Proprietà della divisione per 11. Segni fondamentali di divisibilità

Questo materiale è dedicato a un concetto come il test di divisibilità per 2. Nel primo paragrafo lo formuleremo e forniremo esempi: compiti in cui è necessario scoprire se un numero specifico è divisibile per 2. Poi dimostreremo questo criterio e spiegheremo quali altri metodi esistono per determinare la divisibilità per due dei numeri dati come valore delle espressioni.

Formulazione ed esempi del test di divisibilità per 2

Per comprendere meglio quali sono i segni di divisibilità è necessario ripassare l'argomento relativo alla divisibilità degli interi. La definizione del concetto di base è la seguente:

Definizione 1

Un numero intero che termina con le cifre 8, 6, 4, 2 e 0 può essere diviso per 2 senza lasciare resto. Se alla fine di un numero c'è il numero 9, 7, 5, 3 o 1, allora tale numero non è divisibile per 2.

Usando questa funzione, puoi identificare la divisibilità non solo del tutto positivo (naturale), ma anche del tutto numero negativo, poiché possono essere divisi anche per 2 senza resto.

Forniamo diversi esempi di utilizzo dei problemi di accesso.

Esempio 1

Condizione: determinare quale dei numeri 8, − 946, 53, 10 900, − 988 123 761 può essere diviso per due.

Soluzione

Naturalmente possiamo semplicemente dividere tutti questi numeri per due in una colonna e verificare se alla fine c'è un resto oppure no. Ma conoscendo il test di divisibilità per due, puoi risolvere questo problema molto più velocemente.

Tre dei numeri elencati, cioè 8, - 946 e 10.900, hanno alla fine i numeri 8, 6 e 0, il che significa che è possibile la loro divisione per 2.

I restanti numeri (53 e − 988.123.761) terminano con 3 e 1, il che significa che non sono divisibili per due.

Risposta: 8, − 946 e 10.900 possono essere divisi per due, ma tutti gli altri numeri dati no.

Questa funzionalità è ampiamente utilizzata nei problemi in cui è necessario scomporre un numero in fattori primi. Risolviamo uno di questi esempi.

Esempio 2

Condizione: fattorizzare 352 in fattori primi.

Soluzione

Poiché l'ultima cifra del numero originale è 2, secondo il criterio di divisibilità possiamo dividerlo per due senza resto. Facciamo questo: 352: 2 = 176 e 352 = 2 176. Anche il numero risultante 176 viene diviso per due: 176: 2 = 88 e 176 = 2 88. Questo numero può anche essere diviso: 88: 2 = 44, 88 = 2 44 e 352 = 2 2 88 = 2 2 2 44. Continuiamo l'espansione: 44: 2 = 22 e 44 = 2 22, quindi, 352 = 2 2 2 44 = 2 2 2 2 22; quindi 22: 2 = 11, da cui 22 = 2 11 e 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. Infine arriviamo a un numero che non è divisibile per 2. La tabella dei numeri primi ci dice che questo numero è primo, il che significa che la fattorizzazione finisce qui.

Risposta: 352 = 2 2 2 2 2 11.

La divisione dei numeri in pari e dispari si basa proprio sul fatto che siano divisibili per 2 oppure no. Conoscendo questo segno di divisibilità, possiamo dire che tutti i numeri pari terminano con il numero 0, 2, 4, 6 o 8, e tutti i numeri dispari terminano con 1, 3, 5, 7 o 9.

Come si dimostra il test di divisibilità per 2?

Prima di passare direttamente alla dimostrazione di questa caratteristica, dobbiamo dimostrare un’ulteriore affermazione. È formulato così:

Definizione 2

Tutti i numeri naturali che finiscono con zero possono essere divisi per due senza lasciare resto.

Usando la regola per moltiplicare un numero naturale per 10, possiamo rappresentare un certo numero a come a = a 1 · 10. Numero un 1, a sua volta, si otterrà da a se ne rimuoviamo l'ultima cifra.

Facciamo degli esempi di tale azione: 470 = 47 · 10, dove a = 470 e a 1 = 47; ovvero 38.010 · 10, qui a = 380.100 e a 1 = 38.010. Il secondo fattore di questo prodotto (10) può essere diviso per 2, il che significa che l'intero prodotto può essere diviso per 2. Questa affermazione si basa sulla corrispondente proprietà di divisibilità.

Procediamo alla dimostrazione del test di divisibilità per 2. Per renderlo più conveniente, presentiamolo come un teorema, cioè come condizione necessaria e sufficiente per la divisibilità di un intero per due.

Teorema 1

Per dividere un intero a per due, condizione necessaria e sufficiente è la presenza dell'ultima cifra 0, 2, 4, 6 o 8.

