Ακέραιοι και δέκατα. Ακέραιοι: γενική αναπαράσταση

Σε αυτό το άρθρο, θα ορίσουμε το σύνολο των ακεραίων, θα εξετάσουμε ποιοι ακέραιοι ονομάζονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί. Θα δείξουμε επίσης πώς χρησιμοποιούνται ακέραιοι για να περιγράψουν αλλαγές σε ορισμένες ποσότητες. Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό και τα παραδείγματα των ακεραίων.

Ολόκληροι αριθμοί. Ορισμός, παραδείγματα

Ας θυμηθούμε πρώτα τους φυσικούς αριθμούς ℕ. Το ίδιο το όνομα υποδηλώνει ότι πρόκειται για αριθμούς που χρησιμοποιούνται φυσικά για μέτρηση από αμνημονεύτων χρόνων. Για να καλύψουμε την έννοια των ακέραιων αριθμών, πρέπει να επεκτείνουμε τον ορισμό των φυσικών αριθμών.

Ορισμός 1. Ακέραιοι

Οι ακέραιοι είναι φυσικοί αριθμοί, οι αντίθετοι αριθμοί και ο αριθμός μηδέν.

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα ℤ.

Το σύνολο των φυσικών αριθμών ℕ είναι υποσύνολο των ακεραίων αριθμών ℤ. Κάθε φυσικός αριθμός είναι ακέραιος, αλλά δεν είναι κάθε ακέραιος φυσικός αριθμός.

Από τον ορισμό προκύπτει ότι οποιοσδήποτε από τους αριθμούς 1, 2, 3 είναι ακέραιος. ... , αριθμός 0, καθώς και αριθμοί - 1, - 2, - 3,. ...

Σύμφωνα με αυτό, θα δώσουμε παραδείγματα. Οι αριθμοί 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 είναι ακέραιοι.

Αφήστε τη γραμμή συντεταγμένων να σχεδιαστεί οριζόντια και να κατευθυνθεί προς τα δεξιά. Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό για να οπτικοποιήσουμε τη διάταξη των ακεραίων αριθμών σε ευθεία γραμμή.

Η αρχή στη γραμμή συντεταγμένων αντιστοιχεί στον αριθμό 0, και τα σημεία που βρίσκονται και στις δύο πλευρές του μηδέν αντιστοιχούν σε θετικούς και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς. Κάθε σημείο αντιστοιχεί σε έναν μόνο ακέραιο αριθμό.

Μπορείτε να φτάσετε σε οποιοδήποτε σημείο μιας ευθείας γραμμής, της οποίας η συντεταγμένη είναι ακέραιος, παραμερίζοντας έναν ορισμένο αριθμό μονάδων τμημάτων από την αρχή.

Θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί

Από όλους τους ακέραιους, είναι λογικό να γίνεται διάκριση μεταξύ θετικών και αρνητικών ακεραίων. Ας δώσουμε τους ορισμούς τους.

Ορισμός 2. Θετικοί ακέραιοι αριθμοί

Οι θετικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι με το πρόσημο.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 7 είναι ένα σύμβολο συν, δηλαδή ένας θετικός ακέραιος αριθμός. Στη γραμμή συντεταγμένων, αυτός ο αριθμός βρίσκεται στα δεξιά του σημείου αναφοράς, για το οποίο λαμβάνεται ο αριθμός 0. Άλλα παραδείγματα θετικών ακεραίων: 12, 502, 42, 33, 100500.

Ορισμός 3. Αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί

Οι αρνητικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι με πρόσημο μείον.

Παραδείγματα αρνητικών ακεραίων: - 528, - 2568, - 1.

Ο αριθμός 0 διαχωρίζει θετικούς και αρνητικούς ακέραιους αριθμούς και ο ίδιος δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

Κάθε αριθμός που είναι αντίθετος ενός θετικού ακέραιου είναι, εξ ορισμού, αρνητικός ακέραιος. Το αντίστροφο ισχύει επίσης. Το αντίστροφο οποιουδήποτε αρνητικού ακέραιου είναι ένας θετικός ακέραιος.

Μπορείτε να δώσετε άλλους ορισμούς αρνητικών και θετικών ακεραίων χρησιμοποιώντας τη σύγκρισή τους με το μηδέν.

Ορισμός 4. Θετικοί ακέραιοι αριθμοί

Οι θετικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν.

Ορισμός 5. Αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί

Οι αρνητικοί ακέραιοι είναι ακέραιοι αριθμοί που είναι μικρότεροι από το μηδέν.

Αντίστοιχα, οι θετικοί αριθμοί βρίσκονται στα δεξιά της αρχής στη γραμμή συντεταγμένων και οι αρνητικοί ακέραιοι είναι στα αριστερά του μηδενός.

Είπαμε νωρίτερα ότι οι φυσικοί αριθμοί είναι ένα υποσύνολο ακεραίων. Ας διευκρινίσουμε αυτό το σημείο. Το σύνολο των φυσικών αριθμών αποτελείται από θετικούς ακέραιους αριθμούς. Με τη σειρά του, το σύνολο των αρνητικών ακεραίων είναι το σύνολο των αντίθετων φυσικών αριθμών.

Σπουδαίος!

Κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να ονομαστεί ακέραιος, αλλά κάθε ακέραιος δεν μπορεί να ονομαστεί φυσικός. Απαντώντας στο ερώτημα αν είναι αρνητικοί αριθμοίφυσικά, πρέπει να πούμε ευθαρσώς - όχι, δεν είναι.

Μη θετικοί και μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί

Ας δώσουμε ορισμούς.

Ορισμός 6. Μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί

Οι μη αρνητικοί ακέραιοι είναι θετικοί ακέραιοι και ο αριθμός μηδέν.

Ορισμός 7. Μη θετικοί ακέραιοι αριθμοί

Οι μη θετικοί ακέραιοι είναι αρνητικοί ακέραιοι και ο αριθμός μηδέν.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο αριθμός μηδέν δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός.

Παραδείγματα μη αρνητικών ακεραίων: 52, 128, 0.

Παραδείγματα μη θετικών ακεραίων: - 52, - 128, 0.

Ένας μη αρνητικός αριθμός είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν. Αντίστοιχα, ένας μη θετικός ακέραιος είναι ένας αριθμός μικρότερος ή ίσος με το μηδέν.

Οι όροι "μη θετικός αριθμός" και "μη αρνητικός αριθμός" χρησιμοποιούνται για συντομία. Για παράδειγμα, αντί να πείτε ότι ο αριθμός a είναι ένας ακέραιος που είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν, μπορείτε να πείτε: το a είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος.

Χρήση ακεραίων για την περιγραφή των αλλαγών σε ποσότητες

Σε τι χρησιμεύουν οι ακέραιοι αριθμοί; Πρώτα απ 'όλα, με τη βοήθειά τους είναι βολικό να περιγραφεί και να προσδιοριστεί η αλλαγή στον αριθμό οποιωνδήποτε αντικειμένων. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα.

Αφήστε έναν ορισμένο αριθμό στροφαλοφόρων αξόνων να αποθηκευτεί στην αποθήκη. Εάν έρθουν άλλοι 500 στροφαλοφόροι άξονες στην αποθήκη, ο αριθμός τους θα αυξηθεί. Ο αριθμός 500 εκφράζει απλώς την αλλαγή (αύξηση) στον αριθμό των λεπτομερειών. Εάν στη συνέχεια αφαιρεθούν 200 εξαρτήματα από την αποθήκη, τότε αυτός ο αριθμός θα χαρακτηρίσει και την αλλαγή στον αριθμό των στροφαλοφόρων αξόνων. Αυτή τη φορά, προς τα κάτω.

Εάν δεν αφαιρεθεί τίποτα από την αποθήκη και δεν φέρει τίποτα, τότε ο αριθμός 0 θα υποδηλώνει το αμετάβλητο του αριθμού των εξαρτημάτων.

Η προφανής ευκολία της χρήσης ακεραίων, σε αντίθεση με τους φυσικούς αριθμούς, είναι ότι το πρόσημο τους δείχνει ξεκάθαρα την κατεύθυνση της αλλαγής της τιμής (αύξηση ή μείωση).

