Какво е положително цяло число. Числа

Информацията в тази статия формира Главна идеяотносно цели числа. Първо се дава дефиницията на цели числа и се дават примери. След това се разглеждат целите числа на числовата ос, от които става ясно кои числа се наричат ​​положителни цели и кои са отрицателни числа. След това се показва как промените в количествата се описват с цели числа, а отрицателните цели числа се разглеждат в смисъл на дълг.

Навигация в страницата.

Цели числа – определение и примери

Определение.

Цели числаса естествени числа, числото нула, както и числа, противоположни на естествените.

Дефиницията на целите числа гласи, че всяко от числата 1, 2, 3, …, числото 0, както и всяко от числата −1, −2, −3, … е цяло число. Сега можем лесно да донесем примери за цели числа. Например числото 38 е цяло число, числото 70040 също е цяло число, нулата е цяло число (припомнете си, че нулата НЕ е естествено число, нулата е цяло число), числата −999 , −1 , −8 934 832 също са примери за цели числа.

Удобно е всички цели числа да се представят като поредица от цели числа, която има следния вид: 0, ±1, ±2, ±3, … Последователността от цели числа може да бъде записана и по следния начин: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

От дефиницията на целите числа следва, че множеството естествени числае подмножество от набора от цели числа. Следователно всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

Цели числа на координатната права

Определение.

Цели положителни числаса цели числа, които са по-големи от нула.

Определение.

Цели отрицателни числаса цели числа, които са по-малки от нула.

Целите положителни и отрицателни числа също могат да бъдат определени от позицията им върху координатната права. На хоризонтална координатна линия точките, чиито координати са цели положителни числа, лежат вдясно от началото. От своя страна точките с отрицателни цели координати са разположени вляво от точка O .

Ясно е, че множеството от всички положителни цели числа е множеството от естествени числа. От своя страна множеството от всички отрицателни цели числа е множеството от всички числа, противоположни на естествените числа.

Отделно обръщаме внимание на факта, че спокойно можем да наречем всяко естествено число цяло и НЕ можем да наречем всяко цяло число естествено число. Можем да наречем естествено само всяко положително цяло число, тъй като отрицателните цели числа и нулата не са естествени.

Цели неположителни и цели неотрицателни числа

Нека дадем дефиниции на неположителни цели и неотрицателни цели числа.

Определение.

Всички положителни числа заедно с нула се наричат цели неотрицателни числа.

Определение.

Цели неположителни числавсички са отрицателни цели числа заедно с числото 0 .

С други думи, неотрицателно цяло число е цяло число, което е по-голямо или равно на нула, а неположително цяло число е цяло число, което е по-малко или равно на нула.

Примери за неположителни цели числа са числата -511, -10 030, 0, -2, а като примери за неотрицателни цели числа нека дадем числата 45, 506, 0, 900 321.

Най-често за краткост се използват термините "цели неположителни числа" и "цели неотрицателни числа". Например, вместо израза „числото a е цяло число, а a е по-голямо от нула или равно на нула“, можете да кажете „a е неотрицателно цяло число“.

Описание на променящите се стойности с помощта на цели числа

Време е да поговорим за какво служат целите числа.

Основната цел на целите числа е, че с тяхна помощ е удобно да се опише промяната в броя на всякакви елементи. Нека се справим с това с примери.

Да предположим, че има определено количество части на склад. Ако например в склада бъдат докарани още 400 части, тогава броят на частите в склада ще се увеличи, а числото 400 изразява тази промяна в количеството в положителна посока (в посока на увеличение). Ако например се вземат 100 части от склада, то броят на частите в склада ще намалее, а числото 100 ще изрази изменението на количеството в отрицателна посока (по посока на намаляване). Частите няма да бъдат доставени в склада и частите няма да бъдат изтеглени от склада, тогава можем да говорим за неизменност на броя на частите (т.е. можем да говорим за нулева промяна в количеството).

В дадените примери промяната в броя на частите може да се опише с целите числа 400 , −100 и 0, съответно. Положително цяло число 400 показва положителна промяна в количеството (увеличение). Отрицателното цяло число −100 изразява отрицателна промяна в количеството (намаляване). Цялото число 0 показва, че количеството не е променено.

