Vetia e pjesëtimit me 11. Shenjat kryesore të pjesëtueshmërisë

Ky material i kushtohet një koncepti të tillë si një shenjë e pjesëtueshmërisë me 2. Në paragrafin e parë, ne do ta formulojmë atë dhe do të japim shembuj - detyra në të cilat duhet të zbuloni nëse një numër specifik është i pjesëtueshëm me 2. Më pas do ta vërtetojmë këtë veçori dhe do të shpjegojmë se cilat metoda ekzistojnë për përcaktimin e pjesëtueshmërisë me dy nga numrat e dhënë si vlerë e shprehjeve.

Formulimi dhe shembujt e testit për pjesëtueshmërinë me 2

Për të kuptuar më mirë se cilat janë shenjat e pjesëtueshmërisë, duhet të përsërisni temën që lidhet me pjesëtueshmërinë e numrave të plotë. Përkufizimi i konceptit kryesor duket si ky:

Përkufizimi 1

Një numër i plotë që përfundon me 8 , 6 , 4 , 2 dhe 0 mund të ndahet me 2 pa mbetje. Nëse në fund të numrit është numri 9, 7, 5, 3 ose 1, atëherë një numër i tillë nuk ka pjesëtueshmëri me 2.

Me ndihmën e kësaj shenje, është e mundur të zbulohet pjesëtueshmëria jo vetëm e një numri të plotë pozitiv (natyror), por edhe i një numri të plotë negativ, pasi ato gjithashtu mund të ndahen me 2 pa mbetje.

Le të japim disa shembuj të përdorimit të një veçorie në probleme.

Shembulli 1

Gjendja: përcaktoni se cili nga numrat 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 mund të ndahet në dy.

Zgjidhje

Sigurisht, ne thjesht mund t'i ndajmë të gjithë këta numra me dy në një kolonë dhe të kontrollojmë nëse ka një mbetje në fund apo jo. Por duke ditur shenjën e pjesëtueshmërisë me dy, ju mund ta zgjidhni këtë problem shumë më shpejt.

Tre nga numrat e listuar, përkatësisht 8, - 946 dhe 10 900, kanë në fund numrat 8, 6 dhe 0, që do të thotë se pjesëtimi i tyre me 2 është i mundur.

Numrat e mbetur (53 dhe - 988 123 761) përfundojnë me 3 dhe 1, që do të thotë se ata nuk janë plotësisht të pjesëtueshëm me dy.

Përgjigje: 8 , − 946 dhe 10 900 mund të pjesëtohen me dy, por të gjithë numrat e tjerë të dhënë nuk munden.

Kjo veçori përdoret gjerësisht në problemet ku ju duhet të zbërtheni një numër në faktorët kryesorë. Le të zgjidhim një shembull të tillë.

Shembulli 2

Gjendja: faktorizoj 352 në faktorët kryesorë.

Zgjidhje

Meqenëse shifra e fundit në numrin origjinal është 2, atëherë sipas kriterit të pjesëtueshmërisë, mund ta ndajmë atë në dysh pa mbetje. Le të bëjmë këtë: 352: 2 = 176 dhe 352 = 2 176 . Numri që rezulton 176 ndahet gjithashtu me dy: 176: 2 \u003d 88, dhe 176 \u003d 2 88. Ky numër gjithashtu mund të ndahet: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44 dhe 352 \u003d 2 2 88 \u003d 2 2 2 44. Ne vazhdojmë zgjerimin: 44: 2 \u003d 22 dhe 44 \u003d 2 22, pra, 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; atëherë 22: 2 = 11, prej nga 22 = 2 11 dhe 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Më në fund, kemi arritur një numër që nuk pjesëtohet me 2. Tabela e numrave të thjeshtë na tregon se ky numër është i thjeshtë, kështu që këtu përfundon faktorizimi.

Përgjigje: 352 = 2 2 2 2 2 11 .

Ndarja e numrave në çift dhe tek bazohet pikërisht në atë nëse ata janë të pjesëtueshëm me 2 apo jo. Duke ditur këtë shenjë të pjesëtueshmërisë, mund të themi se të gjithë numrat çift përfundojnë me numrin 0, 2, 4, 6 ose 8, dhe të gjithë numrat tek - 1, 3, 5, 7 ose 9.

Si mund ta vërtetoni testin për pjesëtueshmërinë me 2

Përpara se të vazhdojmë drejtpërdrejt me vërtetimin e kësaj veçorie, duhet të provojmë një pohim shtesë. Është formuluar kështu:

Përkufizimi 2

Të gjithë numrat natyrorë që përfundojnë me zero mund të pjesëtohen me dy pa mbetje.

Duke përdorur rregullin e shumëzimit të një numri natyror me 10, ne mund të paraqesim një numër të caktuar a si a = a 1 · 10 . Numri a 1, nga ana tjetër, do të merret nga a nëse shifra e fundit hiqet prej saj.

Këtu janë shembuj të një veprimi të tillë: 470 = 47 10, ku a = 470 dhe a 1 = 47; ose 38 010 10, këtu a = 380 100 dhe a 1 = 38 010. Faktori i dytë në këtë produkt (10) mund të pjesëtohet me 2, kështu që i gjithë produkti mund të ndahet me 2. Ky pohim bazohet në vetinë përkatëse të pjesëtueshmërisë.

Ne i drejtohemi vërtetimit të provës për pjesëtueshmërinë me 2. Për ta bërë më të përshtatshëm, e paraqesim si teoremë, d.m.th. si kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm për pjesëtueshmërinë e një numri të plotë me dy.