Μια μείωση της θερμοκρασίας κατά 30 μοίρες μπορεί να χαρακτηριστεί από έναν αρνητικό αριθμό - 30 και μια αύξηση κατά 2 μοίρες - από έναν θετικό ακέραιο αριθμό 2.

Εδώ είναι ένα άλλο παράδειγμα που χρησιμοποιεί ακέραιους αριθμούς. Αυτή τη φορά, ας πούμε ότι πρέπει να δώσουμε 5 νομίσματα σε κάποιον. Τότε, μπορούμε να πούμε ότι έχουμε - 5 νομίσματα. Ο αριθμός 5 περιγράφει το ποσό του χρέους και το σύμβολο μείον λέει ότι πρέπει να επιστρέψουμε τα νομίσματα.

Εάν χρωστάμε 2 νομίσματα σε ένα άτομο και 3 σε άλλο, τότε το συνολικό χρέος (5 νομίσματα) μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα της πρόσθεσης αρνητικών αριθμών:

2 + (- 3) = - 5

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επιλέξτε το και πατήστε Ctrl + Enter

Υπάρχουν πολλές ποικιλίες αριθμών, μερικοί από τους οποίους είναι ακέραιοι αριθμοί. Οι ακέραιοι αριθμοί εμφανίστηκαν για να διευκολυνθεί η μέτρηση όχι μόνο προς τη θετική κατεύθυνση, αλλά και προς την αρνητική.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα:
Κατά τη διάρκεια της ημέρας, η θερμοκρασία έξω ήταν 3 βαθμοί. Μέχρι το βράδυ, η θερμοκρασία έπεσε κατά 3 βαθμούς.
3-3=0
Στο δρόμο έγινε 0 βαθμοί. Και το βράδυ η θερμοκρασία έπεσε κατά 4 βαθμούς και άρχισε να δείχνει στο θερμόμετρο -4 βαθμούς.
0-4=-4

Μια σειρά από ακέραιους αριθμούς.

Δεν μπορούμε να περιγράψουμε ένα τέτοιο πρόβλημα με φυσικούς αριθμούς· θα εξετάσουμε αυτό το πρόβλημα στη γραμμή συντεταγμένων.

Έχουμε μια σειρά από αριθμούς:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Αυτή η σειρά αριθμών ονομάζεται μια σειρά από ακέραιους αριθμούς.

Θετικοί ακέραιοι αριθμοί. Αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί.

Μια σειρά ακεραίων αριθμών αποτελείται από θετικούς και αρνητικούς αριθμούς. Στα δεξιά του μηδενός υπάρχουν φυσικοί αριθμοί ή καλούνται επίσης θετικοί ακέραιοι αριθμοί... Και στα αριστερά του μηδενός πηγαίνετε ολόκληρους αρνητικούς αριθμούς.

Το μηδέν δεν είναι ούτε θετικό ούτε αρνητικό. Είναι το όριο μεταξύ θετικών και αρνητικών αριθμών.

Είναι ένα σύνολο αριθμών που αποτελείται από φυσικούς αριθμούς, αρνητικούς ακέραιους και μηδέν.

Μια σειρά θετικών και αρνητικών ακεραίων είναι ατελείωτο σετ.

Εάν πάρουμε δύο ακέραιους αριθμούς, τότε οι αριθμοί μεταξύ αυτών των ακεραίων θα καλούνται ένα πεπερασμένο σύνολο.

Για παράδειγμα:
Πάρτε ακέραιους αριθμούς από το -2 έως το 4. Όλοι οι αριθμοί μεταξύ αυτών των αριθμών περιλαμβάνονται σε ένα πεπερασμένο σύνολο. Το πεπερασμένο σύνολο αριθμών μας μοιάζει με αυτό:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Οι φυσικοί αριθμοί χαρακτηρίζονται με το λατινικό γράμμα N.
Οι ακέραιοι αριθμοί συμβολίζονται με το λατινικό γράμμα Z. Όλο το σύνολο των φυσικών αριθμών και των ακεραίων μπορεί να απεικονιστεί στο σχήμα.


Μη θετικοί ακέραιοι αριθμοίμε άλλα λόγια, είναι αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί.
Μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίΕίναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί.

Με απλά λόγια, πρόκειται για λαχανικά μαγειρεμένα σε νερό σύμφωνα με ειδική συνταγή. Θα εξετάσω δύο αρχικά συστατικά (σαλάτα λαχανικών και νερό) και το τελικό αποτέλεσμα - μπορς. Γεωμετρικά, αυτό μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ορθογώνιο με τη μία πλευρά να αντιπροσωπεύει το μαρούλι και η άλλη πλευρά να αντιπροσωπεύει το νερό. Το άθροισμα αυτών των δύο πλευρών θα αντιπροσωπεύει το μπορς. Η διαγώνιος και το εμβαδόν ενός τέτοιου ορθογωνίου "μπορς" είναι καθαρά μαθηματικές έννοιες και δεν χρησιμοποιούνται ποτέ σε συνταγές με μπορς.

Δεν θα βρείτε τίποτα για τις συναρτήσεις γραμμικής γωνίας στα σχολικά βιβλία των μαθηματικών. Αλλά χωρίς αυτά δεν μπορούν να υπάρξουν μαθηματικά. Οι νόμοι των μαθηματικών, όπως και οι νόμοι της φύσης, λειτουργούν ανεξάρτητα από το αν γνωρίζουμε την ύπαρξή τους ή όχι.

Οι συναρτήσεις γραμμικής γωνίας είναι νόμοι πρόσθεσης.Δείτε πώς η άλγεβρα μετατρέπεται σε γεωμετρία και η γεωμετρία σε τριγωνομετρία.

Μπορούν να καταργηθούν οι συναρτήσεις γραμμικής γωνίας; Μπορείτε, γιατί οι μαθηματικοί εξακολουθούν να κάνουν χωρίς αυτούς. Το κόλπο των μαθηματικών έγκειται στο γεγονός ότι πάντα μας λένε μόνο για εκείνα τα προβλήματα που οι ίδιοι ξέρουν να λύνουν και ποτέ δεν μιλούν για εκείνα τα προβλήματα που δεν μπορούν να λύσουν. Κοίτα. Αν γνωρίζουμε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και του ενός όρου, χρησιμοποιούμε την αφαίρεση για να βρούμε τον άλλο όρο. Τα παντα. Δεν γνωρίζουμε άλλες εργασίες και δεν είμαστε σε θέση να τις λύσουμε. Τι να κάνουμε αν γνωρίζουμε μόνο το αποτέλεσμα της πρόσθεσης και δεν γνωρίζουμε και τους δύο όρους; Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα της προσθήκης πρέπει να αποσυντεθεί σε δύο όρους χρησιμοποιώντας συναρτήσεις γραμμικής γωνίας. Στη συνέχεια, εμείς οι ίδιοι επιλέγουμε ποιος μπορεί να είναι ένας όρος και οι συναρτήσεις γραμμικής γωνίας δείχνουν ποιος πρέπει να είναι ο δεύτερος όρος, ώστε το αποτέλεσμα της πρόσθεσης να είναι ακριβώς αυτό που χρειαζόμαστε. Μπορεί να υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων ζευγών όρων. Στην καθημερινότητα τα καταφέρνουμε τέλεια χωρίς την αποσύνθεση του αθροίσματος, μας αρκεί η αφαίρεση. Αλλά στην επιστημονική έρευνα των νόμων της φύσης, η αποσύνθεση του αθροίσματος σε όρους μπορεί να είναι πολύ χρήσιμη.

Ένας άλλος νόμος της πρόσθεσης, για τον οποίο οι μαθηματικοί δεν αρέσει να μιλούν (άλλο ένα κόλπο τους), απαιτεί οι όροι να έχουν τις ίδιες μονάδες μέτρησης. Για σαλάτα, νερό και μπορς, αυτές μπορεί να είναι μονάδες μέτρησης βάρους, όγκου, αξίας ή μονάδες μέτρησης.