Prova 1

Come dimostrare questa affermazione? Per cominciare, immaginiamo il numero originale a come una somma di decine e unità, cioè scriviamolo come a = a 1 · 10 + a 0 . Qui un 1 sarà il numero ottenuto da a eliminando l'ultima cifra, e uno 0 corrisponde all'ultima cifra di un dato numero (esempi di tale rappresentazione possono essere anche le espressioni 49 = 4 10 + 9, 28 378 = 2 837 10+8). Lavoro un 1 10, preso dall'uguaglianza a = a 1 10 + a 0, sarà sempre diviso per due, come mostra questo teorema.

Il resto della dimostrazione si basa su una certa proprietà di divisibilità, vale a dire: se abbiamo tre numeri che formano l'uguaglianza t = u + v, e due di essi sono divisibili per l'intero z, allora anche il terzo numero può essere diviso per z.

Se a può essere diviso per due, allora secondo questa proprietà, così come la rappresentazione a = a 1 10 + a 0, il numero a 0 sarà divisibile per due, e questo è possibile solo se a 0 = 0, 2 , 4, 6 o 8 .

E se a non è divisibile per 2, allora in base alla stessa proprietà, il numero uno 0 inoltre non sarà divisibile per 2, il che è possibile solo quando 0 = 1, 3, 5, 7 o 9. Questa è la prova della necessità di cui abbiamo bisogno.

Ora diamo un'occhiata alla situazione opposta. Se abbiamo un numero a la cui ultima cifra è il numero 0, 2, 4, 6 o 8, allora uno 0 diviso per 2 . Proprietà di divisibilità specificata e rappresentazione un = un 1 10 + un 0 permettici di concludere che a è divisibile per 2 . Se a ha come ultima cifra 1, 3, 5, 7 o 9, allora a 0 non è divisibile per 2 , il che significa che anche a non è divisibile per 2 , altrimenti la rappresentazione stessa a = a 1 10 + a 0 verrebbe divisa per 2 , il che è impossibile. La sufficienza della condizione è dimostrata.

Infine, notiamo che i numeri con l'ultima cifra 1, 3, 5, 7 o 9 quando divisi per due lasciano sempre il resto di uno.

Prendiamo il caso in cui un dato numero termina con una di queste cifre. Quindi possiamo rappresentare a come a = b + 1, con b che ha 0, 2, 4, 6 o 8 come ultima cifra. A causa del test di divisibilità 2 il numero b può essere diviso per 2 , il che significa che per definizione di divisibilità può anche essere rappresentato nella forma b = 2 · q, dove q sarà un numero intero. Abbiamo ottenuto che a = 2 q + 1. Questa rappresentazione ci mostra che quando si divide un numero per 2 il risultato è un quoziente incompleto q e un resto di 1 (se necessario, rileggi l'articolo sulla divisione degli interi con resto).

Altri casi di determinazione della divisibilità per 2

In questa sezione analizzeremo quei casi in cui il numero di cui bisogna determinare la divisibilità per 2 non è dato direttamente, ma è determinato da un valore dell'espressione letterale. Qui non possiamo usare la funzionalità data sopra, ed è anche impossibile dividere direttamente questa espressione per 2. Ciò significa che dobbiamo trovare qualche altra soluzione.

Esiste un approccio per risolvere tali problemi, che si basa sulla seguente proprietà di divisibilità: un prodotto di numeri interi può essere diviso per un certo numero quando almeno uno dei fattori è divisibile per esso. Pertanto, se riusciamo a trasformare un'espressione letterale in un prodotto di fattori individuali, di cui uno è divisibile per due, allora sarà possibile dimostrare che l'espressione originaria è divisibile per 2.

Per trasformare una data espressione, possiamo usare la formula binomiale di Newton. Diamo un'occhiata a questo problema.

Esempio 3

Condizione: determinare se il valore dell'espressione 3 n + 4 n - 1 può essere diviso per 2 per un numero naturale n.

Soluzione

Innanzitutto, scriviamo l'ovvia uguaglianza 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . Ora prendiamo la formula binomiale di Newton, applichiamola e semplifichiamo ciò che abbiamo ottenuto:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n · 2 + 1 n - 1 + C n n · 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 · 2 n - 1 + … + C n n - 2 · 2 2 + n · 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

Nell'ultima uguaglianza togliamo due tra parentesi e otteniamo la seguente uguaglianza:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

In questa uguaglianza, puoi dividere il lato destro per due per qualsiasi valore naturale di n, poiché esiste un fattore pari a 2. Poiché tra le espressioni c'è un segno di uguale, la divisione per 2 può essere eseguita anche per il lato sinistro.

Risposta: questa espressione può essere divisa per 2.

Molto spesso la divisibilità può essere dimostrata utilizzando il metodo dell'induzione matematica. Prendiamo la stessa espressione dell'esempio sopra e mostriamo come applicare questo metodo nella pratica.

Esempio 4

Condizione: scopri se l'espressione 3 n + 4 n - 1 è divisibile per 2 per qualsiasi valore naturale di n.

