Apa itu bilangan bulat positif. angka

Informasi dalam artikel ini berbentuk Ide umum tentang bilangan bulat. Pertama, definisi bilangan bulat diberikan dan contoh diberikan. Selanjutnya, bilangan bulat pada garis bilangan dipertimbangkan, dari mana menjadi jelas bilangan mana yang disebut bilangan bulat positif, dan bilangan bulat negatif. Setelah itu, ditunjukkan bagaimana perubahan jumlah dijelaskan menggunakan bilangan bulat, dan bilangan bulat negatif dianggap dalam arti hutang.

Navigasi halaman.

Bilangan bulat - definisi dan contoh

Definisi.

Bilangan bulat adalah bilangan asli, bilangan nol, dan juga bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli.

Definisi bilangan bulat menyatakan bahwa sembarang bilangan 1, 2, 3, …, bilangan 0, dan juga bilangan 1, 2, 3, … adalah bilangan bulat. Sekarang kita dapat dengan mudah membawa contoh bilangan bulat. Misalnya, bilangan 38 adalah bilangan bulat, bilangan 70 040 juga bilangan bulat, nol adalah bilangan bulat (ingat bahwa nol BUKAN bilangan asli, nol adalah bilangan bulat), bilangan 999 , 1 , 8 934 832 juga merupakan contoh bilangan bulat.

Lebih mudah untuk mewakili semua bilangan bulat sebagai urutan bilangan bulat, yang memiliki bentuk berikut: 0, ±1, ±2, ±3, … Urutan bilangan bulat juga dapat ditulis sebagai berikut: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Dari definisi bilangan bulat, maka himpunan bilangan asli adalah himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat. Oleh karena itu, setiap bilangan asli adalah bilangan bulat, tetapi tidak setiap bilangan bulat adalah bilangan asli.

Bilangan bulat pada garis koordinat

Definisi.

Bilangan bulat positif adalah bilangan bulat yang lebih besar dari nol.

Definisi.

Bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat yang kurang dari nol.

Bilangan bulat positif dan negatif juga dapat ditentukan oleh posisinya pada garis koordinat. Pada garis koordinat horizontal, titik-titik yang koordinatnya bilangan bulat positif terletak di sebelah kanan titik asal. Pada gilirannya, titik-titik dengan koordinat bilangan bulat negatif terletak di sebelah kiri titik O .

Jelas bahwa himpunan semua bilangan bulat positif adalah himpunan bilangan asli. Sebaliknya, himpunan semua bilangan bulat negatif adalah himpunan semua bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli.

Secara terpisah, kami menarik perhatian Anda pada fakta bahwa kami dapat dengan aman menyebut bilangan asli apa pun sebagai bilangan bulat, dan kami TIDAK dapat menyebut bilangan bulat apa pun sebagai bilangan asli. Kita hanya dapat memanggil bilangan bulat positif apa pun, karena bilangan bulat negatif dan nol tidak alami.

Bilangan bulat non-positif dan bilangan bulat non-negatif

Mari kita berikan definisi bilangan bulat nonpositif dan bilangan bulat nonnegatif.

Definisi.

Semua bilangan bulat positif bersama-sama dengan nol disebut bilangan bulat non-negatif.

Definisi.

Bilangan bulat non-positif semua bilangan bulat negatif bersama-sama dengan angka 0 .

Dengan kata lain, bilangan bulat non-negatif adalah bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan nol, dan bilangan bulat non-positif adalah bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan nol.

Contoh bilangan bulat tak positif adalah bilangan -511, -10 030, 0, -2, dan sebagai contoh bilangan bulat tak negatif, berilah bilangan 45, 506, 0, 900 321.

Paling sering, istilah "bilangan bulat non-positif" dan "bilangan bulat non-negatif" digunakan untuk singkatnya. Misalnya, alih-alih frasa "angka a adalah bilangan bulat, dan a lebih besar dari nol atau sama dengan nol", Anda dapat mengatakan "a adalah bilangan bulat non-negatif".

Deskripsi mengubah nilai menggunakan bilangan bulat

Saatnya berbicara tentang apa itu bilangan bulat.

Tujuan utama bilangan bulat adalah bahwa dengan bantuannya akan lebih mudah untuk menggambarkan perubahan jumlah item apa pun. Mari kita tangani ini dengan contoh.

Misalkan ada sejumlah bagian dalam stok. Jika, misalnya, 400 bagian lagi dibawa ke gudang, maka jumlah suku cadang di gudang akan bertambah, dan jumlah 400 menyatakan perubahan kuantitas ini ke arah yang positif (meningkat). Jika, misalnya, 100 suku cadang diambil dari gudang, maka jumlah suku cadang di gudang akan berkurang, dan jumlah 100 akan menyatakan perubahan kuantitas dalam arah negatif (ke arah penurunan). Tidak ada suku cadang yang akan dibawa ke gudang, dan tidak ada suku cadang yang akan diambil dari gudang, maka kita dapat berbicara tentang invarian jumlah suku cadang (yaitu, kita dapat berbicara tentang perubahan kuantitas nol).