Удобството при използване на цели числа в сравнение с използването на естествени числа е, че не е необходимо изрично да се указва дали количеството се увеличава или намалява - цялото число определя промяната количествено, а знакът на цялото число показва посоката на промяната.

Целите числа също могат да изразяват не само промяна в количеството, но и промяна в някаква стойност. Нека се справим с това, като използваме примера за промяна на температурата.

Повишаване на температурата с, да речем, 4 градуса се изразява като положително цяло число 4. Намаляване на температурата, например с 12 градуса, може да се опише с цяло отрицателно число −12. А инвариантността на температурата е нейното изменение, определено от цяло число 0.

Отделно трябва да се каже за тълкуването на отрицателните цели числа като размер на дълга. Например, ако имаме 3 ябълки, тогава положителното цяло число 3 представлява броя на ябълките, които притежаваме. От друга страна, ако трябва да дадем 5 ябълки на някого и не разполагаме с тях, тогава тази ситуация може да бъде описана с отрицателно цяло число −5. В този случай ние „притежаваме“ −5 ябълки, знакът минус показва дълг, а числото 5 определя дълга количествено.

Разбирането на отрицателно цяло число като дълг позволява например да се обоснове правилото за добавяне на отрицателни цели числа. Да вземем пример. Ако някой дължи 2 ябълки на един човек и една ябълка на друг, тогава общият дълг е 2+1=3 ябълки, така че −2+(−1)=−3 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.

Номер- най-важната математическа концепция, която се е променила през вековете.

Първите идеи за числото възникват при броенето на хора, животни, плодове, различни продукти и т.н. Резултатът е естествени числа: 1, 2, 3, 4, ...

Исторически първото разширение на концепцията за число е добавянето на дробни числа към естествено число.

Застреляннаречена част (дял) от единица или няколко равни части от нея.

Определен: , където м,н- цели числа;

Дроби със знаменател 10 н, където не цяло число, те се наричат десетичен знак: .

Сред десетичните дроби специално място заемат периодични дроби: - чиста периодична фракция, - смесена периодична дроб.

По-нататъшното разширяване на понятието число вече е причинено от развитието на самата математика (алгебра). Декарт през 17 век въвежда понятието отрицателно число.

Числата се наричат ​​цели (положителни и отрицателни), дробни (положителни и отрицателни) и нула рационални числа. Всяко рационално число може да бъде записано като крайна и периодична дроб.

За да се изследват непрекъснато променящите се променливи, се оказа необходимо да се разшири понятието число - въвеждането на реални (реални) числа - чрез добавяне на ирационални числа към рационални числа: ирационални числаса безкрайни десетични непериодични дроби.

Ирационалните числа се появяват при измерване на несъизмерими сегменти (страна и диагонал на квадрат), в алгебрата - при извличане на корени, пример за трансцендентално, ирационално число е π, д .

Числа естествено(1, 2, 3,...), цяло(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), рационален(представен като дроб) и ирационален(не може да се представи като дроб ) образуват набор истински (истински)числа.

Отделно в математиката се разграничават комплексни числа.

Комплексни числавъзникват във връзка с проблема за решаване на квадрати за случая д< 0 (здесь де дискриминантът на квадратното уравнение). Дълго време тези числа не намериха физическа употреба, поради което бяха наречени "въображаеми" числа. Сега обаче те се използват много широко в различни области на физиката и технологиите: електротехника, хидро- и аеродинамика, теория на еластичността и др.

Комплексни числа се записват като: z= а+ би. Тук аи b – реални числа, а аз – имагинерна единица.д. аз 2 = -един. Номер аНаречен абсцисата, а б-ординатакомплексно число а+ би. Две комплексни числа а+ бии а-биНаречен конюгаткомплексни числа.

Имоти:

1. Реално число аможе да се запише и като комплексно число: а+ 0азили а - 0аз. Например 5 + 0 ази 5 - 0 азозначава същото число 5.

2. Комплексно число 0 + биНаречен чисто въображаемо номер. Записване биозначава същото като 0 + би.

