cela števila in desetine. Cela števila: splošna predstavitev

V tem članku bomo definirali množico celih števil, razmislili, katera cela števila imenujemo pozitivna in katera negativna. Pokazali bomo tudi, kako se s celimi števili opisuje sprememba nekaterih količin. Začnimo z definicijo in primeri celih števil.

Cela števila. Definicija, primeri

Najprej se spomnimo naravnih števil ℕ. Že samo ime pove, da gre za števila, ki se naravno uporabljajo za štetje že od nekdaj. Da bi pokrili koncept celih števil, moramo razširiti definicijo naravna števila.

Definicija 1. Cela števila

Cela števila so naravna števila, njihova nasprotja in število nič.

Množica celih števil je označena s črko ℤ.

Množica naravnih števil ℕ je podmnožica celih števil ℤ. Vsako naravno število je celo število, ni pa vsako celo naravno število.

Iz definicije sledi, da je vsako od števil 1, 2, 3 celo število. . , število 0 , pa tudi števila - 1 , - 2 , - 3 , . .

V skladu s tem podajamo primere. Števila 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 so cela števila.

Naj bo koordinatna črta narisana vodoravno in usmerjena v desno. Oglejmo si ga, da si predstavljamo lokacijo celih števil na ravni črti.

Referenčna točka na koordinatni premici ustreza številu 0, točke, ki ležijo na obeh straneh ničle, pa ustrezajo pozitivnim in negativnim celim številom. Vsaka točka ustreza enemu celemu številu.

Vsako točko na premici, katere koordinata je celo število, lahko dosežete tako, da od izhodišča odmaknete določeno število enotskih segmentov.

Pozitivna in negativna cela števila

Med vsemi celimi števili je logično razlikovati med pozitivnimi in negativnimi celimi števili. Dajmo njihove definicije.

Definicija 2. Pozitivna cela števila

Pozitivna cela števila so cela števila z znakom plus.

Na primer, število 7 je celo število z znakom plus, torej pozitivno celo število. Na koordinatni premici leži ta številka desno od referenčne točke, za katero je vzeta številka 0. Drugi primeri pozitivnih celih števil: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definicija 3. Negativna cela števila

Negativna cela števila so cela števila z znakom minus.

Primeri negativnih celih števil: - 528 , - 2568 , - 1 .

Število 0 ločuje pozitivna in negativna cela števila in samo po sebi ni niti pozitivno niti negativno.

Vsako število, ki je nasprotno pozitivnemu celemu številu, je po definiciji negativno celo število. Velja tudi obratno. Recipročna vrednost katerega koli negativnega celega števila je pozitivno celo število.

Možno je podati druge formulacije definicij negativnih in pozitivnih celih števil z uporabo njihove primerjave z ničlo.

Definicija 4. Pozitivna cela števila

Pozitivna cela števila so cela števila, ki so večja od nič.

Definicija 5. Negativna cela števila

Negativna cela števila so cela števila, ki so manjša od nič.

V skladu s tem ležijo pozitivna števila desno od izhodišča na koordinatni premici, negativna cela števila pa levo od nič.

Prej smo rekli, da so naravna števila podmnožica celih števil. Razjasnimo to točko. Množica naravnih števil so pozitivna cela števila. Po drugi strani pa je množica negativnih celih števil množica števil, nasprotnih naravnim.

Pomembno!

Vsako naravno število lahko imenujemo celo število, vendar nobenega celega števila ne moremo imenovati naravno število. Na vprašanje, ali so negativna števila naravna, je treba pogumno reči - ne, niso.

Nepozitivna in nenegativna cela števila

Dajmo definicije.

Definicija 6. Nenegativna cela števila

Nenegativna cela števila so pozitivna cela števila in število nič.

Definicija 7. Nepozitivna cela števila

Nepozitivna cela števila so negativna cela števila in število nič.

Kot lahko vidite, število nič ni niti pozitivno niti negativno.

Primeri nenegativnih celih števil: 52 , 128 , 0 .

Primeri nepozitivnih celih števil: - 52 , - 128 , 0 .

Nenegativno število je število, ki je večje ali enako nič. V skladu s tem je nepozitivno celo število število, ki je manjše ali enako nič.

Izrazi "ne pozitivno število" in "nenegativno število" se uporabljata zaradi kratkosti. Na primer, namesto da rečete, da je število a celo število, ki je večje ali enako nič, lahko rečete: a je nenegativno celo število.

Uporaba celih števil pri opisovanju sprememb vrednosti

Za kaj se uporabljajo cela števila? Najprej je z njihovo pomočjo priročno opisati in določiti spremembo števila vseh predmetov. Vzemimo primer.

V skladišču naj bo določeno število ročičnih gredi. Če bodo v skladišče pripeljali še 500 ročičnih gredi, se bo njihovo število povečalo. Število 500 samo izraža spremembo (povečanje) števila delov. Če se nato iz skladišča odvzame 200 delov, bo ta številka označevala tudi spremembo števila ročičnih gredi. Tokrat v smeri zmanjševanja.

Če iz skladišča ni ničesar vzeto in nič ni prineseno, bo številka 0 označevala nespremenljivost števila delov.

