Predstavitev na temo "Zgodovina nastanka števil" predstavitev za lekcijo matematike (2. razred) na to temo. Predstavitev na temo "Zgodovina nastanka števil" predstavitev za lekcijo algebre (5. razred) na temo Predstavitev zgodovine nastanka praštevil

• Kaj je številka?
• Liki starodavnih civilizacij

2.1. Številke v starem Egiptu

2.2. Majevske figure

2.3. Starogrške figure

2.4. Številke starodavne Kitajske

Kaj je številka?

Vedno so bile številke, le pravila za njihovo upodobitev so bila drugačna. Toda pomen je bil enak: številke so bile predstavljene z določenimi znaki – številkami .

Številka je znak, ki se uporablja za predstavljanje števila.

Številka - to je vrednost, ki je sestavljena iz številk po določenih pravilih. Ta pravila se imenujejo številski sistemi 1 .

Skozi stoletja človeške zgodovine je bilo veliko različnih načinov za pisanje števila , nekateri so preživeli do našega časa, nekateri pa so ostali v zgodovini.

• Sprva je človek postal preštej na prste . Najstarejši in najpreprostejši "računski stroj" so že dolgo prsti na rokah in nogah.

Liki starodavnih civilizacij Številke v starem Egiptu

Pojavile so se prve pisne številke, o katerih imamo zanesljive dokaze v Egiptu in Mezopotamiji pred približno 5000 leti.

V egipčanskem sistemu so bile številke hieroglifskih simbolov ; do milijona so označevali števila 1, 10, 100 itd. Števila, ki niso deljiva z 10, so bila zapisana kot ponavljanje teh številk . Vsaka številka se lahko ponovi od enkrat do 9-krat . Na primer, številka 4622 je bila označena na naslednji način:

Majevske figure

Starodavni Maji so samostojno prišli v uporabo pozicijsko načelo. Snemanje digitalnih znakov, ki tvorijo številko, je vodil Maya navpično , od spodaj navzgor, kot da bi postavljal nekakšne številke.

Maja je verjela dvajset Imeli so vigesimalni sistem štetja. Označene so bile številke od 1 do 20 pike in črtice.

Starogrške figure

V stari Grčiji sta bila v obtoku dva glavna številska sistema - Podstrešje (ali gerodijanski) in ionski (je tudi aleksandrijski ali abecedni).

Podstrešni številčni sistem je bil decimalka, uporablja ponovitve skupnih simbolov. Uporabljajo ga že Grki 5. st. pr.

• lastnost , ki označuje eno, ponovljeno zahtevano število krat, je pomenilo števila do štiri.
• Namesto petih vrstic je bil uveden nov simbol G , prva črka besede "penta" (pet).
• Ko so dosegli deset, so uvedli nov simbol D , prva črka besede "deca" (deset). T
• Novi simboli za vsako novo potenco 10: simbol H je pomenilo 100 (hekaton), X - 1000 (chilioi), simbol M - 10000 (myrioi ali nešteto). Številke 6, 7, 8, 9 označeno s kombinacijami teh znakov:

Ionski številski sistem – po abecedi. Postalo razširjeno na začetku aleksandrijske dobe.

• Za razlikovanje številk od besed so Grki postavili nad ustrezno črko vodoravna črta.
• podobnost grška črka O s sodobnim zapisom nič mogoče
• Pisanje po abecednih znakih je mogoče izvajati v poljubnem vrstnem redu, saj je bila številka pridobljena kot vsota vrednosti posameznih črk.

Številke starodavne Kitajske

To oštevilčenje je eno od najstarejši in najbolj napreden . tole ki štejejo pred približno 4000 tisoč leti na Kitajskem.

• Številke so bile zapisane začenši z večjimi vrednostmi in konča z manjšimi.
• Če ni bilo desetic, enic ali kakšne druge števke, potem sprva niso dali ničesar in prešel na naslednjo stopnjo .
• Da ne bi zamenjali številk, več uradni hieroglifi , napisan za glavnim hieroglifom in prikazuje, kakšen pomen ima število hieroglifov v tej kategoriji.

