Compiti sull'argomento "Sistemi numerici"

Esempi di soluzioni

Compito numero 1. quanti cifre significative in base 3 decimale 357?Soluzione:Traduciamo il numero 35710 nel sistema numerico ternario:Quindi, 35710 = 1110203. Il numero 1110203 contiene 6 cifre significative.Risposta: 6.

Compito numero 2. Dato A = A715, B = 2518. Quale dei numeri C scritti nel sistema binario soddisfa la condizione A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Soluzione:Traduciamo i numeri A = A715 e B = 2518 nel sistema binario, sostituendo ogni cifra del primo numero con la corrispondente tetrade, e ogni cifra del secondo numero con la corrispondente triade: A715 = 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Condizione a

Compito numero 3. Con quale cifra finisce il numero decimale in base 6 123?Soluzione:Traduciamo il numero 12310 nel sistema numerico in base 6:12310 = 3236. Risposta: il numero di registrazione 12310 nel sistema base 6 termina con la cifra 3.Compiti per eseguire operazioni aritmetiche su numeri rappresentati in diversi sistemi numerici

Compito numero 4. Calcola la somma dei numeri X e Y se X = 1101112, Y = 1358. Presenta il risultato in forma binaria.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Soluzione:Traduciamo il numero Y = 1358 nel sistema binario, sostituendo ciascuna delle sue cifre con la corrispondente triade: 001 011 1012. Aggiungiamo:Risposta: 100101002 (opzione 2).

Compito numero 5. Trova la media aritmetica dei numeri 2368, 6C16 e 1110102. Presenta la tua risposta in notazione decimale.Soluzione:Traduciamo i numeri 2368, 6С16 e 1110102 nel sistema di numeri decimali:
Calcoliamo la media aritmetica dei numeri: (158 + 108 + 58) / 3 = 10810.Risposta: la media aritmetica dei numeri 2368, 6C16 e 1110102 è 10810.

Compito numero 6. Valutare il valore dell'espressione 2068 + AF16? 110010102. Calcola nel sistema di numeri ottali. Converti la tua risposta in decimale.Soluzione:Traduciamo tutti i numeri nel sistema numerico ottale:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Aggiungiamo i numeri:Traduciamo la risposta al sistema decimale:Risposta: 51110.

Compiti per trovare la base del sistema numerico

Compito numero 7. Nel giardino ci sono 100q di alberi da frutto: 33q di meli, 22q di peri, 16q di prugne e 17q di ciliegie. Trova la radice in cui vengono contati gli alberi.Soluzione:Nel giardino ci sono 100q alberi: 100q = 33q + 22q + 16q + 17q.Numeriamo le cifre e presentiamo questi numeri in forma espansa:
Risposta: gli alberi vengono contati in base 9.

Compito numero 8. Trova la base x del sistema numerico se sai che 2002x = 13010.Soluzione:Risposta: 4.

Compito numero 9. Nel sistema numerico con qualche base, il numero decimale 18 è scritto come 30. Indicare questa base.Soluzione:Prendiamo la base del sistema di numeri incogniti come x e componiamo la seguente uguaglianza:1810 = 30x;Numeriamo le cifre e scriviamo questi numeri in forma espansa:Risposta: il decimale 18 è scritto come 30 in base 6.

La calcolatrice consente di convertire numeri interi e frazionari da un sistema numerico a un altro. La base del sistema numerico non può essere inferiore a 2 e superiore a 36 (10 cifre e dopo tutto 26 lettere latine). I numeri possono essere lunghi fino a 30 caratteri. Usa il simbolo per inserire i numeri frazionari. o, . Per convertire un numero da un sistema all'altro, inserire il numero originale nel primo campo, la base del sistema numerico originale nel secondo e la base del sistema numerico in cui si desidera tradurre il numero nel terzo campo e quindi fare clic sul pulsante "Ottieni record".

Numero originale registrati in 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -esimo sistema numerico.

Voglio ottenere un record del numero in 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -esimo sistema numerico.

Ottieni record

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Sistemi di numerazione

I sistemi di numerazione si dividono in due tipi: posizionale e non posizionale... Usiamo il sistema arabo, è posizionale, e c'è anche il romano - semplicemente non è posizionale. Nei sistemi posizionali, la posizione di una cifra in un numero determina in modo univoco il valore di quel numero. Questo è facile da capire considerando l'esempio di un numero.