Το σχήμα δείχνει δύο επίπεδα διαφοράς για τα μαθηματικά. Το πρώτο επίπεδο είναι οι διαφορές στο πεδίο των αριθμών, οι οποίες υποδεικνύονται ένα, σι, ντο... Αυτό κάνουν οι μαθηματικοί. Το δεύτερο επίπεδο είναι οι διαφορές στο εμβαδόν των μονάδων, οι οποίες εμφανίζονται σε αγκύλες και υποδεικνύονται με το γράμμα U... Αυτό κάνουν οι φυσικοί. Μπορούμε να καταλάβουμε το τρίτο επίπεδο - διαφορές στην περιοχή των περιγραφόμενων αντικειμένων. Διαφορετικά αντικείμενα μπορούν να έχουν τον ίδιο αριθμό πανομοιότυπων μονάδων μέτρησης. Το πόσο σημαντικό είναι αυτό, μπορούμε να το δούμε στο παράδειγμα της τριγωνομετρίας μπορς. Εάν προσθέσουμε δείκτες στον ίδιο προσδιορισμό μονάδων μέτρησης διαφορετικών αντικειμένων, μπορούμε να πούμε ακριβώς ποια μαθηματική τιμή περιγράφει ένα συγκεκριμένο αντικείμενο και πώς αλλάζει με την πάροδο του χρόνου ή σε σχέση με τις ενέργειές μας. Με επιστολή WΘα ορίσω νερό, με το γράμμα μικρόΘα ορίσω τη σαλάτα και το γράμμα σι- Μπορς. Έτσι θα έμοιαζαν οι γραμμικές γωνιακές συναρτήσεις για το μπορς.

Αν πάρουμε λίγο από το νερό και λίγο από τη σαλάτα, μαζί θα γίνουν μια μερίδα μπορς. Εδώ σας προτείνω να κάνετε ένα διάλειμμα από το μπορς και να θυμηθείτε τα μακρινά παιδικά σας χρόνια. Θυμάστε πώς μας έμαθαν να βάζουμε κουνελάκια και πάπιες μαζί; Ήταν απαραίτητο να βρούμε πόσα ζώα θα υπήρχαν. Τότε τι μας έμαθαν να κάνουμε; Μας έμαθαν να διαχωρίζουμε τις μονάδες από τους αριθμούς και να προσθέτουμε αριθμούς. Ναι, οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να προστεθεί σε οποιονδήποτε άλλο αριθμό. Αυτός είναι ένας άμεσος δρόμος προς τον αυτισμό των σύγχρονων μαθηματικών - κάνουμε δεν είναι ξεκάθαρο τι, δεν είναι ξεκάθαρο γιατί, και δεν κατανοούμε πολύ καλά πώς αυτό σχετίζεται με την πραγματικότητα, λόγω των τριών επιπέδων διαφοράς, τα μαθηματικά λειτουργούν μόνο ένα . Θα ήταν πιο σωστό να μάθετε πώς να αλλάζετε από μια μονάδα μέτρησης στην άλλη.

Και τα κουνελάκια, και οι πάπιες και τα ζώα μπορούν να μετρηθούν σε κομμάτια. Μια κοινή μονάδα μέτρησης για διαφορετικά αντικείμενα μας επιτρέπει να τα προσθέσουμε μαζί. Αυτή είναι μια παιδική εκδοχή του προβλήματος. Ας ρίξουμε μια ματιά σε ένα παρόμοιο πρόβλημα για ενήλικες. Τι συμβαίνει όταν προσθέτετε κουνελάκια και χρήματα; Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις εδώ.

Πρώτη επιλογή... Καθορίζουμε την αγοραία αξία των κουνελιών και την προσθέτουμε στο διαθέσιμο χρηματικό ποσό. Πήραμε τη συνολική αξία του πλούτου μας σε χρηματικούς όρους.

Δεύτερη επιλογή... Μπορείτε να προσθέσετε τον αριθμό των κουνελιών στον αριθμό των τραπεζογραμματίων που έχουμε. Θα λάβουμε τον αριθμό της κινητής περιουσίας σε κομμάτια.

Όπως μπορείτε να δείτε, ο ίδιος νόμος πρόσθεσης παράγει διαφορετικά αποτελέσματα. Όλα εξαρτώνται από το τι ακριβώς θέλουμε να μάθουμε.

Αλλά πίσω στο μπορς μας. Τώρα μπορούμε να δούμε τι θα συμβεί πότε διαφορετικές έννοιεςγωνία γραμμικών γωνιακών συναρτήσεων.

Η γωνία είναι μηδέν. Έχουμε σαλάτα, αλλά όχι νερό. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι επίσης μηδενική. Αυτό δεν σημαίνει καθόλου ότι το μηδέν μπορς είναι ίσο με μηδέν νερό. Το μηδέν μπορς μπορεί να είναι σε μηδέν σαλάτα (ορθή γωνία).

Για μένα προσωπικά αυτή είναι η κύρια μαθηματική απόδειξη του γεγονότος ότι. Το μηδέν δεν αλλάζει τον αριθμό όταν προστίθεται. Αυτό συμβαίνει γιατί η ίδια η προσθήκη είναι αδύνατη εάν υπάρχει μόνο ένας όρος και δεν υπάρχει δεύτερος όρος. Μπορείτε να σχετιστείτε με αυτό όπως θέλετε, αλλά να θυμάστε - όλες οι μαθηματικές πράξεις με το μηδέν εφευρέθηκαν από τους ίδιους τους μαθηματικούς, οπότε απορρίψτε τη λογική σας και τους ανόητους ορισμούς που επινοούν οι μαθηματικοί: "η διαίρεση με το μηδέν είναι αδύνατη", "οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιασμένος με το μηδέν ισούται μηδέν», «για το νοκ-άουτ σημείο μηδέν» και άλλες ανοησίες. Αρκεί να θυμάστε μια φορά ότι το μηδέν δεν είναι αριθμός και δεν θα έχετε ποτέ ερώτηση αν το μηδέν είναι φυσικός αριθμός ή όχι, γιατί μια τέτοια ερώτηση γενικά χάνει κάθε νόημα: πώς μπορούμε να θεωρήσουμε έναν αριθμό που δεν είναι αριθμός. Είναι σαν να ρωτάς τι χρώμα πρέπει να είναι ένα αόρατο χρώμα. Η προσθήκη μηδέν σε έναν αριθμό είναι σαν να ζωγραφίζεις με μπογιά που δεν υπάρχει. Κουνήσαμε με στεγνό πινέλο και είπαμε σε όλους ότι «χρωματίσαμε». Αλλά ξεφεύγω λίγο.

Η γωνία είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, αλλά μικρότερη από σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε πολλή σαλάτα, αλλά όχι αρκετό νερό. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε ένα παχύ μπορς.

Η γωνία είναι σαράντα πέντε μοίρες. Έχουμε ίσες ποσότητες νερού και σαλάτα. Αυτό είναι το τέλειο μπορς (ναι, οι μάγειρες θα με συγχωρέσουν, είναι απλά μαθηματικά).

Η γωνία είναι μεγαλύτερη από σαράντα πέντε μοίρες, αλλά μικρότερη από ενενήντα μοίρες. Έχουμε πολύ νερό και λίγη σαλάτα. Παίρνεις υγρό μπορς.

Ορθή γωνία. Έχουμε νερό. Από τη σαλάτα, μένουν μόνο αναμνήσεις, καθώς συνεχίζουμε να μετράμε τη γωνία από τη γραμμή που ήταν κάποτε για τη σαλάτα. Δεν μπορούμε να μαγειρέψουμε μπορς. Η ποσότητα του μπορς είναι μηδέν. Σε αυτή την περίπτωση, κρατηθείτε και πιείτε το νερό όσο το έχετε)))

Εδώ. Κάτι σαν αυτό. Μπορώ να πω άλλες ιστορίες εδώ που θα είναι περισσότερο από κατάλληλες εδώ.

Δύο φίλοι είχαν τις μετοχές τους στην κοινή επιχείρηση. Αφού σκότωσε τον έναν από αυτούς, όλα πήγαν στον άλλον.

Η εμφάνιση των μαθηματικών στον πλανήτη μας.

Όλες αυτές οι ιστορίες λέγονται στη γλώσσα των μαθηματικών χρησιμοποιώντας συναρτήσεις γραμμικής γωνίας. Κάποια άλλη φορά θα σας δείξω την πραγματική θέση αυτών των συναρτήσεων στη δομή των μαθηματικών. Στο μεταξύ, ας επιστρέψουμε στην τριγωνομετρία του μπορς και ας εξετάσουμε τις προβολές.