3. Две комплексни числа а+ бии ° С+ дисе считат за равни, ако а= ° Си b= д. В противен случай комплексните числа не са равни.

Действия:

Допълнение. Сумата от комплексни числа а+ бии ° С+ дисе нарича комплексно число ( а+ ° С) + (b+ д)аз. По този начин, при добавяне на комплексни числа техните абциси и ординати се събират отделно.

Изваждане. Разликата между две комплексни числа а+ би(намален) и ° С+ ди(изваден) се нарича комплексно число ( a-c) + (б-г)аз. По този начин, при изваждане на две комплексни числа техните абциси и ординати се изваждат отделно.

Умножение. Произведението на комплексни числа а+ бии ° С+ дисе нарича комплексно число.

(ac-bd) + (реклама+ пр.н.е)аз. Това определение произтича от две изисквания:

1) числа а+ бии ° С+ дитрябва да се умножава като алгебрични биноми,

2) номер азима основно свойство: аз 2 = –1.

ПРИМЕР ( a + bi)(а-би)= а 2 +б 2 . Следователно, работана две спрегнати комплексни числа е равно на положително реално число.

дивизия. Разделете комплексно число а+ би(делим) на друг ° С+ ди (разделител) - означава да намерите третото число д+ фи(чат), което, когато се умножи с делител ° С+ ди, което води до дивидента а+ би. Ако делителят не е нула, делението винаги е възможно.

ПРИМЕР Намерете (8+ аз) : (2 – 3аз) .

Решение Нека пренапишем това отношение като дроб:

Умножаване на неговия числител и знаменател по 2 + 3 ази извършвайки всички трансформации, получаваме:

Задача 1: Събиране, изваждане, умножение и деление на z 1 към z 2

Извличане на корен квадратен: Решете уравнението х 2 = -а. За да решите това уравнениение сме принудени да използваме нов тип числа - въображаеми числа . По този начин, въображаем номерът се нарича чиято втора степен е отрицателно число. Съгласно тази дефиниция на имагинерни числа, можем да дефинираме и въображаем мерна единица:

След това за уравнението х 2 = - 25 получаваме две въображаемкорен:

Задача 2: Решете уравнението:

1) x 2 = – 36; 2) х 2 = – 49; 3) х 2 = – 121

Геометрично представяне на комплексни числа. Реалните числа са представени с точки на числовата ос:

Тук е смисълът Аозначава число -3, точка бе числото 2 и О-нула. За разлика от тях комплексните числа са представени от точки в координатната равнина. За целта избираме правоъгълни (декартови) координати с еднакви мащаби по двете оси. След това комплексното число а+ бище бъдат представени с точка P с абсцисатаа и ординатаb. Тази координатна система се нарича сложна равнина .

модул комплексно число се нарича дължина на вектора OP, изобразяващо комплексно число по координатата ( изчерпателна) самолет. Модул на комплексно число а+ биозначен с | а+ би| или) писмо rи е равно на:

Конюгираните комплексни числа имат еднакъв модул.

Правилата за изготвяне на чертеж са почти същите като за чертеж в декартова координатна система , По осите трябва да зададете размерите, обърнете внимание:

д
единица по реалната ос; рез

въображаема единица по въображаемата ос. im z

Задача 3. Построете следните комплексни числа на комплексната равнина: , , , , , , ,

1. Цифрите са точни и приблизителни.Числата, които срещаме в практиката са два вида. Някои дават истинската стойност на количеството, други само приблизителна. Първият се нарича точен, вторият - приблизителен. Най-често е удобно да се използва приблизително число вместо точно число, особено след като в много случаи точното число изобщо не може да бъде намерено.

Така че, ако кажат, че има 29 ученици в класа, тогава числото 29 е точно. Ако казват, че разстоянието от Москва до Киев е 960 км, то тук числото 960 е приблизително, тъй като, от една страна, нашите измервателни уреди не са абсолютно точни, от друга страна, самите градове имат известна степен.

Резултатът от операции с приблизителни числа също е приблизително число. Като извършите някои операции с точни числа (разделяне, извличане на корен), можете да получите и приблизителни числа.