Esempio 1... Prendiamo il numero 5921 in notazione decimale. Numeriamo il numero da destra a sinistra partendo da zero:

Il numero 5921 può essere scritto nella forma seguente: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Il numero 10 è una caratteristica che determina il sistema numerico. I valori della posizione del numero dato sono presi come gradi.

Esempio 2... Considera il numero decimale reale 1234.567. Numeriamolo partendo dalla posizione zero del numero dalla virgola a sinistra e a destra:

Il numero 1234.567 può essere scritto nella forma seguente: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 · 10 0 + 5 · 10 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.

Conversione di numeri da un sistema di numerazione a un altro

Più in modo semplice il trasferimento di un numero da un sistema numerico a un altro è la traduzione del numero prima nel sistema numerico decimale e quindi il risultato ottenuto nel sistema numerico richiesto.

Conversione di numeri da qualsiasi sistema numerico al sistema numerico decimale

Per convertire un numero da qualsiasi sistema numerico in decimale, è sufficiente numerare le sue cifre, partendo da zero (la posizione a sinistra della virgola) come negli esempi 1 o 2. Trova la somma dei prodotti delle cifre di il numero dalla base del sistema numerico in potenza della posizione di questa cifra:

1. Converti il ​​numero 1001101.1101 2 in notazione decimale.
Soluzione: 10011.101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
Risposta: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Converti E8F.2D 16 in notazione decimale.
Soluzione: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,17578125 10
Risposta: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Conversione di numeri da un sistema di numerazione decimale a un altro sistema di numerazione

Per convertire i numeri dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico, le parti intere e frazionarie del numero devono essere tradotte separatamente.

Conversione della parte intera di un numero dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

La parte intera viene convertita dal sistema di numerazione decimale ad un altro sistema di numerazione dividendo in sequenza l'intera parte del numero per la base del sistema di numerazione fino ad ottenere l'intero resto, che è inferiore alla base del sistema di numerazione. L'esito del bonifico sarà una registrazione dal saldo, a partire dall'ultimo.

3. Converti il ​​numero 273 10 in sistema numerico ottale.
Soluzione: 273/8 = 34 e resto 1, 34/8 = 4 e resto 2, 4 è minore di 8, quindi i calcoli sono completi. Il record degli avanzi sarà simile a questo: 421
Visita medica: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, il risultato è lo stesso. Ciò significa che la traduzione è stata eseguita correttamente.
Risposta: 273 10 = 421 8

Consideriamo la traduzione di frazioni decimali corrette in vari sistemi numerici.

Conversione della parte frazionaria di un numero dal sistema numerico decimale a un altro sistema numerico

Ricordiamo che si chiama la frazione decimale corretta numero reale con parte intera zero... Per convertire un tale numero nel sistema numerico di base N, è necessario moltiplicare in sequenza il numero per N fino a quando la parte frazionaria è zero o si ottiene il numero di cifre richiesto. Se durante la moltiplicazione si ottiene un numero con una parte intera diversa da zero, la parte intera non viene ulteriormente presa in considerazione, poiché viene inserita in sequenza nel risultato.

4. Converti numero binario 0.125 10.
Soluzione: 0,125 2 = 0,25 (0 è la parte intera, che diventerà la prima cifra del risultato), 0,25 2 = 0,5 (0 è la seconda cifra del risultato), 0,5 2 = 1,0 (1 è la terza cifra del risultato , e poiché la parte frazionaria è uguale a zero , allora la traduzione è completa).
Risposta: 0.125 10 = 0.001 2

Concetti di base dei sistemi numerici

Un sistema numerico è un insieme di regole e tecniche per scrivere numeri utilizzando un insieme di caratteri digitali. Il numero di cifre necessarie per registrare un numero nel sistema è chiamato base del sistema di numerazione. La base del sistema è scritta con i giusti numeri in pedice:; ; eccetera.

Esistono due tipi di sistemi di numerazione:

posizionale, quando il valore di ciascuna cifra di un numero è determinato dalla sua posizione nel record del numero;

non posizionale, quando il valore della cifra nel numero non dipende dalla sua posizione nel record del numero.

Un esempio di sistema numerico non posizionale è romano: i numeri IX, IV, XV, ecc. Un esempio di sistema di numerazione posizionale è il sistema decimale utilizzato quotidianamente.