Teorema 1

Për të ndarë një numër të plotë a me dy, kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm është që shifra e fundit të jetë 0, 2, 4, 6 ose 8.

Prova 1

Si të vërtetohet kjo deklaratë? Së pari, le të paraqesim numrin origjinal a si shumën e dhjetësheve dhe njësheve, d.m.th. le ta shkruajmë si a = a 1 10 + a 0 . Këtu një 1 do të jetë numri që rezulton nga a kur eliminohet shifra e fundit, dhe një 0 korrespondon me shifrën e fundit të këtij numri (shprehjet 49 = 4 10 + 9 , 28 378 = 2 837 10 + 8 mund të jenë gjithashtu shembuj të një përfaqësim i tillë). Puna a 1 10, marrë nga barazia a = a 1 · 10 + a 0 , do të jetë gjithmonë i pjesëtueshëm me dy, gjë që tregohet duke përdorur këtë teoremë.

Pjesa tjetër e provës mbështetet në një veti të caktuar të pjesëtueshmërisë, përkatësisht: nëse kemi tre numra që formojnë ekuacionin t = u + v, dhe dy prej tyre janë të pjesëtueshëm me një numër të plotë z, atëherë numri i tretë mund të pjesëtohet edhe me z .

Nëse a mund të ndahet me dy, atëherë sipas kësaj vetie, si dhe përfaqësimit a \u003d a 1 10 + a 0, numri a 0 do të ndahet me dy, dhe kjo është e mundur vetëm nëse një 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 ose tetë.

Dhe nëse a nuk pjesëtohet me 2, atëherë në bazë të së njëjtës veti, numri a 0 nuk do të pjesëtohet as me 2, gjë që është e mundur vetëm kur 0 = 1, 3, 5, 7 ose 9. Kjo është prova e nevojshme e domosdoshmërisë.

Tani le të shohim situatën e kundërt. Nëse kemi një numër a, shifra e fundit e të cilit është 0, 2, 4, 6 ose 8, atëherë a 0 i ndarë nga 2 . Vetia dhe përfaqësimi i specifikuar i pjesëtueshmërisë a = a1 10 + a0 na lejoni të konkludojmë se a është i pjesëtueshëm me 2 . Nëse a ka shifrën e fundit 1, 3, 5, 7 ose 9, atëherë një 0 nuk pjesëtohet me 2 , pra a nuk është gjithashtu i pjesëtueshëm me 2 , përndryshe vetë paraqitja a = a 1 10 + a 0 do të pjesëtohej me 2 , gjë që është e pamundur. Mjaftueshmëria e gjendjes vërtetohet.

Në fund, vërejmë se numrat me shifrën e fundit 1, 3, 5, 7 ose 9, kur ndahen me dy, gjithmonë japin një mbetje të një.

Le të marrim rastin kur numri i dhënë përfundon me një nga këto shifra. Atëherë mund të paraqesim a si a = b + 1 , me b që ka 0 , 2 , 4 , 6 , ose 8 si shifra e fundit. Në bazë të kriterit të pjesëtueshmërisë me 2 numri b mund të pjesëtohet me 2 , pra, nga përkufizimi i pjesëtueshmërisë, ajo mund të përfaqësohet edhe si b = 2 · q , ku q do të jetë një numër i plotë. Ne morëm se a = 2 q + 1 . Ky paraqitje na tregon se kur pjesëtojmë numrin a me 2 rezultati është një herës jo i plotë q dhe një mbetje prej 1 (nëse është e nevojshme, rilexoni artikullin mbi ndarjen e numrave të plotë me një mbetje).

Raste të tjera të përcaktimit të pjesëtueshmërisë me 2

Në këtë paragraf, ne do të analizojmë ato raste kur numri, pjesëtueshmëria e të cilit duhet të përcaktohet me 2, nuk jepet drejtpërdrejt, por përcaktohet nga ndonjë vlerë e shprehjes fjalë për fjalë. Këtu nuk mund të përdorim shenjën e dhënë më sipër, dhe është gjithashtu e pamundur të ndajmë drejtpërdrejt këtë shprehje me 2. Pra, duhet të gjejmë një zgjidhje tjetër.

Ekziston një qasje për zgjidhjen e problemeve të tilla, e cila bazohet në vetinë e mëposhtme të pjesëtueshmërisë: produkti i numrave të plotë mund të pjesëtohet me një numër të caktuar kur të paktën një nga faktorët është i pjesëtueshëm me të. Prandaj, nëse mund të shndërrojmë një shprehje fjalë për fjalë në një produkt të faktorëve të veçantë, njëri prej të cilëve është i pjesëtueshëm me dy, atëherë do të jetë e mundur të vërtetohet se shprehja origjinale është gjithashtu e pjesëtueshme me 2.

Për të transformuar shprehjen e dhënë, mund të përdorim formulën binomiale të Njutonit. Le të shohim një detyrë të tillë.

Shembulli 3

Gjendja: përcaktoni nëse vlera e shprehjes 3 n + 4 n - 1 mund të pjesëtohet me 2 për disa n natyrore.

Zgjidhje

Së pari, le të shkruajmë barazinë e dukshme 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Tani marrim formulën binomiale të Njutonit, e zbatojmë atë dhe thjeshtojmë atë që kemi marrë:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 2 + 6 n

Në barazinë e fundit, marrim dy nga kllapat dhe marrim barazinë e mëposhtme:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

Në këtë barazi, ju mund të ndani anën e djathtë me dy për çdo vlerë natyrore të n, pasi aty ka një faktor të barabartë me 2. Meqenëse ekziston një shenjë e barabartë midis shprehjeve, mund të ndani me 2 edhe në anën e majtë.