Očitna priročnost uporabe celih števil, za razliko od naravnih števil, je, da njihov znak jasno kaže smer spremembe velikosti (povečanje ali zmanjšanje).

Znižanje temperature za 30 stopinj je lahko označeno z negativnim številom - 30, in povečanje za 2 stopinji - s pozitivnim celim številom 2.

Tu je še en primer uporabe celih števil. Tokrat si predstavljajmo, da moramo nekomu dati 5 kovancev. Potem lahko rečemo, da imamo - 5 kovancev. Število 5 opisuje višino dolga, znak minus pa pomeni, da moramo vrniti kovance.

Če eni osebi dolgujemo 2 kovanca, drugi pa 3, potem lahko skupni dolg (5 kovancev) izračunamo po pravilu seštevanja negativnih števil:

2 + (- 3) = - 5

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Obstaja veliko vrst števil, ena izmed njih so cela števila. Cela števila so se pojavila, da bi olajšali štetje ne le v pozitivno, ampak tudi v negativno smer.

Razmislite o primeru:
Čez dan je bilo zunaj 3 stopinje. Do večera je temperatura padla za 3 stopinje.
3-3=0
Zunaj je bilo 0 stopinj. In ponoči je temperatura padla za 4 stopinje in začela kazati na termometru -4 stopinje.
0-4=-4

Niz celih števil.

Takšnega problema ne moremo opisati z naravnimi števili, ta problem bomo obravnavali na koordinatni premici.

Imamo vrsto številk:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ta niz številk se imenuje poleg celih števil.

Cela pozitivna števila. Cela negativna števila.

Niz celih števil je sestavljen iz pozitivnih in negativnih števil. Desno od ničle so naravna števila ali jih tudi imenujemo cela pozitivna števila. In levo od ničle pojdi cela negativna števila.

Ničla ni niti pozitivna niti negativna. Je meja med pozitivnimi in negativnimi števili.

je množica števil, sestavljena iz naravnih števil, negativnih celih števil in ničle.

Niz celih števil v pozitivnih in negativnih smereh je neskončna množica.

Če vzamemo kateri koli dve celi števili, se bodo klicale številke med tema celima številoma končni niz.

Na primer:
Vzemimo cela števila od -2 do 4. Vsa števila med temi številkami so vključena v končni niz. Naš končni nabor števil izgleda takole:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Naravna števila označujemo z latinično črko N.
Cela števila označujemo z latinsko črko Z. Na sliki lahko upodobimo celotno množico naravnih števil in celih števil.


Nepozitivna cela števila z drugimi besedami, so negativna cela števila.
Nenegativna cela števila so pozitivna cela števila.

Preprosto povedano, to je zelenjava, kuhana v vodi po posebnem receptu. Upošteval bom dve začetni komponenti (zelenjavno solato in vodo) in končni rezultat - boršč. Geometrično lahko to predstavimo kot pravokotnik, v katerem ena stran označuje solato, druga stran vodo. Vsota teh dveh strani bo označevala boršč. Diagonala in površina takšnega pravokotnika "boršč" sta čisto matematični pojmi in se nikoli ne uporabljata v receptih za boršč.

V učbenikih za matematiko ne boste našli ničesar o linearnih kotnih funkcijah. A brez njih matematike ne more biti. Zakoni matematike, tako kot naravni zakoni, delujejo ne glede na to, ali vemo, da obstajajo ali ne.

Linearne kotne funkcije so zakoni seštevanja. Oglejte si, kako se algebra spremeni v geometrijo in geometrija v trigonometrijo.

Ali je mogoče brez linearnih kotnih funkcij? Lahko, saj matematiki še vedno obvladajo brez njih. Trik matematikov je v tem, da nam vedno govorijo samo o tistih problemih, ki jih sami znajo rešiti, nikoli pa nam ne govorijo o tistih problemih, ki jih ne znajo rešiti. glej. Če poznamo rezultat seštevanja in enega člena, uporabimo odštevanje, da poiščemo drugi člen. Vse. Drugih problemov ne poznamo in jih ne znamo rešiti. Kaj storiti, če poznamo samo rezultat seštevanja in ne poznamo obeh členov? V tem primeru je treba rezultat seštevanja razstaviti na dva člena z uporabo linearnih kotnih funkcij. Nadalje sami izberemo, kakšen je lahko en člen, linearne kotne funkcije pa pokažejo, kakšen mora biti drugi člen, da bo rezultat seštevanja točno to, kar potrebujemo. Takšnih parov členov je lahko neskončno veliko. AT Vsakdanje življenje brez razstavljanja vsote gre zelo dobro, zadostuje nam odštevanje. Toda v znanstvenih študijah naravnih zakonov je lahko razširitev vsote na izraze zelo koristna.

Še en zakon dodajanja, o katerem matematiki neradi govorijo (še en njihov trik), zahteva, da imajo izrazi enako mersko enoto. Za solato, vodo in boršč so to lahko enote teže, prostornine, stroškov ali merske enote.