Dalam contoh yang diberikan, perubahan jumlah bagian dapat dijelaskan dengan menggunakan bilangan bulat 400 , 100 dan 0, masing-masing. Bilangan bulat positif 400 menunjukkan perubahan positif dalam kuantitas (kenaikan). Bilangan bulat negatif 100 menyatakan perubahan negatif dalam kuantitas (penurunan). Bilangan bulat 0 menunjukkan bahwa kuantitas tidak berubah.

Kenyamanan menggunakan bilangan bulat dibandingkan dengan menggunakan bilangan asli adalah bahwa tidak perlu secara eksplisit menunjukkan apakah kuantitas meningkat atau menurun - bilangan bulat menentukan perubahan secara kuantitatif, dan tanda bilangan bulat menunjukkan arah perubahan.

Bilangan bulat juga dapat menyatakan tidak hanya perubahan kuantitas, tetapi juga perubahan beberapa nilai. Mari kita tangani ini dengan menggunakan contoh perubahan suhu.

Peningkatan suhu sebesar, katakanlah, 4 derajat dinyatakan sebagai bilangan bulat positif 4 . Penurunan suhu, misalnya, sebesar 12 derajat dapat digambarkan dengan bilangan bulat negatif 12. Dan invarian suhu adalah perubahannya, ditentukan oleh bilangan bulat 0.

Secara terpisah, harus dikatakan tentang interpretasi bilangan bulat negatif sebagai jumlah hutang. Misalnya, jika kita memiliki 3 apel, maka bilangan bulat positif 3 mewakili jumlah apel yang kita miliki. Di sisi lain, jika kita harus memberikan 5 apel kepada seseorang, dan kita tidak memilikinya, maka situasi ini dapat digambarkan menggunakan bilangan bulat negatif 5 . Dalam hal ini, kita "memiliki" 5 apel, tanda minus menunjukkan hutang, dan angka 5 mengkuantifikasi hutang.

Pemahaman bilangan bulat negatif sebagai utang memungkinkan seseorang, misalnya, untuk membenarkan aturan untuk menambahkan bilangan bulat negatif. Mari kita ambil contoh. Jika seseorang berhutang 2 apel kepada satu orang dan satu apel kepada orang lain, maka total hutangnya adalah 2+1=3 apel, jadi 2+(−1)=−3 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya. dll. Matematika. Kelas 6: buku teks untuk lembaga pendidikan.

Nomor- konsep matematika paling penting yang telah berubah selama berabad-abad.

Ide pertama tentang angka muncul dari menghitung orang, hewan, buah-buahan, berbagai produk, dll. Hasilnya adalah bilangan asli: 1, 2, 3, 4, ...

Secara historis, perluasan pertama dari konsep bilangan adalah penambahan bilangan pecahan ke bilangan asli.

Tembakan disebut bagian (share) dari suatu unit atau beberapa bagian yang sama.

Ditunjuk: , dimana M N- bilangan bulat;

Pecahan dengan penyebut 10 n, di mana n adalah bilangan bulat, disebut desimal: .

Di antara pecahan desimal, tempat khusus ditempati oleh pecahan periodik: - pecahan periodik murni, - pecahan periodik campuran.

Perluasan lebih lanjut dari konsep bilangan sudah disebabkan oleh perkembangan matematika itu sendiri (aljabar). Descartes pada abad ke-17 memperkenalkan konsep angka negatif.

Bilangan bulat (positif dan negatif), pecahan (positif dan negatif) dan nol disebut angka rasional. Setiap bilangan rasional dapat ditulis sebagai pecahan berhingga dan periodik.

Untuk mempelajari variabel yang terus berubah, ternyata perlu memperluas konsep bilangan - pengenalan bilangan real (riil) - dengan menambahkan bilangan irasional ke bilangan rasional: bilangan irasional adalah pecahan desimal non-periodik tak terbatas.

Bilangan irasional muncul ketika mengukur segmen yang tidak dapat dibandingkan (sisi dan diagonal persegi), dalam aljabar - saat mengekstraksi akar, contoh bilangan irasional transendental adalah , e .

angka alami(1, 2, 3,...), utuh(..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,...), rasional(diwakili sebagai pecahan) dan irasional(tidak dapat direpresentasikan sebagai pecahan ) membentuk satu set nyata (nyata) angka.

Secara terpisah dalam matematika, bilangan kompleks dibedakan.

Bilangan kompleks muncul sehubungan dengan masalah pemecahan kuadrat untuk kasus tersebut D< 0 (здесь D adalah diskriminan dari persamaan kuadrat). Untuk waktu yang lama, angka-angka ini tidak menemukan penggunaan fisik, itulah sebabnya mereka disebut angka "imajiner". Namun, sekarang mereka sangat banyak digunakan di berbagai bidang fisika dan teknologi: teknik elektro, hidro dan aerodinamika, teori elastisitas, dll.

Bilangan kompleks ditulis sebagai: z = sebuah+ dua. Di Sini sebuah dan b – bilangan asli, sebuah saya – satuan imajiner.e. saya 2 = -satu. Nomor sebuah ditelepon absis, sebuah b-ordinat bilangan kompleks sebuah+ dua. Dua bilangan kompleks sebuah+ dua dan a-bi ditelepon mengkonjugasikan bilangan kompleks.

Properti:

1. Bilangan asli sebuah juga dapat ditulis sebagai bilangan kompleks: sebuah+ 0saya atau sebuah - 0saya. Misalnya 5 + 0 saya dan 5 - 0 saya berarti sama nomor 5 .

