მთელი რიცხვები და მეათედი. მთელი რიცხვები: ზოგადი წარმოდგენა

ამ სტატიაში განვსაზღვრავთ მთელი რიცხვების სიმრავლეს, განვიხილავთ რომელ მთელ რიცხვებს ჰქვია დადებითი და რომელი უარყოფითი. ჩვენ ასევე ვაჩვენებთ, თუ როგორ გამოიყენება მთელი რიცხვები გარკვეული რაოდენობით ცვლილებების აღსაწერად. დავიწყოთ მთელი რიცხვების განმარტებითა და მაგალითებით.

Მთელი რიცხვები. განმარტება, მაგალითები

ჯერ გავიხსენოთ ნატურალური რიცხვები ℕ. თავად სახელი ვარაუდობს, რომ ეს არის რიცხვები, რომლებიც ბუნებრივად გამოიყენებოდა დასათვლელად უხსოვარი დროიდან. მთელი რიცხვების ცნების დასაფარად, უნდა გავაფართოვოთ ნატურალური რიცხვების განმარტება.

განმარტება 1. მთელი რიცხვები

მთელი რიცხვები არის ნატურალური რიცხვები, საპირისპირო რიცხვები და რიცხვი ნული.

მთელი რიცხვების სიმრავლე აღინიშნება ასო ℤ.

ნატურალური რიცხვების სიმრავლე ℕ არის ℤ მთელი რიცხვების ქვესიმრავლე. ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი არის მთელი რიცხვი, მაგრამ ყველა მთელი რიცხვი არ არის ნატურალური რიცხვი.

განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნებისმიერი რიცხვი 1, 2, 3 არის მთელი რიცხვი. ... , ნომერი 0, ასევე რიცხვები - 1, - 2, - 3,. ...

ამის შესაბამისად მოვიყვანთ მაგალითებს. რიცხვები 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 მთელი რიცხვებია.

დაე, კოორდინატთა ხაზი ჰორიზონტალურად იყოს დახატული და მარჯვნივ მიმართული. მოდით შევხედოთ მას, რათა ვიზუალურად წარმოვადგინოთ მთელი რიცხვების განლაგება სწორ ხაზზე.

კოორდინატთა წრფეზე საწყისი შეესაბამება რიცხვს 0, ხოლო წერტილები, რომლებიც მდებარეობს ნულის ორივე მხარეს, შეესაბამება დადებით და უარყოფით მთელ რიცხვებს. თითოეული წერტილი შეესაბამება ერთ მთელ რიცხვს.

თქვენ შეგიძლიათ მიხვიდეთ სწორი ხაზის ნებისმიერ წერტილამდე, რომლის კოორდინატი არის მთელი რიცხვი, საწყისიდან გარკვეული რაოდენობის ერთეული სეგმენტების გამოყოფით.

დადებითი და უარყოფითი მთელი რიცხვები

ყველა რიცხვიდან ლოგიკურია განასხვავოთ დადებითი და უარყოფითი რიცხვები. მოდით მივცეთ მათი განმარტებები.

განმარტება 2. დადებითი მთელი რიცხვები

დადებითი მთელი რიცხვები არის პლუს-ნიშნის მთელი რიცხვები.

მაგალითად, რიცხვი 7 არის პლუს-ნიშანი, ანუ დადებითი მთელი რიცხვი. კოორდინატთა ხაზზე ეს რიცხვი დევს საცნობარო წერტილის მარჯვნივ, რისთვისაც აღებულია რიცხვი 0. დადებითი მთელი რიცხვების სხვა მაგალითები: 12, 502, 42, 33, 100500.

განმარტება 3. უარყოფითი მთელი რიცხვები

უარყოფითი მთელი რიცხვები არის მთელი რიცხვები მინუს ნიშნით.

უარყოფითი მთელი რიცხვების მაგალითები: - 528, - 2568, - 1.

რიცხვი 0 ჰყოფს დადებით და უარყოფით მთელ რიცხვებს და თავისთავად არც დადებითია და არც უარყოფითი.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც დადებითი მთელი რიცხვის საპირისპიროა, განსაზღვრებით, უარყოფითი რიცხვია. პირიქითაც მართალია. ნებისმიერი უარყოფითი მთელი რიცხვის ინვერსია არის დადებითი მთელი რიცხვი.

უარყოფითი და დადებითი მთელი რიცხვების სხვა განმარტებების მიცემა შეგიძლიათ მათი ნულთან შედარების გამოყენებით.

განმარტება 4. დადებითი მთელი რიცხვები

დადებითი მთელი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც მეტია ნულზე.

განმარტება 5. უარყოფითი მთელი რიცხვები

უარყოფითი მთელი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ნულზე ნაკლებია.

შესაბამისად, დადებითი რიცხვები არის საწყისის მარჯვნივ კოორდინატთა წრფეზე, ხოლო უარყოფითი რიცხვები ნულის მარცხნივ.

ადრე ვთქვით, რომ ნატურალური რიცხვები არის მთელი რიცხვების ქვესიმრავლე. მოდით განვმარტოთ ეს წერტილი. ნატურალური რიცხვების სიმრავლე შედგება დადებითი მთელი რიცხვებისგან. თავის მხრივ, უარყოფითი მთელი რიცხვების სიმრავლე არის საპირისპირო ნატურალური რიცხვების სიმრავლე.

Მნიშვნელოვანი!

ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს შეიძლება ეწოდოს მთელი რიცხვი, მაგრამ ნებისმიერ მთელ რიცხვს არ შეიძლება ეწოდოს ბუნებრივი. პასუხი კითხვაზე არის თუ არა უარყოფითი რიცხვებიბუნებრივია, თამამად უნდა ვთქვათ - არა, არ არიან.

არადადებითი და არაუარყოფითი მთელი რიცხვები

მოდით მივცეთ განმარტებები.

განმარტება 6. არაუარყოფითი მთელი რიცხვები

არაუარყოფითი მთელი რიცხვები არის დადებითი რიცხვები და რიცხვი ნული.

განმარტება 7. არაპოზიტიური მთელი რიცხვები

არადადებითი რიცხვები არის უარყოფითი რიცხვები და რიცხვი ნული.

როგორც ხედავთ, რიცხვი ნული არც დადებითია და არც უარყოფითი.

არაუარყოფითი მთელი რიცხვების მაგალითები: 52, 128, 0.

არაპოზიტიური მთელი რიცხვების მაგალითები: - 52, - 128, 0.

არაუარყოფითი რიცხვი არის რიცხვი, რომელიც აღემატება ან ტოლია ნულზე. შესაბამისად, არაპოზიტიური მთელი რიცხვი არის ნულზე ნაკლები ან ტოლი რიცხვი.

მოკლედ გამოიყენება ტერმინები „არაპოზიტიური რიცხვი“ და „არაუარყოფითი რიცხვი“. მაგალითად, იმის ნაცვლად, რომ თქვათ, რომ რიცხვი a არის მთელი რიცხვი, რომელიც მეტია ან ტოლია ნულზე, შეგიძლიათ თქვათ: a არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი.

რიცხვების გამოყენება რაოდენობებში ცვლილებების აღსაწერად

რისთვის გამოიყენება მთელი რიცხვები? უპირველეს ყოვლისა, მათი დახმარებით მოსახერხებელია ნებისმიერი ობიექტის რაოდენობის ცვლილების აღწერა და დადგენა. მოვიყვანოთ მაგალითი.

მოდით, გარკვეული რაოდენობის ამწე ლილვები ინახებოდეს საწყობში. თუ საწყობში კიდევ 500 ამწე მიიტანეს, მათი რაოდენობა გაიზრდება. რიცხვი 500 უბრალოდ გამოხატავს დეტალების რაოდენობის ცვლილებას (მატებას). თუ მაშინ საწყობიდან 200 ნაწილი წაიღეს, მაშინ ეს რიცხვი ასევე ახასიათებს ამწეების რაოდენობის ცვლილებას. ამჯერად ქვევით.

თუ საწყობიდან არაფერი იქნება ამოღებული და არაფერი იქნება ჩამოტანილი, მაშინ რიცხვი 0 მიუთითებს ნაწილების რაოდენობის უცვლელობაზე.

მთელი რიცხვების გამოყენების აშკარა მოხერხებულობა, ნატურალური რიცხვებისგან განსხვავებით, არის ის, რომ მათი ნიშანი ნათლად მიუთითებს მნიშვნელობის ცვლილების მიმართულებაზე (გადიდება ან შემცირება).

ტემპერატურის შემცირება 30 გრადუსით შეიძლება ხასიათდებოდეს უარყოფითი რიცხვით - 30, ხოლო 2 გრადუსით მატება - დადებითი მთელი რიცხვით 2.

