11-ով բաժանման հատկությունը. Բաժանելիության հիմնական նշանները

Այս նյութը նվիրված է այնպիսի հասկացությանը, ինչպիսին է 2-ի բաժանելիության թեստը: Առաջին պարբերությունում մենք կձևակերպենք այն և կտանք օրինակներ՝ առաջադրանքներ, որոնցում պետք է պարզել, թե արդյոք որոշակի թիվը բաժանվում է 2-ի: Այնուհետև մենք կապացուցենք այս չափանիշը և կբացատրենք, թե ինչ այլ մեթոդներ կան՝ որոշելու բաժանելիությունը երկու թվերի վրա, որոնք տրված են որպես արտահայտությունների արժեք:

2-ի բաժանելիության թեստի ձևակերպում և օրինակներ

Ավելի լավ հասկանալու համար, թե որոնք են բաժանելիության նշանները, պետք է վերանայել ամբողջ թվերի բաժանելիության հետ կապված թեման։ Հիմնական հայեցակարգի սահմանումը հետևյալն է.

Սահմանում 1

Ամբողջ թիվը, որն ավարտվում է 8, 6, 4, 2 և 0 թվանշաններով, կարելի է բաժանել 2-ի՝ առանց մնացորդ թողնելու։ Եթե ​​թվի վերջում կա 9, 7, 5, 3 կամ 1 թիվը, ապա այդպիսի թիվը չի բաժանվում 2-ի։

Օգտագործելով այս հատկանիշը, դուք կարող եք բացահայտել ոչ միայն դրական (բնական) ամբողջության, այլև ամբողջի բաժանելիությունը բացասական թիվ, քանի որ դրանք նույնպես կարելի է բաժանել 2-ի առանց մնացորդի։

Բերենք նշանի օգտագործման մի քանի օրինակ խնդիրներում:

Օրինակ 1

Վիճակը:որոշիր, թե 8, − 946, 53, 10 900, − 988 123 761 թվերից որն է կարելի բաժանել երկուսի։

Լուծում

Իհարկե, մենք կարող ենք այս բոլոր թվերը պարզապես երկուսի բաժանել սյունակի մեջ և ստուգել՝ վերջում մնացորդ կա՞, թե՞ ոչ։ Բայց իմանալով երկուսի բաժանելիության թեստը՝ դուք կարող եք շատ ավելի արագ լուծել այս խնդիրը։

Թվարկված թվերից երեքը՝ 8, - 946 և 10,900, վերջում ունեն 8, 6 և 0 թվերը, ինչը նշանակում է, որ հնարավոր է դրանց բաժանումը 2-ի։

Մնացած թվերը (53 և − 988,123,761) ավարտվում են 3-ով և 1-ով, ինչը նշանակում է, որ դրանք չեն բաժանվում երկուսի:

Պատասխան. 8, − 946 և 10,900-ը կարելի է բաժանել երկուսի, բայց մնացած բոլոր թվերը չեն կարող։

Այս հատկանիշը լայնորեն օգտագործվում է այն խնդիրների դեպքում, երբ անհրաժեշտ է թիվը փոխակերպել պարզ գործոնների: Եկեք լուծենք նման մեկ օրինակ.

Օրինակ 2

Վիճակը: 352-ը վերածել պարզ գործոնների:

Լուծում

Քանի որ սկզբնական թվի վերջին նիշը 2-ն է, ապա ըստ բաժանելիության չափանիշի՝ այն առանց մնացորդի կարող ենք բաժանել երկուսի։ Եկեք այսպես անենք՝ 352: 2 = 176, և 352 = 2 176: Ստացված 176 թիվը նույնպես բաժանվում է երկուսի՝ 176՝ 2 = 88, և 176 = 2 88։ Այս թիվը նույնպես կարելի է բաժանել՝ 88՝ 2 = 44, 88 = 2 44 և 352 = 2 2 88 = 2 2 2 44: Մենք շարունակում ենք ընդլայնումը. 44: 2 = 22 և 44 = 2 22, հետևաբար, 352 = 2 2 2 44 = 2 2 2 2 22; ապա 22: 2 = 11, որտեղից 22 = 2 11 և 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11: Վերջապես գալիս ենք մի թվի, որը չի բաժանվում 2-ի։ Պարզ թվերի աղյուսակը մեզ ասում է, որ այս թիվը պարզ է, ինչը նշանակում է, որ ֆակտորիզացիան ավարտվում է այնտեղ:

Պատասխան. 352 = 2 2 2 2 2 2 11:

Թվերը զույգի և կենտների բաժանելը հիմնված է հենց այն բանի վրա, թե դրանք բաժանվում են 2-ի, թե ոչ։ Իմանալով բաժանելիության այս նշանը՝ կարող ենք ասել, որ բոլոր զույգ թվերն ավարտվում են 0, 2, 4, 6 կամ 8 թվերով, իսկ բոլոր կենտ թվերն ավարտվում են 1, 3, 5, 7 կամ 9 թվերով։

Ինչպե՞ս կարող եք ապացուցել 2-ի բաժանելիության թեստը:

Նախքան ուղղակիորեն անցնել այս հատկանիշի ապացույցին, մենք պետք է ապացուցենք լրացուցիչ հայտարարություն: Այն ձևակերպված է այսպես.

Սահմանում 2

Բոլոր բնական թվերը, որոնք վերջանում են զրոյով, կարելի է բաժանել երկուսի՝ առանց մնացորդ թողնելու։

Օգտագործելով բնական թիվը 10-ով բազմապատկելու կանոնը, մենք կարող ենք որոշակի a թիվը ներկայացնել որպես a = a 1 · 10: Թիվ ա 1, իր հերթին, կստացվի a-ից, եթե դրանից հանենք վերջին թվանշանը։

Բերենք նման գործողության օրինակներ. 470 = 47 · 10, որտեղ a = 470 և a 1 = 47; կամ 38,010 · 10, այստեղ a = 380,100 և a 1 = 38,010: Այս արտադրյալի երկրորդ գործակիցը (10) կարելի է բաժանել 2-ի, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ արտադրանքը կարելի է բաժանել 2-ի: Այս հայտարարությունը հիմնված է բաժանելիության համապատասխան հատկության վրա:

Անցնում ենք 2-ի բաժանելիության թեստի ապացույցին։ Այն ավելի հարմար դարձնելու համար ներկայացնենք որպես թեորեմ, այսինքն. որպես ամբողջ թվի երկուսի բաժանման անհրաժեշտ և բավարար պայման։