Përgjigje: kjo shprehje mund të ndahet me 2 .

Shumë shpesh, pjesëtueshmëria mund të vërtetohet duke përdorur metodën e induksionit matematik. Le të marrim të njëjtën shprehje si në shembullin e mësipërm dhe të tregojmë se si ta zbatojmë këtë metodë në praktikë.

Shembulli 4

Gjendja: zbuloni nëse shprehja 3 n + 4 n - 1 pjesëtohet me 2 për çdo vlerë natyrore të n .

Zgjidhje

Ne përdorim induksionin matematik. Së pari, le të vërtetojmë se vlera e shprehjes 3 n + 4 n - 1 me n të barabartë me një mund të pjesëtohet me 2 . Marrim 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, gjashtë pjesëtohen me dy pa mbetje. Leviz. Le të marrim n të barabartë me k dhe të supozojmë se 3 k + 4 k - 1 pjesëtohet me dy.

Duke përdorur këtë supozim, vërtetojmë se 3 n + 4 n - 1 mund të pjesëtohet me 2 nëse kjo është e mundur për 3 k + 4 k - 1 . Për ta vërtetuar këtë, ne duhet të kryejmë disa transformime.

3 3 k + 4 k - 1 pjesëtohet me dy, pasi kjo është e mundur për 3 k + 4 k - 1 , shprehja 2 4 k - 3 mund të pjesëtohet edhe me 2, sepse ka një faktor 2, që do të thotë se dallimi i këtyre dy shprehjeve është gjithashtu i pjesëtueshëm me 2, gjë që shpjegohet me vetinë përkatëse të pjesëtueshmërisë.

Përgjigju: shprehja 3 n + 4 n - 1 pjesëtohet me 2 për çdo n natyrore.

Le të ndalemi veçmas në rastin kur në prodhim ndodhen dy numra pranë njëri-tjetrit, që ndjekin njëri-tjetrin në serinë natyrore të numrave. Edhe një vepër e tillë ndahet në dysh.

Shembulli 5

Për shembull, një shprehje si (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) pjesëtohet me 2 për çdo vlerë natyrore të n, pasi përmban numra që pasojnë njëri pas tjetrit në serinë natyrore. janë n + 6 dhe n + 7 .

Në mënyrë të ngjashme, nëse ka dy faktorë, midis të cilëve ka një numër çift anëtarësh të serisë natyrore, produkti mund të ndahet me 2. Pra, vlera (n + 1) (n + 6) ndahet me dy për çdo n natyrore, pasi midis n + 5 dhe n + 6 ka një numër çift numrash: n + 2, n + 3, n + 4 dhe n + 5.

Le të kombinojmë gjithçka për të cilën folëm në paragrafët e mëparshëm. Nëse mund të tregohet se vlera e një shprehjeje pjesëtohet me dy kur n = 2 m, si dhe në n = 2 m + 1 dhe një numër i plotë arbitrar m, atëherë kjo do të jetë provë se shprehja origjinale është e pjestueshme me 2 për çdo vlerë të numrit të plotë të n.

Shembulli 6

Gjendja: kontrolloni nëse shprehja është e pjesëtueshme me 2 n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 për çdo vlerë natyrore të n.

Zgjidhje

Së pari, ne e paraqesim këtë shprehje si një produkt (n + 2) 2 · (n + 3) . Nëse është e nevojshme, përsërisni mënyrën e faktorizimit të saktë të një polinomi. Kemi dy shumëzues n + 2 dhe n + 3, që korrespondojnë me numrat që qëndrojnë pranë njëri-tjetrit në serinë natyrore. Në çdo rast, njëri prej tyre pjesëtohet me 2, që do të thotë se i gjithë produkti është gjithashtu i pjesëtueshëm me 2. E njëjta gjë vlen edhe për shprehjen origjinale.

Ky problem ka një zgjidhje tjetër. Nese nje n = 2 m, pastaj n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3 . Këtu ka një faktor prej katër, për shkak të të cilit i gjithë produkti do të pjesëtohet me 2.

Nëse n = 2 m + 1, pastaj

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Këtu ka një faktor 2, që do të thotë se i gjithë produkti ka pjesëtueshmëri me 2.

Përgjigje: kjo është dëshmi se shprehja n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) mund të pjesëtohet me dy për çdo vlerë natyrore prej n.

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Le të fillojmë të shqyrtojmë temën "Shenja e pjesëtueshmërisë me 3". Le të fillojmë me formulimin e shenjës, do të japim vërtetimin e teoremës. Pastaj do të shqyrtojmë qasjet kryesore për përcaktimin e pjesëtueshmërisë me 3 numra, vlera e të cilave jepet nga disa shprehje. Seksioni ofron një analizë të zgjidhjes së llojeve kryesore të problemave bazuar në përdorimin e kriterit të pjesëtueshmërisë me 3 .

Shenja e pjesëtueshmërisë me 3, shembuj

Shenja e pjesëtueshmërisë me 3 formulohet thjesht: një numër i plotë do të pjesëtohet me 3 pa mbetje nëse shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3. Nëse vlera totale e të gjitha shifrave që përbëjnë një numër të plotë nuk pjesëtohet me 3, atëherë vetë numri origjinal nuk është i pjesëtueshëm me 3. Ju mund të merrni shumën e të gjitha shifrave në një numër të plotë duke shtuar numra natyrorë.