Qualsiasi intero nel sistema posizionale può essere scritto sotto forma di polinomio:

dove S è la base del sistema numerico;

Cifre del numero registrato nel dato sistema di numerazione;

n - il numero di cifre del numero.

Esempio. Numero si scriverà sotto forma di polinomio come segue:

Tipi di sistemi di numerazione

Il sistema numerico romano è un sistema non posizionale. Usa le lettere dell'alfabeto latino per scrivere i numeri. Inoltre, la lettera I significa sempre uno, la lettera V è cinque, X è dieci, L è cinquanta, C è cento, D è cinquecento, M è mille, ecc. Ad esempio, il numero 264 è scritto come CCLXIV. Quando si scrivono numeri nel sistema numerico romano, il valore del numero è la somma algebrica delle cifre incluse in esso. In questo caso, i numeri nel record del numero seguono, di regola, in ordine decrescente dei loro valori, e non è consentito scrivere più di tre fianco a fianco cifre identiche... Nel caso in cui una cifra con un valore grande sia seguita da una cifra con uno più piccolo, il suo contributo al valore del numero nel suo insieme è negativo. Esempi tipici che illustrano regole generali i record dei numeri nel sistema numerico romano sono riportati nella tabella.

Tabella 2. Scrivere i numeri nel sistema numerico romano

Lo svantaggio del sistema romano è la mancanza di regole formali per la scrittura di numeri e, di conseguenza, operazioni aritmetiche con numeri a più cifre. A causa dell'inconveniente e della grande complessità, il sistema numerico romano è attualmente utilizzato dove è davvero conveniente: in letteratura (numerazione dei capitoli), nelle pratiche burocratiche (una serie di passaporti, titoli, ecc.), per scopi decorativi sul quadrante di un orologio e in molti altri casi.

Il sistema di numerazione decimale è attualmente il più famoso e utilizzato. L'invenzione del sistema di numeri decimali appartiene alle principali conquiste del pensiero umano. Senza di essa, la tecnologia moderna difficilmente potrebbe esistere, figuriamoci emergere. Il motivo per cui il sistema di numeri decimali è diventato comune non è affatto matematico. Le persone sono abituate a contare in notazione decimale perché hanno 10 dita sulle mani.

L'antica rappresentazione delle cifre decimali (Fig. 1) non è casuale: ogni cifra denota un numero in base al numero di angoli in essa contenuti. Ad esempio, 0 - nessun angolo, 1 - un angolo, 2 - due angoli, ecc. La scrittura delle cifre decimali ha subito notevoli modifiche. La forma che usiamo è stata stabilita nel XVI secolo.

Il sistema decimale è apparso per la prima volta in India intorno al VI secolo d.C. La numerazione indiana utilizzava nove caratteri numerici e zero per indicare una posizione vuota. Nei primi manoscritti indiani che ci sono pervenuti i numeri erano scritti in ordine inverso, con il numero più significativo a destra. Ma presto divenne una regola posizionare un tale numero sul lato sinistro. Particolare importanza è stata data al carattere zero, che è stato introdotto per il sistema di notazione posizionale. La numerazione indiana, compreso lo zero, è sopravvissuta fino ai nostri giorni. In Europa, i metodi indù di aritmetica decimale si diffusero all'inizio del XIII secolo. grazie alle opere del matematico italiano Leonardo da Pisa (Fibonacci). europei presi in prestito sistema indiano conto tra gli arabi, chiamandolo arabo. Questo nome storicamente errato è conservato fino ad oggi.

Il sistema decimale utilizza dieci cifre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, nonché i simboli "+" e "-" per indicare il segno di un numero e una virgola o punto per separare parti intere e frazionarie numeri.

I computer utilizzano un sistema di numeri binari, la cui base è il numero 2. Per scrivere numeri in questo sistema, vengono utilizzate solo due cifre: 0 e 1. Contrariamente all'idea sbagliata comune, il sistema di numeri binari è stato inventato non da ingegneri progettisti di computer, ma da matematici e filosofi molto prima della comparsa dei computer, nel diciassettesimo e diciannovesimo secolo. La prima discussione pubblicata sul sistema dei numeri binari appartiene al sacerdote spagnolo Juan Caramuel Lobkowitz (1670). L'attenzione generale su questo sistema fu attratta da un articolo del matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz, pubblicato nel 1703. Spiegava le operazioni binarie di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Leibniz non raccomandò l'uso di questo sistema per calcoli pratici, ma ne sottolineò l'importanza per la ricerca teorica. Nel corso del tempo, il sistema di numeri binari è diventato ben noto e sviluppato.

