Tareas sobre el tema "Sistemas numéricos"

Ejemplos de soluciones

Tarea número 1. Cuánto personajes importantes en la notación del número decimal 357 en el sistema numérico con base 3?Decisión:Traduzcamos el número 35710 al sistema numérico ternario:Entonces, 35710 = 1110203. El número 1110203 contiene 6 dígitos significativos.Respuesta: 6.

Tarea número 2. Dado A=A715, B=2518. ¿Cuál de los números C, escritos en sistema binario, cumple la condición A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Decisión:Convirtamos los números A=A715 y B=2518 al sistema numérico binario, reemplazando cada dígito del primer número con la tétrada correspondiente, y cada dígito del segundo número con la tríada correspondiente: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Condición a

Tarea número 3. ¿Con qué dígito termina el número decimal 123 en base 6?Decisión:Traduzcamos el número 12310 al sistema numérico con base 6:12310 = 3236. Respuesta: La entrada del número 12310 en el sistema numérico con base 6 termina en el número 3.Tareas para realizar operaciones aritméticas con números representados en diferentes sistemas numéricos

Tarea número 4. Calcula la suma de los números X e Y si X=1101112, Y=1358. Expresar el resultado en forma binaria.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Decisión:Convirtamos el número Y=1358 al sistema numérico binario, reemplazando cada uno de sus dígitos con la tríada correspondiente: 001 011 1012. Realizamos la suma:Respuesta: 100101002 (opción 2).

Tarea número 5. Encuentra la media aritmética de los números 2368, 6C16 y 1110102. Exprese su respuesta en notación decimal.Decisión:Traduzcamos los números 2368, 6С16 y 1110102 al sistema numérico decimal:
Calculemos la media aritmética de los números: (158+108+58)/3 = 10810.Respuesta: la media aritmética de los números 2368, 6C16 y 1110102 es 10810.

Tarea número 6. Calcula el valor de la expresión 2068 + AF16 ? 110010102. Realiza cálculos en sistema de numeración octal. Convierte tu respuesta a decimal.Decisión:Traduzcamos todos los números al sistema numérico octal:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Sumemos los números:Convirtamos la respuesta al sistema decimal:Respuesta: 51110.

Tareas para encontrar la base del sistema numérico.

Tarea número 7. Hay árboles frutales 100q en el jardín: 33q manzano, 22q peral, 16q ciruelo y 17q cerezo. Encuentra la base del sistema numérico en el que se cuentan los árboles.Decisión:Hay 100q árboles en el jardín: 100q = 33q+22q+16q+17q.Numeremos los dígitos y presentemos estos números en forma desarrollada:
Respuesta: Los árboles se cuentan en el sistema numérico de base 9.

Tarea número 8. Encuentra la base x del sistema numérico si sabes que 2002x = 13010.Decisión:Respuesta: 4.

Tarea número 9. En un sistema numérico con alguna base, el número decimal 18 se escribe como 30. Especifique esta base.Decisión:Tomemos la base del sistema numérico desconocido como x y escribamos la siguiente ecuación:1810 = 30x;Numeramos los dígitos y escribimos estos números en forma desarrollada:Respuesta: El número decimal 18 se escribe como 30 en el sistema numérico de base 6.

La calculadora le permite convertir números enteros y fraccionarios de un sistema numérico a otro. La base del sistema numérico no puede ser menor que 2 y mayor que 36 (después de todo, 10 dígitos y 26 letras latinas). Los números no deben exceder los 30 caracteres. Para ingresar números fraccionarios, use el símbolo . o, . Para convertir un número de un sistema a otro, ingrese el número original en el primer campo, la base del sistema numérico original en el segundo y la base del sistema numérico al que desea convertir el número en el tercer campo. luego haga clic en el botón "Obtener entrada".

número original registrado en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.

Quiero obtener un registro de un número en 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ésimo sistema numérico.

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Sistemas numéricos

Los sistemas numéricos se dividen en dos tipos: posicional y no posicional. Usamos el sistema árabe, es posicional, y también está el romano, simplemente no es posicional. En los sistemas posicionales, la posición de un dígito en un número determina de manera única el valor de ese número. Esto es fácil de entender mirando el ejemplo de algún número.

