Kaj je pozitivno celo število. Številke

Informacije v tem članku so oblikovane splošna ideja približno cela števila. Najprej je podana definicija celih števil in podani so primeri. Nato se upoštevajo cela števila na številski premici, iz katerih postane jasno, katera števila se imenujejo pozitivna in katera negativna. Nato je prikazano, kako so spremembe količin opisane s celimi števili, negativna cela števila pa se upoštevajo v smislu dolga.

Navigacija po straneh.

Cela števila - definicija in primeri

Opredelitev.

Cela števila so naravna števila, število nič, pa tudi števila, ki so nasprotna naravnim.

Definicija celih števil navaja, da je katero koli od številk 1, 2, 3, …, število 0 in tudi katero koli od številk −1, −2, −3, … celo število. Zdaj lahko enostavno prinesemo celoštevilski primeri. Na primer, število 38 je celo število, število 70 040 je tudi celo število, nič je celo število (spomnimo se, da nič NI naravno število, nič je celo število), števila −999 , −1 , −8 934 832 so tudi primeri celih števil.

Vsa cela števila je priročno predstaviti kot zaporedje celih števil, ki ima naslednjo obliko: 0, ±1, ±2, ±3, … Zaporedje celih števil lahko zapišemo tudi tako: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Iz definicije celih števil izhaja, da je množica naravnih števil podmnožica množice celih števil. Zato je vsako naravno število celo število, ni pa vsako celo število naravno število.

Cela števila na koordinatni vrstici

Opredelitev.

Celoštevilna pozitivna števila so cela števila, ki so večja od nič.

Opredelitev.

Celoštevilna negativna števila so cela števila, ki so manjša od nič.

Celoštevilna pozitivna in negativna števila lahko določimo tudi z njihovim položajem na koordinatni črti. Na vodoravni koordinatni črti ležijo točke, katerih koordinate so pozitivna cela števila, desno od izhodišča. Po drugi strani se točke z negativnimi celimi koordinatami nahajajo levo od točke O.

Jasno je, da je množica vseh pozitivnih celih množica naravnih števil. Po drugi strani je množica vseh negativnih celih števil množica vseh števil, ki so nasprotna naravnim številom.

Ločeno vas opozarjamo na dejstvo, da lahko katero koli naravno število varno imenujemo celo število, nobenega celega števila pa NE moremo imenovati naravno število. Naravno lahko imenujemo samo vsako pozitivno celo število, saj negativna cela števila in nič nista naravni.

Celoštevilska nepozitivna in cela nenegativna števila

Dajmo definicije nepozitivnih celih in nenegativnih celih števil.

Opredelitev.

Pokličejo se vsa pozitivna cela števila skupaj z ničlo cela nenegativna števila.

Opredelitev.

Celoštevilna nepozitivna števila so vsa negativna cela števila skupaj s številom 0.

Z drugimi besedami, nenegativno celo število je celo število, ki je večje ali enako nič, nepozitivno celo število pa je celo število, ki je manjše ali enako nič.

Primeri nepozitivnih celih števil so števila -511, -10 030, 0, -2, kot primeri nenegativnih celih števil pa naj navedemo števila 45, 506, 0, 900 321.

Najpogosteje se zaradi kratkosti uporabljata izraza "nepozitivna cela števila" in "nenegativna cela števila". Na primer, namesto izraza "število a je celo število in a je večje od nič ali enako nič", lahko rečete "a je nenegativno celo število".

Opis spreminjanja vrednosti z uporabo celih števil

Čas je, da se pogovorimo o tem, čemu služijo cela števila.

Glavni namen celih števil je, da je z njihovo pomočjo priročno opisati spremembo števila poljubnih elementov. Opravimo se s tem s primeri.

Recimo, da je na zalogi določena količina delov. Če se na primer v skladišče pripelje še 400 delov, se bo število delov v skladišču povečalo, število 400 pa izraža to spremembo količine v pozitivni smeri (naraščanju). Če na primer iz skladišča vzamemo 100 delov, se bo število delov v skladišču zmanjšalo, število 100 pa bo izražalo spremembo količine v negativni smeri (v smeri zmanjšanja). Noben deli ne bodo pripeljani v skladišče in nobeni deli ne bodo odpeljani iz skladišča, potem lahko govorimo o nespremenljivosti števila delov (to je, da lahko govorimo o ničelni spremembi količine).