La scelta di un sistema binario per l'uso nell'informatica è spiegata dal fatto che gli elementi elettronici - i trigger che compongono un microcircuito del computer - possono trovarsi solo in due stati operativi.

Tutti i dati e le conoscenze possono essere registrati utilizzando un sistema di codifica binaria. Questo è facile da capire se ricordi il principio della codifica e della trasmissione delle informazioni usando il codice Morse. Un operatore telegrafico, utilizzando solo due simboli di questo alfabeto: punti e trattini, può trasmettere quasi tutti i testi.

Il sistema binario è conveniente per un computer, ma scomodo per una persona: i numeri sono lunghi e difficili da scrivere e ricordare. Certo, puoi convertire un numero nel sistema decimale e scriverlo in questa forma, e poi, quando hai bisogno di tradurlo di nuovo, ma tutte queste traduzioni richiedono molto tempo. Pertanto, vengono utilizzati i sistemi numerici, simili al binario: ottale ed esadecimale. Per scrivere numeri in questi sistemi sono necessarie rispettivamente 8 e 16 cifre. In esadecimale, le prime 10 cifre sono comuni, quindi vengono utilizzate le lettere maiuscole latine. La cifra esadecimale A corrisponde al decimale 10, esadecimale B - decimale 11, ecc. L'uso di questi sistemi è spiegato dal fatto che il passaggio alla scrittura di un numero in uno di questi sistemi dalla sua notazione binaria è molto semplice. Di seguito una tabella di corrispondenza tra i numeri registrati nei diversi sistemi.

Tabella 3. Corrispondenza di numeri scritti in diversi sistemi di numerazione

Regole per tradurre i numeri da un sistema di numerazione all'altro

La conversione di numeri da un sistema numerico a un altro è una parte importante dell'aritmetica della macchina. Consideriamo le regole di base della traduzione.

1. Per la traduzione numero binario in decimale, è necessario scriverlo sotto forma di un polinomio costituito dai prodotti delle cifre del numero e la corrispondente potenza del numero 2, e calcolarlo secondo le regole dell'aritmetica decimale:

Durante la traduzione, è conveniente utilizzare la tabella delle potenze di due:

Tabella 4. Potenze di 2

Esempio. Converti il ​​numero in notazione decimale.

2. Per convertire un numero ottale in decimale, è necessario scriverlo sotto forma di polinomio costituito dai prodotti delle cifre del numero e la corrispondente potenza del numero 8, e calcolarlo secondo le regole del decimale aritmetica:

Quando si traduce, è conveniente usare la tabella delle potenze degli otto:

Tabella 5. Potenze di 8

Sistema numerico (eng.numeral system o sistema di numerazione) - un metodo simbolico per scrivere numeri, che rappresenta i numeri usando segni scritti

Qual è la radice e la base del sistema numerico?

Definizione: La base del sistema numerico è il numero di caratteri o caratteri diversi che
sono usati per rappresentare i numeri in questo sistema.
Qualsiasi numero naturale viene preso come base - 2, 3, 4, 16, ecc. Cioè, non c'è limite
molti sistemi posizionali. Ad esempio, per il sistema decimale, la base è 10.

Determinare la base è molto semplice, è sufficiente ricalcolare il numero di cifre significative nel sistema. Se più semplice, questo è il numero con cui inizia la seconda cifra del numero. Ad esempio, usiamo i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ce ne sono esattamente 10, quindi anche la base del nostro sistema numerico è 10 e il sistema numerico è chiamato "decimale". Nell'esempio sopra, vengono utilizzati i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (ausiliari 10, 100, 1000, 10000, ecc. non contano). Ci sono anche 10 cifre principali qui e il sistema numerico è decimale.

Base del sistema è una sequenza di numeri utilizzata per la scrittura. Nessun sistema ha un numero uguale alla base del sistema.