Թեորեմ 1

A ամբողջ թիվը երկուսի բաժանելու համար անհրաժեշտ և բավարար պայման է վերջին 0, 2, 4, 6 կամ 8 թվանշանի առկայությունը։

Ապացույց 1

Ինչպե՞ս ապացուցել այս հայտարարությունը: Սկսելու համար, եկեք պատկերացնենք սկզբնական a թիվը որպես տասնյակների և միավորների գումար, այսինքն. եկեք այն գրենք որպես a = a 1 · 10 + a 0: Այստեղ 1-ը կլինի այն թիվը, որը ստացվում է a-ից՝ վերացնելով վերջին թվանշանը, իսկ 0-ը համապատասխանում է տվյալ թվի վերջին թվանշանին (նման ներկայացման օրինակներ կարող են լինել նաև 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 արտահայտությունները։ 837 10 + 8): Աշխատանք ա 110, վերցված a = a 1 10 + a 0 հավասարությունից, ինչպես ցույց է տրված այս թեորեմը, միշտ կբաժանվի երկուսի:

Մնացած ապացույցը հիմնված է բաժանելիության որոշակի հատկության վրա, այն է՝ եթե մենք ունենք t = u + v հավասարություն կազմող երեք թվեր, և դրանցից երկուսը բաժանվում են z ամբողջ թվի վրա, ապա երրորդ թիվը նույնպես կարելի է բաժանել. զ.

Եթե ​​a-ն կարելի է բաժանել երկուսի, ապա ըստ այս հատկության, ինչպես նաև a = a 1 10 + a 0 ներկայացման, a 0 թիվը կբաժանվի երկուսի, և դա հնարավոր է միայն 0 = 0, 2-ի դեպքում: , 4, 6 կամ 8:

Իսկ եթե a-ն չի բաժանվում 2-ի, ապա նույն հատկության հիման վրա՝ թիվը ա 0Նաև չի բաժանվի 2-ի, ինչը հնարավոր է միայն այն դեպքում, երբ 0 = 1, 3, 5, 7 կամ 9: Սա մեզ անհրաժեշտության ապացույցն է։

Հիմա նայենք հակառակ իրավիճակին։ Եթե ​​ունենք a թիվ, որի վերջին նիշը 0, 2, 4, 6 կամ 8 թիվն է, ապա ա 0բաժանված 2 . Նշված բաժանելիության հատկություն և ներկայացում a = a 1 10 + a 0թույլ տվեք եզրակացնել, որ a-ն բաժանվում է 2 . Եթե ​​a-ն ունի 1-ի, 3-ի, 5-ի, 7-ի կամ 9-ի վերջին թվանշանը, ապա 0-ն չի բաժանվում 2 , ինչը նշանակում է, որ a-ն նույնպես չի բաժանվում 2 , հակառակ դեպքում ներկայացումն ինքնին a = a 1 10 + a 0 կբաժանվի 2 , ինչը անհնար է։ Պայմանի բավարարությունն ապացուցված է։

Ի վերջո, նշեք, որ 1, 3, 5, 7 կամ 9 վերջին նիշ ունեցող թվերը, երբ բաժանվում են երկուսի, միշտ թողնում են մեկի մնացորդը:

Վերցնենք այն դեպքը, երբ տրված թիվն ավարտվում է այս թվանշաններից մեկով։ Այնուհետև մենք կարող ենք a-ն ներկայացնել որպես a = b + 1, որտեղ b-ն ունի 0, 2, 4, 6 կամ 8 որպես վերջին թվանշան: Բաժանելիության թեստի շնորհիվ 2 b թիվը կարելի է բաժանել 2 , ինչը նշանակում է, որ բաժանելիության սահմանմամբ այն կարող է ներկայացվել նաև b = 2 · q ձևով, որտեղ q կլինի մի ամբողջ թիվ։ Մենք ստացանք, որ a = 2 q + 1: Այս ներկայացումը մեզ ցույց է տալիս, որ թիվը բաժանելիս 2 ստացվում է ոչ լրիվ քանորդ q և 1-ի մնացորդ (անհրաժեշտության դեպքում նորից կարդացեք ամբողջ թվերը մնացորդով բաժանելու մասին հոդվածը)։

2-ի վրա բաժանելիությունը որոշելու այլ դեպքեր

Այս բաժնում մենք կվերլուծենք այն դեպքերը, երբ այն թիվը, որի բաժանումը 2-ի վրա պետք է որոշվի, ուղղակիորեն չի տրվում, այլ որոշվում է բառացի արտահայտության որոշ արժեքով: Այստեղ մենք չենք կարող օգտագործել վերը տրված հատկանիշը, և անհնար է նաև ուղղակիորեն այս արտահայտությունը բաժանել 2-ի։ Սա նշանակում է, որ մենք պետք է այլ լուծում գտնենք:

Նման խնդիրների լուծման մոտեցում կա, որը հիմնված է բաժանելիության հետևյալ հատկության վրա՝ ամբողջ թվերի արտադրյալը կարելի է բաժանել որոշակի թվի, երբ գործոններից գոնե մեկը բաժանվում է դրան։ Հետևաբար, եթե մենք կարողանանք բառացի արտահայտությունը վերածել առանձին գործոնների արտադրյալի, որոնցից մեկը բաժանվում է երկուսի, ապա հնարավոր կլինի ապացուցել, որ սկզբնական արտահայտությունը բաժանվում է 2-ի։

Տրված արտահայտությունը փոխակերպելու համար մենք կարող ենք օգտագործել Նյուտոնի երկանդամ բանաձևը. Եկեք նայենք այս խնդրին:

Օրինակ 3

Վիճակը:որոշեք, թե արդյոք 3 n + 4 n - 1 արտահայտության արժեքը կարելի է բաժանել 2-ի որոշ n բնական թվի համար:

Լուծում

Նախ, եկեք գրենք ակնհայտ հավասարությունը 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1: Այժմ մենք վերցնում ենք Նյուտոնի երկանդամ բանաձևը, կիրառում այն ​​և պարզեցնում այն, ինչ ստացանք.

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n · 2 + 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + n · 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Վերջին հավասարության մեջ փակագծերից հանում ենք երկուսը և ստանում հետևյալ հավասարությունը.

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

Այս հավասարության դեպքում n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար կարող եք աջ կողմը բաժանել երկուսի, քանի որ կա 2-ի հավասար գործակից: Քանի որ արտահայտությունների միջև կա հավասար նշան, ապա ձախ կողմի համար կարելի է բաժանել 2-ի։

Պատասխան.այս արտահայտությունը կարելի է բաժանել 2-ի.

