Ինչ է դրական ամբողջ թիվը: Թվեր

Այս հոդվածի տեղեկատվությունը ձևավորվում է ընդհանուր գաղափարմասին ամբողջ թվեր. Նախ տրված է ամբողջ թվերի սահմանումը և բերվում են օրինակներ։ Հաջորդիվ դիտարկվում են թվային տողի ամբողջ թվերը, որոնցից պարզ է դառնում, թե որ թվերն են կոչվում դրական ամբողջ թվեր, իսկ որոնք՝ բացասական: Դրանից հետո ցուցադրվում է, թե ինչպես են նկարագրվում քանակական փոփոխությունները՝ օգտագործելով ամբողջ թվերը, իսկ բացասական ամբողջ թվերը դիտարկվում են պարտքի իմաստով։

Էջի նավարկություն.

Ամբողջ թվեր - սահմանում և օրինակներ

Սահմանում.

Ամբողջ թվերբնական թվեր են, զրո թիվը, ինչպես նաև բնական թվերին հակադիր թվեր։

Ամբողջ թվերի սահմանման մեջ նշվում է, որ 1, 2, 3, … թվերից որևէ մեկը, 0 թիվը, ինչպես նաև −1, −2, −3, … թվերից որևէ մեկը ամբողջ թիվ է։ Այժմ մենք հեշտությամբ կարող ենք բերել ամբողջ թվերի օրինակներ. Օրինակ՝ 38 թիվը ամբողջ թիվ է, 70 040 թիվը նույնպես ամբողջ թիվ է, զրոն ամբողջ թիվ է (հիշենք, որ զրոն բնական թիվ ՉԻ, զրոն ամբողջ թիվ է), −999 , −1 , −8 934 թվերը։ 832-ը նույնպես ամբողջ թվերի օրինակներ են։

Հարմար է բոլոր ամբողջ թվերը ներկայացնել որպես ամբողջ թվերի հաջորդականություն, որն ունի հետևյալ ձևը՝ 0, ±1, ±2, ±3, … Ամբողջ թվերի հաջորդականությունը կարելի է գրել նաև հետևյալ կերպ. …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Ամբողջ թվերի սահմանումից բխում է, որ բնական թվերի բազմությունը ամբողջ թվերի բազմության ենթաբազմություն է։ Հետևաբար, յուրաքանչյուր բնական թիվ ամբողջ թիվ է, բայց ամեն մի ամբողջ թիվ չէ:

Ամբողջ թվեր կոորդինատային գծի վրա

Սահմանում.

Ամբողջական դրական թվերամբողջ թվեր են, որոնք մեծ են զրոյից:

Սահմանում.

Ամբողջական բացասական թվերամբողջ թվեր են, որոնք փոքր են զրոյից:

Ամբողջական դրական և բացասական թվերը կարող են որոշվել նաև կոորդինատային գծի վրա նրանց դիրքով։ Հորիզոնական կոորդինատային գծի վրա կետերը, որոնց կոորդինատները դրական ամբողջ թվեր են, գտնվում են սկզբնակետից աջ: Իր հերթին, բացասական ամբողջ կոորդինատներով կետերը գտնվում են O կետից ձախ:

Պարզ է, որ բոլոր դրական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերի բազմությունն է։ Իր հերթին, բոլոր բացասական ամբողջ թվերի բազմությունը բնական թվերին հակադիր բոլոր թվերի բազմությունն է։

Առանձին-առանձին ձեր ուշադրությունն ենք հրավիրում այն ​​փաստի վրա, որ ցանկացած բնական թիվ մենք կարող ենք ապահով կերպով անվանել ամբողջ թիվ, և ՉԻ կարելի որևէ ամբողջ թիվ անվանել բնական թիվ։ Բնական կարող ենք անվանել միայն ցանկացած դրական ամբողջ թիվ, քանի որ բացասական ամբողջ թվերը և զրոն բնական չեն:

Ամբողջական ոչ դրական և ամբողջ թվով ոչ բացասական թվեր

Տանք ոչ դրական և ոչ բացասական ամբողջ թվերի սահմանումները:

Սահմանում.

Բոլոր դրական ամբողջ թվերը զրոյի հետ միասին կոչվում են ամբողջ թվով ոչ բացասական թվեր.

Սահմանում.

Ամբողջական ոչ դրական թվերբոլորը բացասական ամբողջ թվեր են 0 թվի հետ միասին:

Այլ կերպ ասած, ոչ բացասական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը մեծ է կամ հավասար է զրոյին, իսկ ոչ դրական ամբողջ թիվն այն ամբողջ թիվն է, որը փոքր է կամ հավասար է զրոյին:

Ոչ դրական ամբողջ թվերի օրինակներ են -511, -10 030, 0, -2 թվերը, իսկ որպես ոչ բացասական ամբողջ թվերի օրինակներ բերենք 45, 506, 0, 900 321 թվերը։

Ամենից հաճախ հակիրճության համար օգտագործվում են «ոչ դրական ամբողջ թվեր» և «ոչ բացասական ամբողջ թվեր» տերմինները։ Օրինակ՝ «a թիվը ամբողջ թիվ է, իսկ a-ն մեծ է զրոյից կամ հավասար է զրոյի» արտահայտության փոխարեն կարող եք ասել «a-ն ոչ բացասական ամբողջ թիվ է»։

Ամբողջ թվերի օգտագործմամբ փոփոխվող արժեքների նկարագրություն

Ժամանակն է խոսել այն մասին, թե ինչի համար են ամբողջ թվերը:

Ամբողջ թվերի հիմնական նպատակն այն է, որ նրանց օգնությամբ հարմար է նկարագրել ցանկացած տարրերի քանակի փոփոխությունը։ Սրան անդրադառնանք օրինակներով։

Ենթադրենք, պահեստում կա որոշակի քանակությամբ մասեր: Եթե, օրինակ, պահեստ բերվի ևս 400 դետալ, ապա պահեստում դետալների քանակը կավելանա, իսկ 400 թիվը արտահայտում է քանակի այս փոփոխությունը դրական ուղղությամբ (ավելացման ուղղությամբ)։ Եթե, օրինակ, պահեստից վերցվի 100 դետալ, ապա պահեստում դետալների թիվը կնվազի, իսկ 100 թիվը բացասական ուղղությամբ (նվազման ուղղությամբ) կհայտնի քանակի փոփոխությունը։ Ոչ մի դետալ չի բերվի պահեստ, ոչ էլ պահեստից կվերցվի դետալ, ապա կարելի է խոսել մասերի քանակի անփոփոխության մասին (այսինքն՝ կարելի է խոսել քանակի զրոյական փոփոխության մասին)։