Tani le të shohim shembuj të aplikimit të kriterit të pjesëtueshmërisë me 3.

Shembulli 1

A pjesëtohet 42 me 3?

Zgjidhje

Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, le të mbledhim të gjithë numrat që përbëjnë numrin - 42: 4 + 2 = 6.

Përgjigje: sipas kriterit të pjesëtueshmërisë, meqenëse shuma e shifrave të përfshira në ngritjen e numrit fillestar është e pjesëtueshme me tre, atëherë vetë numri origjinal është i pjesëtueshëm me 3.

Për t'iu përgjigjur pyetjes nëse numri 0 është i pjesëtueshëm me 3, na duhet vetia e pjesëtueshmërisë, sipas së cilës zeroja pjesëtohet me çdo numër të plotë. Rezulton se zero pjesëtohet me tre.

Ka probleme për zgjidhjen e të cilave është e nevojshme t'i drejtohemi disa herë kriterit të pjesëtueshmërisë me 3.

Shembulli 2

Tregoni se numri 907 444 812 pjesëtohet me 3.

Zgjidhje

Le të gjejmë shumën e të gjitha shifrave që formojnë rekordin e numrit origjinal: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Tani duhet të përcaktojmë nëse numri 39 ndahet me 3. Shtoni edhe një herë numrat që përbëjnë këtë numër: 3 + 9 = 12 . Na mbetet të bëjmë sërish mbledhjen e numrave për të marrë përgjigjen përfundimtare: 1 + 2 = 3 . Numri 3 pjesëtohet me 3

Përgjigje: numri origjinal 907 444 812 pjesëtohet edhe me 3.

Shembulli 3

A është i pjesëtueshëm me 3 − 543 205 ?

Zgjidhje

Le të llogarisim shumën e shifrave që përbëjnë numrin origjinal: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Tani le të llogarisim shumën e shifrave të numrit që rezulton: 1 + 9 = 10 . Për të marrë përgjigjen përfundimtare, le të gjejmë rezultatin e një shtesë tjetër: 1 + 0 = 1 .
Përgjigje: 1 nuk pjesëtohet me 3, kështu që numri origjinal nuk pjesëtohet as me 3.

Për të përcaktuar nëse një numër i dhënë është i pjesëtueshëm me 3 pa mbetje, ne mund ta pjesëtojmë numrin e dhënë me 3. Nëse e ndajmë numrin − 543 205 nga shembulli i mësipërm me një kolonë me tre, atëherë në përgjigje nuk do të marrim një numër të plotë. Kjo gjithashtu do të thotë pikërisht këtë − 543 205 nuk pjesëtohet me 3.

Vërtetimi i testit për pjesëtueshmërinë me 3

Këtu na duhen aftësitë e mëposhtme: zbërthimi i një numri në shifra dhe rregulli i shumëzimit me 10, 100, etj. Për të kryer vërtetimin, duhet të marrim një paraqitje të numrit a të formularit , ku a n , a n − 1 , … , a 0- Këta janë numrat që ndodhen nga e majta në të djathtë në shënimin e numrit.

Këtu është një shembull duke përdorur një numër specifik: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Le të shkruajmë një seri barazish: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 e kështu me radhë.

Tani le t'i zëvendësojmë këto barazi në vend të 10, 100 dhe 1000 në barazitë e dhëna më parë a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Kështu arritëm në barazi:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Dhe tani ne aplikojmë vetitë e mbledhjes dhe vetitë e shumëzimit të numrave natyrorë në mënyrë që të rishkruajmë barazinë që rezulton si më poshtë:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

Shprehja a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 është shuma e shifrave të numrit origjinal a . Le të prezantojmë një shënim të ri të shkurtër për të POR. Marrim: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

Në këtë rast, paraqitja e numrave është a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A merr një formë që do të jetë e përshtatshme për ne për të vërtetuar testin për pjesëtueshmërinë me 3.

Përkufizimi 1

Tani mbani mend vetitë e mëposhtme të pjesëtueshmërisë:

• kusht i domosdoshëm dhe i mjaftueshëm që një numër i plotë a të jetë i pjesëtueshëm me një numër të plotë
  b , është kushti me të cilin moduli i numrit a pjesëtohet me modulin e numrit b;
• nëse në barazi a = s + t të gjithë termat, përveç njërit, janë të pjesëtueshëm me një numër të plotë b, atëherë ky term është gjithashtu i pjesëtueshëm me b.

Ne kemi hedhur themelet për vërtetimin e provës për pjesëtueshmërinë me 3. Tani le ta formulojmë këtë kriter në formën e një teoreme dhe ta vërtetojmë atë.

Teorema 1

Për të pohuar se një numër i plotë a është i plotpjesëtueshëm me 3, është e nevojshme dhe e mjaftueshme për ne që shuma e shifrave që formojnë rekordin e numrit a të pjesëtohet me 3.

Prova 1

Nëse marrim vlerën a = 0, atëherë teorema është e qartë.

Nëse marrim një numër a të ndryshëm nga zero, atëherë vlera absolute e a do të jetë një numër natyror. Kjo na lejon të shkruajmë barazinë e mëposhtme:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , ku A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - shuma e shifrave të numrit a .

Meqenëse shuma dhe prodhimi i numrave të plotë është një numër i plotë, atëherë
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 është një numër i plotë, atëherë sipas përkufizimit të pjesëtueshmërisë prodhimi është 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 pjesëtohet me 3 për çdo a 0 , a 1 , ... , a n.