Soluzione

Usiamo l'induzione matematica. Per prima cosa dimostriamo che il valore dell'espressione 3 n + 4 n - 1 con n uguale a uno può essere diviso per 2. Otteniamo 3 1 + 4 · 1 - 1 = 6, sei è divisibile per due senza resto. Andare avanti. Prendiamo n uguale a k e assumiamo che 3 k + 4 k - 1 sia divisibile per due.

Utilizzando questa ipotesi, dimostriamo che 3 n + 4 n - 1 può essere diviso per 2 se ciò è possibile per 3 k + 4 k - 1 . Per dimostrarlo dobbiamo effettuare diverse trasformazioni.

3 3 k + 4 k - 1 è diviso per due, poiché questo è possibile per 3 k + 4 k - 1, l'espressione 2 4 k - 3 può anche essere divisa per 2, perché ha un fattore pari a 2, il che significa la differenza tra queste due espressioni è anche divisibile per 2, il che si spiega con la corrispondente proprietà di divisibilità.

Risposta: l'espressione 3 n + 4 n - 1 è divisibile per 2 per qualsiasi numero naturale n.

Soffermiamoci separatamente sul caso in cui in un prodotto sono presenti due numeri uno accanto all'altro nella serie naturale dei numeri. Anche questo prodotto è diviso in due.

Esempio 5

Ad esempio, un'espressione della forma (n + 7) · (n − 1) · (n + 2) · (n + 6) è divisibile per 2 per qualsiasi valore naturale di n, poiché contiene numeri che si susseguono nella serie naturale – questi sono n + 6 e n + 7.

Allo stesso modo, se ci sono due fattori tra i quali esiste un numero pari di termini della serie naturale, il prodotto può essere diviso per 2. Quindi, il valore (n+1) · (n+6) si divide per due per ogni n naturale, poiché tra n+5 e n+6 c'è un numero pari di numeri: n+2, n+3, n +4 e n+5.

Uniamo tutto ciò di cui abbiamo parlato nei paragrafi precedenti. Se si può dimostrare che il valore di un'espressione è divisibile per due quando n = 2 m, e anche quando n = 2 m + 1 e un intero arbitrario m, allora questa sarà una prova della divisibilità dell'espressione originale per 2 per qualsiasi valore intero di n.

Esempio 6

Condizione: scoprire se un'espressione è divisibile per 2 n3 + 7 n2 + 16 n + 12 per eventuali valori naturali di n.

Soluzione

Innanzitutto, presentiamo questa espressione come prodotto (n + 2) 2 · (n + 3) . Se necessario, rivedi come fattorizzare correttamente un polinomio. Abbiamo due moltiplicatori n+2 E n+3, che corrispondono ai numeri, stando lì vicino nella serie naturale. Uno di essi è comunque divisibile per 2, il che significa che anche l'intero prodotto è divisibile per 2. Lo stesso vale per l'espressione originale.

C'è un'altra soluzione a questo problema. Se n = 2 m, allora n + 2 2 · n + 3 = 2 m + 2 2 · 2 m + 2 2 = 4 · m + 1 2 · 2 m + 3 . C'è un fattore qui pari a quattro, grazie al quale l'intero prodotto verrà diviso per 2.

Se n = 2 m + 1, Quello

(n + 2) 2 n + 3 = 2 m + 1 + 2 2 2 m + 1 + 3 = 2 m + 3 2 2 m + 4 = = 2 m + 3 2 2 2

Qui c'è un fattore 2, il che significa che l'intero prodotto è divisibile per 2.

Risposta: questa è la prova che l'espressione n3 + 7 n2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3) può essere diviso per due per qualsiasi valore naturale di n.

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Cominciamo a considerare l'argomento "Test di divisibilità per 3". Cominciamo con la formulazione del segno e diamo la dimostrazione del teorema. Considereremo quindi i principali approcci per stabilire la divisibilità per 3 di numeri il cui valore è dato da qualche espressione. La sezione fornisce un'analisi della soluzione delle principali tipologie di problemi basata sull'utilizzo del test di divisibilità per 3.

Test di divisibilità per 3, esempi

Il test di divisibilità per 3 è formulato semplicemente: un numero intero sarà divisibile per 3 senza resto se la somma delle sue cifre è divisibile per 3. Se il valore totale di tutte le cifre che compongono un numero intero non è divisibile per 3, allora il numero originale stesso non è divisibile per 3. Puoi ottenere la somma di tutte le cifre di un numero intero aggiungendo numeri naturali.

Consideriamo ora alcuni esempi di utilizzo del test di divisibilità per 3.

Esempio 1

Il numero 42 è divisibile per 3?

Soluzione

Per rispondere a questa domanda, sommiamo tutti i numeri che compongono il numero - 42: 4 + 2 = 6.

