Αριθμητικά συστήματα. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Η αριθμομηχανή σάς επιτρέπει να μετατρέπετε ακέραιους και κλασματικούς αριθμούς από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο. Η βάση του αριθμητικού συστήματος δεν μπορεί να είναι μικρότερη από 2 και μεγαλύτερη από 36 (εξάλλου 10 ψηφία και 26 λατινικά γράμματα). Οι αριθμοί δεν πρέπει να υπερβαίνουν τους 30 χαρακτήρες. Για να εισαγάγετε κλασματικούς αριθμούς, χρησιμοποιήστε το σύμβολο. ή, . Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από ένα σύστημα σε άλλο, εισαγάγετε τον αρχικό αριθμό στο πρώτο πεδίο, τη βάση του αρχικού συστήματος αριθμών στο δεύτερο και τη βάση του συστήματος αριθμών στο οποίο θέλετε να μετατρέψετε τον αριθμό στο τρίτο πεδίο, στη συνέχεια κάντε κλικ στο κουμπί "Λήψη καταχώρισης".

αρχικός αριθμός ηχογραφήθηκε σε 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 3 -ο αριθμητικό σύστημα.

Θέλω να έχω μια εγγραφή ενός αριθμού 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ο αριθμητικό σύστημα.

Λάβετε μια καταχώρηση

Ολοκληρωμένες μεταφράσεις: 3722471

Μπορεί επίσης να έχει ενδιαφέρον:

• Αριθμομηχανή πίνακα αληθειών. SDNF. SKNF. Πολυώνυμο Zhegalkin

Αριθμητικά συστήματα

Τα συστήματα αριθμών χωρίζονται σε δύο τύπους: θέσεωςκαι όχι θέσεις. Χρησιμοποιούμε το αραβικό σύστημα, είναι θέσιο, και υπάρχει επίσης το ρωμαϊκό - απλώς δεν είναι θέσιο. Στα συστήματα θέσεων, η θέση ενός ψηφίου σε έναν αριθμό καθορίζει μοναδικά την τιμή αυτού του αριθμού. Αυτό γίνεται εύκολα κατανοητό κοιτάζοντας το παράδειγμα κάποιου αριθμού.

Παράδειγμα 1. Ας πάρουμε τον αριθμό 5921 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Αριθμούμε τον αριθμό από τα δεξιά προς τα αριστερά ξεκινώντας από το μηδέν:

Ο αριθμός 5921 μπορεί να γραφτεί με την εξής μορφή: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Ο αριθμός 10 είναι ένα χαρακτηριστικό που καθορίζει το σύστημα αριθμών. Οι τιμές της θέσης του δεδομένου αριθμού λαμβάνονται ως μοίρες.

Παράδειγμα 2. Θεωρήστε τον πραγματικό δεκαδικό αριθμό 1234.567. Τον αριθμούμε ξεκινώντας από τη μηδενική θέση του αριθμού από την υποδιαστολή προς τα αριστερά και προς τα δεξιά:

Ο αριθμός 1234.567 μπορεί να γραφτεί ως εξής: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 +7 10 -3 .

Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Πλέον με απλό τρόποΗ μεταφορά ενός αριθμού από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο είναι η μεταφορά ενός αριθμού πρώτα σε μετρικό σύστηματον αριθμό και, στη συνέχεια, το αποτέλεσμα που προκύπτει στο απαιτούμενο σύστημα αριθμών.

Μετατροπή αριθμών από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από οποιοδήποτε σύστημα αριθμών σε δεκαδικό, αρκεί να αριθμήσετε τα ψηφία του, ξεκινώντας από το μηδέν (το ψηφίο στα αριστερά της υποδιαστολής) παρόμοια με τα παραδείγματα 1 ή 2. Ας βρούμε το άθροισμα των γινομένων των ψηφίων του αριθμού από τη βάση του συστήματος αριθμών στη δύναμη της θέσης αυτού του ψηφίου:

1. Μετατρέψτε τον αριθμό 1001101.1101 2 σε δεκαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Απάντηση: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Μετατρέψτε τον αριθμό E8F.2D 16 σε σύστημα δεκαδικών αριθμών.
Λύση: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Απάντηση: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Μετατροπή αριθμών από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Για να μετατρέψετε αριθμούς από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών, τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη του αριθμού πρέπει να μεταφραστούν χωριστά.

Μετατροπή του ακέραιου μέρους ενός αριθμού από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Το ακέραιο μέρος μετατρέπεται από το δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών διαιρώντας διαδοχικά το ακέραιο μέρος του αριθμού με τη βάση του συστήματος αριθμών έως ότου ληφθεί ένα ακέραιο υπόλοιπο, το οποίο είναι μικρότερο από τη βάση του συστήματος αριθμών. Το αποτέλεσμα της μεταγραφής θα είναι ρεκόρ από τα υπολείμματα, ξεκινώντας από το τελευταίο.

