Cos'è un numero intero positivo. Numeri

Le informazioni in questo articolo si formano idea generale oh numeri interi... Innanzitutto, viene data la definizione di numeri interi e vengono forniti esempi. Inoltre, vengono considerati gli interi sulla retta dei numeri, da cui risulta chiaro quali numeri sono chiamati interi positivi e quali sono interi negativi. Successivamente, viene mostrato come vengono descritti i cambiamenti nei valori utilizzando numeri interi e gli interi negativi sono considerati nel senso di indebitamento.

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Interi - definizione ed esempi

Definizione.

Numeri interi- questi sono numeri naturali, il numero zero, così come i numeri opposti ai numeri naturali.

La definizione di interi afferma che uno qualsiasi dei numeri 1, 2, 3,..., il numero 0, nonché uno qualsiasi dei numeri -1, -2, -3,... è un numero intero. Ora possiamo facilmente guidare esempi di numeri interi... Ad esempio, il numero 38 è un intero, anche il numero 70 040 è un intero, zero è un intero (ricorda che zero NON è un numero naturale, zero è un intero), i numeri -999, -1, -8 934 832 sono anche esempi di numeri interi.

È conveniente rappresentare tutti gli interi come una sequenza di interi, che ha la seguente forma: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Una sequenza di interi può essere scritta in questo modo: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Dalla definizione di interi segue che l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme degli interi. Pertanto, qualsiasi numero naturale è un intero, ma nessun numero intero è naturale.

Interi sulla linea delle coordinate

Definizione.

Interi positivi Sono numeri interi maggiori di zero.

Definizione.

Interi negativi Sono numeri interi minori di zero.

Gli interi positivi e negativi possono anche essere determinati dalla loro posizione sulla linea delle coordinate. Sulla linea delle coordinate orizzontali, i punti le cui coordinate sono numeri interi positivi si trovano a destra dell'origine. A loro volta, i punti con coordinate intere negative si trovano a sinistra del punto O.

È chiaro che l'insieme di tutti gli interi positivi è l'insieme dei numeri naturali. A sua volta, l'insieme di tutti gli interi negativi è l'insieme di tutti i numeri opposti ai numeri naturali.

Separatamente, vorremmo attirare la tua attenzione sul fatto che possiamo tranquillamente chiamare qualsiasi numero naturale un intero e NON possiamo chiamare nessun intero naturale. Possiamo chiamare naturale solo qualsiasi intero positivo, poiché gli interi negativi e lo zero non sono naturali.

Interi non positivi e interi non negativi

Diamo le definizioni di interi non positivi e di interi non negativi.

Definizione.

Vengono chiamati tutti gli interi positivi insieme al numero zero interi non negativi.

Definizione.

Interi non positivi- questi sono tutti numeri interi negativi insieme al numero 0.

In altre parole, un intero non negativo è un intero maggiore o uguale a zero e un intero non positivo è un intero minore o uguale a zero.

Esempi di interi non positivi sono i numeri -511, -10.030, 0, -2 e come esempi di interi non negativi diamo i numeri 45, 506, 0, 900 321.

Molto spesso, i termini "interi non positivi" e "interi non negativi" sono usati per brevità. Ad esempio, invece della frase "il numero a è un numero intero e a è maggiore o uguale a zero", puoi dire "a è un numero intero non negativo".

Descrivere i valori che cambiano usando numeri interi

È tempo di parlare di cosa servono gli interi.

Lo scopo principale degli interi è che sia conveniente usarli per descrivere il cambiamento nel numero di qualsiasi oggetto. Scopriamolo con degli esempi.

Lascia che ci sia un certo numero di parti nel magazzino. Se, ad esempio, vengono portati in magazzino 400 pezzi in più, il numero di pezzi in magazzino aumenterà e il numero 400 esprime questa variazione della quantità in una direzione positiva (verso l'alto). Se, ad esempio, vengono prelevate 100 parti dal magazzino, allora il numero di parti nel magazzino diminuirà e il numero 100 esprimerà la variazione della quantità in direzione negativa (verso il basso). Le parti non verranno portate al magazzino e le parti dal magazzino non verranno portate via, quindi possiamo parlare dell'invariabilità del numero di parti (ovvero, possiamo parlare di variazione zero della quantità).

Negli esempi forniti, la variazione del numero di parti può essere descritta utilizzando rispettivamente gli interi 400, -100 e 0. Un numero intero positivo 400 indica una variazione positiva della quantità (aumento). Un intero negativo -100 esprime una variazione negativa della quantità (diminuzione). Un numero intero 0 indica che la quantità è rimasta invariata.