Теорията на приблизителните изчисления позволява:

1) знаейки степента на точност на данните, оценете степента на точност на резултатите;

2) да вземе данни с подходяща степен на точност, достатъчна за осигуряване на необходимата точност на резултата;

3) рационализирайте процеса на изчисление, освобождавайки го от тези изчисления, които няма да повлияят на точността на резултата.

2. Закръгляване.Един източник на приблизителни числа е закръгляването. Закръглете както приблизителните, така и точните числа.

Закръгляването на дадено число до някои от неговите цифри е замяната му с ново число, което се получава от даденото чрез изхвърляне на всичките му цифри, записани вдясно от цифрата на тази цифра, или чрез замяната им с нули. Тези нули обикновено са подчертани или написани по-малки. За да се осигури най-голяма близост на закръгленото число до закръгленото, трябва да се използват следните правила: за да закръглите числото до една от определена цифра, трябва да изхвърлите всички цифри след цифрата на тази цифра и да ги замените с нули в цялото число. Това взема предвид следното:

1) ако първата (лява) от изхвърлените цифри е по-малка от 5, тогава последната останала цифра не се променя (закръгляване надолу);

2) ако първата изхвърлена цифра е по-голяма от 5 или равна на 5, тогава последната останала цифра се увеличава с единица (закръгляване нагоре).

Нека покажем това с примери. Закръглям:

а) до десети от 12,34;

б) до стотни от 3,2465; 1038,785;

в) до хилядни от 3,4335.

г) до 12375 хиляди; 320729.

а) 12,34 ≈ 12,3;

б) 3,2465 ≈ 3,25; 1038.785 ≈ 1038.79;

в) 3,4335 ≈ 3,434.

г) 12375 ≈ 12 000; 320729 ≈ 321000.

3. Абсолютни и относителни грешки.Разликата между точното число и неговата приблизителна стойност се нарича абсолютна грешка на приблизителното число. Например, ако точното число 1,214 се закръгли до десети, получаваме приблизително число 1,2. В този случай абсолютната грешка на приблизителното число 1.2 е 1.214 - 1.2, т.е. 0,014.

Но в повечето случаи точна стойностразглежданата стойност е неизвестна, но е само приблизителна. Тогава абсолютната грешка също е неизвестна. В тези случаи посочете границата, която не надвишава. Това число се нарича пределна абсолютна грешка. Казват, че точната стойност на числото е равна на приблизителната му стойност с грешка, по-малка от граничната грешка. Например числото 23,71 е приблизителната стойност на числото 23,7125 с точност 0,01, тъй като абсолютната грешка на приближението е 0,0025 и по-малка от 0,01. Тук граничната абсолютна грешка е равна на 0,01 * .

Гранична абсолютна грешка на приблизителното число аобозначен със символа Δ а. Записване

х≈а(±Δ а)

трябва да се разбира по следния начин: точната стойност на количеството хе по средата а– Δ аи а+ Δ а, които се наричат ​​съответно долна и горна граница. хи обозначават NG х VG х.

Например ако х≈ 2,3 (±0,1), след това 2,2<х< 2,4.

Обратно, ако 7.3< х< 7,4, тох≈ 7,35 (±0,05). Абсолютната или пределната абсолютна грешка не характеризира качеството на измерването. Една и съща абсолютна грешка може да се счита за значителна и незначителна в зависимост от числото, което изразява измерената стойност. Например, ако измерим разстоянието между два града с точност до един километър, тогава такава точност е напълно достатъчна за тази промяна, докато в същото време, когато измерваме разстоянието между две къщи на една и съща улица, такава точност ще бъде неприемливо. Следователно точността на приблизителната стойност на дадено количество зависи не само от големината на абсолютната грешка, но и от стойността на измереното количество. Следователно мярката за точност е относителната грешка.