Risposta: Secondo il test di divisibilità, poiché la somma delle cifre incluse nel numero originale è divisibile per tre, allora il numero originale stesso è divisibile per 3.

Per rispondere alla domanda se il numero 0 è divisibile per 3, abbiamo bisogno della proprietà di divisibilità, secondo la quale lo zero è divisibile per qualsiasi numero intero. Si scopre che zero è divisibile per tre.

Ci sono problemi per i quali è necessario utilizzare più volte il test di divisibilità per 3.

Esempio 2

Mostra che il numero 907 444 812 divisibile per 3.

Soluzione

Troviamo la somma di tutte le cifre che formano il numero originale: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . Ora dobbiamo determinare se il numero 39 è divisibile per 3. Ancora una volta sommiamo i numeri che compongono questo numero: 3 + 9 = 12 . Non ci resta che aggiungere nuovamente i numeri per ottenere la risposta finale: 1 + 2 = 3 . Il numero 3 è divisibile per 3

Risposta: numero originale 907 444 812 è anche divisibile per 3.

Esempio 3

Il numero è divisibile per 3? − 543 205 ?

Soluzione

Calcoliamo la somma delle cifre che compongono il numero originale: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . Ora calcoliamo la somma delle cifre del numero risultante: 1 + 9 = 10 . Per ottenere la risposta finale, troviamo il risultato di un'ulteriore addizione: 1 + 0 = 1 .
Risposta: 1 non è divisibile per 3, il che significa che il numero originale non è divisibile per 3.

Per determinare se un dato numero è divisibile per 3 senza resto, possiamo dividere il numero dato per 3. Se dividi il numero − 543 205 dall'esempio discusso sopra con una colonna di tre, non otterremo un numero intero nella risposta. Questo significa anche questo − 543 205 non può essere diviso per 3 senza resto.

Prova del test di divisibilità per 3

Qui avremo bisogno delle seguenti competenze: scomposizione di un numero in cifre e regola della moltiplicazione per 10, 100, ecc. Per effettuare la dimostrazione dobbiamo ottenere una rappresentazione del numero a della forma , Dove un n , un n - 1 , ... , un 0- questi sono i numeri che si trovano da sinistra a destra nella notazione di un numero.

Ecco un esempio utilizzando un numero specifico: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

Scriviamo una serie di uguaglianze: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1.000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 e così via.

Ora sostituiamo queste uguaglianze invece di 10, 100 e 1000 nelle uguaglianze fornite in precedenza a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

Ecco come siamo arrivati ​​all’uguaglianza:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33. . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

Applichiamo ora le proprietà di addizione e le proprietà di moltiplicazione dei numeri naturali per riscrivere l'uguaglianza risultante come segue:

un = un n · 33 . . . 3 · 3 + 1 + . . . + + un 2 · 33 · 3 + 1 + un 1 · 3 · 3 + 1 + un 0 = = 3 · 33 . . . 3 un n + un n + . . . + + 3 · 33 · un 2 + un 2 + 3 · 3 · un 1 + un 1 + un 0 = = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 · 33 · a 2 + 3 · 3 · a 1 + + a n + . . . + un 2 + un 1 + un 0 = = 3 33 . . . 3 · a n + … + 33 · a 2 + 3 · a 1 + + a n + . . . + un 2 + un 1 + un 0

Espressione a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 è la somma delle cifre del numero originale a. Introduciamo una nuova notazione breve per questo UN. Otteniamo: A = a n + . . . + un 2 + un 1 + un 0 .

In questo caso la rappresentazione del numero è a = 3 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A assume la forma che ci sarà conveniente utilizzare per dimostrare il test di divisibilità per 3.

Definizione 1

Ricordiamo ora le seguenti proprietà di divisibilità:

• Condizione necessaria e sufficiente affinché un intero a sia divisibile per un intero
  ​​​​​​ b , è la condizione per la quale il modulo del numero a è diviso per il modulo del numero b;
• se in parità un = s + t tutti i termini tranne uno sono divisibili per un intero b, allora anche questo termine è divisibile per b.

Abbiamo gettato le basi per dimostrare il test di divisibilità per 3. Ora formuliamo questa caratteristica sotto forma di teorema e dimostriamolo.

Teorema 1

Affinché l'intero a sia divisibile per 3, ci è necessario e sufficiente che la somma delle cifre che forma la notazione del numero a sia divisibile per 3.

Prova 1

Se prendiamo il valore un = 0, allora il teorema è ovvio.

Se prendiamo un numero a diverso da zero, il modulo del numero a sarà un numero naturale. Ciò ci permette di scrivere la seguente uguaglianza:

un = 3 · 33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A , dove A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - la somma delle cifre del numero a.

Poiché la somma e il prodotto dei numeri interi è un numero intero, allora
33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 è un numero intero, quindi per definizione di divisibilità il prodotto è 3 · 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 è divisibile per 3 per ogni uno 0, un 1,..., un n.