La comodità dell'uso di numeri interi rispetto all'utilizzo di numeri naturali è che non è necessario indicare esplicitamente se il numero è in aumento o in diminuzione: un numero intero quantifica il cambiamento e il segno dell'intero indica la direzione del cambiamento.

I numeri interi possono anche esprimere non solo una variazione di quantità, ma anche una variazione di una quantità. Affrontiamolo usando l'esempio delle variazioni di temperatura.

Un aumento della temperatura di, diciamo, 4 gradi è espresso come un numero intero positivo 4. Una diminuzione della temperatura, ad esempio, di 12 gradi può essere descritta da un numero intero negativo -12. E la costanza della temperatura è il suo cambiamento, determinato dall'intero 0.

Separatamente, va detto sull'interpretazione degli interi negativi come l'importo del debito. Ad esempio, se abbiamo 3 mele, l'intero positivo 3 indica il numero di mele che possediamo. D'altra parte, se dobbiamo dare 5 mele a qualcuno e non le abbiamo, allora questa situazione può essere descritta usando l'intero negativo -5. In questo caso, "abbiamo" -5 mele, il segno meno indica il debito e il numero 5 quantifica il debito.

Interpretare un numero intero negativo come un debito consente, ad esempio, di giustificare la regola per l'aggiunta di numeri interi negativi. Facciamo un esempio. Se qualcuno deve 2 mele a una persona e una mela a un'altra, il debito totale è 2 + 1 = 3 mele, quindi -2 + (- 1) = - 3.

Bibliografia.

• Vilenkin N. Ya. e altra matematica. Grado 6: libro di testo per le istituzioni educative.

Numero- il più importante concetto matematico che è cambiato nel corso dei secoli.

Le prime idee sul numero sono nate dal conteggio di persone, animali, frutti, prodotti vari, ecc. Il risultato sono i numeri naturali: 1, 2, 3, 4, ...

Storicamente, la prima estensione del concetto di numero è l'aggiunta di numeri frazionari a un numero naturale.

Frazione viene chiamata una parte (quota) di un'unità o più parti uguali di essa.

Designato:, dove m, n- numeri interi;

Frazioni con denominatore 10 n, dove n- un intero, chiamato decimale: .

Tra le frazioni decimali, un posto speciale è occupato da frazioni periodiche: - frazione periodica pura, - frazione periodica mista.

Un'ulteriore espansione del concetto di numero è causata dallo sviluppo della matematica stessa (algebra). Cartesio nel XVII secolo. introduce il concetto numero negativo.

Vengono chiamati numeri interi (positivi e negativi), frazionari (positivi e negativi) e zero numeri razionali... Qualsiasi numero razionale può essere scritto come frazione finita e periodica.

Per studiare quantità variabili in continua evoluzione, si è rivelato necessario espandere nuovamente il concetto di numero - l'introduzione di numeri reali (reali) - aggiungendo numeri irrazionali ai numeri razionali: numeri irrazionali sono infinite frazioni decimali non periodiche.

I numeri irrazionali sono apparsi quando si misuravano segmenti incommensurabili (lato e diagonale di un quadrato), in algebra - quando si estraevano le radici, un esempio di numero trascendente e irrazionale è π, e .

Numeri naturale(1, 2, 3,...), totale(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), razionale(rappresentabile come frazione) e irrazionale(non rappresentabile come frazione ) formare un insieme reale (reale) numeri.

I numeri complessi si distinguono separatamente in matematica.

Numeri complessi sorgono in relazione al problema di risolvere il quadrato per il caso D< 0 (здесь D- il discriminante dell'equazione di secondo grado). Per molto tempo questi numeri non hanno trovato uso fisico, quindi sono stati chiamati numeri "immaginari". Tuttavia, ora sono molto ampiamente utilizzati in vari campi della fisica e della tecnologia: ingegneria elettrica, idro e aerodinamica, teoria dell'elasticità, ecc.

Numeri complessi si scrivono come: z = un+ bi... Qui un e B – numeri reali, un io – unità immaginaria, cioèe. io 2 = -uno. Numero un chiamato ascissa, un B -ordinato numero complesso un+ bi. Due numeri complessi un+ bi e a - bi sono chiamati associato numeri complessi.

Proprietà:

1. Numero reale un può anche essere scritto come un numero complesso: un+ 0io o un - 0io... Ad esempio 5 + 0 io e 5 - 0 io significa lo stesso numero 5.