Slika prikazuje dve ravni razlike za matematiko. Prva raven so razlike v polju številk, ki so označene a, b, c. To delajo matematiki. Druga raven so razlike v območju merskih enot, ki so prikazane v oglatih oklepajih in označene s črko U. To delajo fiziki. Razumemo lahko tretjo raven - razlike v obsegu opisanih predmetov. Različni predmeti imajo lahko enako število enakih merskih enot. Kako pomembno je to, vidimo na primeru borške trigonometrije. Če istemu zapisu dodamo indekse za merske enote različnih predmetov, lahko natančno povemo, katera matematična količina opisuje določen predmet in kako se spreminja skozi čas ali v povezavi z našimi dejanji. pismo W S črko bom označil vodo S Solato bom označil s črko B- boršč. Evo, kako bi izgledale linearne kotne funkcije za boršč.

Če vzamemo del vode in del solate, se skupaj spremenita v eno porcijo boršča. Tukaj predlagam, da si vzamete malo odmora od boršča in se spomnite svojega daljnega otroštva. Se spomnite, kako so nas učili sestavljati zajčke in račke? Treba je bilo ugotoviti, koliko živali se bo izkazalo. Kaj so nas potem učili delati? Učili so nas ločevati enote od števil in seštevati števila. Da, katero koli številko lahko dodate kateri koli drugi številki. To je neposredna pot v avtizem sodobne matematike - ne razumemo, kaj, ni jasno, zakaj, in zelo slabo razumemo, kako je to povezano z realnostjo, saj od treh ravni razlike matematiki operirajo samo na eni. Bolj pravilno se bo naučiti, kako se premakniti iz ene merske enote v drugo.

In zajčke, račke in male živali lahko preštejemo po kosih. Ena skupna merska enota za različne predmete nam omogoča, da jih seštejemo. To je otroška različica problema. Poglejmo podoben problem pri odraslih. Kaj dobite, če dodate zajčke in denar? Tu sta možni dve rešitvi.

Prva možnost. Zajčkom določimo tržno vrednost in jo prištejemo razpoložljivemu denarnemu znesku. Dobili smo skupno vrednost našega bogastva v denarju.

Druga možnost. Število zajčkov lahko dodate številu bankovcev, ki jih imamo. Dobili bomo količino premičnin v kosih.

Kot lahko vidite, vam isti zakon dodajanja omogoča, da dobite različne rezultate. Vse je odvisno od tega, kaj točno želimo vedeti.

Ampak nazaj k našemu boršču. Zdaj lahko vidimo, kaj se kdaj zgodi različne pomene kot linearnih kotnih funkcij.

Kot je enak nič. Imamo solato, vode pa nimamo. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je tudi nič. To sploh ne pomeni, da je nič boršča enako nič vode. Zero borsch je lahko tudi na nič solata (desni kot).

Zame osebno je to glavni matematični dokaz dejstva, da . Ničla pri dodajanju ne spremeni števila. To je zato, ker je seštevanje samo po sebi nemogoče, če je samo en člen, drugi člen pa manjka. Lahko se nanašate na to, kakor želite, vendar ne pozabite - vse matematične operacije z ničlo so izumili matematiki sami, zato zavrzite svojo logiko in neumno natlačite definicije, ki so jih izumili matematiki: "deljenje z ničlo je nemogoče", "kakršno koli število, pomnoženo z ničlo enako nič" , "za piko nič" in ostale neumnosti. Dovolj je, da se enkrat spomnite, da nič ni število, in nikoli ne boste imeli vprašanja, ali je nič naravno število ali ne, ker takšno vprašanje praviloma izgubi vsak pomen: kako lahko štejemo za število tisto, kar ni število . To je kot vprašanje, kateri barvi pripisati nevidno barvo. Dodajanje ničle številu je kot slikanje z barvo, ki ne obstaja. Pomahali so s suhim čopičem in vsem povedali, da "smo slikali." Sem pa malo zašel.

Kot je večji od nič, vendar manjši od petinštirideset stopinj. Imamo veliko solate, a malo vode. Kot rezultat dobimo debel boršč.

Kot je petinštirideset stopinj. Imamo enake količine vode in zelene solate. To je popoln boršč (naj mi kuharji oprostijo, to je samo matematika).

Kot je večji od petinštirideset stopinj, vendar manjši od devetdeset stopinj. Imamo veliko vode in malo solate. Pridobite tekoči boršč.

Pravi kot. Imamo vodo. Od solate ostajajo le spomini, saj nadaljujemo z merjenjem kota od črte, ki je nekoč označevala solato. Ne moremo kuhati boršča. Količina boršča je nič. V tem primeru počakajte in pijte vodo, dokler je na voljo)))

Tukaj. Nekaj ​​podobnega. Tukaj lahko povem druge zgodbe, ki bodo tukaj več kot primerne.

Prijatelja sta imela svoj delež v skupnem poslu. Po umoru enega od njiju je vse šlo k drugemu.

Pojav matematike na našem planetu.

Vse te zgodbe so povedane v jeziku matematike z uporabo linearnih kotnih funkcij. Kdaj drugič vam bom pokazal pravo mesto teh funkcij v strukturi matematike. Medtem pa se vrnimo k trigonometriji boršča in razmislimo o projekcijah.