Շատ հաճախ բաժանելիությունը կարելի է ապացուցել մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով։ Եկեք վերցնենք նույն արտահայտությունը, ինչ վերը նշված օրինակում և ցույց տանք, թե ինչպես կիրառել այս մեթոդը գործնականում:

Օրինակ 4

Վիճակը:պարզել, թե արդյոք 3 n + 4 n - 1 արտահայտությունը բաժանվում է 2-ի n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար:

Լուծում

Մենք օգտագործում ենք մաթեմատիկական ինդուկցիա: Նախ ապացուցենք, որ n-ով մեկին հավասար 3 n + 4 n - 1 արտահայտության արժեքը կարելի է բաժանել 2-ի։ Մենք ստանում ենք 3 1 + 4 · 1 - 1 = 6, վեցը բաժանվում է երկուսի առանց մնացորդի: Շարունակիր. Վերցնենք n-ը հավասար k-ի և ենթադրենք, որ 3 k + 4 k - 1-ը բաժանվում է երկուսի։

Օգտագործելով այս ենթադրությունը՝ մենք ապացուցում ենք, որ 3 n + 4 n - 1-ը կարելի է բաժանել 2-ի, եթե դա հնարավոր է 3 k + 4 k - 1-ի համար։ Դա ապացուցելու համար մենք պետք է մի քանի փոխակերպումներ կատարենք։

3 3 k + 4 k - 1 բաժանվում է երկուսի, քանի որ դա հնարավոր է 3 k + 4 k - 1-ի համար, 2 4 k - 3 արտահայտությունը նույնպես կարելի է բաժանել 2-ի, քանի որ այն ունի 2 գործակից, ինչը նշանակում է. այս երկու արտահայտությունների տարբերությունը նույնպես բաժանվում է 2-ի, ինչը բացատրվում է համապատասխան բաժանելիության հատկությամբ։

Պատասխանել 3 n + 4 n - 1 արտահայտությունը բաժանվում է 2-ի ցանկացած n բնական թվի համար։

Առանձին-առանձին անդրադառնանք այն դեպքին, երբ արտադրյալում թվերի բնական շարքում իրար կողքի երկու թիվ կա։ Նման արտադրանքը նույնպես բաժանված է երկուսի.

Օրինակ 5

Օրինակ՝ (n + 7) · (n − 1) · (n + 2) · (n + 6) ձևի արտահայտությունը n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար բաժանվում է 2-ի, քանի որ այն պարունակում է իրար հաջորդող թվեր։ բնական շարքերում - սրանք n + 6 և n + 7 են:

Նմանապես, եթե կան երկու գործոն, որոնց միջև կա բնական շարքի հավասար թվով անդամներ, արտադրանքը կարելի է բաժանել 2-ի։ Այսպիսով, արժեքը (n + 1) · (n + 6) բաժանվում է երկուսի ցանկացած բնական n-ի համար, քանի որ n + 5-ի և n + 6-ի միջև կա զույգ թվեր ՝ n + 2, n + 3, n: + 4 և n+5.

Եկեք համատեղենք այն ամենը, ինչի մասին խոսեցինք նախորդ պարբերություններում: Եթե ​​կարելի է ցույց տալ, որ արտահայտության արժեքը բաժանվում է երկուի, երբ n = 2 մ, և նաև երբ n = 2 մ + 1և կամայական ամբողջ թիվ m, ապա սա կլինի բնօրինակ արտահայտության 2-ի բաժանելիության ապացույց n-ի ցանկացած ամբողջ արժեքի համար:

Օրինակ 6

Վիճակը:պարզել, թե արդյոք արտահայտությունը բաժանվում է 2-ի n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 n-ի ցանկացած բնական արժեքների համար:

Լուծում

Նախ, այս արտահայտությունը ներկայացնենք որպես արտադրյալ (n + 2) 2 · (n + 3) . Անհրաժեշտության դեպքում վերանայեք, թե ինչպես ճիշտ գործոնավորել բազմանդամը: Մենք ունենք երկու բազմապատկիչ n+2Եվ n+3, որոնք համապատասխանում են թվերին, մոտակայքում կանգնածբնական շարքում։ Դրանցից մեկը ամեն դեպքում բաժանվում է 2-ի, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ արտադրյալը նույնպես բաժանվում է 2-ի։ Նույնը վերաբերում է բնօրինակ արտահայտությանը.

Այս խնդրի մեկ այլ լուծում կա. Եթե n = 2 մ, ապա n + 2 2 · n + 3 = 2 մ + 2 2 · 2 մ + 2 2 = 4 · մ + 1 2 · 2 մ + 3: Այստեղ կա չորսի հավասար գործակից, որի շնորհիվ ամբողջ արտադրյալը կբաժանվի 2-ի։

Եթե n = 2 մ + 1, Դա

(n + 2) 2 n + 3 = 2 մ + 1 + 2 2 2 մ + 1 + 3 = 2 մ + 3 2 2 մ + 4 = = 2 մ + 3 2 2 2

Այստեղ կա 2 գործակից, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ արտադրյալը բաժանվում է 2-ի։

Պատասխան.սա ապացույց է, որ արտահայտությունը n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) n-ի ցանկացած բնական արժեքի համար կարելի է բաժանել երկուսի:

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Եկեք սկսենք դիտարկել «Բաժանելիության թեստ 3-ով» թեման: Սկսենք նշանի ձևակերպումից և թեորեմի ապացույցը բերենք։ Այնուհետև կդիտարկենք այն թվերի 3-ի վրա բաժանելիությունը հաստատելու հիմնական մոտեցումները, որոնց արժեքը տրված է ինչ-որ արտահայտությամբ: Բաժնում տրվում է 3-ի վրա բաժանելիության թեստի կիրառման հիման վրա խնդիրների հիմնական տեսակների լուծման վերլուծություն:

3-ի բաժանելիության ստուգում, օրինակներ

3-ի բաժանելիության թեստը ձևակերպված է պարզ ձևով. ամբողջ թիվն առանց մնացորդի կբաժանվի 3-ի, եթե նրա թվանշանների գումարը բաժանվի 3-ի: Եթե ​​ամբողջ թիվ կազմող բոլոր թվանշանների ընդհանուր արժեքը չի բաժանվում 3-ի, ապա սկզբնական թիվը ինքնին չի բաժանվում 3-ի։ Դուք կարող եք ստանալ ամբողջ թվի բոլոր թվանշանների գումարը՝ ավելացնելով բնական թվեր:

Այժմ նայենք 3-ի բաժանելիության թեստի օգտագործման օրինակներին։

Օրինակ 1

Արդյո՞ք 42 թիվը բաժանվում է 3-ի:

Լուծում

Այս հարցին պատասխանելու համար մենք գումարում ենք թիվը կազմող բոլոր թվերը՝ 42՝ 4 + 2 = 6։

Պատասխան.Ըստ բաժանելիության թեստի, քանի որ սկզբնական թվի մեջ ներառված թվանշանների գումարը բաժանվում է երեքի, ուրեմն սկզբնական թիվը ինքնին բաժանվում է 3-ի։

Հարցին, թե 0 թիվը բաժանվում է 3-ի, պատասխանելու համար մեզ անհրաժեշտ է բաժանելիության հատկությունը, ըստ որի զրոն բաժանվում է ցանկացած ամբողջ թվի։ Ստացվում է, որ զրոն բաժանվում է երեքի։

Կան խնդիրներ, որոնց համար անհրաժեշտ է մի քանի անգամ կիրառել 3-ի բաժանելիության թեստը։

Օրինակ 2

Ցույց տվեք այդ թիվը 907 444 812 բաժանվում է 3-ի։

Լուծում

Գտնենք բնօրինակ թիվը կազմող բոլոր թվանշանների գումարը. 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Այժմ մենք պետք է որոշենք, թե արդյոք 39 թիվը բաժանվում է 3-ի: Կրկին գումարում ենք այս թիվը կազմող թվերը. 3 + 9 = 12 . Վերջնական պատասխանը ստանալու համար պարզապես պետք է կրկին գումարել թվերը. 1 + 2 = 3 . 3 թիվը բաժանվում է 3-ի

Պատասխան.բնօրինակ համարը 907 444 812 բաժանվում է նաև 3-ի։

Օրինակ 3

Արդյո՞ք թիվը բաժանվում է 3-ի: − 543 205 ?

Լուծում

Հաշվենք սկզբնական թիվը կազմող թվանշանների գումարը. 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Հիմա եկեք հաշվարկենք ստացված թվի թվանշանների գումարը. 1 + 9 = 10 . Վերջնական պատասխանը ստանալու համար մենք գտնում ենք ևս մեկ գումարման արդյունքը. 1 + 0 = 1 .
Պատասխան. 1-ը չի բաժանվում 3-ի, ինչը նշանակում է, որ սկզբնական թիվը չի բաժանվում 3-ի:

Որպեսզի որոշենք, թե արդյոք տրված թիվը առանց մնացորդի բաժանվում է 3-ի, կարող ենք տրված թիվը բաժանել 3-ի։ Եթե ​​թիվը բաժանեք − 543 205 վերը քննարկված օրինակից երեքի սյունակով, ապա պատասխանում մենք ամբողջ թիվ չենք ստանա։ Սա նաև նշանակում է − 543 205 առանց մնացորդի չի կարող բաժանվել 3-ի:

3-ի բաժանելիության թեստի ապացույց

Այստեղ մեզ անհրաժեշտ կլինեն հետևյալ հմտությունները՝ թվի տարրալուծումը թվանշանների և 10-ով, 100-ով բազմապատկելու կանոնը և այլն։ Ապացույցն իրականացնելու համար մենք պետք է ստանանք ձևի a թվի ներկայացում , Որտեղ a n, a n - 1, ..., a 0- սրանք այն թվերն են, որոնք գտնվում են ձախից աջ թվի նշման մեջ:

Ահա մի օրինակ՝ օգտագործելով կոնկրետ թիվը. 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Եկեք գրենք մի շարք հավասարումներ՝ 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 և այլն:

Այժմ եկեք փոխարինենք այս հավասարությունները 10, 100 և 1000-ի փոխարեն նախկինում տրված հավասարումներով a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Ահա թե ինչպես մենք հասանք հավասարության.

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33: . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Այժմ կիրառենք գումարման և բնական թվերի բազմապատկման հատկությունները, որպեսզի ստացված հավասարությունը վերաշարադրենք հետևյալ կերպ.

a = a n · 33. . . 3 · 3 + 1 + . . . + + a 2 · 33 · 3 + 1 + a 1 · 3 · 3 + 1 + a 0 = = 3 · 33: . . 3 a n + a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + a 2 + 3 · 3 · a 1 + a 1 + a 0 = = 3 · 33: . . 3 a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33: . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0

Արտահայտություն a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 սկզբնական a թվի թվանշանների գումարն է: Ներկայացնենք դրա համար նոր կարճ նշում Ա. Ստանում ենք՝ A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0:

Այս դեպքում թվի ներկայացումը a = 3 33 է: . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A-ն ընդունում է այն ձևը, որը մեզ հարմար կլինի օգտագործել 3-ի վրա բաժանելիության թեստն ապացուցելու համար:

Սահմանում 1

Այժմ հիշեք բաժանելիության հետևյալ հատկությունները.

• անհրաժեշտ և բավարար պայման, որպեսզի a ամբողջ թիվը բաժանվի ամբողջ թվի
  b, այն պայմանն է, որով a թվի մոդուլը բաժանվում է b թվի մոդուլի վրա.
• եթե հավասարության մեջ a = s + tբոլոր անդամները, բացի մեկից, բաժանվում են ինչ-որ ամբողջ b-ի, ապա այս մեկ անդամը նույնպես բաժանվում է b-ի:

Մենք հիմք ենք ստեղծել 3-ի բաժանելիության թեստն ապացուցելու համար։ Հիմա եկեք այս հատկանիշը ձևակերպենք թեորեմի տեսքով և ապացուցենք:

Թեորեմ 1

Որպեսզի պնդենք, որ a ամբողջ թիվը բաժանվում է 3-ի, մեզ համար անհրաժեշտ և բավարար է, որ a թվի նշումը կազմող թվանշանների գումարը բաժանվի 3-ի։

Ապացույց 1

Եթե ​​վերցնենք արժեքը a = 0, ապա թեորեմն ակնհայտ է.

Եթե ​​վերցնենք a թիվ, որը տարբերվում է զրոյից, ապա a թվի մոդուլը բնական թիվ կլինի։ Սա մեզ թույլ է տալիս գրել հետևյալ հավասարությունը.

a = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A, որտեղ A = a n +: . . + a 2 + a 1 + a 0 - a թվի թվանշանների գումարը.