2. Bilangan kompleks 0 + dua ditelepon murni imajiner nomor. Rekaman dua artinya sama dengan 0 + dua.

3. Dua bilangan kompleks sebuah+ dua dan c+ di dianggap sama jika sebuah= c dan b= d. Jika tidak, bilangan kompleks tidak sama.

Tindakan:

Tambahan. Jumlah bilangan kompleks sebuah+ dua dan c+ di disebut bilangan kompleks ( sebuah+ c) + (b+ d)saya. Dengan demikian, saat menambahkan bilangan kompleks, absis dan ordinatnya ditambahkan secara terpisah.

Pengurangan. Selisih antara dua bilangan kompleks sebuah+ dua(dikurangi) dan c+ di(dikurangi) disebut bilangan kompleks ( a-c) + (b-d)saya. Dengan demikian, saat mengurangkan dua bilangan kompleks, absis dan ordinatnya dikurangkan secara terpisah.

Perkalian. Hasil kali bilangan kompleks sebuah+ dua dan c+ di disebut bilangan kompleks.

(ac-bd) + (iklan+ SM)saya. Definisi ini berasal dari dua persyaratan:

1) angka sebuah+ dua dan c+ di harus mengalikan seperti binomial aljabar,

2) nomor saya memiliki sifat utama: saya 2 = –1.

CONTOH ( a + bi)(a-bi)= 2 +b 2 . Karena itu, kerjadari dua bilangan kompleks konjugasi sama dengan bilangan real positif.

Divisi. Membagi bilangan kompleks sebuah+ dua(dapat dibagi) ke yang lain c+ di (pembagi) - berarti menemukan angka ketiga e+ fi(obrolan), yang jika dikalikan dengan pembagi c+ di, yang menghasilkan dividen sebuah+ dua. Jika pembagi tidak nol, pembagian selalu mungkin.

CONTOH Temukan (8+ saya) : (2 – 3saya) .

Solusi Mari kita tulis ulang rasio ini sebagai pecahan:

Mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan 2 + 3 saya dan melakukan semua transformasi, kita mendapatkan:

Tugas 1: Menambah, mengurangi, mengalikan, dan membagi z 1 untuk z 2

Mengekstrak akar kuadrat: Selesaikan persamaan x 2 = -sebuah. Untuk menyelesaikan persamaan ini kami terpaksa menggunakan jenis angka baru - bilangan imajiner . Dengan demikian, imajiner nomor tersebut disebut yang pangkat keduanya adalah bilangan negatif. Menurut definisi bilangan imajiner ini, kita dapat mendefinisikan dan imajiner satuan:

Kemudian untuk persamaan x 2 = - 25 kita dapat dua imajiner akar:

Tugas 2: Selesaikan persamaan:

1) x 2 = – 36; 2) x 2 = – 49; 3) x 2 = – 121

Representasi geometris bilangan kompleks. Bilangan real diwakili oleh titik-titik pada garis bilangan:

Inilah intinya A artinya angka -3, titik B adalah nomor 2, dan HAI-nol. Sebaliknya, bilangan kompleks diwakili oleh titik-titik pada bidang koordinat. Untuk ini, kami memilih koordinat persegi panjang (Cartesian) dengan skala yang sama pada kedua sumbu. Maka bilangan kompleks sebuah+ dua akan dilambangkan dengan titik P dengan absissebuah dan ordinatb. Sistem koordinat ini disebut pesawat yang kompleks .

modul bilangan kompleks disebut panjang vektor OP, menggambarkan bilangan kompleks pada koordinat ( terintegrasi) pesawat terbang. Modulus bilangan kompleks sebuah+ dua dilambangkan dengan | sebuah+ dua| atau) surat r dan sama dengan:

Bilangan kompleks konjugasi memiliki modulus yang sama.

Aturan untuk menggambar gambar hampir sama dengan menggambar dalam sistem koordinat Cartesian.Di sepanjang sumbu, Anda perlu mengatur dimensi, perhatikan:

e
satuan sepanjang sumbu nyata; Rezo

unit imajiner sepanjang sumbu imajiner. saya z

Tugas 3. Bangun bilangan kompleks berikut pada bidang kompleks: , , , , , , ,

1. Angka yang tepat dan perkiraan. Angka-angka yang kita jumpai dalam praktek ada dua macam. Beberapa memberikan nilai sebenarnya dari kuantitas, yang lain hanya perkiraan. Yang pertama disebut tepat, yang kedua - perkiraan. Paling sering lebih mudah menggunakan angka perkiraan daripada angka pasti, terutama karena dalam banyak kasus angka pasti tidak dapat ditemukan sama sekali.

Jadi, jika mereka mengatakan bahwa ada 29 siswa di kelas, maka jumlah 29 adalah tepat. Jika mereka mengatakan bahwa jarak dari Moskow ke Kyiv adalah 960 km, maka di sini angka 960 adalah perkiraan, karena, di satu sisi, alat ukur kami tidak sepenuhnya akurat, di sisi lain, kota-kota itu sendiri memiliki batas tertentu.

Hasil operasi dengan angka perkiraan juga merupakan angka perkiraan. Dengan melakukan beberapa operasi pada bilangan eksak (membagi, mengekstrak akar), Anda juga bisa mendapatkan angka perkiraan.

