ամբողջ թվեր և տասներորդներ: Ամբողջ թվեր՝ ընդհանուր ներկայացում

Այս հոդվածում մենք կսահմանենք ամբողջ թվերի մի շարք, հաշվի առնենք, թե որ ամբողջ թվերն են կոչվում դրական, որոնք՝ բացասական: Մենք նաև ցույց կտանք, թե ինչպես են ամբողջ թվերն օգտագործվում որոշ քանակությունների փոփոխությունը նկարագրելու համար: Սկսենք ամբողջ թվերի սահմանումից և օրինակներից։

Ամբողջ թվեր. Սահմանում, օրինակներ

Նախ հիշենք ℕ բնական թվերը։ Անունն ինքնին հուշում է, որ դրանք թվեր են, որոնք բնականաբար անհիշելի ժամանակներից օգտագործվել են հաշվելու համար։ Ամբողջ թվերի հասկացությունը լուսաբանելու համար մենք պետք է ընդլայնենք բնական թվերի սահմանումը:

Սահմանում 1. Ամբողջ թվեր

Ամբողջ թվերը բնական թվերն են, դրանց հակադիրները և զրո թիվը:

Ամբողջ թվերի բազմությունը նշվում է ℤ տառով։

ℕ բնական թվերի բազմությունը ℤ ամբողջ թվերի ենթաբազմություն է։ Յուրաքանչյուր բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ամեն մի ամբողջ թիվ չէ:

Սահմանումից բխում է, որ 1, 2, 3 թվերից որևէ մեկը ամբողջ թիվ է։ . , 0 թիվը, ինչպես նաև թվերը՝ 1 , - 2 , - 3 , . .

Ըստ այդմ, մենք օրինակներ ենք բերում. 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 թվերն ամբողջ թվեր են։

Թող կոորդինատային գիծը գծվի հորիզոնական և ուղղվի դեպի աջ: Եկեք նայենք դրան, որպեսզի պատկերացնենք ամբողջ թվերի գտնվելու վայրը ուղիղ գծի վրա:

Կոորդինատային գծի հղման կետը համապատասխանում է 0 թվին, իսկ զրոյի երկու կողմերում գտնվող կետերը՝ դրական և բացասական ամբողջ թվերի։ Յուրաքանչյուր կետ համապատասխանում է մեկ ամբողջ թվի:

Ուղիղ գծի ցանկացած կետ, որի կոորդինատը ամբողջ թիվ է, կարելի է հասնել՝ սկզբից մի կողմ դնելով որոշակի թվով միավոր հատվածներ:

Դրական և բացասական ամբողջ թվեր

Բոլոր ամբողջ թվերից տրամաբանական է տարբերակել դրական և բացասական ամբողջ թվերը: Տանք նրանց սահմանումները.

Սահմանում 2. Դրական ամբողջ թվեր

Դրական ամբողջ թվերը գումարած նշանով ամբողջ թվերն են:

Օրինակ՝ 7 թիվը գումարած նշանով ամբողջ թիվ է, այսինքն՝ դրական ամբողջ թիվ։ Կոորդինատային գծի վրա այս թիվը գտնվում է հղման կետի աջ կողմում, որի համար վերցված է 0 թիվը: Դրական ամբողջ թվերի այլ օրինակներ՝ 12, 502, 42, 33, 100500:

Սահմանում 3. Բացասական ամբողջ թվեր

Բացասական ամբողջ թվերը մինուս նշանով ամբողջ թվերն են:

Բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ՝ - 528 , - 2568 , - 1:

0 թիվը բաժանում է դրական և բացասական ամբողջ թվերը և ինքնին ոչ դրական է, ոչ բացասական:

Ցանկացած թիվ, որը հակառակ է դրական ամբողջ թվին, ըստ սահմանման, բացասական ամբողջ թիվ է: Ճիշտ է նաև հակառակը. Ցանկացած բացասական ամբողջ թվի փոխադարձը դրական ամբողջ թիվ է:

Կարելի է տալ բացասական և դրական ամբողջ թվերի սահմանումների այլ ձևակերպումներ՝ օգտագործելով դրանց համեմատությունը զրոյի հետ։

Սահմանում 4. Դրական ամբողջ թվեր

Դրական ամբողջ թվերը այն ամբողջ թվերն են, որոնք զրոյից մեծ են:

Սահմանում 5. Բացասական ամբողջ թվեր

Բացասական ամբողջ թվերը այն ամբողջ թվերն են, որոնք փոքր են զրոյից:

Համապատասխանաբար, դրական թվերը գտնվում են կոորդինատային գծի սկզբնակետից աջ, իսկ բացասական ամբողջ թվերը՝ զրոյից ձախ:

Ավելի վաղ ասել էինք, որ բնական թվերը ամբողջ թվերի ենթաբազմություն են։ Եկեք պարզաբանենք այս կետը. Բնական թվերի բազմությունը դրական ամբողջ թվեր են։ Բացասական ամբողջ թվերի բազմությունն իր հերթին բնականին հակադիր թվերի բազմությունն է։

Կարևոր է

Ցանկացած բնական թիվ կարելի է անվանել ամբողջ, բայց ցանկացած ամբողջ թիվ չի կարելի անվանել բնական թիվ։ Պատասխանելով այն հարցին, թե արդյոք դրանք բացասական թվերբնական, պետք է համարձակորեն ասել՝ ոչ, չեն։

Ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվեր

Տանք սահմանումներ.

Սահմանում 6. Ոչ բացասական ամբողջ թվեր

Ոչ բացասական ամբողջ թվերը դրական ամբողջ թվերն են և զրո թիվը:

Սահմանում 7. Ոչ դրական ամբողջ թվեր

Ոչ դրական ամբողջ թվերը բացասական ամբողջ թվերն են և զրո թիվը:

Ինչպես տեսնում եք, զրո թիվը ոչ դրական է, ոչ էլ բացասական։

Ոչ բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ՝ 52 , 128 , 0 ։

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ՝ - 52 , - 128 , 0:

Ոչ բացասական թիվը զրոյից մեծ կամ հավասար թիվ է: Համապատասխանաբար, ոչ դրական ամբողջ թիվը զրոյից փոքր կամ հավասար թիվ է։

Հակիրճության համար օգտագործվում են «ոչ դրական թիվ» և «ոչ բացասական թիվ» տերմինները։ Օրինակ, փոխանակ ասելու, որ a թիվը զրոյի մեծ կամ հավասար մի ամբողջ թիվ է, կարող եք ասել՝ a-ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է:

Օգտագործելով ամբողջ թվեր արժեքների փոփոխությունները նկարագրելիս

Ինչի համար են օգտագործվում ամբողջ թվերը: Առաջին հերթին, նրանց օգնությամբ հարմար է նկարագրել և որոշել ցանկացած օբյեկտների քանակի փոփոխությունը: Օրինակ բերենք.

Թող պահեստում պահվեն որոշակի քանակությամբ ծնկաձև լիսեռներ: Եթե ​​պահեստ բերվի եւս 500 ծնկաձեւ լիսեռ, ապա դրանց թիվը կավելանա։ 500 թիվը պարզապես արտահայտում է մասերի քանակի փոփոխությունը (աճը): Եթե ​​այդ դեպքում պահեստից հանվի 200 դետալ, ապա այս թիվը կբնութագրի նաև ծնկաձև լիսեռների քանակի փոփոխությունը։ Այս անգամ կրճատման ուղղությամբ.

Եթե ​​պահեստից ոչինչ չի վերցվում, և ոչինչ չի բերվում, ապա 0 թիվը ցույց կտա մասերի քանակի անփոփոխությունը։

Ամբողջ թվերի օգտագործման ակնհայտ հարմարությունը, ի տարբերություն բնական թվերի, այն է, որ դրանց նշանը հստակ ցույց է տալիս մեծության փոփոխության ուղղությունը (ավելացում կամ նվազում):

Ջերմաստիճանի 30 աստիճանով նվազումը կարող է բնութագրվել բացասական թվով՝ 30, իսկ 2 աստիճանով բարձրացումը՝ դրական ամբողջ թվով 2։

Ահա ևս մեկ օրինակ՝ օգտագործելով ամբողջ թվերը: Այս անգամ պատկերացնենք, որ մեկին պետք է 5 մետաղադրամ տանք։ Հետո, կարելի է ասել, որ ունենք՝ 5 մետաղադրամ։ 5 թիվը նկարագրում է պարտքի չափը, իսկ մինուս նշանը ցույց է տալիս, որ մենք պետք է հետ տանք մետաղադրամները։

Եթե ​​մեկ անձին պարտք ենք 2 մետաղադրամ, մյուսին՝ 3, ապա ընդհանուր պարտքը (5 մետաղադրամ) կարելի է հաշվել բացասական թվեր գումարելու կանոնով.