V navedenih primerih lahko spremembo števila delov opišemo s celimi števili 400 , −100 oziroma 0. Pozitivno celo število 400 označuje pozitivno spremembo količine (povečanje). Negativno celo število −100 izraža negativno spremembo količine (zmanjšanje). Celo število 0 pomeni, da se količina ni spremenila.

Priročnost uporabe celih števil v primerjavi z uporabo naravnih števil je v tem, da ni treba izrecno navesti, ali se količina povečuje ali zmanjšuje – celo število določa spremembo kvantitativno, predznak celega števila pa označuje smer spremembe.

Cela števila lahko tudi izražajo ne le spremembo količine, ampak tudi spremembo neke vrednosti. Opravimo to na primeru spremembe temperature.

Povečanje temperature za, recimo, 4 stopinje je izraženo kot pozitivno celo število 4 . Znižanje temperature, na primer za 12 stopinj, je mogoče opisati z negativnim celim številom -12. Invariantnost temperature je njena sprememba, ki jo določa celo število 0.

Ločeno je treba povedati o razlagi negativnih celih števil kot zneska dolga. Na primer, če imamo 3 jabolka, potem pozitivno celo število 3 predstavlja število jabolk, ki jih imamo. Po drugi strani pa, če moramo nekomu dati 5 jabolk in jih nimamo na voljo, lahko to situacijo opišemo z negativnim celim številom −5. V tem primeru imamo v lasti −5 jabolk, predznak minus označuje dolg, številka 5 pa kvantificira dolg.

Razumevanje negativnega celega števila kot dolga omogoča, da na primer upravičimo pravilo za dodajanje negativnih celih števil. Vzemimo primer. Če nekdo dolguje 2 jabolki eni osebi in eno jabolko drugi, potem je skupni dolg 2+1=3 jabolka, torej −2+(−1)=−3 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.

Številka- najpomembnejši matematični koncept, ki se je spreminjal skozi stoletja.

Prve ideje o številu so nastale pri štetju ljudi, živali, sadja, raznih izdelkov itd. Rezultat so naravna števila: 1, 2, 3, 4, ...

Zgodovinsko gledano je prva razširitev koncepta števila dodajanje ulomnih številk naravnemu številu.

Ustreljen imenujemo del (delež) enote ali več njenih enakih delov.

Označeno: , kje m,n- cela števila;

Ulomki z imenovalcem 10 n, kje n je celo število, se imenujejo decimalka: .

Med decimalnimi ulomki zavzema posebno mesto periodične frakcije: - čisti periodični ulomek, - mešana periodična frakcija.

Nadaljnjo širitev pojma števila povzroča že razvoj same matematike (algebra). Descartes v 17. stoletju predstavlja koncept negativno število.

Številke se imenujejo cele (pozitivne in negativne), ulomke (pozitivne in negativne) in nič racionalna števila. Vsako racionalno število lahko zapišemo kot končni in periodični ulomek.

Za preučevanje nenehno spreminjajočih se spremenljivk se je izkazalo, da je treba razširiti koncept števila - uvedbo realnih (realnih) številk - z dodajanjem iracionalnih številk racionalnim številkam: iracionalna števila so neskončni decimalni neperiodični ulomki.

Iracionalna števila so se pojavila pri merjenju nesorazmernih segmentov (stran in diagonala kvadrata), v algebri - pri ekstrakciji korenin je primer transcendentnega, iracionalnega števila π, e .

Številke naravno(1, 2, 3,...), cel(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), racionalno(predstavljeno kot ulomek) in iracionalno(ni mogoče predstaviti kot ulomek ) tvori komplet pravi (pravi)številke.

Ločeno v matematiki ločimo kompleksna števila.

Kompleksne številke nastanejo v zvezi s problemom reševanja kvadratov za primer D< 0 (здесь D je diskriminanta kvadratne enačbe). Te številke dolgo niso našle fizične uporabe, zato so jih poimenovali »namišljena« števila. Vendar se zdaj zelo pogosto uporabljajo na različnih področjih fizike in tehnologije: elektrotehnika, hidro- in aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksne številke so zapisani kot: z= a+ bi. tukaj a in b – realne številke, a jaz – imaginarna enota.e. jaz 2 = -ena. Številka a poklical abscisa, a b-ordinate kompleksno število a+ bi. Dve kompleksni številki a+ bi in a-bi poklical konjugirati kompleksna števila.

Lastnosti:

1. Realno število a lahko zapišemo tudi kot kompleksno število: a+ 0jaz oz a - 0jaz. Na primer 5 + 0 jaz in 5 - 0 jaz pomeni isto število 5 .