3. Μετατρέψτε τον αριθμό 273 10 σε οκταδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 273 / 8 = 34 και το υπόλοιπο 1, 34 / 8 = 4 και το υπόλοιπο 2, 4 είναι μικρότερο από 8, οπότε ο υπολογισμός έχει ολοκληρωθεί. Το αρχείο από τα απομεινάρια θα μοιάζει με αυτό: 421
Εξέταση: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Άρα η μετάφραση είναι σωστή.
Απάντηση: 273 10 = 421 8

Ας εξετάσουμε τη μετάφραση των σωστών δεκαδικών κλασμάτων σε διάφορα συστήματα αριθμών.

Μετατροπή του κλασματικού μέρους ενός αριθμού από δεκαδικό σύστημα αριθμών σε άλλο σύστημα αριθμών

Θυμηθείτε ότι ένα σωστό δεκαδικό κλάσμα είναι πραγματικός αριθμός με μηδενικό ακέραιο μέρος. Για να μεταφράσετε έναν τέτοιο αριθμό σε ένα σύστημα αριθμών με βάση Ν, πρέπει να πολλαπλασιάσετε με συνέπεια τον αριθμό με το Ν μέχρι να μηδενιστεί το κλασματικό μέρος ή να ληφθεί ο απαιτούμενος αριθμός ψηφίων. Εάν κατά τον πολλαπλασιασμό προκύπτει αριθμός με ακέραιο μέρος εκτός του μηδενός, τότε το ακέραιο μέρος δεν λαμβάνεται περαιτέρω υπόψη, αφού εισάγεται διαδοχικά στο αποτέλεσμα.

4. Μετατρέψτε τον αριθμό 0,125 10 σε δυαδικό σύστημα αριθμών.
Λύση: 0,125 2 = 0,25 (0 είναι το ακέραιο μέρος, που θα είναι το πρώτο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,25 2 = 0,5 (0 είναι το δεύτερο ψηφίο του αποτελέσματος), 0,5 2 = 1,0 (1 είναι το τρίτο ψηφίο του αποτελέσματος , και εφόσον το κλασματικό μέρος είναι μηδέν, η μετάφραση έχει ολοκληρωθεί).
Απάντηση: 0.125 10 = 0.001 2

Βασικές έννοιες αριθμητικών συστημάτων

Το σύστημα αριθμών είναι ένα σύνολο κανόνων και τεχνικών για τη γραφή αριθμών χρησιμοποιώντας ένα σύνολο ψηφιακών χαρακτήρων. Ο αριθμός των ψηφίων που απαιτούνται για την εγγραφή ενός αριθμού στο σύστημα ονομάζεται βάση του συστήματος αριθμών. Η βάση του συστήματος γράφεται στα δεξιά του αριθμού στον δείκτη: ; ; και τα λοιπά.

Υπάρχουν δύο τύποι συστημάτων αριθμών:

θέσης, όταν η τιμή κάθε ψηφίου ενός αριθμού καθορίζεται από τη θέση του στη σημείωση του αριθμού·

μη θέσεων, όταν η τιμή ενός ψηφίου σε έναν αριθμό δεν εξαρτάται από τη θέση του στη σημείωση του αριθμού.

Παράδειγμα συστήματος αριθμών χωρίς θέση είναι το ρωμαϊκό: οι αριθμοί IX, IV, XV κ.λπ. Ένα παράδειγμα συστήματος αριθμών θέσης είναι το δεκαδικό σύστημα που χρησιμοποιείται καθημερινά.

Οποιοσδήποτε ακέραιος στο σύστημα θέσης μπορεί να γραφτεί ως πολυώνυμο:

όπου S είναι η βάση του αριθμητικού συστήματος.

Ψηφία ενός αριθμού γραμμένου σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών.

n είναι ο αριθμός των ψηφίων του αριθμού.

Παράδειγμα. Αριθμός γράφεται σε πολυωνυμική μορφή ως εξής:

Τύποι αριθμητικών συστημάτων

Το σύστημα των ρωμαϊκών αριθμών είναι ένα σύστημα χωρίς θέση. Χρησιμοποιεί γράμματα του λατινικού αλφαβήτου για να γράψει αριθμούς. Σε αυτήν την περίπτωση, το γράμμα I σημαίνει πάντα ένα, το γράμμα V σημαίνει πέντε, το Χ σημαίνει δέκα, το L σημαίνει πενήντα, το C σημαίνει εκατό, το D σημαίνει πεντακόσια, το M σημαίνει χίλια κ.λπ. Για παράδειγμα, ο αριθμός 264 γράφεται ως CCLXIV. Όταν γράφουμε αριθμούς στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα, η τιμή ενός αριθμού είναι το αλγεβρικό άθροισμα των ψηφίων που περιλαμβάνονται σε αυτόν. Ταυτόχρονα, τα ψηφία στην αριθμητική εγγραφή ακολουθούν, κατά κανόνα, σε φθίνουσα σειρά των τιμών τους και δεν επιτρέπεται να γράφονται περισσότερα από τρία ίδια ψηφία. Στην περίπτωση που ένα ψηφίο με μεγαλύτερη τιμή ακολουθείται από ένα ψηφίο με μικρότερη τιμή, η συμβολή του στην τιμή του αριθμού στο σύνολό του είναι αρνητική. Χαρακτηριστικά παραδείγματα που επεξηγούν γενικοί κανόνεςΟι εγγραφές αριθμών στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα δίνονται στον πίνακα.

