11-ზე გაყოფის თვისება. გაყოფის ძირითადი ნიშნები

ეს მასალა ეძღვნება ასეთ კონცეფციას, როგორც 2-ზე გაყოფის ნიშანს. პირველ აბზაცში ჩვენ ჩამოვაყალიბებთ მას და მოვიყვანთ მაგალითებს - დავალებებს, რომლებშიც უნდა გაარკვიოთ არის თუ არა კონკრეტული რიცხვი 2-ზე. შემდეგ ჩვენ დავამტკიცებთ ამ მახასიათებელს და ავხსნით, რა სხვა მეთოდები არსებობს გამონათქვამების მნიშვნელობად მოცემულ ორ რიცხვზე გაყოფის დასადგენად.

2-ზე გაყოფის ტესტის ფორმულირება და მაგალითები

უკეთ რომ გავიგოთ რა არის გაყოფის ნიშნები, უნდა გაიმეოროთ მთელი რიცხვების გაყოფასთან დაკავშირებული თემა. ძირითადი კონცეფციის განმარტება ასე გამოიყურება:

განმარტება 1

მთელი რიცხვი, რომელიც მთავრდება 8-ით, 6-ით, 4-ით, 2-ით და 0-ით, ნაშთის გარეშე შეიძლება გაიყოს 2-ზე. თუ რიცხვის ბოლოს არის რიცხვი 9, 7, 5, 3 ან 1, მაშინ ასეთ რიცხვს არ აქვს გაყოფა 2-ზე.

ამ მახასიათებლის დახმარებით შესაძლებელია გამოვლინდეს არა მხოლოდ მთლიანი პოზიტიური (ბუნებრივი), არამედ მთელის გაყოფა. უარყოფითი რიცხვი, რადგან ისინიც შეიძლება გაიყოს 2-ზე ნაშთის გარეშე.

მოდით მოვიყვანოთ პრობლემების დროს ფუნქციის გამოყენების რამდენიმე მაგალითი.

მაგალითი 1

მდგომარეობა:დაადგინეთ 8 , - 946 , 53 , 10 900 , - 988 123 761 რიცხვებიდან რომელი შეიძლება დაიყოს ორად.

გამოსავალი

რა თქმა უნდა, ჩვენ შეგვიძლია უბრალოდ გავყოთ ყველა ეს რიცხვი ორზე სვეტში და შევამოწმოთ არის თუ არა ნაშთი ბოლოს. მაგრამ იცოდეთ ორზე გაყოფის ნიშანი, შეგიძლიათ ამ პრობლემის მოგვარება ბევრად უფრო სწრაფად.

ჩამოთვლილი რიცხვებიდან სამს, კერძოდ 8-ს, - 946-ს და 10 900-ს, ბოლოში აქვს რიცხვები 8, 6 და 0, რაც ნიშნავს, რომ მათი გაყოფა 2-ზე შესაძლებელია.

დარჩენილი რიცხვები (53 და - 988 123 761) მთავრდება 3-ით და 1-ით, რაც ნიშნავს, რომ ისინი მთლიანად არ იყოფა ორზე.

პასუხი: 8, − 946 და 10 900 შეიძლება გაიყოს ორზე, მაგრამ ყველა სხვა მოცემული რიცხვი არ შეიძლება.

ეს ფუნქცია ფართოდ გამოიყენება იმ პრობლემებში, სადაც საჭიროა რიცხვის დაშლა პირველ ფაქტორებად. მოდი მოვაგვაროთ ერთი ასეთი მაგალითი.

მაგალითი 2

მდგომარეობა: 352-ის ფაქტორიზაცია პირველ ფაქტორებად.

გამოსავალი

ვინაიდან თავდაპირველი რიცხვის ბოლო ციფრი არის 2, მაშინ გაყოფის კრიტერიუმის მიხედვით შეგვიძლია ის ორად გავყოთ ნაშთის გარეშე. მოდით გავაკეთოთ ეს: 352: 2 = 176 და 352 = 2 176. შედეგად მიღებული რიცხვი 176 ასევე იყოფა ორზე: 176: 2 \u003d 88 და 176 \u003d 2 88. ეს რიცხვი ასევე შეიძლება დაიყოს: 88: 2 \u003d 44, 88 \u003d 2 44 და 352 \u003d 2 2 88 \u003d 2 2 2 44. ჩვენ ვაგრძელებთ გაფართოებას: 44: 2 \u003d 22 და 44 \u003d 2 22, შესაბამისად, 352 \u003d 2 2 2 44 \u003d 2 2 2 2 22; შემდეგ 22: 2 = 11, საიდანაც 22 = 2 11 და 352 = 2 2 2 2 22 = 2 2 2 2 2 11. ბოლოს მივაღწიეთ რიცხვს, რომელიც არ იყოფა 2-ზე. მარტივი რიცხვების ცხრილი გვეუბნება, რომ ეს რიცხვი მარტივია, ასე რომ, აქ მთავრდება ფაქტორიზაცია.

პასუხი: 352 = 2 2 2 2 2 2 11 .

რიცხვების ლუწი და კენტებად დაყოფა ეფუძნება ზუსტად იმას, იყოფა თუ არა ისინი 2-ზე. გაყოფის ამ ნიშნის ცოდნა, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ ყველა ლუწი რიცხვი მთავრდება 0, 2, 4, 6 ან 8 რიცხვით, ხოლო ყველა უცნაური რიცხვი - 1, 3, 5, 7 ან 9.

როგორ შეგიძლიათ დაამტკიცოთ ტესტი 2-ზე გასაყოფად

სანამ უშუალოდ ამ მახასიათებლის დადასტურებაზე გადავიდოდეთ, საჭიროა დავამტკიცოთ დამატებითი მტკიცება. იგი ჩამოყალიბებულია ასე:

განმარტება 2

ყველა ნატურალური რიცხვი, რომელიც მთავრდება ნულით, შეიძლება დაიყოს ორზე ნაშთის გარეშე.

ნატურალური რიცხვის 10-ზე გამრავლების წესის გამოყენებით შეგვიძლია გამოვსახოთ გარკვეული რიცხვი a = a 1 · 10 . ნომერი a 1თავის მხრივ, მიიღება a-დან, თუ მისგან ბოლო ციფრი ამოღებულია.

აი ასეთი მოქმედების მაგალითები: 470 = 47 10, სადაც a = 470 და a 1 = 47; ან 38 010 10, აქ a = 380 100 და 1 = 38 010. ამ პროდუქტის მეორე ფაქტორი (10) შეიძლება გაიყოს 2-ზე, ამიტომ მთელი პროდუქტი შეიძლება გაიყოს 2-ზე. ეს განცხადება ეფუძნება გასაყოფადობის შესაბამის თვისებას.

ჩვენ მივმართავთ ტესტის მტკიცებულებას 2-ზე გაყოფისთვის. უფრო მოსახერხებელი რომ იყოს, წარმოგიდგენთ თეორემად, ე.ი. როგორც მთელი რიცხვის ორზე გასაყოფად აუცილებელი და საკმარისი პირობა.