2. Kompleksno število 0 + bi poklical čisto namišljeno številko. Snemanje bi pomeni isto kot 0 + bi.

3. Dve kompleksni števili a+ bi in c+ di se štejejo za enake, če a= c in b= d. V nasprotnem primeru kompleksna števila niso enaka.

Dejanja:

Dodatek. Vsota kompleksnih števil a+ bi in c+ di se imenuje kompleksno število ( a+ c) + (b+ d)jaz. tako, pri seštevanju kompleksnih števil se njihove abscise in ordinate seštevajo ločeno.

Odštevanje. Razlika med dvema kompleksnima številkama a+ bi(zmanjšano) in c+ di(odšteto) se imenuje kompleksno število ( a-c) + (b-d)jaz. tako, pri odštevanju dveh kompleksnih števil se njune abscise in ordinate odštejejo ločeno.

Množenje. Produkt kompleksnih števil a+ bi in c+ di se imenuje kompleksno število.

(ac-bd) + (oglas+ pr)jaz. Ta opredelitev izhaja iz dveh zahtev:

1) številke a+ bi in c+ di se mora množiti kot algebraični binomi,

2) številka jaz ima glavno lastnost: jaz 2 = –1.

PRIMER ( a + bi)(a-bi)= a 2 +b 2 . zato delodveh konjugiranih kompleksnih števil je enako pozitivnemu realnemu številu.

divizije. Delite kompleksno število a+ bi(deljivo) na drugo c+ di (delilnik) - pomeni najti tretjo številko e+ fi(klepet), ki se pomnoži z delilnikom c+ di, kar ima za posledico dividende a+ bi. Če delilec ni nič, je deljenje vedno možno.

PRIMER Najdi (8+ jaz) : (2 – 3jaz) .

Rešitev Prepišimo to razmerje kot ulomek:

Njegov števec in imenovalec pomnožimo z 2 + 3 jaz in naredimo vse transformacije, dobimo:

1. naloga: seštevanje, odštevanje, množenje in deljenje z 1 do z 2

Ekstrahiranje kvadratnega korena: Reši enačbo x 2 = -a. Za rešitev te enačbe prisiljeni smo uporabiti novo vrsto številk - imaginarne številke . tako, imaginarno številka je poklicana katerega druga potenca je negativno število. Po tej definiciji imaginarnih števil lahko definiramo in imaginarno enoto:

Nato za enačbo x 2 = - 25 dobimo dva imaginarno koren:

2. naloga: Reši enačbo:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Geometrijski prikaz kompleksnih števil. Realna števila so predstavljena s točkami na številski premici:

Tukaj je bistvo A pomeni število -3, pika B je številka 2 in O-nič. Nasprotno pa so kompleksna števila predstavljena s točkami na koordinatni ravnini. Za to izberemo pravokotne (kartezijanske) koordinate z enakim merilom na obeh oseh. Nato kompleksno število a+ bi bo predstavljen s piko P z abscisoa in ordinateb. Ta koordinatni sistem se imenuje kompleksna ravnina .

modul kompleksno število imenujemo dolžina vektorja OP, ki prikazuje kompleksno število na koordinati ( integrirano) letalo. Kompleksni številski modul a+ bi označeno z | a+ bi| ali) pismo r in je enako:

Konjugirana kompleksna števila imajo enak modul.

Pravila za risanje risbe so skoraj enaka kot za risbo v kartezičnem koordinatnem sistemu.Ob osi morate nastaviti dimenzijo, upoštevajte:

e
enota vzdolž realne osi; Rez

imaginarna enota vzdolž namišljene osi. im z

Naloga 3. Na kompleksni ravnini sestavite naslednja kompleksna števila: , , , , , , ,

1. Številke so natančne in približne.Številke, ki jih srečamo v praksi, so dve vrsti. Nekateri navajajo pravo vrednost količine, drugi le približno. Prvi se imenuje natančen, drugi - približen. Najpogosteje je namesto natančne številke priročno uporabiti približno število, še posebej, ker v mnogih primerih točnega števila sploh ni mogoče najti.

Torej, če pravijo, da je v razredu 29 učencev, potem je številka 29 natančna. Če pravijo, da je razdalja od Moskve do Kijeva 960 km, potem je tukaj številka 960 približna, saj po eni strani naši merilni instrumenti niso popolnoma natančni, po drugi strani pa imajo nekatera mesta sama.

