11-ga jagamise omadus. Jaguvuse põhimärgid

See materjal on pühendatud sellisele kontseptsioonile nagu 2-ga jaguvuse test. Esimeses lõigus sõnastame selle ja toome näiteid - ülesandeid, milles peate välja selgitama, kas konkreetne arv jagub 2-ga. Seejärel tõestame seda kriteeriumi ja selgitame, millised muud meetodid on olemas avaldiste väärtusena antud arvu jaguvuse kahega määramiseks.

2-ga jaguvuse testi sõnastus ja näited

Et paremini mõista, mis on jaguvuse märgid, tuleb üle vaadata täisarvude jaguvusega seotud teema. Põhikontseptsiooni määratlus näeb välja järgmine:

Definitsioon 1

Täisarvu, mis lõpeb numbritega 8, 6, 4, 2 ja 0, saab jagada 2-ga ilma jääki jätmata. Kui arvu lõpus on arv 9, 7, 5, 3 või 1, siis selline arv ei jagu 2-ga.

Seda funktsiooni kasutades saate tuvastada mitte ainult positiivse (loodusliku) terviku, vaid ka terviku jaotatavuse negatiivne arv, kuna neid saab jagada ka 2-ga ilma jäägita.

Toome mõned näited sisselogimisprobleemide kasutamisest.

Näide 1

Seisukord: määrake, milliseid arvudest 8, − 946, 53, 10 900, − 988 123 761 saab jagada kahega.

Lahendus

Muidugi võime kõik need arvud lihtsalt veergu jagada kahega ja kontrollida, kas lõpus on jääk või mitte. Kuid teades kahega jagamise testi, saate selle ülesande palju kiiremini lahendada.

Loetletud numbritest kolmel, nimelt 8, - 946 ja 10 900, on lõpus numbrid 8, 6 ja 0, mis tähendab, et nende jagamine 2-ga on võimalik.

Ülejäänud arvud (53 ja −988 123 761) lõpevad 3 ja 1-ga, mis tähendab, et need ei jagu kahega.

Vastus: 8, − 946 ja 10 900 saab jagada kahega, kuid kõiki teisi antud numbreid mitte.

Seda funktsiooni kasutatakse laialdaselt probleemide korral, kus peate algteguriteks arvestama arvu. Lahendame ühe sellise näite.

Näide 2

Seisukord: faktori 352 algteguriteks.

Lahendus

Kuna algarvu viimane koht on 2, siis vastavalt jaguvuskriteeriumile saame selle ilma jäägita jagada kahega. Teeme nii: 352: 2 = 176 ja 352 = 2 176. Saadud arv 176 jagatakse samuti kahega: 176: 2 = 88 ja 176 = 2 88. Selle arvu saab ka jagada: 88: 2 = 44, 88 = 2 44 ja 352 = 2 2 88 = 2 2 2 44. Jätkame laiendamist: 44: 2 = 22 ja 44 = 2 22, seega 352 = 2 2 2 44 = 2 2 2 2 22; siis 22: 2 = 11, kust 22 = 2 11 ja 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Lõpuks jõuame arvuni, mis ei jagu 2-ga. Algarvude tabel ütleb meile, et see arv on algarv, mis tähendab, et faktoriseerimine lõpeb sellega.

Vastus: 352 = 2 2 2 2 2 11.

Arvude jagamine paaristeks ja paarituteks põhineb just sellel, kas need jaguvad 2-ga või mitte. Teades seda jaguvusmärki, võime öelda, et kõik paarisarvud lõpevad arvuga 0, 2, 4, 6 või 8 ning kõik paaritud arvud 1, 3, 5, 7 või 9-ga.

Kuidas tõestada 2-ga jaguvuse testi?

Enne otse selle funktsiooni tõestuse juurde liikumist peame tõestama täiendava väite. See on sõnastatud järgmiselt:

2. definitsioon

Kõik nulliga lõppevad naturaalarvud saab jagada kahega jääki jätmata.

Kasutades naturaalarvu korrutamise reeglit 10-ga, saame teatud arvu a esitada kujul a = a 1 · 10. Number a 1, saadakse omakorda a-st, kui eemaldame sellest viimase numbri.

Toome näiteid sellise tegevuse kohta: 470 = 47 · 10, kus a = 470 ja a 1 = 47; või 38 010 · 10, siin a = 380 100 ja a 1 = 38 010. Selle toote teise teguri (10) saab jagada 2-ga, mis tähendab, et kogu toote saab jagada 2-ga. See väide põhineb vastaval jaguvuse omadusel.

Jätkame 2-ga jaguvuse testi tõestamisega. Mugavamaks muutmiseks esitame selle teoreemina, s.t. kui vajalik ja piisav tingimus täisarvu jagumiseks kahega.