Se la somma delle cifre di un numero UN diviso per 3 , questo è, UN diviso per 3 , allora per la proprietà di divisibilità indicata prima del teorema, a è diviso per 3 , quindi, UN diviso per 3 . Quindi la sufficienza è dimostrata.

Se UN diviso per 3 , allora anche a è divisibile per 3 , quindi a causa della stessa proprietà di divisibilità, il numero
UN diviso per 3 , cioè la somma delle cifre di un numero UN diviso per 3 . La necessità è stata dimostrata.

Altri casi di divisibilità per 3

Gli interi possono essere specificati come valore di qualche espressione che contiene una variabile, dato un certo valore di quella variabile. Pertanto, per un numero naturale n, il valore dell'espressione 4 n + 3 n - 1 è un numero naturale. In questo caso, divisione diretta per 3 non può darci una risposta alla domanda se un numero è divisibile per 3 . Applicazione del test di divisibilità per 3 potrebbe anche essere difficile. Diamo un'occhiata ad esempi di tali problemi e esaminiamo i metodi per risolverli.

Per risolvere tali problemi è possibile utilizzare diversi approcci. L'essenza di uno di essi è la seguente:

• rappresentiamo l'espressione originale come un prodotto di più fattori;
• scoprire se almeno uno dei fattori può essere diviso per 3 ;
• Sulla base della proprietà di divisibilità, concludiamo che l'intero prodotto è divisibile per 3 .

Quando si risolve, spesso si deve ricorrere all'uso della formula binomiale di Newton.

Esempio 4

È il valore dell'espressione 4 n + 3 n - 1 divisibile per 3 sotto qualsiasi naturale N?

Soluzione

Scriviamo l'uguaglianza 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . Applichiamo la formula binomiale di Newton:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 · 1 n - 2 + C n n - 1 · 3 · 1 n - 1 + C n n · 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 · 3 2 + n · 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 · 3 n - 1 · 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

Ora tiriamolo fuori 3 fuori parentesi: 3 · 3 n - 1 + C n 1 · 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 · 3 + 2 n - 1 . Il prodotto risultante contiene il moltiplicatore 3 e il valore dell'espressione tra parentesi per n naturale rappresenta un numero naturale. Questo ci permette di affermare che il prodotto risultante e l'espressione originale 4 n + 3 n - 1 è diviso per 3 .

Risposta: SÌ.

Possiamo anche usare il metodo dell'induzione matematica.

Esempio 5

Dimostrare utilizzando il metodo dell'induzione matematica che per qualsiasi numero naturale
n il valore dell'espressione n n 2 + 5 viene diviso per 3 .

Soluzione

Troviamo il valore dell'espressione n · n 2 + 5 quando n=1: 1 · 1 2 + 5 = 6 . 6 è divisibile per 3 .

Supponiamo ora che il valore dell'espressione n n 2 + 5 at n = k diviso per 3 . Dovremo infatti lavorare con l'espressione k k 2 + 5, che ci aspettiamo sia divisibile per 3 .

Considerando che k k 2 + 5 è divisibile per 3 , mostreremo che il valore dell'espressione n · n 2 + 5 at n = k + 1 diviso per 3 , cioè mostreremo che k + 1 k + 1 2 + 5 è divisibile per 3 .

Eseguiamo le trasformazioni:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3k2 + 3k+6 = = k (k2+5) + 3k2 + k+2

L'espressione k · (k 2 + 5) è divisa per 3 e l'espressione 3 k 2 + k + 2 è divisa per 3 , quindi la loro somma viene divisa per 3 .

Abbiamo quindi dimostrato che il valore dell'espressione n · (n 2 + 5) è divisibile per 3 per qualsiasi numero naturale n.

Ora diamo un'occhiata all'approccio per dimostrare la divisibilità per 3 , che si basa sul seguente algoritmo di azioni:

• mostriamo che il valore di questa espressione con variabile n per n = 3 m, n = 3 m + 1 e n = 3 m + 2, Dove M– un numero intero arbitrario, divisibile per 3 ;
• concludiamo che l'espressione sarà divisibile per 3 per qualsiasi numero intero n.

Per non distogliere l'attenzione da dettagli minori, applicheremo questo algoritmo alla soluzione dell'esempio precedente.

Esempio 6

Dimostra che n · (n 2 + 5) è divisibile per 3 per qualsiasi numero naturale n.

Soluzione

Facciamo finta che n = 3 m. Quindi: n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = 3 m · 9 m 2 + 5. Il prodotto che abbiamo ricevuto contiene un moltiplicatore 3 , quindi il prodotto stesso è suddiviso in 3 .

Facciamo finta che n = 3 m + 1. Poi:

n · n 2 + 5 = 3 m · 3 m 2 + 5 = (3 m + 1) · 9 m 2 + 6 m + 6 = = 3 m + 1 · 3 · (2 ​​m 2 + 2 m + 2)

Il prodotto che abbiamo ricevuto è suddiviso in 3 .

