cijeli brojevi i desetine. Cijeli brojevi: opći prikaz

U ovom članku ćemo definirati skup cijelih brojeva, razmotriti koji se cijeli brojevi nazivaju pozitivni, a koji negativni. Također ćemo pokazati kako se cijeli brojevi koriste za opisivanje promjene nekih veličina. Počnimo s definicijom i primjerima cijelih brojeva.

Cijeli brojevi. Definicija, primjeri

Prvo, prisjetimo se prirodnih brojeva ℕ. Samo ime sugerira da su to brojevi koji se prirodno koriste za brojanje od pamtivijeka. Da bismo pokrili koncept cijelih brojeva, moramo proširiti definiciju prirodnih brojeva.

Definicija 1. Cijeli brojevi

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, njihove suprotnosti i broj nula.

Skup cijelih brojeva je označen slovom ℤ.

Skup prirodnih brojeva ℕ je podskup cijelih brojeva ℤ. Svaki prirodni broj je cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.

Iz definicije slijedi da je bilo koji od brojeva 1, 2, 3 cijeli broj. . , broj 0 , kao i brojevi - 1 , - 2 , - 3 , . .

Shodno tome, dajemo primjere. Brojevi 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 su cijeli brojevi.

Neka koordinatna linija bude nacrtana vodoravno i usmjerena udesno. Pogledajmo to kako bismo vizualizirali lokaciju cijelih brojeva na pravoj liniji.

Referentna tačka na koordinatnoj liniji odgovara broju 0, a tačke koje leže sa obe strane nule odgovaraju pozitivnim i negativnim celim brojevima. Svaka tačka odgovara jednom cijelom broju.

Bilo koja tačka na pravoj liniji čija je koordinata cijeli broj može se doći ako se odvoji određeni broj jediničnih segmenata od početka.

Pozitivni i negativni cijeli brojevi

Od svih cijelih brojeva, logično je razlikovati pozitivne i negativne cijele brojeve. Hajde da damo njihove definicije.

Definicija 2. Pozitivni cijeli brojevi

Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom plus.

Na primjer, broj 7 je cijeli broj sa predznakom plus, odnosno pozitivan cijeli broj. Na koordinatnoj liniji ovaj broj leži desno od referentne tačke, za koju se uzima broj 0. Ostali primjeri pozitivnih cijelih brojeva: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definicija 3. Negativni cijeli brojevi

Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi sa predznakom minus.

Primjeri negativnih cijelih brojeva: - 528 , - 2568 , - 1 .

Broj 0 razdvaja pozitivne i negativne cijele brojeve i sam po sebi nije ni pozitivan ni negativan.

Svaki broj koji je suprotan pozitivnom cijelom broju je, po definiciji, negativan cijeli broj. I obrnuto je tačno. Recipročna vrijednost bilo kojeg negativnog cijelog broja je pozitivan cijeli broj.

Moguće je dati i druge formulacije definicija negativnih i pozitivnih cijelih brojeva, koristeći njihovo poređenje sa nulom.

Definicija 4. Pozitivni cijeli brojevi

Pozitivni cijeli brojevi su cijeli brojevi koji su veći od nule.

Definicija 5. Negativni cijeli brojevi

Negativni cijeli brojevi su cijeli brojevi koji su manji od nule.

Prema tome, pozitivni brojevi leže desno od početka na koordinatnoj liniji, a negativni cijeli brojevi leže lijevo od nule.

Ranije smo rekli da su prirodni brojevi podskup cijelih brojeva. Hajde da razjasnimo ovu tačku. Skup prirodnih brojeva su pozitivni cijeli brojevi. Zauzvrat, skup negativnih cijelih brojeva je skup brojeva suprotnih prirodnim.

Bitan!

Svaki prirodni broj se može nazvati cijelim brojem, ali bilo koji cijeli broj se ne može nazvati prirodnim brojem. Odgovarajući na pitanje da li jesu negativni brojevi prirodni, morate hrabro reći - ne, nisu.

Nepozitivni i nenegativni cijeli brojevi

Hajde da damo definicije.

Definicija 6. Nenegativni cijeli brojevi

Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi i broj nula.

Definicija 7. Nepozitivni cijeli brojevi

Nepozitivni cijeli brojevi su negativni cijeli brojevi i broj nula.

Kao što vidite, broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Primjeri nenegativnih cijelih brojeva: 52 , 128 , 0 .

Primjeri nepozitivnih cijelih brojeva: - 52 , - 128 , 0 .

Nenegativan broj je broj veći ili jednak nuli. Prema tome, nepozitivan cijeli broj je broj manji ili jednak nuli.

Izrazi "ne-pozitivan broj" i "ne-negativan broj" koriste se radi sažetosti. Na primjer, umjesto da kažete da je broj a cijeli broj veći ili jednak nuli, možete reći: a nije negativan cijeli broj.

Upotreba cijelih brojeva pri opisivanju promjena u vrijednostima

Za šta se koriste cijeli brojevi? Prije svega, uz njihovu pomoć prikladno je opisati i odrediti promjenu broja bilo kojeg objekta. Uzmimo primjer.

Neka se u skladištu uskladišti određeni broj radilica. Ako se u skladište donese još 500 radilica, njihov broj će se povećati. Broj 500 samo izražava promjenu (povećanje) broja dijelova. Ako se tada iz skladišta odnese 200 dijelova, onda će ovaj broj karakterizirati i promjenu broja radilica. Ovaj put, u pravcu smanjenja.

Ako se ništa ne uzme iz skladišta, a ništa se ne donese, tada će broj 0 označavati nepromjenjivost broja dijelova.

Očigledna pogodnost korištenja cijelih brojeva, za razliku od prirodnih brojeva, je da njihov predznak jasno ukazuje na smjer promjene veličine (povećanje ili smanjenje).