1. teoreem

Täisarvu a jagamiseks kahega on vajalik ja piisav tingimus viimase numbri 0, 2, 4, 6 või 8 olemasolu.

Tõendid 1

Kuidas seda väidet tõestada? Alustuseks kujutleme esialgset arvu a kümnete ja ühikute summana, s.o. kirjutame selle a = a 1 · 10 + a 0 . Siin on 1 arv, mis saadakse a-st, eemaldades viimase numbri, ja 0 vastab antud arvu viimasele numbrile (sellise esituse näited võivad olla ka avaldised 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10 + 8). Töö a 110, mis on võetud võrrandist a = a 1 10 + a 0, jagatakse alati kahega, nagu näitab see teoreem.

Ülejäänud tõestus põhineb teatud jaguvuse omadusel, nimelt: kui meil on kolm arvu, mis moodustavad võrduse t = u + v ja kaks neist jaguvad täisarvuga z, siis saab ka kolmanda arvu jagada z.

Kui a saab jagada kahega, siis vastavalt sellele omadusele, nagu ka esitusele a = a 1 10 + a 0, jagub arv a 0 kahega ja see on võimalik ainult siis, kui a 0 = 0, 2 , 4, 6 või 8 .

Ja kui a ei jagu 2-ga, siis sama omaduse põhjal arv a 0 ei jagu ka 2-ga, mis on võimalik ainult siis, kui 0 = 1, 3, 5, 7 või 9. See on tõend selle vajalikkusest.

Vaatame nüüd vastupidist olukorda. Kui meil on arv a, mille viimane number on 0, 2, 4, 6 või 8, siis a 0 jagatuna 2 . Määratud jagatavusomadus ja esitus a = a 1 10 + a 0 Võimaldab meil järeldada, et a jagub arvuga 2 . Kui a viimane number on 1, 3, 5, 7 või 9, siis 0 ei jagu arvuga 2 , mis tähendab, et a ei jagu ka arvuga 2 , vastasel juhul jagataks esitus ise a = a 1 10 + a 0 arvuga 2 , mis on võimatu. Tingimuse piisavus on tõestatud.

Lõpuks märgime, et numbrid, mille viimane number on 1, 3, 5, 7 või 9, jagamisel kahega jätavad alati ühe jäägi.

Võtame juhtumi, kus antud arv lõpeb ühega neist numbritest. Siis saame esitada a kui a = b + 1, kus b on 0, 2, 4, 6 või 8 viimase numbrina. Jaguvustesti tõttu 2 arvu b saab jagada 2 , mis tähendab, et jaguvuse definitsiooni järgi võib seda esitada ka kujul b = 2 · q, kus q on mingi täisarv. Saime, et a = 2 q + 1. See esitus näitab meile, et arvu jagamisel arvuga 2 tulemuseks on mittetäielik jagatis q ja jääk 1 (vajadusel lugege uuesti artiklit täisarvude jäägiga jagamisest).

Teised 2-ga jaguvuse määramise juhtumid

Selles osas analüüsime neid juhtumeid, kui arv, mille jaguvust 2-ga on vaja määrata, ei ole otseselt antud, vaid selle määrab mingi sõnasõnalise avaldise väärtus. Siin ei saa me ülaltoodud funktsiooni kasutada ja seda avaldist ei saa ka otse 2-ga jagada. See tähendab, et peame leidma mõne muu lahenduse.

Selliste ülesannete lahendamiseks on lähenemisviis, mis põhineb järgmisel jaguvuse omadusel: täisarvude korrutist saab jagada teatud arvuga, kui vähemalt üks teguritest jagub sellega. Seega, kui suudame sõnasõnalise avaldise teisendada üksikute tegurite korrutiseks, millest üks jagub kahega, siis on võimalik tõestada, et algne avaldis jagub 2-ga.

Antud avaldise teisendamiseks saame kasutada Newtoni binoomvalemit. Vaatame seda probleemi.

Näide 3

Seisukord: määrake, kas avaldise 3 n + 4 n - 1 väärtust saab mõne naturaalarvu n korral jagada 2-ga.

Lahendus

Kõigepealt kirjutame üles ilmselge võrdus 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Nüüd võtame Newtoni binoomvalemi, rakendame seda ja lihtsustame seda, mida saime:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n · 2 + 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + n · 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Viimases võrdsuses võtame sulgudest kaks välja ja saame järgmise võrdsuse:

3 n + 4 n - 1 = 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

Selles võrdsuses saate n mis tahes loomuliku väärtuse korral jagada parema külje kahega, kuna tegur on 2. Kuna avaldiste vahel on võrdusmärk, saab 2-ga jagamise teha ka vasaku poole jaoks.