2 + (- 3) = - 5

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Թվերի բազմաթիվ տեսակներ կան, դրանցից մեկը ամբողջ թվերն են։ Ամբողջ թվերը հայտնվել են, որպեսզի ավելի հեշտ լինի հաշվել ոչ միայն դրական, այլև բացասական ուղղությամբ։

Դիտարկենք մի օրինակ.
Ցերեկը դրսում 3 աստիճան էր։ Երեկոյան ջերմաստիճանը իջել է 3 աստիճանով։
3-3=0
Դրսում 0 աստիճան էր։ Իսկ գիշերը ջերմաստիճանն իջել է 4 աստիճանով ու ջերմաչափի վրա սկսել է ցույց տալ -4 աստիճան։
0-4=-4

Ամբողջ թվերի շարք.

Մենք չենք կարող նման խնդիր նկարագրել բնական թվերի հետ, մենք այս խնդիրը կդիտարկենք կոորդինատային գծի վրա:

Մենք ունենք մի շարք թվեր.
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Այս թվերի շարքը կոչվում է ամբողջ թվերի կողքին.

Ամբողջական դրական թվեր. Ամբողջական բացասական թվեր.

Ամբողջ թվերի շարքը բաղկացած է դրական և բացասական թվերից։ Զրոյից աջ բնական թվերն են, կամ էլ կոչվում են ամբողջ դրական թվեր. Եվ գնացեք զրոյից ձախ ամբողջ բացասական թվեր.

Զրոն ոչ դրական է, ոչ բացասական: Դա դրական և բացասական թվերի սահմանն է:

բնական թվերից, բացասական ամբողջ թվերից և զրոյից բաղկացած թվերի բազմություն է։

Դրական և բացասական ուղղություններով ամբողջ թվերի շարքն է անսահման բազմություն.

Եթե ​​վերցնենք ցանկացած երկու ամբողջ թիվ, ապա այս ամբողջ թվերի միջև եղած թվերը կկանչվեն վերջի հավաքածու.

Օրինակ:
Վերցնենք -2-ից մինչև 4 ամբողջ թվերը: Այս թվերի միջև եղած բոլոր թվերը ներառված են վերջավոր բազմության մեջ: Մեր վերջավոր թվերի հավաքածուն այսպիսի տեսք ունի.
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Բնական թվերը նշվում են լատինական N տառով։
Ամբողջ թվերը նշվում են լատիներեն Z տառով: Նկարում կարելի է պատկերել բնական թվերի և ամբողջ թվերի ամբողջությունը:


Ոչ դրական ամբողջ թվերայլ կերպ ասած՝ բացասական ամբողջ թվեր են։
Ոչ բացասական ամբողջ թվերդրական ամբողջ թվեր են:

Պարզ ասած՝ դրանք ջրի մեջ եփած բանջարեղեն են՝ հատուկ բաղադրատոմսով։ Կդիտարկեմ երկու նախնական բաղադրիչ (բուսական աղցան և ջուր) և պատրաստի արդյունքը՝ բորշը։ Երկրաչափորեն սա կարող է ներկայացվել որպես ուղղանկյուն, որի մի կողմը նշանակում է հազար, մյուս կողմը նշանակում է ջուր: Այս երկու կողմերի գումարը կնշանակի բորշ: Նման «բորշի» ուղղանկյունի անկյունագիծը և մակերեսը զուտ մաթեմատիկական հասկացություններ են և երբեք չեն օգտագործվում բորշի բաղադրատոմսերում:

Մաթեմատիկայի դասագրքերում գծային անկյունային ֆունկցիաների մասին ոչինչ չես գտնի։ Բայց առանց դրանց մաթեմատիկա չի կարող լինել։ Մաթեմատիկայի օրենքները, ինչպես բնության օրենքները, գործում են անկախ նրանից, թե մենք գիտենք, որ դրանք կան, թե ոչ:

Գծային անկյունային ֆունկցիաները գումարման օրենքներն են։Տեսեք, թե ինչպես է հանրահաշիվը վերածվում երկրաչափության, իսկ երկրաչափությունը՝ եռանկյունաչափության:

Հնարավո՞ր է անել առանց գծային անկյունային ֆունկցիաների: Դուք կարող եք, քանի որ մաթեմատիկոսները դեռ կարողանում են առանց նրանց: Մաթեմատիկոսների հնարքը կայանում է նրանում, որ նրանք մեզ միշտ ասում են միայն այն խնդիրների մասին, որոնք իրենք կարող են լուծել, և երբեք չեն ասում այն ​​խնդիրների մասին, որոնք իրենք չեն կարող լուծել։ Տեսնել. Եթե ​​գիտենք գումարման և մեկ անդամի արդյունքը, ապա մյուս անդամը գտնելու համար օգտագործում ենք հանում։ Ամեն ինչ. Մենք այլ խնդիրներ չգիտենք և չենք կարողանում դրանք լուծել։ Ի՞նչ անել, եթե գիտենք միայն գումարման արդյունքը և չգիտենք երկու տերմինները: Այս դեպքում գումարման արդյունքը պետք է բաժանվի երկու տերմինի՝ օգտագործելով գծային անկյունային ֆունկցիաներ։ Ավելին, մենք ինքներս ենք ընտրում, թե ինչ կարող է լինել մեկ անդամ, և գծային անկյունային ֆունկցիաները ցույց են տալիս, թե որն է երկրորդ անդամը, որպեսզի գումարման արդյունքը լինի հենց այն, ինչ մեզ անհրաժեշտ է: Այդպիսի զույգ տերմինների թիվը կարող է լինել անսահման թվով։ Վ Առօրյա կյանքմենք շատ լավ ենք անում առանց գումարը քայքայելու, հանելը մեզ բավական է։ Բայց բնության օրենքների գիտական ​​ուսումնասիրություններում գումարի չափերի ընդլայնումը կարող է շատ օգտակար լինել:

Գումարների մեկ այլ օրենք, որի մասին մաթեմատիկոսները չեն սիրում խոսել (նրանց հնարքներից ևս մեկը) պահանջում է, որ տերմիններն ունենան նույն չափման միավորը: Հազարի, ջրի և բորշի համար դրանք կարող են լինել քաշի, ծավալի, արժեքի կամ չափման միավոր:

Նկարը ցույց է տալիս մաթեմատիկայի տարբերության երկու մակարդակ: Առաջին մակարդակը թվերի դաշտի տարբերություններն են, որոնք նշված են ա, բ, գ. Ահա թե ինչ են անում մաթեմատիկոսները։ Երկրորդ մակարդակը չափման միավորների տարածքի տարբերություններն են, որոնք ցույց են տրված քառակուսի փակագծերում և նշված են տառով. U. Ահա թե ինչ են անում ֆիզիկոսները։ Մենք կարող ենք հասկանալ երրորդ մակարդակը՝ նկարագրված օբյեկտների շրջանակի տարբերությունները: Տարբեր առարկաներ կարող են ունենալ նույն չափման միավորների նույն թիվը: Որքան կարևոր է սա, մենք կարող ենք տեսնել բորշի եռանկյունաչափության օրինակով: Եթե ​​տարբեր օբյեկտների չափման միավորների համար միևնույն նշումին մակագրություններ ավելացնենք, ապա կարող ենք հստակ ասել, թե ինչ մաթեմատիկական մեծություն է նկարագրում որոշակի առարկա և ինչպես է այն փոխվում ժամանակի ընթացքում կամ մեր գործողությունների հետ կապված: նամակ ՎՋուրը տառով կնշեմ ՍԱղցանը կնշեմ տառով Բ- Բորշ. Ահա թե ինչ տեսք կունենան բորշի գծային անկյան ֆունկցիաները:

Եթե ​​վերցնենք ջրի մի մասը և աղցանի մի մասը, դրանք միասին կվերածվեն բորշի մեկ չափաբաժնի։ Այստեղ ես առաջարկում եմ ձեզ մի փոքր ընդմիջել բորշչից և հիշել ձեր հեռավոր մանկությունը։ Հիշո՞ւմ եք, թե ինչպես մեզ սովորեցրին նապաստակներն ու բադերը միասին հավաքել: Պետք էր պարզել, թե քանի կենդանի կստացվի։ Այդ դեպքում ի՞նչ սովորեցրին մեզ անել: Մեզ սովորեցնում էին առանձնացնել միավորները թվերից և գումարել թվերը: Այո, ցանկացած թիվ կարելի է ավելացնել ցանկացած այլ թվի։ Սա ուղղակի ճանապարհ է դեպի ժամանակակից մաթեմատիկայի աուտիզմ. մենք չենք հասկանում, թե ինչն է, պարզ չէ, թե ինչու, և մենք շատ վատ ենք հասկանում, թե ինչպես է դա առնչվում իրականությանը, քանի որ երեք մակարդակների տարբերության պատճառով մաթեմատիկոսները գործում են միայն մեկի վրա: Ավելի ճիշտ կլինի սովորել, թե ինչպես անցնել չափման մի միավորից մյուսը։

Եվ նապաստակները, բադերը և փոքրիկ կենդանիները կարելի է կտոր-կտոր հաշվել: Տարբեր առարկաների չափման մեկ ընդհանուր միավորը թույլ է տալիս դրանք միասին ավելացնել: Սա խնդրի մանկական տարբերակն է։ Դիտարկենք նմանատիպ խնդիր մեծահասակների համար: Ի՞նչ եք ստանում, երբ ավելացնում եք նապաստակներ և գումար: Այստեղ երկու հնարավոր լուծում կա.

Առաջին տարբերակ. Մենք որոշում ենք նապաստակների շուկայական արժեքը և ավելացնում այն ​​առկա կանխիկ գումարին: Մենք ստացանք մեր հարստության ընդհանուր արժեքը փողով։

Երկրորդ տարբերակ. Դուք կարող եք ավելացնել նապաստակների թիվը մեր ունեցած թղթադրամների թվին: Շարժական գույքի չափը կստանանք կտորներով։

Ինչպես տեսնում եք, ավելացման նույն օրենքը թույլ է տալիս ստանալ տարբեր արդյունքներ: Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե կոնկրետ ինչ ենք ուզում իմանալ։

Բայց վերադառնանք մեր բորշչին։ Այժմ մենք կարող ենք տեսնել, թե երբ է տեղի ունենում տարբեր իմաստներգծային անկյունային ֆունկցիաների անկյուն։

Անկյունը զրո է։ Մենք աղցան ունենք, բայց ջուր չունենք: Մենք չենք կարող բորշ պատրաստել: Բորշի քանակը նույնպես զրո է։ Սա ամենևին չի նշանակում, որ զրո բորշը հավասար է զրոյական ջրի։ Զրոյական բորշը կարող է լինել նաև զրոյական աղցան (աջ անկյունում):

Անձամբ ինձ համար սա հիմնական մաթեմատիկական ապացույցն է այն բանի, որ . Զրոն չի փոխում թիվը, երբ ավելացվում է: Դա պայմանավորված է նրանով, որ գումարումն ինքնին անհնար է, եթե կա միայն մեկ տերմին, իսկ երկրորդը բացակայում է: Դուք կարող եք վերաբերվել դրան, ինչպես ցանկանում եք, բայց հիշեք, որ զրոյով բոլոր մաթեմատիկական գործողությունները հորինվել են հենց մաթեմատիկոսների կողմից, այնպես որ հրաժարվեք ձեր տրամաբանությունից և հիմարաբար խցկեք մաթեմատիկոսների հորինած սահմանումները. հավասար է զրոյի», «զրոյական կետի հետևում» և այլ անհեթեթություններ: Բավական է մեկ անգամ հիշել, որ զրոն թիվ չէ, և երբեք հարց չի առաջանա՝ զրոն բնական թիվ է, թե ոչ, քանի որ նման հարցը ընդհանրապես կորցնում է իմաստը. ինչպե՞ս կարելի է թիվ համարել այն, ինչը թիվ չէ։ . Դա նման է այն հարցին, թե ինչ գույնի վերագրել անտեսանելի գույնը: Թվի վրա զրո ավելացնելը նման է գոյություն չունեցող ներկով նկարելուն: Չոր վրձինը թափահարում էին ու բոլորին ասում, որ «նկարել ենք»։ Բայց ես մի փոքր շեղվում եմ.

Անկյունը զրոյից մեծ է, բայց քառասունհինգ աստիճանից պակաս: Հազար ունենք շատ, բայց ջուր քիչ։ Արդյունքում ստանում ենք հաստ բորշ։

Անկյունը քառասունհինգ աստիճան է։ Մենք ունենք հավասար քանակությամբ ջուր և հազար։ Սա կատարյալ բորշ է (թող խոհարարներն ինձ ներեն, դա պարզապես մաթեմատիկա է):

Անկյունը քառասունհինգ աստիճանից մեծ է, բայց իննսուն աստիճանից պակաս: Մենք շատ ջուր ունենք, քիչ գազար։ Ստացեք հեղուկ բորշ:

Աջ անկյունը. Մենք ջուր ունենք։ Հազարից մնացել են միայն հիշողություններ, քանի որ մենք շարունակում ենք անկյունը չափել այն գծից, որը ժամանակին նշում էր հազարը: Մենք չենք կարող բորշ պատրաստել: Բորշի քանակը զրոյական է։ Այդ դեպքում պահեք և ջուր խմեք քանի դեռ այն հասանելի է)))

Այստեղ. Նման մի բան. Այստեղ ես կարող եմ պատմել այլ պատմություններ, որոնք այստեղ ավելի քան տեղին կլինեն։

Երկու ընկերներն ունեին իրենց բաժինները ընդհանուր բիզնեսում։ Նրանցից մեկի սպանությունից հետո ամեն ինչ գնաց մյուսի վրա։

Մաթեմատիկայի առաջացումը մեր մոլորակի վրա.

Այս բոլոր պատմությունները պատմվում են մաթեմատիկայի լեզվով՝ օգտագործելով գծային անկյունային ֆունկցիաներ։ Ուրիշ ժամանակ ես ձեզ ցույց կտամ այս ֆունկցիաների իրական տեղը մաթեմատիկայի կառուցվածքում։ Միևնույն ժամանակ վերադառնանք բորշի եռանկյունաչափությանը և դիտարկենք կանխատեսումները։

Շաբաթ, 26 հոկտեմբերի, 2019 թ

Չորեքշաբթի, 7 օգոստոսի, 2019 թ

Ավարտելով զրույցը , մենք պետք է դիտարկենք անսահման բազմություն: Հաշվի առնելով, որ «անսահմանություն» հասկացությունը գործում է մաթեմատիկոսների վրա, ինչպես նապաստակի վրա բոա կոնստրուկտորը: Անսահմանության դողդոջուն սարսափը զրկում է մաթեմատիկոսներին ողջախոհություն. Ահա մի օրինակ.

Բնօրինակ աղբյուրը գտնվում է. Ալֆան նշանակում է իրական թիվ: Վերոնշյալ արտահայտություններում հավասարության նշանը ցույց է տալիս, որ եթե անսահմանությանը ավելացնեք թիվ կամ անսահմանություն, ոչինչ չի փոխվի, արդյունքը կլինի նույն անսահմանությունը: Եթե ​​որպես օրինակ վերցնենք բնական թվերի անսահման բազմություն, ապա դիտարկված օրինակները կարող են ներկայացվել հետևյալ կերպ.