Supponiamo che n = 3 m + 2. Poi:

n · n 2 + 5 = 3 m + 1 · 3 m + 2 2 + 5 = 3 m + 2 · 9 m 2 + 12 m + 9 = = 3 m + 2 · 3 · 3 m 2 + 4 m + 3

Anche questo lavoro è diviso in 3 .

Risposta: Quindi abbiamo dimostrato che l'espressione n n 2 + 5 è divisibile per 3 per qualsiasi numero naturale n.

Esempio 7

È divisibile per 3 il valore dell'espressione 10 3 n + 10 2 n + 1 per un numero naturale n.

Soluzione

Facciamo finta che n=1. Noi abbiamo:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

Facciamo finta che n=2. Noi abbiamo:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

Possiamo quindi concludere che per ogni n naturale otterremo numeri divisibili per 3. Ciò significa che 10 3 n + 10 2 n + 1 per qualsiasi numero naturale n è divisibile per 3.

Risposta: SÌ

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SEGNI DI DIVISIONE numeri - i criteri (regole) più semplici che consentono di giudicare la divisibilità (senza resto) di alcuni numeri naturali da parte di altri. Risolvendo la questione della divisibilità dei numeri, i segni di divisibilità si riducono a operazioni su piccoli numeri, solitamente eseguite nella mente.
Poiché la base del sistema numerico generalmente accettato è 10, i segni di divisibilità più semplici e più comuni per divisori di numeri di tre tipi: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
Il primo tipo sono i segni di divisibilità per divisori del numero 10 k; per la divisibilità di qualsiasi intero N per qualsiasi divisore intero q del numero 10 k, è necessario e sufficiente che l'ultima faccia di k cifre (fine di k cifre ) del numero N è divisibile per q. In particolare (per k = 1, 2 e 3), otteniamo i seguenti segni di divisibilità per divisori dei numeri 10 1 = 10 (I 1), 10 2 = 100 (I 2) e 10 3 = 1000 (I 3 ):
io 1. Per 2, 5 e 10 - la fine a una cifra (ultima cifra) del numero deve essere divisibile rispettivamente per 2, 5 e 10. Ad esempio, il numero 80 110 è divisibile per 2, 5 e 10, poiché l'ultimo la cifra 0 di questo numero è divisibile per 2, 5 e 10; il numero 37.835 è divisibile per 5, ma non divisibile per 2 e 10, poiché l'ultima cifra 5 di questo numero è divisibile per 5, ma non divisibile per 2 e 10.

io 2. La fine di due cifre di un numero deve essere divisibile per 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100 per 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100. Ad esempio, il numero 7.840.700 è divisibile per 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100, poiché la fine di due cifre 00 di questo numero è divisibile per 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100; il numero 10.831.750 è divisibile per 2, 5, 10, 25 e 50, ma non divisibile per 4, 20 e 100, poiché la fine di due cifre 50 di questo numero è divisibile per 2, 5, 10, 25 e 50, ma non divisibile per 4, 20 e 100.

io 3. Per 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 e 1000 - la fine di tre cifre del numero deve essere divisa per 2,4,5,8 ,10, 20, rispettivamente, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 e 1000. Ad esempio, il numero 675.081.000 è divisibile per tutti i numeri elencati in questo segno, poiché la fine di tre cifre 000 di il numero dato è divisibile per ciascuno di essi; il numero 51.184.032 è divisibile per 2, 4 e 8 e non divisibile per il resto, poiché la desinenza di tre cifre 032 di un dato numero è divisibile solo per 2, 4 e 8 e non divisibile per il resto.

Il secondo tipo sono i segni di divisibilità per divisori del numero 10 k - 1: per la divisibilità di qualsiasi intero N per qualsiasi divisore intero q del numero 10 k - 1, è necessario e sufficiente che la somma delle k cifre facce del numero N è divisibile per q. In particolare (per k = 1, 2 e 3), otteniamo i seguenti segni di divisibilità per divisori dei numeri 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) e 10 3 - 1 = 999 (II3):
II1. Per 3 e 9: la somma delle cifre (facce a una cifra) del numero deve essere divisibile rispettivamente per 3 e 9. Ad esempio, il numero 510.887.250 è divisibile per 3 e 9, poiché la somma delle cifre è 5 +1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (e 3+6=9) di questo numero è divisibile per 3 e 9; il numero 4.712.586 è divisibile per 3, ma non divisibile per 9, poiché la somma delle cifre 4+7+1+2+5+8+6=33 (e 3+3=6) di questo numero è divisibile per 3 , ma non divisibile in 9.