Sobota, 26. oktober 2019

Sreda, 7. avgust 2019

Če zaključimo pogovor o , moramo razmisliti o neskončni množici. Dal sem, da koncept "neskončnosti" deluje na matematike, kot udav na zajca. Drhteča groza neskončnosti prikrajša matematike zdrava pamet. Tukaj je primer:

Prvotni vir se nahaja. Alfa označuje realno število. Enako v zgornjih izrazih pomeni, da če neskončnosti dodate število ali neskončnost, se nič ne spremeni, rezultat bo ista neskončnost. Če za primer vzamemo neskončno množico naravnih števil, lahko obravnavane primere predstavimo na naslednji način:

Da bi vizualno dokazali svoj primer, so matematiki iznašli veliko različnih metod. Osebno na vse te metode gledam kot na plese šamanov s tamburami. V bistvu se vsi spuščajo v to, da bodisi nekatere sobe niso zasedene in se vanje naselijo novi gostje ali pa nekatere obiskovalce vržejo ven na hodnik, da naredijo prostor za goste (zelo človeško). Svoj pogled na takšne odločitve sem predstavil v obliki fantastične zgodbe o Blondinki. Na čem temelji moje sklepanje? Premikanje neskončnega števila obiskovalcev traja neskončno veliko časa. Ko izpraznimo prvo sobo za goste, bo eden od obiskovalcev do konca časa vedno hodil po hodniku iz svoje sobe v sosednjo. Seveda lahko časovni dejavnik neumno zanemarimo, vendar bo to že iz kategorije "zakon ni napisan za bedake." Vse je odvisno od tega, kaj počnemo: prilagajamo realnost matematičnim teorijam ali obratno.

Kaj je "neskončni hotel"? Infinity inn je gostilna, ki ima vedno poljubno število prostih mest, ne glede na to, koliko sob je zasedenih. Če so vsi prostori v neskončnem hodniku »za obiskovalce« zasedeni, pride še en neskončni hodnik s prostori za »goste«. Takih koridorjev bo neskončno veliko. Hkrati ima »neskončni hotel« neskončno število nadstropij v neskončnem številu zgradb na neskončnem številu planetov v neskončnem številu vesolj, ki jih je ustvarilo neskončno število bogov. Matematiki pa se ne morejo odmakniti od banalnih vsakdanjih problemov: Bog-Alah-Buda je vedno samo eden, hotel je en, hodnik je en sam. Matematiki torej poskušajo žonglirati z zaporednimi številkami hotelskih sob in nas prepričati, da je možno »naganjati nenagnjene«.

Logiko svojega razmišljanja vam bom predstavil na primeru neskončne množice naravnih števil. Najprej morate odgovoriti na zelo preprosto vprašanje: koliko nizov naravnih števil obstaja - en ali več? Na to vprašanje ni pravilnega odgovora, saj smo si številke izmislili sami, števil v naravi ni. Da, narava je odlična pri štetju, vendar za to uporablja druga matematična orodja, ki jih ne poznamo. Kako misli narava, vam povem drugič. Ker smo si izmislili števila, se bomo sami odločili, koliko nizov naravnih števil obstaja. Razmislite o obeh možnostih, kot se za pravega znanstvenika spodobi.

Prva možnost. »Naj nam je dana« ena sama množica naravnih števil, ki spokojno leži na polici. Ta komplet vzamemo s police. To je to, drugih naravnih števil ni več na polici in jih ni kam vzeti. Temu nizu ga ne moremo dodati, ker ga že imamo. Kaj pa, če res želite? Brez težav. Iz že vzetega kompleta lahko vzamemo enoto in jo vrnemo na polico. Nato lahko vzamemo enoto s police in jo dodamo tistemu, kar nam je ostalo. Posledično spet dobimo neskončno množico naravnih števil. Vse naše manipulacije lahko zapišete takole:

Operacije sem zapisal v algebraičnem zapisu in zapisu teorije množic, pri čemer sem podrobno navedel elemente množice. Indeks pomeni, da imamo eno in edino množico naravnih števil. Izkaže se, da bo množica naravnih števil ostala nespremenjena le, če ji odštejemo eno in dodamo isto enoto.

Druga možnost. Na polici imamo veliko različnih neskončnih množic naravnih števil. Poudarjam - RAZLIČNI, kljub temu, da se praktično ne razlikujejo. Vzamemo enega od teh sklopov. Nato vzamemo eno iz druge množice naravnih števil in ga dodamo že vzeti množici. Seštejemo lahko celo dva niza naravnih števil. Evo, kaj dobimo:

Indeks "ena" in "dva" pomenita, da ti elementi pripadajo različnim nizom. Da, če neskončnemu nizu dodate enega, bo rezultat prav tako neskončen niz, vendar ne bo enak izvirnemu nizu. Če eno neskončno množico dodamo drugi neskončni množici, je rezultat nova neskončna množica, sestavljena iz elementov prvih dveh množic.

Množico naravnih števil uporabljamo za štetje enako kot ravnilo za meritve. Zdaj pa si predstavljajte, da ste ravnilu dodali en centimeter. To bo že druga vrstica, ki ni enaka izvirniku.