Πίνακας 2. Γράψιμο αριθμών στο ρωμαϊκό αριθμητικό σύστημα

Το μειονέκτημα του ρωμαϊκού συστήματος είναι η έλλειψη τυπικών κανόνων για τη γραφή αριθμών και, κατά συνέπεια, αριθμητικές πράξεις με πολυψήφιους αριθμούς. Λόγω της ταλαιπωρίας και της μεγάλης πολυπλοκότητας, το ρωμαϊκό σύστημα αριθμών χρησιμοποιείται επί του παρόντος όπου είναι πραγματικά βολικό: στη λογοτεχνία (αρίθμηση κεφαλαίων), στη γραφειοκρατία (μια σειρά από διαβατήρια, χρεόγραφα κ.λπ.), για διακοσμητικούς σκοπούς στο καντράν του ρολογιού και σε μια σειρά από άλλες περιπτώσεις.

Το σύστημα δεκαδικών αριθμών είναι αυτή τη στιγμή το πιο γνωστό και χρησιμοποιημένο. Η εφεύρεση του δεκαδικού συστήματος αριθμών είναι ένα από τα κύρια επιτεύγματα της ανθρώπινης σκέψης. Χωρίς αυτήν, η σύγχρονη τεχνολογία δύσκολα θα μπορούσε να υπάρξει, πόσο μάλλον να προκύψει. Ο λόγος για τον οποίο το σύστημα δεκαδικών αριθμών έχει γίνει γενικά αποδεκτό δεν είναι καθόλου μαθηματικός. Οι άνθρωποι συνηθίζουν να μετρούν με δεκαδικό συμβολισμό επειδή έχουν 10 δάχτυλα στα χέρια τους.

Η αρχαία εικόνα των δεκαδικών ψηφίων (Εικ. 1) δεν είναι τυχαία: κάθε ψηφίο υποδηλώνει έναν αριθμό με τον αριθμό των γωνιών σε αυτό. Για παράδειγμα, 0 - χωρίς γωνίες, 1 - μία γωνία, 2 - δύο γωνίες κ.λπ. Η ορθογραφία των δεκαδικών ψηφίων έχει υποστεί σημαντικές αλλαγές. Η μορφή που χρησιμοποιούμε καθιερώθηκε τον 16ο αιώνα.

Το δεκαδικό σύστημα πρωτοεμφανίστηκε στην Ινδία γύρω στον 6ο αιώνα μ.Χ. Η ινδική αρίθμηση χρησιμοποίησε εννέα αριθμητικούς χαρακτήρες και ένα μηδέν για να υποδείξει μια κενή θέση. Στα πρώτα ινδικά χειρόγραφα που έφτασαν σε εμάς, οι αριθμοί ήταν γραμμένοι με αντίστροφη σειρά - η πιο σημαντική φιγούρα τοποθετήθηκε στα δεξιά. Σύντομα όμως έγινε κανόνας να τοποθετείται μια τέτοια φιγούρα στην αριστερή πλευρά. Ιδιαίτερη σημασία δόθηκε στο σύμβολο null, το οποίο εισήχθη για τη σημειογραφία θέσης. Η ινδική αρίθμηση, συμπεριλαμβανομένου του μηδενός, έφτασε στην εποχή μας. Στην Ευρώπη, οι ινδουιστικές μέθοδοι δεκαδικής αριθμητικής έγιναν ευρέως διαδεδομένες στις αρχές του 13ου αιώνα. χάρη στο έργο του Ιταλού μαθηματικού Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι). Οι Ευρωπαίοι δανείστηκαν Ινδικό σύστημαυπολογίζοντας μεταξύ των Αράβων, αποκαλώντας το αραβικό. Αυτό το ιστορικά εσφαλμένο όνομα διατηρείται μέχρι σήμερα.

Το δεκαδικό σύστημα χρησιμοποιεί δέκα ψηφία - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 και 9, καθώς και τα σύμβολα "+" και "-" για να υποδείξουν το σύμβολο του αριθμού και ένα κόμμα ή περίοδος για να διαχωρίσετε τους αριθμούς των ακέραιων και των κλασματικών μερών.

Οι υπολογιστές χρησιμοποιούν ένα δυαδικό σύστημα αριθμών, η βάση του είναι ο αριθμός 2. Για την εγγραφή αριθμών σε αυτό το σύστημα, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Σε αντίθεση με μια κοινή παρανόηση, το δυαδικό σύστημα αριθμών εφευρέθηκε όχι από μηχανικούς σχεδιασμού υπολογιστών, αλλά από μαθηματικούς και φιλοσόφους πολύ πριν από την εμφάνιση των υπολογιστών, τον δέκατο έβδομο και τον δέκατο ένατο αιώνα. Η πρώτη δημοσιευμένη συζήτηση για το δυαδικό σύστημα αριθμών είναι από τον Ισπανό ιερέα Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Γενική προσοχή σε αυτό το σύστημα τράβηξε το άρθρο του Γερμανού μαθηματικού Gottfried Wilhelm Leibniz, που δημοσιεύτηκε το 1703. Εξήγησε τις δυαδικές πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης. Ο Leibniz δεν συνέστησε τη χρήση αυτού του συστήματος για πρακτικούς υπολογισμούς, αλλά τόνισε τη σημασία του για τη θεωρητική έρευνα. Με την πάροδο του χρόνου, το δυαδικό σύστημα αριθμών γίνεται γνωστό και αναπτύσσεται.

