Задачи по темата "Счислени системи"

Примери за решение

Задача номер 1. колко значими цифрив десетична основа 357?Решение:Нека преведем числото 35710 в троичната бройна система:И така, 35710 = 1110203. Числото 1110203 съдържа 6 значими цифри.Отговор: 6.

Задача номер 2. Дадено A = A715, B = 2518. Кое от числата C, записани в двоичната система, отговаря на условието A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Решение:Нека преведем числата A = A715 и B = 2518 в двоична бройна система, като заменим всяка цифра от първото число със съответната тетрада, а всяка цифра от второто число със съответната триада: A715 = 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Условие а

Задача номер 3. С коя цифра завършва десетичното число 123 с основа 6?Решение:Нека преведем числото 12310 в числова система с основа 6:12310 = 3236. Отговор: Номерът на записа 12310 в системата на база 6 завършва с цифра 3.Задачи за извършване на аритметични действия върху числа, представени в различни бройни системи

Задача номер 4. Изчислете сумата от числата X и Y, ако X = 1101112, Y = 1358. Представете резултата в двоичен вид.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Решение:Нека преведем числото Y = 1358 в двоична система, като заменим всяка негова цифра със съответната триада: 001 011 1012. Нека добавим:Отговор: 100101002 (вариант 2).

Задача номер 5. Намерете средноаритметичната стойност на числата 2368, 6C16 и 1110102. Представете отговора си в десетичен запис.Решение:Нека преведем числата 2368, 6С16 и 1110102 в десетичната бройна система:
Нека изчислим средноаритметичната стойност на числата: (158 + 108 + 58) / 3 = 10810.Отговор: средноаритметичната стойност на числата 2368, 6C16 и 1110102 е 10810.

Задача номер 6. Оценете стойността на израза 2068 + AF16? 110010102. Изчислете в осмична бройна система. Преобразувайте отговора си в десетичен знак.Решение:Нека преведем всички числа в осмичната бройна система:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Нека добавим числата:Нека преведем отговора в десетичната система:Отговор: 51110.

Задачи за намиране на основата на бройната система

Задача номер 7. В градината има 100q овощни дървета: 33q ябълкови дървета, 22q круши, 16q сливи и 17q череши. Намерете основата, в която се броят дърветата.Решение:В градината има 100q дървета: 100q = 33q + 22q + 16q + 17q.Нека номерираме цифрите и представим тези числа в разширен вид:
Отговор: Дърветата се броят в база 9.

Задача номер 8. Намерете основата x на бройната система, ако знаете, че 2002x = 13010.Решение:Отговор: 4.

Задача номер 9. В бройната система с някаква основа десетичното число 18 се записва като 30. Посочете тази основа.Решение:Вземаме основата на неизвестната бройна система като x и съставяме следното равенство:1810 = 30x;Нека номерираме цифрите и запишем тези числа в разширен вид:Отговор: Десетичното число 18 се записва като 30 в основа 6.

Калкулаторът ви позволява да преобразувате цели и дробни числа от една бройна система в друга. Основата на бройната система не може да бъде по-малка от 2 и повече от 36 (все пак 10 цифри и 26 латински букви). Числата могат да бъдат с дължина до 30 знака. Използвайте символа за въвеждане на дробни числа. или, . За да преобразувате число от една система в друга, въведете оригиналното число в първото поле, основата на оригиналната бройна система във второто и основата на числовата система, към която искате да преведете числото в третото поле, и след това щракнете върху бутона "Вземи запис".

Оригинален номер записани в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -та бройна система.

Искам да получа запис на номера 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -та бройна система.

Вземете запис

Завършени преводи: 3722471

Може също да е интересно:

• Калкулатор на таблицата на истината. SDNF. SKNF. Полином на Жегалкин

Бройни системи

Броевите системи са разделени на два вида: позиционени не позиционен... Използваме арабската система, тя е позиционна, има и римската - просто не е позиционна. В позиционните системи позицията на цифра в число определя еднозначно стойността на това число. Това е лесно да се разбере, като се разгледа примерът с число.

Пример 1... Да вземем числото 5921 в десетичен запис. Нека номерираме числото от дясно на ляво, започвайки от нула:

Числото 5921 може да бъде записано в следния вид: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Числото 10 е характеристика, която определя бройната система. Стойностите на позицията на даденото число се приемат като градуси.

Пример 2... Помислете за реалното десетично число 1234,567. Нека го номерираме, започвайки от нулевата позиция на числото от десетичната запетая наляво и надясно:

Числото 1234.567 може да бъде записано в следната форма: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0.5 + 0.06 + 0.007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 + · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.