Քանի որ ամբողջ թվերի գումարը և արտադրյալը ամբողջ թիվ է, ուրեմն
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1-ը ամբողջ թիվ է, ապա ըստ բաժանելիության սահմանման արտադրյալը 3 · 33 է: . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1-ը բաժանվում է 3 ցանկացածի համար a 0, a 1,…, a n.

Եթե ​​թվի թվանշանների գումարը աբաժանված 3 , այն է, Աբաժանված 3 , ապա թեորեմից առաջ նշված բաժանելիության հատկության շնորհիվ a-ն բաժանվում է 3 , հետևաբար, աբաժանված 3 . Այսպիսով, բավարարությունն ապացուցված է:

Եթե աբաժանված 3 , ապա a-ն նույնպես բաժանվում է 3 , ապա բաժանելիության նույն հատկության շնորհիվ թիվը
Աբաժանված 3 , այսինքն՝ թվի թվանշանների գումարը աբաժանված 3 . Անհրաժեշտությունն ապացուցված է։

Ըստ բաժանման այլ դեպքեր 3

Ամբողջ թվերը կարող են սահմանվել որպես որոշ արտահայտության արժեք, որը պարունակում է փոփոխական՝ հաշվի առնելով այդ փոփոխականի որոշակի արժեքը: Այսպիսով, որոշ n բնական թվի համար 4 n + 3 n - 1 արտահայտության արժեքը բնական թիվ է։ Այս դեպքում ուղղակի բաժանումը ըստ 3 չի կարող մեզ պատասխանել այն հարցին, թե արդյոք թիվը բաժանվում է 3 . Բաժանելիության թեստի կիրառում 3 կարող է նաև դժվար լինել: Դիտարկենք նման խնդիրների օրինակներ և նայենք դրանց լուծման մեթոդներին:

Նման խնդիրների լուծման համար կարող են օգտագործվել մի քանի մոտեցումներ. Դրանցից մեկի էությունը հետևյալն է.

• մենք բնօրինակ արտահայտությունը ներկայացնում ենք որպես մի քանի գործոնների արդյունք.
• պարզել, թե արդյոք գործոններից գոնե մեկը կարելի է բաժանել 3 ;
• Ելնելով բաժանելիության հատկությունից՝ մենք եզրակացնում ենք, որ ամբողջ արտադրյալը բաժանվում է 3 .

Լուծելիս հաճախ պետք է դիմել Նյուտոնի երկանդամ բանաձևի կիրառմանը:

Օրինակ 4

Արդյո՞ք 4 n + 3 n - 1 արտահայտության արժեքը բաժանվում է 3 ցանկացած բնականի տակ n?

Լուծում

Գրենք 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 հավասարությունը։ Եկեք կիրառենք Նյուտոնի երկանդամ բանաձևը.

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Հիմա հանենք 3 փակագծերից դուրս՝ 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + : . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1: Ստացված արտադրանքը պարունակում է բազմապատկիչ 3 , իսկ փակագծերում տրված արտահայտության արժեքը բնական n-ի համար ներկայացնում է բնական թիվ։ Սա մեզ թույլ է տալիս պնդել, որ ստացված արտադրյալը և սկզբնական արտահայտությունը 4 n + 3 n - 1 բաժանվում են. 3 .

Պատասխան.Այո՛։

Կարող ենք օգտագործել նաև մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը։

Օրինակ 5

Մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդով ապացուցեք, որ ցանկացած բնական թվի համար
n n արտահայտության արժեքը n n 2 + 5 բաժանվում է 3 .

Լուծում

Եկեք գտնենք n n 2 + 5 արտահայտության արժեքը, երբ n=1 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6-ը բաժանվում է 3 .

Հիմա ենթադրենք, որ n n արտահայտության արժեքը 2 + 5 at n = kբաժանված 3 . Փաստորեն, մենք ստիպված կլինենք աշխատել k k 2 + 5 արտահայտության հետ, որը մենք ակնկալում ենք, որ այն բաժանվում է. 3 .

Հաշվի առնելով, որ k k 2 + 5-ը բաժանվում է 3 , ցույց կտանք, որ n · n արտահայտության արժեքը 2 + 5 at n = k + 1բաժանված 3 , այսինքն՝ ցույց կտանք, որ k + 1 k + 1 2 + 5 բաժանվում է 3 .

Կատարենք փոխակերպումները.

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

k · (k 2 + 5) արտահայտությունը բաժանվում է 3 իսկ 3 k 2 + k + 2 արտահայտությունը բաժանվում է 3 , ուստի նրանց գումարը բաժանվում է 3 .

Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ n · (n 2 + 5) արտահայտության արժեքը բաժանվում է 3 ցանկացած բնական թվի համար n.

Հիմա եկեք նայենք, թե ինչպես է ապացուցվում բաժանելիությունը 3 , որը հիմնված է գործողությունների հետևյալ ալգորիթմի վրա.

• մենք ցույց ենք տալիս, որ այս արտահայտության արժեքը n փոփոխականով n = 3 m, n = 3 m + 1 և n = 3 մ + 2, Որտեղ մ- կամայական ամբողջ թիվ, որը բաժանվում է 3 ;
• եզրակացնում ենք, որ արտահայտությունը բաժանվում է 3 ցանկացած ամբողջ թվի համար n.

Որպեսզի ուշադրությունը չշեղենք աննշան մանրամասներից, մենք այս ալգորիթմը կկիրառենք նախորդ օրինակի լուծման վրա։

Օրինակ 6

Ցույց տվեք, որ n · (n 2 + 5) բաժանվում է 3 ցանկացած բնական թվի համար n.

Լուծում

Եկեք այդպես ձևացնենք n = 3 մ. Այնուհետեւ՝ n · n 2 + 5 = 3 մ · 3 մ 2 + 5 = 3 մ · 9 մ 2 + 5: Մեր ստացած արտադրանքը պարունակում է բազմապատկիչ 3 , հետևաբար ապրանքն ինքնին բաժանվում է 3 .

Եկեք այդպես ձևացնենք n = 3 մ + 1. Ապա.

n · n 2 + 5 = 3 մ · 3 մ 2 + 5 = (3 մ + 1) · 9 մ 2 + 6 մ + 6 = = 3 մ + 1 · 3 · (2 ​​մ 2 + 2 մ + 2)

Մեր ստացած ապրանքը բաժանված է 3 .