Vastus: selle avaldise saab jagada 2-ga.

Üsna sageli saab jagatavust tõestada matemaatilise induktsiooni meetodil. Võtame sama väljendi nagu ülaltoodud näites ja näitame, kuidas seda meetodit praktikas rakendada.

Näide 4

Seisukord: uuri, kas avaldis 3 n + 4 n - 1 jagub 2-ga n mis tahes loomuliku väärtuse korral.

Lahendus

Kasutame matemaatilist induktsiooni. Esiteks tõestame, et avaldise 3 n + 4 n - 1 väärtust, mille n on võrdne ühega, saab jagada 2-ga. Saame 3 1 + 4 · 1 - 1 = 6, kuus jagub kahega ilma jäägita. Lase käia. Võtame n võrdseks k-ga ja teeme eelduse, et 3 k + 4 k - 1 jagub kahega.

Seda eeldust kasutades tõestame, et 3 n + 4 n - 1 saab jagada 2-ga, kui see on võimalik 3 k + 4 k - 1 korral. Selle tõestamiseks peame läbi viima mitmeid teisendusi.

3 3 k + 4 k - 1 jagatakse kahega, kuna see on võimalik 3 k + 4 k - 1 korral, võib avaldise 2 4 k - 3 jagada ka 2-ga, kuna selle tegur on 2, mis tähendab nende kahe avaldise erinevus jagub samuti 2-ga, mis on seletatav vastava jaguvusomadusega.

Vastus: avaldis 3 n + 4 n - 1 jagub 2-ga mis tahes naturaalarvu n korral.

Eraldi peatume juhtumil, kui korrutis on naturaalses arvude jadas kõrvuti kaks arvu. Selline toode on samuti jagatud kaheks.

Näide 5

Näiteks avaldis kujul (n + 7) · (n − 1) · (n + 2) · (n + 6) jagub 2-ga iga n-i loomuliku väärtuse korral, kuna see sisaldab üksteisele järgnevaid numbreid loomulikus reas - need on n + 6 ja n + 7.

Samamoodi, kui on kaks tegurit, mille vahel on paarisarv naturaalse rea liikmeid, saab korrutise jagada 2-ga. Seega jagatakse väärtus (n + 1) · (n + 6) iga loomuliku n korral kahega, kuna n + 5 ja n + 6 vahel on paarisarv arve: n + 2, n + 3, n + 4 ja n+5.

Kombineerime kõik, millest eelmistes lõikudes rääkisime. Kui saab näidata, et avaldise väärtus jagub kahega, kui n = 2 m ja ka millal n = 2 m + 1 ja suvaline täisarv m, siis on see tõend algse avaldise jaguvuse kohta 2-ga n mis tahes täisarvu väärtuste korral.

Näide 6

Seisukord: saate teada, kas avaldis jagub 2-ga n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 n mis tahes loodusväärtuste jaoks.

Lahendus

Esmalt esitame selle avaldise korrutisena (n + 2) 2 · (n + 3) . Vajadusel vaadake üle, kuidas polünoomi õigesti faktoristada. Meil on kaks kordajat n+2 Ja n+3, mis vastavad numbritele, lähedal seismas loomulikus sarjas. Üks neist jagub igal juhul 2-ga, mis tähendab, et kogu korrutis jagub ka 2-ga. Sama kehtib ka algse väljendi kohta.

Sellele probleemile on veel üks lahendus. Kui n = 2 m, siis n + 2 2 · n + 3 = 2 m + 2 2 · 2 m + 2 2 = 4 · m + 1 2 · 2 m + 3 . Siin on tegur, mis on võrdne neljaga, mille tõttu jagatakse kogu toode 2-ga.

Kui n = 2 m + 1, See

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Siin on tegur 2, mis tähendab, et kogu korrutis jagub 2-ga.

Vastus: see on tõestus, et väljend n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) saab jagada kahega n mis tahes loodusliku väärtuse jaoks.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Hakkame kaaluma teemat “Jaguvuse test 3-ga”. Alustame märgi formuleerimisega ja anname teoreemi tõestuse. Seejärel käsitleme peamisi lähenemisviise arvude 3-ga jaguvuse määramiseks, mille väärtuse annab mõni avaldis. Jaotises analüüsitakse peamiste probleemide tüüpide lahendust 3-ga jaguvuse testi kasutamise põhjal.

3-ga jaguvuse katse, näited

3-ga jaguvuse test on sõnastatud lihtsalt: täisarv jagub 3-ga ilma jäägita, kui selle numbrite summa jagub 3-ga. Kui kõigi täisarvu moodustavate numbrite koguväärtus ei jagu 3-ga, siis algarv ise ei jagu 3-ga. Täisarvu kõigi numbrite summa saate naturaalarvude liitmisel.

