Бройни системи. Основни понятия

Калкулаторът ви позволява да преобразувате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на бройната система не може да бъде по-малка от 2 и повече от 36 (все пак 10 цифри и 26 латински букви). Числата не трябва да надвишават 30 знака. За да въведете дробни числа, използвайте символа. или, . За да преобразувате число от една система в друга, въведете оригиналното число в първото поле, основата на оригиналната бройна система във второто и основата на числовата система, в която искате да преобразувате числото в третото поле, след това щракнете върху бутона "Вземи запис".

оригинален номер записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -та бройна система.

Искам да вкарам запис на номер 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.

Вземете запис

Завършени преводи: 3722471

Може също да представлява интерес:

• Калкулатор на таблицата на истината. SDNF. SKNF. Полином на Жегалкин

Бройни системи

Броевите системи са разделени на два вида: позиционенИ не позиционен. Ние използваме арабската система, тя е позиционна, има и римската - просто не е позиционна. В позиционните системи позицията на цифра в число определя еднозначно стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като се разгледа примерът за някакво число.

Пример 1. Да вземем числото 5921 в десетичната бройна система. Номерираме числото от дясно на ляво, започвайки от нула:

Числото 5921 може да се запише в следния вид: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Числото 10 е характеристика, която определя числовата система. Стойностите на позицията на даденото число се приемат като градуси.

Пример 2. Помислете за реалното десетично число 1234,567. Номерираме го, започвайки от нулевата позиция на числото от десетичната запетая наляво и надясно:

Числото 1234.567 може да бъде записано по следния начин: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 - + 2 6 +7 10 -3 .

Преобразуване на числа от една бройна система в друга

Повечето по прост начинпрехвърлянето на число от една бройна система в друга е прехвърляне на число първо към десетична системачисло и след това полученият резултат в необходимата бройна система.

Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система

За да преобразувате число от произволна бройна система в десетична, е достатъчно да номерирате цифрите му, като се започне от нула (цифрата вляво от десетичната запетая) подобно на примери 1 или 2. Нека намерим сбора от произведенията на цифрите на числото по основата на числовата система на степента на позицията на тази цифра:

1. Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетична бройна система.
Решение: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Отговор: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Преобразувайте числото E8F.2D 16 в десетична бройна система.
Решение: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Отговор: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Преобразуване на числа от десетична бройна система в друга бройна система

За да преобразувате числа от десетична бройна система в друга бройна система, целите и дробните части на числото трябва да бъдат преведени отделно.

Преобразуване на цялата част от число от десетична бройна система в друга бройна система

Цялата част се преобразува от десетичната бройна система в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на числовата система, докато се получи целочислен остатък, който е по-малък от основата на бройната система. Резултатът от прехвърлянето ще бъде запис от останките, като се започне от последния.

3. Преобразувайте числото 273 10 в осмична бройна система.
Решение: 273 / 8 = 34 и остатък 1, 34 / 8 = 4 и остатък 2, 4 е по-малък от 8, така че изчислението е завършено. Записът от остатъците ще изглежда така: 421
Преглед: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , резултатът е същият. Значи преводът е правилен.
Отговор: 273 10 = 421 8

Нека разгледаме превода на правилни десетични дроби в различни бройни системи.

Преобразуване на дробната част от число от десетична бройна система в друга бройна система

Припомнете си, че правилната десетична дроб е реално число с нула цяло число. За да преведете такова число в числова система с основа N, трябва последователно да умножите числото по N, докато дробната част се нулира или се получи необходимият брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част не се взема предвид допълнително, тъй като се въвежда последователно в резултата.

4. Преобразувайте числото 0,125 10 в двоична бройна система.
Решение: 0,125 2 = 0,25 (0 е цялата част, която ще бъде първата цифра на резултата), 0,25 2 = 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5 2 = 1,0 (1 е третата цифра на резултата , и тъй като дробната част е нула , преводът е завършен).
Отговор: 0.125 10 = 0.001 2

Основни понятия за бройните системи

Числовата система е набор от правила и техники за писане на числа с помощта на набор от цифрови знаци. Броят цифри, необходими за записване на число в системата, се нарича основа на числовата система. Основата на системата се записва вдясно от числото в индекса: ; ; и т.н.

Има два вида бройни системи:

позиционен, когато стойността на всяка цифра от число се определя от позицията му в записа на числото;

непозиционен, когато стойността на цифра в число не зависи от мястото й в записа на числото.

Пример за непозиционна бройна система е римската: числата IX, IV, XV и т.н. Пример за позиционна бройна система е десетичната система, използвана всеки ден.