თეორემა 1

a მთელი რიცხვის ორზე გასაყოფად აუცილებელი და საკმარისი პირობაა, რომ ბოლო ციფრი იყოს 0 , 2 , 4 , 6 ან 8 .

მტკიცებულება 1

როგორ დავამტკიცოთ ეს განცხადება? პირველ რიგში, წარმოვიდგინოთ საწყისი რიცხვი a, როგორც ათეულებისა და ერთეულების ჯამი, ე.ი. დავწეროთ როგორც a = a 1 10 + a 0 . აქ 1 იქნება რიცხვი, რომელიც წარმოიქმნება a-დან, როდესაც ბოლო ციფრი ამოღებულია, და 0 შეესაბამება ამ რიცხვის ბოლო ციფრს (გამოსახულებები 49 = 4 10 + 9 , 28 378 = 2 837 10 + 8 ასევე შეიძლება იყოს მაგალითი. ასეთი წარმოდგენა). მუშაობა 1 10, აღებული ტოლობიდან a = a 1 · 10 + a 0 , ყოველთვის იყოფა ორზე, რაც ნაჩვენებია ამ თეორემის გამოყენებით.

დანარჩენი მტკიცებულება ეყრდნობა გაყოფის გარკვეულ თვისებას, კერძოდ: თუ გვაქვს სამი რიცხვი, რომლებიც ქმნიან განტოლებას t = u + v და ორი მათგანი იყოფა მთელ z რიცხვზე, მაშინ მესამე რიცხვი ასევე შეიძლება დაიყოს. ზ .

თუ a შეიძლება გაიყოს ორზე, მაშინ ამ თვისების მიხედვით, ისევე როგორც a \u003d a 1 10 + a 0, რიცხვი a 0 გაიყოფა ორზე და ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ 0 \u003d 0 , 2, 4, 6 ან 8.

ხოლო თუ a არ იყოფა 2-ზე, მაშინ იგივე თვისებიდან გამომდინარე, რიცხვი a 0არ დაიყოფა არც 2-ზე, რაც შესაძლებელია მხოლოდ მაშინ, როდესაც 0 ​​= 1, 3, 5, 7 ან 9. ეს არის აუცილებლობის აუცილებელი მტკიცებულება.

ახლა მოდით შევხედოთ საპირისპირო სიტუაციას. თუ გვაქვს რიცხვი a, რომლის ბოლო ციფრია 0, 2, 4, 6 ან 8, მაშინ a 0იყოფა 2 . განსაზღვრული გაყოფის თვისება და წარმომადგენლობა a = a1 10 + a0საშუალებას გვაძლევს დავასკვნათ, რომ a იყოფა 2 . თუ a-ს აქვს ბოლო ციფრი 1, 3, 5, 7 ან 9, მაშინ 0 არ იყოფა 2 , ასე რომ a ასევე არ იყოფა 2 , წინააღმდეგ შემთხვევაში, წარმოდგენა a = a 1 10 + a 0 იყოფა 2 , რაც შეუძლებელია. მდგომარეობის საკმარისობა დადასტურებულია.

დასასრულს, ჩვენ აღვნიშნავთ, რომ რიცხვები ბოლო ციფრით 1, 3, 5, 7 ან 9, როდესაც იყოფა ორზე, ყოველთვის იძლევა ერთის ნარჩენს.

ავიღოთ შემთხვევა, როდესაც მოცემული რიცხვი მთავრდება რომელიმე ამ ციფრით. მაშინ ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ a, როგორც a = b + 1, სადაც b აქვს 0, 2, 4, 6 ან 8, როგორც მისი ბოლო ციფრი. მიერ გაყოფადობის კრიტერიუმის ძალით 2 რიცხვი b შეიძლება დაიყოს 2 , მაშასადამე, გაყოფის განმარტებით, ის ასევე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც b = 2 · q , სადაც q იქნება გარკვეული მთელი რიცხვი. მივიღეთ, რომ a = 2 q + 1. ეს წარმოდგენა გვიჩვენებს, რომ a რიცხვის გაყოფისას 2 შედეგი არის არასრული კოეფიციენტი q და ნაშთი 1 (საჭიროების შემთხვევაში ხელახლა წაიკითხეთ სტატია მთელი რიცხვების ნაშთით გაყოფის შესახებ).

2-ზე გაყოფის დადგენის სხვა შემთხვევები

ამ აბზაცში ჩვენ გავაანალიზებთ იმ შემთხვევებს, როდესაც რიცხვი, რომლის გაყოფაც 2-ზე უნდა განისაზღვროს, არ არის მოცემული პირდაპირ, მაგრამ განისაზღვრება სიტყვასიტყვითი გამოხატვის გარკვეული მნიშვნელობით. აქ ჩვენ ვერ გამოვიყენებთ ზემოთ მოცემულ ნიშანს და ასევე შეუძლებელია ამ გამოთქმის პირდაპირ გაყოფა 2-ზე. ასე რომ, ჩვენ უნდა ვიპოვოთ სხვა გამოსავალი.

არსებობს ასეთი ამოცანების გადაჭრის მიდგომა, რომელიც ეფუძნება გაყოფის შემდეგ თვისებას: მთელი რიცხვების ნამრავლი შეიძლება დაიყოს გარკვეულ რიცხვზე, როდესაც მასზე ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც იყოფა. მაშასადამე, თუ ჩვენ შეგვიძლია გადავიყვანოთ ლიტერატურული გამოხატულება ცალკეული ფაქტორების ნამრავლად, რომელთაგან ერთი იყოფა ორზე, მაშინ შესაძლებელი იქნება დავამტკიცოთ, რომ თავდაპირველი გამოხატულება ასევე იყოფა 2-ზე.

მოცემული გამოხატვის გარდაქმნისთვის შეგვიძლია გამოვიყენოთ ნიუტონის ბინომიალური ფორმულა. მოდით შევხედოთ ასეთ ამოცანას.

მაგალითი 3

მდგომარეობა:დაადგინეთ, შეიძლება თუ არა 3 n + 4 n-1 გამოხატვის მნიშვნელობა 2-ზე გაიყოს ზოგიერთი ბუნებრივი n-ისთვის.

გამოსავალი

ჯერ ჩამოვწეროთ აშკარა ტოლობა 3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 . ახლა ვიღებთ ნიუტონის ბინომიურ ფორმულას, გამოვიყენებთ მას და ვამარტივებთ იმას, რაც მივიღეთ:

3 n + 4 n - 1 = 2 + 1 n + 4 n - 1 = = C n 0 2 n + C n 1 2 n - 1 1 + ⋯ + C n n - 2 2 2 + 1 n - 2 + C n n 2 + 1 n - 1 + C n n 1 n + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + n 2 + 1 + + 4 n - 1 = 2 n + C n 1 2 n - 1 + … + C n n - 2 2 2 + 6 n

ბოლო ტოლობაში ვიღებთ ფრჩხილებიდან ორს და ვიღებთ შემდეგ ტოლობას:

3 n + 4 n - 1 = 2 2 n - 1 + C n 1 2 n - 2 + … + C n n - 2 2 + 3 n

ამ ტოლობაში, თქვენ შეგიძლიათ გაყოთ მარჯვენა მხარე ორზე n-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის, რადგან იქ არის 2-ის ტოლი ფაქტორი. ვინაიდან გამონათქვამებს შორის არის ტოლობის ნიშანი, შეგიძლიათ გაყოთ 2-ზე მარცხენა მხარესაც.