Rezultat operacij s približnimi številkami je tudi približna številka. Z izvajanjem nekaterih operacij na natančnih številkah (deljenje, izvlečenje korena) lahko dobite tudi približne številke.

Teorija približnih izračunov omogoča:

1) poznavanje stopnje točnosti podatkov, oceni stopnjo točnosti rezultatov;

2) vzame podatke z ustrezno stopnjo natančnosti, ki zadostuje za zagotovitev zahtevane točnosti rezultata;

3) racionalizirati postopek izračuna in ga osvoboditi tistih izračunov, ki ne bodo vplivali na točnost rezultata.

2. Zaokroževanje. En vir približnih številk je zaokroževanje. Zaokrožite tako približne kot natančne številke.

Zaokrožitev določenega števila na nekaj njegovih števk je njegova zamenjava z novim številom, ki ga dobimo iz danega tako, da zavržemo vse njegove števke, zapisane desno od števke te števke, ali pa jih nadomestimo z ničlami. Te ničle so običajno podčrtane ali napisane manjše. Da bi zagotovili najbližjo zaokroženo število zaokroženemu, je treba uporabiti naslednja pravila: če želite številko zaokrožiti na enoto določene števke, morate zavreči vse števke za števko te števke in zamenjati jih z ničlami ​​v celem številu. To upošteva naslednje:

1) če je prva (leva) od zavrženih števk manjša od 5, se zadnja preostala številka ne spremeni (zaokroži navzdol);

2) če je prva zavržena številka večja od 5 ali enaka 5, se zadnja preostala številka poveča za eno (zaokroževanje).

Pokažimo to s primeri. Zaokroži navzgor:

a) do desetin 12,34;

b) do stotink 3,2465; 1038.785;

c) do tisočink 3,4335.

d) do 12375 tisoč; 320729.

a) 12,34 ≈ 12,3;

b) 3,2465 ≈ 3,25; 1038,785 ≈ 1038,79;

c) 3,4335 ≈ 3,434.

d) 12375 ≈ 12.000; 320729 ≈ 321000.

3. Absolutne in relativne napake. Razlika med natančnim številom in njegovo približno vrednostjo se imenuje absolutna napaka približnega števila. Na primer, če natančno število 1,214 zaokrožimo na desetinke, dobimo približno število 1,2. V tem primeru je absolutna napaka približne številke 1,2 1,214 - 1,2, t.j. 0,014.

Toda v večini primerov točna vrednost obravnavana vrednost ni znana, ampak le približna. Potem je tudi absolutna napaka neznana. V teh primerih navedite mejo, ki je ne presega. To število se imenuje mejna absolutna napaka. Pravijo, da je natančna vrednost števila enaka njeni približni vrednosti z napako, manjšo od mejne napake. Na primer, število 23,71 je približna vrednost števila 23,7125 z natančnostjo 0,01, saj je absolutna napaka približevanja 0,0025 in manjša od 0,01. Tukaj je mejna absolutna napaka enaka 0,01 *.

Mejna absolutna napaka približnega števila a označena s simbolom Δ a. Snemanje

x≈a(±Δ a)

je treba razumeti takole: natančna vrednost količine x je vmes a– Δ a in a+ Δ a, ki se imenujeta spodnja oziroma zgornja meja. X in označimo NG x VG X.

Na primer, če x≈ 2,3 (±0,1), nato 2,2<x< 2,4.

Nasprotno, če 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7,35 (±0,05). Absolutna ali mejna absolutna napaka ne označuje kakovosti meritve. Enako absolutno napako lahko štejemo za pomembno in nepomembno, odvisno od števila, ki izraža izmerjeno vrednost. Na primer, če merimo razdaljo med dvema mestoma z natančnostjo enega kilometra, potem taka natančnost za to spremembo povsem zadostuje, hkrati pa bo pri merjenju razdalje med dvema hišama na isti ulici taka natančnost nesprejemljivo. Zato je natančnost približne vrednosti količine odvisna ne le od velikosti absolutne napake, temveč tudi od vrednosti izmerjene količine. Zato je merilo natančnosti relativna napaka.