Всяко цяло число в позиционната система може да бъде записано като полином:

където S е основата на числовата система;

Цифри на число, записани в дадена бройна система;

n е броят на цифрите на числото.

Пример. номер се записва в полиномна форма, както следва:

Видове бройни системи

Римската цифрова система е непозиционна система. Той използва букви от латинската азбука за запис на числа. В този случай буквата I винаги означава едно, буквата V означава пет, X означава десет, L означава петдесет, C означава сто, D означава петстотин, M означава хиляда и т.н. Например числото 264 се изписва като CCLXIV. Когато записвате числа в римската цифрова система, стойността на числото е алгебричният сбор от цифрите, включени в него. В същото време цифрите в записа на числата следват по правило в низходящ ред на техните стойности и не е позволено да се записват повече от три същите цифри. В случай, че след цифра с по-голяма стойност следва цифра с по-малка стойност, нейният принос към стойността на числото като цяло е отрицателен. Типични примери илюстриращи Общи правилазаписи на числата в римската цифрова система са дадени в таблицата.

Таблица 2. Записване на числа в римската цифрова система

Недостатъкът на римската система е липсата на формални правила за запис на числа и съответно аритметични операции с многоцифрени числа. Поради неудобството и голямата сложност римската цифрова система в момента се използва там, където е наистина удобно: в литературата (номериране на глави), в документацията (серия от паспорти, ценни книжа и т.н.), за декоративни цели на циферблата на часовника и в редица други случаи.

Десетичната бройна система в момента е най-известната и използвана. Изобретяването на десетичната бройна система е едно от основните постижения на човешката мисъл. Без него модерната технология едва ли би могла да съществува, камо ли да възникне. Причината, поради която десетичната бройна система е станала общоприета, изобщо не е математическа. Хората са свикнали да броят в десетична форма, защото имат 10 пръста на ръцете си.

Древното изображение на десетичните цифри (фиг. 1) не е случайно: всяка цифра обозначава число по броя на ъглите в него. Например 0 - без ъгли, 1 - един ъгъл, 2 - два ъгъла и т.н. Правописът на десетичните цифри е претърпял значителни промени. Формата, която използваме, е създадена през 16 век.

Десетичната система се появява за първи път в Индия около 6 век сл. Хр. Индийското номериране използва девет числови знака и нула, за да обозначи празна позиция. В ранните индийски ръкописи, които са достигнали до нас, числата са записани в обратен ред - най-много значима фигурапоставен отдясно. Но скоро стана правило да се поставя такава фигура от лявата страна. Особено значение беше придадено на нулевия символ, който беше въведен за позиционната нотация. Индийското номериране, включително нула, е достигнало до нашето време. В Европа индуистките методи на десетичната аритметика стават широко разпространени в началото на 13 век. благодарение на работата на италианския математик Леонардо от Пиза (Фибоначи). Европейците взеха назаем Индийска системасчитайки се сред арабите, наричайки го арабски. Това исторически неправилно име се запазва и до днес.

Десетичната система използва десет цифри - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, както и символите "+" и "-" за обозначаване на знака на числото и запетая или точка за разделяне на целочислените и дробните части.

Компютрите използват двоична бройна система, нейната основа е числото 2. За записване на числа в тази система се използват само две цифри - 0 и 1. Противно на общоприетото погрешно схващане, двоичната бройна система е измислена не от инженерите по компютърен дизайн, а от математици и философи много преди появата на компютрите, през седемнадесети и деветнадесети век. Първата публикувана дискусия за двоичната бройна система е от испанския свещеник Хуан Карамуел Лобковиц (1670). Общото внимание към тази система привлече статията на немския математик Готфрид Вилхелм Лайбниц, публикувана през 1703 г. Тя обяснява бинарните операции на събиране, изваждане, умножение и деление. Лайбниц не препоръчва използването на тази система за практически изчисления, но подчертава важността й за теоретичните изследвания. С течение на времето двоичната бройна система става добре позната и се развива.

Изборът на двоична система за използване в компютърните технологии се обяснява с факта, че електронните елементи - тригери, които съставляват компютърните микросхеми, могат да бъдат само в две работни състояния.

С помощта на система за двоично кодиране могат да бъдат записани всякакви данни и знания. Това е лесно да се разбере, ако си спомните принципа на кодиране и предаване на информация с помощта на морзова азбука. Телеграфният оператор, използвайки само два знака от тази азбука - точки и тире, може да предава почти всеки текст.