Преобразуване на числа от една бройна система в друга

Повечето по прост начинпрехвърлянето на число от една бройна система в друга означава прехвърляне на числото първо в десетичната бройна система, а след това получения резултат в необходимата бройна система.

Преобразуване на числа от произволна бройна система в десетична бройна система

За да преобразувате число от произволна бройна система в десетична, е достатъчно да номерирате цифрите му, започвайки от нула (мястото вляво от десетичната запетая), подобно на примери 1 или 2. Нека намерим сбора от произведенията на цифрите на числото по основата на числовата система в степента на позицията на тази цифра:

1. Преобразувайте числото 1001101.1101 2 в десетична нотация.
Решение: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Отговор: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Преобразувайте E8F.2D 16 в десетична нотация.
Решение: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,1750
Отговор: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Преобразуване на числа от десетична бройна система в друга бройна система

За да преобразувате числа от десетичната бройна система в друга бройна система, целите и дробните части на числото трябва да бъдат преведени отделно.

Преобразуване на цялата част от число от десетичната бройна система в друга бройна система

Цялата част се преобразува от десетичната бройна система в друга бройна система чрез последователно разделяне на цялата част от числото на основата на числовата система, докато се получи целият остатък, който е по-малък от основата на бройната система. Резултатът от превода ще бъде запис от баланса, като се започне с последния.

3. Преобразувайте числото 273 10 в осмична бройна система.
Решение: 273/8 = 34 и остатък 1, 34/8 = 4 и остатък 2, 4 е по-малък от 8, така че изчисленията са завършени. Записът от остатъците ще изглежда така: 421
Преглед: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, резултатът е същият. Това означава, че преводът е направен правилно.
Отговор: 273 10 = 421 8

Нека разгледаме превода на правилни десетични дроби в различни бройни системи.

Преобразуване на дробната част от число от десетичната бройна система в друга бройна система

Припомнете си, че правилната десетична дроб се нарича реално число с нула цяло число... За да преобразувате такова число в основната N бройна система, трябва последователно да умножите числото по N, докато дробната част стане нула или се получи необходимият брой цифри. Ако по време на умножението се получи число с цяла част, различна от нула, тогава цялата част не се взема предвид по-нататък, тъй като се въвежда последователно в резултата.

4. Преобразуване на двоично число 0,125 10.
Решение: 0,125 2 = 0,25 (0 е цялата част, която ще стане първата цифра на резултата), 0,25 2 = 0,5 (0 е втората цифра на резултата), 0,5 2 = 1,0 (1 е третата цифра на резултата , и тъй като дробната част е равна на нула , тогава транслацията е пълна).
Отговор: 0.125 10 = 0.001 2

Основни понятия за бройните системи

Системата от числа е набор от правила и техники за писане на числа с помощта на набор от цифрови знаци. Броят цифри, необходими за записване на число в системата, се нарича основа на числовата система. Основата на системата се записва с правилните числа в индекса:; ; и т.н.

Има два вида бройни системи:

позиционен, когато стойността на всяка цифра от число се определя от позицията му в записа на числата;

непозиционен, когато стойността на цифрата в числото не зависи от мястото й в записа на числото.

Пример за непозиционна бройна система е римската: числата IX, IV, XV и т.н. Пример за позиционна бройна система е десетичната система, използвана ежедневно.

Всяко цяло число в позиционната система може да бъде записано под формата на полином:

където S е основата на числовата система;

Цифри на числото, записано в дадена бройна система;

n - броят на цифрите на числото.

Пример. номер ще бъде записано под формата на полином, както следва:

Видове бройни системи

Римската цифрова система е непозиционна система. Той използва букви от латинската азбука за запис на числа. Освен това буквата I винаги означава едно, буквата V е пет, X е десет, L е петдесет, C е сто, D е петстотин, M е хиляда и т.н. Например числото 264 се изписва като CCLXIV. При записване на числа в римската цифрова система стойността на числото е алгебричната сума от цифрите, включени в нея. В този случай числата в записа на числа следват по правило в низходящ ред на стойностите си и не е позволено да се изписват повече от три едно до друго еднакви цифри... В случай, че след цифра с голяма стойност следва цифра с по-малка, нейният принос към стойността на числото като цяло е отрицателен. Типични илюстриращи примери Общи правилазаписи на числата в римската цифрова система са дадени в таблицата.

Таблица 2. Записване на числа в римската цифрова система

Недостатъкът на римската система е липсата на формални правила за запис на числа и съответно аритметични операции с многоцифрени числа. Поради неудобството и голямата сложност римската цифрова система в момента се използва там, където е наистина удобно: в литературата (номериране на глави), в документацията (серия от паспорти, ценни книжа и т.н.), за декоративни цели на циферблата на часовник и в редица други случаи.

