bilangan bulat dan persepuluh. Bilangan bulat: representasi umum

Pada artikel ini, kita akan mendefinisikan satu set bilangan bulat, pertimbangkan bilangan bulat mana yang disebut positif dan mana yang negatif. Kami juga akan menunjukkan bagaimana bilangan bulat digunakan untuk menggambarkan perubahan dalam beberapa kuantitas. Mari kita mulai dengan definisi dan contoh bilangan bulat.

bilangan bulat. Definisi, contoh

Pertama, mari kita ingat bilangan asli . Nama itu sendiri menunjukkan bahwa ini adalah angka yang secara alami telah digunakan untuk menghitung sejak dahulu kala. Untuk menutupi konsep bilangan bulat, kita perlu memperluas definisi bilangan asli.

Definisi 1. Bilangan bulat

Bilangan bulat adalah bilangan asli, lawannya, dan bilangan nol.

Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan huruf .

Himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan bulat . Setiap bilangan asli adalah bilangan bulat, tetapi tidak setiap bilangan bulat adalah bilangan asli.

Ini mengikuti dari definisi bahwa salah satu angka 1 , 2 , 3 adalah bilangan bulat. . , angka 0, serta angka - 1 , - 2 , - 3 , . .

Oleh karena itu, kami memberikan contoh. Angka 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 adalah bilangan bulat.

Biarkan garis koordinat ditarik secara horizontal dan diarahkan ke kanan. Mari kita lihat untuk memvisualisasikan lokasi bilangan bulat pada garis lurus.

Titik referensi pada garis koordinat sesuai dengan angka 0, dan titik-titik yang terletak di kedua sisi nol sesuai dengan bilangan bulat positif dan negatif. Setiap titik sesuai dengan satu bilangan bulat.

Setiap titik pada garis lurus yang koordinatnya berupa bilangan bulat dapat dicapai dengan menyisihkan sejumlah segmen unit tertentu dari titik asal.

Bilangan bulat positif dan negatif

Dari semua bilangan bulat, logis untuk membedakan antara bilangan bulat positif dan negatif. Mari kita berikan definisi mereka.

Definisi 2. Bilangan bulat positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat dengan tanda tambah.

Misalnya, angka 7 adalah bilangan bulat dengan tanda tambah, yaitu bilangan bulat positif. Pada garis koordinat, angka ini terletak di sebelah kanan titik referensi, di mana angka 0 diambil. Contoh lain dari bilangan bulat positif: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definisi 3. Bilangan bulat negatif

Bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat dengan tanda minus.

Contoh bilangan bulat negatif: - 528 , - 2568 , - 1 .

Angka 0 memisahkan bilangan bulat positif dan negatif dan itu sendiri tidak positif atau negatif.

Setiap nomor yang merupakan kebalikan dari bilangan bulat positif, menurut definisi, bilangan bulat negatif. Kebalikannya juga benar. Kebalikan dari setiap bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

Dimungkinkan untuk memberikan formulasi lain dari definisi bilangan bulat negatif dan positif, menggunakan perbandingannya dengan nol.

Definisi 4. Bilangan bulat positif

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol.

Definisi 5. Bilangan bulat negatif

Bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat yang kurang dari nol.

Dengan demikian, bilangan positif terletak di sebelah kanan titik asal pada garis koordinat, dan bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri nol.

Sebelumnya kami mengatakan bahwa bilangan asli adalah himpunan bagian dari bilangan bulat. Mari kita perjelas poin ini. Himpunan bilangan asli adalah bilangan bulat positif. Sebaliknya, himpunan bilangan bulat negatif adalah himpunan bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli.

Penting!

Setiap bilangan asli dapat disebut bilangan bulat, tetapi bilangan bulat apa pun tidak dapat disebut bilangan asli. Menjawab pertanyaan apakah bilangan negatif itu alami, seseorang harus dengan berani mengatakan - tidak, tidak.

Bilangan bulat non-positif dan non-negatif

Mari kita beri definisi.

Definisi 6. Bilangan bulat non-negatif

Bilangan bulat non-negatif adalah bilangan bulat positif dan bilangan nol.

Definisi 7. Bilangan bulat non-positif

Bilangan bulat non-positif adalah bilangan bulat negatif dan bilangan nol.

Seperti yang Anda lihat, angka nol tidak positif atau negatif.

Contoh bilangan bulat non-negatif: 52 , 128 , 0 .

Contoh bilangan bulat non-positif: - 52 , - 128 , 0 .

Bilangan bukan negatif adalah bilangan yang lebih besar atau sama dengan nol. Dengan demikian, bilangan bulat non-positif adalah angka yang kurang dari atau sama dengan nol.

Istilah "tidak" nomor positif" dan "bilangan non-negatif" digunakan untuk singkatnya. Misalnya, alih-alih mengatakan bahwa angka a adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan nol, Anda dapat mengatakan: a adalah bilangan bulat non-negatif.

Menggunakan Bilangan Bulat Saat Menggambarkan Perubahan Nilai

Untuk apa bilangan bulat digunakan? Pertama-tama, dengan bantuan mereka akan lebih mudah untuk menggambarkan dan menentukan perubahan jumlah objek apa pun. Mari kita ambil contoh.

Biarkan sejumlah poros engkol disimpan di gudang. Jika 500 poros engkol lagi dibawa ke gudang, jumlahnya akan bertambah. Angka 500 hanya menyatakan perubahan (kenaikan) jumlah bagian. Jika kemudian 200 suku cadang diambil dari gudang, maka jumlah ini juga akan menjadi ciri perubahan jumlah poros engkol. Kali ini, ke arah reduksi.

Jika tidak ada yang diambil dari gudang, dan tidak ada yang dibawa, maka angka 0 akan menunjukkan invarian jumlah suku cadang.