Բերված օրինակներում մասերի քանակի փոփոխությունը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով համապատասխանաբար 400, −100 և 0 ամբողջ թվերը։ Դրական 400 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս քանակի դրական փոփոխություն (աճ): Բացասական −100 ամբողջ թիվն արտահայտում է քանակի բացասական փոփոխություն (նվազում): 0 ամբողջ թիվը ցույց է տալիս, որ քանակը չի փոխվել։

Բնական թվերի կիրառման համեմատ ամբողջ թվերի օգտագործման հարմարավետությունն այն է, որ կարիք չկա հստակորեն նշել, թե արդյոք մեծությունը մեծանում է, թե նվազում. ամբողջ թիվը նշում է փոփոխությունը քանակապես, իսկ ամբողջ թվի նշանը՝ փոփոխության ուղղությունը:

Ամբողջ թվերը կարող են նաև արտահայտել ոչ միայն քանակի փոփոխություն, այլև որոշ արժեքի փոփոխություն։ Եկեք դրանով զբաղվենք՝ օգտագործելով ջերմաստիճանի փոփոխության օրինակը:

Ջերմաստիճանի աճը, ասենք, 4 աստիճանով արտահայտվում է որպես դրական ամբողջ թիվ 4: Ջերմաստիճանի նվազումը, օրինակ, 12 աստիճանով կարելի է բնութագրել −12 բացասական ամբողջ թվով։ Իսկ ջերմաստիճանի անփոփոխությունը նրա փոփոխությունն է, որը որոշվում է 0 ամբողջ թվով։

Առանձին-առանձին պետք է ասել բացասական ամբողջ թվերի մեկնաբանման մասին՝ որպես պարտքի չափ։ Օրինակ, եթե մենք ունենք 3 խնձոր, ապա դրական ամբողջ թիվը 3-ը ներկայացնում է մեր ունեցած խնձորների քանակը: Մյուս կողմից, եթե մենք պետք է ինչ-որ մեկին տանք 5 խնձոր, և մենք դրանք չունենք, ապա այս իրավիճակը կարելի է նկարագրել՝ օգտագործելով −5 բացասական ամբողջ թիվը։ Այս դեպքում մենք «սեփական» ենք −5 խնձորի, մինուս նշանը ցույց է տալիս պարտքը, իսկ 5 թիվը՝ քանակական պարտքը:

Բացասական ամբողջ թվի որպես պարտք ըմբռնումը թույլ է տալիս, օրինակ, արդարացնել բացասական ամբողջ թվերի ավելացման կանոնը։ Օրինակ բերենք. Եթե ​​ինչ-որ մեկը մեկին պարտք է 2 խնձոր, իսկ մյուսին՝ մեկ խնձոր, ապա ընդհանուր պարտքը կազմում է 2+1=3 խնձոր, ուրեմն −2+(−1)=−3:

Մատենագիտություն.

• Վիլենկին Ն.Յա. և այլն Մաթեմատիկա. Դասարան 6. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների համար.

Թիվ- ամենակարեւոր մաթեմատիկական հայեցակարգը, որը փոխվել է դարերի ընթացքում:

Թվի մասին առաջին պատկերացումներն առաջացել են մարդկանց, կենդանիների, մրգերի, տարբեր ապրանքների և այլն հաշվելուց: Արդյունքում ստացվում են բնական թվեր՝ 1, 2, 3, 4, ...

Պատմականորեն թիվ հասկացության առաջին ընդլայնումը կոտորակային թվերի գումարումն է բնական թվին։

Կրակոցկոչվում է միավորի մաս (բաժնեմաս) կամ դրա մի քանի հավասար մասեր:

Նշանակված՝ ուր մ, ն- ամբողջ թվեր;

10 հայտարարով կոտորակներ n, որտեղ nամբողջ թիվ է, կոչվում են տասնորդական: .

Տասնորդական կոտորակների մեջ առանձնահատուկ տեղ է զբաղեցնում պարբերական կոտորակներ: - մաքուր պարբերական կոտորակ, - խառը պարբերական կոտորակ:

Թիվ հասկացության հետագա ընդլայնումն արդեն իսկ պայմանավորված է հենց մաթեմատիկայի (հանրահաշվի) զարգացմամբ։ Դեկարտը 17-րդ դարում ներկայացնում է հայեցակարգը բացասական թիվ.

Ամբողջ (դրական և բացասական), կոտորակային (դրական և բացասական) և զրո թվերը կոչվում են ռացիոնալ թվեր. Ցանկացած ռացիոնալ թիվ կարելի է գրել որպես վերջավոր և պարբերական կոտորակ։

Շարունակաբար փոփոխվող փոփոխականները ուսումնասիրելու համար անհրաժեշտ էր ընդլայնել թվի հայեցակարգը՝ իրական (իրական) թվերի ներմուծումը՝ ռացիոնալ թվերին ավելացնելով իռացիոնալ թվեր. իռացիոնալ թվերանվերջ տասնորդական ոչ պարբերական կոտորակներ են։

Իռացիոնալ թվերը հայտնվել են անհամեմատելի հատվածները (քառակուսու կողմը և անկյունագիծը) չափելիս, հանրահաշիվում՝ արմատներ հանելիս, տրանսցենդենտալ, իռացիոնալ թվի օրինակ է π, ե .

Թվեր բնական(1, 2, 3,...), ամբողջ(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), ռացիոնալ(ներկայացվում է որպես կոտորակ) և իռացիոնալ(չի ներկայացվում որպես կոտորակ ) կազմել հավաքածու իրական (իրական)թվեր։

Առանձին մաթեմատիկայի մեջ առանձնացնում են կոմպլեքս թվերը։

Կոմպլեքս թվերառաջանում են գործի համար քառակուսիներ լուծելու խնդրի հետ կապված Դ< 0 (здесь Դքառակուսի հավասարման տարբերակիչն է): Երկար ժամանակ այս թվերը ֆիզիկական կիրառություն չէին գտնում, ինչի պատճառով էլ դրանք կոչվում էին «երևակայական» թվեր։ Այնուամենայնիվ, այժմ դրանք շատ լայնորեն կիրառվում են ֆիզիկայի և տեխնիկայի տարբեր ոլորտներում՝ էլեկտրատեխնիկա, հիդրո և աերոդինամիկա, առաձգականության տեսություն և այլն։

Կոմպլեքս թվեր գրվում են՝ z= ա+ երկ. Այստեղ աև բ – իրական թվեր, ա ես – երևակայական միավոր.ե. ես 2 = - մեկ. Թիվ ականչեց abscissa, ա բ-օրդինալհամալիր համարը ա+ երկ. Երկու կոմպլեքս թվեր ա+ երկև ա-բիկանչեց զուգորդելկոմպլեքս թվեր.