Относителната грешка е отношението на абсолютната грешка към стойността на приблизителното число. Съотношението на граничната абсолютна грешка към приблизителното число се нарича гранична относителна грешка; означете го така: Относителните и граничните относителни грешки обикновено се изразяват като процент. Например, ако измерванията показват, че разстоянието хмежду две точки е повече от 12,3 km, но по-малко от 12,7 km, тогава средноаритметичното на тези две числа се приема като приблизителна стойност, т.е. тяхната полусума, тогава граничната абсолютна грешка е равна на полуразликата на тези числа. В такъв случай х≈ 12,5 (±0,2). Тук граничната абсолютна грешка е 0,2 km, а граничната относителна

1) Деля веднага на, тъй като и двете числа се делят 100% на:

2) Ще разделя на останалите големи числа (s), тъй като те са разделени на без остатък (в същото време няма да разлагам - това вече е общ делител):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ще си тръгна сам и ще започна да разглеждам числата и. И двете числа се делят точно на (завършват с четни цифри (в този случай представяме като, но могат да бъдат разделени на)):

4) Работим с числа и. Имат ли общи делители? Това е толкова лесно, колкото и в предишните стъпки, и не можете да кажете, така че тогава просто ще ги разложим на прости фактори:

5) Както виждаме, бяхме прави: и нямаме общи делители, а сега трябва да умножим.
GCD

Задача номер 2. Намерете НОД на числата 345 и 324

Не мога бързо да намеря поне един общ делител тук, така че просто разлагам на прости множители (колкото е възможно по-малко):

Точно така, GCD, и аз първоначално не проверих критерия за делимост и може би нямаше да трябва да правя толкова много действия.

Но проверихте, нали?

Както можете да видите, това е доста лесно.

Най-малко общо кратно (LCM) - спестява време, помага за решаване на проблеми извън кутията

Да кажем, че имате две числа - и. На кое е най-малкото число, което се дели без следа(т.е. напълно)? Трудно ли е да си представим? Ето визуална следа за вас:

Помните ли какво означава буквата? Точно така, просто цели числа.Кое е най-малкото число, което отговаря на x? :

В такъв случай.

От този прост пример следват няколко правила.

Правила за бързо намиране на НОК

Правило 1. Ако едно от две естествени числа се дели на друго число, то по-голямото от тези две числа е тяхното най-малко общо кратно.

Намерете следните числа:

• НОК (7;21)
• НОК (6;12)
• НОК (5;15)
• НОК (3;33)

Разбира се, вие лесно се справихте с тази задача и получихте отговорите -, и.

Имайте предвид, че в правилото говорим за ДВЕ числа, ако има повече числа, тогава правилото не работи.

Например LCM (7;14;21) не е равно на 21, тъй като не може да бъде разделено без остатък на.

Правило 2. Ако две (или повече от две) числа са взаимно прости, тогава най-малкото общо кратно е равно на техния продукт.

намирам НОКза следните числа:

• НОК (1;3;7)
• НОК (3;7;11)
• НОК (2;3;7)
• НОК (3;5;2)

броихте ли Ето и отговорите - , ; .

Както разбирате, не винаги е толкова лесно да вземете и вземете същото това x, така че за малко по-сложни числа има следния алгоритъм:

Да тренираме ли?

Намерете най-малкото общо кратно - LCM (345; 234)

Нека разбием всяко число:

Защо написах току-що?

Запомнете признаците за делимост на: дели се на (последната цифра е четна) и сборът от цифрите се дели на.

Съответно можем веднага да разделим на, като го напишем като.

Сега изписваме най-дългото разширение в ред - второто:

Нека добавим към него числата от първото разширение, които не са в това, което сме написали:

Забележка: изписахме всичко с изключение на, тъй като вече го имаме.

Сега трябва да умножим всички тези числа!

Намерете сами най-малкото общо кратно (LCM).

Какви отговори получи?

Ето какво ми се случи:

Колко време ти отне да намериш НОК? Моето време е 2 минути, наистина знам един трик, който предлагам да отворите веднага!

Ако сте много внимателни, вероятно сте забелязали, че за дадените номера вече сме търсили GCDи бихте могли да вземете факторизацията на тези числа от този пример, като по този начин опростите задачата си, но това далеч не е всичко.