Kemudahan penggunaan bilangan bulat, berbeda dengan bilangan asli, adalah bahwa tandanya dengan jelas menunjukkan arah perubahan besaran (naik atau turun).

Penurunan suhu sebesar 30 derajat dapat ditandai dengan angka negatif - 30 , dan peningkatan sebesar 2 derajat - dengan bilangan bulat positif 2 .

Berikut adalah contoh lain menggunakan bilangan bulat. Kali ini, bayangkan kita harus memberikan 5 koin kepada seseorang. Kemudian, kita dapat mengatakan bahwa kita memiliki - 5 koin. Angka 5 menggambarkan jumlah hutang, dan tanda minus menunjukkan bahwa kita harus mengembalikan koin.

Jika kita berhutang 2 koin kepada satu orang dan 3 kepada orang lain, maka total hutang (5 koin) dapat dihitung dengan aturan penjumlahan angka negatif:

2 + (- 3) = - 5

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Ada banyak jenis bilangan, salah satunya bilangan bulat. Bilangan bulat muncul untuk memudahkan penghitungan tidak hanya ke arah positif, tetapi juga ke arah negatif.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Siang hari itu 3 derajat di luar. Menjelang sore suhu turun 3 derajat.
3-3=0
Itu 0 derajat di luar. Dan pada malam hari suhu turun 4 derajat dan mulai terlihat pada termometer -4 derajat.
0-4=-4

Serangkaian bilangan bulat.

Kami tidak dapat menjelaskan masalah seperti itu dengan bilangan asli; kami akan mempertimbangkan masalah ini pada garis koordinat.

Kami memiliki serangkaian angka:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Rangkaian bilangan ini disebut di sebelah bilangan bulat.

Bilangan bulat positif. Seluruh bilangan negatif.

Serangkaian bilangan bulat terdiri dari bilangan positif dan negatif. Di sebelah kanan nol adalah bilangan asli, atau disebut juga bilangan bulat positif. Dan di sebelah kiri nol pergi bilangan bulat negatif.

Nol tidak positif atau negatif. Ini adalah batas antara bilangan positif dan negatif.

adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan bulat negatif dan nol.

Barisan bilangan bulat yang arahnya positif dan negatif adalah banyak tak berujung.

Jika kita mengambil dua bilangan bulat, maka bilangan di antara bilangan bulat ini akan disebut set akhir.

Sebagai contoh:
Mari kita ambil bilangan bulat dari -2 hingga 4. Semua bilangan di antara bilangan-bilangan ini termasuk dalam himpunan hingga. Kumpulan angka kami yang terbatas terlihat seperti ini:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Bilangan asli dilambangkan dengan huruf latin N.
Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Latin Z. Seluruh himpunan bilangan asli dan bilangan bulat dapat digambarkan pada gambar.


Bilangan bulat nonpositif dengan kata lain, mereka adalah bilangan bulat negatif.
Bilangan bulat non-negatif adalah bilangan bulat positif.

Sederhananya, ini adalah sayuran yang dimasak dalam air sesuai dengan resep khusus. Saya akan mempertimbangkan dua komponen awal (salad sayuran dan air) dan hasil akhir - borscht. Secara geometris, ini dapat direpresentasikan sebagai persegi panjang di mana satu sisi menunjukkan selada, sisi lain menunjukkan air. Jumlah kedua sisi ini akan menunjukkan borscht. Diagonal dan luas persegi panjang "borscht" semacam itu adalah konsep matematika murni dan tidak pernah digunakan dalam resep borscht.

Anda tidak akan menemukan apa pun tentang fungsi sudut linier dalam buku teks matematika. Tetapi tanpa mereka tidak akan ada matematika. Hukum matematika, seperti hukum alam, bekerja apakah kita tahu mereka ada atau tidak.

Fungsi sudut linier adalah hukum penjumlahan. Lihat bagaimana aljabar berubah menjadi geometri dan geometri berubah menjadi trigonometri.

Apakah mungkin dilakukan tanpa fungsi sudut linier? Anda bisa, karena matematikawan masih mengelola tanpa mereka. Trik matematikawan terletak pada kenyataan bahwa mereka selalu memberi tahu kita hanya tentang masalah yang dapat mereka selesaikan sendiri, dan tidak pernah memberi tahu kita tentang masalah yang tidak dapat mereka selesaikan. Melihat. Jika kita mengetahui hasil penjumlahan dan satu suku, kita menggunakan pengurangan untuk mencari suku lainnya. Semuanya. Kami tidak tahu masalah lain dan kami tidak dapat menyelesaikannya. Apa yang harus dilakukan jika kita hanya mengetahui hasil penjumlahan dan tidak mengetahui kedua suku tersebut? Dalam hal ini, hasil penjumlahan harus didekomposisi menjadi dua suku menggunakan fungsi sudut linier. Selanjutnya, kita sendiri yang memilih apa yang bisa menjadi satu suku, dan fungsi sudut linier menunjukkan apa yang seharusnya menjadi suku kedua agar hasil penjumlahan tepat seperti yang kita butuhkan. Mungkin ada jumlah tak terbatas dari pasangan istilah seperti itu. PADA Kehidupan sehari-hari kami melakukannya dengan sangat baik tanpa menguraikan jumlahnya, mengurangi sudah cukup bagi kami. Tetapi dalam studi ilmiah tentang hukum alam, perluasan jumlah menjadi istilah bisa sangat berguna.

Hukum penjumlahan lain yang tidak suka dibicarakan oleh para matematikawan (trik lain mereka) mengharuskan suku-suku memiliki satuan ukuran yang sama. Untuk selada, air, dan borscht, ini mungkin satuan berat, volume, biaya, atau satuan ukuran.

