Enteros y décimos. Enteros: representación general

En este artículo, definiremos el conjunto de números enteros, consideremos qué números enteros se denominan positivos y cuáles negativos. También mostraremos cómo se usan los números enteros para describir cambios en ciertas cantidades. Comencemos con la definición y ejemplos de números enteros.

Números enteros. Definición, ejemplos

Primero recordemos los números naturales ℕ. El nombre en sí sugiere que estos son números que se han utilizado naturalmente para contar desde tiempos inmemoriales. Para cubrir el concepto de números enteros, necesitamos expandir la definición de números naturales.

Definición 1. Enteros

Los enteros son números naturales, los números opuestos y el número cero.

El conjunto de números enteros se denota con la letra ℤ.

El conjunto de números naturales ℕ es un subconjunto de los enteros ℤ. Cualquier número natural es un número entero, pero no todo entero es un número natural.

De la definición se deduce que cualquiera de los números 1, 2, 3 es un número entero. ... , número 0, así como números - 1, - 2, - 3 ,. ...

De acuerdo con esto, daremos ejemplos. Los números 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 son números enteros.

Deje que la línea de coordenadas se dibuje horizontalmente y se dirija hacia la derecha. Echemos un vistazo para visualizar la disposición de los números enteros en línea recta.

El origen en la línea de coordenadas corresponde al número 0, y los puntos que se encuentran a ambos lados del cero corresponden a números enteros positivos y negativos. Cada punto corresponde a un solo entero.

Puede llegar a cualquier punto de una línea recta, cuya coordenada sea un número entero, dejando a un lado un cierto número de segmentos unitarios desde el origen.

Enteros positivos y negativos

De todos los números enteros, es lógico distinguir entre números enteros positivos y negativos. Demos sus definiciones.

Definición 2. Enteros positivos

Los enteros positivos son enteros con signo más.

Por ejemplo, el número 7 es un signo más, es decir, un número entero positivo. En la línea de coordenadas, este número se encuentra a la derecha del punto de referencia, para el cual se toma el número 0. Otros ejemplos de números enteros positivos: 12, 502, 42, 33, 100500.

Definición 3. Enteros negativos

Los números enteros negativos son números enteros con un signo menos.

Ejemplos de números enteros negativos: - 528, - 2568, - 1.

El número 0 separa enteros positivos y negativos y en sí mismo no es ni positivo ni negativo.

Cualquier número que sea opuesto a un entero positivo es, por definición, un número entero negativo. Lo contrario también es cierto. El inverso de cualquier número entero negativo es un número entero positivo.

Puede dar otras definiciones de números enteros negativos y positivos usando su comparación con cero.

Definición 4. Enteros positivos

Los enteros positivos son números enteros mayores que cero.

Definición 5. Enteros negativos

Los números enteros negativos son números enteros menores que cero.

En consecuencia, los números positivos están a la derecha del origen en la línea de coordenadas y los números enteros negativos están a la izquierda del cero.

Dijimos anteriormente que los números naturales son un subconjunto de números enteros. Aclaremos este punto. El conjunto de números naturales está formado por números enteros positivos. A su vez, el conjunto de números enteros negativos es el conjunto de números naturales opuestos.

¡Importante!

Cualquier número natural puede llamarse entero, pero ningún entero no puede llamarse natural. Respondiendo a la pregunta de si son números negativos natural, debemos decir con valentía - no, no lo son.

Enteros no positivos y no negativos

Demos definiciones.

Definición 6. Enteros no negativos

Los enteros no negativos son números enteros positivos y el número cero.

Definición 7. Enteros no positivos

Los enteros no positivos son enteros negativos y el número cero.

Como puede ver, el número cero no es ni positivo ni negativo.

Ejemplos de números enteros no negativos: 52, 128, 0.

Ejemplos de números enteros no positivos: - 52, - 128, 0.

Un número no negativo es un número mayor o igual a cero. En consecuencia, un número entero no positivo es un número menor o igual que cero.

Los términos "número no positivo" y "número no negativo" se utilizan para abreviar. Por ejemplo, en lugar de decir que el número a es un número entero mayor o igual que cero, puede decir: a es un número entero no negativo.

Uso de números enteros para describir cambios en cantidades

¿Para qué se utilizan los números enteros? En primer lugar, con su ayuda, es conveniente describir y determinar el cambio en el número de objetos. Pongamos un ejemplo.

Deje que se almacene una cierta cantidad de cigüeñales en el almacén. Si se llevan otros 500 cigüeñales al almacén, su número aumentará. El número 500 simplemente expresa el cambio (aumento) en el número de detalles. Si luego se retiran 200 piezas del almacén, este número también caracterizará el cambio en el número de cigüeñales. Esta vez, hacia abajo.

Si no se sacará nada del almacén y no se traerá nada, entonces el número 0 indicará la invariabilidad del número de piezas.

La conveniencia obvia de usar números enteros, en contraste con los números naturales, es que su signo indica claramente la dirección del cambio en el valor (aumento o disminución).

Una disminución de la temperatura de 30 grados se puede caracterizar por un número negativo, 30, y un aumento de 2 grados, por un número entero positivo 2.

Aquí hay otro ejemplo con números enteros. Esta vez, digamos que tenemos que darle 5 monedas a alguien. Entonces, podemos decir que tenemos - 5 monedas. El número 5 describe el monto de la deuda y el signo menos dice que debemos devolver las monedas.