Σάββατο, 26 Οκτωβρίου 2019

Τετάρτη, 7 Αυγούστου 2019

Ολοκληρώνοντας τη συζήτηση, υπάρχει ένας άπειρος αριθμός που πρέπει να λάβετε υπόψη. Το αποτέλεσμα είναι ότι η έννοια του «άπειρου» ενεργεί στους μαθηματικούς όπως ο βόας σε ένα κουνέλι. Ο τρομακτικός φόβος του άπειρου κλέβει τους μαθηματικούς ΚΟΙΝΗ ΛΟΓΙΚΗ... Εδώ είναι ένα παράδειγμα:

Η αρχική πηγή βρίσκεται. Το Alpha σημαίνει πραγματικός αριθμός. Το πρόσημο ίσου στις παραπάνω εκφράσεις δείχνει ότι αν προσθέσετε έναν αριθμό ή άπειρο στο άπειρο, τίποτα δεν θα αλλάξει, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο άπειρο. Αν πάρουμε ως παράδειγμα ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών, τότε τα εξεταζόμενα παραδείγματα μπορούν να παρουσιαστούν με την ακόλουθη μορφή:

Για μια οπτική απόδειξη της ορθότητάς τους, οι μαθηματικοί έχουν βρει πολλές διαφορετικές μεθόδους. Προσωπικά, βλέπω όλες αυτές τις μεθόδους ως σαμάνους που χορεύουν με ντέφι. Ουσιαστικά, όλα συνοψίζονται στο γεγονός ότι είτε κάποια από τα δωμάτια δεν είναι κατειλημμένα και νέοι επισκέπτες μετακομίζουν μέσα, είτε ότι κάποιοι από τους επισκέπτες πετιούνται στο διάδρομο για να κάνουν χώρο για τους επισκέπτες (πολύ ανθρώπινα). Παρουσίασα την άποψή μου για τέτοιες αποφάσεις με τη μορφή μιας φανταστικής ιστορίας για την Ξανθιά. Σε τι βασίζεται το σκεπτικό μου; Η μετεγκατάσταση ενός άπειρου αριθμού επισκεπτών απαιτεί άπειρο χρόνο. Αφού αδειάσουμε το πρώτο δωμάτιο για έναν επισκέπτη, ένας από τους επισκέπτες θα περπατά πάντα κατά μήκος του διαδρόμου από το δωμάτιό του στο επόμενο μέχρι το τέλος του αιώνα. Φυσικά, ο παράγοντας χρόνος μπορεί να αγνοηθεί βλακωδώς, αλλά θα είναι ήδη από την κατηγορία «ο νόμος δεν είναι γραμμένος για ανόητους». Όλα εξαρτώνται από το τι κάνουμε: προσαρμόζοντας την πραγματικότητα ώστε να ταιριάζει με τις μαθηματικές θεωρίες ή το αντίστροφο.

Τι είναι ένα «ατελείωτο ξενοδοχείο»; Ένα ατελείωτο ξενοδοχείο είναι ένα ξενοδοχείο που έχει πάντα οποιονδήποτε αριθμό κενών θέσεων, ανεξάρτητα από το πόσα δωμάτια είναι κατειλημμένα. Αν όλα τα δωμάτια στον ατελείωτο διάδρομο επισκεπτών είναι κατειλημμένα, υπάρχει ένας άλλος ατελείωτος διάδρομος με τα δωμάτια των επισκεπτών. Θα υπάρχει ένας ατελείωτος αριθμός τέτοιων διαδρόμων. Επιπλέον, το «άπειρο ξενοδοχείο» έχει άπειρους ορόφους σε άπειρο αριθμό κτιρίων σε άπειρο αριθμό πλανητών σε άπειρα σύμπαντα που δημιουργούνται από άπειρους Θεούς. Οι μαθηματικοί, ωστόσο, δεν μπορούν να αποστασιοποιηθούν από τα συνηθισμένα καθημερινά προβλήματα: ο Θεός-Αλλάχ-Βούδας είναι πάντα μόνο ένας, το ξενοδοχείο είναι ένα, ο διάδρομος είναι μόνο ένας. Εδώ είναι μαθηματικοί και προσπαθούν να χειραγωγήσουν τους σειριακούς αριθμούς των δωματίων του ξενοδοχείου, πείθοντάς μας ότι είναι δυνατό να "χώσουμε τα πράγματα μέσα".

Θα σας δείξω τη λογική του συλλογισμού μου στο παράδειγμα ενός άπειρου συνόλου φυσικών αριθμών. Αρχικά, πρέπει να απαντήσετε σε μια πολύ απλή ερώτηση: πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν - ένα ή πολλά; Δεν υπάρχει σωστή απάντηση σε αυτό το ερώτημα, αφού εφεύραμε τους αριθμούς μόνοι μας, στη Φύση δεν υπάρχουν αριθμοί. Ναι, η Φύση είναι εξαιρετική στη μέτρηση, αλλά για αυτό χρησιμοποιεί άλλα μαθηματικά εργαλεία που δεν μας είναι οικεία. Όπως νομίζει η Φύση, θα σας το πω άλλη φορά. Εφόσον εφεύραμε τους αριθμούς, εμείς οι ίδιοι θα αποφασίσουμε πόσα σύνολα φυσικών αριθμών υπάρχουν. Εξετάστε και τις δύο επιλογές, όπως αρμόζει σε έναν πραγματικό επιστήμονα.

Επιλογή μία. «Ας μας δοθεί» ένα ενιαίο σύνολο φυσικών αριθμών, που βρίσκεται γαλήνια στο ράφι. Παίρνουμε αυτό το σετ από το ράφι. Αυτό ήταν, δεν έχουν μείνει άλλοι φυσικοί αριθμοί στο ράφι και δεν υπάρχει που να τους πάρεις. Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ένα σε αυτό το σύνολο, αφού το έχουμε ήδη. Και αν θέλετε πραγματικά; Κανένα πρόβλημα. Μπορούμε να πάρουμε ένα από το σετ που έχουμε ήδη πάρει και να το επιστρέψουμε στο ράφι. Μετά από αυτό, μπορούμε να πάρουμε μια μονάδα από το ράφι και να την προσθέσουμε σε ότι μας έχει απομείνει. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε και πάλι ένα άπειρο σύνολο φυσικών αριθμών. Μπορείτε να γράψετε όλους τους χειρισμούς μας ως εξής:

Έγραψα τις ενέργειες στο αλγεβρικό σύστημα σημειογραφίας και στο σύστημα σημειογραφίας που υιοθετήθηκε στη θεωρία συνόλων, με μια λεπτομερή απαρίθμηση των στοιχείων του συνόλου. Ο δείκτης υποδεικνύει ότι έχουμε ένα και μοναδικό σύνολο φυσικών αριθμών. Αποδεικνύεται ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο αν αφαιρέσει κανείς από αυτό και προσθέσει την ίδια μονάδα.

Επιλογή δύο. Έχουμε πολλά διαφορετικά άπειρα σύνολα φυσικών αριθμών στο ράφι μας. Τονίζω - ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ, παρά το γεγονός ότι πρακτικά δεν διακρίνονται. Παίρνουμε ένα από αυτά τα σετ. Στη συνέχεια παίρνουμε ένα από ένα άλλο σύνολο φυσικών αριθμών και το προσθέτουμε στο σύνολο που έχουμε ήδη πάρει. Μπορούμε ακόμη να προσθέσουμε δύο σύνολα φυσικών αριθμών. Να τι παίρνουμε:

Οι δείκτες "ένα" και "δύο" υποδεικνύουν ότι αυτά τα στοιχεία ανήκαν σε διαφορετικά σύνολα. Ναι, αν προσθέσετε ένα στο άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα θα είναι επίσης ένα άπειρο σύνολο, αλλά δεν θα είναι το ίδιο με το αρχικό σύνολο. Εάν προσθέσουμε ένα άλλο άπειρο σύνολο σε ένα άπειρο σύνολο, το αποτέλεσμα είναι ένα νέο άπειρο σύνολο που αποτελείται από τα στοιχεία των δύο πρώτων συνόλων.