Smanjenje temperature za 30 stepeni može se okarakterisati negativnim brojem - 30, a povećanje za 2 stepena - pozitivnim celim brojem 2.

Evo još jednog primjera korištenja cijelih brojeva. Ovaj put, zamislimo da nekome moramo dati 5 novčića. Tada možemo reći da imamo - 5 novčića. Broj 5 opisuje iznos duga, a znak minus označava da moramo vratiti novčiće.

Ako jednoj osobi dugujemo 2 novčića, a drugoj 3, onda se ukupan dug (5 novčića) može izračunati po pravilu zbrajanja negativnih brojeva:

2 + (- 3) = - 5

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Postoji mnogo vrsta brojeva, a jedan od njih su cijeli brojevi. Cijeli brojevi su se pojavili kako bi se olakšalo brojanje ne samo u pozitivnom smjeru, već iu negativnom.

Razmotrimo primjer:
Tokom dana napolju je bilo 3 stepena. Do večeri temperatura je pala za 3 stepena.
3-3=0
Napolju je bilo 0 stepeni. A noću je temperatura pala za 4 stepena i počela je pokazivati ​​na termometru -4 stepena.
0-4=-4

Niz cijelih brojeva.

Takav problem ne možemo opisati prirodnim brojevima, ovaj problem ćemo razmatrati na koordinatnoj liniji.

Imamo niz brojeva:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Ova serija brojeva se zove pored celih brojeva.

Cjelobrojni pozitivni brojevi. Cijeli negativni brojevi.

Niz cijelih brojeva sastoji se od pozitivnih i negativnih brojeva. Desno od nule su prirodni brojevi, ili se oni takođe nazivaju cijelim pozitivnim brojevima. I lijevo od nule cijelih negativnih brojeva.

Nula nije ni pozitivna ni negativna. To je granica između pozitivnih i negativnih brojeva.

je skup brojeva koji se sastoji od prirodnih brojeva, negativnih cijelih brojeva i nule.

Niz cijelih brojeva u pozitivnim i negativnim smjerovima je beskrajno mnoštvo.

Ako uzmemo bilo koja dva cijela broja, tada će biti pozvani brojevi između ovih cijelih brojeva krajnji set.

Na primjer:
Uzmimo cijele brojeve od -2 do 4. Svi brojevi između ovih brojeva su uključeni u konačni skup. Naš konačni skup brojeva izgleda ovako:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Prirodni brojevi se označavaju latiničnim slovom N.
Cijeli brojevi su označeni latiničnim slovom Z. Cijeli skup prirodnih brojeva i cijelih brojeva može se prikazati na slici.


Nepozitivni cijeli brojevi drugim riječima, oni su negativni cijeli brojevi.
Nenegativni cijeli brojevi su pozitivni cijeli brojevi.

Jednostavno rečeno, to je povrće kuhano u vodi po posebnoj recepturi. Razmotrit ću dvije početne komponente (salata od povrća i voda) i gotov rezultat - boršč. Geometrijski, ovo se može predstaviti kao pravougaonik u kojem jedna strana označava zelenu salatu, a druga vodu. Zbir ove dvije strane označava boršč. Dijagonala i površina takvog pravokutnika "boršč" su čisto matematički koncepti i nikada se ne koriste u receptima za boršč.

Nećete naći ništa o funkcijama linearnog ugla u udžbenicima matematike. Ali bez njih ne može biti matematike. Zakoni matematike, kao i zakoni prirode, funkcionišu bez obzira da li znamo da postoje ili ne.

Linearne ugaone funkcije su zakoni sabiranja. Pogledajte kako se algebra pretvara u geometriju, a geometrija u trigonometriju.

Je li moguće bez linearnih ugaonih funkcija? Možete, jer matematičari se i dalje snalaze bez njih. Trik matematičara je u tome što nam uvijek govore samo o onim problemima koje sami mogu riješiti, a nikada nam ne govore o onim problemima koje ne mogu riješiti. Vidi. Ako znamo rezultat sabiranja i jednog člana, koristimo oduzimanje da pronađemo drugi član. Sve. Druge probleme ne poznajemo i nismo u stanju da ih rešimo. Šta učiniti ako znamo samo rezultat sabiranja, a ne znamo oba pojma? U ovom slučaju, rezultat sabiranja se mora razložiti na dva člana korištenjem linearnih kutnih funkcija. Nadalje, sami biramo šta može biti jedan pojam, a linearne ugaone funkcije pokazuju kakav bi trebao biti drugi član da bi rezultat sabiranja bio upravo ono što nam treba. Može postojati beskonačan broj takvih parova pojmova. IN Svakodnevni život radimo jako dobro bez razlaganja sume, dovoljno nam je oduzimanje. Ali u naučnim studijama zakona prirode, proširenje sume u termine može biti veoma korisno.

Još jedan zakon sabiranja o kome matematičari ne vole da govore (još jedan njihov trik) zahteva da termini imaju istu jedinicu mere. Za zelenu salatu, vodu i boršč, to mogu biti jedinice težine, zapremine, cijene ili jedinice mjere.

Na slici su prikazana dva nivoa razlike za matematiku. Prvi nivo su razlike u polju brojeva koje su naznačene a, b, c. To rade matematičari. Drugi nivo su razlike u području mjernih jedinica koje su prikazane u uglastim zagradama i označene slovom U. To rade fizičari. Možemo razumjeti treći nivo - razlike u obimu opisanih objekata. Različiti objekti mogu imati isti broj istih jedinica mjere. Koliko je to važno, vidimo na primjeru boršč trigonometrije. Ako dodamo indekse u istu notaciju za mjerne jedinice različitih objekata, možemo tačno reći koja matematička veličina opisuje određeni objekt i kako se mijenja tokom vremena ili u vezi s našim djelovanjem. pismo W Vodu ću označiti slovom S Salatu ću označiti slovom B- Borsch. Evo kako bi izgledale funkcije linearnog ugla za boršč.