Ենթադրենք, որ n = 3 մ + 2: Ապա.

n · n 2 + 5 = 3 մ + 1 · 3 մ + 2 2 + 5 = 3 մ + 2 · 9 մ 2 + 12 մ + 9 = = 3 մ + 2 · 3 · 3 մ 2 + 4 մ + 3

Այս աշխատանքը նույնպես բաժանված է 3 .

Պատասխան.Այսպիսով, մենք ապացուցեցինք, որ n n 2 + 5 արտահայտությունը բաժանվում է 3 ցանկացած բնական թվի համար n.

Օրինակ 7

Արդյո՞ք այն բաժանվում է 3 10 3 n + 10 2 n + 1 արտահայտության արժեքը n որոշ բնական թվի համար:

Լուծում

Եկեք այդպես ձևացնենք n=1. Մենք ստանում ենք.

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Եկեք այդպես ձևացնենք n=2. Մենք ստանում ենք.

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Այսպիսով, մենք կարող ենք եզրակացնել, որ ցանկացած բնական n-ի համար մենք կստանանք թվեր, որոնք բաժանվում են 3-ի: Սա նշանակում է, որ 10 3 n + 10 2 n + 1 ցանկացած n բնական թվի համար բաժանվում է 3-ի։

Պատասխան.Այո՛

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

ԲԱԺԱՆՄԱՆ ՆՇԱՆՆԵՐթվեր - ամենապարզ չափանիշները (կանոնները), որոնք թույլ են տալիս դատել որոշ բնական թվերի բաժանելիությունը (առանց մնացորդի) մյուսների կողմից: Լուծելով թվերի բաժանելիության հարցը՝ բաժանելիության նշանները վերածվում են փոքր թվերի գործողությունների, որոնք սովորաբար կատարվում են մտքում։
Քանի որ ընդհանուր ընդունված թվային համակարգի հիմքը 10-ն է, բաժանման ամենապարզ և ամենատարածված նշանները երեք տեսակի թվերի բաժանարարներով՝ 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1:
Առաջին տեսակը 10 k թվի բաժանարարներով բաժանելիության նշաններն են, ցանկացած N ամբողջ թվի բաժանման համար 10 k թվի ցանկացած ամբողջ թվով բաժանարարի վրա անհրաժեշտ և բավարար է, որ վերջին k թվանշանի դեմքը (k-նիշ վերջավորություն ) N թիվը բաժանվում է q-ի. Մասնավորապես (k = 1, 2 և 3) մենք ստանում ենք բաժանելիության հետևյալ նշանները 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) և 10 3 = 1000 (I 3) թվերի բաժանարարներով: ):
Ես 1. 2-ի, 5-ի և 10-ի - թվի միանիշ վերջավորությունը (վերջին նիշը) պետք է բաժանվի համապատասխանաբար 2-ի, 5-ի և 10-ի: Օրինակ, 80 110 թիվը բաժանվում է 2-ի, 5-ի և 10-ի, քանի որ վերջինը: Այս թվի 0 թվանշանը բաժանվում է 2-ի, 5-ի և 10-ի. 37835 թիվը բաժանվում է 5-ի, բայց չի բաժանվում 2-ի և 10-ի, քանի որ այս թվի վերջին 5 թվանշանը բաժանվում է 5-ի, բայց չի բաժանվում 2-ի և 10-ի:

Ես 2. Թվի երկնիշ վերջավորությունը պետք է բաժանվի 2-ի, 4-ի, 5-ի, 10-ի, 20-ի, 25-ի, 50-ի և 100-ի 2-ի, 4-ի, 5-ի, 10-ի, 20-ի, 25-ի, 50-ի և 100-ի: Օրինակ՝ 7,840,700 թիվը: բաժանվում է 2-ի, 4-ի, 5-ի, 10-ի, 20-ի, 25-ի, 50-ի և 100-ի, քանի որ այս թվի երկնիշ 00 վերջավորությունը բաժանվում է 2-ի, 4-ի, 5-ի, 10-ի, 20-ի, 25-ի, 50-ի և 100-ի. 10,831,750 թիվը բաժանվում է 2-ի, 5-ի, 10-ի, 25-ի և 50-ի, բայց չի բաժանվում 4-ի, 20-ի և 100-ի, քանի որ այս թվի երկնիշ 50 վերջավորությունը բաժանվում է 2-ի, 5-ի, 10-ի, 25-ի և 50-ի, սակայն. չի բաժանվում 4-ի, 20-ի և 100-ի:

Ես 3. 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 և 1000 թվերի եռանիշ վերջավորությունը պետք է բաժանվի 2,4,5,8-ի: ,10, 20, համապատասխանաբար, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 և 1000: Օրինակ՝ 675,081,000 թիվը բաժանվում է այս նշանի բոլոր թվերի վրա, քանի որ 000 վերջավորության եռանիշն է: տրված թիվը բաժանվում է դրանցից յուրաքանչյուրի վրա. 51,184,032 թիվը բաժանվում է 2-ի, 4-ի և 8-ի և չի բաժանվում մնացածի վրա, քանի որ տվյալ թվի 032 եռանիշ վերջավորությունը բաժանվում է միայն 2-ի, 4-ի և 8-ի և չի բաժանվում մնացածի վրա։

Երկրորդ տեսակը 10 k - 1 թվի բաժանարարներով բաժանելիության նշաններն են. ցանկացած N ամբողջ թվի բաժանման համար 10 k - 1 թվի ցանկացած ամբողջ թվի q բաժանարարի վրա անհրաժեշտ և բավարար է, որ k թվանշանի գումարը. N թվի դեմքերը բաժանվում են q-ի: Մասնավորապես (k = 1, 2 և 3-ի համար) մենք ստանում ենք բաժանելիության հետևյալ նշանները 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) և 10 3 - 1 թվերի բաժանարարներով: = 999 (II 3):
II 1. 3-ով և 9-ով - թվի թվանշանների (միանիշ դեմքեր) գումարը պետք է բաժանվի համապատասխանաբար 3-ի և 9-ի: Օրինակ՝ 510,887,250 թիվը բաժանվում է 3-ի և 9-ի, քանի որ թվանշանների գումարը 5 է: Այս թվի +1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (և 3+6=9) բաժանվում է 3-ի և 9-ի; 4712586 թիվը բաժանվում է 3-ի, բայց չի բաժանվում 9-ի, քանի որ այս թվի 4+7+1+2+5+8+6=33 (և 3+3=6) թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։ , բայց չի բաժանվում 9-ի վրա։