Իրենց գործը տեսողականորեն ապացուցելու համար մաթեմատիկոսները բազմաթիվ տարբեր մեթոդներ են գտել: Անձամբ ես այս բոլոր մեթոդներին նայում եմ որպես շամանների պարերի դափերով։ Ըստ էության, նրանք բոլորն էլ հանգում են նրան, որ կա՛մ սենյակներից մի քանիսը զբաղեցված չեն, և դրանցում նոր հյուրեր են տեղավորվում, կա՛մ այցելուների մի մասին դուրս են նետվում միջանցք՝ հյուրերի համար տեղ բացելու համար (շատ մարդկայնորեն): Նման որոշումների վերաբերյալ իմ տեսակետը ներկայացրեցի շիկահերի մասին ֆանտաստիկ պատմության տեսքով։ Ինչի՞ վրա է հիմնված իմ պատճառաբանությունը: Անսահման թվով այցելուների տեղափոխումը անսահման ժամանակ է պահանջում: Այն բանից հետո, երբ մենք ազատեցինք առաջին հյուրասենյակը, այցելուներից մեկը միշտ կքայլի միջանցքով իր սենյակից մյուսը մինչև ժամանակի վերջը: Իհարկե, ժամանակի գործոնը հիմարաբար կարելի է անտեսել, բայց սա արդեն կլինի «օրենքը հիմարի համար չի գրված» կատեգորիայից։ Ամեն ինչ կախված է նրանից, թե ինչ ենք մենք անում՝ հարմարեցնել իրականությունը մաթեմատիկական տեսություններին կամ հակառակը:

Ի՞նչ է «անսահման հյուրանոցը»: Infinity inn-ը այն պանդոկն է, որը միշտ ունի ցանկացած թվով ազատ աշխատատեղ, անկախ նրանից, թե քանի սենյակ է զբաղված: Եթե ​​«այցելուների համար» անվերջ միջանցքի բոլոր սենյակները զբաղված են, ապա կա ևս մեկ անվերջ միջանցք՝ «հյուրերի» համար նախատեսված սենյակներով։ Այդպիսի միջանցքները կլինեն անսահման թվով։ Միևնույն ժամանակ, «անսահման հյուրանոցն» ունի անսահման թվով հարկեր անսահման թվով շենքերում անսահման թվով մոլորակների վրա անսահման թվով տիեզերքներում, որոնք ստեղծված են անսահման թվով Աստվածների կողմից: Մյուս կողմից, մաթեմատիկոսները չեն կարողանում հեռանալ սովորական կենցաղային խնդիրներից՝ Աստված-Ալլահ-Բուդդան միշտ մեկն է, հյուրանոցը՝ մեկ, միջանցքը՝ մեկ։ Այսպիսով, մաթեմատիկոսները փորձում են նենգափոխել հյուրանոցային համարների սերիական համարները՝ համոզելով մեզ, որ հնարավոր է «խոթել չհրաժարվածներին»։

Ես ձեզ ցույց կտամ իմ տրամաբանության տրամաբանությունը՝ օգտագործելով բնական թվերի անսահման բազմության օրինակը: Նախ պետք է պատասխանել մի շատ պարզ հարցի՝ բնական թվերի քանի՞ բազմություն կա՝ մեկ, թե՞ շատ: Այս հարցին ճիշտ պատասխան չկա, քանի որ մենք ինքներս ենք թվեր հորինել, բնության մեջ թվեր չկան: Այո, բնությունը հիանալի է հաշվում, բայց դրա համար նա օգտագործում է այլ մաթեմատիկական գործիքներ, որոնք մեզ ծանոթ չեն: Ինչպես կարծում է բնությունը, ես ձեզ կասեմ մեկ այլ անգամ. Քանի որ մենք ենք հորինել թվերը, մենք ինքներս ենք որոշելու, թե բնական թվերի քանի բազմություն կա: Դիտարկենք երկու տարբերակներն էլ, ինչպես վայել է իսկական գիտնականին։

Տարբերակ առաջին. «Թող մեզ տրվի» բնական թվերի մի շարք, որը հանգիստ պառկած է դարակի վրա: Այս հավաքածուն վերցնում ենք դարակից։ Վերջ, դարակում այլ բնական թվեր չեն մնացել ու տանելու տեղ էլ չկա։ Մենք չենք կարող ավելացնել մեկը այս հավաքածուին, քանի որ այն արդեն ունենք: Իսկ եթե իսկապես ուզում ես: Ոչ մի խնդիր. Մենք կարող ենք մի միավոր վերցնել արդեն վերցրած հավաքածուից և վերադարձնել դարակ: Դրանից հետո մենք կարող ենք դարակից վերցնել մի միավոր և ավելացնել այն, ինչ մնացել է: Արդյունքում մենք կրկին ստանում ենք բնական թվերի անսահման բազմություն։ Մեր բոլոր մանիպուլյացիաները կարող եք գրել այսպես.

Գործողությունները գրել եմ հանրահաշվական և բազմությունների տեսության նշումով, մանրամասն թվարկելով բազմության տարրերը։ Ստորագրությունը ցույց է տալիս, որ մենք ունենք բնական թվերի մեկ և միակ հավաքածու: Ստացվում է, որ բնական թվերի բազմությունը կմնա անփոփոխ միայն այն դեպքում, եթե նրանից հանվի մեկը և գումարվի նույն միավորը։

Տարբերակ երկու. Մենք դարակում ունենք բնական թվերի շատ տարբեր անսահման հավաքածուներ: Շեշտում եմ՝ ՏԱՐԲԵՐ, չնայած նրան, որ դրանք գործնականում չեն տարբերվում։ Մենք վերցնում ենք այս հավաքածուներից մեկը: Այնուհետև բնական թվերի մեկ այլ բազմությունից վերցնում ենք մեկը և ավելացնում արդեն վերցրած բազմությանը։ Մենք նույնիսկ կարող ենք ավելացնել բնական թվերի երկու հավաքածու։ Ահա թե ինչ ենք ստանում.

«Մեկ» և «երկու» ենթագրերը ցույց են տալիս, որ այդ տարրերը պատկանել են տարբեր խմբերի։ Այո, եթե մեկը ավելացնեք անսահման բազմությանը, արդյունքը նույնպես կլինի անսահման բազմություն, բայց այն նույնը չի լինի, ինչ սկզբնական հավաքածուն: Եթե ​​մեկ անսահման բազմություն ավելացվի մեկ այլ անսահման բազմության, ապա ստացվում է նոր անսահման բազմություն, որը բաղկացած է առաջին երկու բազմությունների տարրերից:

Բնական թվերի բազմությունը հաշվելու համար օգտագործվում է այնպես, ինչպես քանոնը չափումների համար։ Հիմա պատկերացրեք, որ քանոնին ավելացրել եք մեկ սանտիմետր։ Սա արդեն այլ տող է լինելու, բնօրինակին հավասար չէ:

Դուք կարող եք ընդունել կամ չընդունել իմ պատճառաբանությունը՝ սա ձեր գործն է։ Բայց եթե երբևէ մաթեմատիկական խնդիրների առաջ կանգնեք, մտածեք, թե արդյոք դուք գնում եք կեղծ հիմնավորման ճանապարհով, որը ոտնահարված է մաթեմատիկոսների սերունդների կողմից: Չէ՞ որ մաթեմատիկայի պարապմունքները մեզանում նախ և առաջ մտածողության կայուն կարծրատիպ են ձևավորում, և հետո միայն մտավոր կարողություններ են ավելացնում մեզ (կամ հակառակը՝ զրկում են ազատ մտածելուց)։

pozg.ru

Կիրակի, 4 օգոստոսի, 2019 թ

Ես գրում էի մի հոդվածի հետգրություն և տեսա այս հրաշալի տեքստը Վիքիպեդիայում.

Կարդում ենք՝ «... հարուստ տեսական հիմքԲաբելոնի մաթեմատիկան ամբողջական բնույթ չուներ և վերածվեց մի շարք տարբեր տեխնիկաների, որոնք զուրկ էին ընդհանուր համակարգից և ապացույցների բազայից:

Վա՜յ։ Որքան խելացի ենք մենք և որքան լավ ենք տեսնում ուրիշների թերությունները: Արդյո՞ք մեզ համար թույլ է ժամանակակից մաթեմատիկային նույն համատեքստում նայելը: Թեթևակի վերափոխելով վերը նշված տեքստը, անձամբ ես ստացա հետևյալը.