Vaatame nüüd näiteid 3-ga jaguvuse testi kasutamisest.

Näide 1

Kas arv 42 jagub 3-ga?

Lahendus

Sellele küsimusele vastamiseks liidame kokku kõik arvud, mis moodustavad arvu - 42: 4 + 2 = 6.

Vastus: Jaguvustesti järgi, kuna algarvus sisalduvate numbrite summa jagub kolmega, siis algarv ise jagub 3-ga.

Selleks, et vastata küsimusele, kas arv 0 jagub 3-ga, vajame jaguvuse omadust, mille järgi null jagub mis tahes täisarvuga. Selgub, et null jagub kolmega.

On ülesandeid, mille puhul on vaja 3-ga jaguvuse testi mitu korda kasutada.

Näide 2

Näidake seda numbrit 907 444 812 jagub 3-ga.

Lahendus

Leiame kõigi esialgse numbri moodustavate numbrite summa: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Nüüd peame kindlaks tegema, kas arv 39 jagub 3-ga. Veelkord liidame selle numbri moodustavad numbrid: 3 + 9 = 12 . Lõpliku vastuse saamiseks peame lihtsalt numbrid uuesti lisama: 1 + 2 = 3 . Arv 3 jagub 3-ga

Vastus: algne number 907 444 812 jagub ka 3-ga.

Näide 3

Kas arv jagub 3-ga? − 543 205 ?

Lahendus

Arvutame esialgse numbri moodustavate numbrite summa: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Nüüd arvutame saadud arvu numbrite summa: 1 + 9 = 10 . Lõpliku vastuse saamiseks leiame veel ühe lisamise tulemuse: 1 + 0 = 1 .
Vastus: 1 ei jagu 3-ga, mis tähendab, et algne arv ei jagu 3-ga.

Et teha kindlaks, kas antud arv jagub 3-ga ilma jäägita, saame antud arvu jagada 3-ga. Kui jagate arvu − 543 205 ülalpool käsitletud näitest veeruga kolm, siis me vastuses täisarvu ei saa. See tähendab ka seda − 543 205 ei saa jagada 3-ga ilma jäägita.

3-ga jaguvuse testi tõestus

Siin vajame järgmisi oskusi: arvu jagamine numbriteks ja 10-ga, 100-ga korrutamise reegel jne. Tõestuse läbiviimiseks peame saama vormi numbri a esituse , Kus a n , a n - 1 , … , a 0- need on numbrid, mis paiknevad arvu tähistuses vasakult paremale.

Siin on näide konkreetse numbri kasutamisest: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Kirjutame üles rea võrdusi: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 jne.

Nüüd asendame need võrdsused 10, 100 ja 1000 asemel varem antud võrdustega a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Nii jõudsime võrdsuseni:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Nüüd rakendame naturaalarvude liitmise ja korrutamise omadusi, et kirjutada saadud võrdus järgmiselt:

a = a n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n +. . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Avaldis a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 on algarvu a numbrite summa. Tutvustame selle jaoks uut lühikest tähistust A. Saame: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

Sel juhul on arvu esitus a = 3 33. . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A võtab vormi, mida on meile mugav kasutada 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks.

Definitsioon 1

Tuletage nüüd meelde järgmisi jaguvuse omadusi:

• vajalik ja piisav tingimus, et täisarv a oleks jagatav täisarvuga
  ​​​ b , on tingimus, mille kohaselt arvu a moodul jagatakse arvu b mooduliga;
• kui võrdsuses a = s + t kõik liikmed peale ühe jaguvad mingi täisarvuga b, siis jagub ka see üks liige b-ga.

Oleme loonud aluse 3-ga jaguvuse testi tõestamiseks. Nüüd sõnastame selle tunnuse teoreemi kujul ja tõestame seda.

1. teoreem

Selleks, et väita, et täisarv a jagub 3-ga, on meie jaoks vajalik ja piisav, et arvu a märgistust moodustavate numbrite summa jagub 3-ga.

Tõendid 1

Kui me võtame väärtuse a = 0, siis on teoreem ilmne.

Kui võtame arvu a, mis erineb nullist, siis on arvu a moodul naturaalarv. See võimaldab meil kirjutada järgmise võrdsuse:

a = 3 · 33 . . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , kus A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - arvu a numbrite summa.

Kuna täisarvude summa ja korrutis on täisarv, siis
33. . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 on täisarv, siis jaguvuse definitsiooni järgi on korrutis 3 · 33. . . 3 a n +. . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 jagub arvuga 3 iga a 0, a 1, …, a n.

Kui arvu numbrite summa a jagatuna 3 , see on, A jagatuna 3 , siis enne teoreemi näidatud jaguvusomaduse tõttu jagatakse a arvuga 3 , seega, a jagatuna 3 . Seega on piisavus tõestatud.