Nëse shuma e shifrave të një numri a i ndarë nga 3 , kjo eshte, A i ndarë nga 3 , atëherë, në bazë të vetive të pjesëtueshmërisë së treguar përpara teoremës, a është e pjesëtueshme me 3 , Rrjedhimisht, a i ndarë nga 3 . Kjo dëshmon mjaftueshmërinë.

Nese nje a i ndarë nga 3 , atëherë a është i pjesëtueshëm me 3 , atëherë, për shkak të së njëjtës veti të pjesëtueshmërisë, numri
A i ndarë nga 3 , pra shuma e shifrave të numrit a i ndarë nga 3 . Kjo dëshmon domosdoshmërinë.

Raste të tjera të pjesëtueshmërisë me 3

Numrat e plotë mund të jepen si vlerë e ndonjë shprehjeje që përmban një ndryshore, duke pasur parasysh një vlerë të caktuar të asaj ndryshore. Pra, për disa n natyrore, vlera e shprehjes 4 n + 3 n - 1 është një numër natyror. Në këtë rast, ndarja e drejtpërdrejtë me 3 nuk mund të na japë një përgjigje për pyetjen nëse një numër pjesëtohet me 3 . Zbatimi i testit të pjesëtueshmërisë në 3 mund të jetë gjithashtu e vështirë. Shqyrtoni shembuj të problemeve të tilla dhe analizoni metodat për zgjidhjen e tyre.

Për zgjidhjen e problemeve të tilla mund të aplikohen disa qasje. Thelbi i njërës prej tyre është si më poshtë:

• përfaqësojnë shprehjen origjinale si produkt i disa faktorëve;
• zbuloni nëse të paktën një nga faktorët mund të pjesëtohet me 3 ;
• bazuar në vetinë e pjesëtueshmërisë, arrijmë në përfundimin se i gjithë produkti është i pjesëtueshëm me 3 .

Gjatë zgjidhjes, shpesh duhet të përdoret formula binomiale e Njutonit.

Shembulli 4

A është vlera e shprehjes 4 n + 3 n - 1 e pjesëtueshme me 3 për çdo natyrale n?

Zgjidhje

Le të shkruajmë barazinë 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Zbatojmë formulën e binomit të Njutonit të binomit të Njutonit:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Tani le të marrim 3 jashtë kllapave: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . Produkti që rezulton përmban një shumëzues 3 , dhe vlera e shprehjes në kllapa për n natyrore është një numër natyror. Kjo na lejon të pohojmë se produkti që rezulton dhe shprehja origjinale 4 n + 3 n - 1 është e pjestueshme me 3 .

Përgjigje: Po.

Mund të aplikojmë edhe metodën e induksionit matematik.

Shembulli 5

Vërtetoni duke përdorur metodën e induksionit matematik se për çdo natyrore
n vlera e shprehjes n n 2 + 5 pjesëtohet me 3 .

Zgjidhje

Gjeni vlerën e shprehjes n n 2 + 5 për n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 pjesëtohet me 3 .

Tani supozojmë se vlera e shprehjes n n 2 + 5 për n=k i ndarë nga 3 . Në fakt, do të duhet të punojmë me shprehjen k · k 2 + 5 , e cila presim të jetë e pjestueshme me 3 .

Duke qenë se k k 2 + 5 pjesëtohet me 3 , le të tregojmë se vlera e shprehjes n n 2 + 5 për n=k+1 i ndarë nga 3 , domethënë do të tregojmë se k + 1 k + 1 2 + 5 pjesëtohet me 3 .

Le të bëjmë transformimet:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Shprehja k (k 2 + 5) pjesëtohet me 3 dhe shprehja 3 k 2 + k + 2 ndahet me 3 , pra shuma e tyre pjesëtohet me 3 .

Pra vërtetuam se vlera e shprehjes n (n 2 + 5) pjesëtohet me 3 për çdo n natyrore.

Le të analizojmë tani qasjen ndaj vërtetimit të pjesëtueshmërisë me 3 , i cili bazohet në algoritmin e mëposhtëm të veprimeve:

• tregojmë se vlera e kësaj shprehjeje me ndryshoren n për n = 3 m , n = 3 m + 1 dhe n = 3 m + 2, ku mështë një numër i plotë arbitrar, i ndashëm me 3 ;
• arrijmë në përfundimin se shprehja do të jetë e pjesëtueshme me 3 për çdo numër të plotë n.

Për të mos e shkëputur vëmendjen nga detajet e vogla, ne e zbatojmë këtë algoritëm në zgjidhjen e shembullit të mëparshëm.

Shembulli 6

Tregoni se n (n 2 + 5) pjesëtohet me 3 për çdo n natyrore.

Zgjidhje

Le të pretendojmë se n = 3 m. Pastaj: n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = 3 m 9 m 2 + 5. Produkti që morëm përmban shumëzuesin 3 , pra vetë produkti është i pjesëtueshëm me 3 .

Le të pretendojmë se n = 3 m + 1. Pastaj:

n n 2 + 5 = 3 m 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 3 (2 m 2 + 2 m + 2)

Produkti që kemi marrë është i ndarë në 3 .

Le të supozojmë se n = 3 · m + 2 . Pastaj:

n n 2 + 5 = 3 m + 1 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 3 3 m 2 + 4 m + 3

Edhe kjo vepër ndahet në 3 .

Përgjigje: Pra, vërtetuam se shprehja n n 2 + 5 është e pjestueshme me 3 për çdo n natyrore.