- 1 000;

Ta zapis števila multiplikacijski , torej uporablja

množenje:

1 x 1000 in 5 x 100+4 x 10+8

slovansko cirilično številčenje

Ta oblika pisanja številk je zelo dobro prejela Širjenje zaradi dejstva, da je imel popolno podobnost z Grški zapis za številke . Če pogledamo natančno, bomo to videli kasneje "a" tam je pismo "v" , vendar ne "b" kot je treba slovanska abeceda , to pomeni, da se uporabljajo samo črke, ki so v grški abecedi.

Za razlikovanje med črkami in številkami je bila nad številkami postavljena posebna ikona - naslov (~)

Rimsko oštevilčenje

Stari Rimljani so izumili sistem račun temelji na uporaba črk za prikaz številk. Vsaka črka je imela drugačen pomen, vsaka številka je ustrezala številki položaja črke.

Rimsko oštevilčenje

Če želite prebrati rimsko številko, morate upoštevati pet osnovnih pravil:

• Črke se pišejo od leve proti desni, začenši z največjo vrednostjo.
• črke I.X.C in M se lahko ponovi do trije krat zapored.
• Črk V. L. D ni mogoče ponoviti.
• Številke 6, 8, 40, 80, 800 zapišite tako, da združite črke: VII (6), VIII (8), XL (40), LXXX (80), CD (400), DCCC (800).

• Vodoravna črta nad črko poveča njeno vrednost za 1000-krat.

nato XV (15), CCXLIII (243), ZCXV (2115)

nato III(3), XX(20), CCC(300), MCCXXX(1320)

V (5000), CIII (103000), IXDL (9550)

3.1. Indijsko številčenje

3.2. Prispevek muslimanov k razvoju našega številčnega sistema

3.3. Sodoben številski sistem

3.4. Kakšen je naš sistem izračunavanja?

3.4. Primerjava pisanja številk med različnimi narodi

"Imenujemo izumljen Indijanci in številke 1, 2, . . . , 9 in nič arabsko , saj so si jih izposodili od Arabcev, vendar so Arabci sami te številke poimenovali indijski, aritmetika pa je osnovna na decimalnem sistemu - " Indijski račun "(Hisabal - Hind).

v dolini ind obstajala je civilizacija, katere eno od središč je bilo mesto, izkopano v bližini hribov Mohenjo - Daro. Ta civilizacija, ki jo je ustanovilo prvotno prebivalstvo Indije, je bila uničena Arijska plemena Russ ki je prišel iz Himalaje...

[arijski] duhovniki so pripeljali s seboj Vedski pogled na svet in napisal svete knjige bramani "Vede" ("Znanje"). Ustvarjali so tudi obračunski sistem. Do 7. - 5. stoletja. pr e. vključujejo prve indijske matematične spomenike v izmenah ... Večina znanstvenih razprav Indijcev je napisana v sanskrt - jezik verskih knjig bramanov. Ta jezik je združil številna indijska ljudstva, ki so govorila različne jezike.

Indijsko številčenje

Štetje celega števila v Indiji od starih [arijskih] časov nosili decimalni znak . sanskrt - indoevropski jezik, podoben našemu: 1 - eka, 2 - dvi, 3 - tri .

Indijsko številčenje

Tako dobro, kot digitalno snemanje pogosto uporablja v Indiji besedni zapis številk , k temu je pripomogel s svojim besednjakom bogat sanskrtski jezik, ki ima veliko sinonimov:

• nič označeno z besedami "prazno", "nebo", "luknja"; enoto Luna, Zemlja ; dvojka - besede ; štiri - besede "oceani", "strani sveta" itd.
• nič označeno z besedami "prazno", "nebo", "luknja";
• enoto - predmeti, ki so na voljo samo v ednini: Luna, Zemlja ;
• dvojka - besede "dvojčki", "oči", "nosnice", "ustnice" ;
• štiri - besede "oceani", "strani sveta" itd.

Indijsko številčenje

Aplikacija pozicijsko načelo pri besednem številčenju , v katerem ima ista beseda glede na kraj različno številčno vrednost, imena kategorij pa so izpuščena, je bila zabeležena že v 5. stoletju. Na primer, številka 1021 je bila napisana z besedami "Luna - luknja - krila - Luna."

Indijsko številčenje

na podlagi številk brahmi delal z sodobne indijske številke « devaeagari » ( božansko pismo ), ki se uporablja v decimalnem pozicijskem sistemu, iz katerega izvirajo decimalni pozicijski sistemi Arabcev in Evropejcev.