Si le debemos 2 monedas a una persona y 3 a otra, entonces la deuda total (5 monedas) se puede calcular usando la regla de sumar números negativos:

2 + (- 3) = - 5

Si nota un error en el texto, selecciónelo y presione Ctrl + Enter

Hay muchas variedades de números, algunos de los cuales son números enteros. Aparecieron números enteros para facilitar el conteo no solo en la dirección positiva, sino también en la negativa.

Consideremos un ejemplo:
Durante el día, la temperatura exterior era de 3 grados. Al anochecer, la temperatura bajó 3 grados.
3-3=0
En la calle se convirtió en 0 grados. Y por la noche la temperatura bajó 4 grados y comenzó a mostrar en el termómetro -4 grados.
0-4=-4

Una serie de números enteros.

No podemos describir tal problema con números naturales; consideraremos este problema en la línea de coordenadas.

Tenemos una serie de números:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Esta serie de números se llama una serie de enteros.

Enteros positivos. Enteros negativos.

Una serie de números enteros consta de números positivos y negativos. A la derecha del cero hay números naturales o también se llaman enteros positivos... Y a la izquierda del cero ve números enteros negativos.

El cero no es ni positivo ni negativo. Es el límite entre números positivos y negativos.

Es un conjunto de números que consta de números naturales, enteros negativos y cero.

Una serie de enteros positivos y negativos es conjunto sin fin.

Si tomamos dos enteros cualesquiera, entonces los números entre estos enteros se llamarán un conjunto finito.

Por ejemplo:
Tome números enteros de -2 a 4. Todos los números entre estos números se incluyen en un conjunto finito. Nuestro conjunto finito de números se ve así:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Los números naturales se designan con la letra latina N.
Los números enteros se indican con la letra latina Z. En la figura se puede representar todo el conjunto de números naturales y enteros.


Enteros no positivos en otras palabras, son números enteros negativos.
Enteros no negativos Son números enteros positivos.

En pocas palabras, son verduras cocidas en agua según una receta especial. Consideraré dos componentes iniciales (ensalada de verduras y agua) y el resultado final: borscht. Geométricamente, esto se puede considerar como un rectángulo en el que un lado representa la lechuga y el otro representa el agua. La suma de estos dos lados representará el borscht. La diagonal y el área de tal rectángulo de "borscht" son conceptos puramente matemáticos y nunca se utilizan en recetas de borscht.

No encontrará nada sobre las funciones de ángulos lineales en los libros de texto de matemáticas. Pero sin ellos no puede haber matemáticas. Las leyes de las matemáticas, al igual que las leyes de la naturaleza, funcionan independientemente de que sepamos de su existencia o no.

Las funciones de ángulos lineales son leyes de adición. Vea cómo el álgebra se convierte en geometría y la geometría se convierte en trigonometría.

¿Se pueden prescindir de las funciones de ángulo lineal? Puede, porque los matemáticos todavía se las arreglan sin ellos. El truco de los matemáticos radica en el hecho de que siempre nos hablan solo de aquellos problemas que ellos mismos saben resolver, y nunca hablan de aquellos problemas que no pueden resolver. Mirar. Si conocemos el resultado de la suma y un término, usamos la resta para encontrar el otro término. Todo. No conocemos otras tareas y no somos capaces de resolverlas. ¿Qué hacer si solo conocemos el resultado de la suma y no conocemos ambos términos? En este caso, el resultado de la suma debe descomponerse en dos términos utilizando funciones de ángulos lineales. Entonces nosotros mismos elegimos cuál puede ser un término, y las funciones de ángulos lineales muestran cuál debería ser el segundo término para que el resultado de la suma sea exactamente lo que necesitamos. Puede haber un número infinito de estos pares de términos. V La vida cotidiana podemos hacerlo bien sin descomponer la suma; la resta es suficiente para nosotros. Pero en la investigación científica de las leyes de la naturaleza, la descomposición de la suma en términos puede resultar muy útil.

Otra ley de la suma, de la que a los matemáticos no les gusta hablar (otro truco suyo), requiere que los términos tengan las mismas unidades de medida. Para ensalada, agua y borscht, estas pueden ser unidades de medida de peso, volumen, valor o unidades de medida.

La figura muestra dos niveles de diferencia para matemáticas. El primer nivel son las diferencias en el campo de los números, que se indican a, B, C... Eso es lo que hacen los matemáticos. El segundo nivel son las diferencias en el área de unidades, que se muestran entre corchetes y se indican con la letra U... Eso es lo que hacen los físicos. Podemos entender el tercer nivel: diferencias en el área de los objetos descritos. Diferentes objetos pueden tener el mismo número de unidades de medida idénticas. Lo importante que es esto, lo podemos ver en el ejemplo de la trigonometría de borscht. Si agregamos subíndices a la misma designación de unidades de medida de diferentes objetos, podemos decir exactamente qué valor matemático describe un objeto en particular y cómo cambia con el tiempo o en relación con nuestras acciones. Por carta W Designaré agua, con la letra S Voy a designar la ensalada y la letra B- Borsch. Así es como se verían las funciones angulares lineales para borsch.