Angka tersebut menunjukkan dua tingkat perbedaan untuk matematika. Tingkat pertama adalah perbedaan bidang angka, yang ditunjukkan sebuah, b, c. Inilah yang dilakukan para ahli matematika. Tingkat kedua adalah perbedaan luas unit pengukuran, yang ditunjukkan dalam tanda kurung siku dan ditunjukkan dengan huruf kamu. Inilah yang dilakukan fisikawan. Kita dapat memahami tingkat ketiga - perbedaan dalam ruang lingkup objek yang dijelaskan. Benda yang berbeda dapat memiliki jumlah satuan ukuran yang sama. Betapa pentingnya hal ini, dapat kita lihat pada contoh trigonometri borscht. Jika kita menambahkan subskrip ke notasi yang sama untuk satuan pengukuran objek yang berbeda, kita dapat mengatakan dengan tepat kuantitas matematika apa yang menggambarkan objek tertentu dan bagaimana perubahannya dari waktu ke waktu atau sehubungan dengan tindakan kita. surat W Saya akan menandai air dengan huruf S Saya akan menandai salad dengan surat itu B- borsch. Inilah yang akan terlihat seperti fungsi sudut linier untuk borscht.

Jika kita mengambil sebagian air dan sebagian salad, bersama-sama menjadi satu porsi borscht. Di sini saya sarankan Anda beristirahat sejenak dari borscht dan mengingat masa kecil Anda yang jauh. Ingat bagaimana kita diajari menyatukan kelinci dan bebek? Itu perlu untuk menemukan berapa banyak hewan yang akan muncul. Lalu apa yang diajarkan kepada kita? Kami diajari untuk memisahkan unit dari angka dan menambahkan angka. Ya, nomor apa pun dapat ditambahkan ke nomor lain. Ini adalah jalan langsung menuju autisme matematika modern - kami tidak mengerti apa, tidak jelas mengapa, dan kami sangat memahami bagaimana ini berhubungan dengan kenyataan, karena tiga tingkat perbedaan, matematikawan hanya beroperasi pada satu. Akan lebih tepat untuk mempelajari cara berpindah dari satu unit pengukuran ke unit pengukuran lainnya.

Dan kelinci, dan bebek, dan binatang kecil dapat dihitung berkeping-keping. Satu unit pengukuran umum untuk objek yang berbeda memungkinkan kita untuk menjumlahkannya. Ini adalah masalah versi anak-anak. Mari kita lihat masalah serupa untuk orang dewasa. Apa yang Anda dapatkan ketika Anda menambahkan kelinci dan uang? Ada dua kemungkinan solusi di sini.

Pilihan pertama. Kami menentukan nilai pasar kelinci dan menambahkannya ke uang tunai yang tersedia. Kami mendapatkan nilai total kekayaan kami dalam bentuk uang.

Opsi kedua. Anda dapat menambahkan jumlah kelinci ke jumlah uang kertas yang kami miliki. Kami akan mendapatkan jumlah barang bergerak dalam potongan.

Seperti yang Anda lihat, hukum penjumlahan yang sama memungkinkan Anda mendapatkan hasil yang berbeda. Itu semua tergantung pada apa yang sebenarnya ingin kita ketahui.

Tapi kembali ke borscht kami. Sekarang kita bisa melihat apa yang terjadi ketika arti yang berbeda sudut fungsi sudut linier.

Sudutnya nol. Kami punya salad tapi tidak ada air. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht juga nol. Ini tidak berarti sama sekali bahwa nol borscht sama dengan nol air. Nol borsch juga bisa di salad nol (sudut kanan).

Bagi saya pribadi, ini adalah bukti matematis utama dari fakta bahwa . Nol tidak mengubah angka saat ditambahkan. Ini karena penambahan itu sendiri tidak mungkin jika hanya ada satu suku dan suku kedua hilang. Anda dapat menghubungkan ini sesuka Anda, tetapi ingat - semua operasi matematika dengan nol ditemukan oleh ahli matematika sendiri, jadi buang logika Anda dan dengan bodohnya menjejalkan definisi yang ditemukan oleh ahli matematika: "pembagian dengan nol tidak mungkin", "angka berapa pun dikalikan dengan nol sama dengan nol" , "di belakang titik nol" dan omong kosong lainnya. Cukup untuk diingat sekali bahwa nol bukanlah angka, dan Anda tidak akan pernah memiliki pertanyaan apakah nol adalah bilangan asli atau bukan, karena pertanyaan seperti itu umumnya kehilangan semua makna: bagaimana seseorang dapat menganggap angka yang bukan angka . Ini seperti menanyakan warna apa yang harus dikaitkan dengan warna yang tidak terlihat. Menambahkan nol ke angka seperti melukis dengan cat yang tidak ada. Mereka melambaikan kuas kering dan memberi tahu semua orang bahwa "kami telah melukis". Tapi saya sedikit menyimpang.

Sudutnya lebih besar dari nol tetapi kurang dari empat puluh lima derajat. Kami memiliki banyak selada, tetapi sedikit air. Hasilnya, kami mendapatkan borscht yang tebal.

Sudutnya empat puluh lima derajat. Kami memiliki jumlah air dan selada yang sama. Ini adalah borscht yang sempurna (semoga para juru masak memaafkan saya, ini hanya matematika).

Sudutnya lebih besar dari empat puluh lima derajat tetapi kurang dari sembilan puluh derajat. Kami memiliki banyak air dan sedikit selada. Dapatkan borscht cair.

Sudut kanan. Kami memiliki air. Hanya kenangan yang tersisa dari selada, saat kami terus mengukur sudut dari garis yang pernah menandai selada. Kami tidak bisa memasak borscht. Jumlah borscht adalah nol. Dalam hal ini, tunggu dan minum air selagi tersedia)))

Di Sini. Sesuatu seperti ini. Saya dapat menceritakan kisah-kisah lain di sini yang lebih dari pantas di sini.