აი კიდევ ერთი მაგალითი მთელი რიცხვების გამოყენებით. ამჯერად, ვთქვათ, ვინმეს უნდა მივცეთ 5 მონეტა. მაშინ, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გვაქვს - 5 მონეტა. ნომერი 5 აღწერს დავალიანების ოდენობას, ხოლო მინუს ნიშანი ამბობს, რომ ჩვენ უნდა დავაბრუნოთ მონეტები.

თუ ერთ ადამიანს 2 მონეტა გვაქვს, მეორეს კი 3, მაშინ მთლიანი დავალიანება (5 მონეტა) შეიძლება გამოითვალოს უარყოფითი რიცხვების დამატების წესით:

2 + (- 3) = - 5

თუ ტექსტში შენიშნეთ შეცდომა, გთხოვთ, აირჩიოთ ის და დააჭირეთ Ctrl + Enter

რიცხვების მრავალი სახეობა არსებობს, რომელთაგან ზოგიერთი მთელი რიცხვია. მთელი რიცხვები გამოჩნდა, რათა გაადვილებულიყო დათვლა არა მხოლოდ დადებითი მიმართულებით, არამედ უარყოფითი მიმართულებითაც.

განვიხილოთ მაგალითი:
დღისით გარეთ ტემპერატურა 3 გრადუსი იყო. საღამოსთვის ტემპერატურა 3 გრადუსით დაეცა.
3-3=0
ქუჩაში 0 გრადუსი გახდა. ღამით კი ტემპერატურა დაეცა 4 გრადუსით და დაიწყო თერმომეტრზე -4 გრადუსის ჩვენება.
0-4=-4

მთელი რიცხვების სერია.

ასეთ პრობლემას ნატურალური რიცხვებით ვერ აღვწერთ, ამ პრობლემას განვიხილავთ კოორდინატთა ხაზზე.

ჩვენ გვაქვს ნომრების სერია:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

რიცხვების ამ სერიას ე.წ მთელი რიცხვების სერია.

დადებითი მთელი რიცხვები. უარყოფითი მთელი რიცხვები.

მთელი რიცხვების სერია შედგება დადებითი და უარყოფითი რიცხვებისაგან. ნულის მარჯვნივ არის ნატურალური რიცხვები ან მათაც უწოდებენ დადებითი მთელი რიცხვები... და ნულის მარცხნივ წადი მთელი უარყოფითი რიცხვები.

ნული არც დადებითია და არც უარყოფითი. ეს არის საზღვარი დადებით და უარყოფით რიცხვებს შორის.

არის რიცხვების ნაკრები, რომელიც შედგება ნატურალური რიცხვებისგან, უარყოფითი მთელი რიცხვებისგან და ნულისაგან.

დადებითი და უარყოფითი რიცხვების სერია არის გაუთავებელი ნაკრები.

თუ ავიღებთ ნებისმიერ ორ მთელ რიცხვს, მაშინ გამოიძახება რიცხვები ამ რიცხვებს შორის სასრულ ნაკრები.

Მაგალითად:
აიღეთ მთელი რიცხვები -2-დან 4-მდე. ამ რიცხვებს შორის ყველა რიცხვი შედის სასრულ სიმრავლეში. ჩვენი სასრული რიცხვების ნაკრები ასე გამოიყურება:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

ბუნებრივი რიცხვები აღინიშნება ლათინური ასო N-ით.
მთელი რიცხვები აღინიშნება ლათინური ასოთი Z. ნატურალური რიცხვებისა და მთელი რიცხვების მთელი ნაკრები შეიძლება იყოს გამოსახული ფიგურაზე.


არაპოზიტიური მთელი რიცხვებისხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ისინი უარყოფითი მთელი რიცხვებია.
არაუარყოფითი მთელი რიცხვებიდადებითი მთელი რიცხვებია.

მარტივად რომ ვთქვათ, ეს არის წყალში მოხარშული ბოსტნეული სპეციალური რეცეპტის მიხედვით. განვიხილავ ორ საწყის კომპონენტს (ბოსტნეულის სალათს და წყალს) და დასრულებულ შედეგს - ბორშს. გეომეტრიულად, ეს შეიძლება მივიჩნიოთ, როგორც მართკუთხედი, რომლის ერთი მხარე წარმოადგენს სალათის ფოთლებს, ხოლო მეორე მხარეს წარმოადგენს წყალს. ამ ორი მხარის ჯამი წარმოადგენს ბორშს. ასეთი "ბორშის" მართკუთხედის დიაგონალი და ფართობი არის წმინდა მათემატიკური ცნებები და არასოდეს გამოიყენება ბორშის რეცეპტებში.

მათემატიკის სახელმძღვანელოებში წრფივი კუთხის ფუნქციების შესახებ ვერაფერს იპოვით. მაგრამ მათ გარეშე არ შეიძლება მათემატიკა. მათემატიკის კანონები, ისევე როგორც ბუნების კანონები, მუშაობს იმისდა მიუხედავად, ვიცით თუ არა მათი არსებობის შესახებ.

წრფივი კუთხის ფუნქციები შეკრების კანონებია.ნახეთ, როგორ იქცევა ალგებრა გეომეტრიად და გეომეტრია ტრიგონომეტრიად.

შეიძლება თუ არა ხაზოვანი კუთხის ფუნქციების გაუქმება? შეგიძლია, რადგან მათემატიკოსები მათ გარეშე მაინც აკეთებენ. მათემატიკოსთა ხრიკი მდგომარეობს იმაში, რომ ისინი ყოველთვის გვეუბნებიან მხოლოდ იმ პრობლემებზე, რომელთა გადაჭრაც თავად იციან და არასოდეს საუბრობენ იმ ამოცანებზე, რომელთა გადაჭრაც არ შეუძლიათ. შეხედე. თუ ვიცით შეკრების შედეგი და ერთი წევრი, გამოკლებას ვიყენებთ მეორე წევრის საპოვნელად. ყველაფერი. სხვა ამოცანები არ ვიცით და ვერ გადავჭრით. რა უნდა გავაკეთოთ, თუ მხოლოდ შეკრების შედეგი ვიცით და ორივე ტერმინი არ ვიცით? ამ შემთხვევაში, დამატების შედეგი უნდა დაიშალოს ორ ტერმინად წრფივი კუთხის ფუნქციების გამოყენებით. შემდეგ ჩვენ თვითონ ვირჩევთ რა შეიძლება იყოს ერთი ტერმინი და წრფივი კუთხის ფუნქციები გვიჩვენებს რა უნდა იყოს მეორე წევრი ისე, რომ მიმატების შედეგი იყოს ზუსტად ის, რაც გვჭირდება. ასეთი წყვილი ტერმინების უსასრულო რაოდენობა შეიძლება იყოს. ყოველდღიურ ცხოვრებაში შესანიშნავად ვახერხებთ ჯამის დაშლის გარეშე, გამოკლება საკმარისია ჩვენთვის. მაგრამ ბუნების კანონების მეცნიერულ კვლევაში, ჯამის ტერმინებად დაშლა შეიძლება ძალიან სასარგებლო იყოს.

დამატების კიდევ ერთი კანონი, რომელზეც მათემატიკოსებს არ უყვართ ლაპარაკი (მათი მორიგი ხრიკი), მოითხოვს, რომ ტერმინებს ჰქონდეთ იგივე საზომი ერთეულები. სალათისთვის, წყლისა და ბორშისთვის, ეს შეიძლება იყოს წონის, მოცულობის, ღირებულების ან საზომი ერთეული.

ფიგურაში ნაჩვენებია მათემატიკური განსხვავების ორი დონე. პირველი დონე არის განსხვავებები რიცხვების ველში, რომლებიც მითითებულია ა, ბ, გ... ამას აკეთებენ მათემატიკოსები. მეორე დონე არის განსხვავებები ერთეულების ფართობში, რომლებიც ნაჩვენებია კვადრატულ ფრჩხილებში და მითითებულია ასოებით. U... ეს არის ის, რასაც ფიზიკოსები აკეთებენ. ჩვენ შეგვიძლია გავიგოთ მესამე დონე - განსხვავებები აღწერილი ობიექტების არეალში. სხვადასხვა ობიექტს შეიძლება ჰქონდეს ერთი და იგივე ზომის ერთეულების ერთი და იგივე რაოდენობა. რამდენად მნიშვნელოვანია ეს, შეგვიძლია დავინახოთ ბორშის ტრიგონომეტრიის მაგალითზე. თუ სხვადასხვა ობიექტების საზომი ერთეულების ერთსა და იმავე აღნიშვნას დავუმატებთ ხელმოწერებს, შეგვიძლია ზუსტად ვთქვათ, რომელი მათემატიკური მნიშვნელობა აღწერს კონკრეტულ ობიექტს და როგორ იცვლება ის დროთა განმავლობაში ან ჩვენს ქმედებებთან დაკავშირებით. წერილით ვწყალს დავნიშნავ, ასოთი სმე დავნიშნავ სალათს და წერილს ბ- ბორში. ასე გამოიყურება ბორშის ხაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციები.