Η επιλογή ενός δυαδικού συστήματος για χρήση στην τεχνολογία υπολογιστών εξηγείται από το γεγονός ότι τα ηλεκτρονικά στοιχεία - σκανδάλες που συνθέτουν μικροκυκλώματα υπολογιστή, μπορούν να βρίσκονται μόνο σε δύο καταστάσεις λειτουργίας.

Με τη βοήθεια ενός δυαδικού συστήματος κωδικοποίησης, μπορούν να καταγραφούν τυχόν δεδομένα και γνώση. Αυτό είναι εύκολο να το καταλάβετε αν θυμάστε την αρχή της κωδικοποίησης και μετάδοσης πληροφοριών με χρήση κώδικα Μορς. Ένας τηλεγραφητής, χρησιμοποιώντας μόνο δύο χαρακτήρες αυτού του αλφαβήτου - τελείες και παύλες, μπορεί να μεταδώσει σχεδόν οποιοδήποτε κείμενο.

Το δυαδικό σύστημα είναι βολικό για έναν υπολογιστή, αλλά άβολο για ένα άτομο: οι αριθμοί είναι μεγάλοι και δύσκολο να γραφτούν και να θυμηθούν. Φυσικά, μπορείτε να μετατρέψετε τον αριθμό στο δεκαδικό σύστημα και να τον γράψετε σε αυτή τη μορφή και, στη συνέχεια, όταν χρειαστεί να τον μεταφράσετε ξανά, αλλά όλες αυτές οι μεταφράσεις είναι χρονοβόρες. Επομένως, χρησιμοποιούνται συστήματα αριθμών που σχετίζονται με δυαδικό - οκταδικό και δεκαεξαδικό. Για την εγγραφή αριθμών σε αυτά τα συστήματα, απαιτούνται 8 και 16 ψηφία, αντίστοιχα. Στο δεκαεξαδικό, τα πρώτα 10 ψηφία είναι κοινά και στη συνέχεια χρησιμοποιούνται κεφαλαία λατινικά γράμματα. Το δεκαεξαδικό ψηφίο Α αντιστοιχεί στο δεκαδικό 10, το δεκαεξαδικό Β στο δεκαδικό 11 κ.ο.κ. Η χρήση αυτών των συστημάτων εξηγείται από το γεγονός ότι η μετάβαση στη γραφή ενός αριθμού σε οποιοδήποτε από αυτά τα συστήματα από τη δυαδική σημείωση του είναι πολύ απλή. Παρακάτω είναι ένας πίνακας αντιστοιχίας μεταξύ αριθμών γραμμένων σε διαφορετικά συστήματα.

Πίνακας 3. Αντιστοιχία αριθμών γραμμένων σε διαφορετικά συστήματα αριθμών

Κανόνες μετατροπής αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο

Η μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα αριθμών σε ένα άλλο είναι ένα σημαντικό μέρος της αριθμητικής μηχανής. Εξετάστε τους βασικούς κανόνες της μετάφρασης.

1. Για να μετατρέψετε έναν δυαδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον γράψετε ως πολυώνυμο που αποτελείται από τα γινόμενα των ψηφίων του αριθμού και την αντίστοιχη ισχύ του αριθμού 2 και να υπολογίσετε σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

Κατά τη μετάφραση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα εξουσιών των δύο:

Πίνακας 4. Δυνάμεις του 2

Παράδειγμα. Μετατρέψτε τον αριθμό σε σύστημα δεκαδικών αριθμών.

2. Για να μεταφράσετε έναν οκταδικό αριθμό σε δεκαδικό, είναι απαραίτητο να τον γράψετε ως πολυώνυμο που αποτελείται από τα γινόμενα των ψηφίων του αριθμού και την αντίστοιχη ισχύ του αριθμού 8 και να υπολογίσετε σύμφωνα με τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής:

Κατά τη μετάφραση, είναι βολικό να χρησιμοποιήσετε τον πίνακα δυνάμεων των οκτώ:

Πίνακας 5. Δυνάμεις του 8

Εργασίες με θέμα "Αριθμητικά συστήματα"

Παραδείγματα λύσεων

Εργασία αριθμός 1. Πως παραδειγματικές φυγούρεςστη σημειογραφία του δεκαδικού αριθμού 357 στο σύστημα αριθμών με βάση το 3;Λύση:Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 35710 στο τριαδικό σύστημα αριθμών:Άρα, 35710 = 1110203. Ο αριθμός 1110203 περιέχει 6 σημαντικά ψηφία.Απάντηση: 6.