Kedua sahabat itu memiliki saham mereka dalam bisnis yang sama. Setelah pembunuhan salah satu dari mereka, semuanya beralih ke yang lain.

Munculnya matematika di planet kita.

Semua cerita ini diceritakan dalam bahasa matematika menggunakan fungsi sudut linier. Di lain waktu saya akan menunjukkan kepada Anda tempat sebenarnya dari fungsi-fungsi ini dalam struktur matematika. Sementara itu, mari kembali ke trigonometri borscht dan pertimbangkan proyeksi.

Sabtu, 26 Oktober 2019

Rabu, 7 Agustus 2019

Mengakhiri percakapan tentang , kita perlu mempertimbangkan himpunan tak terbatas. Mengingat bahwa konsep "tak terhingga" bekerja pada matematikawan, seperti ular boa pada kelinci. Kengerian tak terhingga yang menggetarkan membuat para matematikawan kewajaran. Berikut ini contohnya:

Sumber aslinya berada. Alfa menunjukkan bilangan real. Tanda sama dengan dalam ekspresi di atas menunjukkan bahwa jika Anda menambahkan angka atau tak terhingga hingga tak terhingga, tidak ada yang akan berubah, hasilnya akan menjadi tak terhingga yang sama. Jika kita mengambil himpunan bilangan asli tak terbatas sebagai contoh, maka contoh yang dipertimbangkan dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Untuk membuktikan kasus mereka secara visual, matematikawan telah menemukan banyak metode berbeda. Secara pribadi, saya melihat semua metode ini sebagai tarian dukun dengan rebana. Intinya, mereka semua sampai pada kenyataan bahwa beberapa kamar tidak ditempati dan tamu baru menetap di dalamnya, atau bahwa beberapa pengunjung dibuang ke koridor untuk memberi ruang bagi para tamu (sangat manusiawi). Saya mempresentasikan pandangan saya tentang keputusan seperti itu dalam bentuk cerita fantastis tentang si Pirang. Apa alasan saya berdasarkan? Memindahkan jumlah pengunjung yang tidak terbatas membutuhkan waktu yang tidak terbatas. Setelah kami mengosongkan kamar tamu pertama, salah satu pengunjung akan selalu berjalan di sepanjang koridor dari kamarnya ke kamar berikutnya hingga akhir zaman. Tentu saja, faktor waktu dapat diabaikan dengan bodoh, tetapi ini sudah termasuk dalam kategori "hukum tidak ditulis untuk orang bodoh." Itu semua tergantung pada apa yang kita lakukan: menyesuaikan kenyataan dengan teori matematika atau sebaliknya.

Apa itu "hotel tak terbatas"? Infinity inn adalah penginapan yang selalu kosong berapapun jumlahnya, tidak peduli berapa banyak kamar yang ditempati. Jika semua kamar di lorong tak berujung "untuk pengunjung" ditempati, ada lorong tak berujung lain dengan kamar untuk "tamu". Akan ada koridor seperti itu dalam jumlah tak terbatas. Pada saat yang sama, "hotel tak terbatas" memiliki jumlah lantai tak terbatas dalam jumlah bangunan tak terbatas di planet dalam jumlah tak terbatas dalam jumlah alam semesta tak terbatas yang diciptakan oleh jumlah Dewa yang tak terbatas. Para matematikawan, di sisi lain, tidak dapat beranjak dari masalah sehari-hari yang dangkal: Tuhan-Allah-Buddha selalu hanya satu, hotelnya satu, koridornya hanya satu. Jadi matematikawan mencoba untuk menyulap nomor seri kamar hotel, meyakinkan kita bahwa adalah mungkin untuk "mendorong yang tidak didorong".

Saya akan mendemonstrasikan logika penalaran saya kepada Anda menggunakan contoh himpunan bilangan asli tak terhingga. Pertama, Anda perlu menjawab pertanyaan yang sangat sederhana: berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada - satu atau banyak? Tidak ada jawaban yang benar untuk pertanyaan ini, karena kami sendiri yang menemukan angka, tidak ada angka di Alam. Ya, Alam tahu cara menghitung dengan sempurna, tetapi untuk ini dia menggunakan alat matematika lain yang tidak kita kenal. Seperti yang dipikirkan Alam, saya akan memberi tahu Anda lain kali. Karena kami menemukan angka, kami sendiri yang akan memutuskan berapa banyak himpunan bilangan asli yang ada. Pertimbangkan kedua opsi, sebagaimana layaknya seorang ilmuwan sejati.

Opsi satu. "Mari kita diberi" satu set bilangan asli, yang terletak dengan tenang di rak. Kami mengambil set ini dari rak. Itu saja, tidak ada bilangan asli lain yang tersisa di rak dan tidak ada tempat untuk mengambilnya. Kami tidak dapat menambahkan satu ke set ini, karena kami sudah memilikinya. Bagaimana jika Anda benar-benar ingin? Tidak masalah. Kita bisa mengambil satu unit dari set yang sudah kita ambil dan mengembalikannya ke rak. Setelah itu, kita dapat mengambil satu unit dari rak dan menambahkannya ke sisa yang kita miliki. Hasilnya, kita kembali mendapatkan himpunan bilangan asli tak terhingga. Anda dapat menulis semua manipulasi kami seperti ini:

Saya telah menuliskan operasi dalam notasi aljabar dan notasi teori himpunan, daftar elemen himpunan secara rinci. Subskrip menunjukkan bahwa kita memiliki satu-satunya himpunan bilangan asli. Ternyata himpunan bilangan asli akan tetap tidak berubah hanya jika satu dikurangi dan yang sama ditambahkan.