თუ ავიღებთ წყლის ნაწილს და სალათის ნაწილს, ისინი ერთად გადაიქცევიან ბორშის ერთ პორციაში. აქვე გირჩევთ დაისვენოთ ბორშჩისგან და გაიხსენოთ თქვენი შორეული ბავშვობა. გახსოვთ, როგორ გვასწავლეს კურდღლებისა და იხვების შეკრება? საჭირო იყო იმის დადგენა, რამდენი ცხოველი იქნებოდა. მერე რა გვასწავლეს? გვასწავლეს რიცხვებისგან ერთეულების გამოყოფა და რიცხვების შეკრება. დიახ, ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება დაემატოს ნებისმიერ სხვა ნომერს. ეს არის პირდაპირი გზა თანამედროვე მათემატიკის აუტიზმისკენ - ჩვენ ვაკეთებთ, გაურკვეველია რას, გაუგებარია რატომ და ჩვენ ძალიან ცუდად გვესმის, როგორ უკავშირდება ეს რეალობას, განსხვავების სამი დონის გამო, მათემატიკა მოქმედებს მხოლოდ ერთზე. . უფრო სწორი იქნება ვისწავლოთ როგორ გადავიდეთ ერთი საზომი ერთეულიდან მეორეზე.

და კურდღლები, იხვები და ცხოველები შეიძლება დაითვალოს ნაჭრებად. ერთი საერთო საზომი ერთეული სხვადასხვა ობიექტებისთვის საშუალებას გვაძლევს დავამატოთ ისინი. ეს პრობლემის ბავშვური ვერსიაა. მოდით შევხედოთ მსგავს პრობლემას მოზრდილებში. რა ხდება, როდესაც კურდღლებს და ფულს დაამატებთ? აქ ორი შესაძლო გამოსავალია.

პირველი ვარიანტი... ჩვენ განვსაზღვრავთ კურდღლების საბაზრო ღირებულებას და ვამატებთ მას ხელმისაწვდომ თანხას. ჩვენ მივიღეთ ჩვენი სიმდიდრის მთლიანი ღირებულება ფულადი თვალსაზრისით.

მეორე ვარიანტი... თქვენ შეგიძლიათ დაამატოთ კურდღლების რაოდენობა ბანკნოტების რაოდენობას, რაც გვაქვს. მოძრავი ქონების რაოდენობას ნაწილებად მივიღებთ.

როგორც ხედავთ, ერთიდაიგივე მიმატების კანონი სხვადასხვა შედეგს იძლევა. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რა გვინდა ვიცოდეთ.

მაგრამ დავუბრუნდეთ ჩვენს ბორშს. ახლა ჩვენ ვხედავთ რა მოხდება როდის სხვადასხვა მნიშვნელობახაზოვანი კუთხოვანი ფუნქციების კუთხე.

კუთხე არის ნული. სალათი გვაქვს, წყალი კი არა. ბორშის მომზადება არ შეგვიძლია. ბორშის რაოდენობაც ნულის ტოლია. ეს საერთოდ არ ნიშნავს იმას, რომ ნულოვანი ბორში უდრის ნულ წყალს. ნულოვანი ბორში შეიძლება იყოს ნულოვანი სალათი (მარჯვენა კუთხე).

პირადად ჩემთვის ეს არის მთავარი მათემატიკური დასტური იმისა, რომ. ნული არ ცვლის რიცხვს დამატებისას. ეს იმიტომ ხდება, რომ თავად დამატება შეუძლებელია, თუ არის მხოლოდ ერთი ტერმინი და არ არის მეორე ტერმინი. თქვენ შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ ამას, როგორც გინდათ, მაგრამ გახსოვდეთ - ყველა მათემატიკური ოპერაცია ნულთან ერთად მათემატიკოსებმა გამოიგონეს, ასე რომ, უარი თქვით მათემატიკოსების მიერ გამოგონილ თქვენს ლოგიკასა და სულელურად უხეში განმარტებებზე: "ნულზე გაყოფა შეუძლებელია", "ნებისმიერი რიცხვი გამრავლებული ნულზე უდრის. ნულოვანი", "ნოკაუტის წერტილისთვის" და სხვა სისულელეები. საკმარისია ერთხელ გავიხსენოთ, რომ ნული რიცხვი არ არის და არასოდეს გაგიჩნდებათ კითხვა ნული ნატურალური რიცხვია თუ არა, რადგან ასეთი კითხვა საერთოდ კარგავს ყოველგვარ მნიშვნელობას: როგორ მივიჩნიოთ რიცხვი, რომელიც არ არის რიცხვი. ეს ჰგავს კითხვას, რა ფერის უნდა იყოს უხილავი ფერი. რიცხვისთვის ნულის დამატება არარსებული საღებავით ხატვას ჰგავს. მშრალი ფუნჯით მივატრიალეთ და ყველას ვუთხარით, რომ „მოვხატეთ“. მაგრამ ცოტას ვშორდები.

კუთხე ნულზე მეტია, მაგრამ ორმოცდახუთი გრადუსზე ნაკლები. ბევრი სალათი გვაქვს, მაგრამ წყალი არ არის საკმარისი. შედეგად ვიღებთ სქელ ბორშჩს.

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსია. თანაბარი რაოდენობით გვაქვს წყალი და სალათი. ეს არის სრულყოფილი ბორში (დიახ, მზარეულები მაპატიებენ, ეს უბრალოდ მათემატიკაა).

კუთხე ორმოცდახუთი გრადუსზე მეტია, მაგრამ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები. ბევრი წყალი გვაქვს და ცოტა სალათი. თქვენ მიიღებთ თხევად ბორშს.

მართი კუთხე. წყალი გვაქვს. სალათიდან მხოლოდ მოგონებები რჩება, რადგან ჩვენ ვაგრძელებთ კუთხის გაზომვას იმ ხაზიდან, რომელიც ოდესღაც სალათისთვის იდგა. ბორშის მომზადება არ შეგვიძლია. ბორშის რაოდენობა ნულის ტოლია. ამ შემთხვევაში მოითმინეთ და დალიეთ წყალი სანამ გაქვთ)))

Აქ. Რაღაც მსგავსი. აქ სხვა ისტორიების მოყოლა შემიძლია, რაც აქ უფრო შესაფერისი იქნება.

ორ მეგობარს ჰქონდა წილი საერთო საქმეში. ერთი მათგანის მოკვლის შემდეგ ყველაფერი მეორეზე გადავიდა.

მათემატიკის გაჩენა ჩვენს პლანეტაზე.

ყველა ეს ამბავი მოთხრობილია მათემატიკის ენაზე წრფივი კუთხის ფუნქციების გამოყენებით. სხვა დროს მე გაჩვენებთ ამ ფუნქციების რეალურ ადგილს მათემატიკის სტრუქტურაში. ამასობაში დავუბრუნდეთ ბორშის ტრიგონომეტრიას და განვიხილოთ პროგნოზები.

შაბათი, 26 ოქტომბერი 2019 წ

ოთხშაბათი, 7 აგვისტო 2019 წ

საუბრის დასასრულს, გასათვალისწინებელია უსასრულო რაოდენობა. შედეგი ის არის, რომ ცნება „უსასრულობა“ მოქმედებს მათემატიკოსებზე, როგორც ბოა კონსტრიქტორი კურდღელზე. უსასრულობის საშინელი შიში ძარცვავს მათემატიკოსებს საღი აზრი... აი მაგალითი:

ორიგინალური წყარო მდებარეობს. ალფა ნიშნავს რეალურ რიცხვს. ზემოთ მოცემულ გამონათქვამებში ტოლობის ნიშანი მიუთითებს იმაზე, რომ თუ უსასრულობას დაუმატებთ რიცხვს ან უსასრულობას, არაფერი შეიცვლება, შედეგი იქნება იგივე უსასრულობა. თუ მაგალითისთვის ავიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს, მაშინ განხილული მაგალითები შეიძლება წარმოდგენილი იყოს შემდეგი სახით:

მათი სისწორის ვიზუალური დადასტურებისთვის მათემატიკოსებმა მრავალი განსხვავებული მეთოდი მოიგონეს. მე პირადად ყველა ამ მეთოდს ვუყურებ, როგორც ტამბურებით მოცეკვავე შამანებს. არსებითად, ყველა მათგანი ემყარება იმ ფაქტს, რომ ან ზოგიერთი ოთახი არ არის დაკავებული და ახალი სტუმრები შემოდიან, ან რომ ზოგიერთი სტუმარი დერეფანში გააგდებს სტუმრებისთვის ადგილის გასათავისუფლებლად (ძალიან ადამიანურად). მე წარმოვადგინე ჩემი შეხედულება ასეთ გადაწყვეტილებებზე ფანტასტიკური ისტორიის სახით ქერაზე. რას ეფუძნება ჩემი მსჯელობა? უსასრულო რაოდენობის ვიზიტორთა გადატანას უსასრულო დრო სჭირდება. მას შემდეგ, რაც ჩვენ გავათავისუფლებთ პირველ ოთახს სტუმრისთვის, ერთ-ერთი სტუმარი საუკუნის ბოლომდე ყოველთვის გადის დერეფნის გასწვრივ თავისი ოთახიდან მეორემდე. რა თქმა უნდა, დროის ფაქტორის უგულებელყოფა შეიძლება სულელურად, მაგრამ ეს უკვე კატეგორიიდან იქნება „კანონი სულელებისთვის არ დაწერილა“. ეს ყველაფერი დამოკიდებულია იმაზე, თუ რას ვაკეთებთ: რეალობის მორგება მათემატიკური თეორიების შესატყვისად ან პირიქით.

რა არის "უსასრულო სასტუმრო"? გაუთავებელი სასტუმრო არის სასტუმრო, რომელსაც ყოველთვის აქვს ნებისმიერი რაოდენობის თავისუფალი ადგილი, რამდენი ოთახიც არ უნდა იყოს დაკავებული. თუ უსასრულო ვიზიტორთა დერეფანში ყველა ოთახი დაკავებულია, არის კიდევ ერთი გაუთავებელი დერეფანი სასტუმრო ოთახებით. ასეთი დერეფნების გაუთავებელი რაოდენობა იქნება. უფრო მეტიც, "უსასრულო სასტუმროს" აქვს უსასრულო რაოდენობის სართულები უსასრულო რაოდენობის შენობებში უსასრულო რაოდენობის პლანეტებზე უსასრულო რაოდენობის სამყაროში, რომელიც შექმნილია ღმერთების უსასრულო რაოდენობით. თუმცა მათემატიკოსები ვერ ახერხებენ დისტანცირებას ჩვეულებრივი ყოველდღიური პრობლემებისგან: ღმერთი-ალაჰ-ბუდა ყოველთვის ერთია, სასტუმრო ერთია, დერეფანი მხოლოდ ერთი. აქ არიან მათემატიკოსები და ცდილობენ სასტუმროს ნომრების სერიული ნომრებით მანიპულირებას, დაგვარწმუნონ იმაში, რომ შესაძლებელია „შეიძვრენო“.

მე გაჩვენებთ ჩემი მსჯელობის ლოგიკას ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლის მაგალითზე. უპირველეს ყოვლისა, თქვენ უნდა უპასუხოთ ძალიან მარტივ კითხვას: ნატურალური რიცხვების რამდენი ნაკრები არსებობს - ერთი ან ბევრი? ამ კითხვაზე სწორი პასუხი არ არსებობს, რადგან ჩვენ თვითონ გამოვიგონეთ რიცხვები, ბუნებაში რიცხვები არ არსებობს. დიახ, ბუნება შესანიშნავია დათვლაში, მაგრამ ამისათვის ის იყენებს სხვა მათემატიკურ საშუალებებს, რომლებიც ჩვენთვის არ არის ნაცნობი. როგორც ბუნება ფიქრობს, სხვა დროს გეტყვით. ვინაიდან ჩვენ გამოვიგონეთ რიცხვები, ჩვენ თვითონ გადავწყვეტთ ნატურალური რიცხვების რამდენი კომპლექტი არსებობს. განიხილეთ ორივე ვარიანტი, როგორც ეს შეეფერება ნამდვილ მეცნიერს.

ვარიანტი ერთი. „მოდით მოგვცეს“ ნატურალური რიცხვების ერთი ნაკრები, რომელიც მშვიდად დევს თაროზე. ამ კომპლექტს თაროდან ვიღებთ. ესე იგი, თაროზე სხვა ნატურალური რიცხვები აღარ დარჩა და წასაღებიც არსად არის. ჩვენ ვერ დავამატებთ ამ კომპლექტს, რადგან უკვე გვაქვს. და თუ მართლა გინდა? Არაა პრობლემა. ჩვენ შეგვიძლია ავიღოთ უკვე აღებული ნაკრებიდან და დავაბრუნოთ თაროზე. ამის შემდეგ შეგვიძლია თაროდან ავიღოთ ერთეული და დავამატოთ ის რაც დაგვრჩა. შედეგად, ჩვენ კვლავ ვიღებთ ნატურალური რიცხვების უსასრულო სიმრავლეს. თქვენ შეგიძლიათ დაწეროთ ყველა ჩვენი მანიპულაცია ასე:

ჩავწერე მოქმედებები ალგებრულ სანოტო სისტემაში და სიმრავლეების თეორიაში მიღებულ სანოტო სისტემაში, სიმრავლის ელემენტების დეტალური აღრიცხვით. სუბსკრიპტი მიუთითებს, რომ ჩვენ გვაქვს ნატურალური რიცხვების ერთი და ერთადერთი ნაკრები. გამოდის, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე უცვლელი დარჩება მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ გამოვაკლებთ მას და დაამატებთ იგივე ერთეულს.

ვარიანტი ორი. ჩვენს თაროზე ნატურალური რიცხვების მრავალი განსხვავებული უსასრულო ნაკრები გვაქვს. ხაზს ვუსვამ - განსხვავებულს, მიუხედავად იმისა, რომ ისინი პრაქტიკულად არ განსხვავდებიან. ჩვენ ვიღებთ ერთ-ერთ ამ კომპლექტს. შემდეგ ვიღებთ ერთს ნატურალური რიცხვების მეორე სიმრავლიდან და ვამატებთ უკვე აღებულ სიმრავლეს. შეგვიძლია ნატურალური რიცხვების ორი კომპლექტიც კი დავამატოთ. აი რას მივიღებთ:

ხელმოწერები "ერთი" და "ორი" მიუთითებს, რომ ეს ნივთები სხვადასხვა კომპლექტს ეკუთვნოდა. დიახ, თუ ერთს დაუმატებთ უსასრულო კომპლექტს, შედეგი ასევე იქნება უსასრულო ნაკრები, მაგრამ ის არ იქნება იგივე რაც ორიგინალური ნაკრები. თუ ერთ უსასრულო სიმრავლეს კიდევ ერთ უსასრულო სიმრავლეს დავუმატებთ, შედეგი იქნება ახალი უსასრულო სიმრავლე, რომელიც შედგება პირველი ორი სიმრავლის ელემენტებისაგან.

უამრავი ნატურალური რიცხვი გამოიყენება დასათვლელად ისევე, როგორც საზომი სახაზავი. ახლა წარმოიდგინეთ სახაზავს ერთი სანტიმეტრის დამატება. ეს უკვე განსხვავებული ხაზი იქნება, ორიგინალის ტოლი არ არის.

შეგიძლიათ მიიღოთ ან არ მიიღოთ ჩემი მსჯელობა - ეს თქვენი საქმეა. მაგრამ თუ ოდესმე მათემატიკურ პრობლემებს წააწყდებით, იფიქრეთ იმაზე, არ მიჰყვებით თუ არა ცრუ მსჯელობის გზას, რომელსაც მათემატიკოსთა თაობები არღვევენ. მათემატიკის კეთება ხომ, უპირველეს ყოვლისა, ყალიბდება ჩვენში აზროვნების სტაბილურ სტერეოტიპს და მხოლოდ ამის შემდეგ გვმატებს გონებრივ შესაძლებლობებს (ან, პირიქით, გვართმევს თავისუფალ აზროვნებას).

pozg.ru

კვირა, 4 აგვისტო 2019 წ

მე ვწერდი პოსტსკრიპტს სტატიის შესახებ და ვნახე ეს შესანიშნავი ტექსტი ვიკიპედიაში:

ვკითხულობთ: „... მდიდარი თეორიული საფუძველიბაბილონის მათემატიკა არ გააჩნდა ჰოლისტიკური ხასიათი და დაყვანილ იქნა განსხვავებული ტექნიკის ერთობლიობამდე, მოკლებულია საერთო სისტემისა და მტკიცებულების ბაზას. ”

Ვაუ! რამდენად ჭკვიანები ვართ და რამდენად კარგად ვხედავთ სხვის ნაკლოვანებებს. გვიჭირს თანამედროვე მათემატიკის იმავე კონტექსტში შეხედვა? ზემოხსენებული ტექსტის ოდნავ პერიფრაზირებით, მე პირადად მივიღე შემდეგი:

თანამედროვე მათემატიკის მდიდარი თეორიული საფუძველი არ არის ჰოლისტიკური და დაყვანილია განსხვავებული სექციების ერთობლიობამდე, რომელიც მოკლებულია საერთო სისტემას და მტკიცებულების ბაზას.