Ժամանակակից մաթեմատիկայի հարուստ տեսական հիմքը չունի ամբողջական բնույթ և կրճատվում է մի շարք տարբեր բաժինների, որոնք զուրկ են ընդհանուր համակարգից և ապացույցների բազայից:

Ես հեռու չեմ գնա իմ խոսքերը հաստատելու համար. այն ունի լեզու և պայմանականություններ, որոնք տարբերվում են մաթեմատիկայի շատ այլ ճյուղերի լեզվից և պայմանականություններից: Մաթեմատիկայի տարբեր ճյուղերում նույն անունները կարող են տարբեր նշանակություն ունենալ։ Ես ուզում եմ հրապարակումների մի ամբողջ ցիկլ նվիրել ժամանակակից մաթեմատիկայի ամենաակնառու սխալներին։ Կհանդիպենք շուտով:

Շաբաթ, 3 օգոստոսի, 2019 թ

Ինչպե՞ս բազմությունը բաժանել ենթաբազմությունների: Դա անելու համար դուք պետք է մուտքագրեք նոր չափման միավոր, որն առկա է ընտրված հավաքածուի որոշ տարրերում: Դիտարկենք մի օրինակ։

Թող որ մենք շատ լինենք Աբաղկացած չորս հոգուց. Այս հավաքածուն ձևավորվում է «մարդկանց» հիման վրա: Եկեք նշենք այս հավաքածուի տարրերը տառի միջոցով ա, թվով բաժանորդը ցույց կտա այս հավաքածուի յուրաքանչյուր անձի հերթական համարը։ Ներկայացնենք չափման նոր միավոր «սեռական հատկանիշ» և այն նշանակենք տառով բ. Քանի որ սեռական հատկանիշները բնորոշ են բոլոր մարդկանց, մենք բազմապատկում ենք հավաքածուի յուրաքանչյուր տարր Ասեռի վրա բ. Ուշադրություն դարձրեք, որ մեր «մարդիկ» հավաքածուն այժմ դարձել է «սեռ ունեցող մարդիկ»: Դրանից հետո սեռական հատկանիշները կարող ենք բաժանել արականի bmև կանացի bwգենդերային բնութագրերը. Այժմ մենք կարող ենք կիրառել մաթեմատիկական ֆիլտր՝ մենք ընտրում ենք այս սեռական հատկանիշներից մեկը, կապ չունի, թե որն է տղամարդ կամ իգական։ Եթե ​​այն առկա է մարդու մեջ, ապա այն բազմապատկում ենք մեկով, եթե նման նշան չկա՝ բազմապատկում ենք զրոյով։ Եվ հետո մենք կիրառում ենք սովորական դպրոցական մաթեմատիկան: Տեսեք, թե ինչ է տեղի ունեցել.

Բազմապատկելուց, կրճատումներից և վերադասավորումներից հետո ստացանք երկու ենթաբազմություն՝ արական ենթաբազմություն bmև կանանց ենթաբազմություն bw. Մոտավորապես նույն կերպ են մտածում մաթեմատիկոսները, երբ կիրառում են բազմությունների տեսությունը գործնականում: Բայց նրանք մեզ թույլ չեն տալիս մանրամասների մեջ մտնել, այլ տալիս են վերջնական արդյունքը. «շատ մարդիկ բաղկացած են մի ենթախումբ տղամարդկանցից և կանանց ենթաբազմությունից»: Բնականաբար, ձեզ մոտ կարող է հարց առաջանալ, թե որքանո՞վ է ճիշտ կիրառել մաթեմատիկան վերը նշված վերափոխումների մեջ։ Համարձակվում եմ վստահեցնել, որ իրականում փոխակերպումները ճիշտ են կատարվում, բավական է իմանալ թվաբանության, Բուլյան հանրահաշվի և մաթեմատիկայի այլ բաժինների մաթեմատիկական հիմնավորումը։ Ինչ է դա? Ուրիշ անգամ ես ձեզ կասեմ այդ մասին։

Ինչ վերաբերում է սուպերբազմություններին, ապա հնարավոր է երկու բազմություն միավորել մեկ գերբազմության մեջ՝ ընտրելով չափման միավոր, որն առկա է այս երկու բազմությունների տարրերում։

Ինչպես տեսնում եք, չափման միավորները և ընդհանուր մաթեմատիկան բազմությունների տեսությունը դարձնում են անցյալ: Նշանն է, որ բազմությունների տեսության հետ ամեն ինչ լավ չէ, այն է, որ մաթեմատիկոսները ստեղծել են իրենց լեզուն և բազմությունների տեսության նշումը: Մաթեմատիկոսներն արեցին այն, ինչ մի ժամանակ արեցին շամանները: Միայն շամանները գիտեն «ճիշտ» կիրառել իրենց «գիտելիքները»։ Այս «գիտելիքը» նրանք մեզ սովորեցնում են։

Ի վերջո, ես ուզում եմ ձեզ ցույց տալ, թե ինչպես են մաթեմատիկոսները շահարկում:

Երկուշաբթի, 7 հունվարի, 2019 թ

հինգերորդ դարում մ.թ.ա հին հույն փիլիսոփաԶենոն Էլեյացին ձևակերպել է իր հայտնի ապորիաները, որոնցից ամենահայտնին «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիան է։ Ահա թե ինչպես է այն հնչում.

Ենթադրենք, Աքիլլեսը վազում է տաս անգամ ավելի արագ, քան կրիան և հազար քայլ հետ է մնում նրանից։ Այն ժամանակահատվածում, որի ընթացքում Աքիլեսը վազում է այս տարածությունը, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ: Երբ Աքիլեսը հարյուր քայլ վազի, կրիան կսողա ևս տասը քայլ և այլն։ Գործընթացը կշարունակվի անվերջ, Աքիլլեսը երբեք չի հասնի կրիային։

Այս պատճառաբանությունը տրամաբանական ցնցում դարձավ հետագա բոլոր սերունդների համար։ Արիստոտելը, Դիոգենեսը, Կանտը, Հեգելը, Գիլբերտը... Նրանք բոլորն այս կամ այն ​​կերպ համարում էին Զենոնի ապորիաները։ Ցնցումն այնքան ուժեղ էր, որ « Քննարկումները ներկայումս շարունակվում են, գիտական ​​հանրությանը դեռ չի հաջողվել ընդհանուր կարծիքի գալ պարադոքսների էության մասին... հարցի ուսումնասիրության մեջ ներգրավվել են մաթեմատիկական վերլուծություն, բազմությունների տեսություն, ֆիզիկական և փիլիսոփայական նոր մոտեցումներ։ ; դրանցից ոչ մեկը չդարձավ խնդրի համընդհանուր ընդունված լուծում…«[Wikipedia», Zeno's Aporias]: Բոլորը հասկանում են, որ իրենց խաբում են, բայց ոչ ոք չի հասկանում, թե որն է խաբեությունը:

Մաթեմատիկայի տեսանկյունից Զենոնն իր ապորիայում հստակ ցույց տվեց անցումը արժեքից դեպի. Այս անցումը ենթադրում է հաստատունների փոխարեն կիրառել: Որքան հասկանում եմ, չափման փոփոխական միավորների կիրառման մաթեմատիկական ապարատը կամ դեռ չի մշակվել, կամ չի կիրառվել Զենոնի ապորիայի վրա։ Մեր սովորական տրամաբանության կիրառումը մեզ տանում է ծուղակի մեջ։ Մենք, մտածողության իներցիայով, փոխադարձին կիրառում ենք ժամանակի հաստատուն միավորներ։ Ֆիզիկական տեսանկյունից թվում է, որ ժամանակը դանդաղում է մինչև լրիվ կանգ առնում այն ​​պահին, երբ Աքիլեսը հասնում է կրիային: Եթե ​​ժամանակը կանգ առնի, Աքիլլեսն այլևս չի կարող շրջանցել կրիային:

Եթե ​​շրջենք այն տրամաբանությունը, որին սովոր ենք, ամեն ինչ իր տեղը կընկնի։ Աքիլլեսը վազում է հաստատուն արագությամբ։ Նրա ճանապարհի յուրաքանչյուր հաջորդ հատվածը տասն անգամ ավելի կարճ է, քան նախորդը: Ըստ այդմ, դրա հաղթահարման վրա ծախսված ժամանակը նախորդից տասն անգամ պակաս է։ Եթե ​​այս իրավիճակում կիրառենք «անսահմանություն» հասկացությունը, ապա ճիշտ կլինի ասել «Աքիլլեսը անսահման արագ կանցնի կրիային»։

Ինչպե՞ս խուսափել այս տրամաբանական թակարդից։ Մնացեք ժամանակի հաստատուն միավորների մեջ և մի անցեք փոխադարձ արժեքների: Զենոնի լեզվով այն ունի հետևյալ տեսքը.