Opsi dua. Kami memiliki banyak set bilangan asli tak terbatas yang berbeda di rak. Saya tekankan - BERBEDA, terlepas dari kenyataan bahwa mereka praktis tidak dapat dibedakan. Kami mengambil salah satu dari set ini. Kemudian kita mengambil satu dari himpunan bilangan asli lainnya dan menambahkannya ke himpunan yang telah kita ambil. Kita bahkan dapat menjumlahkan dua himpunan bilangan asli. Inilah yang kami dapatkan:

Subskrip "satu" dan "dua" menunjukkan bahwa elemen-elemen ini termasuk dalam himpunan yang berbeda. Ya, jika Anda menambahkan satu ke himpunan tak terbatas, hasilnya juga akan menjadi himpunan tak terbatas, tetapi tidak akan sama dengan himpunan aslinya. Jika himpunan tak hingga lainnya ditambahkan ke satu himpunan tak hingga, hasilnya adalah himpunan tak hingga baru yang terdiri dari elemen-elemen dari dua himpunan pertama.

Himpunan bilangan asli digunakan untuk menghitung dengan cara yang sama seperti penggaris untuk pengukuran. Sekarang bayangkan Anda telah menambahkan satu sentimeter ke penggaris. Ini sudah akan menjadi garis yang berbeda, tidak sama dengan aslinya.

Anda dapat menerima atau tidak menerima alasan saya - ini adalah urusan Anda sendiri. Tetapi jika Anda pernah mengalami masalah matematika, pertimbangkan apakah Anda berada di jalan penalaran yang salah, diinjak oleh generasi matematikawan. Lagi pula, kelas matematika, pertama-tama, membentuk stereotip pemikiran yang stabil dalam diri kita, dan baru kemudian mereka menambahkan kemampuan mental kepada kita (atau sebaliknya, mereka merampas kebebasan berpikir kita).

pozg.ru

Minggu, 4 Agustus 2019

Saya sedang menulis sebuah postscript untuk sebuah artikel tentang dan melihat teks yang indah ini di Wikipedia:

Kita membaca: "... kaya landasan teori Matematika Babel tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi seperangkat teknik yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.

Wow! Seberapa pintar kita dan seberapa baik kita bisa melihat kekurangan orang lain. Apakah lemah bagi kita untuk melihat matematika modern dalam konteks yang sama? Sedikit memparafrasekan teks di atas, secara pribadi saya mendapatkan yang berikut:

Dasar teori matematika modern yang kaya tidak memiliki karakter holistik dan direduksi menjadi satu set bagian yang berbeda, tanpa sistem umum dan basis bukti.

Saya tidak akan pergi jauh untuk mengkonfirmasi kata-kata saya - ia memiliki bahasa dan konvensi yang berbeda dari bahasa dan konvensi banyak cabang matematika lainnya. Nama yang sama dalam cabang matematika yang berbeda dapat memiliki arti yang berbeda. Saya ingin mencurahkan seluruh siklus publikasi untuk kesalahan yang paling jelas dari matematika modern. Sampai berjumpa lagi.

Sabtu, 3 Agustus 2019

Bagaimana cara membagi himpunan menjadi himpunan bagian? Untuk melakukan ini, Anda harus memasukkan satuan ukuran baru, yang ada di beberapa elemen himpunan yang dipilih. Pertimbangkan sebuah contoh.

Semoga kita memiliki banyak TETAPI terdiri dari empat orang. Himpunan ini dibentuk atas dasar "orang" Mari kita tentukan unsur-unsur himpunan ini melalui huruf sebuah, subskrip dengan nomor akan menunjukkan nomor urut setiap orang dalam himpunan ini. Mari perkenalkan unit pengukuran baru "karakteristik seksual" dan tunjukkan dengan huruf b. Karena karakteristik seksual melekat pada semua orang, kami mengalikan setiap elemen himpunan TETAPI pada jenis kelamin b. Perhatikan bahwa kumpulan "orang" kita sekarang telah menjadi kumpulan "orang dengan jenis kelamin". Setelah itu, kita dapat membagi karakteristik seksual menjadi laki-laki bm dan wanita bw karakteristik jenis kelamin. Sekarang kita dapat menerapkan filter matematis: kita memilih salah satu dari karakteristik seksual ini, tidak peduli yang mana laki-laki atau perempuan. Jika ada pada seseorang, maka kami mengalikannya dengan satu, jika tidak ada tanda seperti itu, kami mengalikannya dengan nol. Dan kemudian kami menerapkan matematika sekolah biasa. Lihat apa yang terjadi.

Setelah perkalian, pengurangan, dan penataan ulang, kami mendapatkan dua himpunan bagian: himpunan bagian laki-laki bm dan sebagian dari wanita bw. Kira-kira dengan cara yang sama para matematikawan bernalar ketika mereka menerapkan teori himpunan dalam praktik. Tetapi mereka tidak memberi tahu kami detailnya, tetapi memberi kami hasil akhir - "banyak orang terdiri dari subset pria dan subset wanita." Tentu, Anda mungkin memiliki pertanyaan, seberapa benar penerapan matematika dalam transformasi di atas? Saya berani meyakinkan Anda bahwa sebenarnya transformasi dilakukan dengan benar, cukup untuk mengetahui pembenaran matematis aritmatika, aljabar Boolean, dan bagian matematika lainnya. Apa itu? Lain waktu akan saya ceritakan.

Sedangkan untuk superset, dimungkinkan untuk menggabungkan dua himpunan menjadi satu superset dengan memilih satuan ukuran yang terdapat dalam elemen-elemen dari kedua himpunan tersebut.

Seperti yang Anda lihat, satuan pengukuran dan matematika umum membuat teori himpunan ketinggalan zaman. Tanda bahwa semuanya tidak beres dengan teori himpunan adalah bahwa matematikawan telah menemukan bahasa dan notasi mereka sendiri untuk teori himpunan. Para matematikawan melakukan apa yang pernah dilakukan para dukun. Hanya dukun yang tahu bagaimana "dengan benar" menerapkan "pengetahuan" mereka. "Pengetahuan" ini mereka ajarkan kepada kita.