Двоичната система е удобна за компютър, но неудобна за човек: числата са дълги и трудни за записване и запомняне. Разбира се, можете да преобразувате числото в десетична система и да го запишете в тази форма, а след това, когато трябва да го преведете обратно, но всички тези преводи отнемат време. Затова се използват бройни системи, които са свързани с двоични - осмични и шестнадесетични. За запис на числа в тези системи са необходими съответно 8 и 16 цифри. В шестнадесетичния, първите 10 цифри са общи, а след това се използват главни латински букви. Шестнадесетичната цифра А съответства на десетичната запетая 10, шестнадесетичната В на десетичната 11 и т. н. Използването на тези системи се обяснява с факта, че преходът към запис на число във всяка от тези системи от двоичната му нотация е много прост. По-долу е дадена таблица на съответствието между числата, записани в различни системи.

Таблица 3. Съответствие на числата, записани в различни бройни системи

Правила за преобразуване на числа от една бройна система в друга

Преобразуването на числа от една бройна система в друга е важна част от машинната аритметика. Помислете за основните правила за превод.

1. За да преобразувате двоично число в десетично, е необходимо да го запишете като полином, състоящ се от произведенията на цифрите на числото и съответната степен на числото 2, и да изчислите според правилата на десетичната аритметика:

Когато превеждате, е удобно да използвате таблицата на степените на две:

Таблица 4. Силите на 2

Пример. Преобразуване на числото в десетична бройна система.

2. За да преведете осмично число в десетично, е необходимо да го напишете като полином, състоящ се от произведенията на цифрите на числото и съответната степен на числото 8, и да изчислите според правилата на десетичната аритметика:

Когато превеждате, е удобно да използвате таблицата на степените на осем:

Таблица 5. Степени на 8

Задачи на тема "Библеви системи"

Примери за решение

Задача номер 1. Как важни фигурив записа на десетичното число 357 в бройната система с основа 3?Решение:Нека преведем числото 35710 в троичната бройна система:И така, 35710 = 1110203. Числото 1110203 съдържа 6 значими цифри.Отговор: 6.

Задача номер 2. Дадени са A=A715, B=2518. Кое от числата C, записани в двоична система, отговаря на условието A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Решение:Нека преобразуваме числата A=A715 и B=2518 в двоична бройна система, като заменим всяка цифра от първото число със съответната тетрада, а всяка цифра от второто число със съответната триада: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Условие а

Задача номер 3. С коя цифра завършва десетичното число 123 в основа 6?Решение:Нека преведем числото 12310 в бройната система с основа 6:12310 = 3236. Отговор: Вписването на числото 12310 в бройната система с основа 6 завършва с числото 3.Задачи за извършване на аритметични действия върху числа, представени в различни бройни системи

Задача номер 4. Изчислете сбора от числа X и Y, ако X=1101112, Y=1358. Изразете резултата в двоичен вид.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Решение:Нека преведем числото Y=1358 в двоична бройна система, като заменим всяка от цифрите му със съответната триада: 001 011 1012. Извършете събирането:Отговор: 100101002 (вариант 2).

Задача номер 5. Намерете средноаритметичната стойност на числата 2368, 6C16 и 1110102. Изразете отговора си в десетичен знак.Решение:Нека преведем числата 2368, 6С16 и 1110102 в десетичната бройна система:
Нека изчислим средноаритметичната стойност на числата: (158+108+58)/3 = 10810.Отговор: средноаритметичната стойност на числата 2368, 6C16 и 1110102 е 10810.

Задача номер 6. Изчислете стойността на израза 2068 + AF16 ? 110010102. Направете изчисления в осмична бройна система. Преобразувайте отговора си в десетичен знак.Решение:Нека преведем всички числа в осмичната бройна система:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Нека добавим числата:Нека преобразуваме отговора в десетичната система:Отговор: 51110.

Задачи за намиране на основата на бройната система

Задача номер 7. В градината има 100q овощни дървета: 33q ябълка, 22q круша, 16q слива и 17q череша. Намерете основата на числовата система, в която се броят дърветата.Решение:В градината има 100q дървета: 100q = 33q+22q+16q+17q.Нека номерираме цифрите и представим тези числа в разширен вид:
Отговор: Дърветата се броят в числова система с основа 9.

Задача номер 8. Намерете основата x на бройната система, ако знаете, че 2002x = 13010.Решение:Отговор: 4.

Задача номер 9. В числова система с някаква основа десетичното число 18 се записва като 30. Посочете тази основа.Решение:Нека вземем основата на неизвестната бройна система като x и напишем следното уравнение:1810 = 30x;Номерираме цифрите и записваме тези числа в разширен вид:Отговор: Десетичното число 18 се записва като 30 в числова система с основа 6.