შორს არ წავალ ჩემი სიტყვების დასადასტურებლად - მას აქვს ენა და კონვენციები, რომლებიც განსხვავდება მათემატიკის მრავალი სხვა დარგის ენისა და კონვენციებისგან. მათემატიკის სხვადასხვა ფილიალში ერთსა და იმავე სახელს შეიძლება ჰქონდეს განსხვავებული მნიშვნელობა. მსურს პუბლიკაციების მთელი სერია მივუძღვნა თანამედროვე მათემატიკის ყველაზე აშკარა შეცდომებს. Მალე გნახავ.

შაბათი, 3 აგვისტო 2019

როგორ იყოფა კომპლექტი ქვეჯგუფებად? ამისათვის თქვენ უნდა შეიყვანოთ ახალი საზომი ერთეული, რომელიც არის შერჩეული ნაკრების ზოგიერთი ელემენტისთვის. მოდით შევხედოთ მაგალითს.

ბევრი გვქონდეს აშედგება ოთხი ადამიანისგან. ეს ნაკრები ჩამოყალიბდა "ხალხის" საფუძველზე. მოდით აღვნიშნოთ ამ ნაკრების ელემენტები ასოებით ა, ციფრული აბზაცში მითითებული იქნება ამ ნაკრების თითოეული ადამიანის რიგითი ნომერი. შემოვიტანოთ ახალი საზომი ერთეული „სქესი“ და აღვნიშნოთ ასოებით ბ... ვინაიდან სექსუალური მახასიათებლები ყველა ადამიანშია თანდაყოლილი, ჩვენ ვამრავლებთ ნაკრების თითოეულ ელემენტს ასქესის მიხედვით ბ... გაითვალისწინეთ, რომ ახლა ჩვენი „ხალხის“ სიმრავლე გახდა „სქესობრივი მახასიათებლების მქონე ადამიანების“ სიმრავლე. ამის შემდეგ შეგვიძლია სქესობრივი მახასიათებლები მამრობითად დავყოთ ბმდა ქალები bwსექსუალური მახასიათებლები. ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ფილტრი: ჩვენ ვირჩევთ ამ სქესის ერთ-ერთ მახასიათებელს, არ აქვს მნიშვნელობა რომელია მამაკაცი თუ ქალი. თუ ადამიანს აქვს, მაშინ ვამრავლებთ ერთზე, თუ ასეთი ნიშანი არ არის, ვამრავლებთ ნულზე. შემდეგ ჩვენ ვიყენებთ ჩვეულებრივ სასკოლო მათემატიკას. ნახეთ რა მოხდა.

გამრავლების, შემცირებისა და გადაწყობის შემდეგ მივიღეთ ორი ქვესიმრავლე: კაცების ქვესიმრავლე ბმდა ქალების ქვეჯგუფი Bw... მათემატიკოსები იგივეს ფიქრობენ, როდესაც ისინი იყენებენ სიმრავლეების თეორიას პრაქტიკაში. ოღონდ დეტალებს კი არ გვიძღვნიან, არამედ დასრულებულ შედეგს გვაძლევენ – „ბევრი ადამიანი შედგება მამაკაცის ქვეჯგუფისაგან და ქალის ქვეჯგუფისაგან“. ბუნებრივია, შეიძლება გაგიკვირდეთ, რამდენად სწორად არის გამოყენებული მათემატიკა ზემოაღნიშნულ გარდაქმნებში? გარწმუნებთ, ფაქტობრივად, გარდაქმნები გაკეთდა სწორად, საკმარისია არითმეტიკის, ლოგის ალგებრის და მათემატიკის სხვა დარგების მათემატიკური საფუძვლების ცოდნა. რა არის ეს? სხვა დროს გეტყვით ამის შესახებ.

რაც შეეხება სუპერკომპლექტებს, თქვენ შეგიძლიათ დააკავშიროთ ორი კომპლექტი ერთ სუპერკომპლექტში გაზომვის ერთეულის არჩევით, რომელიც წარმოდგენილია ამ ორი ნაკრების ელემენტებისთვის.

როგორც ხედავთ, საზომი ერთეულები და საერთო მათემატიკა სიმრავლეების თეორიას წარსულს აქცევს. იმის მანიშნებელი, რომ სიმრავლეების თეორია არ არის სწორი, არის ის, რომ მათემატიკოსებმა გამოიგონეს საკუთარი ენა და ჩანაწერები სიმრავლეების თეორიისთვის. მათემატიკოსებმა გააკეთეს ის, რაც ერთხელ შამანებს აკეთებდნენ. მხოლოდ შამანებმა იციან როგორ გამოიყენონ თავიანთი „ცოდნა“ „სწორად“. ისინი გვასწავლიან ამ „ცოდნას“.

და ბოლოს, მინდა გაჩვენოთ, როგორ მანიპულირებენ მათემატიკოსები.

ორშაბათი, 7 იანვარი, 2019 წ

V საუკუნეში ძვ.წ ძველი ბერძენი ფილოსოფოსიზენონ ელეამ ჩამოაყალიბა თავისი ცნობილი აპორიები, რომელთაგან ყველაზე ცნობილია აპორია "აქილევსი და კუ". ასე ჟღერს:

ვთქვათ, აქილევსი კუზე ათჯერ უფრო სწრაფად დარბის და ათასი ნაბიჯით უკან არის. იმ დროის განმავლობაში, რაც აქილევსს სჭირდება ამ მანძილის გასაშვებად, კუ ასი ნაბიჯით გაივლის იმავე მიმართულებით. როცა აქილევსი ასი ნაბიჯით გაივლის, კუ კიდევ ათი ნაბიჯით დაცოცავს და ა.შ. პროცესი უსასრულოდ გაგრძელდება, აქილევსი კუს ვერასოდეს მიაღწევს.

ეს მსჯელობა ლოგიკური შოკი იყო ყველა მომდევნო თაობისთვის. არისტოტელე, დიოგენე, კანტი, ჰეგელი, ჰილბერტი... ყველა მათგანი ასე თუ ისე განიხილავდა ზენონის აპორიებს. შოკი იმდენად ძლიერი იყო, რომ " ... მსჯელობა ამჟამად გრძელდება, სამეცნიერო საზოგადოებას ჯერ არ მიუღწევია პარადოქსების არსის შესახებ საერთო მოსაზრებამდე... საკითხის შესწავლაში ჩართული იყო მათემატიკური ანალიზი, სიმრავლეების თეორია, ახალი ფიზიკური და ფილოსოფიური მიდგომები. ; არცერთი მათგანი არ გახდა კითხვის ზოგადად მიღებული გადაწყვეტა ..."[ვიკიპედია," ზენონის აპორია "]. ყველას ესმის, რომ ატყუებენ, მაგრამ არავის ესმის, რა არის მოტყუება.

მათემატიკის თვალსაზრისით, ზენონმა თავის აპორიაში ნათლად აჩვენა გადასვლა სიდიდიდან. ეს გადასვლა გულისხმობს გამოყენებას მუდმივების ნაცვლად. რამდენადაც მე მესმის, საზომი ცვლადი ერთეულების გამოყენების მათემატიკური აპარატი ან ჯერ არ არის შემუშავებული, ან არ არის გამოყენებული ზენონის აპორიაზე. ჩვენი ჩვეული ლოგიკის გამოყენება მახეში მიგვიყვანს. ჩვენ, აზროვნების ინერციით, ვიყენებთ დროის გაზომვის მუდმივ ერთეულებს რეციპროკულზე. ფიზიკური თვალსაზრისით, ეს ჰგავს დროის გაფართოებას, სანამ ის მთლიანად არ შეჩერდება იმ მომენტში, როდესაც აქილევსი კუს თანაბარია. თუ დრო გაჩერდება, აქილევსი ვეღარ გაუსწრებს კუს.

თუ გადავატრიალებთ შეჩვეულ ლოგიკას, ყველაფერი თავის ადგილზე დგება. აქილევსი მუდმივი სიჩქარით დარბის. მისი გზის ყოველი მომდევნო სეგმენტი წინაზე ათჯერ მოკლეა. შესაბამისად, მის დაძლევაზე დახარჯული დრო წინაზე ათჯერ ნაკლებია. თუ ამ სიტუაციაში გამოვიყენებთ „უსასრულობის“ ცნებას, მაშინ სწორი იქნება ვთქვათ „აქილევსი უსასრულოდ სწრაფად დაეწევა კუს“.