Ejemplo 1. Tomemos el número 5921 en el sistema numérico decimal. Numeramos el número de derecha a izquierda comenzando desde cero:

El número 5921 se puede escribir de la siguiente forma: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . El número 10 es una característica que define el sistema numérico. Los valores de la posición del número dado se toman como grados.

Ejemplo 2. Considere el número decimal real 1234.567. Lo numeramos a partir de la posición cero del número del punto decimal a la izquierda y a la derecha:

El número 1234,567 se puede escribir de la siguiente manera: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -2 +7 10 -3 .

Conversión de números de un sistema numérico a otro

La mayoría de una manera sencilla transferir un número de un sistema numérico a otro es la traducción del número primero al sistema numérico decimal y luego, el resultado obtenido al sistema numérico requerido.

Conversión de números de cualquier sistema numérico al sistema numérico decimal

Para convertir un número de cualquier sistema numérico a decimal, basta con numerar sus dígitos, comenzando desde cero (el dígito a la izquierda del punto decimal) de manera similar a los ejemplos 1 o 2. Hallemos la suma de los productos de los dígitos del número por la base del sistema numérico elevado a la potencia de la posición de este dígito:

1. Convierta el número 1001101.1101 2 al sistema numérico decimal.
Decisión: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Responder: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convierta el número E8F.2D 16 al sistema numérico decimal.
Decisión: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Responder: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Conversión de números de un sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Para convertir números del sistema numérico decimal a otro sistema numérico, las partes enteras y fraccionarias del número deben traducirse por separado.

Convertir la parte entera de un número de un sistema numérico decimal a otro sistema numérico

La parte entera se convierte del sistema numérico decimal a otro sistema numérico dividiendo sucesivamente la parte entera del número por la base del sistema numérico hasta obtener un resto entero, que es menor que la base del sistema numérico. El resultado del traslado será un registro de los restos, comenzando por el último.

3. Convierta el número 273 10 al sistema numérico octal.
Decisión: 273 / 8 = 34 y resto 1, 34 / 8 = 4 y resto 2, 4 es menor que 8, por lo que el cálculo está completo. El registro de los remanentes se verá así: 421
Examen: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , el resultado es el mismo. Entonces la traducción es correcta.
Responder: 273 10 = 421 8

Consideremos la traducción de fracciones decimales correctas a varios sistemas numéricos.

Convertir la parte fraccionaria de un número de un sistema numérico decimal a otro sistema numérico

Recuerda que una fracción decimal propia es número real con parte entera cero. Para traducir dicho número a un sistema numérico con base N, debe multiplicar constantemente el número por N hasta que la parte fraccionaria se ponga a cero o se obtenga el número requerido de dígitos. Si durante la multiplicación se obtiene un número con una parte entera distinta de cero, entonces la parte entera no se tiene en cuenta más, ya que se ingresa secuencialmente en el resultado.

4. Convierta el número 0.125 10 al sistema numérico binario.
Decisión: 0,125 2 = 0,25 (0 es la parte entera, que será el primer dígito del resultado), 0,25 2 = 0,5 (0 es el segundo dígito del resultado), 0,5 2 = 1,0 (1 es el tercer dígito del resultado , y como la parte fraccionaria es cero , la traducción está completa).
Responder: 0.125 10 = 0.001 2

Conceptos básicos de los sistemas numéricos

El sistema numérico es un conjunto de reglas y técnicas para escribir números utilizando un conjunto de caracteres digitales. El número de dígitos necesarios para escribir un número en el sistema se llama base del sistema numérico. La base del sistema se escribe a la derecha del número en el subíndice: ; ; etc.

Hay dos tipos de sistemas numéricos:

posicional, cuando el valor de cada dígito de un número está determinado por su posición en la notación del número;

no posicional, cuando el valor de un dígito en un número no depende de su lugar en la notación del número.

Un ejemplo de sistema numérico no posicional es el romano: los números IX, IV, XV, etc. Un ejemplo de un sistema numérico posicional es el sistema decimal que se usa todos los días.