IZ ZGODOVINE ŠTEVIL Denisenko Alla Petrovna

diapozitiv 2

Načrt: 1. Zakaj potrebujemo številke 2. Kako so se ljudje naučili pisati številke 3. Starodavna egipčanska števila 4. Starodavna rimska števila 5. Kitajska števila 6. MAJSKA števila 7. Sodobna števila

diapozitiv 3

Naloga: Seznaniti se z zgodovino nastanka številke in njeno vlogo. Relevantnost teme: Sodobni svet, kot človek brez zraka, ne more brez številk. Konec koncev je celo zvok ali slika posneta s kombinacijo številk.

diapozitiv 4

Skoraj vsi ljudje na Zemlji vedo, kaj so številke. Tudi če vzamemo tujo knjigo in ne razumemo besede, lahko še vedno beremo jezik številk. Vendar ni bilo vedno tako

diapozitiv 5

Ljudje so se začeli učiti šteti že od nekdaj in samo življenje je bilo njihov učitelj. Da plen ne bi odšel, ga je bilo treba obkrožiti, no, vsaj tako: pet ljudi na desni, sedem zadaj, štirje na levi. Tukaj ne gre brez računa! In vodja primitivnega plemena se je spopadel s to nalogo. Tudi v tistih dneh, ko človek ni poznal besed, kot sta "pet" ali "sedem", je lahko pokazal številke na prstih.

diapozitiv 6

Kako so se ljudje naučili zapisovati številke Veliko, mnogo let je minilo. Življenje osebe se je spremenilo. Znanje ljudi je postopoma raslo in čim dlje, tem bolj se je povečevala potreba po sposobnosti štetja in merjenja. Govedorejci so morali prešteti svoje črede, hkrati pa se je število lahko povzpelo na stotine in tisoče. Za kmeta štetje časa po lunarnih mesecih ni bilo več dovolj dobro. Potrebovali smo natančen koledar. Poleg tega so se morali ljudje vse pogosteje soočati z velikimi številkami. Moral sem ugotoviti, kako jih posneti!

Diapozitiv 7

V različnih državah in v različnih časih je bilo to storjeno na različne načine. Te "številke" so zelo različne in včasih celo smešne za različne ljudi. V starem Egiptu so številke prvih deset zapisali z ustreznim številom palic. Namesto številke "3" - tri palice. Toda za desetine je že drugačen znak - kot podkev.

Diapozitiv 8

Stari Rimljani so imeli druge številke. Še vedno včasih uporabljamo rimske številke. Vidimo jih tako na številčnici kot v knjigi, kjer je navedena številka poglavja. Če natančno pogledate, so rimske številke videti kot prsti. Eden je en prst; dva - dva prsta; pet je pet z odloženim palcem; šest je pet in en prst več. Avtogram B.N. Jelcin (prvi predsednik Rusije) 10. november 1988. Mesec je označen z rimskimi številkami.

Diapozitiv 9

Tako so izgledale starodavne kitajske številke Indijanci Maja so uspeli napisati katero koli številko samo s piko, črto in krogom.

Če želite uporabiti predogled predstavitev, ustvarite Google Račun (račun) in se prijavite: https://accounts.google.com

Napisi diapozitivov:

Trošenkova Sveta, 41 skupina Zgodovina nastanka številk.

Zgodovina nastanka številk Starodavni ljudje razen kamnite sekire in kože namesto oblačil niso imeli ničesar, zato niso imeli kaj šteti. Postopoma so začeli krotiti živino, obdelovati polja; pojavila se je trgovina in tukaj je nemogoče brez računa. Sprva so šteli na prste. Ko so se prsti na eni roki končali, so prešli na drugo, in če ni bilo dovolj na obeh rokah, so prešli na noge.

Zgodovina nastanka številk Prvi, ki so prišli do zapisa številk, so bili stari Sumerci. Uporabili so samo dve številki. Navpična črtica je označevala eno enoto, kot dveh ležečih pomišljajev pa deset. Te vrstice so bile pridobljene v obliki zagozd, ker so pisali z ostro palico na vlažne glinene tablice, ki so jih nato posušili in žgali. Takole so izgledale plošče.

Zgodovina nastanka številk Starodavni Majevci so namesto samih številk risali strašne glave, kot nezemljani, in zelo težko je bilo razlikovati eno glavo - številko od druge.