Ako uzmemo dio vode i dio salate, zajedno će se pretvoriti u jednu porciju boršča. Ovdje predlažem da se malo odmorite od boršča i prisjetite se svog dalekog djetinjstva. Sjećate se kako su nas učili da spajamo zečiće i patke? Trebalo je pronaći koliko će životinja ispasti. Šta smo onda učili da radimo? Učili su nas da odvajamo jedinice od brojeva i sabiramo brojeve. Da, bilo koji broj se može dodati bilo kojem drugom broju. Ovo je direktan put ka autizmu moderne matematike - ne razumijemo šta, nije jasno zašto, a vrlo slabo razumijemo i kako se to odnosi na stvarnost, jer od tri nivoa razlike, matematičari operišu samo na jednom. Bit će ispravnije naučiti kako prijeći s jedne mjerne jedinice na drugu.

I zečići, i patke, i male životinje mogu se izbrojati u komadima. Jedna zajednička mjerna jedinica za različite objekte nam omogućava da ih saberemo. Ovo je dječja verzija problema. Pogledajmo sličan problem za odrasle. Šta dobijete kada dodate zečiće i novac? Ovdje postoje dva moguća rješenja.

Prva opcija. Određujemo tržišnu vrijednost zečića i dodajemo je raspoloživoj gotovini. Dobili smo ukupnu vrijednost našeg bogatstva u novcu.

Druga opcija. Broj zečića možete dodati broju novčanica koje imamo. Dobit ćemo iznos pokretne imovine u komadima.

Kao što vidite, isti zakon sabiranja vam omogućava da dobijete različite rezultate. Sve zavisi od toga šta tačno želimo da znamo.

Ali vratimo se našem boršu. Sada možemo vidjeti šta će se dogoditi kada različita značenja ugao linearnih ugaonih funkcija.

Ugao je nula. Imamo salatu, ali nemamo vodu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je također nula. To uopće ne znači da je nula boršča jednaka nuli vode. Zero borsch može biti i na nula salate (pravi ugao).

Za mene lično, ovo je glavni matematički dokaz činjenice da . Nula ne mijenja broj kada se doda. To je zato što je samo zbrajanje nemoguće ako postoji samo jedan član, a drugi član nedostaje. Možete se odnositi prema ovome kako hoćete, ali zapamtite - sve matematičke operacije s nulom izmislili su sami matematičari, pa odbacite svoju logiku i glupo trpajte definicije koje su izmislili matematičari: "podjela na nulu je nemoguće", "bilo koji broj pomnožen sa nulom jednako nuli" , "iza tačke nula" i ostale gluposti. Dovoljno je jednom zapamtiti da nula nije broj i nikada nećete imati pitanje da li je nula prirodan broj ili nije, jer takvo pitanje generalno gubi svaki smisao: kako se može smatrati brojem ono što nije broj . To je kao da pitate kojoj boji da pripišete nevidljivu boju. Dodavanje nule broju je kao slikanje bojom koja ne postoji. Mahali su suvim kistom i govorili svima da smo "farbali". Ali malo sam skrenuo pažnju.

Ugao je veći od nule, ali manji od četrdeset pet stepeni. Imamo puno zelene salate, ali malo vode. Kao rezultat, dobijamo gusti boršč.

Ugao je četrdeset pet stepeni. Imamo jednake količine vode i zelene salate. Ovo je savršeni boršč (neka mi kuvari oproste, to je samo matematika).

Ugao je veći od četrdeset pet stepeni, ali manji od devedeset stepeni. Imamo puno vode i malo zelene salate. Uzmi tečni boršč.

Pravi ugao. Imamo vodu. Ostale su samo uspomene na zelenu salatu, dok nastavljamo da merimo ugao od linije koja je nekada označavala salatu. Ne možemo da kuvamo boršč. Količina boršča je nula. U tom slučaju, sačekajte i pijte vodu dok je dostupna)))

Evo. Ovako nešto. Ovdje mogu ispričati druge priče koje će ovdje biti više nego primjerene.

Dva prijatelja su imala svoje udjele u zajedničkom poslu. Nakon ubistva jednog od njih, sve je otišlo na drugog.

Pojava matematike na našoj planeti.

Sve ove priče su ispričane jezikom matematike koristeći linearne ugaone funkcije. Neki drugi put ću vam pokazati pravo mjesto ovih funkcija u strukturi matematike. U međuvremenu, vratimo se na trigonometriju boršča i razmotrimo projekcije.

Subota, 26.10.2019

Srijeda, 07.08.2019

Završavajući razgovor o , Moramo razmotriti beskonačan skup. Dao u tome da koncept "beskonačnosti" djeluje na matematičare, kao boa constrictor na zeca. Drhtavi užas beskonačnosti lišava matematičare zdrav razum. Evo primjera:

Izvorni izvor se nalazi. Alfa označava realan broj. Znak jednakosti u gornjim izrazima pokazuje da ako dodate broj ili beskonačnost beskonačnosti, ništa se neće promijeniti, rezultat će biti ista beskonačnost. Ako za primjer uzmemo beskonačan skup prirodnih brojeva, onda se razmatrani primjeri mogu predstaviti na sljedeći način:

Kako bi vizuelno dokazali svoj slučaj, matematičari su smislili mnogo različitih metoda. Ja lično na sve ove metode gledam kao na ples šamana s tamburama. U suštini, svi se svode na to da ili neke sobe nisu zauzete i da se u njih nastanjuju novi gosti, ili da se neki posetioci izbace u hodnik da se napravi mesta za goste (vrlo ljudski). Svoje viđenje takvih odluka iznio sam u obliku fantastične priče o Plavuši. Na čemu se zasniva moje rezonovanje? Premještanje beskonačnog broja posjetitelja traje beskonačno vrijeme. Nakon što napustimo prvu gostinjsku sobu, jedan od posetilaca će uvek hodati hodnikom od svoje sobe do sledeće do kraja vremena. Naravno, vremenski faktor se može glupo zanemariti, ali ovo će već biti iz kategorije "zakon nije pisan za budale". Sve zavisi od toga šta radimo: prilagođavamo stvarnost matematičkim teorijama ili obrnuto.