Погледнете снимката, може би ще ви дойдат други мисли:

Добре? Ще ви подскажа: опитайте се да умножите НОКи GCDпомежду си и запишете всички фактори, които ще бъдат при умножаване. успяхте ли Трябва да получите верига като тази:

Погледнете го по-отблизо: сравнете факторите с това как и се разлагат.

Какво заключение можете да направите от това? Правилно! Ако умножим стойностите НОКи GCDпомежду си, тогава получаваме произведението на тези числа.

Съответно имащи числа и значение GCD(или НОК), можем да намерим НОК(или GCD) по следния начин:

1. Намерете произведението на числата:

2. Разделяме получения продукт на нашия GCD (6240; 6800) = 80:

Това е всичко.

Нека напишем правилото в общ вид:

Опитай да намериш GCDако е известно, че:

успяхте ли .

Отрицателни числа - "фалшиви числа" и тяхното разпознаване от човечеството.

Както вече разбрахте, това са числа, противоположни на естествените, тоест:

Изглежда, че те са толкова специални?

Но факт е, че отрицателните числа са "спечелили" полагащото им се място в математиката чак до 19 век (до този момент имаше огромен спор дали съществуват или не).

Самото отрицателно число възниква поради такава операция с естествени числа като "изваждане".

Наистина, извадете от - това е отрицателно число. Ето защо множеството от отрицателни числа често се нарича "разширение на множеството от естествени числа".

Отрицателните числа не се разпознават от хората дълго време.

И така, Древен Египет, Вавилон и Древна Гърция - светлините на своето време, не разпознаваха отрицателни числа и в случай на получаване на отрицателни корени в уравнението (например, както имаме), корените бяха отхвърлени като невъзможни.

За първи път отрицателните числа получават правото да съществуват в Китай, а след това през 7 век в Индия.

Какво мислите за това признание?

Точно така, отрицателните числа започнаха да означават дългове (в противен случай - недостиг).

Смяташе се, че отрицателните числа са временна стойност, която в резултат ще се промени на положителна (тоест парите все още ще бъдат върнати на кредитора). Индийският математик Брахмагупта обаче вече разглежда отрицателните числа наравно с положителните.

В Европа полезността на отрицателните числа, както и фактът, че те могат да означават дълг, дойде много по-късно, тоест едно хилядолетие.

Първото споменаване се среща през 1202 г. в „Книгата на абака“ от Леонард от Пиза (веднага казвам, че авторът на книгата няма нищо общо с наклонената кула в Пиза, но числата на Фибоначи са негово дело (на прякорът на Леонардо от Пиза е Фибоначи)).

И така, през XVII век Паскал вярва, че.

Как мислите, той го оправда?

Точно така, "нищо не може да бъде по-малко от НИЩО".

Ехо от онези времена остава фактът, че отрицателното число и операцията за изваждане се обозначават с един и същи символ - минус "-". И вярно:. Положително ли е числото " ", от което се изважда, или отрицателно, към което се добавя? ... Нещо от поредицата "кое е първо: кокошката или яйцето?" Ето такъв вид тази математическа философия.

Отрицателните числа осигуриха правото си на съществуване с появата на аналитичната геометрия, с други думи, когато математиците въведоха такова нещо като реална ос.

От този момент дойде равенството. Все още обаче имаше повече въпроси, отколкото отговори, например:

пропорция

Тази пропорция се нарича парадокс на Арно. Помислете, кое е съмнителното в това?

Нека поговорим заедно " " повече от " " нали? Така според логиката лявата страна на пропорцията трябва да е по-голяма от дясната страна, но те са равни... Ето го парадокса.

В резултат на това математиците се съгласиха, че Карл Гаус (да, да, това е този, който смяташе сумата (или) на числата) през 1831 г. сложи край на това.

Той каза, че отрицателните числа имат същите права като положителните и това, че не важат за всички неща, не означава нищо, тъй като и дробите не важат за много неща (не се случва копач да копае дупка, не можете да си купите билет за кино и т.н.).

Математиците се успокояват едва през 19 век, когато е създадена теорията за отрицателните числа от Уилям Хамилтън и Херман Грасман.

Ето колко противоречиви са те, тези отрицателни числа.