Si tomamos una parte del agua y una parte de la ensalada, juntas se convertirán en una ración de borscht. Aquí te sugiero que te tomes un descanso del borscht y recuerdes tu infancia lejana. ¿Recuerdas cómo nos enseñaron a juntar conejitos y patos? Era necesario averiguar cuántos animales habría. Entonces, ¿qué nos enseñaron a hacer? Nos enseñaron a separar unidades de números y sumar números. Sí, cualquier número se puede agregar a cualquier otro número. Este es un camino directo hacia el autismo de las matemáticas modernas: lo estamos haciendo, no está claro qué, no está claro por qué, y entendemos muy mal cómo esto se relaciona con la realidad, debido a los tres niveles de diferencia, las matemáticas operan solo una . Sería más correcto aprender a cambiar de una unidad de medida a otra.

Y los conejos, los patos y los animales se pueden contar en pedazos. Una unidad de medida común para diferentes objetos nos permite sumarlos. Ésta es una versión infantil del problema. Echemos un vistazo a un problema similar para los adultos. ¿Qué pasa cuando agregas conejitos y dinero? Aquí hay dos posibles soluciones.

Primera opción... Determinamos el valor de mercado de los conejitos y lo sumamos a la cantidad de dinero disponible. Obtuvimos el valor total de nuestra riqueza en términos monetarios.

Segunda opción... Puedes sumar el número de conejitos al número de billetes que tenemos. Recibiremos el número de bienes muebles en piezas.

Como puede ver, la misma ley de adición produce resultados diferentes. Todo depende de lo que queramos saber exactamente.

Pero volvamos a nuestro borscht. Ahora podemos ver lo que sucederá cuando diferentes significadosángulo de funciones angulares lineales.

El ángulo es cero. Tenemos ensalada, pero no agua. No podemos cocinar borscht. La cantidad de borscht también es cero. Esto no significa en absoluto que cero borscht sea igual a cero agua. Zero borscht puede ser en ensalada cero (ángulo recto).

Para mí, personalmente, esta es la principal prueba matemática del hecho de que. Cero no cambia el número cuando se agrega. Esto se debe a que la adición en sí es imposible si solo hay un término y no hay un segundo término. Puedes tratar esto como quieras, pero recuerda: todas las operaciones matemáticas con cero fueron inventadas por los propios matemáticos, así que descarta tu lógica y estúpidamente abarrota las definiciones inventadas por los matemáticos: "la división por cero es imposible", "cualquier número multiplicado por cero es igual a cero "," para el punto cero de eliminación "y otras tonterías. Es suficiente recordar una vez que el cero no es un número, y nunca tendrá la duda de si el cero es un número natural o no, porque esa pregunta generalmente pierde todo significado: ¿cómo podemos considerar un número que no es un número? Es como preguntar de qué color debería ser un color invisible. Agregar cero a un número es como pintar con pintura que no existe. Saludamos con un pincel seco y les dijimos a todos que "hemos pintado". Pero me desvío un poco.

El ángulo es mayor que cero, pero menor que cuarenta y cinco grados. Tenemos mucha ensalada, pero poca agua. Como resultado, obtenemos un borscht espeso.

El ángulo es de cuarenta y cinco grados. Tenemos la misma cantidad de agua y ensalada. Este es el borscht perfecto (sí, los cocineros me perdonarán, son solo matemáticas).

El ángulo es mayor de cuarenta y cinco grados, pero menor de noventa grados. Tenemos mucha agua y poca ensalada. Obtienes borscht líquido.

Ángulo recto. Tenemos agua. De la ensalada, solo quedan los recuerdos, mientras continuamos midiendo el ángulo de la línea que una vez estuvo para la ensalada. No podemos cocinar borscht. La cantidad de borscht es cero. En ese caso, aguanta y bebe el agua mientras la tienes)))

Aquí. Algo como esto. Puedo contar otras historias aquí que serán más que apropiadas aquí.

Dos amigos tenían sus acciones en el negocio común. Después de matar a uno de ellos, todo se fue al otro.

La aparición de las matemáticas en nuestro planeta.

Todas estas historias se cuentan en el lenguaje de las matemáticas utilizando funciones de ángulos lineales. En otra ocasión les mostraré el lugar real de estas funciones en la estructura de las matemáticas. Mientras tanto, volvamos a la trigonometría del borscht y consideremos las proyecciones.

Sábado, 26 de octubre de 2019

Miércoles, 7 de agosto de 2019

Concluyendo la conversación sobre, hay un número infinito a considerar. El resultado es que el concepto de "infinito" actúa sobre los matemáticos como una boa constrictor sobre un conejo. El tembloroso miedo al infinito roba a los matemáticos sentido común... He aquí un ejemplo:

Se encuentra la fuente original. Alpha significa número real. El signo igual en las expresiones anteriores indica que si agrega un número o infinito al infinito, nada cambiará, el resultado será el mismo infinito. Si tomamos como ejemplo un conjunto infinito de números naturales, entonces los ejemplos considerados se pueden presentar de la siguiente forma:

Para una prueba visual de su corrección, los matemáticos han ideado muchos métodos diferentes. Personalmente, veo todos estos métodos como chamanes bailando con panderetas. Básicamente, todo se reduce al hecho de que algunas de las habitaciones no están ocupadas y se están mudando nuevos huéspedes, o que algunos de los visitantes son arrojados al pasillo para dejar espacio para los invitados (muy humanamente). Presenté mi punto de vista sobre tales decisiones en forma de una historia fantástica sobre la Rubia. ¿En qué se basa mi razonamiento? Reubicar un número infinito de visitantes lleva una cantidad infinita de tiempo. Una vez que hayamos desocupado la primera habitación para un invitado, uno de los visitantes siempre caminará por el pasillo desde su habitación hasta la siguiente hasta finales de siglo. Por supuesto, el factor tiempo puede ignorarse estúpidamente, pero ya será de la categoría "la ley no está escrita para tontos". Todo depende de lo que estemos haciendo: ajustar la realidad para que coincida con las teorías matemáticas o viceversa.