Kui a jagatuna 3 , siis a jagub samuti arvuga 3 , siis sama jaguvuse omaduse tõttu arv
A jagatuna 3 , see tähendab arvu numbrite summa a jagatuna 3 . Vajadus on tõestatud.

Muud arvuga jagamise juhtumid 3

Täisarvu saab määrata mõne muutujat sisaldava avaldise väärtusena, kui on antud muutuja teatud väärtus. Seega mõne naturaalarvu n puhul on avaldise 4 n + 3 n - 1 väärtus naturaalarv. Sel juhul otsene jagamine 3 ei saa anda vastust küsimusele, kas arv jagub arvuga 3 . Jaguvustesti rakendamine jaoks 3 võib ka raske olla. Vaatame selliste probleemide näiteid ja nende lahendamise meetodeid.

Selliste probleemide lahendamiseks saab kasutada mitmeid lähenemisviise. Neist ühe olemus on järgmine:

• esitleme algset väljendit mitme teguri korrutisena;
• uurige, kas vähemalt ühte teguritest saab jagada 3 ;
• Jaguvuse omaduse põhjal järeldame, et kogu korrutis on jagatav 3 .

Tihti tuleb lahendamisel kasutada Newtoni binoomvalemit.

Näide 4

Kas avaldise 4 n + 3 n - 1 väärtus jagub arvuga 3 mis tahes loomuliku all n?

Lahendus

Kirjutame üles võrrandi 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Rakendame Newtoni binoomvalemit:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + ... + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Nüüd võtame selle välja 3 väljaspool sulgusid: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Saadud korrutis sisaldab kordajat 3 , ja loomuliku n sulgudes olev avaldise väärtus tähistab naturaalarvu. See võimaldab meil väita, et saadud korrutis ja algne avaldis 4 n + 3 n - 1 jagatakse 3 .

Vastus: Jah.

Võime kasutada ka matemaatilise induktsiooni meetodit.

Näide 5

Tõesta matemaatilise induktsiooni meetodil, et mis tahes naturaalarvu puhul
n avaldise n n 2 + 5 väärtus jagatakse 3 .

Lahendus

Leiame avaldise väärtuse n n 2 + 5 mil n = 1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 jagub arvuga 3 .

Oletame nüüd, et avaldise väärtus n n 2 + 5 at n = k jagatuna 3 . Tegelikult peame töötama avaldisega k k 2 + 5, mis eeldatavasti on jagatav 3 .

Arvestades, et k k 2 + 5 jagub arvuga 3 , näitame, et avaldise väärtus n · n 2 + 5 at n = k + 1 jagatuna 3 , st näitame, et k + 1 k + 1 2 + 5 jagub arvuga 3 .

Teeme teisendusi:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

Avaldis k · (k 2 + 5) jagatakse arvuga 3 ja avaldis 3 k 2 + k + 2 jagatakse 3 , seega jagatakse nende summa arvuga 3 .

Seega tõestasime, et avaldise n · (n 2 + 5) väärtus jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.

Vaatame nüüd lähenemist jagatavuse tõestamisele 3 , mis põhineb järgmisel toimingute algoritmil:

• näitame, et selle avaldise väärtus muutujaga n, kui n = 3 m, n = 3 m + 1 ja n = 3 m + 2, Kus m– suvaline täisarv, jagub arvuga 3 ;
• järeldame, et avaldis jagub arvuga 3 mis tahes täisarvu n korral.

Et mitte juhtida tähelepanu väiksematelt detailidelt, rakendame seda algoritmi eelmise näite lahendusele.

Näide 6

Näidake, et n · (n 2 + 5) jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.

Lahendus

Teeskleme seda n = 3 m. Siis: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Saadud toode sisaldab kordajat 3 , seetõttu on toode ise jagatud 3 .

Teeskleme seda n = 3 m + 1. Seejärel:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 ​​m 2 + 2 m + 2)

Saadud toode on jagatud 3 .

Oletame, et n = 3 m + 2. Seejärel:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

See töö jaguneb ka 3 .

Vastus: Seega tõestasime, et avaldis n n 2 + 5 jagub arvuga 3 mis tahes naturaalarvu n korral.

Näide 7

Kas see on jagatav 3 avaldise 10 3 n + 10 2 n + 1 väärtus mõne naturaalarvu n korral.

Lahendus

Teeskleme seda n = 1. Saame:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Teeskleme seda n = 2. Saame:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Seega võime järeldada, et iga loomuliku n korral saame arvud, mis jaguvad 3-ga. See tähendab, et 10 3 n + 10 2 n + 1 mis tahes naturaalarvu n korral jagub 3-ga.