Այն ժամանակ, ինչ Աքիլլեսին անհրաժեշտ է հազար քայլ վազելու համար, կրիան հարյուր քայլ է սողում նույն ուղղությամբ։ Հաջորդ ժամանակամիջոցում, որը հավասար է առաջինին, Աքիլլեսը կվազի ևս հազար քայլ, իսկ կրիան կսողա հարյուր քայլ: Այժմ Աքիլլեսը ութ հարյուր քայլ առաջ է կրիայից։

Այս մոտեցումը ադեկվատ կերպով նկարագրում է իրականությունը՝ առանց որևէ տրամաբանական պարադոքսների։ Բայց սա խնդրի ամբողջական լուծում չէ։ Լույսի արագության անհաղթահարելիության մասին Էյնշտեյնի հայտարարությունը շատ նման է Զենոնի «Աքիլլեսը և կրիան» ապորիային։ Մենք դեռ պետք է ուսումնասիրենք, վերանայենք և լուծենք այս խնդիրը։ Եվ լուծումը պետք է փնտրել ոչ թե անվերջ մեծ թվեր, բայց չափման միավորներով։

Զենոնի մեկ այլ հետաքրքիր ապորիա պատմում է թռչող նետի մասին.

Թռչող նետն անշարժ է, քանի որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին այն գտնվում է հանգստի վիճակում, և քանի որ այն հանգստանում է ժամանակի յուրաքանչյուր պահին, այն միշտ հանգստանում է:

Այս ապորիայում տրամաբանական պարադոքսը հաղթահարվում է շատ պարզ. բավական է պարզաբանել, որ ժամանակի յուրաքանչյուր պահին թռչող սլաքը հանգստանում է տարածության տարբեր կետերում, ինչը, ըստ էության, շարժում է։ Այստեղ հարկ է նշել ևս մեկ կետ. Ճանապարհին մեքենայի մեկ լուսանկարից անհնար է որոշել ոչ նրա շարժման փաստը, ոչ էլ հեռավորությունը: Մեքենայի շարժման փաստը որոշելու համար անհրաժեշտ է երկու լուսանկար՝ արված նույն կետից ժամանակի տարբեր կետերում, սակայն դրանք չեն կարող օգտագործվել հեռավորությունը որոշելու համար։ Ավտոմեքենայի հեռավորությունը որոշելու համար ձեզ անհրաժեշտ է միաժամանակ երկու լուսանկար՝ արված տիեզերքի տարբեր կետերից, բայց դրանցից շարժման փաստը չես կարող որոշել (իհարկե, հաշվարկների համար դեռ լրացուցիչ տվյալներ են պետք, եռանկյունաչափությունը կօգնի քեզ) . Այն, ինչ ես ուզում եմ հատկապես նշել, այն է, որ ժամանակի երկու կետը և տարածության երկու կետերը երկու տարբեր բաներ են, որոնք չպետք է շփոթել, քանի որ դրանք հետազոտության տարբեր հնարավորություններ են տալիս:
Գործընթացը ցույց կտամ օրինակով. Մենք ընտրում ենք «կարմիր պինդ պզուկի մեջ»՝ սա մեր «ամբողջությունն» է։ Միևնույն ժամանակ մենք տեսնում ենք, որ այս բաները աղեղով են, և կան առանց աղեղի։ Դրանից հետո ընտրում ենք «ամբողջության» մի մասը և «աղեղով» հավաքածու կազմում։ Ահա թե ինչպես են իրենց կերակրում շամանները՝ իրենց հավաքածուների տեսությունը կապելով իրականության հետ:

Հիմա եկեք մի փոքր հնարք անենք: Եկեք վերցնենք «պինդ պզուկի մեջ աղեղով» և միավորենք այս «ամբողջությունը» ըստ գույնի՝ ընտրելով կարմիր տարրեր։ Մենք շատ «կարմիր» ստացանք։ Հիմա մի խրթին հարց՝ ստացված սեթերը «աղեղով» և «կարմիրը» նույն հավաքածուն են, թե՞ երկու տարբեր կոմպլեկտներ։ Պատասխանը գիտեն միայն շամանները։ Ավելի ճիշտ՝ իրենք էլ ոչինչ չգիտեն, բայց ինչպես ասում են՝ այդպես էլ լինի։

Այս պարզ օրինակը ցույց է տալիս, որ բազմությունների տեսությունը լիովին անօգուտ է, երբ խոսքը վերաբերում է իրականությանը: Ո՞րն է գաղտնիքը: Մենք ձևավորեցինք «աղեղով կարմիր պինդ բշտիկների» հավաքածու: Ձևավորումը տեղի է ունեցել չորս տարբեր չափման միավորների համաձայն՝ գույն (կարմիր), ամրություն (պինդ), կոշտություն (բախման մեջ), դեկորացիաներ (աղեղով): Միայն չափման միավորների հավաքածուն է հնարավորություն տալիս ադեկվատ կերպով նկարագրել իրական առարկաները մաթեմատիկայի լեզվով.. Ահա թե ինչ տեսք ունի այն.

Տարբեր ինդեքսներով «ա» տառը նշանակում է տարբեր չափման միավորներ։ Փակագծերում ընդգծված են չափման միավորները, ըստ որոնց նախնական փուլում հատկացվում է «ամբողջը»։ Փակագծերից հանվում է չափման միավորը, ըստ որի կազմվում է հավաքածուն։ Վերջին տողը ցույց է տալիս վերջնական արդյունքը` հավաքածուի տարրը: Ինչպես տեսնում եք, եթե մենք միավորներ ենք օգտագործում բազմություն կազմելու համար, ապա արդյունքը կախված չէ մեր գործողությունների հերթականությունից: Եվ սա մաթեմատիկան է, և ոչ թե շամանների պարերը դափերով։ Շամանները կարող են «ինտուիտիվորեն» հանգել նույն արդյունքին՝ վիճելով այն «ակնհայտությամբ», քանի որ չափման միավորները ներառված չեն նրանց «գիտական» զինանոցում։

Չափման միավորների օգնությամբ շատ հեշտ է կոտրել մեկը կամ միավորել մի քանի հավաքածու մեկ սուպերսեթում։ Եկեք ավելի սերտ նայենք այս գործընթացի հանրահաշիվին:

Այս հոդվածի տեղեկատվությունը ձևավորվում է ընդհանուր գաղափարՕ ամբողջ թվեր. Նախ տրված է ամբողջ թվերի սահմանումը և բերվում են օրինակներ։ Հաջորդիվ դիտարկվում են թվային տողի ամբողջ թվերը, որոնցից պարզ է դառնում, թե որ թվերն են կոչվում դրական ամբողջ թվեր, իսկ որոնք՝ բացասական: Դրանից հետո ցուցադրվում է, թե ինչպես են նկարագրվում քանակական փոփոխությունները՝ օգտագործելով ամբողջ թվերը, իսկ բացասական ամբողջ թվերը դիտարկվում են պարտքի իմաստով։

Էջի նավարկություն.