2. Numero complesso 0 + bi chiamato puramente immaginario numero... Registrazione bi significa lo stesso di 0 + bi.

3. Due numeri complessi un+ bi e C+ di sono considerati uguali se un= C e B= D... In caso contrario, i numeri complessi non sono uguali.

Azioni:

addizione. La somma dei numeri complessi un+ bi e C+ di si chiama numero complesso ( un+ C) + (B+ D)io. In questo modo, quando si aggiungono numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono aggiunte separatamente.

Sottrazione. Differenza di due numeri complessi un+ bi(diminuito) e C+ di(sottratto) si dice numero complesso ( AC) + (b - d)io. In questo modo, quando si sottraggono due numeri complessi, le loro ascisse e ordinate vengono sottratte separatamente.

Moltiplicazione. Il prodotto di numeri complessi un+ bi e C+ di chiamato numero complesso:

(ac - bd) + (anno Domini+ avanti Cristo)io. Questa definizione deriva da due requisiti:

1) numeri un+ bi e C+ di devono essere moltiplicati come binomi algebrici,

2) numero io ha la proprietà principale: io 2 = –1.

ESEMPIO ( a + bi)(a - bi)= a 2 + b 2 . Quindi, operadue numeri complessi coniugati è uguale a un numero reale positivo.

Divisione. Dividere un numero complesso un+ bi(divisibile) per un altro C+ di (divisore) - significa trovare il terzo numero e+ f io(chat), che moltiplicato per un divisore C+ di, risulta nel dividendo un+ bi. Se il divisore non è zero, la divisione è sempre possibile.

ESEMPIO Trova (8 + io) : (2 – 3io) .

Soluzione Riscriviamo questo rapporto come una frazione:

Moltiplicando numeratore e denominatore per 2 + 3 io e dopo aver eseguito tutte le trasformazioni, otteniamo:

Compito 1: somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione z 1 su z 2

Estrazione della radice quadrata: Risolvi l'equazione X 2 = -un. Per risolvere questa equazione siamo costretti a usare numeri di un nuovo tipo - numeri immaginari ... In questo modo, immaginario chiamato un numero la cui seconda potenza è un numero negativo... Secondo questa definizione di numeri immaginari, possiamo definire e immaginario unità:

Allora per l'equazione X 2 = - 25 otteniamo due immaginario radice:

Compito 2: Risolvi l'equazione:

1) x 2 = – 36; 2) X 2 = – 49; 3) X 2 = – 121

Rappresentazione geometrica di numeri complessi. I numeri reali sono rappresentati da punti sulla linea dei numeri:

Qui il punto UN significa numero -3, punto B–Numero 2, e oh-zero. Al contrario, i numeri complessi sono rappresentati da punti sul piano delle coordinate. Per questo scegliamo coordinate rettangolari (cartesiane) con le stesse scale su entrambi gli assi. Allora il numero complesso un+ bi sarà rappresentato da un punto P con ascissaun e ordinataB... Questo sistema di coordinate è chiamato piano complesso .

Modulo numero complesso è la lunghezza del vettore OPERAZIONE che rappresenta un numero complesso sulla coordinata ( un integrato) aereo. Modulo numero complesso un+ bi indicato con | un+ bi| o) lettera R ed è uguale a:

I numeri complessi coniugati hanno lo stesso modulo.

Le regole di progettazione del disegno sono quasi le stesse di un disegno in un sistema di coordinate cartesiane Lungo gli assi, è necessario impostare la quota, nota:

e
unità lungo l'asse reale; Re z

unità immaginaria lungo l'asse immaginario. sono z

Attività 3. Costruisci i seguenti numeri complessi sul piano complesso: , , , , , , ,

1. Numeri esatti e approssimativi. I numeri che incontriamo in pratica sono di due tipi. Alcuni danno il vero valore del valore, altri solo approssimativi. I primi sono chiamati esatti, i secondi - approssimativi. Molto spesso è conveniente usare un numero approssimativo invece di uno esatto, soprattutto perché in molti casi è impossibile trovare un numero esatto.

Quindi, se dicono che ci sono 29 studenti nella classe, allora il numero 29 è esatto. Se dicono che la distanza da Mosca a Kiev è di 960 km, allora qui il numero 960 è approssimativo, poiché, da un lato, i nostri strumenti di misurazione non sono assolutamente precisi, dall'altro, le città stesse hanno una certa lunghezza.

Anche il risultato di azioni con numeri approssimativi è un numero approssimativo. Eseguendo alcune operazioni su numeri esatti (divisione, estrazione della radice), è possibile ottenere anche numeri approssimativi.