Akhirnya, saya ingin menunjukkan kepada Anda bagaimana matematikawan memanipulasi .

Senin, 7 Januari 2019

Pada abad kelima SM filosof Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan variabel pengukuran belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, sepertinya waktu melambat hingga berhenti total pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya jatuh pada tempatnya. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan tanpa batas angka besar, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang terletak pada titik yang berbeda di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda ruang pada satu titik waktu, tetapi tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, data tambahan untuk perhitungan masih diperlukan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.
Saya akan menunjukkan prosesnya dengan sebuah contoh. Kami memilih "padat merah dalam jerawat" - ini adalah "keseluruhan" kami. Pada saat yang sama, kita melihat bahwa hal-hal ini dengan busur, dan ada tanpa busur. Setelah itu, kami memilih bagian dari "keseluruhan" dan membentuk satu set "dengan busur". Beginilah cara dukun memberi makan diri mereka sendiri dengan mengikat teori himpunan mereka dengan kenyataan.

Sekarang mari kita lakukan sedikit trik. Mari kita ambil "padat dalam jerawat dengan busur" dan satukan "keseluruhan" ini dengan warna, memilih elemen merah. Kami mendapat banyak "merah". Sekarang pertanyaan rumit: apakah set yang diterima "dengan busur" dan "merah" adalah set yang sama atau dua set yang berbeda? Hanya dukun yang tahu jawabannya. Lebih tepatnya, mereka sendiri tidak tahu apa-apa, tetapi seperti yang mereka katakan, biarlah.

Contoh sederhana ini menunjukkan bahwa teori himpunan sama sekali tidak berguna dalam kenyataan. Apa rahasianya? Kami membentuk satu set "jerawat padat merah dengan busur". Pembentukan terjadi menurut empat unit pengukuran yang berbeda: warna (merah), kekuatan (padat), kekasaran (dalam tonjolan), dekorasi (dengan busur). Hanya satu set unit pengukuran yang memungkinkan untuk menggambarkan objek nyata secara memadai dalam bahasa matematika. Berikut tampilannya.

Huruf "a" dengan indeks yang berbeda menunjukkan unit pengukuran yang berbeda. Dalam tanda kurung, unit pengukuran disorot, yang menurutnya "keseluruhan" dialokasikan pada tahap awal. Unit pengukuran, yang dengannya himpunan dibentuk, dikeluarkan dari tanda kurung. Baris terakhir menunjukkan hasil akhir - sebuah elemen dari himpunan. Seperti yang Anda lihat, jika kita menggunakan unit untuk membentuk himpunan, maka hasilnya tidak tergantung pada urutan tindakan kita. Dan ini adalah matematika, dan bukan tarian dukun dengan rebana. Dukun dapat "secara intuitif" sampai pada hasil yang sama, berdebat dengan "kejelasan", karena unit pengukuran tidak termasuk dalam gudang "ilmiah" mereka.

Dengan bantuan unit pengukuran, sangat mudah untuk memecahkan satu atau menggabungkan beberapa set menjadi satu superset. Mari kita lihat lebih dekat aljabar dari proses ini.

Informasi dalam artikel ini berbentuk Ide umum tentang bilangan bulat. Pertama, definisi bilangan bulat diberikan dan contoh diberikan. Selanjutnya, bilangan bulat pada garis bilangan dipertimbangkan, dari mana menjadi jelas bilangan mana yang disebut bilangan bulat positif, dan bilangan bulat negatif. Setelah itu, ditunjukkan bagaimana perubahan kuantitas dijelaskan menggunakan bilangan bulat, dan bilangan bulat negatif dianggap dalam arti hutang.

Navigasi halaman.

Bilangan bulat - definisi dan contoh

Definisi.

Bilangan bulat adalah bilangan asli, bilangan nol, dan juga bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli.

Definisi bilangan bulat menyatakan bahwa sembarang bilangan 1, 2, 3, …, bilangan 0, dan juga bilangan 1, 2, 3, … adalah bilangan bulat. Sekarang kita dapat dengan mudah membawa contoh bilangan bulat. Misalnya, bilangan 38 adalah bilangan bulat, bilangan 70040 juga bilangan bulat, nol adalah bilangan bulat (ingat bahwa nol BUKAN bilangan asli, nol adalah bilangan bulat), bilangan −999 , 1 , 8 934 832 juga merupakan contoh bilangan bulat.

Lebih mudah untuk mewakili semua bilangan bulat sebagai urutan bilangan bulat, yang memiliki bentuk berikut: 0, ±1, ±2, ±3, … Urutan bilangan bulat juga dapat ditulis sebagai berikut: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Ini mengikuti dari definisi bilangan bulat bahwa himpunan bilangan asli adalah bagian dari himpunan bilangan bulat. Oleh karena itu, setiap bilangan asli adalah bilangan bulat, tetapi tidak setiap bilangan bulat adalah bilangan asli.

Bilangan bulat pada garis koordinat

Definisi.

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol.

Definisi.

Bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat yang kurang dari nol.

Bilangan bulat positif dan negatif juga dapat ditentukan oleh posisinya pada garis koordinat. Pada garis koordinat horizontal, titik-titik yang koordinatnya bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan titik asal. Pada gilirannya, titik-titik dengan koordinat bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri titik O .

Jelas bahwa himpunan semua bilangan bulat positif adalah himpunan bilangan asli. Pada gilirannya, himpunan semua bilangan bulat negatif adalah himpunan semua bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli.

Secara terpisah, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa kami dapat dengan aman menyebut bilangan asli apa pun sebagai bilangan bulat, dan kami TIDAK dapat menyebut bilangan bulat apa pun sebagai bilangan asli. Kita hanya dapat memanggil bilangan bulat positif apa pun, karena bilangan bulat negatif dan nol tidak alami.