Հատկություններ:

1. Իրական թիվ ակարելի է գրել նաև որպես բարդ թիվ. ա+ 0եսկամ ա - 0ես. Օրինակ 5 + 0 եսև 5-0 եսնշանակում է նույն 5 թիվը:

2. Համալիր թիվ 0 + երկկանչեց զուտ երևակայական թիվ. Ձայնագրությունը երկնշանակում է նույնը, ինչ 0 + երկ.

3. Երկու կոմպլեքս թվեր ա+ երկև գ+ դիհամարվում են հավասար, եթե ա= գև բ= դ. Հակառակ դեպքում կոմպլեքս թվերը հավասար չեն։

Գործողություններ:

Հավելում. Կոմպլեքս թվերի գումարը ա+ երկև գ+ դիկոչվում է կոմպլեքս թիվ ( ա+ գ) + (բ+ դ)ես. Այսպիսով, կոմպլեքս թվեր գումարելիս դրանց աբսցիսներն ու օրդինատները գումարվում են առանձին։

հանում. Երկու բարդ թվերի տարբերությունը ա+ երկ(նվազեցված) և գ+ դի(հանված) կոչվում է բարդ թիվ ( ա-գ) + (բ-դ)ես. Այսպիսով, երկու կոմպլեքս թվեր հանելիս դրանց աբսցիսներն ու օրդինատները հանվում են առանձին։

Բազմապատկում. Կոմպլեքս թվերի արտադրյալը ա+ երկև գ+ դիկոչվում է կոմպլեքս թիվ:

(ac-bd) + (Հայտարարություն+ մ.թ.ա)ես. Այս սահմանումը բխում է երկու պահանջներից.

1) թվեր ա+ երկև գ+ դիպետք է բազմապատկվի հանրահաշվական երկանդամների պես,

2) համարը եսունի հիմնական գույքը. ես 2 = –1.

ՕՐԻՆԱԿ ( a + bi)(ա-բի)= ա 2 +b 2 . Հետևաբար, աշխատանքերկու խոնարհված բարդ թվերը հավասար են դրական իրական թվի:

Բաժանում. Բաժանեք բարդ թիվ ա+ երկ(բաժանելի) մյուսին գ+ դի (բաժանարար) - նշանակում է գտնել երրորդ թիվը ե+ fi(chat), որը, երբ բազմապատկվում է բաժանարարով գ+ դի, որի արդյունքում ստացվում է շահաբաժին ա+ երկ. Եթե ​​բաժանարարը զրո չէ, բաժանումը միշտ հնարավոր է:

ՕՐԻՆԱԿ Գտեք (8+ ես) : (2 – 3ես) .

Լուծում Եկեք վերագրենք այս հարաբերակցությունը որպես կոտորակ.

Նրա համարիչը և հայտարարը բազմապատկելով 2 + 3-ով եսև կատարելով բոլոր վերափոխումները՝ մենք ստանում ենք.

Առաջադրանք 1. գումարել, հանել, բազմապատկել և բաժանել z 1 դեպի զ 2

Քառակուսի արմատի հանում. Լուծե՛ք հավասարումը x 2 = -ա. Այս հավասարումը լուծելու համարմենք ստիպված ենք օգտագործել նոր տեսակի թվեր. երևակայական թվեր . Այսպիսով, երևակայական համարը կոչվում է որի երկրորդ հզորությունը բացասական թիվ է. Ըստ երևակայական թվերի այս սահմանման՝ մենք կարող ենք սահմանել և երևակայական միավոր:

Այնուհետև հավասարման համար x 2 = - 25 մենք ստանում ենք երկու երևակայականարմատ:

Առաջադրանք 2: Լուծե՛ք հավասարումը.

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Կոմպլեքս թվերի երկրաչափական պատկերը: Իրական թվերը ներկայացված են թվային տողի կետերով.

Այստեղ է կետը Անշանակում է թիվ -3, կետ Բթիվ 2-ն է, և Օ-զրո. Ի հակադրություն, կոմպլեքս թվերը ներկայացված են կոորդինատային հարթության կետերով: Դրա համար մենք ընտրում ենք ուղղանկյուն (դեկարտյան) կոորդինատներ՝ նույն սանդղակներով երկու առանցքների վրա: Հետո կոմպլեքս թիվը ա+ երկկներկայացվի կետով Պ աբսցիսովա եւ ձեռնադրելբ. Այս կոորդինատային համակարգը կոչվում է բարդ հարթություն .

մոդուլ Կոմպլեքս թիվը կոչվում է վեկտորի երկարություն OP, կոորդինատի վրա պատկերելով բարդ թիվ ( ինտեգրված) Ինքնաթիռ. Համալիր թվերի մոդուլ ա+ երկնշվում է | ա+ երկ| կամ) նամակ rև հավասար է.

Խոնարհված կոմպլեքս թվերն ունեն նույն մոդուլը։

Գծանկար կազմելու կանոնները գրեթե նույնն են, ինչ Դեկարտյան կոորդինատային համակարգում գծագրելու համար: Առանցքների երկայնքով անհրաժեշտ է սահմանել չափը, նշեք.

ե
միավոր իրական առանցքի երկայնքով; Ռեզ

երևակայական միավոր երևակայական առանցքի երկայնքով: ես զ

Առաջադրանք 3. Բարդ հարթության վրա կառուցեք հետևյալ կոմպլեքս թվերը. , , , , , , ,

1. Թվերը ճշգրիտ են և մոտավոր։Թվերը, որոնց մենք հանդիպում ենք գործնականում, երկու տեսակի են. Ոմանք տալիս են քանակի իրական արժեքը, մյուսները՝ միայն մոտավոր։ Առաջինը կոչվում է ճշգրիտ, երկրորդը՝ մոտավոր։ Ամենից հաճախ ճշգրիտ թվի փոխարեն հարմար է օգտագործել մոտավոր թիվ, մանավանդ, որ շատ դեպքերում ճշգրիտ թիվը ընդհանրապես հնարավոր չէ գտնել։

Այսպիսով, եթե ասում են, որ դասարանում 29 աշակերտ կա, ապա 29 թիվը ճշգրիտ է։ Եթե ​​ասում են, որ Մոսկվայից Կիև հեռավորությունը 960 կմ է, ապա այստեղ 960 թիվը մոտավոր է, քանի որ, մի կողմից, մեր չափիչ գործիքները բացարձակ ճշգրիտ չեն, մյուս կողմից՝ քաղաքներն իրենք ունեն որոշակի չափ։

Մոտավոր թվերով գործողությունների արդյունքը նույնպես մոտավոր թիվ է։ Որոշ գործողություններ կատարելով ճշգրիտ թվերի վրա (բաժանել, հանել արմատը) կարող եք ստանալ նաև մոտավոր թվեր։

Մոտավոր հաշվարկների տեսությունը թույլ է տալիս.