¿Qué es un "hotel sin fin"? Un hotel interminable es un hotel que siempre tiene cualquier cantidad de lugares libres, sin importar cuántas habitaciones estén ocupadas. Si todas las habitaciones del pasillo de visitantes sin fin están ocupadas, hay otro pasillo sin fin con las habitaciones de invitados. Habrá un sinnúmero de corredores de este tipo. Además, el "hotel infinito" tiene un número infinito de pisos en un número infinito de edificios en un número infinito de planetas en un número infinito de universos creados por un número infinito de dioses. Los matemáticos, sin embargo, no son capaces de distanciarse de los problemas cotidianos cotidianos: Dios-Alá-Buda es siempre uno solo, el hotel es uno, el pasillo es solo uno. Aquí hay matemáticos que intentan manipular los números de serie de las habitaciones de hotel, convenciéndonos de que es posible "meter las cosas".

Les demostraré la lógica de mi razonamiento con el ejemplo de un conjunto infinito de números naturales. Primero, debe responder una pregunta muy simple: ¿cuántos conjuntos de números naturales hay, uno o muchos? No hay una respuesta correcta a esta pregunta, ya que nosotros mismos inventamos los números, en la naturaleza no hay números. Sí, la naturaleza es excelente para contar, pero para ello utiliza otras herramientas matemáticas que no nos son familiares. Como piensa la naturaleza, te lo contaré en otro momento. Dado que inventamos los números, nosotros mismos decidiremos cuántos conjuntos de números naturales hay. Considere ambas opciones, como corresponde a un científico real.

Opcion uno. "Permítanos darnos" un solo conjunto de números naturales, que se encuentra serenamente en el estante. Sacamos este juego de la estantería. Eso es todo, no quedan otros números naturales en el estante y no hay dónde llevarlos. No podemos agregar uno a este conjunto, ya que ya lo tenemos. ¿Y si realmente quieres? No hay problema. Podemos tomar uno del juego que ya hemos tomado y devolverlo a la estantería. Después de eso, podemos sacar una unidad de la estantería y agregarla a lo que nos queda. Como resultado, nuevamente obtenemos un conjunto infinito de números naturales. Puedes escribir todas nuestras manipulaciones así:

Escribí las acciones en el sistema de notación algebraica y en el sistema de notación adoptado en la teoría de conjuntos, con una enumeración detallada de los elementos del conjunto. El subíndice indica que tenemos un único conjunto de números naturales. Resulta que el conjunto de números naturales permanecerá sin cambios solo si uno le resta y suma la misma unidad.

Opción dos. Tenemos muchos conjuntos infinitos diferentes de números naturales en nuestro estante. Hago hincapié en: DIFERENTES, a pesar de que son prácticamente indistinguibles. Cogemos uno de estos conjuntos. Luego tomamos uno de otro conjunto de números naturales y lo sumamos al conjunto que ya hemos tomado. Incluso podemos sumar dos conjuntos de números naturales. Esto es lo que obtenemos:

Los subíndices "uno" y "dos" indican que estos elementos pertenecían a conjuntos diferentes. Sí, si agrega uno al conjunto infinito, el resultado también será un conjunto infinito, pero no será el mismo que el conjunto original. Si agregamos otro conjunto infinito a un conjunto infinito, el resultado es un nuevo conjunto infinito que consta de los elementos de los dos primeros conjuntos.

Se utilizan muchos números naturales para contar de la misma manera que una regla para medir. Ahora imagina agregar un centímetro a la regla. Esta ya será una línea diferente, no igual a la original.

Puede aceptar o no mi razonamiento; es asunto suyo. Pero si alguna vez se encuentra con problemas matemáticos, piense si no está siguiendo el camino del falso razonamiento pisado por generaciones de matemáticos. Después de todo, hacer matemáticas, en primer lugar, forma un estereotipo estable de pensamiento en nosotros, y solo entonces nos agrega habilidades mentales (o, por el contrario, nos priva del pensamiento libre).

pozg.ru

Domingo, 4 de agosto de 2019

Estaba escribiendo una posdata a un artículo sobre y vi este maravilloso texto en Wikipedia:

Leemos: "... rico bases teóricas las matemáticas de Babilonia no tenían un carácter holístico y se redujeron a un conjunto de técnicas dispares, desprovistas de un sistema común y una base de evidencia ".

¡Guau! Cuán inteligentes somos y cuán bien podemos ver las deficiencias de los demás. ¿Es difícil para nosotros mirar las matemáticas modernas en el mismo contexto? Parafraseando ligeramente el texto anterior, personalmente obtuve lo siguiente:

La rica base teórica de las matemáticas modernas no es holística y se reduce a un conjunto de secciones dispares desprovistas de un sistema común y una base de evidencia.

No iré muy lejos para confirmar mis palabras: tiene un lenguaje y convenciones que son diferentes del lenguaje y las convenciones de muchas otras ramas de las matemáticas. Los mismos nombres en diferentes ramas de las matemáticas pueden tener diferentes significados. Quiero dedicar toda una serie de publicaciones a los errores más obvios de las matemáticas modernas. Nos vemos pronto.