Bilangan bulat non-positif dan bilangan bulat non-negatif

Mari kita berikan definisi bilangan bulat nonpositif dan bilangan bulat nonnegatif.

Definisi.

Semua bilangan bulat positif bersama-sama dengan nol disebut bilangan bulat non-negatif.

Definisi.

Bilangan bulat non-positif semua bilangan bulat negatif bersama-sama dengan angka 0 .

Dengan kata lain, bilangan bulat non-negatif adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan nol, dan bilangan bulat non-positif adalah bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan nol.

Contoh bilangan bulat tak positif adalah bilangan -511, -10 030, 0, -2, dan sebagai contoh bilangan bulat tak negatif, berilah bilangan 45, 506, 0, 900 321.

Paling sering, istilah "bilangan bulat non-positif" dan "bilangan bulat non-negatif" digunakan untuk singkatnya. Misalnya, alih-alih frasa "angka a adalah bilangan bulat, dan a lebih besar dari nol atau sama dengan nol", Anda dapat mengatakan "a adalah bilangan bulat non-negatif".

Deskripsi mengubah nilai menggunakan bilangan bulat

Saatnya untuk berbicara tentang apa itu bilangan bulat.

Tujuan utama bilangan bulat adalah bahwa dengan bantuannya akan lebih mudah untuk menggambarkan perubahan jumlah item apa pun. Mari kita tangani ini dengan contoh.

Misalkan ada sejumlah bagian dalam stok. Jika, misalnya, 400 bagian lagi dibawa ke gudang, maka jumlah suku cadang di gudang akan meningkat, dan jumlah 400 menyatakan perubahan kuantitas ini ke arah yang positif (ke arah peningkatan). Jika, misalnya, 100 suku cadang diambil dari gudang, maka jumlah suku cadang di gudang akan berkurang, dan jumlah 100 akan menyatakan perubahan kuantitas dalam arah negatif (ke arah penurunan). Suku cadang tidak akan dibawa ke gudang, dan suku cadang tidak akan diambil dari gudang, maka kita dapat berbicara tentang invariabilitas jumlah suku cadang (yaitu, kita dapat berbicara tentang perubahan kuantitas nol).

Dalam contoh yang diberikan, perubahan jumlah bagian dapat dijelaskan dengan menggunakan bilangan bulat 400 , 100 dan 0, masing-masing. Bilangan bulat positif 400 menunjukkan perubahan positif dalam kuantitas (kenaikan). Bilangan bulat negatif 100 menyatakan perubahan negatif dalam kuantitas (penurunan). Bilangan bulat 0 menunjukkan bahwa kuantitas tidak berubah.

Kenyamanan menggunakan bilangan bulat dibandingkan dengan menggunakan bilangan asli adalah tidak perlu secara eksplisit menunjukkan apakah kuantitas meningkat atau menurun - bilangan bulat menentukan perubahan secara kuantitatif, dan tanda bilangan bulat menunjukkan arah perubahan.

Bilangan bulat juga dapat menyatakan tidak hanya perubahan kuantitas, tetapi juga perubahan beberapa nilai. Mari kita tangani ini dengan menggunakan contoh perubahan suhu.

Peningkatan suhu sebesar, katakanlah, 4 derajat dinyatakan sebagai bilangan bulat positif 4 . Penurunan suhu, misalnya, sebesar 12 derajat dapat dijelaskan dengan bilangan bulat negatif 12. Dan invarian suhu adalah perubahannya, ditentukan oleh bilangan bulat 0.

Secara terpisah, harus dikatakan tentang interpretasi bilangan bulat negatif sebagai jumlah hutang. Misalnya, jika kita memiliki 3 apel, maka bilangan bulat positif 3 mewakili jumlah apel yang kita miliki. Di sisi lain, jika kita harus memberikan 5 apel kepada seseorang, dan kita tidak memilikinya, maka situasi ini dapat digambarkan menggunakan bilangan bulat negatif 5. Dalam hal ini, kita "memiliki" 5 apel, tanda minus menunjukkan hutang, dan angka 5 mengkuantifikasi hutang.

Pemahaman bilangan bulat negatif sebagai utang memungkinkan seseorang, misalnya, untuk membenarkan aturan untuk menambahkan bilangan bulat negatif. Mari kita ambil contoh. Jika seseorang berhutang 2 apel kepada satu orang dan satu apel kepada orang lain, maka total hutangnya adalah 2+1=3 apel, jadi 2+(−1)=−3 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.

Untuk pertama kalinya angka negatif mulai digunakan di Cina dan India kuno, di Eropa mereka diperkenalkan ke dalam penggunaan matematika oleh Nicolas Shuquet (1484) dan Michael Stiefel (1544).

Sifat aljabar

$\backslash mathbb(Z)$ tidak tertutup di bawah pembagian dua bilangan bulat (misalnya, 1/2). Tabel berikut mengilustrasikan beberapa sifat dasar penjumlahan dan perkalian untuk sembarang bilangan bulat. sebuah, b dan c.