Πολλοί φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιούνται για μέτρηση με τον ίδιο τρόπο όπως ένας χάρακας για μετρήσεις. Τώρα φανταστείτε να προσθέσετε ένα εκατοστό στον χάρακα. Αυτή θα είναι ήδη μια διαφορετική γραμμή, όχι ίση με την αρχική.

Μπορείτε να αποδεχτείτε ή να μην αποδεχτείτε το σκεπτικό μου - είναι δική σας υπόθεση. Αλλά αν ποτέ αντιμετωπίσετε μαθηματικά προβλήματα, σκεφτείτε μήπως δεν ακολουθείτε το μονοπάτι της ψευδούς συλλογιστικής που έχουν πατήσει γενιές μαθηματικών. Άλλωστε, το να κάνουμε μαθηματικά, πρώτα απ 'όλα, διαμορφώνει μέσα μας ένα σταθερό στερεότυπο σκέψης και μόνο τότε μας προσθέτει νοητικές ικανότητες (ή, αντίθετα, μας στερεί την ελεύθερη σκέψη).

pozg.ru

Κυριακή, 4 Αυγούστου 2019

Έγραφα ένα υστερόγραφο σε ένα άρθρο και είδα αυτό το υπέροχο κείμενο στη Wikipedia:

Διαβάζουμε: «... πλούσιος θεωρητική βάσηΤα μαθηματικά της Βαβυλώνας δεν είχαν ολιστικό χαρακτήρα και περιορίστηκαν σε ένα σύνολο ετερόκλητων τεχνικών, χωρίς κοινό σύστημα και βάση αποδεικτικών στοιχείων».

Ουάου! Πόσο έξυπνοι είμαστε και πόσο καλά μπορούμε να δούμε τις ελλείψεις των άλλων. Είναι δύσκολο για εμάς να δούμε τα σύγχρονα μαθηματικά στο ίδιο πλαίσιο; Παραφράζοντας ελαφρώς το παραπάνω κείμενο, προσωπικά πήρα τα εξής:

Η πλούσια θεωρητική βάση των σύγχρονων μαθηματικών δεν είναι ολιστική και περιορίζεται σε ένα σύνολο ανόμοιων τμημάτων χωρίς κοινό σύστημα και βάση στοιχείων.

Δεν θα πάω πολύ για να επιβεβαιώσω τα λόγια μου - έχει γλώσσα και συμβάσεις που διαφέρουν από τη γλώσσα και τις συμβάσεις πολλών άλλων μαθηματικών κλάδων. Τα ίδια ονόματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών μπορεί να έχουν διαφορετική σημασία. Θέλω να αφιερώσω μια ολόκληρη σειρά δημοσιεύσεων στις πιο προφανείς γκάφες των σύγχρονων μαθηματικών. Τα λέμε σύντομα.

Σάββατο, 3 Αυγούστου 2019

Πώς χωρίζετε ένα σύνολο σε υποσύνολα; Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εισαγάγετε μια νέα μονάδα μέτρησης που υπάρχει για ορισμένα από τα στοιχεία του επιλεγμένου συνόλου. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Ας έχουμε πολλά ΕΝΑπου αποτελείται από τέσσερα άτομα. Αυτό το σύνολο σχηματίστηκε με βάση το "άνθρωποι" Ας υποδηλώσουμε τα στοιχεία αυτού του συνόλου με το γράμμα ένα, ένας δείκτης με ένα ψηφίο θα υποδεικνύει τον τακτικό αριθμό κάθε ατόμου σε αυτό το σύνολο. Ας εισαγάγουμε μια νέα μονάδα μέτρησης «φύλο» και ας τη συμβολίσουμε με το γράμμα σι... Δεδομένου ότι τα σεξουαλικά χαρακτηριστικά είναι εγγενή σε όλους τους ανθρώπους, πολλαπλασιάζουμε κάθε στοιχείο του συνόλου ΕΝΑκατά φύλο σι... Σημειώστε ότι τώρα το πλήθος των «ανθρώπων» μας έχει γίνει ένα πλήθος «ανθρώπων με χαρακτηριστικά φύλου». Μετά από αυτό, μπορούμε να χωρίσουμε τα χαρακτηριστικά του φύλου σε αρσενικά bmκαι γυναίκες bwσεξουαλικά χαρακτηριστικά. Τώρα μπορούμε να εφαρμόσουμε ένα μαθηματικό φίλτρο: επιλέγουμε ένα από αυτά τα χαρακτηριστικά του φύλου, δεν έχει σημασία ποιο είναι αρσενικό ή θηλυκό. Αν κάποιος το έχει, τότε το πολλαπλασιάζουμε με ένα, αν δεν υπάρχει τέτοιο σημάδι, το πολλαπλασιάζουμε με το μηδέν. Και μετά εφαρμόζουμε τα συνηθισμένα σχολικά μαθηματικά. Δείτε τι έγινε.

Μετά τον πολλαπλασιασμό, τη μείωση και την αναδιάταξη, έχουμε δύο υποσύνολα: το υποσύνολο των ανδρών Bmκαι ένα υποσύνολο γυναικών Bw... Οι μαθηματικοί σκέφτονται το ίδιο όταν εφαρμόζουν τη θεωρία συνόλων στην πράξη. Αλλά δεν μας αφιερώνουν στις λεπτομέρειες, αλλά δίνουν ένα τελικό αποτέλεσμα - "πολλοί άνθρωποι αποτελούνται από ένα υποσύνολο ανδρών και ένα υποσύνολο γυναικών". Φυσικά, ίσως αναρωτιέστε πόσο σωστά εφαρμόζονται τα μαθηματικά στους παραπάνω μετασχηματισμούς; Τολμώ να σας διαβεβαιώσω, μάλιστα, οι μετασχηματισμοί έγιναν σωστά, αρκεί να γνωρίζετε τη μαθηματική βάση της αριθμητικής, της άλγεβρας Boole και άλλων κλάδων των μαθηματικών. Τι είναι? Κάποια άλλη φορά θα σας το πω.

Όσον αφορά τα υπερσύνολα, μπορείτε να συνδυάσετε δύο σετ σε ένα υπερσύνολο επιλέγοντας τη μονάδα μέτρησης που υπάρχει για τα στοιχεία αυτών των δύο συνόλων.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι μονάδες μέτρησης και τα κοινά μαθηματικά κάνουν τη θεωρία συνόλων παρελθόν. Μια ένδειξη ότι η θεωρία συνόλων δεν είναι εντάξει είναι ότι οι μαθηματικοί έχουν βρει τη δική τους γλώσσα και σημειογραφία για τη θεωρία συνόλων. Οι μαθηματικοί έκαναν ό,τι έκαναν κάποτε οι σαμάνοι. Μόνο οι σαμάνοι ξέρουν να εφαρμόζουν «σωστά» τη «γνώση» τους. Μας διδάσκουν αυτή τη «γνώση».

Τέλος, θέλω να σας δείξω πώς χειρίζονται οι μαθηματικοί.

Δευτέρα 7 Ιανουαρίου 2019

Τον 5ο αιώνα π.Χ αρχαίος Έλληνας φιλόσοφοςΟ Ζήνων ο Ελέας διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Έτσι ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από μια χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει αυτή την απόσταση, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνει άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό προκάλεσε λογικό σοκ σε όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Χίλμπερτ ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις αποριές του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, η επιστημονική κοινότητα δεν έχει καταφέρει ακόμη να καταλήξει σε κοινή γνώμη για την ουσία των παραδόξων ... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις συμμετείχαν στη μελέτη του θέματος ; κανένα από αυτά δεν έχει γίνει μια γενικά αποδεκτή λύση στο ερώτημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.

Από την άποψη των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από το μέγεθος στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, η μαθηματική συσκευή για τη χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνηθισμένης λογικής μας οδηγεί σε μια παγίδα. Εμείς, με αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες μέτρησης του χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, μοιάζει με χρονική διαστολή μέχρι να σταματήσει τελείως τη στιγμή που ο Αχιλλέας βρίσκεται στο ίδιο επίπεδο με τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.