Sábado, 3 de agosto de 2019

¿Cómo se divide un conjunto en subconjuntos? Para hacer esto, es necesario ingresar una nueva unidad de medida que está presente para algunos de los elementos del conjunto seleccionado. Veamos un ejemplo.

Tengamos muchos A que consta de cuatro personas. Este conjunto se formó sobre la base de "personas". Denotemos los elementos de este conjunto con la letra a, un subíndice con un dígito indicará el número ordinal de cada persona en este conjunto. Introduzcamos una nueva unidad de medida "sexo" y denotémosla con la letra B... Dado que las características sexuales son inherentes a todas las personas, multiplicamos cada elemento del conjunto A por género B... Tenga en cuenta que ahora nuestra multitud de "personas" se ha convertido en una multitud de "personas con características sexuales". Después de eso, podemos dividir las características sexuales en masculinas. bm y mujeres bw características sexuales. Ahora podemos aplicar un filtro matemático: seleccionamos una de estas características sexuales, no importa cuál sea masculino o femenino. Si una persona lo tiene, lo multiplicamos por uno, si no existe tal signo, lo multiplicamos por cero. Y luego aplicamos las matemáticas escolares habituales. Mira lo que pasó.

Después de la multiplicación, reducción y reordenamiento, obtuvimos dos subconjuntos: el subconjunto de hombres Bm y un subconjunto de mujeres Bw... Los matemáticos piensan lo mismo cuando aplican la teoría de conjuntos en la práctica. Pero no nos dedican a los detalles, sino que dan un resultado final: "muchas personas consisten en un subconjunto de hombres y un subconjunto de mujeres". Naturalmente, puede preguntarse qué tan correctamente se aplican las matemáticas en las transformaciones anteriores. Me atrevo a asegurarles, de hecho, las transformaciones se hicieron correctamente, basta con conocer las bases matemáticas de la aritmética, el álgebra booleana y otras ramas de las matemáticas. ¿Lo que es? En otra ocasión te lo contaré.

En cuanto a los superconjuntos, puede combinar dos conjuntos en un superconjunto eligiendo la unidad de medida que está presente para los elementos de estos dos conjuntos.

Como puede ver, las unidades de medida y las matemáticas comunes hacen de la teoría de conjuntos una cosa del pasado. Una indicación de que la teoría de conjuntos no está bien es que los matemáticos han creado su propio lenguaje y notación para la teoría de conjuntos. Los matemáticos hicieron lo que alguna vez hicieron los chamanes. Sólo los chamanes saben cómo aplicar "correctamente" sus "conocimientos". Nos enseñan este "conocimiento".

Finalmente, quiero mostrarles cómo manipulan los matemáticos.

Lunes, 7 de enero de 2019

En el siglo V a.C. filósofo griego antiguo Zenón de Elea formuló sus famosas aporías, la más famosa de las cuales es la aporía "Aquiles y la tortuga". Así suena:

Digamos que Aquiles corre diez veces más rápido que una tortuga y está mil pasos detrás de ella. Durante el tiempo que le toma a Aquiles correr esta distancia, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Cuando Aquiles haya corrido cien pasos, la tortuga se arrastrará diez pasos más, y así sucesivamente. El proceso continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.

Este razonamiento fue un shock lógico para todas las generaciones posteriores. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Hilbert ... Todos ellos, de una forma u otra, consideraron las aporías de Zenón. El impacto fue tan fuerte que " ... las discusiones continúan en la actualidad, la comunidad científica aún no ha logrado llegar a una opinión común sobre la esencia de las paradojas ... el análisis matemático, la teoría de conjuntos, nuevos enfoques físicos y filosóficos se involucraron en el estudio del tema ; ninguno de ellos se ha convertido en una solución generalmente aceptada a la pregunta ..."[Wikipedia," Las aporías de Zeno "]. Todos entienden que están siendo engañados, pero nadie comprende qué es el engaño.

Desde el punto de vista de las matemáticas, Zenón en su aporía demostró claramente la transición de magnitud a. Esta transición implica aplicación en lugar de constantes. Por lo que tengo entendido, el aparato matemático para usar unidades de medida variables aún no se ha desarrollado o no se ha aplicado a la aporía de Zenón. Aplicar nuestra lógica habitual nos lleva a una trampa. Nosotros, por inercia de pensamiento, aplicamos unidades constantes de medida de tiempo al recíproco. Desde un punto de vista físico, parece una dilatación del tiempo hasta que se detiene por completo en el momento en que Aquiles está al nivel de la tortuga. Si el tiempo se detiene, Aquiles ya no puede alcanzar a la tortuga.

Si damos la vuelta a la lógica a la que estamos acostumbrados, todo encaja. Aquiles corre a velocidad constante. Cada segmento posterior de su camino es diez veces más corto que el anterior. En consecuencia, el tiempo dedicado a superarlo es diez veces menor que el anterior. Si aplicamos el concepto de "infinito" en esta situación, entonces sería correcto decir "Aquiles alcanzará infinitamente rápidamente a la tortuga".