1) իմանալով տվյալների ճշտության աստիճանը, գնահատել արդյունքների ճշտության աստիճանը.

2) վերցնել տվյալներ համապատասխան աստիճանի ճշգրտությամբ, որը բավարար է արդյունքի պահանջվող ճշգրտությունն ապահովելու համար.

3) ռացիոնալացնել հաշվարկման գործընթացը՝ այն ազատելով այն հաշվարկներից, որոնք չեն ազդի արդյունքի ճշտության վրա։

2. Կլորացում.Մոտավոր թվերի աղբյուրը կլորացումն է: Կլորացրեք և՛ մոտավոր, և՛ ճշգրիտ թվերը:

Տրված թվի կլորացումը նրա որոշ թվանշանների վրա նշանակում է փոխարինել նոր թվով, որը ստացվում է տրվածից՝ հեռացնելով այս թվանշանի աջ կողմում գրված նրա բոլոր թվանշանները կամ դրանք փոխարինելով զրոներով։ Այս զրոները սովորաբար ընդգծված են կամ ավելի փոքր գրված։ Կլորացված թվի կլորացված թվին ամենամոտ մոտիկությունն ապահովելու համար պետք է օգտագործվեն հետևյալ կանոնները՝ թիվը որոշակի թվանշանի միավորին կլորացնելու համար պետք է հրաժարվել այս թվանշանից հետո բոլոր թվանշանները, և դրանք փոխարինել ամբողջ թվով զրոներով: Սա հաշվի է առնում հետևյալը.

1) եթե մերժված թվանշաններից առաջինը (ձախը) 5-ից փոքր է, ապա վերջին մնացած թվանշանը չի փոխվում (կլորացվում է ներքև).

2) եթե առաջին դեն նետված թվանշանը մեծ է 5-ից կամ հավասար է 5-ի, ապա մնացած վերջին թվանշանը մեծանում է մեկով (կլորացվում է դեպի վեր):

Սա ցույց տանք օրինակներով։ Կլորացնել՝

ա) մինչև 12.34-ի տասներորդները.

բ) մինչև 3,2465 հարյուրերորդական; 1038.785;

գ) մինչև 3,4335 հազարերորդական:

դ) մինչեւ 12375 հազ. 320729։

ա) 12,34 ≈ 12,3;

բ) 3,2465 ≈ 3,25; 1038.785 ≈ 1038.79;

գ) 3,4335 ≈ 3,434:

դ) 12375 ≈ 12000; 320729 ≈ 321000։

3. Բացարձակ և հարաբերական սխալներ.Ճշգրիտ թվի և դրա մոտավոր արժեքի տարբերությունը կոչվում է մոտավոր թվի բացարձակ սխալ։ Օրինակ, եթե ճշգրիտ թիվը 1.214-ը կլորացվում է տասներորդական, մենք ստանում ենք մոտավոր 1.2 թիվը: Այս դեպքում 1.2 մոտավոր թվի բացարձակ սխալը 1.214 - 1.2 է, այսինքն. 0,014.

Բայց շատ դեպքերում ճշգրիտ արժեքհամարվող արժեքը անհայտ է, բայց միայն մոտավոր: Ապա բացարձակ սխալը նույնպես անհայտ է։ Այս դեպքերում նշեք այն սահմանը, որը չի գերազանցում: Այս թիվը կոչվում է սահմանային բացարձակ սխալ: Նրանք ասում են, որ թվի ճշգրիտ արժեքը հավասար է նրա մոտավոր արժեքին` սահմանային սխալից փոքր սխալով: Օրինակ՝ 23,71 թիվը 23,7125 թվի մոտավոր արժեքն է 0,01 ճշտությամբ, քանի որ բացարձակ մոտարկման սխալը 0,0025 է և 0,01-ից փոքր։ Այստեղ սահմանային բացարձակ սխալը հավասար է 0,01 * .

Մոտավոր թվի սահմանային բացարձակ սխալ անշվում է Δ նշանով ա. Ձայնագրությունը

x≈ա(±Δ ա)

պետք է հասկանալ հետևյալ կերպ՝ քանակի ճշգրիտ արժեքը xարանքում է ա– Δ աև ա+ Δ ա, որոնք կոչվում են համապատասխանաբար ստորին և վերին սահմաններ։ Xև նշանակել NG xՎ.Գ X.

Օրինակ, եթե x≈ 2.3 (±0.1), ապա 2.2<x< 2,4.

Ընդհակառակը, եթե 7.3< X< 7,4, тоX≈ 7.35 (±0.05): Բացարձակ կամ սահմանային բացարձակ սխալը չի ​​բնութագրում չափման որակը: Նույն բացարձակ սխալը կարելի է էական և աննշան համարել՝ կախված չափված արժեքն արտահայտող թվից։ Օրինակ, եթե մենք չափում ենք երկու քաղաքների միջև հեռավորությունը մեկ կիլոմետր ճշտությամբ, ապա նման ճշգրտությունը միանգամայն բավարար է այս փոփոխության համար, մինչդեռ, միևնույն ժամանակ, նույն փողոցի երկու տների միջև հեռավորությունը չափելիս նման ճշգրտություն կլինի. անընդունելի. Հետևաբար, մեծության մոտավոր արժեքի ճշգրտությունը կախված է ոչ միայն բացարձակ սխալի մեծությունից, այլև չափված մեծության արժեքից։ Հետևաբար, ճշգրտության չափանիշը հարաբերական սխալն է:

Հարաբերական սխալը բացարձակ սխալի հարաբերակցությունն է մոտավոր թվի արժեքին: Սահմանային բացարձակ սխալի հարաբերակցությունը մոտավոր թվին կոչվում է սահմանային հարաբերական սխալ. Նշեք այն այսպես. Հարաբերական և սահմանային հարաբերական սխալները սովորաբար արտահայտվում են որպես տոկոս: Օրինակ, եթե չափումները ցույց են տալիս, որ հեռավորությունը Xերկու կետերի միջև ավելի քան 12,3 կմ է, բայց պակաս, քան 12,7 կմ, ապա այս երկու թվերի միջին թվաբանականը վերցվում է որպես մոտավոր արժեք, այսինքն. դրանց կիսագումարը, ապա սահմանային բացարձակ սխալը հավասար է այս թվերի կես տարբերությանը: Այս դեպքում X≈ 12.5 (±0.2): Այստեղ սահմանային բացարձակ սխալը 0,2 կմ է, իսկ սահմանի հարաբերականը

1) Ես անմիջապես բաժանում եմ, քանի որ երկու թվերն էլ 100%-ով բաժանվում են.