La teoria dei calcoli approssimati consente:

1) conoscendo il grado di accuratezza dei dati, valutare il grado di accuratezza dei risultati;

2) prendere i dati con un adeguato grado di accuratezza sufficiente a garantire l'accuratezza richiesta del risultato;

3) razionalizzare il processo di calcolo, svincolandolo da quei calcoli che non influiranno sull'accuratezza del risultato.

2. Arrotondamento. L'arrotondamento è una fonte di numeri approssimativi. Arrotonda i numeri approssimativi ed esatti.

L'arrotondamento di un dato numero ad alcune delle sue cifre si chiama sostituirlo con un nuovo numero, che si ottiene da un dato scartando tutte le sue cifre scritte a destra della cifra di questa cifra, oppure sostituendole con degli zeri. Questi zeri sono generalmente sottolineati o scritti in basso. Per garantire la massima vicinanza possibile del numero arrotondato a quello arrotondato, dovresti usare le seguenti regole: per arrotondare il numero a una di una certa cifra, devi scartare tutte le cifre dopo la cifra di questa cifra e nell'intero numero, sostituirli con zeri. In questo caso si tiene conto di:

1) se la prima (a sinistra) delle cifre scartate è inferiore a 5, l'ultima cifra a sinistra non viene modificata (arrotondamento con una deficienza);

2) se la prima cifra scartata è maggiore di 5 o uguale a 5, allora l'ultima cifra a sinistra viene aumentata di uno (arrotondamento per eccesso).

Mostriamolo con degli esempi. Arrotondare:

a) fino a decimi 12,34;

b) fino a centesimi 3,2465; 1038.785;

c) fino a millesimi 3.4335.

d) fino a 12375 mila; 320729.

a) 12,34 ± 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038.785 ≈ 1038.79;

c) 3.4335 ≈ 3.434.

d) 12375 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Errori assoluti e relativi. La differenza tra il numero esatto e il suo valore approssimativo è chiamata errore assoluto del numero approssimativo. Ad esempio, se arrotondi il numero esatto 1.214 ai decimi, ottieni un numero approssimativo di 1.2. In questo caso, l'errore assoluto del numero approssimativo 1.2 è 1.214 - 1.2, ad es. 0,014.

Ma nella maggior parte dei casi valore esatto il valore in esame è sconosciuto, ma solo approssimativo. Quindi anche l'errore assoluto è sconosciuto. In questi casi, indicare il confine che non supera. Questo numero è chiamato errore assoluto di confine. Dicono che il valore esatto di un numero è uguale al suo valore approssimativo con un errore inferiore all'errore di confine. Ad esempio, il numero 23,71 è un valore approssimativo del numero 23,7125 con una precisione di 0,01, poiché l'errore assoluto di approssimazione è 0,0025 e inferiore a 0,01. Qui l'errore assoluto del confine è 0,01 *.

Errore assoluto al contorno del numero approssimativo un sono indicati dal simbolo Δ un... Registrazione

X≈un(±Δ un)

va inteso come segue: il valore esatto della quantità Xè tra i numeri un– Δ un e un+ Δ un, che sono chiamati, rispettivamente, i limiti inferiore e superiore X e denota NG X VG X.

Ad esempio, se X 2,3 (± 0,1), quindi 2,2<X< 2,4.

Al contrario, se 7.3< X< 7,4, тоX 7,35 (± 0,05). L'errore assoluto o limite assoluto non caratterizza la qualità della misurazione eseguita. Lo stesso errore assoluto può essere considerato significativo e non significativo a seconda del numero con cui viene espresso il valore misurato. Ad esempio, se misuriamo la distanza tra due città con una precisione di un chilometro, questa precisione è abbastanza sufficiente per questo cambiamento, allo stesso tempo, quando si misura la distanza tra due case della stessa strada, tale precisione sarà inaccettabile . Di conseguenza, l'accuratezza del valore approssimativo della grandezza dipende non solo dall'entità dell'errore assoluto, ma anche dal valore della grandezza misurata. Pertanto, la misura dell'accuratezza è l'errore relativo.