Relativna napaka je razmerje med absolutno napako in vrednostjo približnega števila. Razmerje med mejno absolutno napako in približnim številom imenujemo mejna relativna napaka; označi takole: Relativne in mejne relativne napake so običajno izražene v odstotkih. Na primer, če meritve kažejo, da je razdalja X med dvema točkama je več kot 12,3 km, vendar manj kot 12,7 km, potem se kot približna vrednost vzame aritmetična sredina teh dveh številk, t.j. njihova polovična vsota, potem je mejna absolutna napaka enaka polovični razliki teh števil. V tem primeru X≈ 12,5 (±0,2). Tukaj je mejna absolutna napaka 0,2 km, mejna pa relativna

1) Takoj delim z, saj sta obe številki 100% deljivi z:

2) Delil bom s preostalimi velikimi števili (s), saj so deljena s brez ostanka (hkrati ne bom razkrojila - to je že skupni delilec):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Odšel bom sam in začel razmišljati o številkah in. Obe številki sta natančno deljivi s (konča se s sodimi števkami (v tem primeru predstavljamo kot, lahko pa ju delimo z)):

4) Delamo s številkami in. Ali imajo skupne delilnike? To je tako enostavno kot v prejšnjih korakih in ne morete reči, zato jih bomo razstavili na preproste dejavnike:

5) Kot lahko vidimo, smo imeli prav: in nimamo skupnih deliteljev, zdaj pa moramo pomnožiti.
GCD

Naloga številka 2. Poiščite GCD številk 345 in 324

Tukaj ne morem hitro najti vsaj enega skupnega delitelja, zato samo razstavim na prafaktorje (čim manj):

Točno tako, GCD in sprva nismo preverili merila deljivosti in morda mi ne bi bilo treba narediti toliko dejanj.

Ampak si preveril, kajne?

Kot lahko vidite, je precej enostavno.

Najmanj pogosti večkratnik (LCM) - prihrani čas, pomaga pri reševanju težav zunaj okvira

Recimo, da imate dve številki - in. Kakšno je najmanjše število, s katerim je deljivo brez sledu(tj. popolnoma)? Težko si je predstavljati? Tukaj je vizualni namig za vas:

Se spomnite, kaj črka pomeni? Tako je, samo cela števila. Kakšno je torej najmanjše število, ki ustreza x? :

V tem primeru.

Iz tega preprostega primera sledi več pravil.

Pravila za hitro iskanje NOK

Pravilo 1. Če je eno od dveh naravnih števil deljivo z drugim številom, je večje od teh dveh števil njun najmanjši skupni večkratnik.

Poiščite naslednje številke:

• NOK (7;21)
• NOK (6;12)
• NOK (5;15)
• NOK (3;33)

Seveda ste se zlahka spopadli s to nalogo in dobili ste odgovore -, in.

Upoštevajte, da v pravilu govorimo o DVEH številkah, če je številk več, pravilo ne deluje.

Na primer, LCM (7;14;21) ni enak 21, saj ga ni mogoče deliti brez preostanka z.

Pravilo 2. Če sta dve (ali več kot dve) števili soprvi, potem je najmanjši skupni mnogokratnik enak njunemu zmnožku.

najti NOC za naslednje številke:

• NOK (1;3;7)
• NOK (3;7;11)
• NOK (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Ste šteli? Tukaj so odgovori - , ; .

Kot razumete, ni vedno tako enostavno vzeti in dvigniti tega istega x, zato za nekoliko bolj zapletena števila obstaja naslednji algoritem:

Bomo vadili?

Poiščite najmanjši skupni večkratnik - LCM (345; 234)

Razčlenimo vsako številko:

Zakaj sem ravnokar napisal?

Zapomnite si znake deljivosti z: deljivo z (zadnja številka je soda) in vsota števk je deljiva s.

V skladu s tem lahko takoj razdelimo na in zapišemo kot.

Zdaj zapišemo najdaljšo razširitev v vrstici - drugo:

Dodajmo še številke iz prve razširitve, ki jih ni v tem, kar smo zapisali:

Opomba: izpisali smo vse razen, saj ga že imamo.

Zdaj moramo vse te številke pomnožiti!

Najmanj skupni večkratnik (LCM) poiščite sami

Kakšne odgovore ste dobili?

Evo, kaj se mi je zgodilo:

Koliko časa ste potrebovali, da ste našli NOC? Moj čas je 2 minuti, res vem en trik, ki ga predlagam, da odprete takoj!

Če ste zelo pozorni, ste verjetno opazili, da za dane številke, ki smo jih že iskali GCD in lahko bi vzeli faktorizacijo teh števil iz tega primera, s čimer bi poenostavili svojo nalogo, vendar to še zdaleč ni vse.