Lahko sprejmete ali ne sprejmete moje sklepanje - to je vaša stvar. Če pa kdaj naletite na matematične težave, pomislite, ali ste na poti napačnega razmišljanja, ki so ga utirale generacije matematikov. Konec koncev, pouk matematike v nas najprej oblikuje stabilen stereotip razmišljanja in šele nato nam doda mentalne sposobnosti (ali obratno, odvzame nam svobodno razmišljanje).

pozg.ru

Nedelja, 4. avgust 2019

Pisal sem postscript k članku o in videl to čudovito besedilo na Wikipediji:

Beremo: »... bogat teoretična osnova Babilonska matematika ni imela celostnega značaja in je bila zmanjšana na niz različnih tehnik, brez skupnega sistema in baze dokazov.

Vau! Kako pametni smo in kako dobro znamo videti pomanjkljivosti drugih. Ali je za nas šibko, če gledamo sodobno matematiko v istem kontekstu? Če rahlo parafraziram zgornji tekst, sem osebno dobil naslednje:

Bogata teoretična osnova sodobne matematike nima celovitega značaja in je zmanjšana na niz različnih razdelkov, brez skupnega sistema in baze dokazov.

Ne bom šel daleč, da bi potrdil svoje besede - ima jezik in konvencije, ki se razlikujejo od jezika in konvencij mnogih drugih vej matematike. Ista imena v različnih vejah matematike imajo lahko različne pomene. Celo vrsto publikacij želim posvetiti najbolj očitnim napakam v sodobni matematiki. Se vidiva kmalu.

Sobota, 3. avgust 2019

Kako razdeliti množico na podmnožice? Za to morate vnesti novo mersko enoto, ki je prisotna v nekaterih elementih izbranega niza. Razmislite o primeru.

Naj jih imamo veliko AMPAK ki ga sestavljajo štiri osebe. Ta niz je oblikovan na podlagi "ljudi". Elemente tega niza označimo s črko a, bo indeks s številko označeval redno številko vsake osebe v tem nizu. Uvedimo novo mersko enoto »spolna lastnost« in jo označimo s črko b. Ker so spolne značilnosti lastne vsem ljudem, vsak element nabora pomnožimo AMPAK na spolu b. Upoštevajte, da je naš nabor »ljudi« zdaj postal nabor »ljudi s spolom«. Po tem lahko spolne značilnosti razdelimo na moške bm in ženske bw značilnosti spola. Zdaj lahko uporabimo matematični filter: izberemo eno od teh spolnih značilnosti, ni pomembno, katera je moški ali ženska. Če je prisoten v osebi, potem ga pomnožimo z enico, če tega znaka ni, ga pomnožimo z nič. In potem uporabimo običajno šolsko matematiko. Poglej kaj se je zgodilo.

Po množenju, zmanjševanju in preurejanju smo dobili dve podmnožici: moško podmnožico bm in podmnožica žensk bw. Približno enako razmišljajo matematiki, ko uporabljajo teorijo množic v praksi. Vendar nas ne spustijo v podrobnosti, ampak nam dajo končni rezultat - "veliko ljudi je sestavljeno iz podskupine moških in podskupine žensk." Seveda se lahko vprašate, kako pravilno je uporabljena matematika v zgornjih transformacijah? Upam si zagotoviti, da so transformacije dejansko opravljene pravilno, dovolj je poznati matematično utemeljitev aritmetike, Boolove algebre in drugih delov matematike. Kaj je to? O tem vam bom povedal kdaj drugič.

Kar zadeva nadmnožice, je možno združiti dva niza v en nadmnožico z izbiro merske enote, ki je prisotna v elementih teh dveh nizov.

Kot lahko vidite, je zaradi merskih enot in običajne matematike teorija množic stvar preteklosti. Znak, da s teorijo množic ni vse v redu, je, da so si matematiki izmislili lasten jezik in zapis za teorijo množic. Matematiki so naredili, kar so nekoč naredili šamani. Samo šamani znajo "pravilno" uporabiti svoje "znanje". Tega "znanja" nas učijo.

Na koncu vam želim pokazati, kako matematiki manipulirajo.

Ponedeljek, 7. januar 2019

V petem stoletju pr starogrški filozof Zenon iz Eleje je oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija "Ahil in želva". Takole zveni:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ko Ahil preteče to razdaljo, se želva plazi sto korakov v isto smer. Ko bo Ahil pretekel sto korakov, se bo želva plazila še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval v nedogled, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert ... Vsi so tako ali drugače upoštevali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ... razprave se nadaljujejo še danes, znanstvena skupnost še ni uspela priti do skupnega mnenja o bistvu paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi ; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, kaj je prevara.