Šta je "beskonačan hotel"? Infinity gostionica je gostionica koja uvijek ima bilo koji broj slobodnih mjesta, bez obzira na to koliko je soba zauzeto. Ako su sve prostorije u beskrajnom hodniku "za posetioce" zauzete, postoji još jedan beskonačni hodnik sa sobama za "goste". Postojaće beskonačan broj takvih koridora. Istovremeno, "beskonačni hotel" ima beskonačan broj spratova u beskonačnom broju zgrada na beskonačnom broju planeta u beskonačnom broju univerzuma stvorenih od beskonačnog broja bogova. Matematičari, s druge strane, nisu u stanju da se odmaknu od banalnih svakodnevnih problema: Bog-Allah-Buda je uvijek samo jedan, hotel je jedan, hodnik je samo jedan. Tako matematičari pokušavaju da žongliraju sa serijskim brojevima hotelskih soba, ubeđujući nas da je moguće "gurnuti nepogurnute".

Pokazat ću vam logiku svog razmišljanja na primjeru beskonačnog skupa prirodnih brojeva. Prvo morate odgovoriti na vrlo jednostavno pitanje: koliko skupova prirodnih brojeva postoji - jedan ili više? Ne postoji tačan odgovor na ovo pitanje, pošto smo mi sami izmislili brojeve, u prirodi nema brojeva. Da, priroda zna savršeno računati, ali za to koristi druge matematičke alate koji nam nisu poznati. Kako priroda misli, reći ću vam drugi put. Pošto smo izmislili brojeve, sami ćemo odlučiti koliko skupova prirodnih brojeva postoji. Razmotrite obje opcije, kako i priliči pravom naučniku.

Opcija jedan. "Neka nam se da" jedan set prirodnih brojeva, koji mirno leži na polici. Uzimamo ovaj set sa police. To je to, nema drugih prirodnih brojeva na polici i nema ih gdje uzeti. Ne možemo ga dodati ovom skupu, jer ga već imamo. Šta ako zaista želiš? Nema problema. Možemo uzeti jedinicu iz seta koji smo već uzeli i vratiti je na policu. Nakon toga možemo uzeti jedinicu s police i dodati je onome što nam je ostalo. Kao rezultat, opet dobijamo beskonačan skup prirodnih brojeva. Sve naše manipulacije možete napisati ovako:

Napisao sam operacije u algebarskoj notaciji i zapisu teorije skupova, detaljno navodeći elemente skupa. Indeks označava da imamo jedan jedini skup prirodnih brojeva. Ispada da će skup prirodnih brojeva ostati nepromijenjen samo ako se od njega oduzme jedan i doda isti.

Opcija dva. Na polici imamo mnogo različitih beskonačnih skupova prirodnih brojeva. Naglašavam - RAZLIČITIH, uprkos tome što se praktično ne razlikuju. Uzimamo jedan od ovih setova. Zatim uzimamo jedan iz drugog skupa prirodnih brojeva i dodajemo ga skupu koji smo već uzeli. Možemo čak dodati dva skupa prirodnih brojeva. Evo šta dobijamo:

Podskripti "jedan" i "dva" označavaju da su ovi elementi pripadali različitim skupovima. Da, ako beskonačnom skupu dodate jedan, rezultat će također biti beskonačan skup, ali neće biti isti kao originalni skup. Ako se jednom beskonačnom skupu doda još jedan beskonačan skup, rezultat je novi beskonačan skup koji se sastoji od elemenata prva dva skupa.

Skup prirodnih brojeva koristi se za brojanje na isti način kao i ravnalo za mjerenja. Sada zamislite da ste lenjiru dodali jedan centimetar. Ovo će već biti druga linija, ne jednaka originalu.

Možete prihvatiti ili ne prihvatiti moje obrazloženje - ovo je vaša stvar. Ali ako ikada naiđete na matematičke probleme, razmislite da li ste na putu lažnog rasuđivanja, kojim su kročile generacije matematičara. Uostalom, časovi matematike, prije svega, u nama formiraju stabilan stereotip mišljenja, a tek onda nam dodaju mentalne sposobnosti (ili obrnuto, uskraćuju nam slobodno mišljenje).

pozg.ru

Nedjelja, 04.08.2019

Pisao sam postscript za članak o i vidio sam ovaj divan tekst na Wikipediji:

Čitamo: „...bogat teorijske osnove Matematika Babilona nije imala holistički karakter i bila je svedena na skup različitih tehnika, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Vau! Koliko smo pametni i koliko dobro vidimo nedostatke drugih. Da li nam je slabo gledati modernu matematiku u istom kontekstu? Malo parafrazirajući gornji tekst, lično sam dobio sledeće:

Bogata teorijska osnova moderne matematike nema holistički karakter i svedena je na skup različitih sekcija, lišenih zajedničkog sistema i baze dokaza.

Neću ići daleko da bih potvrdio svoje riječi - ima jezik i konvencije koji se razlikuju od jezika i konvencija mnogih drugih grana matematike. Isti nazivi u različitim granama matematike mogu imati različita značenja. Želim da posvetim čitav ciklus publikacija najočitijim greškama moderne matematike. Vidimo se uskoro.