Vastus: Jah

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

JAGUNEMISE MÄRGID arvud - kõige lihtsamad kriteeriumid (reeglid), mis võimaldavad otsustada mõne naturaalarvu jaguvuse (ilma jäägita) üle teistega. Lahendades arvude jaguvuse küsimust, taanduvad jaguvusmärgid tehteteks väikeste arvudega, mida tehakse tavaliselt meeles.
Kuna üldtunnustatud arvusüsteemi alus on 10, on kõige lihtsamad ja levinumad jaguvuse märgid kolme tüüpi arvude jagajatega: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Esimene tüüp on jaguvuse märgid arvu 10 k jagajatega; iga täisarvu N jagamiseks arvu 10 k mis tahes täisarvu jagajaga q on vajalik ja piisav, et viimane k-kohaline tahk (k-kohaline lõpp ) arvust N jagub q-ga. Eelkõige (k = 1, 2 ja 3 korral) saame järgmised jaguvuse märgid arvude 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) ja 10 3 = 1000 (I 3) jagajatega. ):
ma 1. 2, 5 ja 10 -ga - numbri ühekohaline lõpp (viimane number) peab jaguma vastavalt 2, 5 ja 10. Näiteks arv 80 110 jagub 2, 5 ja 10-ga, kuna viimane selle arvu number 0 jagub 2, 5 ja 10-ga; arv 37 835 jagub 5-ga, kuid ei jagu 2 ja 10-ga, kuna selle arvu viimane number 5 jagub 5-ga, kuid ei jagu 2 ja 10-ga.

ma 2. Arvu kahekohaline lõpp peab jaguma arvudega 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ja 100 numbritega 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ja 100. Näiteks arv 7 840 700 jagub 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ja 100-ga, kuna selle arvu kahekohaline lõpp 00 jagub 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 ja 100-ga; arv 10 831 750 jagub 2, 5, 10, 25 ja 50-ga, kuid ei jagu 4, 20 ja 100-ga, kuna selle arvu kahekohaline lõpp 50 jagub 2, 5, 10, 25 ja 50-ga, kuid ei jagu 4, 20 ja 100-ga.

ma 3. Arvudega 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 ja 1000 - numbri kolmekohaline lõpp tuleb jagada 2,4,5,8-ga ,10, 20, vastavalt 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 ja 1000. Näiteks arv 675 081 000 jagub kõigi selles märgis loetletud arvudega, kuna kolmekohaline lõpp 000 antud arv jagub igaühega neist; arv 51 184 032 jagub 2, 4 ja 8-ga ning ei jagu ülejäänutega, kuna antud arvu kolmekohaline lõpp 032 jagub ainult 2, 4 ja 8-ga ning ei jagu ülejäänutega.

Teine tüüp on jaguvuse märgid arvu 10 k - 1 jagajatega: mis tahes täisarvu N jagamiseks arvu 10 k - 1 mis tahes täisarvu jagajaga q on vajalik ja piisav, et k-kohalise numbri summa arvu N tahud jaguvad q-ga. Eelkõige (k = 1, 2 ja 3 korral) saame järgmised jaguvuse märgid arvude 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) ja 10 3 - 1 jagajatega. = 999 (II 3):
II 1. 3 ja 9 -ga - numbri numbrite (ühekohaliste tahkude) summa peab jaguma vastavalt 3 ja 9. Näiteks arv 510 887 250 jagub 3 ja 9-ga, kuna numbrite summa on 5 +1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (ja 3+6=9) sellest arvust jagub 3 ja 9-ga; arv 4 712 586 jagub 3-ga, kuid mitte 9-ga, kuna selle arvu numbrite summa 4+7+1+2+5+8+6=33 (ja 3+3=6) jagub 3-ga , kuid ei jagu 9-ga.

II 2. 3, 9, 11, 33 ja 99 -ga - numbri kahekohaliste tahkude summa peab jaguma vastavalt numbritega 3, 9, 11, 33 ja 99. Näiteks arv 396 198 297 jagub arvuga 3, 9 , 11, 33 ja 99, kuna kahekohaliste tahkude summa 3+96+19+ +82+97=297 (ja 2+97=99) jaguneb 3, 9,11, 33 ja 99; arv 7 265 286 303 jagub 3, 11 ja 33-ga, kuid ei jagu 9 ja 99-ga, kuna kahekohaliste tahkude summa 72+65+28+63+03=231 (ja 2+31=33 ) jagub 3, 11 ja 33-ga ning ei jagu 9 ja 99-ga.