II2. Per 3, 9, 11, 33 e 99 - la somma delle due cifre del numero deve essere divisibile rispettivamente per 3, 9, 11, 33 e 99. Ad esempio, il numero 396.198.297 è divisibile per 3, 9 , 11, 33 e 99, poiché la somma di due cifre fa 3+96+19++82+97=297 (e 2+97=99) si divide in 3, 9,11, 33 e 99; il numero 7 265 286 303 è divisibile per 3, 11 e 33, ma non divisibile per 9 e 99, poiché la somma delle due cifre fa facce 72+65+28+63+03=231 (e 2+31=33 ) di questo numero è divisibile per 3, 11 e 33 e non è divisibile per 9 e 99.

II3. Per 3, 9, 27, 37, 111, 333 e 999 - la somma delle tre cifre del numero deve essere divisibile rispettivamente per 3, 9, 27, 37, 111, 333 e 999. Ad esempio, il il numero 354 645 871 128 è divisibile per tutti quelli elencati in questo segno di un numero, poiché la somma delle facce di tre cifre 354 + 645 + +871 + 128 = 1998 (e 1 + 998 = 999) di questo numero è divisa in ognuno di loro.

Il terzo tipo sono i segni di divisibilità per divisori del numero 10 k + 1: per la divisibilità di qualsiasi intero N per qualsiasi divisore intero q del numero 10 k + 1, è necessario e sufficiente che la differenza tra la somma dei volti di k cifre che si trovano in posti pari in N e la somma dei volti di k cifre che si trovano in posti dispari in N è stata divisa per q. In particolare (per k = 1, 2 e 3), otteniamo i seguenti segni di divisibilità per divisori dei numeri 10 1 + 1 = 11 (III 1), 10 2 + 1 = 101 (III 2) e 10 3 +1 = 1001 (III3).

III1. Per 11: la differenza tra la somma delle cifre (facce a una cifra) che si trovano in posti pari e la somma delle cifre (facce a una cifra) che si trovano in posti dispari deve essere divisa per 11. Ad esempio, il numero 876.583.598 è divisibile per 11, poiché la differenza è 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (e 1 - 1=0) tra la somma delle cifre nei posti pari e la somma delle cifre nei posti dispari i posti sono divisi per 11.

III2. Per 101 - la differenza tra la somma delle facce a due cifre in posizioni pari in un numero e la somma delle facce a due cifre in posizioni dispari deve essere divisa per 101. Ad esempio, il numero 8.130.197 è diviso per 101, poiché la differenza è 8-13+01-97 = 101 (e 1-01=0) tra la somma delle facce a due cifre nei posti pari di questo numero e la somma delle facce a due cifre nei posti dispari è divisa per 101.

III3. Per 7, 11, 13, 77, 91, 143 e 1001 - la differenza tra la somma dei volti a tre cifre in posti pari e la somma dei volti a tre cifre in posti dispari deve essere divisa per 7, 11, 13, 77 rispettivamente 91, 143 e 1001. Ad esempio, il numero 539 693 385 è divisibile per 7, 11 e 77, ma non divisibile per 13, 91, 143 e 1001, poiché 539 - 693+385=231 è divisibile per 7 , 11 e 77 e non divisibile per 13, 91, 143 e 1001.

Ci sono segni grazie ai quali a volte è facile scoprire, senza effettivamente dividere, se un dato numero è divisibile o non divisibile per altri numeri.

I numeri divisibili per 2 vengono chiamati Anche. Il numero zero si riferisce anche ai numeri pari. Vengono chiamati tutti gli altri numeri strano:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - pari,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... - dispari.

Segni di divisibilità

Test di divisibilità per 2. Un numero è divisibile per 2 se la sua ultima cifra è pari. Ad esempio, il numero 4376 è divisibile per 2, poiché l'ultima cifra (6) è pari.

Test di divisibilità per 3. Solo i numeri la cui somma delle cifre è divisibile per 3 sono divisibili per 3. Ad esempio, il numero 10815 è divisibile per 3, poiché la somma delle sue cifre 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 è divisibile per 3.

Test di divisibilità per 4. Un numero è divisibile per 4 se le sue ultime due cifre sono zeri o formano un numero divisibile per 4. Ad esempio, il numero 244500 è divisibile per 4 perché termina con due zeri. I numeri 14708 e 7524 sono divisibili per 4 perché le ultime due cifre di questi numeri (08 e 24) sono divisibili per 4.

Test di divisibilità per 5. I numeri che terminano con 0 o 5 sono divisibili per 5. Ad esempio, il numero 320 è divisibile per 5, poiché l'ultima cifra è 0.

Test di divisibilità per 6. Un numero è divisibile per 6 se è divisibile sia per 2 che per 3. Ad esempio, il numero 912 è divisibile per 6 perché è divisibile sia per 2 che per 3.