Poglejte si sliko, morda vam pride še kakšna misel:

no? Dal vam bom namig: poskusite pomnožiti NOC in GCD med seboj in zapišite vse faktorje, ki bodo pri množenju. Vam je uspelo? Na koncu bi morali dobiti verigo, kot je ta:

Oglejte si ga podrobneje: primerjajte dejavnike s tem, kako in so razgrajeni.

Kakšen sklep lahko potegnete iz tega? Pravilno! Če pomnožimo vrednosti NOC in GCD med seboj, potem dobimo produkt teh številk.

V skladu s tem imajo številke in pomen GCD(oz NOC), lahko najdemo NOC(oz GCD) na naslednji način:

1. Poiščite zmnožek števil:

2. Nastali izdelek delimo z našim GCD (6240; 6800) = 80:

To je vse.

Zapišimo pravilo v splošni obliki:

Poskusi najti GCDče je znano, da:

Vam je uspelo? .

Negativne številke - "lažne številke" in njihovo prepoznavanje s strani človeštva.

Kot ste že razumeli, so to številke, nasprotne naravnim, to je:

Zdi se, da so tako posebni?

A dejstvo je, da so negativna števila »osvojila« svoje pravo mesto v matematiki vse do 19. stoletja (do takrat je bilo ogromno polemik, ali obstajajo ali ne).

Samo negativno število je nastalo zaradi takšne operacije z naravnimi števili, kot je "odštevanje".

Dejansko odštejte od - to je negativno število. Zato se pogosto imenuje množica negativnih števil "podaljšek množice naravnih števil".

Negativnih številk ljudje dolgo niso prepoznali.

Torej, Stari Egipt, Babilon in Stara Grčija - luči svojega časa, niso prepoznali negativnih številk, in v primeru pridobivanja negativnih korenin v enačbi (na primer, kot imamo), so bile korenine zavrnjene kot nemogoče.

Negativne številke so prvič dobile pravico do obstoja na Kitajskem, nato pa v 7. stoletju v Indiji.

Kaj menite o tej izpovedi?

Tako je, negativne številke so začele označevati dolgovi (sicer - pomanjkanje).

Veljalo je, da so negativne številke začasna vrednost, ki se bo posledično spremenila v pozitivno (to pomeni, da bo denar še vedno vrnjen upniku). Vendar je indijski matematik Brahmagupta že takrat obravnaval negativna števila enakopravno s pozitivnimi.

V Evropi je uporabnost negativnih številk, pa tudi dejstvo, da lahko označujejo dolg, prišla veliko pozneje, torej tisočletje.

Prvo omembo smo videli leta 1202 v »Knjigi o abakusu« Leonarda iz Pise (takoj pravim, da avtor knjige nima nič opraviti s poševnim stolpom v Pisi, so pa Fibonaccijeva števila njegovo delo ( vzdevek Leonarda iz Pise je Fibonacci)).

Tako je v XVII stoletju Pascal verjel v to.

Kako mislite, da je to utemeljil?

Tako je, "nič ne more biti manj kot NIČ".

Odmev tistih časov ostaja dejstvo, da sta negativno število in operacijo odštevanja označena z istim simbolom - minus "-". In res:. Ali je število " " pozitivno, ki se odšteje od, ali negativno, ki se mu doda? ... Nekaj ​​iz serije "kar pride prej: kokoš ali jajce?" Tukaj je taka vrsta te matematične filozofije.

Negativne številke so si zagotovile pravico do obstoja s prihodom analitične geometrije, z drugimi besedami, ko so matematiki uvedli tako stvar, kot je realna os.

Od tega trenutka je prišla enakost. Vendar je bilo še vedno več vprašanj kot odgovorov, npr.

razmerje

Ta delež se imenuje Arnov paradoks. Pomislite, kaj je v tem dvomljivem?

Pogovarjajva se skupaj " " več kot " " kajne? Tako bi morala biti po logiki leva stran deleža večja od desne, vendar sta enaka ... Tukaj je paradoks.

Kot rezultat, so se matematiki strinjali, da je Karl Gauss (da, ja, to je tisti, ki je upošteval vsoto (ali) številk) leta 1831 to končal.

Dejal je, da imajo negativna števila enake pravice kot pozitivna, in to, da ne veljajo za vse stvari, ne pomeni nič, saj tudi ulomki ne veljajo za marsikaj (ne zgodi se, da kopač izkoplje luknjo, ne morete kupiti vstopnice za kino itd.).

Matematiki so se umirili šele v 19. stoletju, ko sta teorijo negativnih števil ustvarila William Hamilton in Hermann Grassmann.