როგორ შეგიძლიათ თავიდან აიცილოთ ეს ლოგიკური ხაფანგი? დარჩით დროის მუდმივ ერთეულებში და არ წახვიდეთ უკან. ზენონის ენაზე ასე გამოიყურება:

იმ დროის განმავლობაში, რომლის განმავლობაშიც აქილევსი ათას ნაბიჯს გაივლის, კუ ასი ნაბიჯით დაცოცავს იმავე მიმართულებით. დროის მომდევნო ინტერვალში, პირველის ტოლფასი, აქილევსი კიდევ ათას ნაბიჯს გაივლის, ხოლო კუ ასი ნაბიჯით გაივლის. ახლა აქილევსი რვაასი ნაბიჯით უსწრებს კუს.

ეს მიდგომა ადეკვატურად აღწერს რეალობას ყოველგვარი ლოგიკური პარადოქსების გარეშე. მაგრამ ეს არ არის პრობლემის სრული გადაწყვეტა. აინშტაინის განცხადება სინათლის სიჩქარის დაუძლეველობის შესახებ ძალიან ჰგავს ზენო აპორიას „აქილევსი და კუს“. ჯერ კიდევ გვიწევს ამ პრობლემის შესწავლა, გადახედვა და გადაჭრა. და გამოსავალი არ უნდა ეძებო უსასრულოდ დიდი რაოდენობითდა საზომი ერთეულებით.

კიდევ ერთი საინტერესო აპორია ზენონი მოგვითხრობს მფრინავი ისრის შესახებ:

მფრინავი ისარი უმოძრაოა, რადგან დროის ყოველ მომენტში ის ისვენებს, და რადგან ის ისვენებს დროის ყოველ მომენტში, ის ყოველთვის ისვენებს.

ამ აპორიაში ლოგიკური პარადოქსი დაძლეულია ძალიან მარტივად - საკმარისია იმის გარკვევა, რომ დროის ყოველ მომენტში მფრინავი ისარი ეყრდნობა სივრცის სხვადასხვა წერტილს, რაც, ფაქტობრივად, მოძრაობაა. აქვე უნდა აღინიშნოს კიდევ ერთი მომენტი. გზაზე მანქანის ერთი ფოტოსურათიდან შეუძლებელია მისი გადაადგილების ფაქტის და მასამდე მანძილის დადგენა. მანქანის მოძრაობის ფაქტის დასადგენად საჭიროა ორი ფოტოსურათი, გადაღებული ერთი და იმავე წერტილიდან დროის სხვადასხვა მომენტში, მაგრამ მათგან მანძილის დადგენა შეუძლებელია. მანქანამდე მანძილის დასადგენად, თქვენ გჭირდებათ ერთდროულად ორი ფოტო გადაღებული სივრცეში სხვადასხვა წერტილიდან, მაგრამ თქვენ ვერ განსაზღვრავთ მათგან გადაადგილების ფაქტს (რა თქმა უნდა, გამოთვლებისთვის ჯერ კიდევ გჭირდებათ დამატებითი მონაცემები, ტრიგონომეტრია დაგეხმარებათ) . რაზეც განსაკუთრებული ყურადღება მინდა გავამახვილო, არის ის, რომ ორი წერტილი დროისა და ორი წერტილი სივრცეში არის სხვადასხვა რამ, რაც არ უნდა აგვერიოს, რადგან ისინი სხვადასხვა შესაძლებლობებს იძლევა კვლევისთვის.
ნება მომეცით გაჩვენოთ პროცესი მაგალითით. ჩვენ ვირჩევთ "წითელ სოლიდს მუწუკში" - ეს არის ჩვენი "მთელი". ამავდროულად, ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს ყველაფერი მშვილდით არის, მაგრამ არ არის მშვილდი. ამის შემდეგ ვირჩევთ „მთლიანის“ ნაწილს და ვქმნით კომპლექტს „მშვილდით“. ასე იკვებებიან შამანები თავიანთი სიმრავლის თეორიის რეალობასთან მიბმის გზით.

ახლა მოდით გავაკეთოთ პატარა ბინძური ხრიკი. აიღეთ "მყარი მუწუკში მშვილდით" და შეაერთეთ ეს "მთვლები" ფერის მიხედვით, შეარჩიეთ წითელი ელემენტები. ბევრი "წითელი" მივიღეთ. ახლა შევსება კითხვა: მიღებული კომპლექტები "მშვილდით" და "წითელი" ერთი და იგივე ნაკრებია თუ ორი განსხვავებული ნაკრებია? პასუხი მხოლოდ შამანებმა იციან. უფრო ზუსტად, თვითონაც არაფერი იციან, მაგრამ როგორც ამბობენ, ასეც იყოს.

ეს მარტივი მაგალითი გვიჩვენებს, რომ სიმრავლეების თეორია სრულიად უსარგებლოა, როცა საქმე რეალობას ეხება. რა არის საიდუმლო? ჩვენ ჩამოვაყალიბეთ კომპლექტი "წითელი მყარი შევიდა bump ერთად მშვილდი". ფორმირება მოხდა ოთხი განსხვავებული საზომი ერთეულის მიხედვით: ფერი (წითელი), სიმტკიცე (მყარი), უხეშობა (აკნეში), ორნამენტები (მშვილდით). მხოლოდ საზომი ერთეულების ნაკრები იძლევა რეალური ობიექტების ადეკვატურად აღწერას მათემატიკის ენაზე.... ასე გამოიყურება.

ასო „ა“ სხვადასხვა ინდექსით აღნიშნავს სხვადასხვა საზომ ერთეულს. ფრჩხილებში მონიშნულია საზომი ერთეულები, რომლებითაც წინასწარ სტადიაზე ნაწილდება „მთელი“. საზომი ერთეული, რომლითაც ყალიბდება ნაკრები, ამოღებულია ფრჩხილებიდან. ბოლო ხაზი აჩვენებს საბოლოო შედეგს - ნაკრების ელემენტს. როგორც ხედავთ, თუ ჩვენ ვიყენებთ გაზომვის ერთეულებს ნაკრების შესაქმნელად, მაშინ შედეგი არ არის დამოკიდებული ჩვენი მოქმედებების თანმიმდევრობაზე. და ეს მათემატიკაა და არა შამანების ცეკვა ტამბურით. შამანებს შეუძლიათ „ინტუიტიურად“ მიაღწიონ იმავე შედეგს, ამტკიცებენ მას „აშკარაობით“, რადგან საზომი ერთეულები არ შედის მათ „მეცნიერულ“ არსენალში.

ძალიან მარტივია ერთეულების გამოყენება ერთის გასაყოფად ან რამდენიმე ნაკრების ერთ სუპერსეტში გაერთიანებისთვის. მოდით უფრო ახლოს მივხედოთ ამ პროცესის ალგებრას.

ამ სტატიაში მოცემული ინფორმაცია ფორმებს ზოგადი იდეაო მთელი რიცხვები... პირველ რიგში მოცემულია მთელი რიცხვების განმარტება და მოყვანილია მაგალითები. გარდა ამისა, განიხილება რიცხვების ხაზის მთელი რიცხვები, საიდანაც ირკვევა, რომელ რიცხვებს უწოდებენ დადებით მთელ რიცხვებს და რომელს უარყოფითი რიცხვები. ამის შემდეგ ნაჩვენებია, თუ როგორ არის აღწერილი მნიშვნელობების ცვლილებები მთელი რიცხვების გამოყენებით, ხოლო უარყოფითი რიცხვები განიხილება დავალიანების მნიშვნელობით.

გვერდის ნავიგაცია.

მთელი რიცხვები - განმარტება და მაგალითები

განმარტება.

Მთელი რიცხვები- ეს არის ნატურალური რიცხვები, რიცხვი ნული, ასევე ნატურალური რიცხვების საპირისპირო რიცხვები.

მთელი რიცხვების განმარტებაში ნათქვამია, რომ ნებისმიერი რიცხვი 1, 2, 3,…, რიცხვი 0, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი −1, −2, −3,… არის მთელი რიცხვი. ახლა ჩვენ შეგვიძლია ადვილად ვიხელმძღვანელოთ მთელი რიცხვების მაგალითები... მაგალითად, რიცხვი 38 არის მთელი რიცხვი, რიცხვი 70 040 ასევე არის მთელი რიცხვი, ნული არის მთელი რიცხვი (შეგახსენებთ, რომ ნული არ არის ნატურალური რიცხვი, ნული არის მთელი რიცხვი), რიცხვები −999, −1, −8 934 832 ასევე არის მთელი რიცხვების მაგალითები.