Subota 03.08.2019

Kako podijeliti skup na podskupove? Da biste to učinili, morate unijeti novu jedinicu mjere, koja je prisutna u nekim elementima odabranog skupa. Razmotrimo primjer.

Neka nas bude mnogo ALI koji se sastoji od četiri osobe. Ovaj skup je formiran na osnovu "ljudi" Označimo elemente ovog skupa kroz slovo ali, indeks sa brojem će označavati redni broj svake osobe u ovom skupu. Hajde da uvedemo novu mjernu jedinicu "seksualna karakteristika" i označimo je slovom b. Pošto su seksualne karakteristike svojstvene svim ljudima, svaki element skupa umnožavamo ALI o rodu b. Obratite pažnju da je naš skup "ljudi" sada postao skup "ljudi sa rodom". Nakon toga, polne karakteristike možemo podijeliti na muške bm i ženski bw rodne karakteristike. Sada možemo primijeniti matematički filter: biramo jednu od ovih spolnih karakteristika, nije važno koja je muška ili ženska. Ako je prisutan u osobi, onda ga množimo sa jedan, ako nema takvog znaka, množimo ga sa nulom. A onda primjenjujemo uobičajenu školsku matematiku. Vidi šta se desilo.

Nakon množenja, redukcije i preuređivanja, dobili smo dva podskupa: muški podskup bm i podskup žena bw. Približno na isti način razmišljaju matematičari kada primjenjuju teoriju skupova u praksi. Ali oni nas ne izlažu detaljima, već nam daju gotov rezultat – „mnogo ljudi se sastoji od podgrupe muškaraca i podskupa žena“. Naravno, možda imate pitanje, koliko je pravilno primijenjena matematika u gornjim transformacijama? Usuđujem se da vas uvjerim da su transformacije u stvari urađene ispravno, dovoljno je znati matematičko opravdanje aritmetike, Bulove algebre i drugih dijelova matematike. Šta je to? Neki drugi put ću vam pričati o tome.

Što se tiče superskupova, moguće je kombinirati dva skupa u jedan superskup odabirom mjerne jedinice koja je prisutna u elementima ova dva skupa.

Kao što vidite, mjerne jedinice i uobičajena matematika čine teoriju skupova prošlošću. Znak da nije sve u redu sa teorijom skupova je to što su matematičari smislili svoj jezik i notaciju za teoriju skupova. Matematičari su radili ono što su nekada radili šamani. Samo šamani znaju kako "ispravno" primijeniti svoje "znanje". Ovom "znanju" nas uče.

Na kraju, želim da vam pokažem kako matematičari manipulišu.

Ponedjeljak, 07.01.2019

U petom veku pne starogrčki filozof Zenon iz Eleje je formulisao svoje poznate aporije, od kojih je najpoznatija aporija "Ahilej i kornjača". Evo kako to zvuči:

Recimo Ahilej trči deset puta brže od kornjače i hiljadu koraka je iza nje. Za vrijeme dok Ahilej pretrči ovu udaljenost, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Kada Ahilej pretrči stotinu koraka, kornjača će puzati još deset koraka, i tako dalje. Proces će se nastaviti u nedogled, Ahilej nikada neće sustići kornjaču.

Ovo rezonovanje je postalo logičan šok za sve naredne generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Gilbert... Svi su oni, na ovaj ili onaj način, smatrali Zenonove aporije. Šok je bio toliko jak da je " ... rasprave se nastavljaju i sada, naučna zajednica još nije uspjela doći do zajedničkog mišljenja o suštini paradoksa ... matematička analiza, teorija skupova, novi fizički i filozofski pristupi uključeni su u proučavanje problematike ; nijedan od njih nije postao univerzalno prihvaćeno rješenje problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Svi razumiju da su prevareni, ali niko ne razumije u čemu je obmana.

Sa stanovišta matematike, Zenon je u svojim aporijama jasno pokazao prelazak sa vrednosti na. Ovaj prijelaz podrazumijeva primjenu umjesto konstanti. Koliko sam shvatio, matematički aparat za primjenu varijabilnih mjernih jedinica ili još nije razvijen, ili nije primijenjen na Zenonove aporije. Primjena naše uobičajene logike vodi nas u zamku. Mi, po inerciji mišljenja, primjenjujemo stalne jedinice vremena na recipročno. Sa fizičke tačke gledišta, to izgleda kao da se vrijeme usporava do potpunog zaustavljanja u trenutku kada Ahil sustigne kornjaču. Ako vrijeme stane, Ahil više ne može prestići kornjaču.

Ako okrenemo logiku na koju smo navikli, sve dolazi na svoje mjesto. Ahil trči konstantnom brzinom. Svaki naredni segment njegovog puta je deset puta kraći od prethodnog. Shodno tome, vrijeme utrošeno na njegovo savladavanje je deset puta manje od prethodnog. Ako u ovoj situaciji primijenimo koncept "beskonačnosti", tada bi bilo ispravno reći "Ahilej će beskonačno brzo prestići kornjaču."

Kako izbjeći ovu logičnu zamku? Ostanite u konstantnim jedinicama vremena i ne prelazite na recipročne vrijednosti. Na Zenonovom jeziku to izgleda ovako:

Za vrijeme koje je Ahileju potrebno da pretrči hiljadu koraka, kornjača puzi stotinu koraka u istom smjeru. Tokom sledećeg vremenskog intervala, jednakog prvom, Ahilej će pretrčati još hiljadu koraka, a kornjača će puzati sto koraka. Sada je Ahil osamsto koraka ispred kornjače.