Come puoi immaginare, quanti numeri ci sono, può essere lo stesso numero di basi dei sistemi numerici. Ma vengono utilizzate solo le basi numeriche più convenienti. Perché pensi che la base del sistema numerico umano più comune sia 10? Sì, proprio perché abbiamo 10 dita sulle mani. "Ma ci sono solo cinque dita in una mano", diranno alcuni, e avranno ragione. La storia dell'umanità conosce esempi di sistemi numerici quintuplicati. "E con le gambe - venti dita" - diranno gli altri, e avranno anche assolutamente ragione. Questo è ciò che pensavano gli indiani Maya. Si può vedere anche dai loro numeri.

Sistema di numerazione decimale

Siamo tutti abituati a contare usando numeri e numeri che ci sono familiari fin dall'infanzia. Uno, due, tre, quattro, ecc. Nel nostro sistema di numerazione di tutti i giorni, ci sono solo dieci cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), da cui ricaviamo qualsiasi numero. Raggiunto dieci, aggiungiamo uno alla cifra a sinistra e ricominciamo a contare da zero nella cifra più a destra. Questo sistema numerico è chiamato decimale.

Non è difficile indovinare che i nostri antenati l'hanno scelto perché il numero di dita su entrambe le mani è dieci. Ma quali altri sistemi di numerazione esistono? Hai sempre usato il sistema dei numeri decimali o ce n'erano altri?

La storia dell'emergere dei sistemi numerici

Prima dell'invenzione dello zero, si scrivevano i numeri segni speciali... Ogni nazione aveva il suo. V Antica Roma, ad esempio, prevaleva un sistema di numerazione non posizionale.

Il sistema numerico si dice non posizionale se il valore della cifra non dipende dallo spazio che occupa. I sistemi numerici utilizzati in Russia e nell'antica Grecia erano considerati i sistemi numerici più perfetti.

In loro grandi numeri designato da lettere, ma con l'aggiunta di simboli aggiuntivi (1 - a, 100 -i, ecc.). Un altro sistema numerico non posizionale era quello utilizzato nell'antica Babilonia. Nel loro sistema, gli abitanti di Babilonia usavano la notazione in "due piani" e solo tre segni: Uno nel sistema numerico babilonese - per uno, Dieci nel sistema numerico babilonese - per dieci e Zero nel sistema numerico babilonese - per zero.

Sistemi di numerazione posizionale

I sistemi posizionali sono diventati un passo avanti. Ora il decimale ha vinto ovunque, ma ci sono altri sistemi che vengono spesso utilizzati nelle scienze applicate. Un esempio di tale sistema numerico è il sistema numerico binario.
Sistema numerico binario

È su di esso che comunicano i computer e tutta l'elettronica della tua casa. In questo sistema di numerazione vengono utilizzate solo due cifre: 0 e 1. Chiedi, perché non insegnare al computer a contare fino a dieci, come persona? La risposta sta in superficie.

È facile insegnare a un'auto a distinguere due simboli: acceso significa 1, spento significa 0; c'è una corrente - 1, nessuna corrente - 0. Ci sono stati tentativi di creare macchine in grado di distinguere più numeri. Ma si sono rivelati tutti inaffidabili, i computer erano sempre confusi: o 1 veniva da loro, o 2.

Siamo circondati da molti sistemi numerici diversi. Ognuno di loro è utile nella propria area. E la risposta alla domanda su quale e quando usare è la nostra.

Notazioneè un metodo per scrivere un numero utilizzando un insieme specificato di caratteri speciali (numeri).

Notazione:

• dà una rappresentazione di un insieme di numeri (interi e/o reali);

• assegna a ciascun numero una rappresentazione univoca (o almeno una rappresentazione standard);

• mostra la struttura algebrica e aritmetica di un numero.

Si chiama scrivere un numero in un certo sistema numerico codice numerico.

Viene chiamata una posizione separata nella visualizzazione di un numero scarico, il che significa che il numero di posizione è numero di rango.

Il numero di bit in un numero è chiamato bitness e corrisponde alla sua lunghezza.

I sistemi di numerazione sono suddivisi in posizionale e non posizionale. I sistemi di numerazione posizionale sono divisi

sul omogeneo e misto.

sistema numerico ottale, sistema numerico esadecimale e altri sistemi numerici.

Traduzione di sistemi numerici. I numeri possono essere convertiti da un sistema di numerazione all'altro.

Tavola di corrispondenza dei numeri in vari sistemi numerici.