პასუხი:ეს გამოთქმა შეიძლება დაიყოს 2-ზე.

ხშირად, გაყოფა შეიძლება დადასტურდეს მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით. ავიღოთ იგივე გამოთქმა, როგორც ზემოთ მოცემულ მაგალითში და ვაჩვენოთ როგორ გამოვიყენოთ ეს მეთოდი პრაქტიკაში.

მაგალითი 4

მდგომარეობა:გაარკვიეთ, იყო თუ არა გამოხატულება 3 n + 4 n - 1 2-ზე n-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის.

გამოსავალი

ჩვენ ვიყენებთ მათემატიკურ ინდუქციას. ჯერ დავამტკიცოთ, რომ გამოთქმის მნიშვნელობა 3 n + 4 n - 1, რომლის n ტოლია ერთი, შეიძლება გაიყოს 2-ზე. ვიღებთ 3 1 + 4 1 - 1 \u003d 6, ექვსი იყოფა ორზე ნაშთის გარეშე. Განაგრძე. ავიღოთ n ტოლი k და დავუშვათ, რომ 3 k + 4 k - 1 იყოფა ორზე.

ამ ვარაუდის გამოყენებით ვამტკიცებთ, რომ 3 n + 4 n - 1 შეიძლება გაიყოს 2-ზე, თუ ეს შესაძლებელია 3 k + 4 k - 1-ისთვის. ამის დასამტკიცებლად საჭიროა რამდენიმე ტრანსფორმაციის განხორციელება.

3 3 k + 4 k - 1 იყოფა ორზე, რადგან ეს შესაძლებელია 3 k + 4 k - 1-ისთვის, გამოთქმა 2 4 k - 3 ასევე შეიძლება გაიყოს 2-ზე, რადგან მას აქვს 2-ის კოეფიციენტი, რაც ნიშნავს რომ ამ ორი გამონათქვამის სხვაობა ასევე იყოფა 2-ზე, რაც აიხსნება გაყოფის შესაბამისი თვისებით.

უპასუხე: გამოთქმა 3 n + 4 n - 1 იყოფა 2-ზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის .

ცალ-ცალკე ვისაუბროთ იმ შემთხვევაზე, როდესაც ნამრავლში ერთმანეთის გვერდით არის ორი რიცხვი, რომლებიც ერთმანეთს მიჰყვებიან რიცხვთა ნატურალურ სერიებში. ასეთი ნაწარმოებიც ორად იყოფა.

მაგალითი 5

მაგალითად, ისეთი გამოხატულება, როგორიცაა (n + 7) (n - 1) (n + 2) (n + 6) იყოფა 2-ზე n-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის, რადგან ის შეიცავს რიცხვებს, რომლებიც ერთმანეთის მიყოლებით მიჰყვებიან ბუნებრივ სერიებში. არის n + 6 და n + 7 .

ანალოგიურად, თუ არსებობს ორი ფაქტორი, რომელთა შორის არის ბუნებრივი სერიის წევრების ლუწი რაოდენობა, პროდუქტი შეიძლება გაიყოს 2-ზე. ამრიგად, მნიშვნელობა (n + 1) (n + 6) იყოფა ორზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის, რადგან n + 5-სა და n + 6-ს შორის არის რიცხვების ლუწი რაოდენობა: n + 2, n + 3, n + 4 და n + 5.

მოდით გავაერთიანოთ ყველაფერი, რაზეც წინა აბზაცებში ვისაუბრეთ. თუ შეიძლება აჩვენოს, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა იყოფა ორზე, როდესაც n = 2 მ, ასევე ზე n = 2 მ + 1და თვითნებური მთელი რიცხვი m, მაშინ ეს იქნება იმის დასტური, რომ ორიგინალური გამოხატულება იყოფა 2-ზე n-ის ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის.

მაგალითი 6

მდგომარეობა:შეამოწმეთ, იყო თუ არა გამოხატულება 2-ზე n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 n-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობებისთვის.

გამოსავალი

პირველი, ჩვენ წარმოვადგენთ ამ გამონათქვამს, როგორც ნამრავლი (n + 2) 2 · (n + 3) . საჭიროების შემთხვევაში, გაიმეორეთ პოლინომის სწორად ფაქტორიზაცია. გვაქვს ორი მულტიპლიკატორი n + 2და n + 3, რომელიც შეესაბამება რიცხვებს, ახლოს დგასბუნებრივ სერიაში. ნებისმიერ შემთხვევაში, ერთ-ერთი მათგანი იყოფა 2-ზე, რაც ნიშნავს, რომ მთელი ნამრავლი ასევე იყოფა 2-ზე. იგივე ეხება ორიგინალურ გამონათქვამს.

ამ პრობლემას სხვა გამოსავალი აქვს. თუ n = 2 მ, შემდეგ n + 2 2 n + 3 = 2 m + 2 2 2 m + 2 2 = 4 m + 1 2 2 m + 3 . აქ არის ოთხი კოეფიციენტი, რის გამოც მთელი ნამრავლი გაიყოფა 2-ზე.

თუ n = 2 მ + 1, ეს

(n + 2) 2 n + 3 = 2 მ + 1 + 2 2 2 მ + 1 + 3 = 2 მ + 3 2 2 მ + 4 = = 2 მ + 3 2 2 2

აქ არის კოეფიციენტი 2, რაც ნიშნავს, რომ მთელ პროდუქტს აქვს გაყოფა 2-ზე.

პასუხი:ეს იმის დასტურია, რომ გამოთქმა n 3 + 7 n 2 + 16 n + 12 = (n + 2) 2 (n + 3)შეიძლება გაიყოს ორზე n-ის ნებისმიერი ბუნებრივი მნიშვნელობისთვის.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

დავიწყოთ თემის „3-ზე გაყოფის ნიშანი“ განხილვა. დავიწყოთ ნიშნის ფორმულირებით, მივცეთ თეორემის დადასტურება. შემდეგ განვიხილავთ ძირითად მიდგომებს 3 რიცხვზე გაყოფის დასადგენად, რომელთა მნიშვნელობა მოცემულია გარკვეული გამოსახულებით. განყოფილებაში მოცემულია ძირითადი ტიპის ამოცანების ამოხსნის ანალიზი 3-ზე გაყოფის კრიტერიუმის გამოყენების საფუძველზე.