Teori perkiraan perhitungan memungkinkan:

1) mengetahui tingkat keakuratan data, menilai tingkat keakuratan hasil;

2) mengambil data dengan tingkat akurasi yang sesuai, cukup untuk memastikan akurasi yang diperlukan dari hasil;

3) merasionalkan proses perhitungan, membebaskannya dari perhitungan yang tidak akan mempengaruhi keakuratan hasil.

2. Pembulatan. Salah satu sumber perkiraan angka adalah pembulatan. Bulatkan angka perkiraan dan eksak.

Pembulatan suatu bilangan tertentu ke beberapa digitnya adalah dengan menggantinya dengan bilangan baru, yang diperoleh dari bilangan yang diberikan dengan membuang semua digitnya yang ditulis di sebelah kanan digit dari digit ini, atau dengan menggantinya dengan nol. Angka nol ini biasanya digarisbawahi atau ditulis lebih kecil. Untuk memastikan jarak terdekat dari angka yang dibulatkan ke yang dibulatkan, aturan berikut harus digunakan: untuk membulatkan angka ke satuan angka tertentu, Anda harus membuang semua angka setelah angka dari angka ini, dan menggantinya mereka dengan nol di seluruh nomor. Ini memperhitungkan hal-hal berikut:

1) jika digit pertama (kiri) yang dibuang kurang dari 5, maka digit terakhir yang tersisa tidak diubah (pembulatan ke bawah);

2) jika angka pertama yang dibuang lebih besar dari 5 atau sama dengan 5, maka sisa angka terakhir ditambah satu (pembulatan ke atas).

Mari kita tunjukkan ini dengan contoh. Pembulatan:

a) hingga sepersepuluh dari 12,34;

b) hingga seperseratus dari 3,2465; 1038.785;

c) hingga seperseribu dari 3.4335.

d) sampai dengan 12375 ribu; 320729.

a) 12,34 12,3;

b) 3,2465 3,25; 1038.785 1038.79;

c) 3.4335 3.434.

d) 12375 12.000; 320729 321000.

3. Kesalahan mutlak dan kesalahan relatif. Selisih antara bilangan eksak dan nilai aproksimasinya disebut galat absolut dari bilangan aproksimasi. Misalnya, jika angka tepat 1,214 dibulatkan menjadi persepuluh, kita mendapatkan angka perkiraan 1,2. Dalam hal ini, kesalahan absolut dari perkiraan angka 1.2 adalah 1.214 - 1.2, yaitu. 0,014.

Tetapi dalam banyak kasus nilai yang tepat nilai yang dipertimbangkan tidak diketahui, tetapi hanya perkiraan. Kemudian kesalahan mutlak juga tidak diketahui. Dalam kasus ini, tunjukkan batas yang tidak boleh dilampaui. Angka ini disebut kesalahan absolut marjinal. Mereka mengatakan bahwa nilai eksak suatu bilangan sama dengan nilai perkiraannya dengan kesalahan lebih kecil dari kesalahan batas. Misalnya, angka 23,71 adalah nilai perkiraan dari angka 23,7125 dengan akurasi 0,01, karena kesalahan perkiraan absolut adalah 0,0025 dan kurang dari 0,01. Di sini kesalahan mutlak batas sama dengan 0,01 * .

Kesalahan absolut batas dari jumlah perkiraan sebuah dilambangkan dengan simbol sebuah. Rekaman

x≈sebuah(±Δ sebuah)

harus dipahami sebagai berikut: nilai yang tepat dari kuantitas x ada di antara sebuah– Δ sebuah dan sebuah+ Δ sebuah, yang masing-masing disebut batas bawah dan batas atas. X dan menunjukkan NG x VG X.

Misalnya, jika x 2,3 (± 0,1), lalu 2,2<x< 2,4.

Sebaliknya, jika 7.3< X< 7,4, тоX 7,35 (±0,05). Kesalahan absolut absolut atau marjinal tidak mencirikan kualitas pengukuran. Kesalahan mutlak yang sama dapat dianggap signifikan dan tidak signifikan, tergantung pada angka yang menyatakan nilai terukur. Misalnya, jika kita mengukur jarak antara dua kota dengan akurasi satu kilometer, maka akurasi tersebut cukup memadai untuk perubahan ini, sementara pada saat yang sama, ketika mengukur jarak antara dua rumah di jalan yang sama, akurasi tersebut akan menjadi tidak dapat diterima. Oleh karena itu, keakuratan nilai perkiraan suatu besaran tidak hanya bergantung pada besarnya kesalahan mutlak, tetapi juga pada nilai besaran yang diukur. Oleh karena itu, ukuran akurasi adalah kesalahan relatif.