Test di divisibilità per 8. Divisi per 8 sono quei numeri le cui ultime tre cifre sono zeri o formano un numero divisibile per 8. Ad esempio, il numero 27000 è divisibile per 8, poiché termina con tre zeri. Il numero 63128 è divisibile per 8 perché le ultime tre cifre formano il numero (128), che è divisibile per 8.

Test di divisibilità per 9. Solo i numeri la cui somma delle cifre è divisibile per 9 sono divisibili per 9. Ad esempio, il numero 2637 è divisibile per 9, poiché la somma delle sue cifre 2 + 6 + 3 + 7 = 18 è divisibile per 9.

Segni di divisibilità per 10, 100, 1000, ecc. I numeri che terminano con uno zero, due zeri, tre zeri e così via vengono divisi per 10, 100, 1000 e così via. Ad esempio, il numero 3800 è divisibile per 10 e 100.

Test di divisibilità per 3
Un numero è divisibile per 3 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 3.

Test di divisibilità per 4
Un numero è divisibile per 4 se e solo se le ultime due cifre del numero sono zeri o divisibili per 4.

Test di divisibilità per 5
Un numero è divisibile per 5 se e solo se l'ultima cifra è divisibile per 5 (cioè uguale a 0 o 5).

Test di divisibilità per 6
Un numero è divisibile per 6 se e solo se è divisibile per 2 e 3.

Test di divisibilità per 7
Un numero è divisibile per 7 se e solo se il risultato della sottrazione di due volte l'ultima cifra da quel numero senza l'ultima cifra è divisibile per 7 (ad esempio, 259 è divisibile per 7, poiché 25 - (2 9) = 7 è divisibile entro 7).

Test di divisibilità per 8
Un numero è divisibile per 8 se e solo se le sue ultime tre cifre sono zeri o formano un numero divisibile per 8.

Test di divisibilità per 9
Un numero è divisibile per 9 se e solo se la somma delle sue cifre è divisibile per 9.

Test di divisibilità per 10
Un numero è divisibile per 10 se e solo se termina con zero.

Test di divisibilità per 11
Un numero è divisibile per 11 se e solo se la somma delle cifre con segni alternati è divisibile per 11 (cioè 182919 è divisibile per 11, poiché 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 è divisibile per 11) - una conseguenza del fatto che tutti i numeri della forma 10 n quando divisi per 11 lasciano un resto di (-1) n .

Test di divisibilità per 12
Un numero è divisibile per 12 se e solo se è divisibile per 3 e 4.

Test di divisibilità entro 13
Un numero è divisibile per 13 se e solo se il numero delle sue decine sommato a quattro volte il numero delle unità è un multiplo di 13 (ad esempio, 845 è divisibile per 13, poiché 84 + (4 5) = 104 è divisibile per 13).

Test di divisibilità entro 14
Un numero è divisibile per 14 se e solo se è divisibile per 2 e 7.

Test di divisibilità per 15
Un numero è divisibile per 15 se e solo se è divisibile per 3 e 5.

Test di divisibilità entro 17
Un numero è divisibile per 17 se e solo se il numero delle sue decine, sommato con 12 volte il numero delle unità, è un multiplo di 17 (ad esempio, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. Poiché 34 è divisibile per 17, allora 29053 è divisibile per 17). Il segno non è sempre conveniente, ma ha un certo significato in matematica. Esiste un modo leggermente più semplice: un numero è divisibile per 17 se e solo se la differenza tra il numero delle sue decine e cinque volte il numero delle unità è un multiplo di 17 (ad esempio, 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. poiché 15 non è divisibile per 17, allora 32952 non è divisibile per 17)

Test di divisibilità entro le 19
Un numero è divisibile per 19 se e solo se il numero delle sue decine sommato al doppio del numero delle unità è un multiplo di 19 (ad esempio, 646 è divisibile per 19, poiché 64 + (6 2) = 76 è divisibile per 19 ).

Test di divisibilità per 23
Un numero è divisibile per 23 se e solo se il suo numero delle centinaia sommato al triplo del numero delle decine è un multiplo di 23 (ad esempio, 28842 è divisibile per 23, poiché 288 + (3 * 42) = 414 continua 4 + (3 * 14) = 46 è ovviamente divisibile per 23).

Test di divisibilità per 25
Un numero è divisibile per 25 se e solo se le sue ultime due cifre sono divisibili per 25 (cioè formano 00, 25, 50 o 75) o il numero è un multiplo di 5.

Test di divisibilità per 99
Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi, considerandoli numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 99 se e solo se il numero stesso è divisibile per 99.

Test di divisibilità per 101
Dividiamo il numero in gruppi di 2 cifre da destra a sinistra (il gruppo più a sinistra può avere una cifra) e troviamo la somma di questi gruppi con segni alternati, considerandoli numeri a due cifre. Questa somma è divisibile per 101 se e solo se il numero stesso è divisibile per 101. Ad esempio, 590547 è divisibile per 101, poiché 59-05+47=101 è divisibile per 101).