3-ზე გაყოფის ნიშანი, მაგალითები

სამზე გაყოფის ნიშანი ჩამოყალიბებულია მარტივად: მთელი რიცხვი ნაშთების გარეშე გაიყოფა სამზე, თუ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე. თუ მთელი რიცხვის შემადგენელი ყველა ციფრის ჯამური მნიშვნელობა არ იყოფა 3-ზე, მაშინ თავად თავდაპირველი რიცხვი არ იყოფა 3-ზე. თქვენ შეგიძლიათ მიიღოთ მთელი რიცხვის ყველა ციფრის ჯამი ნატურალური რიცხვების მიმატებით.

ახლა მოდით შევხედოთ 3-ზე გაყოფის კრიტერიუმის გამოყენების მაგალითებს.

მაგალითი 1

42 იყოფა სამზე?

გამოსავალი

ამ კითხვაზე პასუხის გასაცემად, მოდით შევკრიბოთ ყველა რიცხვი, რომლებიც ქმნიან რიცხვს - 42: 4 + 2 = 6.

პასუხი:გაყოფის კრიტერიუმის მიხედვით, ვინაიდან თავდაპირველი რიცხვის აწევაში შემავალი ციფრების ჯამი იყოფა სამზე, მაშინ თავად საწყისი რიცხვი იყოფა 3-ზე.

იმისთვის, რომ ვუპასუხოთ კითხვას, იყო თუ არა რიცხვი 0 3-ზე, გვჭირდება გაყოფის თვისება, რომლის მიხედვითაც ნული იყოფა ნებისმიერ მთელ რიცხვზე. გამოდის, რომ ნული იყოფა სამზე.

არის პრობლემები, რომელთა გადასაჭრელადაც საჭიროა რამდენჯერმე მივმართოთ 3-ზე გაყოფის კრიტერიუმს.

მაგალითი 2

აჩვენე ეს ნომერი 907 444 812 იყოფა 3-ზე.

გამოსავალი

მოდი ვიპოვოთ ყველა იმ ციფრის ჯამი, რომელიც ქმნის თავდაპირველი რიცხვის ჩანაწერს: 9 + 0 + 7 + 4 + 4 + 4 + 8 + 1 + 2 = 39 . ახლა ჩვენ უნდა განვსაზღვროთ რიცხვი 39 იყოფა თუ არა 3-ზე. კიდევ ერთხელ დაამატეთ რიცხვები, რომლებიც ქმნიან ამ რიცხვს: 3 + 9 = 12 . ჩვენთვის რჩება კვლავ განვახორციელოთ რიცხვების შეკრება საბოლოო პასუხის მისაღებად: 1 + 2 = 3 . რიცხვი 3 იყოფა 3-ზე

პასუხი:ორიგინალური ნომერი 907 444 812 ასევე იყოფა 3-ზე.

მაგალითი 3

იყოფა 3-ზე? − 543 205 ?

გამოსავალი

მოდით გამოვთვალოთ იმ ციფრების ჯამი, რომლებიც ქმნიან თავდაპირველ რიცხვს: 5 + 4 + 3 + 2 + 0 + 5 = 19 . ახლა გამოვთვალოთ მიღებული რიცხვის ციფრების ჯამი: 1 + 9 = 10 . საბოლოო პასუხის მისაღებად ვიპოვოთ კიდევ ერთი დამატების შედეგი: 1 + 0 = 1 .
პასუხი: 1 არ იყოფა 3-ზე, ამიტომ თავდაპირველი რიცხვიც არ იყოფა 3-ზე.

იმისათვის, რომ დავადგინოთ არის თუ არა მოცემული რიცხვი 3-ზე ნაშთის გარეშე, შეგვიძლია მოცემული რიცხვი გავყოთ 3-ზე. რიცხვს თუ გავყოფთ − 543 205 ზემოთ მოყვანილი მაგალითიდან სამი სვეტით, მაშინ პასუხში არ მივიღებთ მთელ რიცხვს. ესეც ზუსტად იმას ნიშნავს − 543 205 არ იყოფა 3-ზე.

3-ზე გაყოფის ტესტის დადასტურება

აქ გვჭირდება შემდეგი უნარები: რიცხვის ციფრებად დაშლა და 10-ზე, 100-ზე გამრავლების წესი და ა.შ. მტკიცებულების განსახორციელებლად, უნდა მივიღოთ ფორმის a რიცხვის გამოსახულება , სად a n , a n − 1 , … , a 0- ეს ის რიცხვებია, რომლებიც ნომრის აღნიშვნაში მდებარეობენ მარცხნიდან მარჯვნივ.

აქ არის მაგალითი კონკრეტული ნომრის გამოყენებით: 528 = 500 + 20 + 8 = 5 100 + 2 10 + 8.

დავწეროთ ტოლობების სერია: 10 = 9 + 1 = 3 3 + 1, 100 = 99 + 1 = 33 3 + 1, 1000 = 999 + 1 = 333 3 + 1 და ასე შემდეგ.

ახლა მოდით ჩავანაცვლოთ ეს ტოლობები 10, 100 და 1000-ის ნაცვლად ადრე მოცემულ ტოლობებში a = a n 10 n + a n - 1 10 n - 1 + … + a 2 10 2 + a 1 10 + a 0.

ასე რომ, ჩვენ მივედით თანასწორობამდე:

a = a n 10 n + … + a 2 100 + a 1 10 + a 0 = = a n 33 . . . . 3 3 + 1 + … + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0

ახლა ჩვენ ვიყენებთ შეკრების თვისებებს და ნატურალური რიცხვების გამრავლების თვისებებს, რათა მიღებული ტოლობა შემდეგნაირად გადავწეროთ:

a = a n 33 . . . 3 3 + 1 + . . . + + a 2 33 3 + 1 + a 1 3 3 + 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + a n + . . . + + 3 33 a 2 + a 2 + 3 3 a 1 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + . . . + + 3 33 a 2 + 3 3 a 1 + + a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 = = 3 33 . . . 3 a n + … + 33 a 2 + 3 a 1 + + a n + . . . + a2 + a1 + a0

გამოხატვა a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 არის საწყისი რიცხვის a რიცხვების ჯამი. მოდით შემოვიტანოთ მისთვის ახალი მოკლე აღნიშვნა ა. ვიღებთ: A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 .

ამ შემთხვევაში, რიცხვის წარმოდგენა არის a = 3 33. . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 + A იღებს ფორმას, რომელიც ჩვენთვის მოსახერხებელი იქნება სამზე გაყოფის ტესტის დასამტკიცებლად.

განმარტება 1

ახლა გახსოვდეთ გაყოფის შემდეგი თვისებები:

• აუცილებელი და საკმარისი პირობა, რომ a მთელი რიცხვი იყოფა მთელ რიცხვზე
  b , არის მდგომარეობა, რომლითაც a რიცხვის მოდული იყოფა b რიცხვის მოდულზე;
• თუ თანასწორობაში a = s + tყველა წევრი, გარდა ერთისა, იყოფა რომელიმე მთელ რიცხვზე b, მაშინ ეს ერთი წევრი ასევე იყოფა b-ზე.

ჩვენ ჩავუყარეთ საფუძველი სამზე გაყოფის ტესტის დამტკიცებას. ახლა ეს კრიტერიუმი თეორემის სახით ჩამოვაყალიბოთ და დავამტკიცოთ.

