecchi minuti dal trambusto del letto alto; le persone che trasportavano il paziente disperse. Anna Mikhailovna toccò la mano di Pierre e gli disse: "Venez". [Vai.] Pierre andò con lei al letto, sul quale, in una posa festosa, apparentemente legata al sacramento appena celebrato, fu adagiato il malato. Giaceva con la testa alta sui cuscini. Le sue mani erano disposte simmetricamente su una coperta di seta verde, con i palmi rivolti verso il basso. Quando Pierre si avvicinò, il conte lo stava guardando direttamente, ma guardò con uno sguardo il cui significato e significato non potevano essere compresi da una persona. O questo sguardo non diceva assolutamente nulla, tranne che finché ci sono gli occhi, bisogna guardare da qualche parte, o ha detto troppo. Pierre si fermò, non sapendo cosa fare, e guardò interrogativamente il suo capo, Anna Mikhailovna. Anna Michajlovna gli fece un gesto frettoloso con gli occhi, indicando la mano della paziente e mandandole un bacio con le labbra. Pierre, allungando diligentemente il collo per non impigliarlo nella coperta, seguì il suo consiglio e le baciò la mano dalle ossa larghe e carnose. Non una mano, non un muscolo del viso del Conte tremò. Pierre guardò di nuovo con aria interrogativa Anna Michajlovna, chiedendo ora cosa fare. Anna Michajlovna con gli occhi indicò la poltrona che stava accanto al letto. Pierre cominciò obbedientemente a sedersi sulla poltrona, i suoi occhi continuavano a domandare se avesse fatto ciò che era necessario. Anna Michajlovna annuì con approvazione. Pierre assunse di nuovo la posizione simmetricamente ingenua della statua egizia, apparentemente condoglianze che il suo corpo goffo e grasso occupasse uno spazio così ampio, e usando tutta la sua forza mentale per apparire il più piccolo possibile. Guardò il Conte. Il conte guardò nel punto in cui si trovava la faccia di Pierre, mentre stava in piedi. Anna Mikhailovna nella sua posizione era consapevole dell'importanza toccante di questo ultimo minuto dell'incontro tra padre e figlio. Questo durò due minuti, che a Pierre parvero un'ora. Improvvisamente, un brivido apparve nei grandi muscoli e nelle rughe del viso del Conte. Il brivido si intensificò, la sua bella bocca si contorse (solo allora Pierre capì fino a che punto suo padre fosse vicino alla morte), dalla bocca contorta si udì un vago suono rauco. Anna Mikhailovna guardò diligentemente negli occhi il paziente e, cercando di indovinare di cosa aveva bisogno, indicò ora Pierre, ora bere, ora in un sussurro interrogativo chiamato principe Vasily, ora indicò la coperta. Gli occhi e il viso del paziente mostravano impazienza. Si sforzò di guardare il servo, che stava in piedi a capo del letto senza sprechi.
"Vogliono rotolare dall'altra parte", sussurrò il servitore, e si alzò per voltare il corpo pesante del Conte verso il muro.
Pierre si alzò per aiutare il servo.
Mentre il conte veniva capovolto, una mano ricadde impotente, e fece uno sforzo vano per trascinarla. Il conte notò lo sguardo di orrore con cui Pierre guardava quella mano senza vita, o quale altro pensiero gli balenò in quel momento nella testa morente, ma guardò la mano disubbidiente, l'espressione di orrore sul volto di Pierre, di nuovo la mano, e sul suo volto apparve un debole sorriso sofferente che non arrivava fino ai lineamenti, esprimendo, per così dire, una presa in giro della propria impotenza. Improvvisamente, alla vista di quel sorriso, Pierre sentì un brivido nel petto, un pizzicotto nel naso, e le lacrime gli annebbiarono la vista. Il paziente è stato girato su un fianco contro il muro. Lui sospiro.
"Il est assoupi, [si è appisolato]", disse Anna Mikhailovna, notando la principessa che la stava sostituendo. - Allon. [Andiamo a.]
Pierre è uscito.