Kesalahan relatif adalah rasio kesalahan mutlak dengan nilai angka perkiraan. Rasio kesalahan mutlak batas dengan jumlah perkiraan disebut kesalahan relatif batas; menandakannya seperti ini: Kesalahan relatif dan batas relatif biasanya dinyatakan sebagai persentase. Misalnya, jika pengukuran menunjukkan bahwa jarak X antara dua titik lebih dari 12,3 km, tetapi kurang dari 12,7 km, maka rata-rata aritmatika dari dua angka ini diambil sebagai nilai perkiraan, yaitu. setengah jumlah mereka, maka kesalahan mutlak batas sama dengan setengah selisih angka-angka ini. Pada kasus ini X 12,5 (±0,2). Di sini, kesalahan mutlak batas adalah 0,2 km, dan batas relatif

1) Saya langsung membaginya dengan, karena kedua bilangan tersebut 100% habis dibagi:

2) Saya akan membagi dengan jumlah besar yang tersisa (s), karena mereka dibagi tanpa sisa (pada saat yang sama, saya tidak akan terurai - itu sudah menjadi pembagi umum):

6 2 4 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 5 6

6 8 0 0 = 1 0 ⋅ 4 ⋅ 1 7 0

3) Saya akan pergi dan sendirian dan mulai mempertimbangkan angka dan. Kedua bilangan tersebut benar-benar habis dibagi (diakhiri dengan angka genap (dalam hal ini, kami menyajikannya sebagai, tetapi dapat dibagi dengan)):

4) Kami bekerja dengan angka dan. Apakah mereka memiliki pembagi yang sama? Ini semudah di langkah sebelumnya, dan Anda tidak bisa mengatakannya, jadi kami hanya akan menguraikannya menjadi faktor sederhana:

5) Seperti yang kita lihat, kita benar: dan tidak memiliki pembagi yang sama, dan sekarang kita perlu mengalikan.
GCD

Tugas nomor 2. Tentukan KPK dari bilangan 345 dan 324

Saya tidak dapat dengan cepat menemukan setidaknya satu pembagi umum di sini, jadi saya hanya menguraikan menjadi faktor prima (sesedikit mungkin):

Tepatnya, GCD, dan saya awalnya tidak memeriksa kriteria keterbagian untuk, dan, mungkin, saya tidak perlu melakukan begitu banyak tindakan.

Tapi Anda sudah memeriksanya, kan?

Seperti yang Anda lihat, ini cukup mudah.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) - menghemat waktu, membantu memecahkan masalah di luar kotak

Katakanlah Anda memiliki dua angka - dan. Berapa bilangan terkecil yang habis dibagi tanpa jejak(yaitu sepenuhnya)? Sulit membayangkannya? Berikut petunjuk visual untuk Anda:

Apakah Anda ingat apa arti surat itu? Itu benar, hanya bilangan bulat. Jadi, berapa bilangan terkecil yang cocok dengan x? :

Pada kasus ini.

Beberapa aturan mengikuti dari contoh sederhana ini.

Aturan untuk menemukan NOC dengan cepat

Aturan 1. Jika salah satu dari dua bilangan asli habis dibagi dengan bilangan lain, maka yang lebih besar dari kedua bilangan tersebut adalah kelipatan persekutuan terkecilnya.

Temukan angka-angka berikut:

• NOC (7;21)
• NOC (6;12)
• NOC (5;15)
• NOC (3;33)

Tentu saja, Anda dengan mudah mengatasi tugas ini dan Anda mendapatkan jawabannya -, dan.

Perhatikan bahwa dalam aturan kita berbicara tentang DUA angka, jika ada lebih banyak angka, maka aturannya tidak berfungsi.

Misalnya, KPK (7;14;21) tidak sama dengan 21, karena tidak dapat dibagi tanpa sisa oleh.

Aturan 2. Jika dua (atau lebih dari dua) bilangan koprima, maka kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan perkaliannya.

Temukan NOC untuk nomor berikut:

• NOC (1;3;7)
• NOC (3;7;11)
• NOC (2;3;7)
• NOC (3;5;2)

Apakah Anda menghitung? Ini dia jawabannya - , ; .

Seperti yang Anda pahami, tidak selalu mudah untuk mengambil dan mengambil x yang sama ini, jadi untuk bilangan yang sedikit lebih kompleks ada algoritme berikut:

Haruskah kita berlatih?

Temukan kelipatan persekutuan terkecil - KPK (345; 234)

Mari kita uraikan setiap nomor:

Mengapa saya baru saja menulis?

Ingat tanda-tanda habis dibagi oleh: habis dibagi (angka terakhir genap) dan jumlah angka habis dibagi.

Dengan demikian, kita dapat langsung membaginya dengan, menuliskannya sebagai.

Sekarang kami menulis ekspansi terpanjang dalam satu baris - yang kedua:

Mari kita tambahkan angka-angka dari ekspansi pertama, yang tidak ada dalam apa yang kita tulis:

Catatan: kami menulis semuanya kecuali, karena kami sudah memilikinya.

Sekarang kita perlu mengalikan semua angka ini!

Temukan sendiri kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Apa jawaban yang Anda dapatkan?

Inilah yang terjadi pada saya:

Berapa lama waktu yang Anda butuhkan untuk menemukannya? NOC? Waktu saya 2 menit, saya benar-benar tahu satu trik, yang saya sarankan Anda buka sekarang!

Jika Anda sangat perhatian, maka Anda mungkin memperhatikan bahwa untuk nomor yang diberikan telah kami cari GCD dan Anda dapat mengambil faktorisasi angka-angka ini dari contoh itu, sehingga menyederhanakan tugas Anda, tetapi ini jauh dari semuanya.