L'errore relativo è il rapporto tra l'errore assoluto e il valore del numero approssimativo. Il rapporto tra l'errore assoluto al confine e il numero approssimativo è chiamato errore relativo al confine; denotalo come segue:. È consuetudine esprimere gli errori relativi e relativi al contorno in percentuale. Ad esempio, se le misurazioni mostrano che la distanza X tra due punti è maggiore di 12,3 km, ma inferiore a 12,7 km, quindi la media aritmetica di questi due numeri è presa come valore approssimativo, cioè loro semisomma, allora l'errore assoluto al confine è uguale alla semidifferenza di questi numeri. In questo caso X 12,5 (± 0,2). Qui l'errore assoluto al confine è di 0,2 km e il confine relativo

1) Divido immediatamente per, poiché entrambi i numeri sono divisibili al 100% per:

2) Dividerò per i restanti numeri grandi (e), poiché sono equamente divisi per (allo stesso tempo, non mi decomporrò - è già un divisore comune):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Lascio perdere e comincio a considerare i numeri e. Entrambi i numeri sono esattamente divisibili per (finiscono con cifre pari (in questo caso, rappresentiamo come, o possono essere divisi per)):

4) Lavoriamo con i numeri e. Hanno fattori comuni? È facile come nei passaggi precedenti e non lo dirai, quindi li scomporremo semplicemente in fattori primi:

5) Come si vede, avevamo ragione: entrambi non hanno divisori comuni, e ora bisogna moltiplicare.
Gcd

Problema numero 2. Trova il gcd dei numeri 345 e 324

Non riesco a trovare rapidamente almeno un divisore comune qui, quindi mi limito a scomporre in fattori primi (il meno possibile):

Esatto, GCD, e io inizialmente non abbiamo controllato il segno di divisibilità e, forse, non avrei dovuto fare così tante azioni.

Ma hai controllato, vero?

Come puoi vedere, non è affatto difficile.

Least common multiple (LCM) - consente di risparmiare tempo, aiuta a risolvere i problemi fuori dagli schemi

Diciamo che hai due numeri - e. Qual è il più piccolo numero divisibile e senza resto(cioè completamente)? Difficile da immaginare? Ecco un indizio visivo:

Ricordi cosa rappresenta la lettera? Esatto, solo numeri interi. Allora qual è il numero più piccolo che corrisponde a x? :

In questo caso.

Diverse regole seguono da questo semplice esempio.

Regole per trovare rapidamente un NOC

Regola 1. Se uno di due numeri naturali è divisibile per un altro numero, il più grande di questi due numeri è il loro minimo comune multiplo.

Trova i seguenti numeri:

• LCM (7; 21)
• LCM (6; 12)
• LCM (5; 15)
• LCM (3; 33)

Certo, hai facilmente affrontato questo compito e hai ottenuto le risposte - e.

Nota che nella regola stiamo parlando di DUE numeri, se ci sono più numeri, la regola non funziona.

Ad esempio, LCM (7; 14; 21) non è uguale a 21, poiché non è equamente divisibile per.

Regola 2. Se due (o più di due) numeri sono coprimi, allora il minimo comune multiplo è uguale al loro prodotto.

Trovare NOC per i seguenti numeri:

• LCM (1; 3; 7)
• LCM (3; 7; 11)
• LCM (2; 3; 7)
• LCM (3; 5; 2)

l'hai contato? Ecco le risposte -,; ...

Come puoi immaginare, non è sempre così facile prendere e selezionare proprio questa x, quindi, per numeri leggermente più complessi, esiste il seguente algoritmo:

Facciamo un pò di pratica?

Trova il minimo comune multiplo - LCM (345; 234)

Espandiamo ogni numero:

Perché ho scritto subito?

Ricorda i segni di divisibilità per: divisibile per (l'ultima cifra è pari) e la somma delle cifre è divisibile per.

Di conseguenza, possiamo immediatamente dividere per scrivendolo come.

Ora scriviamo l'espansione più lunga in una riga, la seconda:

Aggiungiamoci i numeri della prima scomposizione, che non sono in quello che abbiamo scritto:

Nota: abbiamo scritto tutto tranne che lo abbiamo già.

Ora dobbiamo moltiplicare tutti questi numeri!

Trova tu stesso il minimo comune multiplo (LCM)

Che risposte hai avuto?

Ecco cosa mi è successo:

Quanto tempo hai impiegato a trovare NOC? Il mio tempo è di 2 minuti, lo so davvero un trucco, che ti consiglio di aprire subito!

Se sei molto attento, probabilmente hai notato che dai numeri indicati abbiamo già cercato Gcd e potresti prendere la fattorizzazione di questi numeri da quell'esempio, semplificando così il tuo compito, ma non è tutto.

Guarda la foto, forse ti verranno altri pensieri:

Bene? Lascia che ti dia un suggerimento: prova a moltiplicare NOC e Gcd tra loro e annota tutti i fattori che saranno moltiplicati. Sei riuscito? Dovresti finire con la seguente catena:

Dai un'occhiata più da vicino: confronta i moltiplicatori con come e sono espansi.