Αν ανατρέψουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτήν την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα φτάσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».

Πώς μπορείτε να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; Μείνετε σε σταθερές μονάδες χρόνου και μην πηγαίνετε προς τα πίσω. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:

Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας θα τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά αυτό δεν είναι μια πλήρης λύση στο πρόβλημα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμα να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση δεν πρέπει να αναζητείται ατελείωτα μεγάλοι αριθμοί, και σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα aporia Zeno λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Το ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτή την απορία, το λογικό παράδοξο ξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος στηρίζεται σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες, τραβηγμένες από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά είναι αδύνατο να προσδιοριστεί η απόσταση από αυτές. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες που λαμβάνονται από διαφορετικά σημεία του χώρου ταυτόχρονα, αλλά δεν μπορείτε να προσδιορίσετε το γεγονός της κίνησης από αυτές (φυσικά, χρειάζεστε επιπλέον δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει) . Αυτό στο οποίο θέλω να επιστήσω ιδιαίτερη προσοχή είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για έρευνα.
Επιτρέψτε μου να σας δείξω τη διαδικασία με ένα παράδειγμα. Επιλέγουμε "κόκκινο στερεό σε ένα σπυράκι" - αυτό είναι το "σύνολο". Ταυτόχρονα, βλέπουμε ότι αυτά τα πράγματα είναι με τόξο, αλλά δεν υπάρχουν τόξα. Μετά από αυτό επιλέγουμε ένα μέρος του «όλου» και σχηματίζουμε ένα σύνολο «με φιόγκο». Έτσι τρέφονται οι σαμάνοι συνδέοντας τη θεωρία των συνόλων τους με την πραγματικότητα.

Τώρα ας κάνουμε ένα μικρό βρώμικο κόλπο. Πάρτε το «συμπαγές σε σπυράκι με φιόγκο» και συνδυάστε αυτές τις «ολόκληρες» ανά χρώμα, επιλέγοντας τα κόκκινα στοιχεία. Πήραμε πολύ «κόκκινο». Τώρα μια ερώτηση να συμπληρώσω: τα σετ που προκύπτουν "με φιόγκο" και "κόκκινο" είναι το ίδιο σύνολο ή είναι δύο διαφορετικά σετ; Μόνο οι σαμάνοι γνωρίζουν την απάντηση. Πιο συγκεκριμένα, οι ίδιοι δεν ξέρουν τίποτα, αλλά όπως λένε, ας είναι.

Αυτό το απλό παράδειγμα δείχνει ότι η θεωρία συνόλων είναι εντελώς άχρηστη όταν πρόκειται για πραγματικότητα. Ποιο είναι το μυστικό; Έχουμε σχηματίσει ένα σετ από "κόκκινο στερεό σε χτύπημα με φιόγκο". Ο σχηματισμός έγινε σύμφωνα με τέσσερις διαφορετικές μονάδες μέτρησης: χρώμα (κόκκινο), δύναμη (συμπαγές), τραχύτητα (σε ένα σπυράκι), στολίδια (με φιόγκο). Μόνο ένα σύνολο μονάδων μέτρησης καθιστά δυνατή την επαρκή περιγραφή πραγματικών αντικειμένων στη γλώσσα των μαθηματικών... Έτσι φαίνεται.

Το γράμμα "a" με διαφορετικούς δείκτες υποδηλώνει διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Οι μονάδες μέτρησης επισημαίνονται σε αγκύλες, με τις οποίες κατανέμεται το "σύνολο" στο προκαταρκτικό στάδιο. Η μονάδα μέτρησης, με την οποία σχηματίζεται το σύνολο, βγαίνει από τις αγκύλες. Η τελευταία γραμμή δείχνει το τελικό αποτέλεσμα - το στοιχείο του σετ. Όπως μπορείτε να δείτε, αν χρησιμοποιήσουμε μονάδες μέτρησης για να σχηματίσουμε ένα σύνολο, τότε το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από τη σειρά των ενεργειών μας. Και αυτό είναι μαθηματικά, όχι ο χορός των σαμάνων με τα ντέφια. Οι σαμάνοι μπορούν «διαισθητικά» να καταλήξουν στο ίδιο αποτέλεσμα, υποστηρίζοντάς το «με στοιχεία», επειδή οι μονάδες μέτρησης δεν περιλαμβάνονται στο «επιστημονικό» τους οπλοστάσιο.

Είναι πολύ εύκολο να χρησιμοποιήσετε μονάδες για να χωρίσετε ένα ή να συνδυάσετε πολλά σετ σε ένα υπερσύνολο. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στην άλγεβρα αυτής της διαδικασίας.

Οι πληροφορίες σε αυτό το άρθρο σχηματίζονται γενική ιδέαΟ ολόκληροι αριθμοί... Αρχικά, δίνεται ο ορισμός των ακεραίων και δίνονται παραδείγματα. Επιπλέον, λαμβάνονται υπόψη ακέραιοι αριθμοί στην αριθμητική γραμμή, από τους οποίους γίνεται σαφές ποιοι αριθμοί ονομάζονται θετικοί ακέραιοι και ποιοι αρνητικοί. Μετά από αυτό, φαίνεται πώς περιγράφονται οι αλλαγές στις τιμές χρησιμοποιώντας ακέραιους αριθμούς και οι αρνητικοί ακέραιοι θεωρούνται με την έννοια του χρέους.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Ακέραιοι - ορισμός και παραδείγματα

Ορισμός.

Ολόκληροι αριθμοί- αυτοί είναι φυσικοί αριθμοί, ο αριθμός μηδέν, καθώς και αριθμοί αντίθετοι με τους φυσικούς αριθμούς.

Ο ορισμός των ακεραίων δηλώνει ότι οποιοσδήποτε από τους αριθμούς 1, 2, 3,…, ο αριθμός 0, καθώς και οποιοσδήποτε από τους αριθμούς −1, −2, −3,… είναι ακέραιος. Τώρα μπορούμε εύκολα να οδηγήσουμε παραδείγματα ακεραίων... Για παράδειγμα, ο αριθμός 38 είναι ακέραιος, ο αριθμός 70 040 είναι επίσης ακέραιος, το μηδέν είναι ακέραιος (υπενθυμίζουμε ότι το μηδέν ΔΕΝ είναι φυσικός αριθμός, το μηδέν είναι ακέραιος), οι αριθμοί −999, −1, −8 934 Το 832 είναι επίσης παραδείγματα ακεραίων αριθμών.

Είναι βολικό να αναπαραστήσουμε όλους τους ακέραιους αριθμούς ως ακολουθία ακεραίων, η οποία έχει την ακόλουθη μορφή: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Μια ακολουθία ακεραίων μπορεί να γραφτεί ως εξής: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Από τον ορισμό των ακεραίων προκύπτει ότι το σύνολο των φυσικών αριθμών είναι υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων. Επομένως, κάθε φυσικός αριθμός είναι ακέραιος, αλλά κανένας ακέραιος δεν είναι φυσικός.

Ακέραιοι αριθμοί στη γραμμή συντεταγμένων

Ορισμός.

Θετικοί ακέραιοι αριθμοίΕίναι ακέραιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν.

Ορισμός.

Αρνητικοί ακέραιοι αριθμοίΕίναι ακέραιοι αριθμοί που είναι μικρότεροι από το μηδέν.

Οι θετικοί και αρνητικοί ακέραιοι μπορούν επίσης να προσδιοριστούν από τη θέση τους στη γραμμή συντεταγμένων. Στην οριζόντια γραμμή συντεταγμένων, τα σημεία των οποίων οι συντεταγμένες είναι θετικοί ακέραιοι βρίσκονται στα δεξιά της αρχής. Με τη σειρά τους, σημεία με αρνητικές ακέραιες συντεταγμένες βρίσκονται στα αριστερά του σημείου Ο.

Είναι σαφές ότι το σύνολο όλων των θετικών ακεραίων είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. Με τη σειρά του, το σύνολο όλων των αρνητικών ακεραίων είναι το σύνολο όλων των αριθμών απέναντι από τους φυσικούς αριθμούς.