2) Ես կբաժանեմ մնացած մեծ թվերով (ներ), քանի որ դրանք բաժանվում են առանց մնացորդի (միևնույն ժամանակ, ես չեմ քայքայվի, դա արդեն ընդհանուր բաժանարար է).

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Ես կհեռանամ և մենակ կսկսեմ հաշվի առնել թվերը և. Երկու թվերն էլ ճշգրիտ բաժանվում են (ավարտվում են զույգ թվերով (այս դեպքում ներկայացնում ենք որպես, բայց կարելի է բաժանել)):

4) Մենք աշխատում ենք թվերով և. Նրանք ընդհանուր բաժանարարներ ունե՞ն: Դա նույնքան հեշտ է, որքան նախորդ քայլերում, և դուք չեք կարող ասել, ուստի մենք պարզապես դրանք կկազմակերպենք պարզ գործոնների.

5) Ինչպես տեսնում ենք, մենք ճիշտ էինք. և չունենք ընդհանուր բաժանարարներ, և այժմ մենք պետք է բազմապատկենք:
GCD

Առաջադրանք թիվ 2. Գտեք 345 և 324 թվերի GCD

Այստեղ ես չեմ կարող արագ գտնել գոնե մեկ ընդհանուր բաժանարար, ուստի ես պարզապես տարրալուծվում եմ պարզ գործոնների (որքան հնարավոր է քիչ).

Ճիշտ է, GCD, և ես ի սկզբանե չեմ ստուգել բաժանելիության չափանիշը, և, հավանաբար, ստիպված չլինեի անել այդքան շատ գործողություններ:

Բայց դու ստուգեցիր, չէ՞:

Ինչպես տեսնում եք, դա բավականին հեշտ է:

Նվազագույն ընդհանուր բազմապատիկ (LCM) - խնայում է ժամանակը, օգնում է լուծել խնդիրները արկղից դուրս

Ենթադրենք, դուք ունեք երկու թիվ և. Ո՞րն է ամենափոքր թիվը, որը բաժանվում է առանց հետքի(այսինքն ամբողջությամբ)? Դժվա՞ր է պատկերացնել։ Ահա ձեզ համար տեսողական հուշում.

Հիշու՞մ եք, թե ինչ է նշանակում նամակը։ Ճիշտ է, պարզապես ամբողջ թվեր.Այսպիսով, ո՞րն է ամենափոքր թիվը, որը համապատասխանում է x-ին: :

Այս դեպքում.

Այս պարզ օրինակից բխում են մի քանի կանոններ.

ԱՕԿ-ը արագ գտնելու կանոններ

Կանոն 1. Եթե երկու բնական թվերից մեկը բաժանվում է մեկ այլ թվի, ապա այս երկու թվերից մեծը նրանց ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկն է։

Գտեք հետևյալ թվերը.

• ՀԱՕԿ (7;21)
• ՀԱՕԿ (6;12)
• ԱՕԿ (5;15)
• ԱՕԿ (3;33)

Իհարկե, դուք հեշտությամբ գլուխ հանեցիք այս առաջադրանքից, և ստացաք պատասխանները, և.

Նշենք, որ կանոնում խոսքը ԵՐԿՈՒ թվի մասին է, եթե թվերն ավելի շատ են, ապա կանոնը չի գործում։

Օրինակ, LCM (7;14;21) հավասար չէ 21-ի, քանի որ այն չի կարող բաժանվել առանց մնացորդի:

Կանոն 2. Եթե երկու (կամ երկուսից ավելի) թվեր համապարփակ են, ապա ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը հավասար է նրանց արտադրյալին:

գտնել ՀԱՕԿհետևյալ թվերի համար.

• ԱՕԿ (1;3;7)
• ՀԱՕԿ (3;7;11)
• ԱՕԿ (2;3;7)
• ԱՕԿ (3;5;2)

Դուք հաշվել եք? Ահա պատասխանները - , ; .

Ինչպես հասկանում եք, միշտ չէ, որ այդքան հեշտ է վերցնել և վերցնել այս նույն x-ը, ուստի մի փոքր ավելի բարդ թվերի համար կա հետևյալ ալգորիթմը.

Պարապե՞նք։

Գտեք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը - LCM (345; 234)

Եկեք բաժանենք յուրաքանչյուր թիվը.

Ինչու՞ հենց նոր գրեցի:

Հիշեք բաժանելիության նշանները՝ բաժանվում է (վերջին թվանշանը զույգ է) և թվանշանների գումարը բաժանվում է վրա։

Համապատասխանաբար, մենք կարող ենք անմիջապես բաժանել՝ գրելով որպես.

Այժմ մենք գրում ենք տողում ամենաերկար ընդլայնումը `երկրորդը.

Դրան ավելացնենք առաջին ընդլայնման թվերը, որոնք մեր գրածի մեջ չեն.

Նշում. մենք գրել ենք ամեն ինչ, բացառությամբ, քանի որ մենք արդեն ունենք:

Այժմ մենք պետք է բազմապատկենք այս բոլոր թվերը:

Ինքներդ գտեք ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM):

Ի՞նչ պատասխաններ ստացաք։

Ահա թե ինչ կատարվեց ինձ հետ.

Որքա՞ն ժամանակ է պահանջվել գտնելու համար ՀԱՕԿ? Իմ ժամանակը 2 րոպե է, ես իսկապես գիտեմ մեկ հնարք, որն առաջարկում եմ բացել հենց հիմա։

Եթե ​​շատ ուշադիր եք, ապա հավանաբար նկատել եք, որ տվյալ թվերի համար մենք արդեն փնտրել ենք GCDև դուք կարող եք վերցնել այս թվերի ֆակտորիզացիան այդ օրինակից՝ դրանով իսկ պարզեցնելով ձեր խնդիրը, բայց սա հեռու է ամեն ինչից:

Նայեք նկարին, միգուցե ձեզ մոտ այլ մտքեր ծագեն.