Shembulli 7

A është e ndarë në 3 vlera e shprehjes 10 3 n + 10 2 n + 1 për disa n natyrore.

Zgjidhje

Le të pretendojmë se n=1. Ne marrim:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Le të pretendojmë se n=2. Ne marrim:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Pra, mund të konkludojmë se për çdo n natyrore do të marrim numra që janë të pjesëtueshëm me 3. Kjo do të thotë se 10 3 n + 10 2 n + 1 pjesëtohet me 3 për çdo n natyrore.

Përgjigje: po

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

SHENJAT E PJETUESISË numrat - kriteret (rregullat) më të thjeshta që bëjnë të mundur gjykimin e pjesëtueshmërisë (pa mbetje) të disa numrave natyrorë nga të tjerët. Duke zgjidhur çështjen e pjesëtueshmërisë së numrave, shenjat e pjesëtueshmërisë reduktohen në veprime në numra të vegjël, që zakonisht kryhen në mendje.
Meqenëse baza e sistemit të numrave të pranuar përgjithësisht është 10, më të thjeshtat dhe më të zakonshmet janë shenjat e pjesëtueshmërisë në pjesëtues të numrave të tre llojeve: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Lloji i parë - shenjat e pjesëtueshmërisë me pjesëtuesit e numrit 10 k, për pjesëtueshmërinë e çdo numri të plotë N me çdo pjesëtues të plotë q të numrit 10 k është e nevojshme dhe e mjaftueshme që aspekti i fundit i shifrës k (mbaresa k-shifrore) i numrit N pjesëtohet me q. Në veçanti (për k \u003d 1, 2 dhe 3), marrim shenjat e mëposhtme të pjesëtueshmërisë në pjesëtuesit e numrave 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) dhe 10 3 \u003d 1000 (I 3):
Unë 1. Për 2, 5 dhe 10 - mbaresa njëshifrore (shifra e fundit) e numrit duhet të ndahet me 2, 5 dhe 10, përkatësisht. Për shembull, numri 80 110 ndahet me 2, 5 dhe 10, meqenëse i fundit shifra 0 e këtij numri pjesëtohet me 2, 5 dhe dhjetë; 37835 plotpjesëtohet me 5 por jo me 2 dhe 10 sepse shifra e fundit e 5 pjesëtohet me 5 por jo me 2 dhe 10.

Unë 2. Me 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 dhe 100, mbaresa dyshifrore e një numri duhet të pjesëtohet me 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 dhe 100, përkatësisht. për shembull, numri 7,840,700 plotpjesëtohet me 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 dhe 100, pasi mbaresa dyshifrore 00 e këtij numri pjesëtohet me 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50. dhe 100; numri 10 831 750 pjesëtohet me 2, 5, 10, 25 dhe 50, por nuk pjesëtohet me 4, 20 dhe 100, pasi mbaresa dyshifrore 50 e këtij numri pjesëtohet me 2, 5, 10, 25 dhe 50, por nuk pjesëtohet me 4, 20 dhe 100.

Unë 3. Për 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 dhe 1000 - fundi treshifror i numrit duhet të pjesëtohet me 2,4,5,8. ,10, 20, respektivisht, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 dhe 1000. Për shembull, numri 675 081 000 është i pjesëtueshëm me të gjithë numrat e renditur në këtë atribut, që nga fundi treshifror 000 e numrit të dhënë është i pjesëtueshëm me secilin prej tyre; numri 51 184 032 pjesëtohet me 2, 4 dhe 8 dhe nuk pjesëtohet me pjesën tjetër, pasi mbaresa treshifrore 032 e numrit të dhënë pjesëtohet vetëm me 2, 4 dhe 8 dhe nuk pjesëtohet me pjesën tjetër.

Lloji i dytë janë shenjat e pjesëtueshmërisë me pjesëtuesit e numrit 10 k - 1: për pjesëtueshmërinë e çdo numri të plotë N me çdo pjesëtues të plotë q të numrit 10 k - 1, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që shuma e faqeve k-shifrore. i numrit N pjesëtohet me q. Në veçanti (për k = 1, 2 dhe 3), marrim shenjat e mëposhtme të pjesëtueshmërisë në pjesëtuesit e numrave 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) dhe 10 3 - 1 = 999 (II 3):
II 1 . Me 3 dhe 9 - shuma e shifrave (fytyrat njëshifrore) të numrit duhet të ndahet përkatësisht me 3 dhe 9. Për shembull, numri 510 887 250 pjesëtohet me 3 dhe 9, pasi shuma e shifrave është 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (dhe 3+6=9) i këtij numri pjesëtohet me 3 dhe 9; numri 4 712 586 pjesëtohet me 3, por jo me 9, pasi shuma e shifrave 4+7+1+2+5+8+6=33 (dhe 3+3=6) e këtij numri është e pjesëtueshme. me 3, por jo i pjesëtueshëm me 9.

II 2 . Me 3, 9, 11, 33 dhe 99 - shuma e fytyrave dyshifrore të numrit duhet të ndahet me 3, 9, 11, 33 dhe 99, për shembull, numri 396 198 297 pjesëtohet me 3. , 9, 11, 33 dhe 99, meqë shuma dyshifrore përballet me 3+96+19+ +82+97=297 (dhe 2+97=99) pjesëtohet me 3, 9.11, 33 dhe 99; numri 7 265 286 303 plotpjesëtohet me 3, 11 dhe 33, por nuk pjesëtohet me 9 dhe 99, pasi shuma e faqeve dyshifrore 72+65+28+63+03=231 (dhe 2+31= 33) i këtij numri pjesëtohet me 3, 11 dhe 33 dhe nuk pjesëtohet me 9 dhe 99.