Нотацияе метод за изписване на число с помощта на определен набор от специални символи (числа).

нотация:

• дава представяне на набор от числа (целочислени и/или реални);

• дава на всяко число уникално представяне (или поне стандартно представяне);

• показва алгебричната и аритметичната структура на число.

Записването на число в някаква бройна система се нарича номер код.

Извиква се една позиция в дисплея на число освобождаване от отговорност, така че номерът на позицията е номер на ранга.

Броят на цифрите в числото се нарича битова дълбочинаи съответства на дължината му.

Броевите системи се делят на позиционенИ непозиционен.Позиционните бройни системи са разделени

на хомогеннаИ смесени.

осмична бройна система, шестнадесетична бройна система и други бройни системи.

Превод на бройни системи.Числата могат да се преобразуват от една бройна система в друга.

Таблица за съответствие на числата в различни бройни системи.

В курса на компютърните науки, независимо от училище или университет, специално място се отделя на такова понятие като бройни системи. По правило за него се отделят няколко урока или практически упражнения. Основната цел е не само да се научат основните понятия по темата, да се изучат видовете бройни системи, но и да се запознаят с двоичната, осмичната и шестнадесетичната аритметика.

Какво означава?

Нека започнем с дефиницията на основното понятие. Както се отбелязва в учебника "Информатика", числовата система е запис от числа, който използва специална азбука или определен набор от числа.

В зависимост от това дали стойността на дадена цифра се променя от нейната позиция в числото, се разграничават две: позиционни и непозиционни бройни системи.

В позиционните системи стойността на една цифра се променя с нейната позиция в числото. Така че, ако вземем числото 234, тогава числото 4 в него означава единици, но ако разгледаме числото 243, то тук вече ще означава десетки, а не единици.

В непозиционните системи стойността на една цифра е статична, независимо от нейната позиция в числото. Най-яркият пример е системата с пръчки, където всяка единица е обозначена с тире. Без значение къде зададете пръчката, стойността на числото ще се промени само с единица.

Непозиционни системи

Непозиционните числови системи включват:

1. Единна система, която се счита за една от първите. Използваше пръчки вместо числа. Колкото повече имаше, толкова по-голяма беше стойността на числото. Можете да срещнете пример за числа, написани по този начин във филми, където говорим сиза хора, изгубени в морето, затворници, които отбелязват всеки ден с помощта на прорези върху камък или дърво.
2. Римски, в който вместо цифри са използвани латински букви. Използвайки ги, можете да напишете произволно число. В същото време стойността му беше определена чрез сбора и разликата от цифрите, съставляващи числото. Ако има по-малко число вляво от цифрата, тогава лявата цифра се изважда от дясната и ако цифрата вдясно е по-малка или равна на цифрата отляво, тогава техните стойности се сумират нагоре. Например числото 11 е било написано като XI, а 9 - IX.
3. Букви, в които числата са били обозначени с помощта на азбуката на определен език. Един от тях се разглежда славянска система, в който редица букви имаха не само фонетична, но и числова стойност.
4. в който за запис са използвани само две обозначения – клинове и стрелки.
5. В Египет също са използвани специални символи за обозначаване на числа. Когато се пише число, всеки знак може да се използва не повече от девет пъти.

Позиционни системи

Много внимание се отделя в компютърните науки на позиционните бройни системи. Те включват следното:

• двоичен;
• осмичен;
• десетичен;
• шестнадесетичен;
• шестдесетичен, използван при отчитане на времето (например в минута - 60 секунди, в час - 60 минути).

Всеки от тях има своя собствена азбука за писане, правила за превод и аритметични операции.

Десетична система

Тази система ни е най-позната. Той използва числа от 0 до 9 за запис на числа. Наричат ​​се още арабски. В зависимост от позицията на цифрата в числото може да означава различни цифри – единици, десетки, стотици, хиляди или милиони. Използваме го навсякъде, знаем основните правила, по които се извършват аритметичните операции върху числата.

Двоична система

Една от основните бройни системи в компютърните науки е двоичната. Неговата простота позволява на компютъра да извършва тромави изчисления няколко пъти по-бързо, отколкото в десетичната система.

За записване на числа се използват само две цифри - 0 и 1. В същото време, в зависимост от позицията на 0 или 1 в числото, стойността му ще се промени.

Първоначално с помощта на компютрите получиха цялата необходима информация. В същото време един означава наличието на сигнал, предаван чрез напрежение, а нула означава неговото отсъствие.