Ovaj pristup na adekvatan način opisuje stvarnost bez ikakvih logičkih paradoksa. Ali ovo nije potpuno rješenje problema. Ajnštajnova izjava o nepremostivosti brzine svetlosti veoma je slična Zenonovoj aporiji "Ahilej i kornjača". Taj problem tek treba da proučimo, razmislimo i riješimo. A rješenje se mora tražiti ne beskonačno veliki brojevi, ali u mjernim jedinicama.

Još jedna zanimljiva Zenonova aporija govori o letećoj strijeli:

Leteća strela je nepomična, pošto u svakom trenutku miruje, a pošto miruje u svakom trenutku, uvek miruje.

U ovoj aporiji logički paradoks je savladan vrlo jednostavno – dovoljno je razjasniti da u svakom trenutku vremena leteća strijela miruje u različitim tačkama prostora, što je, u stvari, kretanje. Ovdje treba napomenuti još jednu stvar. Iz jedne fotografije automobila na cesti nemoguće je utvrditi ni činjenicu njegovog kretanja, ni udaljenost do njega. Za utvrđivanje činjenice kretanja automobila potrebne su dvije fotografije snimljene iz iste tačke u različitim vremenskim trenucima, ali se ne mogu koristiti za određivanje udaljenosti. Da biste odredili udaljenost do automobila, potrebne su vam dvije fotografije snimljene iz različitih tačaka u prostoru u isto vrijeme, ali iz njih ne možete utvrditi činjenicu kretanja (naravno, još su vam potrebni dodatni podaci za proračune, trigonometrija će vam pomoći) . Ono što želim posebno da istaknem je da su dvije tačke u vremenu i dvije tačke u prostoru dvije različite stvari koje ne treba brkati jer pružaju različite mogućnosti za istraživanje.
Pokazat ću proces na primjeru. Odaberemo "crvenu čvrstu boju u bubuljici" - ovo je naša "cjelina". Istovremeno, vidimo da su ove stvari sa lukom, a postoje i bez luka. Nakon toga odaberemo dio "cjeline" i formiramo set "sa mašnom". Ovako se šamani hrane vezujući svoju teoriju skupova za stvarnost.

Hajde sada da napravimo mali trik. Uzmimo "čvrsto u bubuljicu sa mašnom" i ujedinimo ove "cjeline" po boji, odabirom crvenih elemenata. Imamo dosta "crvenih". Sada škakljivo pitanje: da li su primljeni setovi "sa mašnom" i "crvenim" isti set ili dva različita seta? Samo šamani znaju odgovor. Tačnije, oni sami ništa ne znaju, ali kako kažu, neka bude.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje da je teorija skupova potpuno beskorisna kada je stvarnost u pitanju. u čemu je tajna? Formirali smo set "crvenih čvrstih bubuljica sa mašnicom". Formiranje se odvijalo prema četiri različite mjerne jedinice: boja (crvena), čvrstoća (puna), hrapavost (u kvržici), ukrasi (sa mašnom). Samo skup mjernih jedinica omogućava adekvatno opisivanje stvarnih objekata jezikom matematike. Evo kako to izgleda.

Slovo "a" sa različitim indeksima označava različite mjerne jedinice. U zagradama su istaknute mjerne jedinice prema kojima se u preliminarnoj fazi dodjeljuje "cjelina". Iz zagrada se vadi mjerna jedinica prema kojoj se formira skup. Posljednji red prikazuje konačni rezultat - element skupa. Kao što vidite, ako koristimo jedinice za formiranje skupa, onda rezultat ne ovisi o redoslijedu naših akcija. A ovo je matematika, a ne plesovi šamana s tamburama. Šamani mogu “intuitivno” doći do istog rezultata, argumentirajući to “očiglednošću”, jer jedinice mjere nisu uključene u njihov “naučni” arsenal.

Uz pomoć mjernih jedinica vrlo je lako razbiti jedan ili kombinirati nekoliko setova u jedan superset. Pogledajmo pobliže algebru ovog procesa.

Formiraju se informacije u ovom članku opšta ideja o cijeli brojevi. Prvo se daje definicija cijelih brojeva i daju se primjeri. Zatim se razmatraju cijeli brojevi na brojevnoj liniji, iz kojih postaje jasno koji se brojevi nazivaju pozitivnim cijelim brojevima, a koji negativnim cijelim brojevima. Nakon toga je prikazano kako se promjene u količinama opisuju cijelim brojevima, a negativni cijeli brojevi razmatraju u smislu duga.

Navigacija po stranici.

Cijeli brojevi - definicija i primjeri

Definicija.

Cijeli brojevi su prirodni brojevi, broj nula, kao i brojevi suprotni prirodnim.

Definicija cijelih brojeva kaže da je bilo koji od brojeva 1, 2, 3, …, broj 0, kao i bilo koji od brojeva −1, −2, −3, … cijeli broj. Sada možemo lako dovesti cjelobrojni primjeri. Na primjer, broj 38 je cijeli broj, broj 70 040 je također cijeli broj, nula je cijeli broj (sjetite se da nula NIJE prirodan broj, nula je cijeli broj), brojevi −999 , −1 , −8 934 832 su također primjeri cijelih brojeva.

Pogodno je sve cijele brojeve predstaviti kao niz cijelih brojeva, koji ima sljedeći oblik: 0, ±1, ±2, ±3, ... Niz cijelih brojeva se može napisati i na sljedeći način: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Iz definicije cijelih brojeva slijedi da je skup prirodnih brojeva podskup skupa cijelih brojeva. Dakle, svaki prirodni broj je cijeli broj, ali nije svaki cijeli broj prirodan broj.

Cijeli brojevi na koordinatnoj liniji

Definicija.