Դե? Մի հուշում կտամ՝ փորձիր բազմապատկել ՀԱՕԿև GCDմիմյանց միջև և գրի առնել բոլոր այն գործոնները, որոնք կլինեն բազմապատկելիս: Դուք հասցրե՞լ եք: Դուք պետք է ավարտեք այսպիսի շղթա.

Ուշադիր նայեք դրան. համեմատեք գործոնները, թե ինչպես և ինչպես են քայքայվում:

Ի՞նչ եզրակացություն կարող եք անել սրանից։ Ճիշտ! Եթե ​​արժեքները բազմապատկենք ՀԱՕԿև GCDմիմյանց միջև, ապա մենք ստանում ենք այս թվերի արտադրյալը:

Ըստ այդմ՝ ունենալով թվեր և նշանակություն GCD(կամ ՀԱՕԿ), մենք կարող ենք գտնել ՀԱՕԿ(կամ GCD) հետևյալ կերպ.

1. Գտե՛ք թվերի արտադրյալը.

2. Ստացված արտադրանքը բաժանում ենք մեր GCD (6240; 6800) = 80:

Այսքանը:

Գրենք կանոնը ընդհանուր ձևով.

Փորձիր գտնել GCDեթե հայտնի է, որ.

Դուք հասցրե՞լ եք: .

Բացասական թվեր՝ «կեղծ թվեր» և դրանց ճանաչումը մարդկության կողմից։

Ինչպես արդեն հասկացաք, դրանք բնական թվերին հակառակ թվեր են, այսինքն.

Թվում է, թե նրանք այդքան առանձնահատուկ են:

Բայց փաստն այն է, որ բացասական թվերը մաթեմատիկայի մեջ «գրավեցին» իրենց արժանի տեղը մինչև 19-րդ դարը (մինչ այդ պահը հսկայական հակասություններ կային, թե դրանք գոյություն ունեն, թե ոչ):

Բացասական թիվն ինքնին առաջացել է բնական թվերի հետ այնպիսի գործողության պատճառով, ինչպիսին է «հանումը»։

Իսկապես, հանել - դա բացասական թիվ է: Այդ պատճառով բացասական թվերի բազմությունը հաճախ կոչվում է «բնական թվերի բազմության ընդլայնում»:

Բացասական թվերը երկար ժամանակ չէին ճանաչում մարդկանց կողմից։

Այսպիսով, Հին Եգիպտոսը, Բաբելոնը և Հին Հունաստանը` իրենց ժամանակի լույսերը, բացասական թվեր չէին ճանաչում, իսկ հավասարման մեջ բացասական արմատներ ստանալու դեպքում (օրինակ, ինչպես ունենք), արմատները մերժվեցին որպես անհնարին:

Առաջին անգամ բացասական թվերն իրենց գոյության իրավունքը ստացան Չինաստանում, իսկ հետո 7-րդ դարում՝ Հնդկաստանում։

Ի՞նչ կարծիքի եք այս խոստովանության մասին։

Ճիշտ է, բացասական թվերը սկսեցին նշանակել պարտքեր (հակառակ դեպքում՝ պակաս):

Ենթադրվում էր, որ բացասական թվերը ժամանակավոր արժեք են, որոնք արդյունքում կփոխվեն դրականի (այսինքն՝ գումարը դեռ կվերադարձվի պարտատիրոջը): Այնուամենայնիվ, հնդիկ մաթեմատիկոս Բրահմագուպտան արդեն այն ժամանակ բացասական թվերը համարում էր դրականների հետ հավասար հիմունքներով:

Եվրոպայում բացասական թվերի օգտակարությունը, ինչպես նաև այն, որ դրանք կարող են նշանակել պարտք, եկավ շատ ավելի ուշ, այսինքն՝ հազարամյակ։

Առաջին հիշատակումը նկատվել է 1202 թվականին Լեոնարդ Պիզայի «Աբակոսի գրքում» (ես անմիջապես ասում եմ, որ գրքի հեղինակը կապ չունի Պիզայի թեք աշտարակի հետ, բայց Ֆիբոնաչիի թվերը նրա աշխատանքն են ( Լեոնարդո Պիզայի մականունը Ֆիբոնաչի է):

Այսպիսով, XVII դարում Պասկալը հավատում էր, որ.

Ի՞նչ եք կարծում, ինչպե՞ս է նա դա արդարացրել։

Ճիշտ է, «ոչինչ չի կարող պակաս լինել, քան ՈՉԻՆՉ»:

Այդ ժամանակների արձագանքը մնում է այն փաստը, որ բացասական թիվը և հանման գործողությունը նշվում են նույն նշանով՝ մինուս «-»: Եվ ճիշտ է. Արդյո՞ք « « թիվը դրակա՞ն է, որից հանվում է, թե՞ բացասական, որին գումարվում է... «« շարքից ինչ-որ բան, որն առաջինն է՝ հավը, թե՞ ձուն։ Ահա այսպիսի մաթեմատիկական փիլիսոփայություն.

Բացասական թվերն իրենց գոյության իրավունքն ապահովեցին վերլուծական երկրաչափության ի հայտ գալուց հետո, այլ կերպ ասած, երբ մաթեմատիկոսները ներկայացրեցին իրական առանցք:

Հենց այս պահից եկավ հավասարությունը։ Այնուամենայնիվ, հարցերը դեռ ավելի շատ էին, քան պատասխանները, օրինակ.

համամասնությունը

Այս համամասնությունը կոչվում է Առնո պարադոքս: Մտածեք, ի՞նչն է դրանում կասկածելի։

Եկեք միասին խոսենք " " ավելի քան " ", չէ՞: Այսպիսով, ըստ տրամաբանության, համամասնության ձախ կողմը պետք է մեծ լինի աջից, բայց դրանք հավասար են ... Ահա պարադոքսը:

Արդյունքում, մաթեմատիկոսները համաձայնեցին, որ Կարլ Գաուսը (այո, այո, սա նա է, ով համարում էր թվերի գումարը (կամ)) 1831 թվականին դրան վերջ դրեց։

Նա ասաց, որ բացասական թվերն ունեն նույն իրավունքները, ինչ դրականը, և այն, որ դրանք բոլոր բաների վրա չեն տարածվում, ոչինչ չի նշանակում, քանի որ կոտորակները նույնպես շատ բաների վրա չեն կիրառվում (չի պատահում, որ փորողը փոս փորի. դուք չեք կարող կինոթատրոնի տոմս գնել և այլն):

Մաթեմատիկոսները հանդարտվեցին միայն 19-րդ դարում, երբ բացասական թվերի տեսությունը ստեղծվեց Ուիլյամ Համիլթոնի և Հերման Գրասմանի կողմից։

Ահա թե որքան հակասական են դրանք, այս բացասական թվերը։

«Դատարկության» առաջացում, կամ զրոյի կենսագրություն.