Εργασία αριθμός 2. Δίνεται A=A715, B=2518. Ποιος από τους αριθμούς C, γραμμένοι στο δυαδικό σύστημα, πληροί την συνθήκη Α1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Λύση:Ας μετατρέψουμε τους αριθμούς A=A715 και B=2518 στο δυαδικό σύστημα αριθμών, αντικαθιστώντας κάθε ψηφίο του πρώτου αριθμού με το αντίστοιχο τετράδιο και κάθε ψηφίο του δεύτερου αριθμού με την αντίστοιχη τριάδα: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Συνθήκη α

Εργασία αριθμός 3. Με ποιο ψηφίο τελειώνει ο δεκαδικός αριθμός 123 στη βάση 6;Λύση:Ας μεταφράσουμε τον αριθμό 12310 στο σύστημα αριθμών με βάση το 6:12310 = 3236. Απάντηση: Η καταχώρηση του αριθμού 12310 στο σύστημα αριθμών με βάση το 6 τελειώνει στον αριθμό 3.Εργασίες για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων σε αριθμούς που αντιπροσωπεύονται σε διαφορετικά συστήματα αριθμών

Εργασία αριθμός 4. Να υπολογίσετε το άθροισμα των αριθμών Χ και Υ αν Χ=1101112, Υ=1358. Εκφράστε το αποτέλεσμα σε δυαδική μορφή.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Λύση:Ας μετατρέψουμε τον αριθμό Y=1358 στο δυαδικό σύστημα αριθμών, αντικαθιστώντας κάθε ψηφίο του με την αντίστοιχη τριάδα: 001 011 1012. Εκτελέστε την πρόσθεση:Απάντηση: 100101002 (επιλογή 2).

Εργασία αριθμός 5. Βρείτε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών 2368, 6C16 και 1110102. Να εκφράσετε την απάντησή σας με δεκαδικό συμβολισμό.Λύση:Ας μεταφράσουμε τους αριθμούς 2368, 6С16 και 1110102 στο δεκαδικό σύστημα αριθμών:
Ας υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο όρο των αριθμών: (158+108+58)/3 = 10810.Απάντηση: ο αριθμητικός μέσος όρος των αριθμών 2368, 6C16 και 1110102 είναι 10810.

Εργασία αριθμός 6. Υπολογίστε την τιμή της παράστασης 2068 + AF16 ; 110010102. Κάντε υπολογισμούς σε σύστημα οκταδικού αριθμού. Μετατρέψτε την απάντησή σας σε δεκαδικό.Λύση:Ας μεταφράσουμε όλους τους αριθμούς στο οκταδικό σύστημα αριθμών:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Ας προσθέσουμε τους αριθμούς:Ας μετατρέψουμε την απάντηση στο δεκαδικό σύστημα:Απάντηση: 51110.

Εργασίες για την εύρεση της βάσης του συστήματος αριθμών

Εργασία αριθμός 7. Υπάρχουν 100 q οπωροφόρα δέντρα στον κήπο: 33 q μηλιά, 22 q αχλαδιές, 16 q δαμάσκηνα και 17 q κεράσια. Βρείτε τη βάση του αριθμητικού συστήματος στο οποίο μετρώνται τα δέντρα.Λύση:Υπάρχουν 100q δέντρα στον κήπο: 100q = 33q+22q+16q+17q.Ας αριθμήσουμε τα ψηφία και ας παρουσιάσουμε αυτούς τους αριθμούς σε διευρυμένη μορφή:
Απάντηση: Τα δέντρα μετρώνται στο σύστημα αριθμών βάσης 9.

Εργασία αριθμός 8. Βρείτε τη βάση x του αριθμητικού συστήματος αν γνωρίζετε ότι 2002x = 13010.Λύση:Απάντηση: 4.

Εργασία αριθμός 9. Σε ένα σύστημα αριθμών με κάποια βάση, ο δεκαδικός αριθμός 18 γράφεται ως 30. Καθορίστε αυτή τη βάση.Λύση:Ας πάρουμε τη βάση του αγνώστου αριθμητικού συστήματος ως x και ας γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση:1810 = 30x;Αριθμούμε τα ψηφία και γράφουμε αυτούς τους αριθμούς σε διευρυμένη μορφή:Απάντηση: Ο δεκαδικός αριθμός 18 γράφεται ως 30 στο βασικό 6 αριθμητικό σύστημα.

Σημειογραφίαείναι μια μέθοδος εγγραφής ενός αριθμού χρησιμοποιώντας ένα καθορισμένο σύνολο ειδικών χαρακτήρων (αριθμούς).

Σημειογραφία:

• δίνει μια αναπαράσταση ενός συνόλου αριθμών (ακέραιος ή/και πραγματικός).

• δίνει σε κάθε αριθμό μια μοναδική αναπαράσταση (ή τουλάχιστον μια τυπική αναπαράσταση).

• εμφανίζει την αλγεβρική και αριθμητική δομή ενός αριθμού.

Η εγγραφή ενός αριθμού σε κάποιο σύστημα αριθμών ονομάζεται κωδικός αριθμού.

Μια μεμονωμένη θέση στην εμφάνιση ενός αριθμού ονομάζεται απαλλάσσω, άρα ο αριθμός θέσης είναι αριθμός κατάταξης.

Ο αριθμός των ψηφίων σε έναν αριθμό ονομάζεται bit βάθοςκαι ταιριάζει με το μήκος του.