II 3. Arvudega 3, 9, 27, 37, 111, 333 ja 999 – numbri kolmekohaliste külgede summa peab jaguma vastavalt numbritega 3, 9, 27, 37, 111, 333 ja 999. Näiteks arv 354 645 871 128 jagub kõigi selles numbrimärgis loetletutega, kuna selle arvu kolmekohaliste tahkude 354 + 645 + +871 + 128 = 1998 (ja 1 + 998 = 999) summa jagatakse igaüks neist.

Kolmas tüüp on jaguvuse märgid arvu 10 k + 1 jagajatega: mis tahes täisarvu N jagamiseks arvu 10 k + 1 mis tahes täisarvu jagajaga q, on vajalik ja piisav, et N paariskohtades seisvad k-kohalised tahud ja N-s paaritutes kohtades seisvate k-kohaliste tahkude summa jagati q-ga. Eelkõige (k = 1, 2 ja 3 korral) saame järgmised jaguvuse märgid arvude 10 1 + 1 = 11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) ja 10 3 +1 jagajatega. = 1001 (III 3).

III 1. 11-ga – paariskohtades seisvate numbrite (ühekohaliste näpunäidete) ja paaritutes kohtades seisvate numbrite (ühekohaliste nägude) summa vahe tuleb jagada 11-ga. Näiteks arv 876 583 598 jagub 11, kuna paariskohtade numbrite summa ja paaritute numbrite summa erinevus on 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (ja 1 - 1=0) kohad on jagatud 11-ga.

III 2. 101-ga – arvu paariskohtades olevate kahekohaliste tahkude summa ja paaritutes kohtades olevate kahekohaliste tahkude summa vahe tuleb jagada 101-ga. Näiteks arv 8 130 197 jagatakse 101-ga, kuna erinevus on 8-13+01-97 = 101 (ja 1-01=0) selle arvu paariskohtade kahekohaliste tahkude summa ja paaritutes kohtades olevate kahekohaliste tahkude summa jagatakse 101-ga.

III 3. Arvudega 7, 11, 13, 77, 91, 143 ja 1001 – paariskohtades olevate kolmekohaliste tahkude summa ja paaritutes kohtades olevate kolmekohaliste tahkude summa vahe tuleb jagada 7, 11, 13, 77-ga vastavalt 91, 143 ja 1001. Näiteks arv 539 693 385 jagub arvudega 7, 11 ja 77, kuid ei jagu numbritega 13, 91, 143 ja 1001, kuna 539 - 693+385=231 jagub , 11 ja 77 ning ei jagu arvudega 13, 91, 143 ja 1001.

On märke, mille abil on mõnikord lihtne ilma reaalselt jagamata teada saada, kas antud arv on jagatav või mitte jagatav mõne teise arvuga.

Nimetatakse numbreid, mis jaguvad 2-ga isegi. Arv null viitab ka paarisarvudele. Kõikidele teistele numbritele helistatakse kummaline:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - paaris,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - paaritu.

Jaguvuse märgid

Testi jagavust 2-ga. Arv jagub 2-ga, kui selle viimane number on paaris. Näiteks arv 4376 jagub 2-ga, kuna viimane number (6) on paaris.

Testi jaguvust 3-ga. Ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 3-ga, jaguvad 3-ga. Näiteks arv 10815 jagub 3-ga, kuna selle numbrite summa 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 jagub 3-ga.

4-ga jaguvuse testid. Arv jagub 4-ga, kui selle kaks viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 4-ga. Näiteks arv 244500 jagub 4-ga, kuna see lõpeb kahe nulliga. Arvud 14708 ja 7524 jaguvad 4-ga, kuna nende arvude kaks viimast numbrit (08 ja 24) jaguvad 4-ga.

5-ga jaguvuse testid. Need arvud, mis lõpevad 0 või 5-ga, jaguvad 5-ga. Näiteks arv 320 jagub 5-ga, kuna viimane number on 0.

Testi jagavust 6-ga. Arv jagub 6-ga, kui ta jagub nii 2 kui ka 3-ga. Näiteks arv 912 jagub 6-ga, kuna jagub nii 2 kui 3-ga.

8-ga jaguvuse testid. 8-ga jagatakse need arvud, mille kolm viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 8-ga. Näiteks arv 27000 jagub 8-ga, kuna see lõpeb kolme nulliga. Arv 63128 jagub 8-ga, kuna kolm viimast numbrit moodustavad arvu (128), mis jagub 8-ga.

Jaguvuse test 9-ga. 9-ga jaguvad ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 9-ga. Näiteks arv 2637 jagub 9-ga, kuna selle numbrite summa 2 + 6 + 3 + 7 = 18 jagub 9-ga.

10, 100, 1000 jne jaguvuse märgid. Need arvud, mis lõpevad ühe nulliga, kahe nulliga, kolme nulliga ja nii edasi, jagatakse 10, 100, 1000 jne. Näiteks arv 3800 jagub 10 ja 100-ga.