Ξεχωριστά, θα θέλαμε να επιστήσουμε την προσοχή σας στο γεγονός ότι μπορούμε να ονομάσουμε με ασφάλεια οποιονδήποτε φυσικό αριθμό ακέραιο και ΔΕΝ μπορούμε να ονομάσουμε κανέναν ακέραιο αριθμό φυσικό. Μπορούμε να ονομάσουμε φυσικό μόνο κάθε θετικό ακέραιο, αφού οι αρνητικοί ακέραιοι και το μηδέν δεν είναι φυσικοί.

Μη θετικοί ακέραιοι και μη αρνητικοί ακέραιοι

Ας δώσουμε ορισμούς μη θετικών ακεραίων και μη αρνητικών ακεραίων.

Ορισμός.

Όλοι οι θετικοί ακέραιοι μαζί με τον αριθμό μηδέν καλούνται μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί.

Ορισμός.

Μη θετικοί ακέραιοι αριθμοί- αυτοί είναι όλοι αρνητικοί ακέραιοι μαζί με τον αριθμό 0.

Με άλλα λόγια, ένας μη αρνητικός ακέραιος είναι ένας ακέραιος που είναι μεγαλύτερος ή ίσος με το μηδέν και ένας μη θετικός ακέραιος είναι ένας ακέραιος που είναι μικρότερος ή ίσος με μηδέν.

Παραδείγματα μη θετικών ακεραίων είναι οι αριθμοί -511, -10.030, 0, -2 και ως παραδείγματα μη αρνητικών ακεραίων δίνουμε τους αριθμούς 45, 506, 0, 900 321.

Τις περισσότερες φορές, οι όροι «μη θετικοί ακέραιοι αριθμοί» και «μη αρνητικοί ακέραιοι αριθμοί» χρησιμοποιούνται για συντομία. Για παράδειγμα, αντί για τη φράση "ο αριθμός a είναι ακέραιος και ο a είναι μεγαλύτερος ή ίσος με μηδέν", μπορείτε να πείτε "a είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος".

Περιγραφή μεταβαλλόμενων τιμών με χρήση ακεραίων

Ήρθε η ώρα να μιλήσουμε για το τι χρησιμεύουν οι ακέραιοι.

Ο κύριος σκοπός των ακεραίων είναι ότι είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν την αλλαγή στον αριθμό οποιωνδήποτε αντικειμένων. Ας το καταλάβουμε με παραδείγματα.

Αφήστε να υπάρχει ένας ορισμένος αριθμός εξαρτημάτων στην αποθήκη. Εάν, για παράδειγμα, φέρουν 400 επιπλέον εξαρτήματα στην αποθήκη, τότε ο αριθμός των εξαρτημάτων στην αποθήκη θα αυξηθεί και ο αριθμός 400 εκφράζει αυτή την αλλαγή στην ποσότητα σε θετική κατεύθυνση (προς τα πάνω). Εάν, για παράδειγμα, ληφθούν 100 εξαρτήματα από την αποθήκη, τότε ο αριθμός των εξαρτημάτων στην αποθήκη θα μειωθεί και ο αριθμός 100 θα εκφράζει την αλλαγή της ποσότητας στην αρνητική κατεύθυνση (προς τα κάτω). Τα εξαρτήματα δεν θα μεταφερθούν στην αποθήκη και τα μέρη από την αποθήκη δεν θα αφαιρεθούν, τότε μπορούμε να μιλήσουμε για το αμετάβλητο του αριθμού των εξαρτημάτων (δηλαδή, μπορούμε να μιλήσουμε για μηδενική αλλαγή στην ποσότητα).

Στα παραδείγματα που δίνονται, η αλλαγή στον αριθμό των τμημάτων μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τους ακέραιους αριθμούς 400, -100 και 0, αντίστοιχα. Ένας θετικός ακέραιος αριθμός 400 υποδηλώνει θετική αλλαγή στην ποσότητα (αύξηση). Ένας αρνητικός ακέραιος αριθμός -100 εκφράζει αρνητική μεταβολή στην ποσότητα (μείωση). Ένας ακέραιος αριθμός 0 υποδηλώνει ότι η ποσότητα έχει παραμείνει αμετάβλητη.

Η ευκολία της χρήσης ακεραίων σε σύγκριση με τη χρήση φυσικών αριθμών είναι ότι δεν χρειάζεται να δηλώνετε ρητά εάν ο αριθμός αυξάνεται ή μειώνεται - ένας ακέραιος ποσοτικοποιεί την αλλαγή και το πρόσημο του ακέραιου υποδεικνύει την κατεύθυνση της αλλαγής.

Οι ακέραιοι αριθμοί μπορούν επίσης να εκφράσουν όχι μόνο μια αλλαγή στην ποσότητα, αλλά και μια αλλαγή σε μια ποσότητα. Ας το αντιμετωπίσουμε χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των αλλαγών θερμοκρασίας.

Μια αύξηση θερμοκρασίας, ας πούμε, 4 μοίρες εκφράζεται ως θετικός ακέραιος αριθμός 4. Μια μείωση της θερμοκρασίας, για παράδειγμα, κατά 12 μοίρες μπορεί να περιγραφεί με έναν αρνητικό ακέραιο αριθμό -12. Και η σταθερότητα της θερμοκρασίας είναι η μεταβολή της, που καθορίζεται από τον ακέραιο αριθμό 0.

Ξεχωριστά, πρέπει να ειπωθεί για την ερμηνεία των αρνητικών ακεραίων ως το ποσό του χρέους. Για παράδειγμα, αν έχουμε 3 μήλα, τότε ο θετικός ακέραιος αριθμός 3 δείχνει τον αριθμό των μήλων που έχουμε. Από την άλλη πλευρά, αν πρέπει να δώσουμε 5 μήλα σε κάποιον και δεν τα έχουμε, τότε αυτή η κατάσταση μπορεί να περιγραφεί χρησιμοποιώντας τον αρνητικό ακέραιο −5. Σε αυτήν την περίπτωση, «έχουμε» −5 μήλα, το σύμβολο μείον υποδηλώνει χρέος και ο αριθμός 5 ποσοτικοποιεί το χρέος.

Η κατανόηση ενός αρνητικού ακέραιου ως χρέους καθιστά δυνατή, για παράδειγμα, να δικαιολογήσει τον κανόνα για την προσθήκη αρνητικών ακεραίων. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα. Αν κάποιος χρωστάει 2 μήλα σε ένα άτομο και ένα μήλο σε άλλο, τότε το συνολικό χρέος είναι 2 + 1 = 3 μήλα, άρα −2 + (- 1) = - 3.

Βιβλιογραφία.

• Vilenkin N. Ya. και άλλα Μαθηματικά. 6η τάξη: εγχειρίδιο για εκπαιδευτικά ιδρύματα.

Για πρώτη φορά, οι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται στην αρχαία Κίνα και την Ινδία, στην Ευρώπη εισήχθησαν στη μαθηματική χρήση από τους Nicolas Schuke (1484) και Michael Stifel (1544).

Αλγεβρικές ιδιότητες

$\backslash \; mathbb\; (Z)$δεν είναι κλειστό με διαίρεση δύο ακεραίων αριθμών (για παράδειγμα, 1/2). Ο παρακάτω πίνακας απεικονίζει μερικές βασικές ιδιότητες πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού για οποιονδήποτε ακέραιο αριθμό. ένα, σικαι ντο.