Cjelobrojni pozitivni brojevi su cijeli brojevi koji su veći od nule.

Definicija.

Cjelobrojni negativni brojevi su cijeli brojevi manji od nule.

Cjelobrojni pozitivni i negativni brojevi također se mogu odrediti njihovim položajem na koordinatnoj liniji. Na horizontalnoj koordinatnoj liniji, tačke čije su koordinate pozitivni cijeli brojevi leže desno od početka. Zauzvrat, tačke sa negativnim celobrojnim koordinatama nalaze se levo od tačke O.

Jasno je da je skup svih pozitivnih cijelih brojeva skup prirodnih brojeva. Zauzvrat, skup svih negativnih cijelih brojeva je skup svih brojeva suprotnih prirodnim brojevima.

Zasebno, skrećemo vam pažnju na činjenicu da bilo koji prirodan broj možemo sa sigurnošću nazvati cijelim brojem, a nijedan cijeli broj NE možemo nazvati prirodnim brojem. Prirodnim možemo nazvati samo svaki pozitivan cijeli broj, budući da negativni cijeli brojevi i nula nisu prirodni.

Cjelobrojni nepozitivni i cjelobrojni nenegativni brojevi

Hajde da damo definicije nepozitivnih celih brojeva i nenegativnih celih brojeva.

Definicija.

Pozivaju se svi pozitivni cijeli brojevi zajedno sa nulom cijelih nenegativnih brojeva.

Definicija.

Cjelobrojni nepozitivni brojevi su svi negativni cijeli brojevi zajedno sa brojem 0 .

Drugim riječima, nenegativni cijeli broj je cijeli broj koji je veći ili jednak nuli, a nepozitivni cijeli broj je cijeli broj manji ili jednak nuli.

Primjeri nepozitivnih cijelih brojeva su brojevi -511, -10 030, 0, -2, a kao primjeri nenegativnih cijelih brojeva navedimo brojeve 45, 506, 0, 900 321.

Najčešće se termini "ne-pozitivni cijeli brojevi" i "ne-negativni cijeli brojevi" koriste radi sažetosti. Na primjer, umjesto izraza "broj a je cijeli broj, a a veći od nule ili jednak nuli", možete reći "a je nenegativan cijeli broj".

Opis promjene vrijednosti pomoću cijelih brojeva

Vrijeme je da razgovaramo o tome čemu služe cijeli brojevi.

Glavna svrha cijelih brojeva je da je uz njihovu pomoć prikladno opisati promjenu broja bilo koje stavke. Hajde da se pozabavimo ovim primerima.

Pretpostavimo da postoji određena količina dijelova na zalihama. Ako se, na primjer, u skladište dovede još 400 dijelova, tada će se broj dijelova u skladištu povećati, a broj 400 izražava ovu promjenu količine u pozitivnom smjeru (u smjeru povećanja). Ako se na primjer uzme 100 dijelova iz skladišta, tada će se broj dijelova u skladištu smanjiti, a broj 100 će iskazati promjenu količine u negativnom smjeru (u smjeru smanjenja). U skladište se neće unositi dijelovi, niti se dijelovi oduzimati iz skladišta, tada možemo govoriti o nepromjenjivosti broja dijelova (tj. možemo govoriti o nultoj promjeni količine).

U navedenim primjerima, promjena broja dijelova može se opisati cijelim brojevima 400 , −100 i 0, redom. Pozitivan cijeli broj 400 označava pozitivnu promjenu količine (povećanje). Negativni cijeli broj −100 izražava negativnu promjenu količine (smanjenje). Cijeli broj 0 označava da se količina nije promijenila.

Pogodnost korištenja cijelih brojeva u odnosu na korištenje prirodnih brojeva je u tome što nema potrebe eksplicitno naznačiti da li se količina povećava ili smanjuje – cijeli broj kvantitativno specificira promjenu, a predznak cijelog broja ukazuje na smjer promjene.

Cijeli brojevi također mogu izraziti ne samo promjenu količine, već i promjenu neke vrijednosti. Pozabavimo se ovim na primjeru promjene temperature.

Povećanje temperature za, recimo, 4 stepena izražava se kao pozitivan cijeli broj 4. Smanjenje temperature, na primjer, za 12 stepeni može se opisati negativnim cijelim brojem -12. A invarijantnost temperature je njena promjena, određena cijelim brojem 0.

Odvojeno, mora se reći o tumačenju negativnih cijelih brojeva kao iznosa duga. Na primjer, ako imamo 3 jabuke, tada pozitivni cijeli broj 3 predstavlja broj jabuka koje posjedujemo. S druge strane, ako nekome moramo dati 5 jabuka, a nemamo ih na raspolaganju, onda se ova situacija može opisati negativnim cijelim brojem −5. U ovom slučaju „posjedujemo“ −5 jabuka, znak minus označava dug, a broj 5 kvantificira dug.

Razumijevanje negativnog cijelog broja kao duga omogućava, na primjer, opravdanje pravila za dodavanje negativnih cijelih brojeva. Uzmimo primjer. Ako neko duguje 2 jabuke jednoj osobi i jednu jabuku drugoj, onda je ukupan dug 2+1=3 jabuke, dakle −2+(−1)=−3 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya. itd. Matematika. 6. razred: udžbenik za obrazovne ustanove.

Prvi put su se negativni brojevi počeli koristiti u staroj Kini i Indiji, u Evropi su ih u matematičku upotrebu uveli Nicolas Shuquet (1484) i Michael Stiefel (1544).