Che conclusione puoi trarre da ciò? Destra! Se moltiplichiamo i valori NOC e Gcd tra loro, quindi otteniamo il prodotto di questi numeri.

Di conseguenza, avere numeri e significato Gcd(o NOC), possiamo trovare NOC(o Gcd) secondo il seguente schema:

1. Trova il prodotto di numeri:

2. Dividiamo il lavoro risultante per il nostro Gcd (6240; 6800) = 80:

È tutto.

Scriviamo la regola in generale:

Provare a trovare Gcd se è noto che:

Sei riuscito? ...

I numeri negativi sono "numeri falsi" e il loro riconoscimento da parte dell'umanità.

Come hai già capito, questi sono numeri opposti ai numeri naturali, cioè:

Sembrerebbe, cosa c'è di così speciale in loro?

E il fatto è che i numeri negativi "vinsero" il posto che spetta loro nella matematica fino al XIX secolo (fino a quel momento c'era un'enorme quantità di controversie sulla loro esistenza o meno).

Il numero negativo stesso è nato da una tale operazione con i numeri naturali come "sottrazione".

In effetti, sottrai da - questo è un numero negativo. Ecco perché vengono spesso chiamati molti numeri negativi "Estensione dell'insieme dei numeri naturali".

I numeri negativi non sono stati riconosciuti dalle persone per molto tempo.

Quindi, l'antico Egitto, Babilonia e l'antica Grecia - le luci del loro tempo, non riconoscevano i numeri negativi e, nel caso di ottenere radici negative nell'equazione (ad esempio, come la nostra), le radici venivano respinte come impossibili.

Per la prima volta, i numeri negativi hanno ricevuto il diritto di esistere in Cina, e poi nel VII secolo in India.

Quale pensi sia il motivo di questo riconoscimento?

Esatto, i numeri negativi hanno iniziato a denotare debiti (altrimenti - carenza).

Si credeva che i numeri negativi fossero un valore temporaneo, che di conseguenza cambierà in positivo (cioè, il denaro verrà comunque restituito al creditore). Tuttavia, il matematico indiano Brahmagupta già allora considerava i numeri negativi alla pari di quelli positivi.

In Europa, l'utilità dei numeri negativi, così come il fatto che possano denotare il debito, è arrivata molto più tardi, una specie, un millennio.

La prima menzione fu notata nel 1202 nel "Libro dell'Abaco" di Leonardo da Pisa (dico subito che l'autore del libro non ha nulla a che vedere con la Torre di Pisa, ma i numeri di Fibonacci sono opera sua (il soprannome di Leonardo da Pisa - Fibonacci)).

Così, nel 17° secolo, Pascal lo credeva.

Cosa pensi che abbia giustificato questo?

È vero, "niente può essere meno di NIENTE".

Un'eco di quei tempi è il fatto che un numero negativo e l'operazione di sottrazione sono indicati dallo stesso simbolo - un meno "-". Ed è vero:. Il numero "" è positivo, che viene sottratto, o negativo, che somma?... Qualcosa della serie "qual è il primo: pollo o uovo?" Ecco una specie di questa filosofia matematica.

I numeri negativi hanno consolidato il loro diritto all'esistenza con l'avvento della geometria analitica, in altre parole, quando i matematici hanno introdotto un concetto come l'asse dei numeri.

Fu da quel momento che iniziò l'uguaglianza. Tuttavia, c'erano ancora più domande che risposte, ad esempio:

proporzione

Questa proporzione è chiamata "paradosso di Arno". Pensa, cosa c'è di dubbio?

Parliamone insieme "" è più di "" giusto? Quindi, secondo la logica, il lato sinistro della proporzione dovrebbe essere maggiore di quello destro, ma sono uguali ... Questo è il paradosso.

Di conseguenza, i matematici furono d'accordo al punto che Karl Gauss (sì, sì, questo è colui che contò la somma (o) i numeri) nel 1831 vi pose fine.

Disse che i numeri negativi hanno gli stessi diritti di quelli positivi, e il fatto che non valgano per tutte le cose non significa nulla, poiché anche le frazioni non sono applicabili a molte cose (non succede che uno scavatore stia scavando una buca , non è possibile acquistare un biglietto per il cinema, ecc.).

I matematici si calmarono solo nel 19° secolo, quando la teoria dei numeri negativi fu creata da William Hamilton e Hermann Grassmann.

Questi sono quelli controversi, questi numeri negativi.