Z vidika matematike je Zenon v svoji aporiji nazorno prikazal prehod od vrednote k. Ta prehod pomeni uporabo namesto konstant. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen za Zenonove aporije. Uporaba naše običajne logike nas vodi v past. Mi, po inerciji razmišljanja, uporabljamo stalne enote časa za recipročne. S fizičnega vidika je videti, kot da se čas upočasni in popolnoma ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo logiko, ki smo je vajeni, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo "Ahil neskončno hitro prehitel želvo."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v konstantnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne vrednosti. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ko Ahil preteče tisoč korakov, se želva plazi sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, enakem prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Vendar to ni popolna rešitev problema. Einsteinova izjava o nepremostljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo šele preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v nedogled velike številke, vendar v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija pripoveduje o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tu je treba opozoriti še na eno točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Za določitev dejstva gibanja avtomobila sta potrebni dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ju ni mogoče uporabiti za določitev razdalje. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji različne točke prostor v eni točki časa, vendar je nemogoče ugotoviti dejstvo gibanja iz njih (seveda so še vedno potrebni dodatni podatki za izračune, trigonometrija vam bo pomagala). Posebej želim poudariti, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru dve različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne priložnosti za raziskovanje.
Postopek bom prikazal na primeru. Izberemo "rdečo trdno snov v mozolju" - to je naša "cela". Hkrati vidimo, da so te stvari z lokom in so brez loka. Po tem izberemo del "celote" in oblikujemo komplet "s pentljo". Tako se šamani hranijo s povezovanjem svoje teorije nizov z realnostjo.

Zdaj pa naredimo majhen trik. Vzemimo "trdno v mozolju z lokom" in združimo te "celote" po barvi, izberemo rdeče elemente. Dobili smo veliko "rdečega". Sedaj pa kočljivo vprašanje: ali sta prejeta kompleta "s pentljo" in "rdeč" isti komplet ali dva različna kompleta? Samo šamani poznajo odgovor. Natančneje, sami ne vedo ničesar, a kot pravijo, tako bo.

Ta preprost primer kaže, da je teorija množic popolnoma neuporabna, ko gre za realnost. Kaj je skrivnost? Oblikovali smo komplet "rdeči enobarvni mozoljček s pentljo". Oblikovanje je potekalo po štirih različnih merskih enotah: barva (rdeča), trdnost (polna), hrapavost (v izboklini), okraski (z lokom). Samo nabor merskih enot omogoča ustrezen opis realnih objektov v matematičnem jeziku. Tako izgleda.

Črka "a" z različnimi indeksi označuje različne merske enote. V oklepajih so označene merske enote, po katerih je v predhodni fazi dodeljena "celota". Iz oklepaja je vzeta merska enota, po kateri je nabor oblikovan. Zadnja vrstica prikazuje končni rezultat - element niza. Kot lahko vidite, če uporabljamo merske enote za oblikovanje niza, potem rezultat ni odvisen od vrstnega reda naših dejanj. In to je matematika in ne plesi šamanov s tamburini. Šamani lahko "intuitivno" pridejo do istega rezultata in ga argumentirajo z "očitnostjo", ker merske enote niso vključene v njihov "znanstveni" arzenal.

S pomočjo merskih enot je zelo enostavno razbiti enega ali združiti več sklopov v en nadnabor. Oglejmo si podrobneje algebro tega procesa.

Informacije v tem članku obrazci splošna ideja približno cela števila. Najprej je podana definicija celih števil in podani so primeri. Nato se obravnavajo cela števila na številski premici, iz katerih postane jasno, katera števila se imenujejo pozitivna cela števila in katera so negativna cela števila. Nato je prikazano, kako so spremembe količin opisane s celimi števili, negativna cela števila pa obravnavana v smislu dolga.

Navigacija po straneh.

Cela števila - definicija in primeri

Opredelitev.

Cela števila so naravna števila, število nič, pa tudi števila, nasprotna naravnim.

Definicija celih števil navaja, da je katero koli od števil 1, 2, 3, …, število 0 in tudi katero koli od števil −1, −2, −3, … celo število. Zdaj lahko enostavno pripeljemo celoštevilski primeri. Na primer, število 38 je celo število, število 70 040 je prav tako celo število, nič je celo število (spomnimo se, da nič NI naravno število, nič je celo število), števila −999 , −1 , −8 934 832 so tudi primeri celih števil.

Vsa cela števila je priročno predstaviti kot zaporedje celih števil, ki ima naslednjo obliko: 0, ±1, ±2, ±3, … Zaporedje celih števil lahko zapišemo tudi takole: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Iz definicije celih števil izhaja, da je množica naravnih števil podmnožica množice celih števil. Zato je vsako naravno število celo število, ni pa vsako celo naravno število.

Cela števila na koordinatni premici

Opredelitev.

Cela pozitivna števila so cela števila, ki so večja od nič.

Opredelitev.

Cela negativna števila so cela števila, ki so manjša od nič.

Cela pozitivna in negativna števila lahko določimo tudi z njihovim položajem na koordinatni premici. Na vodoravni koordinatni premici ležijo točke, katerih koordinate so pozitivna cela števila, desno od izhodišča. Po drugi strani pa se točke z negativnimi celimi koordinatami nahajajo levo od točke O.

Jasno je, da je množica vseh pozitivnih celih števil množica naravnih števil. Po drugi strani pa je množica vseh negativnih celih števil množica vseh števil, nasprotnih naravnim številom.