Zgodovina nastanka številk Indijanci in ljudstva starodavne Azije so pri štetju vezali vozle na čipke različnih dolžin in barv. Nekateri bogataši so nabrali več metrov te vrvne »računovode«, poskusite, spomnite se čez leto dni, kaj pomenijo štirje vozli na rdeči vrvici! Zato so tistega, ki je zavezal vozle, imenovali spominec.

Zgodovina nastanka številk Stari Egipčani so na zelo dolgih in dragih papirusih namesto številk pisali zelo zapletene, okorne znake. Tako je na primer izgledala številka 5656.

Zgodovina številk Zelo neprijetno je bilo shranjevati glinene tablice, zavozlane vrvi in ​​zvitke papirusa. In to se je nadaljevalo, dokler starodavni Indijanci niso izumili lastnega znaka za vsako številko. Evo, kako so izgledali

Zgodovina nastanka številk Arabci so bili prvi, ki so si izposodili številke od Indijcev in jih prinesli v Evropo. Malo kasneje so Arabci te ikone poenostavili, začele so izgledati takole. Podobne so številnim našim številkam. Arabci so nič ali "prazno" imenovali "sifra". Od takrat se je pojavila beseda "številka". Res je, zdaj vseh deset ikon za zapisovanje številk, ki jih uporabljamo, imenujemo številke.

Zgodovina nastanka števil Iz štetja prstov je nastal kvinarni številski sistem (ena roka), decimalni (dve roki), vigesimalni (prsti na rokah in nogah). V starih časih ni bilo enotnega sistema štetja za vse države. Nekateri številski sistemi so za osnovo vzeli 12, drugi - 60, drugi - 20, 2, 5, 8.

Zgodovina nastanka števil Rimljani so uvedli decimalni številski sistem. Rimske številke se še vedno uporabljajo v urah in za kazalo knjig, vendar je bil tudi ta sistem številk preveč zapleten za štetje. Predniki ruskega ljudstva - Slovani so uporabljali črke za označevanje številk. Ta način označevanja številk se imenuje številke.

Zgodovina nastanka številk Za označevanje velikih številk so Slovani izmislili svoj izvirni način: deset tisoč - tema, deset tem - legija, deset legij - leodr, deset leodres - krokar, deset krokarov - krov. Ta način označevanja številk je bil zelo neprijeten. Zato je Peter I v Rusiji uvedel običajnih deset številk za nas, ki jih še vedno uporabljamo.

Pomen števil po Pitagori Pitagora, njegovi učenci in privrženci so vsa števila zmanjšali na števila od 1 do vključno 9, saj so prvotna števila, iz katerih je mogoče dobiti vsa druga. Slavni Cornelius Agrippa je v svojem delu "Okultna filozofija", objavljenem leta 1533, poimenoval te številke in njihove pomene.

Pomen številk po Pitagorovi številki 1 je število cilja, ki se kaže v obliki agresivnosti in ambicioznosti. Število 2 je število z ekstremi. Vzdržuje ravnovesje z mešanjem pozitivnih in negativnih lastnosti. Število 3 pomeni nestabilnost. Združuje talent in vedrino ter simbolizira prilagodljivost.

Pomen številk po Pitagori Številka 4 - število pomeni stabilnost in moč. Število 5 simbolizira tveganje. Ta številka je hkrati najbolj srečna in najbolj nepredvidljiva. Številka 6 je simbol zanesljivosti. Je v harmoniji z naravo. To je idealno število.

Pomen številk po Pitagori Številka 7 - številka simbolizira skrivnost, pa tudi študij in znanje. Število 8 je število materialnega uspeha. Pomeni zanesljivost, dovedeno do popolnosti, ravnovesje. Številka 9 je simbol univerzalnega uspeha. Združuje značilnosti celotne skupine.