Осмична система

Друга добре позната компютърна бройна система, в която се използват числа от 0 до 7. Използвана е предимно в онези области на знанието, които са свързани с цифровите устройства. Но напоследък се използва много по-рядко, тъй като е заменен от шестнадесетичната бройна система.

Двоичен десетичен

Представителство големи числав двоичната система за човек - процесът е доста сложен. За да се опрости, той е разработен.Обикновено се използва в електронни часовници, калкулатори. В тази система не цялото число се преобразува от десетичната система в двоична, а всяка цифра се превежда в съответния набор от нули и единици в двоичната система. Същото важи и за преобразуването от двоичен в десетичен. Всяка цифра, представена като четирицифрен набор от нули и единици, се превежда в цифра в десетичната бройна система. По принцип няма нищо сложно.

За работа с числа в този случай е полезна таблица с бройни системи, която ще посочи съответствието между числата и техния двоичен код.

Шестнадесетична система

Напоследък шестнадесетичната бройна система става все по-популярна в програмирането и компютърните науки. Използва не само числа от 0 до 9, но и редица латински букви - A, B, C, D, E, F.

В същото време всяка от буквите има свое собствено значение, така че A=10, B=11, C=12 и т.н. Всяко число е представено като набор от четири знака: 001F.

Преобразуване на числа: от десетичен в двоичен

Преводът в числовите системи става според определени правила. Най-често срещаното преобразуване е от двоичен в десетичен и обратно.

За да преобразувате число от десетично в двоично, е необходимо последователно да го разделите на основата на числовата система, тоест на числото две. В този случай остатъкът от всяко деление трябва да бъде фиксиран. Това ще продължи, докато остатъкът от деленето стане по-малък или равен на единица. Най-добре е изчисленията да се извършват в колона. След това получените остатъци от деленето се записват в низа в обратен ред.

Например, нека преобразуваме числото 9 в двоично:

Разделяме 9, тъй като числото не се дели равномерно, тогава вземаме числото 8, остатъкът ще бъде 9 - 1 = 1.

След като разделим 8 на 2, получаваме 4. Разделяме го отново, тъй като числото е разделено на две - получаваме 4 - 4 = 0 в остатъка.

Извършваме същата операция с 2. Остатъкът е 0.

В резултат на разделянето получаваме 1.

Независимо от крайната бройна система, прехвърлянето на числата от десетична в която и да е друга ще се извършва съгласно принципа на разделяне на числото на основата на позиционната система.

Преобразуване на числа: от двоичен в десетичен

Доста лесно е да преобразувате числата в десетични от двоични. За да направите това, достатъчно е да знаете правилата за повишаване на числата в степен. В този случай на степен две.

Алгоритъмът за превод е следният: всяка цифра от кода на двоично число трябва да се умножи по две, като първите две ще бъдат на степен m-1, втората - m-2 и т.н., където m е числото от цифри в кода. След това добавете резултатите от събирането, като получите цяло число.

За ученици този алгоритъм може да се обясни по-просто:

За начало вземаме и записваме всяка цифра, умножена по две, след което поставяме степента на две от края, започвайки от нула. След това добавете полученото число.

Например, нека анализираме с вас числото 1001, получено по-рано, преобразувайки го в десетична система, и в същото време да проверим правилността на нашите изчисления.

Ще изглежда така:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

При изучаване на тази тема е удобно да използвате таблица със степени на две. Това значително ще намали времето, необходимо за изчисления.

Други опции за превод

В някои случаи преводът може да се извърши между двоичен и осмичен, двоичен и шестнадесетичен. В този случай можете да използвате специални таблици или да стартирате приложението калкулатор на вашия компютър, като изберете опцията „Програмист“ в раздела за изглед.

Аритметични операции

Независимо от формата, в която е представено числото, е възможно да се извършват изчисления, запознати с него. Това може да бъде деление и умножение, изваждане и събиране в бройната система, която сте избрали. Разбира се, всеки от тях има свои собствени правила.

Така че за двоичната система разработени свои собствени таблици за всяка от операциите. Същите таблици се използват и в други позиционни системи.

Не е необходимо да ги запомняте - просто отпечатайте и имайте под ръка. Можете също да използвате калкулатора на вашия компютър.

Една от най-важните теми в компютърните науки е числовата система. Познаването на тази тема, разбирането на алгоритмите за превод на числа от една система в друга е гаранция, че ще можете да разберете повече трудни теми, като алгоритмизиране и програмиране, и ще можете сами да напишете първата си програма.