თეორემა 1

იმისათვის, რომ დავამტკიცოთ, რომ მთელი რიცხვი a იყოფა 3-ზე, ჩვენთვის აუცილებელი და საკმარისია, რომ ციფრების ჯამი, რომლებიც ქმნიან a რიცხვის ჩანაწერს, იყოფა 3-ზე.

მტკიცებულება 1

თუ ავიღებთ მნიშვნელობას a = 0, მაშინ თეორემა აშკარაა.

თუ ავიღებთ რიცხვს a ნულის გარდა, მაშინ a-ს აბსოლუტური მნიშვნელობა იქნება ნატურალური რიცხვი. ეს საშუალებას გვაძლევს დავწეროთ შემდეგი თანასწორობა:

a = 3 33 . . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 + A , სადაც A = a n + . . . + a 2 + a 1 + a 0 - a რიცხვის ციფრების ჯამი.

ვინაიდან მთელი რიცხვების ჯამი და ნამრავლი არის მთელი რიცხვი, მაშინ
33 . . . 3 a n + . . . + 33 · a 2 + 3 · a 1 არის მთელი რიცხვი, მაშინ გაყოფადობის განსაზღვრებით ნამრავლი არის 3 · 33. . . 3 a n + . . . + 33 a 2 + 3 a 1 იყოფა 3 ნებისმიერისთვის a 0, a 1,…, a n.

თუ რიცხვის ციფრების ჯამი აიყოფა 3 , ანუ აიყოფა 3 , მაშინ, თეორემამდე მითითებული გაყოფის თვისების მიხედვით, a იყოფა 3 , შესაბამისად, აიყოფა 3 . ეს ადასტურებს საკმარისობას.

თუ აიყოფა 3 , მაშინ a იყოფა 3 , მაშინ, გაყოფის იგივე თვისების გამო რიცხვი
აიყოფა 3 , ანუ რიცხვის ციფრების ჯამი აიყოფა 3 . ეს ადასტურებს აუცილებლობას.

მიერ გაყოფის სხვა შემთხვევები 3

მთელი რიცხვები შეიძლება იყოს მოცემული, როგორც ზოგიერთი გამონათქვამის მნიშვნელობა, რომელიც შეიცავს ცვლადს, მოცემული ცვლადის გარკვეული მნიშვნელობის გათვალისწინებით. ასე რომ, ზოგიერთი ბუნებრივი n-სთვის, 4 n + 3 n - 1 გამოხატვის მნიშვნელობა ნატურალური რიცხვია. ამ შემთხვევაში, პირდაპირი გაყოფა 3 ვერ გაგვცემს პასუხს კითხვაზე, იყო თუ არა რიცხვი 3 . გაყოფის ტესტის გამოყენება 3 ასევე შეიძლება რთული იყოს. განვიხილოთ ასეთი პრობლემების მაგალითები და გაანალიზეთ მათი გადაჭრის მეთოდები.

ასეთი პრობლემების გადასაჭრელად შეიძლება რამდენიმე მიდგომის გამოყენება. ერთი მათგანის არსი შემდეგია:

• წარმოადგინოს ორიგინალური გამოხატულება, როგორც რამდენიმე ფაქტორის პროდუქტი;
• გაარკვიეთ, შეიძლება თუ არა ერთ-ერთი ფაქტორი მაინც დაიყოს 3 ;
• გაყოფის თვისებიდან გამომდინარე, ჩვენ ვასკვნით, რომ მთელი პროდუქტი იყოფა 3 .

ამოხსნის პროცესში ხშირად გვიწევს ნიუტონის ბინომიალური ფორმულის გამოყენება.

მაგალითი 4

4 n + 3 n - 1 გამოხატვის მნიშვნელობა იყოფა? 3 ნებისმიერი ბუნებრივი ნ?

გამოსავალი

დავწეროთ ტოლობა 4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 . ჩვენ ვიყენებთ ნიუტონის ბინომის ფორმულას:

4 n + 3 n - 4 = (3 + 1) n + 3 n - 4 = = (C n 0 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + + C n n - 2 3 2 1 n - 2 + C n n - 1 3 1 n - 1 + C n n 1 n) + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + n 3 + 1 + + 3 n - 4 = = 3 n + C n 1 3 n - 1 1 + . . . + C n n - 2 3 2 + 6 n - 3

ახლა ავიღოთ 3 ფრჩხილების გარეთ: 3 3 n - 1 + C n 1 3 n - 2 + . . . + C n n - 2 3 + 2 n - 1 . შედეგად მიღებული პროდუქტი შეიცავს მულტიპლიკატორს 3 , და ფრჩხილებში გამოსახულების მნიშვნელობა ბუნებრივი n-სთვის არის ნატურალური რიცხვი. ეს საშუალებას გვაძლევს დავამტკიცოთ, რომ მიღებული პროდუქტი და ორიგინალური გამოხატულება 4 n + 3 n - 1 იყოფა 3 .

პასუხი:დიახ.

ასევე შეგვიძლია გამოვიყენოთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდი.

მაგალითი 5

დაამტკიცეთ მათემატიკური ინდუქციის მეთოდის გამოყენებით, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი
n გამოთქმის მნიშვნელობა n n 2 + 5 იყოფა 3 .

გამოსავალი

იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა n n 2 + 5 for n=1: 1 1 2 + 5 = 6 . 6 იყოფა 3 .

ახლა დავუშვათ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა n n 2 + 5 for n=kიყოფა 3 . ფაქტობრივად, ჩვენ მოგვიწევს მუშაობა გამონათქვამთან k · k 2 + 5 , რომელიც ჩვენ ველოდებით, რომ იყოფა 3 .

იმის გათვალისწინებით, რომ k k 2 + 5 იყოფა 3 , ვაჩვენოთ, რომ გამოხატვის მნიშვნელობა n n 2 + 5 for n=k+1იყოფა 3 , ანუ ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ k + 1 k + 1 2 + 5 იყოფა 3 .

მოდით გავაკეთოთ ტრანსფორმაციები:

k + 1 k + 1 2 + 5 = = (k + 1) (k 2 + 2 k + 6) = = k (k 2 + 2 k + 6) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5 + 2 k + 1) + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + k 2 k + 1 + k 2 + 2 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + 3 k + 6 = = k (k 2 + 5) + 3 k 2 + k + 2

გამოთქმა k (k 2 + 5) იყოფა 3 და გამოთქმა 3 k 2 + k + 2 იყოფა 3 , ამიტომ მათი ჯამი იყოფა 3 .

ასე რომ, ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ n (n 2 + 5) გამოხატვის მნიშვნელობა იყოფა 3 ნებისმიერი ბუნებრივი ნ.

ახლა გავაანალიზოთ გაყოფადობის მტკიცებულების მიდგომა 3 , რომელიც ეფუძნება მოქმედებების შემდეგ ალგორითმს:

• ჩვენ ვაჩვენებთ, რომ ამ გამოხატვის მნიშვნელობა n ცვლადით n = 3 m , n = 3 m + 1 და n = 3 მ + 2, სად მარის თვითნებური მთელი რიცხვი, რომელიც იყოფა 3 ;
• ჩვენ ვასკვნით, რომ გამონათქვამი იყოფა 3 ნებისმიერი მთელი რიცხვისთვის n.