Kako sporne so te negativne številke.

Pojav "praznine" ali biografija ničle.

V matematiki posebna številka.

Na prvi pogled to ni nič: seštejte, odštejte - nič se ne bo spremenilo, vendar ga morate samo pripisati desnici "", nastalo število pa bo večkrat večje od prvotnega.

Z množenjem z ničlo spremenimo vse v nič, ne moremo pa deliti z »nič«. Z eno besedo, čarobna številka)

Zgodovina ničle je dolga in zapletena.

Sled ničle najdemo v spisih Kitajcev leta 2000 AD. in še prej pri Majih. Prvo uporabo simbola ničle, kot je danes, so opazili med grškimi astronomi.

Obstaja veliko različic, zakaj je bila izbrana takšna oznaka "nič".

Nekateri zgodovinarji so nagnjeni k prepričanju, da gre za omikron, t.j. Prva črka grške besede za nič je ouden. Po drugi različici je beseda "obol" (kovanec skoraj brez vrednosti) dala življenje simbolu nič.

Nič (ali nič) kot matematični simbol se prvič pojavi med Indijanci(upoštevajte, da so se tam začele »razvijati« negativne številke).

Prvi zanesljivi dokazi o pisanju nič segajo v leto 876 in v njih je "" komponenta števila.

Tudi nič je prišla v Evropo z zamudo - šele leta 1600 in se je tako kot negativne številke soočila z odporom (kaj lahko, Evropejci so).

"Zero je bil pogosto sovražen, dolgo se je bal in celo prepovedan"— piše ameriški matematik Charles Seif.

Tako je turški sultan Abdul-Hamid II konec 19. stoletja. je svojim cenzorjem ukazal, naj izbrišejo formulo vode H2O iz vseh kemijskih učbenikov, pri čemer črko "O" vzamejo za nič in ne želijo, da bi njegove začetnice klevetale bližino zaničljive ničle.

Na internetu lahko najdete stavek: »Nič je najmočnejša sila v vesolju, zmore vse! Nič ustvarja red v matematiki, vanjo pa vnaša tudi kaos. Popolnoma pravilna točka :)

Povzetek razdelka in osnovne formule

Nabor celih števil je sestavljen iz 3 delov:

• naravna števila (v nadaljevanju jih bomo podrobneje obravnavali);
• števila, nasprotna naravnim;
• nič - ""

Označena je množica celih števil črka Z.

1. Naravna števila

Naravna števila so števila, ki jih uporabljamo za štetje predmetov.

Označena je množica naravnih števil črka N.

Pri operacijah s celimi števili boste potrebovali možnost iskanja GCD in LCM.

Največji skupni delilec (GCD)

Za iskanje NOD potrebujete:

1. Razčlenite števila na prafaktorje (na števila, ki jih ni mogoče deliti z ničemer drugim kot s samim seboj ali na primer z ipd.).
2. Zapišite faktorje, ki so del obeh številk.
3. Pomnožite jih.

Najmanj pogosti večkratnik (LCM)

Za iskanje NOC potrebujete:

1. Številke razčlenite v prafaktorje (to že veste zelo dobro).
2. Zapišite faktorje, ki so vključeni v razširitev ene od številk (bolje je vzeti najdaljšo verigo).
3. Dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih številk.
4. Poiščite produkt nastalih faktorjev.

2. Negativne številke

To so števila, ki so nasprotna naravnim številom, to je:

Zdaj želim slišati od vas ...

Upam, da ste cenili super uporabne "trike" tega razdelka in razumeli, kako vam bodo pomagali pri izpitu.

In kar je še pomembneje, v življenju. Ne govorim o tem, ampak verjemite mi, ta je. Sposobnost hitrega in brez napak štetja rešuje v številnih življenjskih situacijah.

Zdaj si ti na vrsti!

Napišite, ali boste pri izračunih uporabljali metode združevanja, kriterije deljivosti, GCD in LCM?

Ste jih morda že uporabljali? Kje in kako?

Morda imate vprašanja. Ali predlogi.

V komentarje napišite, kako vam je članek všeč.

In veliko sreče pri izpitih!

Če levo od niza naravnih številk dodamo število 0, dobimo niz pozitivnih celih števil:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Celoštevilna negativna števila

Oglejmo si majhen primer. Slika na levi prikazuje termometer, ki kaže temperaturo 7 °C toplote. Če temperatura pade za 4°C, bo termometer pokazal 3°C toplote. Znižanje temperature ustreza dejanju odštevanja:

Opomba: vse stopnje so zapisane s črko C (Celzij), predznak stopnje je od števila ločen s presledkom. Na primer, 7 °C.