L'emergere del "vuoto", ovvero la biografia dello zero.

In matematica, è un numero speciale.

A prima vista, questo non è niente: aggiungi, sottrai: nulla cambierà, ma devi solo assegnarlo a destra a "", e il numero risultante sarà molte volte più grande dell'originale.

Moltiplicando per zero, trasformiamo tutto in nulla e dividere per "niente", cioè, non possiamo. In una parola, un numero magico)

La storia di Zero è lunga e confusa.

Una traccia di zero è stata trovata negli scritti dei cinesi nel II millennio d.C. e anche prima con i Maya. Il primo uso del simbolo zero, come lo è oggi, è stato visto dagli astronomi greci.

Esistono molte versioni sul motivo per cui è stata scelta questa designazione "niente".

Alcuni storici sono inclini a credere che questo sia un omicron, ad es. la prima lettera della parola greca per niente è ouden. Secondo un'altra versione, la parola "obol" (una moneta di quasi nessun valore) ha dato vita al simbolo dello zero.

Zero (o zero) come simbolo matematico appare per la prima volta tra gli indiani(intendiamoci, i numeri negativi hanno iniziato a "sviluppare" nello stesso posto).

La prima prova affidabile della registrazione dello zero risale all'876 e in essi "" è un componente del numero.

Anche lo zero è arrivato in Europa con un ritardo - solo nel 1600, e proprio come i numeri negativi, ha incontrato resistenza (cosa puoi fare, sono europei).

"Zero è stato spesso odiato, temuto a lungo o addirittura proibito"- scrive il matematico americano Charles Seif.

Quindi, il sultano turco Abdul-Hamid II alla fine del XIX secolo. ordinò ai suoi censori di cancellare la formula dell'acqua H2O da tutti i libri di chimica, prendendo la lettera "O" per zero e non volendo che le sue iniziali venissero denigrate dal vicinato con lo spregevole zero".

Su Internet puoi trovare la frase: "Zero è la forza più potente dell'Universo, può fare tutto! Lo zero crea ordine in matematica e introduce anche il caos in esso. " Assolutamente giusto notato :)

Riepilogo della sezione e formule di base

Un insieme di numeri interi è composto da 3 parti:

• numeri naturali (li considereremo più in dettaglio di seguito);
• numeri opposti ai numeri naturali;
• zero - " "

L'insieme dei numeri interi è denotato la lettera Z

1. Numeri naturali

I numeri naturali sono numeri che usiamo per contare le cose.

L'insieme dei numeri naturali si denota la lettera n.

Nelle operazioni con numeri interi, è necessaria la capacità di trovare GCD e LCM.

Massimo comun divisore (MCD)

Per trovare GCD hai bisogno di:

1. Scomponi i numeri in fattori primi (in numeri che non possono essere divisi da nient'altro che te stesso o da, ad esempio, ecc.).
2. Annota i fattori che fanno parte di entrambi i numeri.
3. Moltiplicali.

Minimo comune multiplo (LCM)

Per trovare il NOC è necessario:

1. Scomponi i numeri in fattori primi (sai già come farlo molto bene).
2. Scrivi i fattori inclusi nell'espansione di uno dei numeri (è meglio prendere la catena più lunga).
3. Aggiungi loro i fattori mancanti dalle espansioni dei numeri rimanenti.
4. Trova il prodotto dei fattori risultanti.

2. Numeri negativi

questi sono numeri opposti ai numeri naturali, cioè:

Adesso voglio sentirti...

Spero che tu abbia apprezzato i "trucchi" super utili in questa sezione e abbia capito come ti aiuteranno nell'esame.

E, soprattutto, nella vita. Non sto parlando di questo, ma credetemi, questo lo è. La capacità di contare velocemente e senza errori salva in molte situazioni della vita.

Ora è il tuo turno!

Scrivi, utilizzerai i metodi di raggruppamento, segni di divisibilità, mcd e LCM nei calcoli?

Forse li hai usati prima? Dove e come?

Forse hai domande. O suggerimenti.

Scrivi nei commenti come ti piace l'articolo.

E buona fortuna con i tuoi esami!

Se assegniamo il numero 0 a sinistra di una serie di numeri naturali, otteniamo una serie di numeri interi positivi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Interi negativi

Diamo un'occhiata a un piccolo esempio. L'immagine a sinistra mostra un termometro che mostra una temperatura di 7°C di calore. Se la temperatura scende di 4 ° C, il termometro mostrerà un calore di 3 ° C. Ad un'azione di sottrazione corrisponde una diminuzione della temperatura:

Nota: tutti i gradi si scrivono con la lettera C (Celsius), il segno del grado è separato dal numero da uno spazio. Ad esempio, 7°C.