|list5=Angka kardinal - Anda pasti harus pindah ke tempat tidur, itu tidak akan mungkin di sini ...
Pasien begitu dikelilingi oleh dokter, putri dan pelayan sehingga Pierre tidak lagi melihat kepala merah-kuning dengan surai abu-abu, yang, terlepas dari kenyataan bahwa dia melihat wajah lain, tidak hilang dari pandangan selama seluruh layanan. . Pierre menebak dari gerakan hati-hati orang-orang di sekitar kursi bahwa pria yang sekarat itu sedang diangkat dan dibawa.
"Pegang tanganku, kamu akan menjatuhkannya seperti itu," dia mendengar bisikan ketakutan salah satu pelayan, "dari bawah ... yang lain," kata suara-suara, dan napas berat serta langkah kaki orang menjadi lebih tergesa-gesa, seolah-olah beban yang mereka pikul melebihi kekuatan mereka. .
Pembawa, di antaranya adalah Anna Mikhailovna, sejajar dengan pemuda itu, dan untuk sesaat, dari belakang dan belakang kepala orang-orang, dada tinggi, gemuk, terbuka, bahu pasien yang gemuk, diangkat ke atas oleh orang-orang yang memegangnya di bawah ketiak, dan kepala singa keriting berambut abu-abu. Kepala ini, dengan dahi dan tulang pipi yang luar biasa lebar, mulut sensual yang indah dan tampilan dingin yang agung, tidak rusak oleh kedekatan kematian. Dia sama seperti Pierre mengenalnya tiga bulan lalu, ketika hitungan membiarkannya pergi ke Petersburg. Tetapi kepala ini bergoyang tak berdaya dari langkah para pembawa yang tidak rata, dan tatapan dingin dan acuh tak acuh tidak tahu harus berhenti di mana.
Beberapa menit keributan berlalu di tempat tidur tinggi; orang-orang yang membawa orang sakit itu bubar. Anna Mikhailovna menyentuh tangan Pierre dan berkata kepadanya: "Venez." [Pergi.] Pierre, bersama dengannya, naik ke tempat tidur, di mana, dalam pose meriah, tampaknya terkait dengan sakramen yang baru saja dilakukan, orang sakit itu dibaringkan. Dia berbaring dengan kepala disandarkan tinggi di atas bantal. Tangannya diletakkan secara simetris di atas selimut sutra hijau, telapak tangan menghadap ke bawah. Ketika Pierre mendekat, Count menatap langsung ke arahnya, tetapi melihat dengan tatapan itu, arti dan maknanya tidak dapat dipahami oleh seseorang. Entah pandangan ini sama sekali tidak mengatakan apa-apa, hanya saja, selama ada mata, seseorang harus melihat ke suatu tempat, atau itu terlalu banyak bicara. Pierre berhenti, tidak tahu harus berbuat apa, dan menatap pemimpinnya, Anna Mikhailovna, dengan pandangan bertanya. Anna Mikhailovna membuat gerakan tergesa-gesa kepadanya dengan matanya, menunjuk ke tangan pasien dan menciumnya dengan bibirnya. Pierre, dengan rajin meregangkan lehernya agar tidak menangkap selimut, melakukan nasihatnya dan mencium tangannya yang besar dan berdaging. Tidak ada tangan, tidak ada satu pun otot wajah Count yang bergetar. Pierre kembali menatap Anna Mikhailovna dengan penuh tanya, sekarang bertanya apa yang harus dia lakukan. Anna Mikhaylovna menunjukkan kepadanya dengan matanya sebuah kursi yang berdiri di samping tempat tidur. Pierre dengan patuh mulai duduk di kursi berlengan, terus bertanya dengan matanya apakah dia telah melakukan apa yang diperlukan. Anna Mikhailovna mengangguk setuju. Pierre kembali mengambil posisi naif yang simetris dari patung Mesir, tampaknya menyesali bahwa tubuhnya yang kikuk dan gemuk menempati ruang yang begitu besar, dan menggunakan semua kekuatan mentalnya untuk tampak sekecil mungkin. Dia melihat hitungannya. Hitungan itu melihat ke tempat di mana wajah Pierre berada, sementara dia berdiri. Anna Mikhaylovna, dalam posisinya, menunjukkan kesadaran akan pentingnya menyentuh menit terakhir pertemuan antara ayah dan anak ini. Ini berlangsung dua menit, yang bagi Pierre satu jam. Tiba-tiba rasa ngeri muncul di otot-otot besar dan kerutan di wajah Count. Getaran semakin kuat, mulut yang indah terpelintir (baru saat itulah Pierre menyadari sejauh mana ayahnya hampir mati), suara serak yang tidak jelas terdengar dari mulut yang bengkok. Anna Mikhailovna dengan rajin menatap mata pasien dan, mencoba menebak apa yang dia butuhkan, dia menunjuk baik ke Pierre, lalu ke minuman, lalu dengan berbisik dia memanggil Pangeran Vasily dengan bertanya, lalu dia menunjuk ke selimut. Mata dan wajah pasien menunjukkan ketidaksabaran. Dia berusaha untuk melihat pelayan, yang berdiri di kepala tempat tidur tanpa pergi.
"Mereka ingin berguling ke sisi lain," bisik pelayan itu dan bangkit untuk membalikkan tubuh Count yang berat menghadap ke dinding.
Pierre bangkit untuk membantu pelayan itu.
Saat hitungan sedang dibalik, salah satu tangannya jatuh ke belakang tanpa daya, dan dia berusaha dengan sia-sia untuk menariknya. Apakah Count memperhatikan ekspresi ngeri yang dengannya Pierre melihat tangan tak bernyawa ini, atau pikiran lain apa yang terlintas di kepalanya yang sekarat pada saat itu, tetapi dia melihat ke tangan yang tidak patuh, pada ekspresi ketakutan di wajah Pierre, lagi di tangan, dan di wajahnya dia memiliki senyum yang lemah dan menderita yang tidak cocok dengan wajahnya, mengekspresikan, seolah-olah, ejekan pada ketidakmampuannya sendiri. Tiba-tiba, saat melihat senyum ini, Pierre merasakan getaran di dadanya, hidungnya terjepit, dan air mata mengaburkan pandangannya. Pasien dibaringkan menyamping ke dinding. Dia menghela nafas.
- Il est assoupi, [Dia tertidur,] - kata Anna Mikhailovna, memperhatikan sang putri yang datang untuk menggantikan. - Allon. [Mari pergi ke.]
Pierre pergi.