Testi jaguvust 3-ga
Arv jagub 3-ga siis ja ainult siis, kui selle numbrite summa jagub 3-ga.

Testige jagavust 4-ga
Arv jagub 4-ga siis ja ainult siis, kui arvu kaks viimast numbrit on nullid või jaguvad 4-ga.

Jaguvuse test 5-ga
Arv jagub 5-ga siis ja ainult siis, kui viimane number jagub 5-ga (see tähendab, et see on 0 või 5).

Testi jagavust 6-ga
Arv jagub 6-ga siis ja ainult siis, kui see jagub 2 ja 3-ga.

Testi jagavust 7-ga
Arv jagub 7-ga siis ja ainult siis, kui sellest arvust ilma viimase numbrita viimase numbri kahekordse lahutamise tulemus jagub 7-ga (näiteks 259 jagub 7-ga, kuna 25 - (2 9) = 7 jagub poolt 7).

Jaguvuse test 8-ga
Arv jagub 8-ga siis ja ainult siis, kui selle kolm viimast numbrit on nullid või moodustavad arvu, mis jagub 8-ga.

Jaguvuse test 9-ga
Arv jagub 9-ga siis ja ainult siis, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.

Jaguvuse test 10-ga
Arv jagub 10-ga siis ja ainult siis, kui see lõpeb nulliga.

Jaguvuse test 11-ga
Arv jagub 11-ga siis ja ainult siis, kui vahelduvate märkidega numbrite summa jagub 11-ga (st 182919 jagub 11-ga, kuna 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 jagub 11) - tagajärg asjaolule, et kõik arvud kujul 10 n jätavad 11-ga jagamisel jäägi (-1) n .

Jaguvuse test 12-ga
Arv jagub 12-ga siis ja ainult siis, kui see jagub 3 ja 4-ga.

Jaguvuse test 13-ga
Arv jagub 13-ga siis ja ainult siis, kui selle kümnete arv, mis on liidetud neljakordsele arvule, on 13-kordne (näiteks 845 jagub 13-ga, kuna 84 + (4 5) = 104 jagub 13).

Jaguvuse test 14-ga
Arv jagub 14-ga siis ja ainult siis, kui see jagub 2 ja 7-ga.

Jaguvuse test 15-ga
Arv jagub 15-ga siis ja ainult siis, kui see jagub 3 ja 5-ga.

Jaguvuse test 17-ga
Arv jagub 17-ga siis ja ainult siis, kui selle kümnete arv, millele on lisatud 12-kordne ühikute arv, on 17-kordne (näiteks 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. Kuna 34 jagub 17-ga, siis 29053 jagub 17-ga). Märk ei ole alati mugav, kuid sellel on matemaatikas teatud tähendus. On veidi lihtsam viis – arv jagub 17-ga siis ja ainult siis, kui tema kümnendite arvu ja viiekordse ühikute arvu vahe on 17-kordne (näiteks 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. kuna 15 ei jagu 17-ga, siis 32952 ei jagu 17-ga)

Jaguvuse test 19-ga
Arv jagub 19-ga siis ja ainult siis, kui selle kümnete arv, mis on liidetud kahekordsele arvule, on 19-kordne (näiteks 646 jagub 19-ga, kuna 64 + (6 2) = 76 jagub 19-ga ).

Testige jagavust 23-ga
Arv jagub 23-ga siis ja ainult siis, kui selle kümnete arvu kolmekordistamiseks liidetud sadade arv on 23 kordne (näiteks 28842 jagub 23-ga, kuna 288 + (3 * 42) = 414 jätkab 4 + (3 * 14) = 46 jagub ilmselgelt 23-ga).

Testige jagavust 25-ga
Arv jagub 25-ga siis ja ainult siis, kui selle kaks viimast numbrit jaguvad 25-ga (st moodustavad 00, 25, 50 või 75) või kui arv on 5-kordne.

Jaguvuse test 99-ga
Jagame arvu 2-kohalisteks rühmadeks paremalt vasakule (vasakpoolseim rühm võib olla ühekohaline) ja leiame nende rühmade summa, pidades neid kahekohalisteks arvudeks. See summa jagub 99-ga siis ja ainult siis, kui arv ise jagub 99-ga.

Jaguvuse test 101-ga
Jagame arvu 2-kohalisteks rühmadeks paremalt vasakule (vasakpoolseim rühm võib olla ühekohaline) ja leiame nende vahelduvate märkidega rühmade summa, pidades neid kahekohalisteks arvudeks. See summa jagub 101-ga siis ja ainult siis, kui arv ise jagub 101-ga. Näiteks 590547 jagub 101-ga, kuna 59-05+47=101 jagub 101-ga).