II 3 . Me 3, 9, 27, 37, 111, 333 dhe 999 - shuma e fytyrave treshifrore të numrit duhet të pjesëtohet me përkatësisht me 3, 9, 27, 37, 111, 333 dhe 999. Për shembull, numri 354 645 871 128 është i pjesëtueshëm me të gjithë ata që renditen në këtë shenjë të një numri, pasi shuma e faqeve treshifrore 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (dhe 1 + 998 = 999) e këtij numri është e pjesëtueshme me secili prej tyre.

Lloji i tretë - kriteret për pjesëtueshmërinë në pjesëtues të numrit 10 k + 1: për pjesëtueshmërinë e çdo numri të plotë N me çdo pjesëtues të plotë q të numrit 10 k + 1, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që diferenca midis shumës së k -Fytyrat me shifra në N në vende çift, dhe shuma e fytyrave me k-shifrorë në N në vende tek pjesëtohet me q. Në veçanti (për k \u003d 1, 2 dhe 3), marrim shenjat e mëposhtme të pjesëtueshmërisë në pjesëtuesit e numrave 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) dhe 10 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . Me 11 - diferenca midis shumës së shifrave (fytyrat njëshifrore) në vendet çift dhe shumës së shifrave (fytyrat njëshifrore) në vendet tek duhet të pjesëtohet me 11. Për shembull, numri 876 583 598 pjesëtohet me 11, pasi diferenca 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (dhe 1 - 1=0) midis shumës së shifrave në vendet çift dhe shumës së shifrave në vendet tek pjesëtohet me 11.

III 2 . Me 101 - diferenca midis shumës së fytyrave dyshifrore në vendet çift dhe shumës së fytyrave dyshifrore në vendet teke duhet të pjesëtohet me 101. Për shembull, numri 8 130 197 pjesëtohet me 101, pasi diferenca është 8-13 + 01- 97 = 101 (dhe 1-01=0) midis shumës së fytyrave dyshifrore në vendet çift në këtë numër dhe shumës së fytyrave dyshifrore në vendet tek është e pjesëtueshme me 101.

III 3 . Në 7, 11, 13, 77, 91, 143 dhe 1001 - ndryshimi midis shumës së fytyrave treshifrore në vendet çift në numër dhe shumës së fytyrave treshifrore në vendet teke duhet të ndahet me 7, 11, 13, 77, përkatësisht, 91, 143 dhe 1001. Për shembull, numri 539 693 385 pjesëtohet me 7, 11 dhe 77, por nuk pjesëtohet me 13, 91, 143 dhe 1001, pasi 539 - 693+ plotpjesëtohet me 7, 11 dhe 77 dhe jo, pjesëtohet me 13, 91, 143 dhe 1001.

Ka shenja me të cilat ndonjëherë është e lehtë të zbulohet, pa u pjesëtuar realisht, nëse një numër i caktuar është i pjesëtueshëm apo jo me disa numra të tjerë.

Numrat që pjesëtohen me 2 quhen madje. Numri zero është gjithashtu një numër çift. Të gjithë numrat e tjerë thirren i çuditshëm:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - çift,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... janë tek.

Shenjat e pjesëtueshmërisë

Shenja e pjesëtueshmërisë me 2. Një numër pjesëtohet me 2 nëse shifra e fundit e tij është çift. Për shembull, numri 4376 pjesëtohet me 2 sepse shifra e fundit (6) është çift.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 3. Vetëm ata numra janë të pjesëtueshëm me 3, shuma e shifrave të të cilëve pjesëtohet me 3. Për shembull, numri 10815 pjesëtohet me 3, pasi shuma e shifrave të tij 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 pjesëtohet me 3.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 4. Një numër pjesëtohet me 4 nëse dy shifrat e tij të fundit janë zero ose formojnë një numër që pjesëtohet me 4. Për shembull, numri 244500 pjesëtohet me 4 sepse përfundon me dy zero. Numrat 14708 dhe 7524 plotpjesëtohen me 4 sepse dy shifrat e fundit të këtyre numrave (08 dhe 24) pjesëtohen me 4.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 5. Numrat që mbarojnë me 0 ose 5 pjesëtohen me 5. Për shembull, numri 320 pjesëtohet me 5 sepse shifra e fundit është 0.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 6. Një numër pjesëtohet me 6 nëse pjesëtohet edhe me 2 edhe me 3. Për shembull, numri 912 plotpjesëtohet me 6 sepse plotpjesëtohet edhe me 2 edhe me 3.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 8. Të pjesëtueshëm me 8 janë ata numra në të cilët tre shifrat e fundit janë zero ose formojnë një numër që plotpjesëtohet me 8. Për shembull, numri 27000 pjesëtohet me 8, pasi përfundon me tre zero. Numri 63128 ndahet me 8 sepse tre shifrat e fundit formojnë numrin (128) i cili pjesëtohet me 8.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 9. Vetëm ata numra, shuma e shifrave të të cilëve plotpjesëtohet me 9, pjesëtohen me 9. Për shembull, numri 2637 pjesëtohet me 9, pasi shuma e shifrave të tij 2 + 6 + 3 + 7 = 18 pjesëtohet me 9.