Появата на "празнотата" или биографията на нулата.

В математиката, специално число.

На пръв поглед това не е нищо: добавете, извадете - нищо няма да се промени, но просто трябва да го припишете вдясно на "", и полученото число ще бъде многократно по-голямо от първоначалното.

Умножавайки по нула, превръщаме всичко в нищо, но не можем да делим на „нищо“. С една дума, магическото число)

Историята на нулата е дълга и сложна.

Следа от нула се намира в писанията на китайците през 2000 г. сл. Хр. а още по-рано при маите. Първото използване на символа нула, както е днес, се наблюдава сред гръцките астрономи.

Има много версии защо е избрано такова обозначение "нищо".

Някои историци са склонни да смятат, че това е омикрон, т.е. Първата буква на гръцката дума за нищо е ouden. Според друга версия думата "obol" (монета с почти никаква стойност) дава живот на символа на нулата.

Нулата (или нулата) като математически символ се появява за първи път сред индианците(имайте предвид, че отрицателните числа започнаха да се „развиват“ там).

Първите надеждни свидетелства за писане на нула датират от 876 г., като в тях "" е компонент на числото.

Нулата също дойде в Европа със закъснение - едва през 1600 г. и също като отрицателните числа срещна съпротива (какво да правиш, европейци са).

„Zero често беше мразен, страхуван от дълго време и дори забранен“— пише американският математик Чарлз Сейф.

И така, турският султан Абдул-Хамид II в края на 19 век. нареди на своите цензори да изтрият водната формула H2O от всички учебници по химия, като взеха буквата "О" за нула и не искаха инициалите му да бъдат оклеветени от близостта до презряната нула.

В интернет можете да намерите фразата: „Нулата е най-мощната сила във Вселената, тя може всичко! Нулата създава ред в математиката и също така внася хаос в нея. Абсолютно правилна гледна точка :)

Обобщение на раздела и основни формули

Наборът от цели числа се състои от 3 части:

• естествени числа (ще ги разгледаме по-подробно по-долу);
• числа, противоположни на естествените;
• нула - " "

Означава се множеството от цели числа буква Z.

1. Естествени числа

Естествените числа са числата, които използваме за броене на обекти.

Означава се множеството от естествени числа буква Н.

При операции с цели числа ще ви трябва способността да намирате GCD и LCM.

Най-голям общ делител (НОД)

За да намерите NOD, трябва:

1. Разлагайте числата на прости множители (на числа, които не могат да бъдат разделени на нищо друго освен себе си или на, например, и т.н.).
2. Запишете коефициентите, които са част от двете числа.
3. Умножете ги.

Най-малко общо кратно (LCM)

За да намерите NOC, трябва:

1. Разложете числата на прости множители (вече знаете как да направите това много добре).
2. Напишете факторите, включени в разширяването на едно от числата (по-добре е да вземете най-дългата верига).
3. Добавете към тях липсващите множители от разширенията на останалите числа.
4. Намерете произведението на получените множители.

2. Отрицателни числа

Това са числа, противоположни на естествените числа, тоест:

Сега искам да те чуя...

Надявам се, че сте оценили супер полезните "трикове" на този раздел и сте разбрали как ще ви помогнат на изпита.

И по-важното - в живота. Не говоря за това, но повярвайте ми, това е така. Способността да броите бързо и без грешки спасява в много житейски ситуации.

Сега е твой ред!

Пишете, ще използвате ли в изчисленията методи за групиране, критерии за делимост, НОД и НМК?

Може би сте ги използвали преди? Къде и как?

Може би имате въпроси. Или предложения.

Напишете в коментарите как ви харесва статията.

И успех на изпитите!

Ако добавим числото 0 отляво на поредица от естествени числа, получаваме поредица от положителни цели числа:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Цели отрицателни числа

Нека разгледаме малък пример. Фигурата вляво показва термометър, който показва температура от 7 °C топлина. Ако температурата падне с 4°C, термометърът ще покаже 3°C топлина. Намаляването на температурата съответства на действие на изваждане:

Забележка: всички градуси се изписват с буквата С (Целзий), знакът на градуса е отделен от числото с интервал. Например 7 °C.