იმისათვის, რომ ყურადღება არ მივიტანოთ უმნიშვნელო დეტალებისგან, ამ ალგორითმს ვიყენებთ წინა მაგალითის ამოხსნაზე.

მაგალითი 6

აჩვენეთ, რომ n (n 2 + 5) იყოფა 3 ნებისმიერი ბუნებრივი ნ.

გამოსავალი

მოდი ვიჩვენოთ, რომ n = 3 მ. შემდეგ: n n 2 + 5 = 3 მ 3 მ 2 + 5 = 3 მ 9 მ 2 + 5. ჩვენ მიერ მიღებული პროდუქტი შეიცავს მულტიპლიკატორს 3 ასე რომ, თავად პროდუქტი იყოფა 3 .

მოდი ვიჩვენოთ, რომ n = 3 მ + 1. შემდეგ:

n n 2 + 5 = 3 მ 3 მ 2 + 5 = (3 მ + 1) 9 მ 2 + 6 მ + 6 = = 3 მ + 1 3 (2 მ 2 + 2 მ + 2)

ჩვენ მიერ მიღებული პროდუქტი იყოფა 3 .

დავუშვათ, რომ n = 3 · m + 2 . შემდეგ:

n n 2 + 5 = 3 მ + 1 3 მ + 2 2 + 5 = 3 მ + 2 9 მ 2 + 12 მ + 9 = = 3 მ + 2 3 3 მ 2 + 4 მ + 3

ეს ნამუშევარი ასევე იყოფა 3 .

პასუხი:ჩვენ დავამტკიცეთ, რომ გამონათქვამი n n 2 + 5 იყოფა 3 ნებისმიერი ბუნებრივი ნ.

მაგალითი 7

დაყოფილია თუ არა 3 გამოხატვის მნიშვნელობა 10 3 n + 10 2 n + 1 ზოგიერთი ბუნებრივი n-სთვის.

გამოსავალი

მოდი ვიჩვენოთ, რომ n=1. ჩვენ ვიღებთ:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 3 + 10 2 + 1 = 1000 + 100 + 1 = 1104

მოდი ვიჩვენოთ, რომ n=2. ჩვენ ვიღებთ:

10 3 n + 10 2 n + 1 = 10 6 + 10 4 + 1 = 1000 000 + 10000 + 1 = 1010001

ასე რომ, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის მივიღებთ რიცხვებს, რომლებიც იყოფა 3-ზე. ეს ნიშნავს, რომ 10 3 n + 10 2 n + 1 იყოფა 3-ზე ნებისმიერი ბუნებრივი n-სთვის.

პასუხი:დიახ

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გაყოფის ნიშნებირიცხვები - უმარტივესი კრიტერიუმები (წესები), რომლებიც შესაძლებელს ხდის ვიმსჯელოთ ზოგიერთი ნატურალური რიცხვის გაყოფაზე (ნაშთის გარეშე) სხვებზე. რიცხვების გაყოფის საკითხის გადაწყვეტისას, გაყოფის ნიშნები მცირდება მცირე რიცხვებზე მოქმედებებზე, ჩვეულებრივ შესრულებულ გონებაში.
ვინაიდან ზოგადად მიღებული რიცხვების სისტემის საფუძველია 10, ყველაზე მარტივი და გავრცელებულია სამი ტიპის რიცხვების გამყოფებად გაყოფის ნიშნები: 10 k, 10 k - 1, 10 k + 1.
პირველი ტიპი - 10 k რიცხვის გამყოფებით გაყოფის ნიშნები, N ნებისმიერი რიცხვის გაყოფისათვის 10 k რიცხვის ნებისმიერი მთელი რიცხვით გამყოფისთვის აუცილებელია და საკმარისია ბოლო k-ნიშნა ასპექტი (k-ციფრიანი დაბოლოება) N რიცხვი იყოფა q-ზე. კერძოდ (k \u003d 1, 2 და 3-ისთვის), ჩვენ ვიღებთ დაყოფის შემდეგ ნიშანს 10 1 \u003d 10 (I 1), 10 2 \u003d 100 (I 2) და 10 3 \u003d 1000 რიცხვების გამყოფებად. (I 3):
მე 1. 2, 5 და 10-ისთვის - რიცხვის ერთნიშნა დაბოლოება (ბოლო ციფრი) უნდა გაიყოს შესაბამისად 2-ზე, 5-ზე და 10-ზე, მაგალითად, რიცხვი 80 110 იყოფა 2-ზე, 5-ზე და 10-ზე, რადგან ბოლო ამ რიცხვის ციფრი 0 იყოფა 2-ზე, 5-ზე და 10-ზე; 37835 იყოფა 5-ზე, მაგრამ არა 2-ზე და 10-ზე, რადგან 5-ის ბოლო ციფრი იყოფა 5-ზე, მაგრამ არა 2-ზე და 10-ზე.

მე 2 . 2-ზე, 4-ზე, 5-ზე, 10-ზე, 20-ზე, 25-ზე, 50-ზე და 100-ზე, რიცხვის ორნიშნა დაბოლოება უნდა დაიყოს შესაბამისად 2-ზე, 4-ზე, 5-ზე, 10-ზე, 20-ზე, 25-ზე, 50-ზე და 100-ზე. მაგალითად, რიცხვი 7,840,700 იყოფა 2-ზე, 4-ზე, 5-ზე, 10-ზე, 20-ზე, 25-ზე, 50-ზე და 100-ზე, რადგან ამ რიცხვის ორნიშნა ბოლო 00 იყოფა 2-ზე, 4-ზე, 5-ზე, 10-ზე, 20-ზე, 25-ზე, 50-ზე. და 100; რიცხვი 10 831 750 იყოფა 2-ზე, 5-ზე, 10-ზე, 25-ზე და 50-ზე, მაგრამ არ იყოფა 4-ზე, 20-ზე და 100-ზე, რადგან ამ რიცხვის ორნიშნა ბოლო 50 იყოფა 2-ზე, 5-ზე, 10-ზე, 25-ზე და 50, მაგრამ არ იყოფა 4-ზე, 20-ზე და 100-ზე.

მე 3. 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 და 1000 - რიცხვის სამნიშნა დაბოლოება უნდა გაიყოს 2,4,5,8-ზე. ,10, 20, შესაბამისად, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500 და 1000. მაგალითად, რიცხვი 675 081 000 იყოფა ამ ატრიბუტში ჩამოთვლილ ყველა რიცხვზე, სამნიშნა ბოლოდან. მოცემული რიცხვის 000 იყოფა თითოეულ მათგანზე; რიცხვი 51 184 032 იყოფა 2-ზე, 4-ზე და 8-ზე და არ იყოფა დანარჩენებზე, ვინაიდან მოცემული რიცხვის სამნიშნა დაბოლოება 032 იყოფა მხოლოდ 2-ზე, 4-ზე და 8-ზე და არ იყოფა დანარჩენებზე.