Десетичната бройна система в момента е най-известната и използвана. Изобретяването на десетичната бройна система принадлежи към основните постижения на човешката мисъл. Без него модерната технология едва ли би могла да съществува, камо ли да се появи. Причината, поради която десетичната бройна система е станала общоприета, изобщо не е математическа. Хората са свикнали да броят в десетична форма, защото имат 10 пръста на ръцете си.

Древното изобразяване на десетичните цифри (фиг. 1) не е случайно: всяка цифра обозначава число според броя на ъглите в него. Например 0 - без ъгли, 1 - един ъгъл, 2 - два ъгъла и т.н. Писането на десетични цифри е претърпяло значителни промени. Формата, която използваме, е създадена през 16 век.

Десетичната система се появява за първи път в Индия около 6 век сл. Хр. Индийското номериране използва девет числови знака и нула за обозначаване на празна позиция. В ранните индийски ръкописи, които са достигнали до нас, числата са записани в обратен ред, като най-значимото число е вдясно. Но скоро стана правило да се поставя такъв номер от лявата страна. Особено значение беше придадено на нулевия символ, който беше въведен за системата за позиционни нотации. Индийското номериране, включително нула, е оцеляло до нашето време. В Европа индуистките методи на десетичната аритметика стават широко разпространени в началото на 13 век. благодарение на трудовете на италианския математик Леонардо от Пиза (Фибоначи). Европейците взеха назаем Индийска системасчитайки се сред арабите, наричайки го арабски. Това исторически неправилно име се запазва и до днес.

Десетичната система използва десет цифри - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, както и символи "+" и "-" за обозначаване на знака на число и запетая или точка за разделяне на цели и дробни части.числа.

Компютрите използват двоична бройна система, нейната основа е числото 2. За записване на числа в тази система се използват само две цифри - 0 и 1. Противно на общоприетото погрешно схващане, двоичната бройна система е измислена не от инженерите по компютърен дизайн, а от математици и философи много преди появата на компютрите, през седемнадесети и деветнадесети век. Първата публикувана дискусия за двоичната бройна система принадлежи на испанския свещеник Хуан Карамуел Лобковиц (1670 г.). Общото внимание към тази система е привлечено от статия на немския математик Готфрид Вилхелм Лайбниц, публикувана през 1703 г. В нея се обясняват бинарните операции на събиране, изваждане, умножение и деление. Лайбниц не препоръчва използването на тази система за практически изчисления, но подчертава важността й за теоретичните изследвания. С течение на времето двоичната бройна система стана добре известна и развита.

Изборът на двоична система за използване в изчисленията се обяснява с факта, че електронните елементи - тригери, изграждащи компютърните микросхеми - могат да бъдат само в две работни състояния.

Всички данни и знания могат да бъдат записани с помощта на система за двоично кодиране. Това е лесно да се разбере, ако си спомните принципа на кодиране и предаване на информация с помощта на морзова азбука. Телеграфният оператор, използвайки само два символа от тази азбука - точки и тире, може да предава почти всеки текст.

Двоичната система е удобна за компютър, но неудобна за човек: числата са дълги и трудни за записване и запомняне. Разбира се, можете да преобразувате число в десетична система и да го запишете в тази форма, а след това, когато трябва да го преведете обратно, но всички тези преводи отнемат време. Затова се използват бройните системи, сродни на двоични - осмични и шестнадесетични. За запис на числа в тези системи са необходими съответно 8 и 16 цифри. В шестнадесетичния, първите 10 цифри са общи, а след това се използват главни латински букви. Шестнадесетичната цифра А съответства на десетичната запетая 10, шестнадесетичната В - десетичната 11 и т. н. Използването на тези системи се обяснява с факта, че преходът към запис на число във всяка от тези системи от двоичната му нотация е много прост. По-долу е дадена таблица на съответствието между числата, записани в различни системи.

Таблица 3. Съответствие на числата, записани в различни бройни системи

Правила за превод на числа от една бройна система в друга

Преобразуването на числа от една бройна система в друга е важна част от машинната аритметика. Нека разгледаме основните правила за превод.

1. За превод двоично числов десетичен знак е необходимо да го запишете под формата на полином, състоящ се от произведенията на цифрите на числото и съответната степен на числото 2, и да го изчислите според правилата на десетичната аритметика:

Когато превеждате, е удобно да използвате таблицата на степените на две:

Таблица 4. Силите на 2

Пример. Преобразувайте числото в десетична нотация.

2. За да преобразувате осмично число в десетично число, е необходимо да го запишете под формата на полином, състоящ се от произведенията на цифрите на числото и съответната степен на числото 8, и да го изчислите според правилата на десетичната запетая аритметика:

Когато превеждате, е удобно да използвате таблицата на мощностите на осемте:

Таблица 5. Силите на 8

Бройна система (eng.numeral system или система за номериране) - символен метод за записване на числа, представляващ числа с помощта на писмени знаци

Какво е основа и основа на числовата система?