¿Cómo puedes evitar esta trampa lógica? Manténgase en unidades de tiempo constantes y no retroceda. En el lenguaje de Zenón, se ve así:

Durante el tiempo en el que Aquiles correrá mil pasos, la tortuga se arrastrará cien pasos en la misma dirección. Durante el siguiente intervalo de tiempo, igual al primero, Aquiles correrá otros mil pasos y la tortuga se arrastrará cien pasos. Ahora Aquiles está ochocientos pasos por delante de la tortuga.

Este enfoque describe adecuadamente la realidad sin paradojas lógicas. Pero esta no es una solución completa al problema. La afirmación de Einstein sobre la insuperable velocidad de la luz es muy similar a la aporía de Zeno "Aquiles y la tortuga". Aún tenemos que estudiar, repensar y solucionar este problema. Y la solución no debe buscarse sin cesar números grandes y en unidades de medida.

Otra aporía interesante que Zeno cuenta sobre una flecha voladora:

La flecha voladora está inmóvil, ya que en todo momento está en reposo, y como está en reposo en todo momento, siempre está en reposo.

En esta aporía, la paradoja lógica se supera de manera muy simple: basta con aclarar que en cada momento del tiempo la flecha voladora descansa en diferentes puntos del espacio, que, de hecho, es movimiento. Aquí conviene señalar otro punto. A partir de una sola fotografía de un automóvil en la carretera, es imposible determinar ni el hecho de su movimiento ni la distancia hasta él. Para determinar el hecho del movimiento del automóvil, se necesitan dos fotografías, tomadas desde el mismo punto en diferentes puntos en el tiempo, pero es imposible determinar la distancia desde ellas. Para determinar la distancia al automóvil, necesita dos fotografías tomadas desde diferentes puntos en el espacio al mismo tiempo, pero no pueden determinar el hecho del movimiento (por supuesto, aún se necesitan datos adicionales para los cálculos, la trigonometría lo ayudará). Lo que quiero llamar la atención especial es que dos puntos en el tiempo y dos puntos en el espacio son cosas diferentes que no deben confundirse, porque brindan diferentes oportunidades para la investigación.
Déjame mostrarte el proceso con un ejemplo. Seleccionamos "sólido rojo en un grano" - este es nuestro "todo". Al mismo tiempo, vemos que estas cosas están con un arco, pero no hay ningún arco. Después de eso, seleccionamos una parte del "todo" y formamos un conjunto "con un arco". Así es como los chamanes se alimentan vinculando su teoría de conjuntos a la realidad.

Ahora hagamos un pequeño truco sucio. Tome "sólido en un grano con un lazo" y combine estos "todos" por color, seleccionando los elementos rojos. Tenemos mucho "rojo". Ahora una pregunta para completar: los conjuntos resultantes "con un lazo" y "rojo" son el mismo conjunto o son dos conjuntos diferentes? Solo los chamanes conocen la respuesta. Más precisamente, ellos mismos no saben nada, pero como dicen, que así sea.

Este simple ejemplo muestra que la teoría de conjuntos es completamente inútil cuando se trata de la realidad. Cual es el secreto Hemos formado un conjunto de "sólido rojo en un bulto con un arco". La formación se llevó a cabo de acuerdo con cuatro unidades de medida diferentes: color (rojo), fuerza (sólido), rugosidad (en un grano), adornos (con un lazo). Solo un conjunto de unidades de medida permite describir adecuadamente objetos reales en el lenguaje de las matemáticas.... Esto es lo que parece.

La letra "a" con diferentes índices denota diferentes unidades de medida. Las unidades de medida se destacan entre paréntesis, mediante las cuales se asigna el "total" en la etapa preliminar. La unidad de medida con la que se forma el conjunto se saca de los corchetes. La última línea muestra el resultado final: el elemento del conjunto. Como puede ver, si usamos unidades de medida para formar un conjunto, entonces el resultado no depende del orden de nuestras acciones. Y esto son matemáticas, no el baile de los chamanes con panderetas. Los chamanes pueden llegar "intuitivamente" al mismo resultado, argumentando "por la obviedad", porque las unidades de medida no están incluidas en su arsenal "científico".

Es muy fácil usar unidades para dividir uno o combinar varios conjuntos en un superconjunto. Echemos un vistazo más de cerca al álgebra de este proceso.

La información de este artículo se forma Idea general O números enteros... Primero, se da la definición de números enteros y se dan ejemplos. Además, se consideran los números enteros en la recta numérica, a partir de los cuales queda claro qué números se llaman enteros positivos y cuáles son enteros negativos. Después de eso, se muestra cómo se describen los cambios en los valores usando números enteros, y los números enteros negativos se consideran en el sentido de endeudamiento.

Navegación de página.

Enteros: definición y ejemplos

Definición.

Números enteros- estos son números naturales, el número cero, así como números opuestos a los números naturales.

La definición de enteros establece que cualquiera de los números 1, 2, 3,…, el número 0, así como cualquiera de los números −1, −2, −3,… es un entero. Ahora podemos liderar fácilmente ejemplos de enteros... Por ejemplo, el número 38 es un número entero, el número 70 040 también es un número entero, el cero es un número entero (recuerde que el cero NO es un número natural, el cero es un número entero), los números −999, −1, −8 934 832 también son ejemplos de números enteros.

Es conveniente representar todos los enteros como una secuencia de enteros, que tiene la siguiente forma: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Una secuencia de enteros se puede escribir así: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

De la definición de números enteros se deduce que el conjunto de números naturales es un subconjunto del conjunto de números enteros. Por lo tanto, cualquier número natural es un número entero, pero ningún número entero es natural.