Lihatlah gambarnya, mungkin beberapa pemikiran lain akan datang kepada Anda:

Sehat? Saya akan memberi Anda petunjuk: cobalah untuk mengalikan NOC dan GCD di antara mereka sendiri dan tuliskan semua faktor yang akan terjadi saat mengalikan. Apakah Anda berhasil? Anda harus berakhir dengan rantai seperti ini:

Lihatlah lebih dekat: bandingkan faktor-faktornya dengan cara dan penguraiannya.

Kesimpulan apa yang dapat Anda tarik dari ini? Benar! Jika kita mengalikan nilainya NOC dan GCD antara mereka sendiri, maka kita mendapatkan produk dari angka-angka ini.

Dengan demikian, memiliki angka dan makna GCD(atau NOC), kita dapat menemukan NOC(atau GCD) dengan cara sebagai berikut:

1. Temukan produk dari angka:

2. Kami membagi produk yang dihasilkan dengan GCD (6240; 6800) = 80:

Itu saja.

Mari kita tulis aturan dalam bentuk umum:

Mencoba untuk mencari GCD jika diketahui :

Apakah Anda berhasil? .

Angka negatif - "angka palsu" dan pengakuannya oleh umat manusia.

Seperti yang sudah Anda pahami, ini adalah angka yang berlawanan dengan angka alami, yaitu:

Tampaknya mereka begitu istimewa?

Tetapi faktanya adalah bahwa angka negatif "memenangkan" tempat yang tepat dalam matematika hingga abad ke-19 (sampai saat itu ada sejumlah besar kontroversi apakah mereka ada atau tidak).

Angka negatif itu sendiri muncul karena operasi seperti itu dengan bilangan asli sebagai "pengurangan".

Memang, kurangi dari - itu angka negatif. Itulah sebabnya himpunan bilangan negatif sering disebut "perpanjangan dari himpunan bilangan asli".

Angka negatif tidak dikenali oleh orang untuk waktu yang lama.

Jadi, Mesir Kuno, Babilonia, dan Yunani Kuno - lampu pada zaman mereka, tidak mengenali angka negatif, dan dalam kasus memperoleh akar negatif dalam persamaan (misalnya, seperti yang kita miliki), akarnya ditolak karena tidak mungkin.

Untuk pertama kalinya angka negatif mendapatkan haknya untuk eksis di Cina, dan kemudian pada abad ke-7 di India.

Apa pendapat Anda tentang pengakuan ini?

Itu benar, angka negatif mulai menunjukkan hutang (jika tidak - kekurangan).

Diyakini bahwa angka negatif adalah nilai sementara, yang akibatnya akan berubah menjadi positif (yaitu, uang akan tetap dikembalikan ke kreditur). Namun, ahli matematika India Brahmagupta kemudian mempertimbangkan bilangan negatif dengan pijakan yang sama dengan bilangan positif.

Di Eropa, kegunaan angka negatif, serta fakta bahwa angka tersebut dapat menunjukkan utang, muncul jauh kemudian, yaitu, satu milenium.

Penyebutan pertama terlihat pada tahun 1202 dalam "Book of the Abacus" oleh Leonard dari Pisa (saya langsung mengatakan bahwa penulis buku tersebut tidak ada hubungannya dengan Menara Miring Pisa, tetapi angka Fibonacci adalah karyanya (the nama panggilan Leonardo dari Pisa adalah Fibonacci)).

Jadi, pada abad XVII, Pascal percaya akan hal itu.

Menurut Anda bagaimana dia membenarkannya?

Itu benar, "tidak ada yang kurang dari TIDAK ADA".

Gema dari waktu itu tetap menjadi fakta bahwa angka negatif dan operasi pengurangan dilambangkan dengan simbol yang sama - minus "-". Dan benar: . Apakah angka " " positif, yang dikurangi, atau negatif, yang ditambahkan? ... Sesuatu dari deret "mana yang lebih dulu: ayam atau telur?" Berikut adalah semacam filosofi matematika ini.

Angka negatif mengamankan hak mereka untuk eksis dengan munculnya geometri analitik, dengan kata lain, ketika matematikawan memperkenalkan hal seperti sumbu nyata.

Dari saat inilah kesetaraan datang. Namun, masih ada lebih banyak pertanyaan daripada jawaban, misalnya:

proporsi

Proporsi ini disebut paradoks Arno. Pikirkan tentang hal itu, apa yang meragukan tentang itu?

Mari kita bicara bersama " " lebih dari " " kan? Jadi, menurut logika, sisi kiri proporsi harus lebih besar dari sisi kanan, tetapi mereka sama ... Ini dia paradoksnya.

Akibatnya, ahli matematika setuju bahwa Karl Gauss (ya, ya, ini adalah orang yang menganggap jumlah (atau) angka) pada tahun 1831 mengakhirinya.

Dia mengatakan bahwa angka negatif memiliki hak yang sama dengan angka positif, dan fakta bahwa angka tersebut tidak berlaku untuk semua hal tidak berarti apa-apa, karena pecahan juga tidak berlaku untuk banyak hal (tidak terjadi penggali menggali lubang, Anda tidak dapat membeli tiket ke bioskop, dll.).

Matematikawan baru tenang pada abad ke-19, ketika teori bilangan negatif diciptakan oleh William Hamilton dan Hermann Grassmann.

Begitulah kontroversialnya mereka, angka-angka negatif ini.