Մաթեմատիկայի մեջ հատուկ թիվ.

Առաջին հայացքից սա ոչինչ է՝ ավելացրեք, հանեք - ոչինչ չի փոխվի, բայց դուք պարզապես պետք է այն վերագրեք «»-ի աջին, և ստացված թիվը շատ անգամ ավելի մեծ կլինի, քան սկզբնականը:

Զրո-ով բազմապատկելով՝ մենք ամեն ինչ վերածում ենք ոչնչի, բայց չենք կարող բաժանել «ոչնչի»։ Մի խոսքով, կախարդական համարը)

Զրոյի պատմությունը երկար է և բարդ։

Չինացիների գրվածքներում զրոյի հետք կա 2000 թ. և նույնիսկ ավելի վաղ մայաների հետ: Զրոյական նշանի առաջին օգտագործումը, ինչպես դա այսօր է, տեսել են հույն աստղագետների մոտ:

Կան բազմաթիվ վարկածներ, թե ինչու է ընտրվել նման «ոչինչ» անվանումը։

Որոշ պատմաբաններ հակված են կարծելու, որ սա օմիկրոն է, այսինքն. Հունարեն ոչինչ բառի առաջին տառը ouden է: Մեկ այլ վարկածի համաձայն՝ «օբոլ» բառը (գրեթե անարժեք մետաղադրամ) կյանք է տվել զրոյի խորհրդանիշին։

Զրոն (կամ զրո) որպես մաթեմատիկական նշան առաջին անգամ հայտնվում է հնդիկների մոտ(նկատի ունեցեք, որ բացասական թվերը սկսեցին «զարգանալ» այնտեղ):

Զրո գրելու առաջին հավաստի վկայությունը թվագրվում է 876 թվով, և դրանցում «»-ը թվի բաղադրիչն է։

Զրոն նույնպես ուշացումով եկավ Եվրոպա՝ միայն 1600 թվականին, և ինչպես բացասական թվերը, այնպես էլ դիմադրության հանդիպեց (ինչ անես, եվրոպացիներ են)։

«Զրոյին հաճախ ատում էին, երկար ժամանակ վախենում և նույնիսկ արգելում»— գրում է ամերիկացի մաթեմատիկոս Չարլզ Սեյֆը։

Այսպիսով, թուրք սուլթան Աբդուլ-Համիդ II-ը 19-րդ դարի վերջին. հրամայեց իր գրաքննիչներին ջնջել H2O ջրի բանաձևը քիմիայի բոլոր դասագրքերից՝ ընդունելով «O» տառը զրոյի համար և չցանկանալով, որ իր սկզբնատառերը արատավորվեն զազրելի զրոյին մոտ լինելու պատճառով:

Համացանցում կարելի է գտնել արտահայտությունը. «Զրոն տիեզերքի ամենահզոր ուժն է, այն կարող է անել ամեն ինչ: Զրոն ստեղծում է կարգուկանոն մաթեմատիկայի մեջ, և այն նաև քաոս է մտցնում դրա մեջ: Միանգամայն ճիշտ կետ :)

Բաժնի ամփոփում և հիմնական բանաձևեր

Ամբողջ թվերի բազմությունը բաղկացած է 3 մասից.

• բնական թվեր (մենք դրանք ավելի մանրամասն կքննարկենք ստորև);
• բնական թվերին հակառակ թվեր;
• զրո - " "

Ամբողջ թվերի բազմությունը նշվում է տառ Զ.

1. Բնական թվեր

Բնական թվերն այն թվերն են, որոնք մենք օգտագործում ենք առարկաները հաշվելու համար:

Նշվում է բնական թվերի բազմությունը նամակ N.

Ամբողջ թվերով գործողություններում ձեզ անհրաժեշտ կլինի GCD և LCM գտնելու ունակություն:

Մեծագույն ընդհանուր բաժանարար (GCD)

NOD-ը գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Թվերը տարրալուծեք պարզ գործակիցների (թվերի, որոնք չեն կարող բաժանվել որևէ այլով, քան ինքն իրեն կամ, օրինակ, և այլն):
2. Գրեք երկու թվերի մաս կազմող գործոնները:
3. Բազմապատկեք դրանք:

Ամենափոքր ընդհանուր բազմապատիկը (LCM)

NOC-ը գտնելու համար ձեզ հարկավոր է.

1. Գործոնացրեք թվերը պարզ գործոնների (դուք արդեն գիտեք, թե ինչպես դա անել շատ լավ):
2. Դուրս գրեք թվերից մեկի ընդլայնման մեջ ներառված գործոնները (ավելի լավ է վերցնել ամենաերկար շղթան):
3. Դրանց գումարեք մնացած թվերի ընդլայնումներից բացակայող գործոնները:
4. Գտեք ստացված գործոնների արտադրյալը:

2. Բացասական թվեր

Սրանք թվեր են, որոնք հակադիր են բնական թվերին, այսինքն.

Հիմա ես ուզում եմ լսել քեզնից...

Հուսով եմ՝ գնահատեցիք այս բաժնի գերօգտակար «հնարքները» և հասկացաք, թե ինչպես դրանք կօգնեն ձեզ քննության ժամանակ։

Եվ ավելի կարևոր է կյանքում: Ես դրա մասին չեմ խոսում, բայց հավատացեք, որ սա է: Արագ և առանց սխալների հաշվելու ունակությունը փրկում է կյանքի բազմաթիվ իրավիճակներում:

Հիմա ձեր հերթն է:

Գրեք, հաշվարկներում կօգտագործե՞ք խմբավորման մեթոդներ, բաժանելիության չափանիշներ, GCD և LCM:

Միգուցե նախկինում օգտագործե՞լ եք դրանք: Որտեղ և ինչպես:

Երևի հարցեր ունեք։ Կամ առաջարկություններ.

Մեկնաբանություններում գրեք, թե ինչպես եք հավանում հոդվածը։

Եվ հաջողություն ձեր քննություններին:

Եթե ​​բնական թվերի շարքից ձախ կողմում գումարենք 0 թիվը, կստանանք մի շարք դրական ամբողջ թվեր:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Ամբողջական բացասական թվեր

Դիտարկենք մի փոքրիկ օրինակ. Ձախ նկարը ցույց է տալիս ջերմաչափ, որը ցույց է տալիս 7 °C ջերմություն: Եթե ​​ջերմաստիճանը իջնի 4°C-ով, ապա ջերմաչափը ցույց կտա 3°C ջերմություն։ Ջերմաստիճանի նվազումը համապատասխանում է հանման գործողությանը.