მეორე ტიპი არის 10 k - 1 რიცხვის გამყოფებით გაყოფის ნიშნები: ნებისმიერი N მთელი რიცხვის გაყოფისათვის 10 k - 1 რიცხვის ნებისმიერი მთელი რიცხვით გამყოფი q რიცხვით, აუცილებელია და საკმარისია k-ციფრული სახეების ჯამი. N რიცხვი იყოფა q-ზე. კერძოდ (k = 1, 2 და 3-ისთვის), ვიღებთ გაყოფის შემდეგ ნიშნებს 10 1 - 1 = 9 (II 1), 10 2 - 1 = 99 (II 2) და 10 3 - 1 რიცხვების გამყოფებად. = 999 (II 3):
II 1 . 3-ზე და 9-ზე - რიცხვის ციფრების (ერთნიშნა სახეები) ჯამი უნდა გაიყოს შესაბამისად 3-ზე და 9-ზე, მაგალითად, რიცხვი 510 887 250 იყოფა 3-ზე და 9-ზე, ვინაიდან ციფრების ჯამი. არის 5+1+0+8+8+7+2+ 5+0=36 (და 3+6=9) ამ რიცხვი იყოფა 3-ზე და 9-ზე; რიცხვი 4 712 586 იყოფა 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 9-ზე, რადგან ამ რიცხვის 4+7+1+2+5+8+6=33 (და 3+3=6) ციფრების ჯამი იყოფა. 3-ზე, მაგრამ არ იყოფა 9-ზე.

II 2 . 3-ზე, 9-ზე, 11-ზე, 33-ზე და 99-ზე - რიცხვის ორნიშნა სახეების ჯამი უნდა გაიყოს შესაბამისად 3-ზე, 9-ზე, 11-ზე, 33-ზე და 99-ზე, მაგალითად, რიცხვი 396 198 297 იყოფა 3-ზე. , 9, 11, 33 და 99, ვინაიდან ორნიშნა ჯამი 3+96+19+ +82+97=297 (და 2+97=99) იყოფა 3-ზე, 9.11, 33 და 99-ზე; რიცხვი 7 265 286 303 იყოფა 3-ზე, 11-ზე და 33-ზე, მაგრამ არ იყოფა 9-ზე და 99-ზე, ვინაიდან ორნიშნა სახეების ჯამი 72+65+28+63+03=231 (და 2+31= 33) ამ რიცხვი იყოფა 3-ზე, 11-ზე და 33-ზე და არ იყოფა 9-ზე და 99-ზე.

II 3 . 3-ზე, 9-ზე, 27-ზე, 37-ზე, 111-ზე, 333-ზე და 999-ზე - რიცხვის სამნიშნა სახეების ჯამი უნდა დაიყოს შესაბამისად 3, 9, 27, 37, 111, 333 და 999-ზე. მაგალითად, ნომერი 354 645 871 128 იყოფა ყველა იმათზე, რომლებიც ჩამოთვლილია რიცხვის ამ ნიშანში, რადგან ამ რიცხვის 354 + 645 + + 871 + 128 = 1998 (და 1 + 998 = 999) სამნიშნა სახეების ჯამი იყოფა. თითოეული მათგანი.

მესამე ტიპი - 10 k + 1 რიცხვის გამყოფებად გაყოფის კრიტერიუმები: ნებისმიერი N მთელი რიცხვის გაყოფისათვის 10 k + 1 რიცხვის ნებისმიერი მთელი რიცხვით გამყოფი q რიცხვით, აუცილებელია და საკმარისია სხვაობა k-ის ჯამს შორის. - N-ში რიცხვები ლუწ ადგილებზეა, ხოლო k-ციფრიანი სახეების ჯამი N-ში კენტ ადგილებზე იყოფა q-ზე. კერძოდ (k \u003d 1, 2 და 3-ისთვის), ვიღებთ დაყოფის შემდეგ ნიშნებს 10 1 + 1 \u003d 11 (III 1), 10 2 + 1 \u003d 101 (III 2) და 10 რიცხვების გამყოფებად. 3 + 1 \u003d 1001 (III 3).

III 1 . 11-ზე - სხვაობა ლუწ ადგილებზე ციფრთა (ერთნიშნა სახეები) და კენტ ადგილებზე ციფრთა (ერთნიშნა სახეები) ჯამს შორის უნდა გაიყოს 11-ზე. მაგალითად, რიცხვი 876 583 598 იყოფა. 11, ვინაიდან სხვაობა 8 - 7+6 - 5+8 - 3+5 - 9+8=11 (და 1 - 1=0) ლუწი ადგილების ციფრთა ჯამს და კენტ ადგილებზე ციფრთა ჯამს შორის. იყოფა 11-ზე.

III 2 . 101-ზე - სხვაობა ლუწი ადგილებში ორნიშნა სახეების ჯამს და კენტ ადგილებზე ორნიშნა სახეების ჯამს შორის უნდა გაიყოს 101-ზე. მაგალითად, რიცხვი 8 130 197 იყოფა 101-ზე, რადგან სხვაობა არის 8-13 + 01- 97 = 101 (და 1-01=0) ამ რიცხვში ლუწი ადგილების ორნიშნა სახეების ჯამს და კენტ ადგილებში ორნიშნა სახეების ჯამს შორის იყოფა 101-ზე.

III 3 . 7, 11, 13, 77, 91, 143 და 1001 - სხვაობა რიცხვის ლუწ ადგილებში სამნიშნა სახეების ჯამს და კენტ ადგილებში სამნიშნა სახეების ჯამს შორის უნდა გაიყოს 7, 11-ზე, 13, 77, შესაბამისად, 91, 143 და 1001. მაგალითად, რიცხვი 539 693 385 იყოფა 7-ზე, 11-ზე და 77-ზე, მაგრამ არ იყოფა 13-ზე, 91-ზე, 143-ზე და 1001-ზე, ვინაიდან 539 - 693+. იყოფა 7-ზე, 11-ზე და 77-ზე და არ იყოფა 13-ზე, 91-ზე, 143-ზე და 1001-ზე.

არსებობს ნიშნები, რომლითაც ზოგჯერ ადვილია იმის გარკვევა, რეალურად გაყოფის გარეშე, იყოფა თუ არა მოცემული რიცხვი სხვა რიცხვებზე.

რიცხვები, რომლებიც იყოფა 2-ზე, ეწოდება თუნდაც. რიცხვი ნული ასევე ლუწი რიცხვია. ყველა სხვა ნომერი იწოდება უცნაური:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... - ლუწი,
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... კენტია.

გაყოფის ნიშნები

2-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვი იყოფა 2-ზე, თუ მისი ბოლო ციფრი ლუწია. მაგალითად, რიცხვი 4376 იყოფა 2-ზე, რადგან ბოლო ციფრი (6) ლუწია.