Enteros en la línea de coordenadas

Definición.

Enteros positivos Son números enteros mayores que cero.

Definición.

Enteros negativos Son números enteros menores que cero.

Los números enteros positivos y negativos también se pueden determinar por su posición en la línea de coordenadas. En la línea de coordenadas horizontal, los puntos cuyas coordenadas son números enteros positivos se encuentran a la derecha del origen. A su vez, los puntos con coordenadas enteras negativas se ubican a la izquierda del punto O.

Está claro que el conjunto de todos los enteros positivos es el conjunto de números naturales. A su vez, el conjunto de todos los enteros negativos es el conjunto de todos los números opuestos a los números naturales.

Por separado, nos gustaría llamar su atención sobre el hecho de que podemos llamar con seguridad cualquier número natural como un entero, y NO podemos llamar a ningún entero natural. Podemos llamar natural solo a cualquier entero positivo, ya que los enteros negativos y el cero no son naturales.

Enteros no positivos y enteros no negativos

Démosle definiciones de enteros no positivos y enteros no negativos.

Definición.

Todos los enteros positivos junto con el número cero se llaman enteros no negativos.

Definición.

Enteros no positivos- todos estos son números enteros negativos junto con el número 0.

En otras palabras, un número entero no negativo es un número entero mayor o igual a cero, y un número entero no positivo es un número entero menor o igual a cero.

Ejemplos de enteros no positivos son los números −511, −10,030, 0, −2, y como ejemplos de enteros no negativos, damos los números 45, 506, 0, 900 321.

La mayoría de las veces, los términos "números enteros no positivos" y "números enteros no negativos" se utilizan para abreviar. Por ejemplo, en lugar de la frase "el número a es un número entero y a es mayor o igual que cero", puede decir "a es un número entero no negativo".

Describir valores cambiantes mediante números enteros

Es hora de hablar sobre para qué sirven los números enteros.

El propósito principal de los números enteros es que es conveniente usarlos para describir el cambio en el número de cualquier objeto. Averigüemos con ejemplos.

Deje que haya una cierta cantidad de piezas en el almacén. Si, por ejemplo, se traen 400 piezas más al almacén, entonces el número de piezas en el almacén aumentará y el número 400 expresa este cambio en la cantidad en una dirección positiva (hacia arriba). Si, por ejemplo, se toman 100 partes del almacén, entonces el número de partes en el almacén disminuirá y el número 100 expresará el cambio en la cantidad en la dirección negativa (hacia abajo). Las piezas no se llevarán al almacén y las piezas del almacén no se retirarán, entonces podemos hablar de la invariabilidad del número de piezas (es decir, podemos hablar de cambio cero en la cantidad).

En los ejemplos dados, el cambio en el número de partes se puede describir usando los números enteros 400, -100 y 0, respectivamente. Un entero positivo 400 indica un cambio positivo en la cantidad (aumento). Un entero negativo -100 expresa un cambio negativo en la cantidad (disminución). Un entero 0 indica que la cantidad no ha cambiado.

La conveniencia de usar números enteros en comparación con el uso de números naturales es que no es necesario indicar explícitamente si el número aumenta o disminuye: un número entero cuantifica el cambio y el signo del número entero indica la dirección del cambio.

Los números enteros también pueden expresar no solo un cambio en la cantidad, sino también un cambio en una cantidad. Tratemos esto usando el ejemplo de los cambios de temperatura.

Un aumento de temperatura de, digamos, 4 grados se expresa como un número entero positivo 4. Una disminución de la temperatura, por ejemplo, en 12 grados se puede describir mediante un número entero negativo -12. Y la constancia de la temperatura es su cambio, determinado por el entero 0.

Por separado, hay que decir sobre la interpretación de los números enteros negativos como el monto de la deuda. Por ejemplo, si tenemos 3 manzanas, entonces el entero positivo 3 indica la cantidad de manzanas que poseemos. Por otro lado, si tenemos que darle 5 manzanas a alguien y no las tenemos, entonces esta situación se puede describir usando el entero negativo −5. En este caso, “tenemos” −5 manzanas, el signo menos indica deuda y el número 5 cuantifica la deuda.

Entender un número entero negativo como una deuda permite, por ejemplo, justificar la regla para sumar números enteros negativos. Pongamos un ejemplo. Si alguien le debe 2 manzanas a una persona y una manzana a otra, entonces la deuda total es 2 + 1 = 3 manzanas, entonces −2 + (- 1) = - 3.

Bibliografía.

• Vilenkin N. Ya. y otras Matemáticas. Grado 6: libro de texto para instituciones educativas.

Por primera vez, los números negativos comenzaron a usarse en la antigua China e India, en Europa fueron introducidos en el uso matemático por Nicolas Schuecke (1484) y Michael Stiefel (1544).