Τα αριθμητικά συστήματα χωρίζονται σε θέσεωςκαι μη θέσεις.Τα συστήματα θέσεων αριθμών διαιρούνται

στο ομοιογενήςκαι μικτός.

οκταδικό σύστημα αριθμών, δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών και άλλα συστήματα αριθμών.

Μετάφραση αριθμητικών συστημάτων.Οι αριθμοί μπορούν να μετατραπούν από ένα σύστημα αριθμών σε άλλο.

Πίνακας αντιστοιχίας αριθμών σε διάφορα συστήματα αριθμών.

Στο μάθημα της επιστήμης των υπολογιστών, ανεξαρτήτως σχολείου ή πανεπιστημίου, δίνεται ιδιαίτερη θέση σε μια τέτοια έννοια όπως τα συστήματα αριθμών. Κατά κανόνα, διατίθενται πολλά μαθήματα ή πρακτικές ασκήσεις για αυτό. Ο κύριος στόχος δεν είναι μόνο η εκμάθηση των βασικών εννοιών του θέματος, η μελέτη των τύπων συστημάτων αριθμών, αλλά και η εξοικείωση με τη δυαδική, οκταδική και δεκαεξαδική αριθμητική.

Τι σημαίνει?

Ας ξεκινήσουμε με τον ορισμό της κύριας έννοιας. Όπως σημειώνει το σχολικό βιβλίο «Επιστήμη Υπολογιστών», το αριθμητικό σύστημα είναι μια εγγραφή αριθμών που χρησιμοποιεί ένα ειδικό αλφάβητο ή ένα συγκεκριμένο σύνολο αριθμών.

Ανάλογα με το αν η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει από τη θέση του στον αριθμό, διακρίνονται δύο: τα συστήματα αριθμών θέσης και τα μη θέσεις.

Στα συστήματα θέσεων, η τιμή ενός ψηφίου αλλάζει ανάλογα με τη θέση του στον αριθμό. Έτσι, αν πάρουμε τον αριθμό 234, τότε ο αριθμός 4 σε αυτό σημαίνει μονάδες, αλλά αν λάβουμε υπόψη τον αριθμό 243, τότε εδώ θα σημαίνει ήδη δεκάδες, όχι μονάδες.

Σε συστήματα μη θέσης, η τιμή ενός ψηφίου είναι στατική, ανεξάρτητα από τη θέση του στον αριθμό. Το πιο εντυπωσιακό παράδειγμα είναι το σύστημα stick, όπου κάθε μονάδα υποδεικνύεται με μια παύλα. Ανεξάρτητα από το πού εκχωρείτε το ραβδί, η τιμή του αριθμού θα αλλάξει μόνο κατά ένα.

Συστήματα μη θέσης

Τα συστήματα αριθμών χωρίς θέση περιλαμβάνουν:

1. Ένα ενιαίο σύστημα, που θεωρείται από τα πρώτα. Χρησιμοποιούσε μπαστούνια αντί για αριθμούς. Όσο περισσότεροι ήταν, τόσο μεγαλύτερη ήταν η αξία του αριθμού. Μπορείτε να συναντήσετε ένα παράδειγμα αριθμών γραμμένων με αυτόν τον τρόπο σε ταινίες όπου μιλαμεγια ανθρώπους χαμένους στη θάλασσα, κρατούμενους, που σημειώνουν κάθε μέρα με τη βοήθεια εγκοπών σε μια πέτρα ή ένα δέντρο.
2. Roman, στην οποία χρησιμοποιήθηκαν λατινικά γράμματα αντί για αριθμούς. Χρησιμοποιώντας τα, μπορείτε να γράψετε οποιοδήποτε αριθμό. Ταυτόχρονα, η τιμή του προσδιορίστηκε χρησιμοποιώντας το άθροισμα και τη διαφορά των ψηφίων που αποτελούσαν τον αριθμό. Εάν υπήρχε μικρότερος αριθμός στα αριστερά του ψηφίου, τότε το αριστερό ψηφίο αφαιρέθηκε από το δεξί και εάν το ψηφίο στα δεξιά ήταν μικρότερο ή ίσο με το ψηφίο στα αριστερά, τότε οι τιμές τους αθροίζονταν πάνω. Για παράδειγμα, ο αριθμός 11 γράφτηκε ως XI και 9 - IX.
3. Γράμματα, στα οποία οι αριθμοί σημειώθηκαν χρησιμοποιώντας το αλφάβητο μιας συγκεκριμένης γλώσσας. Ένα από αυτά θεωρείται σλαβικό σύστημα, στο οποίο ένας αριθμός γραμμάτων δεν είχε μόνο φωνητικό, αλλά και αριθμητική αξία.
4. στην οποία χρησιμοποιήθηκαν μόνο δύο χαρακτηρισμοί για καταγραφή - σφήνες και βέλη.
5. Στην Αίγυπτο, επίσης, χρησιμοποιήθηκαν ειδικά σύμβολα για να δηλώσουν αριθμούς. Όταν γράφετε έναν αριθμό, κάθε χαρακτήρας μπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι περισσότερες από εννέα φορές.