3-ზე გაყოფის ნიშანი. მხოლოდ ის რიცხვები იყოფა 3-ზე, რომელთა ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე. მაგალითად, რიცხვი 10815 იყოფა 3-ზე, ვინაიდან მისი ციფრების ჯამი 1 + 0 + 8 + 1 + 5 = 15 იყოფა 3-ზე.

4-ზე გაყოფის ნიშნები. რიცხვი იყოფა 4-ზე, თუ მისი ბოლო ორი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 4-ზე. მაგალითად, რიცხვი 244500 იყოფა 4-ზე, რადგან მთავრდება ორი ნულით. რიცხვები 14708 და 7524 იყოფა 4-ზე, რადგან ამ რიცხვების ბოლო ორი ციფრი (08 და 24) იყოფა 4-ზე.

5-ზე გაყოფის ნიშნები. რიცხვები, რომლებიც მთავრდება 0-ით ან 5-ით, იყოფა 5-ზე. მაგალითად, რიცხვი 320 იყოფა 5-ზე, რადგან ბოლო ციფრი არის 0.

6-ზე გაყოფის ნიშანი. რიცხვი იყოფა 6-ზე, თუ იგი იყოფა 2-ზეც და 3-ზეც. მაგალითად, რიცხვი 912 იყოფა 6-ზე, რადგან იყოფა 2-ზეც და 3-ზეც.

8-ზე გაყოფის ნიშნები. 8-ზე იყოფა ის რიცხვები, რომლებშიც ბოლო სამი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე. მაგალითად, რიცხვი 27000 იყოფა 8-ზე, რადგან ის მთავრდება სამი ნულით. რიცხვი 63128 იყოფა 8-ზე, რადგან ბოლო სამი ციფრი ქმნის რიცხვს (128), რომელიც იყოფა 8-ზე.

9-ზე გაყოფის ნიშანი. მხოლოდ ის რიცხვები, რომელთა ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე, იყოფა 9-ზე, მაგალითად, რიცხვი 2637 იყოფა 9-ზე, ვინაიდან მისი ციფრების ჯამი 2 + 6 + 3 + 7 = 18 იყოფა 9-ზე.

10-ზე, 100-ზე, 1000-ზე გაყოფის ნიშნები და ა.შ. 10, 100, 1000 და ასე შემდეგ იყოფა იმ რიცხვებზე, რომლებიც სრულდება შესაბამისად ერთი ნულით, ორი ნულით, სამი ნულით და ა.შ. მაგალითად, რიცხვი 3800 იყოფა 10-ზე და 100-ზე.

3-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 3-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 3-ზე.

გაყოფა 4 ნიშნით
რიცხვი იყოფა 4-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო ორი ციფრის რიცხვი არის ნული ან იყოფა 4-ზე.

5-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 5-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ბოლო ციფრი იყოფა 5-ზე (ანუ ტოლია 0-ის ან 5-ის).

6-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 6-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 2-ზე და 3-ზე.

7-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 7-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ამ რიცხვს ბოლო ციფრის ორჯერ გამოკლების შედეგი ბოლო ციფრის გარეშე იყოფა 7-ზე (მაგალითად, 259 იყოფა 7-ზე, ვინაიდან 25 - (2 9) = 7 იყოფა. 7-ით).

8-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 8-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო სამი ციფრი არის ნულები ან ქმნიან რიცხვს, რომელიც იყოფა 8-ზე.

9-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 9-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ციფრების ჯამი იყოფა 9-ზე.

10-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 10-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის მთავრდება ნულით.

11-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 11-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მონაცვლეობითი ნიშნების მქონე ციფრების ჯამი იყოფა 11-ზე (ანუ 182919 იყოფა 11-ზე, რადგან 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 იყოფა 11-ზე. 11) - შედეგი იმისა, რომ 10 n ფორმის ყველა რიცხვი 11-ზე გაყოფისას იძლევა ნარჩენს (-1) n .

12-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 12-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 3-ზე და 4-ზე.

13-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 13-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ათეულების რიცხვი, რომელიც ემატება ოთხჯერ ერთეულების რაოდენობას, არის 13-ის ჯერადი (მაგალითად, 845 იყოფა 13-ზე, რადგან 84 + (4 5) = 104 არის იყოფა 13-ზე).

14-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 14-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 2-ზე და 7-ზე.

15-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 15-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ ის იყოფა 3-ზე და 5-ზე.

17-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 17-ზე, თუ და მხოლოდ მაშინ, თუ მისი ათეულების რიცხვი, დამატებული 12-ით გაზრდილი ერთეულების რიცხვს, არის 17-ის ჯერადი (მაგალითად, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30. +72=102→10+ 24 = 34. ვინაიდან 34 იყოფა 17-ზე, მაშინ 29053 ასევე იყოფა 17-ზე). ნიშანი ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი, მაგრამ მას გარკვეული მნიშვნელობა აქვს მათემატიკაში. არსებობს ოდნავ მარტივი გზა - რიცხვი იყოფა 17-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ სხვაობა მისი ათეულებისა და ხუთჯერ ერთეულების რიცხვს შორის არის 17-ის ჯერადი (მაგალითად, 32952→3295-10=3285→328). -25=303→30-15=15. ვინაიდან 15 არ იყოფა 17-ზე, მაშინ არც 32952 იყოფა 17-ზე)

19-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 19-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ათეულების რიცხვი, რომელიც ემატება ორჯერ ერთეულების რაოდენობას, არის 19-ის ჯერადი (მაგალითად, 646 იყოფა 19-ზე, რადგან 64 + (6 2) = 76 იყოფა. 19-ით).

23-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 23-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მის ასეულებს პლუს სამმაგი მისი ათეული არის 23-ის ჯერადი (მაგალითად, 28842 იყოფა 23-ზე, რადგან 288 + (3 * 42) = 414 გრძელდება 4 + (3 * 14) = 46 აშკარად იყოფა 23-ზე).

25-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვი იყოფა 25-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ მისი ბოლო ორი ციფრი იყოფა 25-ზე (ეს არის 00, 25, 50 ან 75) ან რიცხვი არის 5-ის ჯერადი.

99-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვს ვყოფთ 2 ციფრიან ჯგუფებად მარჯვნიდან მარცხნივ (ყველაზე მარცხენა ჯგუფს შეიძლება ჰქონდეს ერთი ციფრი) და ვპოულობთ ამ ჯგუფების ჯამს, მივიჩნევთ ორნიშნა რიცხვებად. ეს ჯამი იყოფა 99-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი იყოფა 99-ზე.

101-ზე გაყოფის ნიშანი
რიცხვს ვყოფთ 2 ციფრიან ჯგუფებად მარჯვნიდან მარცხნივ (ყველაზე მარცხენა ჯგუფს შეიძლება ჰქონდეს ერთი ციფრი) და ვპოულობთ ამ ჯგუფების ჯამს ცვლადი ნიშნებით, მივიჩნევთ ორნიშნა რიცხვებად. ეს ჯამი იყოფა 101-ზე, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ თავად რიცხვი იყოფა 101-ზე. მაგალითად, 590547 იყოფა 101-ზე, ვინაიდან 59-05+47=101 იყოფა 101-ზე).