Cualquier número entero en el sistema posicional se puede escribir como un polinomio:

donde S es la base del sistema numérico;

Dígitos de un número escrito en un sistema numérico dado;

n es el número de dígitos del número.

Ejemplo. Número se escribe en forma de polinomio como sigue:

Tipos de sistemas numéricos

El sistema de numeración romana es un sistema no posicional. Utiliza letras del alfabeto latino para escribir números. En este caso, la letra I siempre significa uno, la letra V significa cinco, X significa diez, L significa cincuenta, C significa cien, D significa quinientos, M significa mil, etc. Por ejemplo, el número 264 se escribe como CCLXIV. Al escribir números en el sistema numérico romano, el valor de un número es la suma algebraica de los dígitos incluidos en él. Al mismo tiempo, los dígitos en el registro numérico siguen, por regla general, en orden descendente de sus valores, y no se permite escribir más de tres mismos dígitos. En el caso de que un dígito con un valor mayor sea seguido por un dígito con un valor menor, su contribución al valor del número como un todo es negativa. Ejemplos típicos que ilustran reglas generales Los registros de números en el sistema numérico romano se dan en la tabla.

Tabla 2. Escritura de números en el sistema de numeración romana

La desventaja del sistema romano es la falta de reglas formales para escribir números y, en consecuencia, operaciones aritméticas con números de varios dígitos. Debido a la incomodidad y gran complejidad, el sistema de numeración romana se utiliza actualmente donde es realmente conveniente: en la literatura (numeración de capítulos), en el papeleo (una serie de pasaportes, valores, etc.), con fines decorativos en la esfera del reloj y en una serie de otros casos.

El sistema numérico decimal es actualmente el más conocido y utilizado. La invención del sistema numérico decimal es uno de los principales logros del pensamiento humano. Sin ella, la tecnología moderna difícilmente podría existir, y mucho menos surgir. La razón por la que el sistema numérico decimal se ha vuelto generalmente aceptado no es matemática en absoluto. Las personas están acostumbradas a contar en notación decimal porque tienen 10 dedos en sus manos.

La imagen antigua de los dígitos decimales (Fig. 1) no es accidental: cada dígito denota un número por el número de ángulos en él. Por ejemplo, 0 - sin esquinas, 1 - una esquina, 2 - dos esquinas, etc. La ortografía de los dígitos decimales ha sufrido cambios significativos. La forma que usamos se estableció en el siglo XVI.

El sistema decimal apareció por primera vez en India alrededor del siglo VI d.C. La numeración india usaba nueve caracteres numéricos y un cero para indicar una posición vacía. En los primeros manuscritos indios que nos han llegado, los números se escribían en orden inverso: la cifra más significativa se colocaba a la derecha. Pero pronto se convirtió en regla colocar tal figura en el lado izquierdo. Se le dio especial importancia al símbolo nulo, que se introdujo para la notación posicional. La numeración india, incluido el cero, se ha reducido a nuestro tiempo. En Europa, los métodos hindúes de aritmética decimal se generalizaron a principios del siglo XIII. gracias al trabajo del matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci). europeos prestados sistema indio contando entre los árabes, llamándolo árabe. Este nombre históricamente incorrecto se conserva hasta el día de hoy.

El sistema decimal utiliza diez dígitos - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, así como los símbolos "+" y "-" para indicar el signo del número y una coma o período para separar los números de partes enteros y fraccionarios.

Las computadoras usan un sistema de números binarios, su base es el número 2. Para escribir números en este sistema, solo se usan dos dígitos: 0 y 1. Contrariamente a un concepto erróneo común, el sistema de números binarios no fue inventado por ingenieros de diseño de computadoras, pero por matemáticos y filósofos mucho antes del advenimiento de las computadoras, allá por los siglos XVII y XIX. La primera discusión publicada sobre el sistema numérico binario es del sacerdote español Juan Caramuel Lobkowitz (1670). La atención general sobre este sistema fue atraída por el artículo del matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, publicado en 1703. Explicaba las operaciones binarias de suma, resta, multiplicación y división. Leibniz no recomendó usar este sistema para cálculos prácticos, pero enfatizó su importancia para la investigación teórica. Con el tiempo, el sistema numérico binario se vuelve muy conocido y se desarrolla.