Ամբողջ թվեր - սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Ամբողջ թվերբնական թվեր են, զրո թիվը, ինչպես նաև բնական թվերին հակադիր թվեր։

Ամբողջ թվերի սահմանման մեջ նշվում է, որ 1, 2, 3, … թվերից որևէ մեկը, 0 թիվը, ինչպես նաև −1, −2, −3, … թվերից որևէ մեկը ամբողջ թիվ է։ Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք բերել ամբողջ թվերի օրինակներ. Օրինակ՝ 38 թիվը ամբողջ թիվ է, 70 040 թիվը նույնպես ամբողջ թիվ է, զրոն ամբողջ թիվ է (հիշենք, որ զրոն բնական թիվ ՉԻ, զրոն ամբողջ թիվ է), −999 , −1 , −8 934 թվերը։ 832-ը նույնպես ամբողջ թվերի օրինակներ են։

Հարմար է բոլոր ամբողջ թվերը ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի հաջորդականություն, որն ունի հետևյալ ձևը՝ 0, ±1, ±2, ±3, … Ամբողջ թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել նաև հետևյալ կերպ. …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Ամբողջ թվերի սահմանումից բխում է, որ բնական թվերի բազմությունը ամբողջ թվերի բազմության ենթաբազմություն է։ Հետևաբար, յուրաքանչյուր բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ամեն մի ամբողջ թիվ չէ:

Ամբողջ թվեր կոորդինատային գծի վրա

Սահմանում.

Ամբողջական դրական թվերամբողջ թվեր են, որոնք մեծ են զրոյից:

Սահմանում.

Ամբողջական բացասական թվերամբողջ թվեր են, որոնք փոքր են զրոյից:

Ամբողջական դրական և բացասական թվերը կարող են որոշվել նաև կոորդինատային գծի վրա նրանց դիրքով։ Հորիզոնական կոորդինատային գծի վրա կետերը, որոնց կոորդինատները դրական ամբողջ թվեր են, գտնվում են սկզբնակետից աջ: Իր հերթին, բացասական ամբողջ կոորդինատներով կետերը գտնվում են O կետից ձախ:

Պարզ է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերի բազմությունն է։ Իր հերթին, բոլոր բացասական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերին հակադիր բոլոր թվերի բազմությունն է։

Առանձին-առանձին ձեր ուշադրությունն ենք հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ ցանկացած բնական թիվ մենք կարող ենք ապահով կերպով անվանել ամբողջ թիվ, և ՉԻ կարելի որևէ ամբողջ թիվ անվանել բնական թիվ։ Բնական կարող ենք անվանել միայն ցանկացած դրական ամբողջ թիվ, քանի որ բացասական ամբողջ թվերը և զրոն բնական չեն:

Ամբողջական ոչ դրական և ամբողջ թվով ոչ բացասական թվեր

Տանք ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվերի սահմանումները:

Սահմանում.

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը զրոյի հետ միասին կոչվում են ամբողջ թվով ոչ բացասական թվեր.

Սահմանում.

Ամբողջական ոչ դրական թվերբոլորը բացասական ամբողջ թվեր են 0 թվի հետ միասին:

Այլ կերպ ասած, ոչ բացասական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը մեծ է կամ հավասար է զրոյին, իսկ ոչ դրական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը փոքր է կամ հավասար է զրոյին:

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ են -511, -10 030, 0, -2 թվերը, իսկ որպես ոչ բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ բերենք 45, 506, 0, 900 321 թվերը։

Ամենից հաճախ հակիրճության համար օգտագործվում են «ոչ դրական ամբողջ թվեր» և «ոչ բացասական ամբողջ թվեր» տերմինները։ Օրինակ՝ «a թիվը ամբողջ թիվ է, իսկ a-ն մեծ է զրոյից կամ հավասար է զրոյի» արտահայտության փոխարեն կարող եք ասել «a-ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է»։

Ամբողջ թվերի օգտագործմամբ փոփոխվող արժեքների նկարագրություն

Ժամանակն է խոսել այն մասին, թե ինչի համար են ամբողջ թվերը:

Ամբողջ թվերի հիմնական նպատակն այն է, որ նրանց օգնությամբ հարմար է նկարագրել ցանկացած տարրերի քանակի փոփոխությունը։ Սրան անդրադառնանք օրինակներով։

Ենթադրենք, պահեստում կա որոշակի քանակությամբ մասեր: Եթե, օրինակ, պահեստ բերվի ևս 400 դետալ, ապա պահեստում դետալների քանակը կավելանա, իսկ 400 թիվը արտահայտում է քանակի այս փոփոխությունը դրական ուղղությամբ (ավելացման ուղղությամբ)։ Եթե, օրինակ, պահեստից վերցվի 100 դետալ, ապա պահեստում դետալների թիվը կնվազի, իսկ 100 թիվը բացասական ուղղությամբ (նվազման ուղղությամբ) կհայտնի քանակի փոփոխությունը։ Պահեստամասերը չեն բերվի պահեստ, իսկ մասերը պահեստից չեն հանվի, այնուհետև կարելի է խոսել մասերի քանակի անփոփոխության մասին (այսինքն՝ կարելի է խոսել քանակի զրոյական փոփոխության մասին)։

Բերված օրինակներում մասերի քանակի փոփոխությունը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով համապատասխանաբար 400, −100 և 0 ամբողջ թվերը։ Դրական 400 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս քանակի դրական փոփոխություն (աճ): Բացասական −100 ամբողջ թիվն արտահայտում է քանակի բացասական փոփոխություն (նվազում): 0 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս, որ քանակը չի փոխվել։

Բնական թվերի կիրառման համեմատ ամբողջ թվերի օգտագործման հարմարավետությունն այն է, որ կարիք չկա հստակորեն նշել, թե արդյոք մեծությունը մեծանում է, թե նվազում. ամբողջ թիվը նշում է փոփոխությունը քանակապես, իսկ ամբողջ թվի նշանը՝ փոփոխության ուղղությունը:

Ամբողջ թվերը կարող են նաև արտահայտել ոչ միայն քանակի փոփոխություն, այլև որոշ արժեքի փոփոխություն։ Եկեք դրանով զբաղվենք՝ օգտագործելով ջերմաստիճանի փոփոխության օրինակը:

Ջերմաստիճանի աճը, ասենք, 4 աստիճանով արտահայտվում է որպես դրական ամբողջ թիվ 4: Ջերմաստիճանի նվազումը, օրինակ, 12 աստիճանով կարելի է բնութագրել −12 բացասական ամբողջ թվով։ Իսկ ջերմաստիճանի անփոփոխությունը նրա փոփոխությունն է, որը որոշվում է 0 ամբողջ թվով։

Առանձին-առանձին պետք է ասել բացասական ամբողջ թվերի մեկնաբանման մասին՝ որպես պարտքի չափ։ Օրինակ, եթե մենք ունենք 3 խնձոր, ապա դրական ամբողջ թիվը 3-ը ներկայացնում է մեր ունեցած խնձորների քանակը: Մյուս կողմից, եթե մենք պետք է ինչ-որ մեկին տանք 5 խնձոր, և մենք դրանք չունենք, ապա այս իրավիճակը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով −5 բացասական ամբողջ թիվը։ Այս դեպքում մենք «սեփական» ենք −5 խնձորի, մինուս նշանը ցույց է տալիս պարտքը, իսկ 5 թիվը՝ քանակական պարտքը:

Բացասական ամբողջ թվի որպես պարտք ըմբռնումը թույլ է տալիս, օրինակ, արդարացնել բացասական ամբողջ թվերի ավելացման կանոնը։ Օրինակ բերենք. Եթե ​​ինչ-որ մեկը մեկին պարտք է 2 խնձոր, իսկ մյուսին՝ մեկ խնձոր, ապա ընդհանուր պարտքը կազմում է 2+1=3 խնձոր, ուրեմն −2+(−1)=−3:

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա. և այլն Մաթեմատիկա. Դասարան 6. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար.