Ако температурата падне със 7 °C, термометърът ще покаже 0 °C. Намаляването на температурата съответства на действие на изваждане:

Ако температурата падне с 8 °C, тогава термометърът ще покаже -1 °C (1 °C скреж). Но резултатът от изваждането на 7 - 8 не може да бъде написан с естествени числа и нула.

Нека илюстрираме изваждане върху поредица от положителни цели числа:

1) Преброяваме 4 числа вляво от числото 7 и получаваме 3:

2) Преброяваме 7 числа вляво от числото 7 и получаваме 0:

Невъзможно е да се преброят 8 числа в поредица от положителни цели числа от числото 7 вляво. За да направим действие 7 - 8 осъществимо, разширяваме серията от положителни цели числа. За да направите това, вляво от нулата записваме (отдясно наляво) по ред всички естествени числа, като към всяко от тях добавяме знак -, показващ, че това число е вляво от нулата.

Записите -1, -2, -3, ... се четат минус 1, минус 2, минус 3 и т.н.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Получената поредица от числа се нарича до цели числа. Точките отляво и отдясно в този запис означават, че серията може да бъде продължена безкрайно надясно и наляво.

Отдясно на числото 0 в този ред са извиканите числа естественоили изцяло положителен(накратко - положителен).

Вляво от числото 0 в този ред са извиканите числа цял отрицателен(накратко - отрицателен).

Числото 0 е цяло число, но не е нито положително, нито отрицателно. Той разделя положителните и отрицателните числа.

Следователно, поредица от цели числа се състои от цели отрицателни числа, нула и цели положителни числа.

Сравнение на цели числа

Сравнете две цели числа- означава да разберете кое от тях е по-голямо, кое по-малко или да определите, че числата са равни.

Можете да сравнявате цели числа, като използвате ред от цели числа, тъй като числата в него са подредени от най-малкото към най-голямото, ако се движите по реда отляво надясно. Следователно в поредица от цели числа можете да замените запетаите със знак по-малко от:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Следователно, От две цели числа дясното е по-голямото, а лявото по-малкото., означава:

1) Всяко положително число е по-голямо от нула и по-голямо от всяко отрицателно число:

1 > 0; 15 > -16

2) Всяко отрицателно число, по-малко от нула:

7 < 0; -357 < 0

3) От двете отрицателни числа това, което е вдясно в редицата от цели числа, е по-голямо.

Има много видове числа, едно от тях са цели числа. Целите числа се появиха, за да се улесни броенето не само в положителна посока, но и в отрицателна.

Помислете за пример:
През деня навън беше 3 градуса. До вечерта температурите паднаха с 3 градуса.
3-3=0
Навън беше 0 градуса. А през нощта температурата падна с 4 градуса и започна да показва на термометъра -4 градуса.
0-4=-4

Поредица от цели числа.

Не можем да опишем такава задача с естествени числа; ще разгледаме тази задача на координатна права.

Имаме поредица от числа:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Тази поредица от числа се нарича до цели числа.

Цели положителни числа. Цели отрицателни числа.

Поредица от цели числа се състои от положителни и отрицателни числа. Вдясно от нулата са естествените числа или те също се наричат цели положителни числа. И вляво от нулата отидете цели отрицателни числа.

Нулата не е нито положителна, нито отрицателна. Това е границата между положителните и отрицателните числа.

е набор от числа, състоящ се от естествени числа, цели отрицателни числа и нула.

Поредица от цели числа в положителни и отрицателни посоки е безкрайно множество.

Ако вземем произволни две цели числа, тогава ще се извикат числата между тези цели числа краен комплект.

Например:
Нека вземем цели числа от -2 до 4. Всички числа между тези числа са включени в крайния набор. Нашият краен набор от числа изглежда така:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Естествените числа се означават с латинската буква N.
Целите числа се означават с латинската буква Z. Цялата съвкупност от естествени числа и цели числа може да бъде изобразена на фигурата.


Неположителни цели числас други думи, те са цели отрицателни числа.
Неотрицателни цели числаса положителни цели числа.