Συστήματα θέσης

Στην επιστήμη των υπολογιστών δίνεται μεγάλη προσοχή στα συστήματα αριθμών θέσης. Αυτά περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

• δυάδικος;
• οκτάεδρος;
• δεκαδικός;
• δεκαεξαδικό?
• sexagesimal, που χρησιμοποιείται κατά τη μέτρηση του χρόνου (για παράδειγμα, σε ένα λεπτό - 60 δευτερόλεπτα, σε μια ώρα - 60 λεπτά).

Κάθε ένα από αυτά έχει το δικό του αλφάβητο για τη γραφή, τους κανόνες μετάφρασης και τις αριθμητικές πράξεις.

Μετρικό σύστημα

Αυτό το σύστημα είναι το πιο οικείο σε εμάς. Χρησιμοποιεί αριθμούς από το 0 έως το 9 για να γράψει αριθμούς. Λέγονται και αραβικά. Ανάλογα με τη θέση του ψηφίου στον αριθμό, μπορεί να υποδηλώνει διαφορετικά ψηφία - μονάδες, δεκάδες, εκατοντάδες, χιλιάδες ή εκατομμύρια. Το χρησιμοποιούμε παντού, γνωρίζουμε τους βασικούς κανόνες με τους οποίους εκτελούνται αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς.

Δυαδικό σύστημα

Ένα από τα κύρια συστήματα αριθμών στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το δυαδικό σύστημα. Η απλότητά του επιτρέπει στον υπολογιστή να εκτελεί περίπλοκους υπολογισμούς πολλές φορές πιο γρήγορα από ό,τι στο δεκαδικό σύστημα.

Για την εγγραφή αριθμών, χρησιμοποιούνται μόνο δύο ψηφία - 0 και 1. Ταυτόχρονα, ανάλογα με τη θέση του 0 ή του 1 στον αριθμό, η τιμή του θα αλλάξει.

Αρχικά, με τη βοήθεια υπολογιστών έλαβαν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες. Ταυτόχρονα, το ένα σήμαινε την παρουσία ενός σήματος που μεταδόθηκε χρησιμοποιώντας τάση και το μηδέν σήμαινε την απουσία του.

Οκταδικό σύστημα

Ένα άλλο γνωστό σύστημα αριθμών υπολογιστή στο οποίο χρησιμοποιούνται αριθμοί από το 0 έως το 7. Χρησιμοποιήθηκε κυρίως σε εκείνους τους τομείς γνώσης που σχετίζονται με ψηφιακές συσκευές. Αλλά πρόσφατα χρησιμοποιείται πολύ λιγότερο συχνά, αφού έχει αντικατασταθεί από το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών.

Δυαδικό δεκαδικό

Εκτέλεση μεγάλα νούμεραστο δυαδικό σύστημα για ένα άτομο - η διαδικασία είναι αρκετά περίπλοκη. Για να το απλοποιήσουμε, αναπτύχθηκε.Συνήθως χρησιμοποιείται σε ηλεκτρονικά ρολόγια, αριθμομηχανές. Σε αυτό το σύστημα, δεν μετατρέπεται ολόκληρος ο αριθμός από το δεκαδικό σύστημα σε δυαδικό, αλλά κάθε ψηφίο μεταφράζεται στο αντίστοιχο σύνολο μηδενικών και μονάδων στο δυαδικό σύστημα. Το ίδιο ισχύει και για τη μετατροπή από δυαδικό σε δεκαδικό. Κάθε ψηφίο, που αντιπροσωπεύεται ως ένα τετραψήφιο σύνολο μηδενικών και μονάδων, μεταφράζεται σε ένα ψηφίο στο δεκαδικό σύστημα αριθμών. Κατ 'αρχήν, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο.

Για την εργασία με αριθμούς, σε αυτή την περίπτωση, είναι χρήσιμος ένας πίνακας συστημάτων αριθμών, ο οποίος θα υποδεικνύει την αντιστοιχία μεταξύ των αριθμών και του δυαδικού τους κωδικού.

Δεκαεξαδικό σύστημα

Πρόσφατα, το δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών έχει γίνει όλο και πιο δημοφιλές στον προγραμματισμό και την επιστήμη των υπολογιστών. Χρησιμοποιεί όχι μόνο αριθμούς από το 0 έως το 9, αλλά και έναν αριθμό λατινικών γραμμάτων - A, B, C, D, E, F.

Ταυτόχρονα, κάθε ένα από τα γράμματα έχει τη δική του σημασία, άρα Α=10, Β=11, Γ=12 κ.ο.κ. Κάθε αριθμός αντιπροσωπεύεται ως ένα σύνολο τεσσάρων χαρακτήρων: 001F.

Μετατροπή αριθμών: από δεκαδικό σε δυαδικό

Η μετάφραση σε συστήματα αριθμών γίνεται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες. Η πιο συνηθισμένη μετατροπή είναι από δυαδικό σε δεκαδικό και αντίστροφα.