| list5 = Βασικοί αριθμοί - Με κάθε τρόπο είναι απαραίτητο να μεταφερθείτε στο κρεβάτι, εδώ δεν θα είναι δυνατό με κανέναν τρόπο ...
Ο ασθενής ήταν τόσο περικυκλωμένος από γιατρούς, πριγκίπισσες και υπηρέτες που ο Πιερ δεν μπορούσε πλέον να δει αυτό το κόκκινο-κίτρινο κεφάλι με μια γκρίζα χαίτη, η οποία, παρά το γεγονός ότι είδε άλλα πρόσωπα, δεν άφηνε ούτε στιγμή την όρασή του καθ' όλη τη διάρκεια της υπηρεσίας. . Ο Πιερ μάντεψε από την προσεκτική κίνηση των ανθρώπων που περιέβαλλαν την καρέκλα ότι ο ετοιμοθάνατος σήκωνε και μετέφερε.
«Κράτα από το χέρι μου, θα το ρίξεις έτσι», άκουσε έναν τρομαγμένο ψίθυρο ενός από τους υπηρέτες, «από κάτω… άλλος», είπαν οι φωνές, και η βαριά αναπνοή και το βήμα των ποδιών ο κόσμος έγινε πιο βιαστικός, σαν το βάρος που κουβαλούσαν ήταν πάνω από τις δυνάμεις τους...
Οι μεταφορείς, μεταξύ των οποίων ήταν η Άννα Μιχαήλοβνα, ισοφάρισαν με τον νεαρό και για μια στιγμή, πίσω από την πλάτη και την πλάτη των κεφαλιών των ανθρώπων, είδε ένα ψηλό, χοντρό, ανοιχτό στήθος, τους χοντρούς ώμους του ασθενούς. , που σηκώθηκε από ανθρώπους που τον κρατούσαν κάτω από τις μασχάλες, και ένα γκριζομάλλη σγουρό κεφάλι λιονταριού. Αυτό το κεφάλι, με ένα ασυνήθιστα φαρδύ μέτωπο και ζυγωματικά, ένα όμορφο αισθησιακό στόμα και ένα μεγαλειώδες ψυχρό βλέμμα, δεν παραμορφώθηκε από την εγγύτητα του θανάτου. Ήταν η ίδια που την είχε γνωρίσει ο Πιέρ πριν από τρεις μήνες, όταν ο Κόμης τον άφησε να πάει στην Πετρούπολη. Αλλά αυτό το κεφάλι κουνιόταν αβοήθητο από τα ανώμαλα βήματα των κουβαλητών και το παγερό, αδιάφορο βλέμμα δεν ήξερε πού να σταματήσει.
Πέρασαν αρκετά λεπτά από τη φασαρία του ψηλού κρεβατιού. οι άνθρωποι που μετέφεραν τον ασθενή διαλύθηκαν. Η Άννα Μιχαήλοβνα άγγιξε το χέρι του Πιέρ και του είπε: «Βενέζ». [Πηγαίνετε.] Ο Πιέρ πήγε μαζί της στο κρεβάτι, στο οποίο, σε μια εορταστική στάση, που προφανώς σχετίζεται με το μυστήριο που μόλις τελέστηκε, ήταν ξαπλωμένη η ασθενής. Ξάπλωσε με το κεφάλι ψηλά στα μαξιλάρια. Τα χέρια του ήταν συμμετρικά απλωμένα σε μια πράσινη μεταξωτή κουβέρτα, με τις παλάμες προς τα κάτω. Όταν ο Πιέρ πλησίασε, ο κόμης τον κοίταζε κατευθείαν, αλλά κοίταξε με μια ματιά της οποίας το νόημα και το νόημα δεν μπορούσαν να καταλάβουν κανένας. Είτε αυτό το βλέμμα δεν έλεγε απολύτως τίποτα, εκτός από το ότι όσο υπάρχουν μάτια πρέπει να κοιτάξει κανείς κάπου, είτε είπε πάρα πολλά. Ο Πιέρ σταμάτησε, χωρίς να ξέρει τι να κάνει, και κοίταξε ερωτηματικά τον αρχηγό του, Άννα Μιχαήλοβνα. Η Άννα Μιχαήλοβνα του έκανε μια βιαστική χειρονομία με τα μάτια της, δείχνοντας το χέρι της ασθενούς και στέλνοντάς της ένα φιλί με τα χείλη της. Ο Πιερ, τεντώνοντας επιμελώς το λαιμό του για να μην τον πιάσει στην κουβέρτα, ακολούθησε τη συμβουλή της και φίλησε το πλατύ κόκαλο και σαρκώδες χέρι της. Ούτε ένα χέρι, ούτε ένας μυς στο πρόσωπο του Κόμη δεν έτρεμε. Ο Πιέρ κοίταξε ξανά ερωτηματικά την Άννα Μιχαήλοβνα, ρωτώντας τώρα τι να κάνει. Η Άννα Μιχαήλοβνα με τα μάτια της έδειξε την πολυθρόνα που στεκόταν δίπλα στο κρεβάτι. Ο Πιέρ άρχισε υπάκουα να κάθεται στην πολυθρόνα, με τα μάτια του να συνεχίζουν να ρωτούν αν είχε κάνει αυτό που χρειαζόταν. Η Άννα Μιχαήλοβνα κούνησε το κεφάλι της επιδοκιμαστικά. Ο Πιέρ πήρε και πάλι τη συμμετρικά αφελή θέση ενός αιγυπτιακού αγάλματος, προφανώς συλλυπητήρια που το αδέξιο και παχύ σώμα του καταλάμβανε τόσο μεγάλο χώρο και χρησιμοποιώντας όλη την ψυχική του δύναμη για να φαίνεται όσο το δυνατόν μικρότερος. Κοίταξε τον Κόμη. Ο κόμης κοίταξε το μέρος όπου βρισκόταν το πρόσωπο του Πιέρ, ενώ στεκόταν. Η Άννα Μιχαήλοβνα στη θέση της γνώριζε τη συγκινητική σημασία αυτής της τελευταίας στιγμής της συνάντησης πατέρα και γιου. Αυτό κράτησε δύο λεπτά, κάτι που φάνηκε στον Πιέρ μια ώρα. Ξαφνικά, ένα ρίγος εμφανίστηκε στους μεγάλους μύες και τις ρυτίδες του προσώπου του Κόμη. Το ρίγος εντάθηκε, το όμορφο στόμα του στράβωσε (μόνο τότε ο Πιερ συνειδητοποίησε σε ποιο βαθμό ο πατέρας του ήταν κοντά στο θάνατο), ένας αόριστος βραχνός ήχος ακούστηκε από το στριμμένο στόμα. Η Άννα Μιχαήλοβνα κοίταξε επιμελώς στα μάτια του ασθενούς και, προσπαθώντας να μαντέψει τι χρειαζόταν, έδειξε τώρα τον Πιέρ, τώρα να πιει, τώρα με έναν ψίθυρο που έλεγε ερωτηματικά τον Πρίγκιπα Βασίλι, τώρα έδειξε την κουβέρτα. Τα μάτια και το πρόσωπο του ασθενούς έδειχναν ανυπομονησία. Έκανε μια προσπάθεια να κοιτάξει τον υπηρέτη, που στεκόταν στην κεφαλή του κρεβατιού χωρίς σπατάλη.
«Θέλουν να κυλήσουν στην άλλη πλευρά», ψιθύρισε ο υπηρέτης και σηκώθηκε για να γυρίσει το βαρύ σώμα του Κόμη για να κοιτάξει στον τοίχο.
Ο Πιέρ σηκώθηκε για να βοηθήσει τον υπηρέτη.
Ενώ η καταμέτρηση αναποδογυριζόταν, το ένα χέρι έπεσε πίσω αβοήθητο και έκανε μάταιη προσπάθεια να το σύρει. Παρατήρησε ο κόμης το βλέμμα φρίκης με το οποίο ο Πιερ κοίταξε αυτό το άψυχο χέρι, ή ποια άλλη σκέψη πέρασε από το κεφάλι του που πέθαινε εκείνη τη στιγμή, αλλά κοίταξε το ανυπάκουο χέρι, την έκφραση φρίκης στο πρόσωπο του Πιέρ, ξανά στο χέρι, και στο πρόσωπό του φάνηκε ένα αδύναμο, πονεμένο χαμόγελο που δεν έφτανε τόσο στα χαρακτηριστικά του, εκφράζοντας, σαν να λέγαμε, μια κοροϊδία για τη δική του ανικανότητα. Ξαφνικά, στη θέα αυτού του χαμόγελου, ο Pierre ένιωσε ένα ρίγος στο στήθος του, ένα τσίμπημα στη μύτη του και τα δάκρυα θόλωσαν την όρασή του. Ο ασθενής ήταν γυρισμένος με την πλευρά του στον τοίχο. Αναστέναξε.
«Il est assoupi, [κοιμήθηκε]», είπε η Άννα Μιχαήλοβνα, παρατηρώντας την πριγκίπισσα που την αντικαθιστούσε. - Allons. [Ας πάμε στο.]
Ο Πιέρ βγήκε έξω.