Če temperatura pade za 7 °C, bo termometer pokazal 0 °C. Znižanje temperature ustreza dejanju odštevanja:

Če temperatura pade za 8 °C, bo termometer pokazal -1 °C (1 °C zmrzali). Toda rezultata odštevanja 7 - 8 ni mogoče zapisati z naravnimi števili in ničlo.

Ponazorimo odštevanje na vrsti pozitivnih celih števil:

1) Preštejemo 4 številke levo od števila 7 in dobimo 3:

2) Preštejemo 7 številk levo od števila 7 in dobimo 0:

Nemogoče je prešteti 8 številk v nizu pozitivnih celih števil od števila 7 na levo. Da bi bilo dejanje 7 - 8 izvedljivo, razširimo niz pozitivnih celih števil. Da bi to naredili, levo od ničle napišemo (od desne proti levi) po vrstnem redu vsa naravna števila in vsakemu od njih dodamo znak -, ki kaže, da je to število levo od nič.

Vnosi -1, -2, -3, ... se glasijo minus 1 , minus 2 , minus 3 itd.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Nastala serija števil se imenuje poleg celih številk. Piki na levi in ​​desni v tem vnosu pomenita, da se niz lahko nadaljuje v nedogled na desno in levo.

Desno od številke 0 v tej vrstici so klicane številke naravno oz v celoti pozitivno(na kratko - pozitivno).

Levo od številke 0 v tej vrstici so klicane številke cela negativna(na kratko - negativno).

Število 0 je celo število, vendar ni niti pozitivno niti negativno. Loči pozitivna in negativna števila.

zato niz celih števil je sestavljen iz negativnih celih števil, nič in pozitivnih celih števil.

Celoštevilska primerjava

Primerjaj dve celi števili- pomeni ugotoviti, kateri od njih je večji, kateri manjši, ali ugotoviti, da sta števila enaka.

Cela števila lahko primerjate z uporabo vrstice celih števil, saj so števila v njej razporejena od najmanjšega do največjega, če se premikate po vrstici od leve proti desni. Zato lahko v nizu celih števil vejice zamenjate z znakom manj:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

zato Od dveh celih števil je tisto na desni večje, tisto na levi pa manjše., pomeni:

1) Vsako pozitivno število je večje od nič in večje od katerega koli negativnega števila:

1 > 0; 15 > -16

2) Vsako negativno število, manjše od nič:

7 < 0; -357 < 0

3) Od dveh negativnih števil je tisto, ki je desno v nizu celih števil, večje.

Obstaja veliko vrst števil, ena od njih so cela števila. Cela števila so se pojavila, da bi bilo lažje šteti ne le v pozitivno smer, ampak tudi v negativno.

Razmislite o primeru:
Čez dan je bilo zunaj 3 stopinje. Do večera se je temperatura znižala za 3 stopinje.
3-3=0
Zunaj je bilo 0 stopinj. In ponoči je temperatura padla za 4 stopinje in je na termometru začela kazati -4 stopinje.
0-4=-4

Niz celih števil.

Takšnega problema ne moremo opisati z naravnimi števili, ta problem bomo obravnavali na koordinatni črti.

Imamo vrsto številk:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ta niz številk se imenuje poleg celih številk.

Celoštevilna pozitivna števila. Cela negativna števila.

Niz celih števil je sestavljen iz pozitivnih in negativnih števil. Desno od ničle so naravna števila ali pa se tudi imenujejo cela pozitivna števila. In levo od ničle pojdi cela negativna števila.

Nič ni niti pozitivna niti negativna. Je meja med pozitivnimi in negativnimi številkami.

je niz števil, sestavljen iz naravnih števil, negativnih celih števil in nič.

Niz celih števil v pozitivni in negativni smeri je neskončna množica.

Če vzamemo kateri koli dve celi števili, se kličejo števila med tema celima številoma končni komplet.

Na primer:
Vzemimo cela števila od -2 do 4. V končni niz so vključena vsa števila med temi števili. Naš končni niz številk izgleda takole:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Naravna števila so označena z latinsko črko N.
Cela števila so označena z latinsko črko Z. Celoten niz naravnih števil in celih števil je lahko prikazan na sliki.


Nepozitivna cela števila z drugimi besedami, so negativna cela števila.
Nenegativna cela števila so pozitivna cela števila.