მოსახერხებელია ყველა მთელი რიცხვის წარმოდგენა მთელი რიცხვების მიმდევრობით, რომელსაც აქვს შემდეგი ფორმა: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... მთელი რიცხვების თანმიმდევრობა შეიძლება დაიწეროს ასე: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

მთელი რიცხვების განმარტებიდან გამომდინარეობს, რომ ნატურალური რიცხვების სიმრავლე არის მთელი რიცხვების სიმრავლის ქვესიმრავლე. მაშასადამე, ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი არის მთელი რიცხვი, მაგრამ არცერთი რიცხვი არ არის ნატურალური.

კოორდინატთა წრფეზე მთელი რიცხვები

განმარტება.

დადებითი მთელი რიცხვებიარის მთელი რიცხვები, რომლებიც მეტია ნულზე.

განმარტება.

უარყოფითი მთელი რიცხვებიარის მთელი რიცხვები, რომლებიც ნულზე ნაკლებია.

დადებითი და უარყოფითი მთელი რიცხვები ასევე შეიძლება განისაზღვროს მათი პოზიციით კოორდინატ ხაზზე. ჰორიზონტალურ კოორდინატთა ხაზზე, წერტილები, რომელთა კოორდინატები დადებითი მთელი რიცხვებია, დევს საწყისის მარჯვნივ. თავის მხრივ, უარყოფითი მთელი რიცხვის კოორდინატების მქონე წერტილები განლაგებულია O წერტილის მარცხნივ.

ნათელია, რომ ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე არის ნატურალური რიცხვების სიმრავლე. თავის მხრივ, ყველა უარყოფითი რიცხვის სიმრავლე არის ნატურალური რიცხვების საპირისპირო ყველა რიცხვის სიმრავლე.

ცალკე, გვინდა თქვენი ყურადღება გავამახვილოთ იმ ფაქტზე, რომ ჩვენ შეგვიძლია უსაფრთხოდ ვუწოდოთ ნებისმიერ ნატურალურ რიცხვს მთელი რიცხვი და ვერ ვუწოდებთ ნებისმიერ მთელ რიცხვს ნატურალურს. ბუნებრივი შეგვიძლია ვუწოდოთ მხოლოდ ნებისმიერ პოზიტიურ რიცხვს, რადგან უარყოფითი რიცხვები და ნული არ არის ბუნებრივი.

არადადებითი მთელი რიცხვები და არაუარყოფითი რიცხვები

მოდით მივცეთ არადადებითი და არაუარყოფითი რიცხვების განმარტებები.

განმარტება.

ყველა დადებითი მთელი რიცხვი ნულთან ერთად იწოდება არაუარყოფითი მთელი რიცხვები.

განმარტება.

არაპოზიტიური მთელი რიცხვები- ეს არის ყველა უარყოფითი რიცხვი 0 რიცხვთან ერთად.

სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, არაუარყოფითი რიცხვი არის მთელი რიცხვი, რომელიც მეტია ან ტოლია ნულზე, ხოლო არაპოზიტიური რიცხვი არის მთელი რიცხვი, რომელიც არის ნულზე ნაკლები ან ტოლი.

არადადებითი რიცხვების მაგალითებია რიცხვები −511, −10,030, 0, −2 და არაუარყოფითი რიცხვების მაგალითებად ვაძლევთ რიცხვებს 45, 506, 0, 900 321.

ყველაზე ხშირად, ტერმინები "არაპოზიტიური მთელი რიცხვები" და "არაუარყოფითი მთელი რიცხვები" გამოიყენება მოკლედ. მაგალითად, ნაცვლად ფრაზის "რიცხვი a არის მთელი რიცხვი და a არის მეტი ან ტოლი ნულის", შეგიძლიათ თქვათ "a არის არაუარყოფითი მთელი რიცხვი".

მნიშვნელობების შეცვლის აღწერა მთელი რიცხვების გამოყენებით

დროა ვისაუბროთ იმაზე, თუ რისთვის არის მთელი რიცხვები.

მთელი რიცხვების მთავარი მიზანი არის ის, რომ მოსახერხებელია მათი გამოყენება ნებისმიერი ობიექტის რაოდენობის ცვლილების აღსაწერად. მოდით გავარკვიოთ მაგალითებით.

დაე, იყოს გარკვეული რაოდენობის ნაწილები საწყობში. თუ, მაგალითად, საწყობში კიდევ 400 ნაწილია შემოტანილი, მაშინ საწყობში ნაწილების რაოდენობა გაიზრდება და რიცხვი 400 გამოხატავს რაოდენობის ამ ცვლილებას დადებითი მიმართულებით (ზემოთ). თუ, მაგალითად, საწყობიდან 100 ნაწილია აღებული, მაშინ საწყობში ნაწილების რაოდენობა შემცირდება, ხოლო რიცხვი 100 გამოხატავს რაოდენობის ცვლილებას უარყოფითი მიმართულებით (ქვევით). ნაწილები საწყობში არ შემოვა, საწყობიდან კი არ წაიღებენ ნაწილებს, მაშინ შეიძლება ვისაუბროთ ნაწილების რაოდენობის უცვლელობაზე (ანუ შეიძლება ვისაუბროთ რაოდენობის ნულოვანი ცვლილებაზე).

მოცემულ მაგალითებში, ნაწილების რაოდენობის ცვლილება შეიძლება აღწერილი იყოს 400, -100 და 0 მთელი რიცხვების გამოყენებით. დადებითი მთელი რიცხვი 400 მიუთითებს რაოდენობის დადებით ცვლილებაზე (გაზრდის). უარყოფითი მთელი რიცხვი -100 გამოხატავს რაოდენობის უარყოფით ცვლილებას (კლება). მთელი რიცხვი 0 მიუთითებს, რომ რაოდენობა უცვლელი დარჩა.

მთელი რიცხვების გამოყენების მოხერხებულობა ბუნებრივი რიცხვების გამოყენებასთან შედარებით არის ის, რომ თქვენ არ გჭირდებათ ცალსახად მიუთითოთ რიცხვი იზრდება თუ მცირდება - მთელი რიცხვი აფასებს ცვლილებას, ხოლო მთელი რიცხვის ნიშანი მიუთითებს ცვლილების მიმართულებაზე.

მთელ რიცხვებს ასევე შეუძლიათ გამოხატონ არა მხოლოდ რაოდენობის ცვლილება, არამედ რაოდენობის ცვლილებაც. მოდით გავუმკლავდეთ ამას ტემპერატურის ცვლილებების მაგალითის გამოყენებით.

ტემპერატურის მატება, ვთქვათ, 4 გრადუსით გამოიხატება როგორც დადებითი მთელი რიცხვი 4. ტემპერატურის შემცირება, მაგალითად, 12 გრადუსით შეიძლება აისახოს უარყოფითი მთელი რიცხვით -12. და ტემპერატურის მუდმივობა არის მისი ცვლილება, რომელიც განისაზღვრება მთელი რიცხვით 0.

ცალკე, უნდა ითქვას უარყოფითი მთელი რიცხვების, როგორც ვალის ოდენობის ინტერპრეტაციაზე. მაგალითად, თუ გვაქვს 3 ვაშლი, მაშინ დადებითი მთელი რიცხვი 3 მიუთითებს ჩვენს საკუთრებაში არსებული ვაშლების რაოდენობაზე. მეორეს მხრივ, თუ ვინმეს უნდა მივცეთ 5 ვაშლი და არ გვაქვს, მაშინ ეს სიტუაცია შეიძლება აღწერილი იყოს უარყოფითი მთელი რიცხვის გამოყენებით -5. ამ შემთხვევაში ჩვენ „გვაქვს“ −5 ვაშლი, მინუს ნიშანი მიუთითებს ვალზე, ხოლო ნომერი 5 ასახავს ვალს.

უარყოფითი მთელი რიცხვის, როგორც ვალის გაგება შესაძლებელს ხდის, მაგალითად, უარყოფითი მთელი რიცხვების დამატების წესის დასაბუთება. მოვიყვანოთ მაგალითი. თუ ვინმეს ემართება 2 ვაშლი ერთ ადამიანს და ერთი ვაშლი მეორეს, მაშინ მთლიანი დავალიანება არის 2 + 1 = 3 ვაშლი, ანუ −2 + (- 1) = - 3.

ბიბლიოგრაფია.

• Vilenkin N. Ya. და სხვა მათემატიკა. მე-6 კლასი: სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისთვის.