II 2. 3-ի, 9-ի, 11-ի, 33-ի և 99-ի վրա - թվի երկնիշ երեսների գումարը պետք է բաժանվի համապատասխանաբար 3-ի, 9-ի, 11-ի, 33-ի և 99-ի: Օրինակ, 396,198,297 թիվը բաժանվում է 3-ի, 9-ի: , 11, 33 և 99, քանի որ 3+96+19+ +82+97=297 (և 2+97=99) երկնիշ դեմքերի գումարը բաժանված է 3-ի, 9,11-ի, 33-ի և 99-ի; 7 265 286 303 թիվը բաժանվում է 3-ի, 11-ի և 33-ի, բայց չի բաժանվում 9-ի և 99-ի, քանի որ երկնիշ դեմքերի գումարը 72+65+28+63+03=231 (և 2+31=33) ) այս թիվը բաժանվում է 3-ի, 11-ի և 33-ի և չի բաժանվում 9-ի և 99-ի։

II 3. 3-ի, 9-ի, 27-ի, 37-ի, 111-ի, 333-ի և 999-ի վրա - թվի եռանիշ կողմերի գումարը պետք է բաժանվի համապատասխանաբար 3-ի, 9-ի, 27-ի, 37-ի, 111-ի, 333-ի և 999-ի: Օրինակ, 354 645 871 128 համարը բաժանվում է թվի այս նշանում նշված բոլորի վրա, քանի որ այս թվի 354 + 645 + +871 + 128 = 1998 (և 1 + 998 = 999) եռանիշ դեմքերի գումարը բաժանվում է. նրանցից յուրաքանչյուրը.

Երրորդ տեսակը 10 k + 1 թվի բաժանարարներով բաժանելիության նշաններն են. ցանկացած N ամբողջ թվի բաժանման համար 10 k + 1 թվի ցանկացած ամբողջ թվի q բաժանարարով բաժանելու համար անհրաժեշտ է և բավարար, որ տարբերությունը գումարի գումարի միջև: N-ում զույգ տեղերում կանգնած k-նիշ դեմքեր և N-ում կենտ տեղերում կանգնած k-նիշ դեմքերի գումարը բաժանվել է q-ի: Մասնավորապես (k = 1, 2 և 3-ի համար) մենք ստանում ենք բաժանելիության հետևյալ նշանները 10 1 + 1 = 11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) և 10 3 +1 թվերի բաժանարարներով: = 1001 (III 3):

III 1. 11-ով - զույգ տեղերում կանգնած թվանշանների (միանիշ դեմքեր) և կենտ տեղերում կանգնած թվանշանների (միանիշ դեմքեր) գումարի տարբերությունը պետք է բաժանվի 11-ի։ Օրինակ՝ 876,583,598 թիվը բաժանվում է. 11, քանի որ զույգ տեղերում թվանշանների գումարի և կենտ թվանշանների գումարի միջև տարբերությունը 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 է (և 1 - 1=0): տեղերը բաժանվում են 11-ի։

III 2. 101-ով - թվի զույգ տեղերում երկնիշ դեմքերի և կենտ տեղերում երկնիշ դեմքերի գումարի տարբերությունը պետք է բաժանվի 101-ի: Օրինակ, 8,130,197 թիվը բաժանվում է 101-ի, քանի որ տարբերությունը է 8-13+01- 97 = 101 (և 1-01=0) այս թվի զույգ տեղերում երկնիշ դեմքերի և կենտ տեղերում երկնիշ դեմքերի գումարի միջև բաժանվում է 101-ի։

III 3. 7, 11, 13, 77, 91, 143 և 1001 թվերով - զույգ տեղերում եռանիշ դեմքերի և կենտ տեղերում եռանիշ դեմքերի գումարի տարբերությունը պետք է բաժանվի 7-ի, 11-ի, 13-ի, 77-ի: 91, 143 և 1001. Օրինակ՝ 539 693 385 թիվը բաժանվում է 7-ի, 11-ի և 77-ի, բայց չի բաժանվում 13-ի, 91-ի, 143-ի և 1001-ի, քանի որ 539 - 693+385 բաժանվում է 23-ի: , 11 և 77 և չի բաժանվում 13-ի, 91-ի, 143-ի և 1001-ի։

Կան նշաններ, որոնցով երբեմն հեշտ է առանց իրականում բաժանելու պարզել, թե արդյոք տվյալ թիվը բաժանվում է, թե չի բաժանվում որոշ այլ թվերի։

Այն թվերը, որոնք բաժանվում են 2-ի, կոչվում են նույնիսկ. Զրո թիվը վերաբերում է նաև զույգ թվերին։ Բոլոր մյուս թվերը կոչվում են տարօրինակ:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - նույնիսկ,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - կենտ:

Բաժանելիության նշաններ

2-ի բաժանելիության ստուգում. Թիվը բաժանվում է 2-ի, եթե նրա վերջին թվանշանը զույգ է։ Օրինակ՝ 4376 թիվը բաժանվում է 2-ի, քանի որ վերջին թվանշանը (6) զույգ է։

3-ի բաժանելիության ստուգում. 3-ի են բաժանվում միայն այն թվերը, որոնց թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։ Օրինակ՝ 10815 թիվը բաժանվում է 3-ի, քանի որ նրա թվանշանների 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 գումարը բաժանվում է 3-ի։

4-ի բաժանելիության թեստեր. Թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե նրա վերջին երկու թվանշանները զրո են կամ կազմում են 4-ի բաժանվող թիվ։ Օրինակ՝ 244500 թիվը բաժանվում է 4-ի, քանի որ այն ավարտվում է երկու զրոով։ 14708 և 7524 թվերը բաժանվում են 4-ի, քանի որ այս թվերի վերջին երկու թվանշանները (08 և 24) բաժանվում են 4-ի։

5-ի բաժանելիության թեստեր. Այն թվերը, որոնք վերջանում են 0-ով կամ 5-ով, բաժանվում են 5-ի: Օրինակ, 320 թիվը բաժանվում է 5-ի, քանի որ վերջին թվանշանը 0-ն է:

Թեստ 6-ի բաժանելիության համար. Թիվը բաժանվում է 6-ի, եթե այն բաժանվում է և՛ 2-ի, և՛ 3-ի: Օրինակ՝ 912 թիվը բաժանվում է 6-ի, քանի որ այն բաժանվում է և՛ 2-ի, և՛ 3-ի:

8-ի բաժանելիության թեստեր. 8-ի բաժանվում են այն թվերը, որոնց վերջին երեք թվանշանները զրո են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։ Օրինակ՝ 27000 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ այն ավարտվում է երեք զրոով։ 63128 թիվը բաժանվում է 8-ի, քանի որ վերջին երեք թվանշանները կազմում են (128) թիվը, որը բաժանվում է 8-ի։

Բաժանելիության թեստ 9-ի վրա. Միայն այն թվերը, որոնց թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի, բաժանվում են 9-ի։ Օրինակ՝ 2637 թիվը բաժանվում է 9-ի, քանի որ նրա 2 + 6 + 3 + 7 = 18 թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի։

10-ի, 100-ի, 1000-ի և այլնի բաժանելիության նշաններ:Այն թվերը, որոնք ավարտվում են մեկ զրոյով, երկու զրոով, երեք զրոով և այլն, բաժանվում են 10-ի, 100-ի, 1000-ի և այլն: Օրինակ՝ 3800 թիվը բաժանվում է 10-ի և 100-ի։

3-ի բաժանելիության ստուգում
Թիվը բաժանվում է 3-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի։

4-ի բաժանելիության ստուգում
Թիվը բաժանվում է 4-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թվի վերջին երկու թվանշանները զրո են կամ բաժանվում են 4-ի։

Բաժանելիության թեստ 5-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 5-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ վերջին թվանշանը բաժանվում է 5-ի (այսինքն՝ հավասար է 0-ի կամ 5-ի):

Թեստ 6-ի բաժանելիության համար
Թիվը բաժանվում է 6-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն բաժանվում է 2-ի և 3-ի:

Թեստ 7-ի բաժանելիության համար
Թիվը բաժանվում է 7-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ առանց վերջին թվանշանի այդ թվից վերջին թվանշանը երկու անգամ հանելու արդյունքը բաժանվում է 7-ի (օրինակ՝ 259-ը բաժանվում է 7-ի, քանի որ 25 - (2 9) = 7-ը բաժանվում է։ 7-ով):

Բաժանելիության թեստ 8-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 8-ի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա վերջին երեք թվանշանները զրո են կամ կազմում են 8-ի բաժանվող թիվ։

Բաժանելիության թեստ 9-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 9-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա թվանշանների գումարը բաժանվում է 9-ի:

Բաժանելիության թեստ 10-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 10-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն ավարտվում է զրոյով։

Բաժանելիության ստուգում 11-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 11-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ փոխարինող նշաններով թվանշանների գումարը բաժանվում է 11-ի (այսինքն՝ 182919-ը բաժանվում է 11-ի, քանի որ 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 բաժանվում է 11) - հետևանք այն բանի, որ 10 n ձևի բոլոր թվերը 11-ի բաժանելիս թողնում են (-1) n մնացորդ:

Բաժանելիության թեստ 12-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 12-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն բաժանվում է 3-ի և 4-ի:

Բաժանելիության ստուգում 13-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 13-ի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա տասնյակների թիվը, որոնք գումարվում են միավորների թվի քառապատիկին, բազմապատիկ է 13-ի (օրինակ, 845-ը բաժանվում է 13-ի, քանի որ 84 + (4 5) = 104-ը բաժանվում է 13):

Բաժանելիության ստուգում 14-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 14-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն բաժանվում է 2-ի և 7-ի:

15-ի բաժանելիության թեստ
Թիվը բաժանվում է 15-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն բաժանվում է 3-ի և 5-ի:

Բաժանելիության ստուգում 17-ի վրա
Թիվը բաժանվում է 17-ի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա տասնյակների թիվը, որը գումարվում է 12 անգամ միավորների թվին, 17-ի բազմապատիկ է (օրինակ՝ 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+։ 72=102→10+ 24 = 34. Քանի որ 34-ը բաժանվում է 17-ի, ուրեմն 29053-ը բաժանվում է 17-ի): Նշանը միշտ չէ, որ հարմար է, բայց մաթեմատիկայում այն ​​որոշակի նշանակություն ունի։ Գոյություն ունի մի փոքր ավելի պարզ ձև. Թիվը բաժանվում է 17-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ նրա տասնյակների թվի և միավորների թվի հինգապատիկի տարբերությունը 17-ի բազմապատիկ է (օրինակ՝ 32952→3295-10=3285→328): -25=303→30-15=15. քանի որ 15-ը չի բաժանվում 17-ի, ուրեմն 32952-ը չի բաժանվում 17-ի)

19-ի բաժանելիության ստուգում
Թիվը բաժանվում է 19-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ միավորների թվին երկու անգամ ավելացված նրա տասնյակների թիվը 19-ի բազմապատիկ է (օրինակ՝ 646-ը բաժանվում է 19-ի, քանի որ 64 + (6 2) = 76-ը բաժանվում է 19-ի։ )

Թեստ 23-ի բաժանելիության համար
Թիվը բաժանվում է 23-ի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա հարյուրավոր թիվը, որն ավելացված է եռապատկելու իր տասնյակը, 23-ի բազմապատիկ է (օրինակ, 28842-ը բաժանվում է 23-ի, քանի որ 288 + (3 * 42) = 414-ը շարունակում է 4 + (3 *): 14) = 46 ակնհայտորեն բաժանվում է 23-ի):

Թեստ 25-ի բաժանելիության համար
Թիվը բաժանվում է 25-ի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե նրա վերջին երկու թվանշանները բաժանվում են 25-ի (այսինքն՝ կազմելով 00, 25, 50 կամ 75), կամ թիվը 5-ի բազմապատիկ է։

99-ի բաժանելիության թեստ
Բաժանենք թիվը աջից ձախ 2 նիշանոց խմբերի (ամենաձախ խումբը կարող է ունենալ մեկ նիշ) և գտնենք այս խմբերի գումարը՝ դրանք համարելով երկնիշ թվեր։ Այս գումարը բաժանվում է 99-ի, եթե և միայն այն դեպքում, երբ թիվն ինքնին բաժանվում է 99-ի։

101-ի բաժանելիության թեստ
Թիվը բաժանենք 2 նիշանոց խմբերի աջից ձախ (ամենաձախ խումբը կարող է ունենալ մեկ նիշ) և գտնել այդ խմբերի գումարը՝ հերթափոխային նշաններով, դրանք համարելով երկնիշ թվեր։ Այս գումարը բաժանվում է 101-ի, եթե և միայն այն դեպքում, եթե թիվն ինքնին բաժանվում է 101-ի: Օրինակ՝ 590547-ը բաժանվում է 101-ի, քանի որ 59-05+47=101-ը բաժանվում է 101-ի):