Ločeno vas opozarjamo na dejstvo, da lahko vsako naravno število varno imenujemo celo število in NE moremo nobenega celega števila imenovati naravno število. Naravno lahko imenujemo samo vsako pozitivno celo število, saj negativna cela števila in nič niso naravne.

Cela nepozitivna in cela nenegativna števila

Podajamo definicije nepozitivnih celih in nenegativnih celih števil.

Opredelitev.

Imenujejo se vsa pozitivna cela števila skupaj z ničlo cela nenegativna števila.

Opredelitev.

Cela nepozitivna števila so vsa negativna cela števila skupaj s številom 0 .

Z drugimi besedami, nenegativno celo število je celo število, ki je večje ali enako nič, nepozitivno celo število pa je celo število, ki je manjše ali enako nič.

Primeri nepozitivnih celih števil so števila -511, -10 030, 0, -2, kot primere nenegativnih celih števil pa navedimo števila 45, 506, 0, 900 321.

Najpogosteje se zaradi kratkosti uporabljata izraza "nepozitivna cela števila" in "nenegativna cela števila". Na primer, namesto fraze "število a je celo število in a je večje od nič ali enako nič", lahko rečete "a je nenegativno celo število".

Opis spreminjanja vrednosti z uporabo celih števil

Čas je, da se pogovorimo o tem, čemu so cela števila.

Glavni namen celih števil je, da je z njihovo pomočjo priročno opisati spremembo števila poljubnih elementov. Ukvarjajmo se s tem na primerih.

Recimo, da je na zalogi določena količina delov. Če na primer v skladišče pripeljemo še 400 delov, se bo število delov v skladišču povečalo, število 400 pa izraža to spremembo količine v pozitivno smer (v smeri povečanja). Če na primer iz skladišča vzamemo 100 delov, se bo število delov v skladišču zmanjšalo, število 100 pa bo izražalo spremembo količine v negativno smer (v smer zmanjšanja). Nobeni deli ne bodo prineseni v skladišče in nobeni deli ne bodo odneseni iz skladišča, potem lahko govorimo o nespremenljivosti števila delov (to pomeni, da lahko govorimo o ničelni spremembi količine).

V navedenih primerih lahko spremembo števila delov opišemo s celimi števili 400 , −100 oziroma 0. Pozitivno celo število 400 označuje pozitivno spremembo količine (povečanje). Negativno celo število −100 izraža negativno spremembo količine (zmanjšanje). Celo število 0 pomeni, da se količina ni spremenila.

Priročnost uporabe celih števil v primerjavi z uporabo naravnih števil je v tem, da ni treba izrecno navesti, ali količina narašča ali pada – celo število kvantitativno določa spremembo, predznak celega števila pa kaže smer spremembe.

Tudi cela števila lahko izražajo ne le spremembo količine, ampak tudi spremembo neke vrednosti. Ukvarjajmo se s tem na primeru spremembe temperature.

Zvišanje temperature za, recimo, 4 stopinje je izraženo kot pozitivno celo število 4. Znižanje temperature, na primer za 12 stopinj, lahko opišemo z negativnim celim številom -12. In invariantnost temperature je njena sprememba, določena s celim številom 0.

Ločeno je treba povedati o razlagi negativnih celih števil kot zneska dolga. Na primer, če imamo 3 jabolka, potem pozitivno celo število 3 predstavlja število jabolk, ki jih imamo. Po drugi strani pa, če moramo nekomu dati 5 jabolk, pa jih nimamo na voljo, lahko to situacijo opišemo z negativnim celim številom −5. V tem primeru imamo v lasti −5 jabolk, znak minus označuje dolg, številka 5 pa kvantificira dolg.

Razumevanje negativnega celega števila kot dolga omogoča na primer utemeljitev pravila seštevanja negativnih celih števil. Vzemimo primer. Če nekdo dolguje 2 jabolki eni osebi in eno jabolko drugi, potem je skupni dolg 2+1=3 jabolka, torej −2+(−1)=−3 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Y. itd. Matematika. 6. razred: učbenik za izobraževalne ustanove.

Negativna števila so prvič začeli uporabljati v stari Kitajski in Indiji, v Evropi sta jih v matematično rabo uvedla Nicolas Shuquet (1484) in Michael Stiefel (1544).

Algebraične lastnosti

$\backslash mathbb(Z)$ ni zaprt pri deljenju dveh celih števil (na primer 1/2). Naslednja tabela ponazarja več osnovnih lastnosti seštevanja in množenja za poljubna cela števila. a, b in c.