პირველად, უარყოფითი რიცხვების გამოყენება დაიწყეს ძველ ჩინეთსა და ინდოეთში, ევროპაში ისინი მათემატიკურ გამოყენებაში შეიტანეს ნიკოლას შუკემ (1484) და მაიკლ შტიფელმა (1544).

ალგებრული თვისებები

$\backslash \; mathbb\; (Z)$არ არის დახურული ორი მთელი რიცხვის გაყოფით (მაგალითად, 1/2). შემდეგი ცხრილი ასახავს შეკრებისა და გამრავლების რამდენიმე ძირითად თვისებას ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის. ა, ბდა გ.

| list5 = კარდინალური ნომრები - აუცილებლად საწოლზე გადაყვანაა საჭირო, აქ არანაირად არ იქნება შესაძლებელი...
პაციენტი ისე იყო გარშემორტყმული ექიმებით, პრინცესებითა და მსახურებით, რომ პიერმა ვეღარ დაინახა ის წითელ-ყვითელი თავი ნაცრისფერი მანეით, რომელიც, მიუხედავად იმისა, რომ სხვა სახეებს ხედავდა, მთელი სამსახურის განმავლობაში ერთი წუთითაც არ ტოვებდა მხედველობას. . პიერმა ხალხის ფრთხილად მოძრაობიდან გამოიცნო, რომლებიც სკამზე გარს ერტყა, რომ მომაკვდავ კაცს აწევდნენ და ატარებდნენ.
"ხელი მომიჭირე, ასე ჩამოაგდებ", - გაიგონა ერთ-ერთი მსახურის შეშინებული ჩურჩული, "ქვემოდან... კიდევ ერთი", - გაისმა ხმები, და მძიმე სუნთქვა და ფეხის ფეხის დადგმა. ხალხი უფრო აჩქარდა, თითქოს მათ ძალებს აღემატებოდა წონა...
მატარებლები, რომელთა შორის იყო ანა მიხაილოვნა, დაემორჩილნენ ახალგაზრდას და წამიერად, ხალხის ზურგიდან და თავების ზურგიდან დაინახა მაღალი, მსუქანი, გაშლილი მკერდი, პაციენტის მსუქანი მხრები. მაღლა ასწიეს ხალხმა, რომელსაც იგი იღლიებში ეჭირა და ნაცრისფერი ხუჭუჭა, ლომის თავი. ეს თავი უჩვეულოდ განიერი შუბლითა და ლოყებით, მშვენიერი გრძნობადი პირით და დიდებული ცივი მზერით, სიკვდილის სიახლოვეს არ უმახინჯებდა. ის ისეთივე იყო, როგორიც პიერმა სამი თვის წინ იცნობდა, როცა გრაფმა პეტერბურგში გაუშვა. მაგრამ ეს თავი უმწეოდ ქანაობდა მატარებლების უსწორმასწორო ნაბიჯებისგან და ცივმა, გულგრილი მზერამ არ იცოდა სად გაჩერებულიყო.
რამდენიმე წუთი გავიდა მაღალი საწოლის აურზაურთან; პაციენტის მატარებელი ხალხი დაიშალა. ანა მიხაილოვნამ პიერს ხელი შეახო და უთხრა: "ვენესი". [წადი.] პიერი მასთან ერთად წავიდა საწოლში, რომელზედაც, სადღესასწაულო პოზაში, როგორც ჩანს, ახლახან აღსრულებულ ზიარებასთან იყო დაკავშირებული, პაციენტი დაასვენეს. თავი მაღლა იწვა ბალიშებზე. მისი ხელები სიმეტრიულად იყო გაშლილი მწვანე აბრეშუმის საბანზე, ხელისგულები ქვემოთ. როდესაც პიერი მიუახლოვდა, გრაფი პირდაპირ უყურებდა მას, მაგრამ მან შეხედა ერთი მზერით, რომლის მნიშვნელობა და მნიშვნელობა ვერ გაეგო ადამიანს. ან ეს მზერა აბსოლუტურად არაფერს ამბობდა, გარდა იმისა, რომ სანამ თვალებია, სადმე უნდა გაიხედო, ან ძალიან ბევრი თქვა. პიერი გაჩერდა, არ იცოდა რა გაეკეთებინა, და კითხვით შეხედა თავის ლიდერს, ანა მიხაილოვნას. ანა მიხაილოვნამ თვალებით ნაჩქარევი ჟესტი მისცა, პაციენტის ხელზე ანიშნა და ტუჩებით კოცნა გაუგზავნა. პიერმა, გულმოდგინედ გაჭიმა კისერი ისე, რომ საბანზე არ დაეჭირა, მიჰყვა მის რჩევას და აკოცა ფართო ძვლიან და ხორციან ხელზე. გრაფის სახის არც ერთი ხელი და არც ერთი კუნთი არ აუკანკალდა. პიერმა კვლავ კითხვით შეხედა ანა მიხაილოვნას და ჰკითხა ახლა რა გაეკეთებინა. ანა მიხაილოვნამ თვალებით ანიშნა სავარძლისკენ, რომელიც საწოლთან იდგა. პიერმა მორჩილად დაიწყო სავარძელზე დაჯდომა, თვალები აგრძელებდა კითხვას, გააკეთა თუ არა ის, რაც საჭირო იყო. ანა მიხაილოვნამ მოწონების ნიშნად თავი დაუქნია. პიერმა კვლავ დაიკავა ეგვიპტური ქანდაკების სიმეტრიულად გულუბრყვილო პოზიცია, აშკარად მწუხარებას გამოთქვამს, რომ მისმა მოუხერხებელმა და მსუქანმა სხეულმა დაიკავა ასეთი დიდი სივრცე და გამოიყენა მთელი მისი გონებრივი ძალა, რომ რაც შეიძლება პატარა გამოჩენილიყო. გრაფს შეხედა. გრაფმა შეხედა იმ ადგილს, სადაც პიერის სახე იყო, როცა ის იდგა. ანა მიხაილოვნა თავის თანამდებობაზე აცნობიერებდა მამა-შვილის შეხვედრის ბოლო წუთს. ეს გაგრძელდა ორი წუთი, რაც პიერს ერთი საათი ეჩვენა. უეცრად გრაფის სახის დიდ კუნთებსა და ნაოჭებში კანკალი გაჩნდა. კანკალი გაუმძაფრდა, მისი მშვენიერი პირი დატრიალდა (მხოლოდ მაშინ მიხვდა პიერი, თუ რამდენად ახლოს იყო მამა სიკვდილთან), დახრილი პირიდან გაურკვეველი ხრინწიანი ხმა ისმოდა. ანა მიხაილოვნამ გულმოდგინედ შეხედა პაციენტს თვალებში და, ცდილობდა გამოეცნო, რა სჭირდებოდა, მიუთითა პიერზე, ახლა დალევა, ახლა ჩურჩულით კითხვით უწოდა პრინცი ვასილი, ახლა ანიშნა საბანზე. პაციენტის თვალები და სახე მოუთმენლობას გამოხატავდა. ცდილობდა დაეხედა მსახურს, რომელიც უფუჭოდ იდგა საწოლის თავთან.
”მათ უნდათ, რომ მეორე მხარეს გადააგდონ”, - ჩასჩურჩულა მსახურმა და ადგა, რათა გრაფის მძიმე სხეული კედლისკენ გადაებრუნებინა.
პიერი ადგა მსახურის დასახმარებლად.
გრაფის გადაბრუნებისას ერთი ხელი უმწეოდ დაეცა უკან და ამაო ღონე სცადა მის გადათრევაზე. შეამჩნია თუ არა გრაფმა საშინელება, რომლითაც პიერმა შეხედა ამ უსიცოცხლო ხელს, ან რა სხვა აზრმა გაუელვა მის მომაკვდავ თავში იმ წამს, მაგრამ მან შეხედა ურჩ ხელს, პიერის სახის საშინელებას, ისევ ხელზე და სახეზე სუსტი, ტანჯული ღიმილი, რომელიც არ სწვდებოდა მის თვისებებს, გამოხატავდა, თითქოსდა, დაცინვას საკუთარი უძლურების მიმართ. უეცრად, ამ ღიმილის დანახვაზე პიერმა მკერდში კანკალი იგრძნო, ცხვირში ჩხვლეტა და ცრემლებმა ხედვა დაუბინა. პაციენტი კედელთან გვერდით იყო მიბრუნებული. მან ამოისუნთქა.
”Il est assoupi, [ის დაიძინა]”, - თქვა ანა მიხაილოვნამ და შენიშნა პრინცესა, რომელიც მას ცვლიდა. - ალონსი. [Წავიდეთ.]
პიერი გარეთ გავიდა.