Munculnya "kekosongan", atau biografi nol.

Dalam matematika, nomor khusus.

Pada pandangan pertama, ini bukan apa-apa: tambah, kurangi - tidak ada yang berubah, tetapi Anda hanya perlu mengaitkannya ke kanan ke "", dan jumlah yang dihasilkan akan berkali-kali lebih besar dari yang asli.

Dengan mengalikan dengan nol, kita mengubah segalanya menjadi tidak ada, tetapi kita tidak dapat membagi dengan "tidak ada". Singkatnya, angka ajaib)

Sejarah nol panjang dan rumit.

Jejak nol ditemukan dalam tulisan-tulisan Cina pada tahun 2000 Masehi. dan bahkan lebih awal dengan Maya. Penggunaan pertama dari simbol nol, seperti sekarang ini, terlihat di antara para astronom Yunani.

Ada banyak versi mengapa penunjukan "tidak ada" seperti itu dipilih.

Beberapa sejarawan cenderung percaya bahwa ini adalah omicron, yaitu. Huruf pertama dari kata Yunani untuk tidak ada adalah ouden. Menurut versi lain, kata "obol" (koin yang hampir tidak ada nilainya) menghidupkan simbol nol.

Nol (atau nol) sebagai simbol matematika pertama kali muncul di antara orang India(perhatikan bahwa angka negatif mulai "berkembang" di sana).

Bukti pertama yang dapat diandalkan tentang penulisan nol berasal dari tahun 876, dan di dalamnya "" adalah komponen angka.

Nol juga datang ke Eropa terlambat - hanya pada tahun 1600, dan seperti angka negatif, ia menghadapi perlawanan (apa yang dapat Anda lakukan, mereka adalah orang Eropa).

“Zero sering dibenci, ditakuti sejak lama, bahkan dilarang”— tulis matematikawan Amerika Charles Seif.

Jadi, Sultan Turki Abdul-Hamid II pada akhir abad ke-19. memerintahkan sensornya untuk menghapus formula air H2O dari semua buku teks kimia, mengambil huruf "O" untuk nol dan tidak ingin inisial namanya dicemarkan oleh kedekatannya dengan nol tercela.

Di Internet Anda dapat menemukan ungkapan: “Nol adalah kekuatan paling kuat di Semesta, ia dapat melakukan apa saja! Nol menciptakan keteraturan dalam matematika, dan juga membawa kekacauan ke dalamnya. Poin yang sangat tepat :)

Ringkasan bagian dan rumus dasar

Himpunan bilangan bulat terdiri dari 3 bagian:

• bilangan asli (kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci di bawah);
• angka yang berlawanan dengan yang alami;
• nol - " "

Himpunan bilangan bulat dilambangkan huruf Z

1. Bilangan asli

Bilangan asli adalah bilangan yang kita gunakan untuk menghitung benda.

Himpunan bilangan asli dilambangkan huruf N

Dalam operasi dengan bilangan bulat, Anda akan memerlukan kemampuan untuk menemukan GCD dan KPK.

Pembagi Persekutuan Terbesar (PBK)

Untuk menemukan NOD yang Anda butuhkan:

1. Menguraikan bilangan menjadi faktor prima (menjadi bilangan yang tidak dapat dibagi dengan apa pun selain dirinya sendiri atau dengan, misalnya, dll.).
2. Tuliskan faktor-faktor yang merupakan bagian dari kedua bilangan tersebut.
3. Kalikan mereka.

Kelipatan persekutuan terkecil (KPK)

Untuk menemukan NOC yang Anda butuhkan:

1. Faktorkan bilangan menjadi faktor prima (Anda sudah tahu cara melakukannya dengan sangat baik).
2. Tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam perluasan salah satu angka (lebih baik mengambil rantai terpanjang).
3. Tambahkan kepada mereka faktor-faktor yang hilang dari perluasan bilangan-bilangan yang tersisa.
4. Temukan produk dari faktor-faktor yang dihasilkan.

2. Bilangan negatif

Berikut ini adalah bilangan-bilangan yang berlawanan dengan bilangan asli, yaitu:

Sekarang saya ingin mendengar dari Anda ...

Saya harap Anda menghargai "trik" yang sangat berguna dari bagian ini dan memahami bagaimana trik tersebut akan membantu Anda dalam ujian.

Dan yang lebih penting, dalam hidup. Saya tidak membicarakannya, tapi percayalah, yang ini. Kemampuan untuk menghitung dengan cepat dan tanpa kesalahan menyelamatkan dalam banyak situasi kehidupan.

Sekarang giliran Anda!

Tulis, apakah Anda akan menggunakan metode pengelompokan, kriteria keterbagian, GCD dan KPK dalam perhitungan?

Mungkin Anda pernah menggunakannya sebelumnya? Dimana dan bagaimana?

Mungkin Anda memiliki pertanyaan. Atau saran.

Tulis di komentar bagaimana Anda menyukai artikel tersebut.

Dan semoga sukses dengan ujian Anda!