|list5=Kardinalna števila - Vsekakor se morate preseliti v posteljo, tukaj to ne bo mogoče ...
Bolnik je bil tako obkrožen z zdravniki, princesami in služabniki, da Pierre ni več videl tiste rdeče-rumene glave s sivo grivo, ki kljub temu, da je videl druge obraze, ni niti za trenutek ušla izpred oči ves čas. storitev. Pierre je po previdnem gibanju ljudi, ki so obkrožali stol, uganil, da umirajočega dvigujejo in nosijo.
»Primi se za mojo roko, tako jo boš spustil,« je zaslišal prestrašen šepet enega od služabnikov, »od spodaj ... še enega,« so rekli glasovi in ​​težko dihanje in korakanje nog ljudi je postalo bolj nagli, kot da breme, ki so ga nosili, presega njihove moči.
Nosilci, med katerimi je bila Anna Mikhailovna, so se poravnali z mladeničem in za trenutek so se izza hrbtov in glav ljudi prikazale visoke, debele, odprte prsi, bolna ramena so bila debela, ljudje so jih dvignili. ki ga drži pod pazduho, in sivolaso, kodrasto, levjo glavo. Te glave z nenavadno širokim čelom in ličnicami, čudovitimi čutnimi usti in veličastnim hladnim pogledom ni iznakazila bližina smrti. Bila je enaka, kot jo je Pierre poznal pred tremi meseci, ko ga je grof pustil v Peterburg. Toda ta glava se je nemočno zibala od neenakomernih korakov nosačev in hladen, ravnodušen pogled ni vedel, kje bi se ustavil.
Nekaj ​​minut vrveža je minilo ob visoki postelji; ljudje, ki so nosili bolnika, so se razšli. Anna Mikhailovna se je dotaknila Pierrove roke in mu rekla: "Venez." [Pojdi.] Pierre je skupaj z njo stopil do postelje, na kateri je bil v prazničnem položaju, očitno v zvezi s pravkar opravljenim zakramentom, položen bolni človek. Ležal je z glavo visoko naslonjeno na blazine. Njegove roke so bile simetrično položene na zeleno svileno odejo, z dlanmi navzdol. Ko se je Pierre približal, je grof pogledal naravnost vanj, vendar je pogledal s tistim pogledom, katerega pomena in pomena človek ne more razumeti. Ali ta pogled ni povedal čisto nič, le to, da je treba nekam pogledati, dokler so oči, ali pa je povedal preveč. Pierre se je ustavil, ne da bi vedel, kaj naj stori, in vprašujoče pogledal svojo voditeljico Ano Mihajlovno. Anna Mikhailovna mu je naglo pokazala z očmi, pokazala na pacientovo roko in ji z ustnicami poslala poljub. Pierre je pridno iztegnil vrat, da se ne bi zapletel v odejo, uresničil njen nasvet in poljubil njeno kostno in mesnato roko. Nobena roka, niti ena mišica grofovega obraza se ni tresla. Pierre je spet vprašujoče pogledal Ano Mihajlovno in zdaj vprašal, kaj naj stori. Ana Mihajlovna je z očmi pokazala na fotelj, ki je stal poleg postelje. Pierre je poslušno začel sesti na naslanjač in z očmi še naprej spraševal, ali je naredil, kar je bilo potrebno. Anna Mikhailovna je odobravajoče pokimala z glavo. Pierre je spet zavzel simetrično naivno pozo egipčanskega kipa, očitno sožaljujoč, da njegovo okorno in debelo telo zavzema tako velik prostor, in z vso svojo mentalno močjo poskušal videti čim manjšega. Pogledal je grofa. Grof je pogledal mesto, kjer je bil Pierrov obraz, medtem ko je stal. Anna Mikhailovna je v svojem položaju pokazala ganljivo pomembnost te zadnje minute srečanja med očetom in sinom. To je trajalo dve minuti, kar se je Pierru zdelo celo uro. Nenadoma se je pojavil drget v velikih mišicah in gubah grofovega obraza. Drhtenje se je stopnjevalo, lepa usta so se zvila (šele takrat je Pierre spoznal, v kolikšni meri je njegov oče blizu smrti), iz zvitih ust se je zaslišal nerazločen hripav zvok. Anna Mikhailovna je vestno pogledala pacienta v oči in poskušala uganiti, kaj potrebuje, je pokazala bodisi na Pierra, nato na pijačo, nato je šepetaje vprašujoče poklicala princa Vasilija, nato pa pokazala na odejo. Pacientove oči in obraz so kazali nestrpnost. Potrudil se je, da bi pogledal služabnika, ki je stal ob vzglavju postelje, ne da bi odšel.
»Hočejo se prevrniti na drugo stran,« je zašepetal služabnik in vstal, da bi težko grofovo telo obrnil proti steni.
Pierre je vstal, da bi pomagal služabniku.
Medtem ko so štetja obračali, mu je ena roka nemočno padla nazaj in zaman se je trudil, da bi jo vlekel. Ali je grof opazil tisto grozo, s katero je Pierre pogledal to brezživo roko, ali kakšna druga misel mu je v tistem trenutku švignila skozi umirajočo glavo, pa je pogledal neposlušno roko, izraz groze na Pierrovem obrazu, spet roko, na obrazu pa je imel šibak, trpeč nasmeh, ki se ni prilegal njegovim potezam in je tako rekoč izražal posmeh lastni nemoči. Nenadoma je Pierre ob pogledu na ta nasmeh začutil drget v prsih, ščipanje v nosu in solze so mu zameglile pogled. Pacient je bil obrnjen na bok ob steno. Zavzdihnil je.
- Il est assoupi, [Zadremal je,] - je rekla Anna Mikhailovna, ko je opazila princeso, ki je prišla zamenjati. - Allons. [Pojdimo na.]
Pierre je odšel.