Առաջին անգամ բացասական թվերը սկսեցին օգտագործվել Հին Չինաստանում և Հնդկաստանում, Եվրոպայում դրանք մաթեմատիկական կիրառության մեջ ներմուծվեցին Նիկոլաս Շուկետի (1484) և Մայքլ Շտիֆելի (1544) կողմից։

Հանրահաշվական հատկություններ

$\backslash mathbb(Z)$փակված չէ երկու ամբողջ թվերի (օրինակ՝ 1/2) բաժանման տակ։ Հետևյալ աղյուսակը ցույց է տալիս ցանկացած ամբողջ թվի գումարման և բազմապատկման մի քանի հիմնական հատկություններ: ա, բև գ.

|list5=Կարդինալ համարներ - Պետք է անպայման տեղափոխել մահճակալ, այստեղ հնարավոր չի լինի ...
Հիվանդն այնքան շրջապատված էր բժիշկներով, արքայադուստրերով և ծառաներով, որ Պիերն այլևս չէր տեսնում այդ կարմիր-դեղնավուն գլուխը մոխրագույն մանուշակով, որը, չնայած այլ դեմքեր տեսնելուն, ամբողջ ընթացքում ոչ մի պահ չանցավ տեսադաշտից։ սպասարկում. Աթոռը շրջապատող մարդկանց զգուշավոր շարժումից Պիերը կռահեց, որ մահամերձ մարդուն բարձրացնում և տանում են։
«Բռնիր ձեռքիցս, այդպես կթափես», - լսեց նա սպասավորներից մեկի վախեցած շշուկը, - «ներքևից ... ուրիշ մեկը», - լսվեցին ձայները, և մարդկանց ոտքերի ծանր շնչառությունն ու քայլելը դարձավ. ավելի հապճեպ, կարծես իրենց կրած բեռը վեր էր նրանց ուժերից...
Կրողները, որոնց մեջ էր Աննա Միխայլովնան, հավասարվեցին երիտասարդին, և մի պահ մարդկանց գլխի հետևից ու թիկունքից բարձր, հաստ, բաց կուրծքը, հիվանդի հաստ ուսերը՝ վեր բարձրացրած. նրան թեւատակերի տակ պահող մարդիկ և ալեհեր գանգուր, առյուծի գլուխը։ Այս գլուխը, անսովոր լայն ճակատով և այտոսկրերով, գեղեցիկ զգայական բերանով և վեհափառ սառը հայացքով, չէր այլանդակվել մահվան մոտիկությունից։ Նա նույնն էր, ինչ Պիեռը ճանաչում էր նրան երեք ամիս առաջ, երբ կոմսը թույլ տվեց նրան գնալ Պետերբուրգ: Բայց այս գլուխն անօգնական օրորվում էր կրողների անհարթ քայլերից, իսկ սառը, անտարբեր հայացքը չգիտեր, թե որտեղ կանգ առնել։
Բարձր մահճակալի մոտով անցավ մի քանի րոպե աղմուկ; հիվանդին տեղափոխող մարդիկ ցրվեցին։ Աննա Միխայլովնան դիպավ Պիեռի ձեռքին և ասաց. «Վենեզ»: [Գնա:] Պիեռը նրա հետ միասին բարձրացավ մահճակալի մոտ, որի վրա, ըստ երևույթին, կապված հաղորդության հետ, որը, ըստ երևույթին, հենց նոր կատարվեց, պառկեցին հիվանդին: Նա պառկած էր՝ գլուխը բարձերին հենած։ Նրա ձեռքերը սիմետրիկորեն դրված էին կանաչ մետաքսե վերմակի վրա՝ ափերը ներքեւ։ Երբ Պիեռը մոտեցավ, կոմսը ուղղակիորեն նայեց նրան, բայց նայեց այդ հայացքով, որի իմաստն ու իմաստը մարդու համար անհնար է հասկանալ: Կամ այս հայացքը բացարձակապես ոչինչ չէր ասում, միայն այն, որ քանի դեռ աչքեր կան, պետք է ինչ-որ տեղ նայել, կամ էլ շատ բան էր ասում։ Պիեռը կանգ առավ, չիմանալով, թե ինչ անել, և հետաքրքրությամբ նայեց իր առաջնորդ Աննա Միխայլովնային: Աննա Միխայլովնան աչքերով հապճեպ շարժում արեց նրան՝ ցույց տալով հիվանդի ձեռքը և շրթունքներով համբուրելով այն։ Պիեռը, ջանասիրաբար ձգելով պարանոցը, որպեսզի չբռնվի վերմակից, կատարեց նրա խորհուրդը և համբուրեց նրա խոշոր ոսկորներով և մսոտ ձեռքը: Կոմսի դեմքի ոչ մի ձեռք, ոչ մի մկան չդողաց։ Պիեռը կրկին հարցական հայացքով նայեց Աննա Միխայլովնային՝ այժմ հարցնելով, թե ինչ պետք է անի: Աննա Միխայլովնան աչքերով նրան ցույց տվեց մի աթոռ, որը կանգնած էր մահճակալի կողքին։ Պիեռը հնազանդորեն սկսեց նստել բազկաթոռի վրա՝ շարունակելով աչքերով հարցնել՝ արդյոք նա արել է այն, ինչ անհրաժեշտ էր։ Աննա Միխայլովնան հավանության նշան արեց գլուխը։ Պիեռը կրկին ընդունեց եգիպտական ​​արձանի սիմետրիկ միամիտ դիրքը, ըստ երևույթին ցավակցելով, որ իր անշնորհք և գեր մարմինը զբաղեցնում էր այդքան մեծ տարածք և օգտագործելով իր ողջ մտավոր ուժը հնարավորինս փոքր երևալու համար: Նա նայեց հաշվիչին։ Կոմսը նայեց այն տեղը, որտեղ Պիեռի դեմքն էր, մինչ նա կանգնած էր: Աննա Միխայլովնան իր դիրքում ցույց տվեց հոր և որդու հանդիպման այս վերջին րոպեի հուզիչ կարևորության գիտակցությունը։ Սա տևեց երկու րոպե, որը Պիերին թվաց մեկ ժամ։ Հանկարծ մի սարսուռ հայտնվեց կոմսի դեմքի խոշոր մկանների ու կնճիռների մեջ։ Սարսուռն ուժեղացավ, գեղեցիկ բերանը ոլորվեց (միայն այդ ժամանակ Պիեռը հասկացավ, թե որքանով է իր հայրը մոտ մահվանը), ոլորված բերանից լսվեց անորոշ խռպոտ ձայն։ Աննա Միխայլովնան ջանասիրաբար նայեց հիվանդի աչքերին և, փորձելով կռահել, թե ինչ է նրան անհրաժեշտ, նա ցույց տվեց կամ Պիեռին, հետո խմիչքը, հետո շշուկով նա հարցականով կանչեց արքայազն Վասիլիին, ապա ցույց տվեց վերմակը: Հիվանդի աչքերն ու դեմքը ցույց էին տալիս անհամբերություն։ Նա ջանք գործադրեց նայելու ծառային, ով առանց հեռանալու կանգնած էր մահճակալի գլխին։
«Նրանք ուզում են մյուս կողմը գլորվել», - շշնջաց ծառան և վեր կացավ, որպեսզի կոմսի ծանր մարմինը շրջի դեպի պատը:
Պիեռը վեր կացավ՝ օգնելու ծառային։
Մինչ կոմսը շրջում էին, նրա ձեռքերից մեկն անօգնական ետ ընկավ, և նա ապարդյուն ջանք գործադրեց այն քարշ տալու համար։ Արդյո՞ք կոմսը նկատեց այն սարսափի հայացքը, որով Պիեռը նայեց այս անշունչ ձեռքին, կամ ինչ այլ միտք փայլատակեց նրա մահամերձ գլխում այդ պահին, բայց նա նայեց անհնազանդ ձեռքին, Պիեռի դեմքի սարսափի արտահայտությանը, նորից՝ ձեռքին, իսկ դեմքին նա ուներ թույլ, տառապող ժպիտ, որը այնքան էլ չէր համապատասխանում իր դիմագծերին՝ արտահայտելով, ասես, ծաղր իր իսկ անզորության հանդեպ։ Հանկարծ, տեսնելով այս ժպիտը, Պիերը կրծքավանդակում սարսուռ զգաց, քթի մեջ կծկված, և արցունքները մթագնում էին նրա տեսողությունը: Հիվանդը կողքի վրա շրջվել է պատին։ Նա հառաչեց։
- Il est assoupi, [Նա քնեց], - ասաց Աննա Միխայլովնան՝ նկատելով փոխելու եկած արքայադստերը: -Ալոնս. [Եկեք գնանք:]
Պիեռը հեռացավ։