Informacijski viri Številke usode: pitagorejska, indijska in kitajska numerologija.-Zbornik, predgovor Andrej Kostenko. Sankt Peterburg, "Exlibris", 2003 I. Ya. Depman Svet številk: zgodbe o matematiki: Det. Lit., 1982 A. Likum Vse o vsem. Priljubljena enciklopedija za otroke - M .: Filološko društvo "Beseda", 1993, letnik 1,7,9. A. Lopatina Dobra matematika. M: "Amrita Rus" 2004 Internetni viri.

diapozitiv 2

CILJ:

Naučite se zgodovine nastanka številk v različnih državah

diapozitiv 3

Primitivni ljudje niso poznali računa. Niso se imeli od koga učiti. Življenje samo je bilo njihov učitelj. Ob opazovanju okoliške narave, od katere je bilo popolnoma odvisno njegovo življenje, se je naš daljni prednik najprej naučil ločevati posamezne predmete od številnih različnih predmetov. Iz tropa volkov - vodja tropa, iz črede jelenov - en jelen, iz zalege plavajočih rac - ena ptica, iz klasja z zrni - eno zrno. Sprva so to razmerje opredelili kot "en" in "več". Pogosta opazovanja nizov, sestavljenih iz para predmetov (oči, ušesa, rogovi, krila, roke), so človeka pripeljala do koncepta števila. Naš daljni prednik, ko je govoril o tem, da je videl dve raci, ju je primerjal s parom oči. In če jih je videl več, je rekel: "Veliko." Šele postopoma se je človek naučil ločiti tri predmete, nato pa štiri, pet, šest itd. Kako so se ljudje naučili šteti?

diapozitiv 4

Naučiti se šteti zahtevano življenje. Pri pridobivanju hrane so morali ljudje loviti velike živali: losa, medveda, bizona. Naši predniki so lovili v velikih skupinah, včasih celo pleme. Da je bil lov uspešen, je bilo treba zver obkrožiti. Običajno je starešina za medvedji brlog postavil dva lovca, štiri s sulicami proti brlogu, tri na eni strani in tri na drugi strani brloga. Za to je moral znati šteti, in ker takrat še ni bilo imen številk, je številko pokazal na prstih. In noge, mimogrede, prsti so igrali pomembno vlogo v zgodovini štetja, še posebej, ko so ljudje začeli izmenjevati predmete svojega dela med seboj. Na primer, ko je želel zamenjati sulico, ki jo je izdelal s kamnitim vrhom, za pet kož za oblačila, je nekdo položil roko na tla in pokazal, da je treba na vsak prst njegove roke položiti kožo. Ena petica je pomenila 5, dve - 10. Ko ni bilo dovolj rok, so se uporabljale tudi noge. Dve roki in ena noga - 15, dve roki in dve nogi - 20. Za številke so bila posebna imena - sprva samo za enega in dva. Števila, večja od dveh, smo klicali s seštevanjem: 3 je dva in ena, 4 je dva in dva, 5 je dve, dve več in ena.

diapozitiv 5

Kako so se ljudje naučili pisati številke?

V različnih državah in v različnih časih je bilo to storjeno na različne načine. Preden so ljudje znali izdelovati papir, so se pojavili zapisi v obliki zarez na palicah in živalskih kosteh, v obliki odloženih školjk ali kamenčkov ali v obliki vozlov, vezanih na pas ali vrv. ... Na eni od risb je moški dvignil obe roki. Imel je kaj presenetiti. Konec koncev je mislil cel milijon. In to ni šala. Stari Egipčani so narisali takšnega človeka, ko so želeli upodobiti milijon. Moški je opravljal naloge številke. Zdaj, navajeni napisa številk, niti ne verjamemo, da je obstajal še kakšen drug sistem za pisanje številk. Te »številke« so bile za različne narode zelo različne in včasih celo smešne. V starem Egiptu so številke prvih deset zapisali z ustreznim številom palic. In "deset" je bilo označeno z oklepajem v obliki podkve. Za pisanje 15 je bilo treba postaviti 5 palic in 1 podkev. In tako naprej do sto. Za sto je bil izumljen kavelj, za tisoč - značka kot roža. Deset tisoč je bilo označenih z vzorcem prstov, sto tisoč z žabo in milijon z znano številko z dvignjenimi rokami. Na ta način ni bilo zelo priročno zapisati velikih številk in jih je bilo precej neprijetno seštevati, odštevati, množiti, deliti. S temi hieroglifskimi ikonami je bilo veliko hrupa!

diapozitiv 6

Okoli tretjega tisočletja pred našim štetjem so Egipčani pripravili svoj številčni sistem, v katerem so bile za označevanje ključnih številk 1, 10, 100 in tako naprej uporabljene posebne ikone - hieroglifi.