Shenjat e pjesëtueshmërisë me 10, 100, 1000, etj. 10, 100, 1000 e kështu me radhë pjesëtohen me ata numra që përfundojnë përkatësisht me një zero, dy zero, tre zero etj. Për shembull, numri 3800 ndahet me 10 dhe 100.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 3
Një numër pjesëtohet me 3 nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 3.

Pjesëtueshmëria me shenjën 4
Një numër pjesëtohet me 4 nëse dhe vetëm nëse numri i dy shifrave të tij të fundit është zero ose i plotpjesëtueshëm me 4.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 5
Një numër pjesëtohet me 5 nëse dhe vetëm nëse shifra e fundit pjesëtohet me 5 (d.m.th. e barabartë me 0 ose 5).

Shenja e pjesëtueshmërisë me 6
Një numër pjesëtohet me 6 nëse dhe vetëm nëse pjesëtohet me 2 dhe 3.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 7
Një numër pjesëtohet me 7 nëse dhe vetëm nëse rezultati i zbritjes së dyfishit të shifrës së fundit nga ky numër pa shifrën e fundit pjesëtohet me 7 (për shembull, 259 pjesëtohet me 7, pasi 25 - (2 9) = 7 është i plotpjesëtueshëm me 7).

Shenja e pjesëtueshmërisë me 8
Një numër pjesëtohet me 8 nëse dhe vetëm nëse tre shifrat e tij të fundit janë zero ose formojnë një numër që plotpjesëtohet me 8.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 9
Një numër pjesëtohet me 9 nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave të tij pjesëtohet me 9.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 10
Një numër pjesëtohet me 10 nëse dhe vetëm nëse përfundon me zero.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 11
Një numër pjesëtohet me 11 nëse dhe vetëm nëse shuma e shifrave me shenja alternative pjesëtohet me 11 (d.m.th., 182919 pjesëtohet me 11, pasi 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 pjesëtohet me 11) - pasojë e faktit që të gjithë numrat e formës 10 n kur ndahen me 11 japin një mbetje prej (-1) n .

Shenja e pjesëtueshmërisë me 12
Një numër pjesëtohet me 12 nëse dhe vetëm nëse pjesëtohet me 3 dhe 4.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 13
Një numër pjesëtohet me 13 nëse dhe vetëm nëse numri i dhjetësheve të tij, i shtuar katërfishit të numrit të njësive, është shumëfish i 13 (për shembull, 845 pjesëtohet me 13, pasi 84 + (4 5) = 104 është pjesëtueshëm me 13).

Shenja e pjesëtueshmërisë me 14
Një numër pjesëtohet me 14 nëse dhe vetëm nëse pjesëtohet me 2 dhe 7.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 15
Një numër pjesëtohet me 15 nëse dhe vetëm nëse pjesëtohet me 3 dhe 5.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 17
Një numër pjesëtohet me 17 nëse dhe vetëm nëse numri i dhjetësheve të tij, i shtuar numrit të njësive me 12, është shumëfish i 17 (për shembull, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30 +72=102→10+ 24 = 34. Meqenëse 34 pjesëtohet me 17, atëherë edhe 29053 pjesëtohet me 17). Shenja nuk është gjithmonë e përshtatshme, por ka një kuptim të caktuar në matematikë. Ekziston një mënyrë pak më e thjeshtë - Një numër pjesëtohet me 17 nëse dhe vetëm nëse diferenca midis numrit të dhjetësheve të tij dhe pesëfishit të numrit të njësive është shumëfish i 17-shit (për shembull, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. meqenëse 15 nuk pjesëtohet me 17, atëherë as 32952 nuk pjesëtohet me 17)

Shenja e pjesëtueshmërisë me 19
Një numër pjesëtohet me 19 nëse dhe vetëm nëse numri i dhjetësheve të tij, i shtuar dyfishit të numrit të njësive, është shumëfish i 19-ës (për shembull, 646 pjesëtohet me 19, pasi 64 + (6 2) = 76 është i plotpjesëtueshëm nga 19).

Shenja e pjesëtueshmërisë me 23
Një numër pjesëtohet me 23 nëse dhe vetëm nëse qindrat e tij plus trefishojnë dhjetat e tij është shumëfish i 23 (për shembull, 28842 pjesëtohet me 23, pasi 288 + (3 * 42) = 414 vazhdon 4 + (3 * 14) = 46 padyshim pjesëtohet me 23).

Shenja e pjesëtueshmërisë me 25
Një numër pjesëtohet me 25 nëse dhe vetëm nëse dy shifrat e tij të fundit pjesëtohen me 25 (d.m.th., forma 00, 25, 50 ose 75) ose numri është shumëfish i 5-së.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 99
Ndajmë numrin në grupe me 2 shifra nga e djathta në të majtë (grupi më i majtë mund të ketë një shifër) dhe gjejmë shumën e këtyre grupeve, duke i konsideruar ata si numra dyshifrorë. Kjo shumë pjesëtohet me 99 nëse dhe vetëm nëse vetë numri pjesëtohet me 99.

Shenja e pjesëtueshmërisë me 101
Ndajmë numrin në grupe me 2 shifra nga e djathta në të majtë (grupi më i majtë mund të ketë një shifër) dhe gjejmë shumën e këtyre grupeve me shenja të ndryshueshme, duke i konsideruar si numra dyshifrorë. Kjo shumë pjesëtohet me 101 nëse dhe vetëm nëse vetë numri pjesëtohet me 101. Për shembull, 590547 pjesëtohet me 101, pasi 59-05+47=101 pjesëtohet me 101).