Propiedades algebraicas

$\backslash \; mathbb\; (Z)$ no está cerrado bajo la división de dos enteros (por ejemplo, 1/2). La siguiente tabla ilustra algunas propiedades básicas de la suma y la multiplicación para cualquier número entero. a, B y C.

| list5 = Números cardinales - Por supuesto, es necesario transferir a la cama, aquí no será posible de ninguna manera ...
El paciente estaba tan rodeado de médicos, princesas y sirvientes que Pierre ya no pudo ver esa cabeza rojo-amarilla con una melena gris, que, a pesar de que vio otras caras, no abandonó su vista ni un momento durante todo el servicio. . Pierre adivinó por el cuidadoso movimiento de las personas que rodeaban la silla que el moribundo estaba siendo levantado y transportado.
“Agárrate de mi mano, la dejarás caer así”, escuchó un susurro asustado de uno de los sirvientes, “desde abajo ... otro”, decían las voces, y la respiración pesada y el paso de los pies. de la gente se apresuró más, como si el peso que llevaban fuera más allá de sus fuerzas ...
Los transportistas, entre los que se encontraba Anna Mikhailovna, se pusieron al nivel del joven y, por un momento, desde detrás de la espalda y la espalda de las cabezas de la gente, vio un pecho alto, gordo y abierto, los hombros gordos del paciente. , levantado por personas que lo sostenían debajo de las axilas, y una cabeza de león rizada y canosa. Esta cabeza, con una frente y pómulos inusualmente amplios, una boca hermosa y sensual y una mirada majestuosa y fría, no fue desfigurada por la cercanía de la muerte. Era la misma que Pierre la había conocido tres meses antes, cuando el conde lo dejó ir a Petersburgo. Pero esta cabeza se balanceaba impotente ante los desnivelados pasos de los porteadores, y la mirada fría e indiferente no sabía dónde detenerse.
Pasaron varios minutos por el bullicio de la cama alta; las personas que llevaban al paciente se dispersaron. Anna Mikhailovna tocó la mano de Pierre y le dijo: "Venez". [Ve.] Pierre la acompañó a la cama, en la que, en una pose festiva, aparentemente relacionada con el sacramento recién celebrado, fue acostada la paciente. Se acostó con la cabeza en alto sobre las almohadas. Sus manos estaban colocadas simétricamente sobre una manta de seda verde, con las palmas hacia abajo. Cuando Pierre se acercó, el conde lo miraba directamente, pero lo miraba con una mirada cuyo significado y significado no podía ser comprendido por una persona. O esta mirada no dijo absolutamente nada, excepto que mientras haya ojos, uno debe mirar hacia algún lado, o dijo demasiado. Pierre se detuvo, sin saber qué hacer, y miró inquisitivamente a su líder, Anna Mikhailovna. Anna Mikhailovna le hizo un gesto apresurado con la mirada, señalando la mano del paciente y enviándole un beso con los labios. Pierre, estirando diligentemente el cuello para no atraparlo con la manta, siguió su consejo y le besó la mano de huesos anchos y carnosos. No tembló ni una mano, ni un solo músculo del rostro del Conde. Pierre volvió a mirar inquisitivamente a Anna Mikhailovna, preguntando ahora qué hacer. Anna Mikhaylovna señaló con los ojos el sillón que estaba al lado de la cama. Pierre comenzó a sentarse obedientemente en el sillón, sin dejar de preguntar con los ojos si había hecho lo necesario. Anna Mikhailovna asintió con la cabeza con aprobación. Pierre asumió nuevamente la posición simétricamente ingenua de una estatua egipcia, aparentemente condolencias de que su torpe y gordo cuerpo ocupara un espacio tan grande, y usando toda su fuerza mental para parecer lo más pequeño posible. Miró al Conde. El conde miró el lugar donde estaba el rostro de Pierre, mientras estaba de pie. Anna Mikhailovna, en su puesto, era consciente de la conmovedora importancia de este último minuto del encuentro entre padre e hijo. Duró dos minutos, lo que a Pierre le pareció una hora. De repente, un estremecimiento apareció en los grandes músculos y las arrugas del rostro del Conde. El estremecimiento se intensificó, su hermosa boca se torció (solo entonces Pierre se dio cuenta de hasta qué punto su padre estaba cerca de la muerte), un vago sonido ronco se escuchó de la boca torcida. Anna Mikhailovna miró diligentemente a los ojos del paciente y, tratando de adivinar lo que necesitaba, señaló ahora a Pierre, ahora a beber, ahora en un susurro llamado Príncipe Vasily, ahora señaló la manta. Los ojos y el rostro del paciente mostraban impaciencia. Hizo un esfuerzo por mirar al sirviente, que estaba de pie a la cabecera de la cama sin desperdicio.
"Quieren darse la vuelta para el otro lado", susurró el sirviente, y se levantó para girar el pesado cuerpo del Conde de cara a la pared.
Pierre se levantó para ayudar al criado.
Mientras le daban la vuelta al conde, una mano retrocedió impotente y él hizo un vano esfuerzo por arrastrarla. ¿Se dio cuenta el conde de la mirada de horror con que Pierre miró esta mano sin vida, o qué otro pensamiento pasó por su moribunda cabeza en ese momento, pero miró la mano desobediente, la expresión de horror en el rostro de Pierre, de nuevo la mano, y en su rostro apareció una sonrisa débil, sufriente, que no llegaba tan lejos como a sus facciones, expresando, por así decirlo, una burla de su propia impotencia. De repente, al ver esa sonrisa, Pierre sintió un escalofrío en el pecho, un pellizco en la nariz y las lágrimas le nublaron la vista. El paciente estaba colocado de costado contra la pared. Él suspiró.
“Il est assoupi, [se quedó dormido]”, dijo Anna Mikhailovna, notando a la princesa que la reemplazaba. - Allons. [Vamos a.]
Pierre salió.