Jika kita menambahkan angka 0 di sebelah kiri deret bilangan asli, kita mendapatkan deret bilangan bulat positif:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Bilangan bulat negatif

Mari kita pertimbangkan sebuah contoh kecil. Gambar di sebelah kiri menunjukkan termometer yang menunjukkan suhu panas 7 °C. Jika suhu turun 4°C, termometer akan menunjukkan panas 3°C. Penurunan suhu sesuai dengan tindakan pengurangan:

Catatan: semua derajat ditulis dengan huruf C (Celcius), tanda derajat dipisahkan dengan angka dengan spasi. Misalnya, 7°C.

Jika suhu turun 7 °C, termometer akan menunjukkan 0 °C. Penurunan suhu sesuai dengan tindakan pengurangan:

Jika suhu turun 8 °C, maka termometer akan menunjukkan -1 °C (1 °C beku). Tetapi hasil pengurangan 7 - 8 tidak dapat ditulis menggunakan bilangan asli dan nol.

Mari kita ilustrasikan pengurangan pada serangkaian bilangan bulat positif:

1) Kami menghitung 4 angka ke kiri dari angka 7 dan mendapatkan 3:

2) Kami menghitung 7 angka ke kiri dari angka 7 dan mendapatkan 0:

Tidak mungkin menghitung 8 angka dalam serangkaian bilangan bulat positif dari angka 7 ke kiri. Untuk membuat tindakan 7 - 8 layak, kita perluas deret bilangan bulat positif. Untuk melakukan ini, di sebelah kiri nol, kami menulis (dari kanan ke kiri) secara berurutan semua bilangan asli, menambahkan masing-masing tanda -, yang menunjukkan bahwa angka ini di sebelah kiri nol.

Entri -1, -2, -3, ... baca minus 1 , minus 2 , minus 3 , dll.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Barisan bilangan yang dihasilkan disebut di sebelah bilangan bulat. Titik-titik di kiri dan kanan dalam entri ini berarti bahwa rangkaian dapat dilanjutkan tanpa batas ke kanan dan kiri.

Di sebelah kanan angka 0 pada baris ini adalah angka-angka yang disebut alami atau keseluruhan positif(secara singkat - positif).

Di sebelah kiri angka 0 pada baris ini adalah angka-angka yang disebut semuanya negatif(secara singkat - negatif).

Angka 0 adalah bilangan bulat, tetapi bukan positif atau negatif. Ini memisahkan angka positif dan negatif.

Karena itu, deret bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

Perbandingan bilangan bulat

Bandingkan dua bilangan bulat- berarti mencari tahu mana yang lebih besar, mana yang lebih kecil, atau menentukan bilangan yang sama.

Anda dapat membandingkan bilangan bulat menggunakan deretan bilangan bulat, karena angka-angka di dalamnya disusun dari terkecil ke terbesar jika Anda bergerak sepanjang baris dari kiri ke kanan. Oleh karena itu, dalam serangkaian bilangan bulat, Anda dapat mengganti koma dengan tanda kurang dari:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Karena itu, dari dua bilangan bulat, yang di sebelah kanan baris lebih besar, dan yang di sebelah kiri lebih kecil, cara:

1) Setiap bilangan positif lebih besar dari nol dan lebih besar dari bilangan negatif apa pun:

1 > 0; 15 > -16

2) Setiap angka negatif kurang dari nol:

7 < 0; -357 < 0

3) Dari dua bilangan negatif, bilangan yang berada di sebelah kanan barisan bilangan bulat lebih besar.

Ada banyak jenis bilangan, salah satunya bilangan bulat. Bilangan bulat muncul untuk memudahkan penghitungan tidak hanya ke arah positif, tetapi juga ke arah negatif.

Pertimbangkan sebuah contoh:
Siang hari itu 3 derajat di luar. Menjelang sore suhu turun 3 derajat.
3-3=0
Itu 0 derajat di luar. Dan pada malam hari suhu turun 4 derajat dan mulai terlihat pada termometer -4 derajat.
0-4=-4

Serangkaian bilangan bulat.

Kami tidak dapat menjelaskan masalah seperti itu dengan bilangan asli; kami akan mempertimbangkan masalah ini pada garis koordinat.

Kami memiliki serangkaian angka:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Barisan bilangan ini disebut di sebelah bilangan bulat.

Bilangan bulat positif. Seluruh bilangan negatif.

Serangkaian bilangan bulat terdiri dari bilangan positif dan negatif. Di sebelah kanan nol adalah bilangan asli, atau disebut juga bilangan bulat positif. Dan ke kiri dari nol pergi bilangan bulat negatif.

Nol tidak positif atau negatif. Ini adalah batas antara bilangan positif dan negatif.

adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan bulat negatif dan nol.

Deret bilangan bulat yang arahnya positif dan negatif adalah banyak tak berujung.

Jika kita mengambil dua bilangan bulat, maka bilangan di antara bilangan bulat ini akan disebut set akhir.

Sebagai contoh:
Mari kita ambil bilangan bulat dari -2 hingga 4. Semua bilangan di antara bilangan-bilangan ini termasuk dalam himpunan hingga. Kumpulan angka kami yang terbatas terlihat seperti ini:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Bilangan asli dilambangkan dengan huruf latin N.
Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf Latin Z. Seluruh himpunan bilangan asli dan bilangan bulat dapat digambarkan pada gambar.


Bilangan bulat nonpositif dengan kata lain, mereka adalah bilangan bulat negatif.
Bilangan bulat non-negatif adalah bilangan bulat positif.