Algebarska svojstva

$\backslash mathbb(Z)$ nije zatvoren pod dijeljenjem dva cijela broja (na primjer, 1/2). Sljedeća tabela ilustruje nekoliko osnovnih svojstava sabiranja i množenja za bilo koje cijele brojeve. a, b I c.

|list5=Kardinalni brojevi - Definitivno se treba prebaciti u krevet, ovdje to neće biti moguće...
Bolesnik je bio toliko okružen lekarima, princezama i slugama da Pjer više nije video tu crveno-žutu glavu sa sedom grivom, koja, uprkos tome što je video druga lica, ni na trenutak nije izlazila iz vida tokom celog usluga. Po opreznom kretanju ljudi koji su okruživali stolicu Pjer je pretpostavio da umirućeg čoveka podižu i nose.
„Drži me za ruku, ispustićeš je tako“, začuo je uplašeni šapat jednog od slugu, „odozdo... još jedan“, govorili su glasovi, a teško disanje i koračanje nogu ljudi je postalo ishitrenije, kao da je teret koji su nosili bio iznad njihovih snaga.
Nosioci, među kojima je bila i Ana Mihajlovna, izjednačili su se sa mladićem, i na trenutak, iza leđa i potiljaka ljudi, visoka, debela, otvorena prsa, debela ramena pacijenta, podignuta nagore ljudi koji ga drže ispod pazuha, i sjedokosu kovrdžavu lavlju glavu. Ova glava, sa neobično širokim čelom i jagodicama, prekrasnim senzualnim ustima i veličanstvenim hladnim pogledom, nije bila unakažena blizinom smrti. Bila je ista onakva kakvu ju je Pjer poznavao prije tri mjeseca, kada ga je grof pustio u Peterburg. Ali ova se glava bespomoćno njihala od neravnih koraka nosača, a hladni, ravnodušni pogled nije znao gde da stane.
Nekoliko minuta galame prošlo je pored visokog kreveta; ljudi koji su nosili bolesnika su se razišli. Ana Mihajlovna dotakne Pjerovu ruku i reče mu: "Venez." [Idi.] Pjer je zajedno s njom otišao do kreveta na koji je, u prazničnoj pozi, očigledno vezanoj za sakrament koji je upravo obavljen, ležao bolesnik. Ležao je visoko podignute glave na jastuke. Ruke su mu bile simetrično položene na zeleno svileno ćebe, s dlanovima nadole. Kada je Pjer prišao, grof je pogledao direktno u njega, ali je pogledao onim pogledom, čije značenje i značenje čovjek ne može razumjeti. Ili ovaj pogled nije rekao apsolutno ništa, samo da, dok god ima očiju, mora se negde gledati, ili je rekao previše. Pjer je stao, ne znajući šta da radi, i upitno pogledao svoju vođu, Anu Mihajlovnu. Ana Mihajlovna mu je žurno pokazala svojim očima, pokazujući na pacijentovu ruku i ljubeći je usnama. Pjer je, marljivo ispruživši vrat da se ne uhvati za ćebe, izvršio njen savet i poljubio njenu krupnu i mesnatu ruku. Niti jedna ruka, niti jedan mišić grofovog lica nije zadrhtao. Pjer je ponovo upitno pogledao Anu Mihajlovnu, sada pitajući šta da radi. Ana Mihajlovna mu je očima pokazala na stolicu koja je stajala pored kreveta. Pjer je poslušno počeo da sjeda na fotelju, nastavljajući očima ispitivati ​​da li je učinio ono što je trebalo. Ana Mihajlovna klimnu glavom sa odobravanjem. Pjer je ponovo zauzeo simetrično naivan položaj egipatske statue, očigledno saosjećajući što njegovo nespretno i debelo tijelo zauzima tako veliki prostor, i koristeći svu svoju mentalnu snagu da se čini što manjim. Pogledao je grofa. Grof je pogledao mjesto gdje je bilo Pjerovo lice, dok je stajao. Ana Mihajlovna je, na svom položaju, pokazala svest o dirljivoj važnosti ovog poslednjeg minuta sastanka između oca i sina. To je trajalo dva minuta, što se Pjeru činilo sat vremena. Odjednom se pojavi jeza u velikim mišićima i borama grofovog lica. Jeza se pojačala, prelepa usta su se iskrivila (Pjer je tek tada shvatio do koje mere je njegov otac blizu smrti), iz iskrivljenih usta začu se nerazgovetni promukli zvuk. Ana Mihajlovna je marljivo pogledala u oči pacijenta i, pokušavajući da pogodi šta mu treba, pokazala je ili na Pjera, pa na piće, pa je šapatom upitno pozvala princa Vasilija, pa pokazala na ćebe. Oči i lice pacijenta pokazivali su nestrpljenje. Potrudio se da pogleda slugu, koji je stajao na uzglavlju kreveta ne izlazeći.
„Žele da se prevrnu na drugu stranu“, šapnuo je sluga i ustao da okrene grofovo teško telo prema zidu.
Pjer je ustao da pomogne slugi.
Dok se brojač prevrtao, jedna mu je ruka bespomoćno pala unazad i uzalud se trudio da je povuče. Da li je grof primetio onaj pogled užasa kojim je Pjer gledao ovu beživotnu ruku, ili koja druga misao mu je u tom trenutku proletela glavom na samrti, ali je pogledao u neposlušnu ruku, u izraz užasa na Pjerovom licu, ponovo u ruku, a na licu je imao slabašan, patnički osmeh koji se nije slagao sa njegovim crtama lica, izražavajući takoreći ruganje sopstvenoj nemoći. Odjednom, pri pogledu na ovaj osmeh, Pjer je osetio jezu u grudima, štipanje u nosu, a suze su mu zamaglile vid. Pacijent je prevrnut na bok uza zid. Uzdahnuo je.
- Il est assoupi, [Zadremao je] - rekla je Ana Mihajlovna, primetivši princezu koja je došla da zameni. - Allons. [Idemo na.]
Pierre je otišao.