Για να μετατρέψετε έναν αριθμό από δεκαδικό σε δυαδικό, είναι απαραίτητο να τον διαιρέσετε με συνέπεια με τη βάση του συστήματος αριθμών, δηλαδή τον αριθμό δύο. Σε αυτή την περίπτωση, το υπόλοιπο κάθε διαίρεσης πρέπει να καθοριστεί. Αυτό θα συνεχιστεί έως ότου το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι μικρότερο ή ίσο με ένα. Είναι καλύτερο να κάνετε τους υπολογισμούς σε μια στήλη. Στη συνέχεια, τα υπόλοιπα διαίρεσης που προκύπτουν γράφονται στη συμβολοσειρά με αντίστροφη σειρά.

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε τον αριθμό 9 σε δυαδικό:

Διαιρούμε το 9, αφού ο αριθμός δεν διαιρείται ομοιόμορφα, τότε παίρνουμε τον αριθμό 8, το υπόλοιπο θα είναι 9 - 1 = 1.

Αφού διαιρέσουμε το 8 με το 2, παίρνουμε 4. Το ξαναμοιράζουμε, αφού ο αριθμός διαιρείται με δύο - παίρνουμε 4 - 4 = 0 στο υπόλοιπο.

Κάνουμε την ίδια πράξη με το 2. Το υπόλοιπο είναι 0.

Ως αποτέλεσμα της διαίρεσης, παίρνουμε 1.

Ανεξάρτητα από το τελικό σύστημα αριθμών, η μεταφορά αριθμών από δεκαδικό σε οποιοδήποτε άλλο θα γίνει σύμφωνα με την αρχή της διαίρεσης του αριθμού με τη βάση του συστήματος θέσεων.

Μετατροπή αριθμών: από δυαδικό σε δεκαδικό

Είναι αρκετά εύκολο να μετατρέψετε αριθμούς σε δεκαδικό από δυαδικό. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζουμε τους κανόνες για την αύξηση των αριθμών σε μια δύναμη. Σε αυτή την περίπτωση, σε δύναμη δύο.

Ο αλγόριθμος μετάφρασης έχει ως εξής: κάθε ψηφίο από τον κωδικό δυαδικού αριθμού πρέπει να πολλαπλασιαστεί επί δύο και τα δύο πρώτα θα είναι στην ισχύ του m-1, το δεύτερο - m-2 και ούτω καθεξής, όπου m είναι ο αριθμός των ψηφίων στον κωδικό. Στη συνέχεια, προσθέστε τα αποτελέσματα της πρόσθεσης, παίρνοντας έναν ακέραιο.

Για τους μαθητές, αυτός ο αλγόριθμος μπορεί να εξηγηθεί πιο απλά:

Αρχικά, παίρνουμε και γράφουμε κάθε ψηφίο πολλαπλασιασμένο επί δύο, μετά βάζουμε τη δύναμη του δύο από το τέλος, ξεκινώντας από το μηδέν. Στη συνέχεια, προσθέστε τον αριθμό που προκύπτει.

Για παράδειγμα, ας αναλύσουμε μαζί σας τον αριθμό 1001 που λήφθηκε νωρίτερα, μετατρέποντάς τον στο δεκαδικό σύστημα και ταυτόχρονα ας ελέγξουμε την ορθότητα των υπολογισμών μας.

Θα μοιάζει με αυτό:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Όταν μελετάτε αυτό το θέμα, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε έναν πίνακα με δυνάμεις δύο. Αυτό θα μειώσει σημαντικά τον χρόνο που απαιτείται για τους υπολογισμούς.

Άλλες επιλογές μετάφρασης

Σε ορισμένες περιπτώσεις, η μετάφραση μπορεί να πραγματοποιηθεί μεταξύ δυαδικού και οκταδικού, δυαδικού και δεκαεξαδικού. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ειδικούς πίνακες ή να εκτελέσετε την εφαρμογή αριθμομηχανής στον υπολογιστή σας επιλέγοντας την επιλογή «Προγραμματιστής» στην καρτέλα προβολής.

Αριθμητικές πράξεις

Ανεξάρτητα από τη μορφή με την οποία αναπαρίσταται ο αριθμός, είναι δυνατό να πραγματοποιήσουμε υπολογισμούς που είναι εξοικειωμένοι με αυτόν. Αυτό μπορεί να είναι διαίρεση και πολλαπλασιασμός, αφαίρεση και πρόσθεση στο σύστημα αριθμών που έχετε επιλέξει. Φυσικά, το καθένα από αυτά έχει τους δικούς του κανόνες.

Έτσι για το δυαδικό σύστημα ανέπτυξε τους δικούς του πίνακες για κάθε μία από τις πράξεις. Οι ίδιοι πίνακες χρησιμοποιούνται και σε άλλα συστήματα θέσης.

Δεν είναι απαραίτητο να τα απομνημονεύσετε - απλώς εκτυπώστε και έχετε στο χέρι. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή στον υπολογιστή σας.

Ένα από τα πιο σημαντικά θέματα στην επιστήμη των υπολογιστών είναι το σύστημα αριθμών. Η γνώση αυτού του θέματος, η κατανόηση των αλγορίθμων για τη μετάφραση αριθμών από το ένα σύστημα στο άλλο αποτελεί εγγύηση ότι θα μπορέσετε να κατανοήσετε περισσότερα δύσκολα θέματα, όπως αλγόριθμος και προγραμματισμός, και θα μπορείτε να γράψετε μόνοι σας το πρώτο σας πρόγραμμα.