Se la temperatura scende di 7°C, il termometro mostrerà 0°C. Ad un'azione di sottrazione corrisponde una diminuzione della temperatura:

Se la temperatura scende di 8 ° C, il termometro mostrerà -1 ° C (1 ° C gelo). Ma il risultato della sottrazione 7 - 8 non può essere scritto usando numeri naturali e zero.

Illustriamo la sottrazione su una serie di interi positivi:

1) Dal numero 7, conta 4 numeri a sinistra e ottieni 3:

2) Dal numero 7, conta 7 numeri a sinistra e ottieni 0:

È impossibile contare 8 numeri in una serie di numeri interi positivi da 7 a sinistra. Per rendere fattibili le azioni 7 - 8, espandi la serie di numeri interi positivi. Per fare ciò, a sinistra di zero, scriviamo (da destra a sinistra) in ordine tutti i numeri naturali, aggiungendo a ciascuno di essi un segno -, che indica che questo numero si trova a sinistra di zero.

Voci -1, -2, -3, ... leggi meno 1, meno 2, meno 3, ecc.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

La serie di numeri risultante è chiamata una serie di numeri interi... I punti a sinistra ea destra in questa voce indicano che la riga può essere continuata indefinitamente a destra ea sinistra.

A destra del numero 0 in questa riga ci sono i numeri che vengono chiamati naturale o tutto positivo(brevemente - positivo).

A sinistra del numero 0 in questa riga ci sono i numeri che vengono chiamati tutto negativo(brevemente - negativo).

Il numero 0 è un numero intero, ma non è né positivo né negativo. Separa i numeri positivi e negativi.

Quindi, una serie di interi è composta da interi negativi, zero e interi positivi.

Confronto di numeri interi

Confronta due interi- significa, scoprire quale di essi è maggiore, quale è minore, o determinare che i numeri sono uguali.

Puoi confrontare numeri interi usando una serie di numeri interi, poiché i numeri in esso contenuti si trovano dal più piccolo al più grande, se ti sposti lungo la riga da sinistra a destra. Pertanto, in una serie di numeri interi, puoi sostituire le virgole con un segno in meno:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Quindi, di due interi, più è il numero che sta a destra nella riga e meno è quello che sta a sinistra, si intende:

1) Qualsiasi numero positivo maggiore di zero e maggiore di qualsiasi numero negativo:

1 > 0; 15 > -16

2) Qualsiasi numero negativo minore di zero:

7 < 0; -357 < 0

3) Di due numeri negativi, il maggiore è quello a destra nella riga degli interi.

Esistono molte varietà di numeri, alcuni dei quali sono numeri interi. Sono apparsi numeri interi per facilitare il conteggio non solo nella direzione positiva, ma anche in quella negativa.

Consideriamo un esempio:
Durante il giorno la temperatura esterna era di 3 gradi. La sera la temperatura è scesa di 3 gradi.
3-3=0
Sulla strada sono diventati 0 gradi. E di notte la temperatura è scesa di 4 gradi e ha iniziato a mostrare sul termometro -4 gradi.
0-4=-4

Una serie di numeri interi.

Non possiamo descrivere un tale problema con i numeri naturali; considereremo questo problema sulla linea delle coordinate.

Abbiamo una serie di numeri:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Questa serie di numeri si chiama una serie di numeri interi.

Interi positivi. Interi negativi.

Una serie di numeri interi è composta da numeri positivi e negativi. A destra dello zero ci sono i numeri naturali o si chiamano anche interi positivi... E a sinistra dello zero vai numeri interi negativi.

Lo zero non è né positivo né negativo. È il confine tra numeri positivi e negativi.

È un insieme di numeri composto da numeri naturali, interi negativi e zero.

Una serie di numeri interi positivi e negativi è insieme infinito.

Se prendiamo due interi qualsiasi, allora verranno chiamati i numeri tra questi interi un insieme finito.

Ad esempio:
Prendi interi da -2 a 4. Tutti i numeri compresi tra questi numeri sono inclusi in un insieme finito. Il nostro insieme finito di numeri assomiglia a questo:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

I numeri naturali sono designati dalla lettera latina N.
Gli interi sono indicati dalla lettera latina Z. Tutto l'insieme di numeri naturali e interi può essere rappresentato nella figura.


Interi non positivi in altre parole, sono numeri interi negativi.
Interi non negativi Sono numeri interi positivi.