La elección de un sistema binario para su uso en tecnología informática se explica por el hecho de que los elementos electrónicos, los disparadores que componen los microcircuitos informáticos, solo pueden estar en dos estados de funcionamiento.

Con la ayuda de un sistema de codificación binaria, se pueden registrar todos los datos y conocimientos. Esto es fácil de entender si recuerda el principio de codificación y transmisión de información utilizando el código Morse. Un operador de telégrafo, utilizando solo dos caracteres de este alfabeto, puntos y rayas, puede transmitir casi cualquier texto.

El sistema binario es conveniente para una computadora, pero inconveniente para una persona: los números son largos y difíciles de escribir y recordar. Por supuesto, puede convertir el número al sistema decimal y escribirlo de esta forma, y ​​luego, cuando necesite volver a traducirlo, pero todas estas traducciones requieren mucho tiempo. Por lo tanto, se utilizan sistemas numéricos que están relacionados con el binario: octal y hexadecimal. Para escribir números en estos sistemas se requieren 8 y 16 dígitos, respectivamente. En hexadecimal, los primeros 10 dígitos son comunes y luego se usan letras latinas mayúsculas. El dígito hexadecimal A corresponde al decimal 10, el hexadecimal B al decimal 11, etc.. El uso de estos sistemas se explica porque la transición a escribir un número en cualquiera de estos sistemas desde su notación binaria es muy sencilla. A continuación se muestra una tabla de correspondencia entre números escritos en diferentes sistemas.

Tabla 3. Correspondencia de números escritos en diferentes sistemas numéricos

Reglas para convertir números de un sistema numérico a otro

Convertir números de un sistema numérico a otro es una parte importante de la aritmética mecánica. Considere las reglas básicas de traducción.

1. Para traducción número binario en decimal, es necesario escribirlo como un polinomio, formado por los productos de los dígitos del número y la correspondiente potencia del número 2, y calcular según las reglas de la aritmética decimal:

A la hora de traducir, es conveniente utilizar la tabla de potencias de dos:

Tabla 4. Potencias de 2

Ejemplo. Convierte el número al sistema numérico decimal.

2. Para traducir un número octal a decimal, es necesario escribirlo como un polinomio formado por los productos de los dígitos del número y la correspondiente potencia del número 8, y calcular según las reglas de la aritmética decimal:

A la hora de traducir, es conveniente utilizar la tabla de potencias de ocho:

Tabla 5. Potencias de 8

Sistema numérico (sistema de numeración inglés o sistema de numeración): un método simbólico para escribir números, representando números usando caracteres escritos

¿Cuál es la base y la base del sistema numérico?

Definición: La base del sistema numérico. es el número de caracteres o símbolos diferentes que
se utilizan para representar dígitos en este sistema.
Cualquier número natural se toma como base: 2, 3, 4, 16, etc. Es decir, hay un infinito.
muchos sistemas posicionales. Por ejemplo, para el sistema decimal, la base es 10.

Determinar la base es muy fácil, solo necesita volver a calcular la cantidad de dígitos significativos en el sistema. En pocas palabras, este es el número a partir del cual comienza el segundo dígito del número. Por ejemplo, usamos los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Hay exactamente 10 de ellos, por lo que la base de nuestro sistema numérico también es 10, y el sistema numérico es llamado "decimal". El ejemplo anterior utiliza los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (los auxiliares 10, 100, 1000, 10000, etc. no cuentan). También hay 10 dígitos principales y el sistema numérico es decimal.

base del sistema es la secuencia de dígitos utilizada para escribir . En ningún sistema existe un dígito igual a la base del sistema.