Diapozitiv 7

Vrednost števila ni bila odvisna od vrstnega reda, v katerem so bili njegovi sestavni znaki: lahko so bili napisani od zgoraj navzdol, od desne proti levi ali mešani.

Diapozitiv 8

Stareegipčanske številke

1 10 100 100 000 10 000 1 000 000 1000 1

Diapozitiv 9

Številke so bile sestavljene iz teh ključnih simbolov z seštevanjem: 3 2 5 2

Diapozitiv 10

Veliko bolje je prišlo do zapisovanja številk v starodavnem Babilonu. Zelo je podoben sodobnemu, le da štejemo na desetine, stotine, tisoče in tako naprej, prebivalci starega Babilona pa so kombinirali enote 60, 3600 (60x60=3600), in če je potrebno, 60x60x60=216000 in tako na. V starodavnem Babilonu so pisali na mehke glinene plošče z ostrimi palicami, nato pa so bile plošče žgane in postale so trde in trpežne. Med izkopavanji so bile najdene celotne knjižnice in arhivi iz takšnih tablic. Težko je upodobiti zapletene figure s palico na glini, zato je bila babilonska pisava sestavljena predvsem iz različnih kombinacij klinov (imenuje se klinopis). Enote so predstavljali ozki navpični klini, desetice pa široke vodoravne, vse številke do 60 so bile "zbrane" iz takšnih zagozd. Ko je bilo treba zapisati število, večje od 60, se je odprl naslednji bit - vanj so zapisali, kolikokrat se število 60 prilega zapisanemu številu in kaj je ostalo (to je preostanek deljenja s 60). ) je bil tako kot doslej zapisan v prvo kategorijo. Med števkami smo pustili presledke, da se števila iz različnih števk ne mešajo. Takšen zapis številk je priročen, ker če znamo pomnožiti in sešteti številke prve kategorije, se je zelo enostavno naučiti izvajati ta dejanja s poljubnimi številkami - te izračune je mogoče narediti "v stolpcu", kot te učijo v šoli. Res je, babilonski sistem je bil še vedno zelo okoren zaradi dejstva, da je 60 dokaj veliko število, zato ga niso uporabljali nikjer drugje. Toda sistem številčenja in računanja, ki se je razvil v Indiji okoli 6. stoletja našega štetja, se je izkazal za tako priročnega in uspešnega, da se zdaj uporablja po vsem svetu. Evropejci so jo spoznavali v 10. - 13. stoletju prek Arabcev, ki so prvi cenili prednosti tega načina pisanja številk, se naučili in prenesli v Evropo, zato so nove številke v Evropi začele imenovati arabske. To se je zgodilo tudi zato, ker je bila človeku vedno pri roki najpreprostejša naprava za štetje, ki deluje v decimalnem številskem sistemu - to je njegovih 10 prstov.

diapozitiv 11

ARABSKE ŠTEVILKE

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Izumili so jih davno nazaj, v šestem stoletju, v Indiji; a številke se imenujejo arabske, ker so v Evropo prišle iz Arabcev. V Rusiji so se pod Petrom I začele uporabljati arabske številke. Vsaka številka predstavlja eno številko. Dvomestna števila se imenujejo dvomestna števila, trimestna števila pa trimestna.

diapozitiv 12

RIMSKI ŠTEVILKI

Sedem jih je: Ena - І Pet - V Deset - X Petdeset - L Sto - C Petsto - D Tisoč - M Pravila za branje in pisanje števil: Beri številke, zapisane z rimskimi številkami, od leve proti desni. Če je večja številka zapisana pred manjšo, se pri branju dodajo njihove vrednosti. V tem primeru se lahko ista slika ponovi dva ali trikrat.

Oglejte si vse diapozitive

diapozitiv 1

diapozitiv 2

diapozitiv 3

diapozitiv 4

diapozitiv 5

diapozitiv 6

Diapozitiv 7

Diapozitiv 8

Diapozitiv 9

diapozitiv 10

diapozitiv 11

diapozitiv 12

diapozitiv 13

diapozitiv 14

diapozitiv 15

diapozitiv 16

diapozitiv 17

diapozitiv 18

diapozitiv 19

diapozitiv 20

diapozitiv 21

diapozitiv 22

diapozitiv 23