определение: Основата на бройната система е броят на различните знаци или знаци, които
се използват за представяне на числа в тази система.
За основа се взема всяко естествено число - 2, 3, 4, 16 и т.н. Тоест има безгранично
много позиционни системи. Например за десетичната система основата е 10.

Определянето на основата е много лесно, просто трябва да преизчислите броя на значимите цифри в системата. Ако е по-просто, тогава това е числото, с което започва втората цифра на числото. Например, използваме числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Има точно 10 от тях, следователно основата на нашата бройна система също е 10, а числовата система е наречен "десетичен". В горния пример се използват числата 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (спомагателните 10, 100, 1000, 10000 и т.н. не се броят). Тук има и 10 основни цифри, а числовата система е десетична.

Системна база е поредица от числа, използвани за писане. Нито една система няма число, равно на основата на системата.

Както може да се досетите, колко числа има, може да бъде същият брой бази на бройните системи. Но се използват само най-удобните радикали. Защо според вас основата на най-често срещаната човешка числова система е 10? Да, точно защото имаме 10 пръста на ръцете си. „Но на едната ръка има само пет пръста“, ще кажат някои и ще бъдат прави. Историята на човечеството познава примери за петкратни бройни системи. "И с крака - двадесет пръста" - ще кажат други и те също ще бъдат напълно прави. Това са мислили индианците маи. Това се вижда дори от броя им.

Десетична бройна система

Всички сме свикнали да броим с числа и числа, познати ни от детството. Едно, две, три, четири и т.н. В нашата ежедневна система за номериране има само десет цифри (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), от които съставяме произволни числа. След като достигнем десет, добавяме едно към цифрата вляво и отново започваме да броим от нула в най-дясната цифра. Тази бройна система се нарича десетична.

Не е трудно да се досетим, че нашите предци са го избрали, защото броят на пръстите на двете ръце е десет. Но какви други бройни системи има? Винаги ли сте използвали десетичната бройна система или имаше и други?

Историята на появата на бройните системи

Преди изобретяването на нулата са написани числата специални знаци... Всяка нация имаше своя собствена. V Древен Рим, например преобладаваше непозиционна бройна система.

Броевата система се нарича непозиционна, ако стойността на цифрата не зависи от пространството, което заема. Броевите системи, използвани в Русия и в Древна Гърция, се считат за най-съвършените бройни системи.

В тях големи числаобозначени с букви, но с добавяне на допълнителни символи (1 - a, 100 -i и др.). Друга непозиционна бройна система е тази, използвана в Древен Вавилон. В своята система жителите на Вавилон са използвали обозначението в "два етажа" и само три знака: Един във вавилонската числова система - за един, Десет във вавилонската бройна система - за десет и нула във вавилонската числова система - за нула.

Позиционни бройни системи

Позиционните системи се превърнаха в стъпка напред. Сега десетичната запетая спечели навсякъде, но има и други системи, които често се използват в приложните науки. Пример за такава бройна система е двоичната бройна система.
Двоична бройна система

Именно на него комуникират компютрите и цялата електроника във вашия дом. В тази бройна система се използват само две цифри: 0 и 1. Питате, защо не научите компютъра да брои до десет, като човек? Отговорът лежи на повърхността.

Лесно е да научите колата да прави разлика между два символа: включено означава 1, изключено означава 0; има ток - 1, няма ток - 0. Имаше опити да се направят машини, които да различават повече числа. Но всички те се оказаха ненадеждни, компютрите бяха объркани през цялото време: или 1 дойде при тях, или 2.

Ние сме заобиколени от много различни бройни системи. Всеки от тях е полезен в своята област. А отговорът на въпроса кое и кога да използваме е наш.

Нотацияе метод за изписване на число с помощта на определен набор от специални символи (числа).

нотация:

• дава представяне на набор от числа (цели и/или реални);

• дава на всяко число уникално представяне (или поне стандартно представяне);

• показва алгебричната и аритметичната структура на число.

Записването на число в определена бройна система се нарича номер код.

Извиква се отделна позиция в дисплея на число освобождаване от отговорност, което означава, че номерът на позицията е номер на ранга.

Броят на битовете в числото се нарича битливости съответства на дължината му.

Броевите системи се делят на позиционени непозиционен.Позиционните бройни системи са разделени

на хомогеннаи смесени.

осмична бройна система, шестнадесетична бройна система и други бройни системи.

Превод на бройни системи.Числата могат да се превеждат от една бройна система в друга.

Таблица за съответствие на числата в различни бройни системи.