Como puede adivinar, cuántos números hay, puede haber tantas bases de sistemas numéricos. Pero solo se utilizan las bases más convenientes de los sistemas numéricos. ¿Por qué crees que la base del sistema numérico humano más común es 10? Sí, precisamente porque tenemos 10 dedos en nuestras manos. “Pero solo hay cinco dedos en una mano”, dirán algunos, y tendrán razón. La historia de la humanidad conoce ejemplos de sistemas numéricos quíntuples. "Y con piernas, veinte dedos", dirán otros, y también tendrán toda la razón. Eso es lo que pensaban los mayas. Incluso puedes verlo en sus números.

Sistema de números decimales

Todos estamos acostumbrados a usar números y números que nos son familiares desde la infancia al contar. Uno, dos, tres, cuatro, etc. En nuestro sistema numérico cotidiano, solo hay diez dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), a partir de los cuales formamos cualquier número. Habiendo llegado a diez, agregamos uno al dígito a la izquierda y nuevamente comenzamos a contar desde cero en el dígito más a la derecha. Este sistema numérico se llama decimal.

No es difícil adivinar que nuestros antepasados ​​lo eligieron porque el número de dedos en ambas manos es diez. Pero, ¿qué otros sistemas numéricos existen? ¿Se utilizó siempre el sistema decimal o había otros?

La historia de la aparición de los sistemas numéricos.

Antes de la invención del cero, los números se escribían usando signos especiales. Cada nación tenía la suya. EN antigua roma, por ejemplo, dominaba un sistema numérico no posicional.

Un sistema numérico se llama no posicional si el valor de un dígito no depende del lugar que ocupa. Se consideró que los sistemas numéricos más avanzados eran los sistemas numéricos utilizados en Rusia y la antigua Grecia.

En ellos números grandes indicado por letras, pero con la adición de iconos adicionales (1 - a, 100 - i, etc.). Otro sistema numérico no posicional era el que se usaba en la antigua Babilonia. En su sistema, los habitantes de Babilonia usaron un registro de “dos pisos” y solo tres signos: uno en el sistema numérico babilónico para uno, diez en el sistema numérico babilónico para diez y cero en el sistema numérico babilónico para cero.

Sistemas de numeración posicional

Los sistemas posicionales se han convertido en un paso adelante. Ahora, el decimal ha ganado en todas partes, pero hay otros sistemas que se usan a menudo en las ciencias aplicadas. Un ejemplo de tal sistema numérico es el sistema numérico binario.
Sistema numérico binario

Es en él donde se comunican las computadoras y todos los dispositivos electrónicos de su hogar. En este sistema numérico, solo se usan dos dígitos: 0 y 1. Usted pregunta, ¿por qué no fue posible enseñarle a una computadora a contar hasta diez, como una persona? La respuesta está en la superficie.

Es fácil enseñar a una máquina a distinguir entre dos caracteres: encendido significa 1, apagado significa 0; hay una corriente - 1, no hay corriente - 0. Hubo intentos de hacer máquinas que pudieran distinguir una mayor cantidad de dígitos. Pero todos resultaron ser poco confiables, las computadoras siempre confundidas: o 1 vino a ellos o 2.

Estamos rodeados de muchos sistemas numéricos diferentes. Cada uno de ellos es útil en su propia área. Y la respuesta a la pregunta de cuál y cuándo usar permanece con nosotros.

Notación es un método para escribir un número utilizando un conjunto específico de caracteres especiales (números).

Notación:

• da una representación de un conjunto de números (enteros y/o reales);

• da a cada número una representación única (o al menos una representación estándar);

• muestra la estructura algebraica y aritmética de un número.

Escribir un número en algún sistema numérico se llama código numérico.

Una sola posición en la visualización de un número se llama descarga, por lo que el número de posición es número de rango.

El número de cifras de un número se llama profundidad de bits y coincide con su longitud.

Los sistemas numéricos se dividen en posicional y no posicional. Los sistemas de números posicionales se dividen

sobre el homogéneo y mezclado.

sistema numérico octal, sistema numérico hexadecimal y otros sistemas numéricos.

Traducción de sistemas numéricos. Los números se pueden convertir de un sistema numérico a otro.

Tabla de correspondencia de números en varios sistemas numéricos.