Ծանոթագրություն՝ բոլոր աստիճանները գրվում են C տառով (Ցելսիուս), աստիճանի նշանը թվից բաժանվում է բացատով։ Օրինակ՝ 7 °C։

Եթե ​​ջերմաստիճանը իջնի 7 °C-ով, ապա ջերմաչափը ցույց կտա 0 °C: Ջերմաստիճանի նվազումը համապատասխանում է հանման գործողությանը.

Եթե ​​ջերմաստիճանը իջնի 8 °C-ով, ապա ջերմաչափը ցույց կտա -1 °C (1 °C սառնամանիք): Բայց 7 - 8 հանելու արդյունքը չի կարելի գրել բնական թվերով և զրոյով:

Եկեք պատկերացնենք հանումը մի շարք դրական ամբողջ թվերի վրա.

1) 7 թվից ձախ 4 թիվ ենք հաշվում և ստանում 3.

2) 7 թվից ձախ 7 թիվ ենք հաշվում և ստանում 0.

Անհնար է 8 թվեր հաշվել դրական ամբողջ թվերի շարքում՝ 7 թվից դեպի ձախ։ 7-8 գործողությունը իրագործելի դարձնելու համար մենք ընդլայնում ենք դրական ամբողջ թվերի շարքը: Դա անելու համար զրոյից ձախ մենք գրում ենք (աջից ձախ) բոլոր բնական թվերը հերթականությամբ՝ յուրաքանչյուրին ավելացնելով - նշան՝ ցույց տալով, որ այդ թիվը զրոյից ձախ է:

-1, -2, -3, ... գրառումները կարդում են մինուս 1, մինուս 2, մինուս 3 և այլն.

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Ստացված թվերի շարքը կոչվում է ամբողջ թվերի կողքին. Այս գրառման մեջ ձախ և աջ կետերը նշանակում են, որ շարքը կարելի է անվերջ շարունակել աջ և ձախ:

Այս շարքի 0 թվի աջ կողմում կան այն թվերը, որոնք կոչվում են բնականկամ ամբողջ դրական(կարճ - դրական).

Այս շարքի 0 թվի ձախ կողմում կան այն թվերը, որոնք կոչվում են ամբողջ բացասական(կարճ - բացասական).

0 թիվը ամբողջ թիվ է, բայց ոչ դրական է, ոչ բացասական: Այն առանձնացնում է դրական և բացասական թվերը:

Հետևաբար, ամբողջ թվերի շարքը բաղկացած է բացասական ամբողջ թվերից, զրո և դրական ամբողջ թվերից.

Ամբողջ թվերի համեմատություն

Համեմատեք երկու ամբողջ թվեր- նշանակում է պարզել, թե դրանցից որն է մեծ, որը փոքր, կամ որոշել, որ թվերը հավասար են:

Դուք կարող եք համեմատել ամբողջ թվերը՝ օգտագործելով ամբողջ թվերի շարքը, քանի որ դրանում թվերը դասավորված են ամենափոքրից մինչև ամենամեծը, եթե տողի երկայնքով շարժվում եք ձախից աջ: Հետևաբար, մի շարք ամբողջ թվերի դեպքում ստորակետները կարող եք փոխարինել պակաս նշանով.

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Հետևաբար, Երկու ամբողջ թվերից աջը մեծն է, իսկ ձախը՝ փոքրը։, նշանակում է.

1) Ցանկացած դրական թիվ մեծ է զրոյից և մեծ է ցանկացած բացասական թվից.

1 > 0; 15 > -16

2) զրոյից փոքր ցանկացած բացասական թիվ.

7 < 0; -357 < 0

3) Երկու բացասական թվերից ավելի մեծ է այն, որը գտնվում է ամբողջ թվերի շարքում աջ կողմում:

Թվերի բազմաթիվ տեսակներ կան, դրանցից մեկը ամբողջ թվերն են։ Ամբողջ թվերը հայտնվել են, որպեսզի ավելի հեշտ լինի հաշվել ոչ միայն դրական, այլև բացասական ուղղությամբ։

Դիտարկենք մի օրինակ.
Ցերեկը դրսում 3 աստիճան էր։ Երեկոյան ջերմաստիճանը իջել է 3 աստիճանով։
3-3=0
Դրսում 0 աստիճան էր։ Իսկ գիշերը ջերմաստիճանն իջել է 4 աստիճանով ու ջերմաչափի վրա սկսել է ցույց տալ -4 աստիճան։
0-4=-4

Ամբողջ թվերի շարք.

Մենք չենք կարող նման խնդիր նկարագրել բնական թվերի հետ, մենք այս խնդիրը կդիտարկենք կոորդինատային գծի վրա:

Մենք ունենք մի շարք թվեր.
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Այս թվերի շարքը կոչվում է ամբողջ թվերի կողքին.

Ամբողջական դրական թվեր. Ամբողջական բացասական թվեր.

Ամբողջ թվերի շարքը բաղկացած է դրական և բացասական թվերից։ Զրոյից աջ բնական թվերն են, կամ էլ կոչվում են ամբողջ դրական թվեր. Եվ գնացեք զրոյից ձախ ամբողջ բացասական թվեր.

Զրոն ոչ դրական է, ոչ բացասական: Դա դրական և բացասական թվերի սահմանն է:

բնական թվերից, բացասական ամբողջ թվերից և զրոյից բաղկացած թվերի բազմություն է։

Դրական և բացասական ուղղություններով ամբողջ թվերի շարքն է անսահման բազմություն.

Եթե ​​վերցնենք ցանկացած երկու ամբողջ թիվ, ապա այս ամբողջ թվերի միջև եղած թվերը կկանչվեն վերջի հավաքածու.

Օրինակ:
Վերցնենք -2-ից մինչև 4 ամբողջ թվերը: Այս թվերի միջև եղած բոլոր թվերը ներառված են վերջավոր բազմության մեջ: Մեր վերջավոր թվերի հավաքածուն այսպիսի տեսք ունի.
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Բնական թվերը նշվում են լատինական N տառով։
Ամբողջ թվերը նշանակվում են լատիներեն Z տառով: Նկարում կարելի է պատկերել բնական թվերի և ամբողջ թվերի ամբողջությունը:


Ոչ դրական ամբողջ թվերայլ կերպ ասած՝ բացասական ամբողջ թվեր են։
Ոչ բացասական ամբողջ թվերդրական ամբողջ թվեր են: