Бүхэл ба аравны нэг. Бүхэл тоо: ерөнхий дүрслэл

Энэ нийтлэлд бид бүхэл тоонуудын багцыг тодорхойлж, аль бүхэл тоог эерэг, аль нь сөрөг гэж нэрлэхийг авч үзэх болно. Бид мөн тодорхой хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлтийг бүхэл тоогоор хэрхэн дүрслэхийг харуулах болно. Бүхэл тооны тодорхойлолт, жишээнээс эхэлье.

Бүхэл тоо. Тодорхойлолт, жишээ

Эхлээд натурал ℕ тоог эргэн санацгаая. Нэр нь өөрөө эдгээр нь эрт дээр үеэс тоолоход ашиглагдаж ирсэн тоонууд гэдгийг харуулж байна. Бүхэл тооны тухай ойлголтыг хамрахын тулд натурал тооны тодорхойлолтыг өргөжүүлэх хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 1. Бүхэл тоо

Бүхэл тоонууд нь натурал тоо, эсрэг тоо, тэг тоо юм.

Бүхэл тоонуудын багцыг ℤ үсгээр тэмдэглэнэ.

ℕ натурал тооны олонлог нь ℤ бүхэл тоонуудын дэд олонлог юм. Аливаа натурал тоо нь бүхэл тоо боловч бүхэл тоо нь натурал тоо биш юм.

Тодорхойлолтоос харахад 1, 2, 3 тоонуудын аль нэг нь бүхэл тоо юм. ... , тоо 0, түүнчлэн тоонууд - 1, - 2, - 3,. ...

Үүний дагуу бид жишээ өгөх болно. 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 тоонууд нь бүхэл тоо юм.

Координатын шугамыг хэвтээ байдлаар зурж баруун тийш чиглүүл. Шулуун шугам дээрх бүхэл тоонуудын байрлалыг төсөөлөхийн тулд үүнийг харцгаая.

Координатын шугам дээрх гарал үүсэл нь 0 тоотой тохирч, тэгийн хоёр талд байрлах цэгүүд эерэг ба сөрөг бүхэл тоотой тохирч байна. Цэг бүр нэг бүхэл тоотой тохирч байна.

Координат нь бүхэл тоо болох шулуун шугамын аль ч цэгт эх үүсвэрээс тодорхой тооны нэгж хэсгүүдийг салгаснаар хүрч болно.

Эерэг ба сөрөг бүхэл тоо

Бүх бүхэл тооноос эерэг ба сөрөг бүхэл тоог ялгах нь логик юм. Тэдний тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт 2. Эерэг бүхэл тоо

Эерэг бүхэл тоо нь нэмэх тэмдэгтэй бүхэл тоо юм.

Жишээлбэл, 7 тоо нь нэмэх тэмдэг, өөрөөр хэлбэл эерэг бүхэл тоо юм. Координатын шугам дээр энэ тоо нь 0 тоог авсан лавлах цэгийн баруун талд байрладаг. Эерэг бүхэл тоонуудын бусад жишээ: 12, 502, 42, 33, 100500.

Тодорхойлолт 3. Сөрөг бүхэл тоо

Сөрөг бүхэл тоонууд нь хасах тэмдэгтэй бүхэл тоо юм.

Сөрөг бүхэл тоонуудын жишээ: - 528, - 2568, - 1.

0 тоо нь эерэг ба сөрөг бүхэл тоонуудыг ялгадаг бөгөөд өөрөө эерэг ч биш сөрөг ч биш.

Эерэг бүхэл тоонуудын эсрэг байгаа аливаа тоо нь тодорхойлолтоор сөрөг бүхэл тоо юм. Эсрэг заалт нь бас үнэн юм. Аливаа сөрөг бүхэл тооны урвуу нь эерэг бүхэл тоо юм.

Та сөрөг ба эерэг бүхэл тоонуудын бусад тодорхойлолтыг тэгтэй харьцуулах замаар өгч болно.

Тодорхойлолт 4. Эерэг бүхэл тоо

Эерэг бүхэл тоо нь тэгээс их бүхэл тоо юм.

Тодорхойлолт 5. Сөрөг бүхэл тоо

Сөрөг бүхэл тоо нь тэгээс бага бүхэл тоо юм.

Үүний дагуу эерэг тоо нь координатын шугамын эхийн баруун талд, сөрөг бүхэл тоо нь тэгийн зүүн талд байна.

Натурал тоо нь бүхэл тоонуудын дэд олонлог гэж бид түрүүн хэлсэн. Энэ зүйлийг тодруулъя. Натурал тоонуудын багц нь эерэг бүхэл тооноос бүрдэнэ. Хариуд нь сөрөг бүхэл тоонуудын олонлог нь эсрэг талын натурал тоонуудын олонлог юм.

Чухал!

Аливаа натурал тоог бүхэл тоо гэж нэрлэж болох боловч бүхэл тоог натурал гэж нэрлэх боломжгүй. байна уу гэсэн асуултад хариулж байна сөрөг тоонуудМэдээжийн хэрэг, бид зоригтой хэлэх ёстой - үгүй, тэд тийм биш.

Эерэг болон сөрөг бус бүхэл тоо

Тодорхойлолтуудыг өгье.

Тодорхойлолт 6. Сөрөг бус бүхэл тоо

Сөрөг бус бүхэл тоо нь эерэг бүхэл тоо ба тэг тоо юм.

Тодорхойлолт 7. Эерэг бус бүхэл тоо

Эерэг бус бүхэл тоо нь сөрөг бүхэл тоо ба тэг тоо юм.

Таны харж байгаагаар тэг тоо нь эерэг ч биш, сөрөг ч биш юм.

Сөрөг бус бүхэл тоонуудын жишээ: 52, 128, 0.

Эерэг бус бүхэл тоонуудын жишээ: - 52, - 128, 0.

Сөрөг бус тоо нь тэгээс их буюу тэнцүү тоо юм. Үүний дагуу эерэг бус бүхэл тоо нь тэгээс бага буюу тэнцүү тоо юм.

"Эерэг бус тоо" ба "сөрөг бус тоо" гэсэн нэр томъёог товчилбол ашигладаг. Жишээлбэл, a тоог тэгээс их буюу тэнцүү бүхэл тоо гэж хэлэхийн оронд: a нь сөрөг бус бүхэл тоо гэж хэлж болно.

Хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийг дүрслэхдээ бүхэл тоог ашиглах

Бүхэл тоог юунд ашигладаг вэ? Юуны өмнө, тэдгээрийн тусламжтайгаар аливаа объектын тооны өөрчлөлтийг тодорхойлж, тодорхойлоход тохиромжтой. Нэг жишээ хэлье.

Агуулахад тодорхой тооны тахир голыг хадгална. Дахиад 500 тахир голыг агуулахад оруулж ирвэл тэдний тоо нэмэгдэнэ. 500 тоо нь зүгээр л дэлгэрэнгүй тооны өөрчлөлтийг (өсөлтийг) илэрхийлдэг. Хэрэв дараа нь 200 хэсгийг агуулахаас авбал энэ тоо нь тахир тэнхлэгийн тооны өөрчлөлтийг мөн тодорхойлно. Энэ удаад доошоо.

Хэрэв агуулахаас юу ч авчрахгүй, юу ч авчрахгүй бол 0 тоо нь эд ангиудын тоо өөрчлөгдөөгүй байгааг илтгэнэ.

Натурал тоонуудаас ялгаатай нь бүхэл тоог ашиглахын тод тав тухтай байдал нь тэдгээрийн тэмдэг нь утгын өөрчлөлтийн чиглэлийг (өсөлт эсвэл бууралт) тодорхой зааж өгдөгт оршино.

Температурын 30 градусаар буурахыг сөрөг тоо - 30, 2 градусаар нэмэгдэхийг эерэг бүхэл тоо 2-оор тодорхойлж болно.

Бүхэл тоо ашиглах өөр нэг жишээ энд байна. Энэ удаад хэн нэгэнд 5 зоос өгөх ёстой гэж бодъё. Дараа нь бид 5 зоостой гэж хэлж болно. 5-ын тоо нь өрийн хэмжээг тодорхойлдог бөгөөд хасах тэмдэг нь зоосыг буцааж төлөх ёстой гэж хэлдэг.

Хэрэв бид нэг хүнд 2 зоос, нөгөө хүнд 3 зоос өртэй бол сөрөг тоог нэмэх дүрмийг ашиглан нийт өрийг (5 зоос) тооцоолж болно.

2 + (- 3) = - 5

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

Олон төрлийн тоо байдаг бөгөөд зарим нь бүхэл тоо байдаг. Зөвхөн эерэг чиглэлд төдийгүй сөрөг талаас нь тоолоход хялбар болгох үүднээс бүхэл тоо гарч ирэв.

Жишээ авч үзье:
Өдөртөө гадаа 3 градус дулаан байлаа. Орой болоход агаарын температур 3 градусаар буурсан байна.
3-3=0
Гудамжинд 0 градус хүйтэн болсон. Мөн шөнөдөө температур 4 градусаар буурч, термометр дээр -4 градусыг харуулж эхлэв.
0-4=-4

Бүхэл тоонуудын цуваа.

Бид ийм асуудлыг натурал тоогоор тайлбарлаж чадахгүй, бид энэ асуудлыг координатын шугам дээр авч үзэх болно.

Бид хэд хэдэн тоо авсан:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Энэ цуврал тоонууд гэж нэрлэгддэг бүхэл тоонуудын цуваа.

Эерэг бүхэл тоо. Сөрөг бүхэл тоо.

Бүхэл тоонуудын цуваа нь эерэг ба сөрөг тооноос бүрдэнэ. Тэгийн баруун талд натурал тоонууд эсвэл тэдгээрийг бас нэрлэдэг эерэг бүхэл тоо... Тэгээд тэгээс зүүн тийш яв бүхэл сөрөг тоонууд.

Тэг нь эерэг ч биш, сөрөг ч биш. Энэ нь эерэг ба сөрөг тоонуудын хоорондох хил хязгаар юм.

Энэ нь натурал тоо, сөрөг бүхэл тоо, тэгээс бүрдэх тоонуудын багц юм.

Эерэг ба сөрөг бүхэл тоонуудын цуваа төгсгөлгүй багц.

Хэрэв бид дурын хоёр бүхэл тоо авбал эдгээр бүхэл тоонуудын хоорондох тоог дуудах болно хязгаарлагдмал олонлог.

Жишээлбэл:
-2-оос 4 хүртэлх бүхэл тоонуудыг ав. Эдгээр тоонуудын хоорондох бүх тоо нь төгсгөлтэй олонлогт багтана. Бидний хязгаарлагдмал тооны багц дараах байдалтай байна.
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натурал тоонуудыг латин N үсгээр тэмдэглэдэг.
Бүхэл тоог латин Z үсгээр тэмдэглэнэ. Зурагт натурал тоо болон бүхэл тооны багцыг бүхэлд нь дүрсэлж болно.


Эерэг бус бүхэл тооөөрөөр хэлбэл тэдгээр нь сөрөг бүхэл тоо юм.
Сөрөг бус бүхэл тооЭерэг бүхэл тоонууд.

Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь тусгай жорын дагуу усанд чанаж болгосон хүнсний ногоо юм. Би эхний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг (хүнсний ногооны салат ба ус) болон эцсийн үр дүн - borscht-ийг авч үзэх болно. Геометрийн хувьд үүнийг нэг тал нь шанцайны ургамал, нөгөө тал нь усыг төлөөлдөг тэгш өнцөгт гэж үзэж болно. Эдгээр хоёр талын нийлбэр нь борцыг төлөөлнө. Ийм "борщ" тэгш өнцөгтийн диагональ ба талбай нь цэвэр математикийн ойлголт бөгөөд борщны жоронд хэзээ ч ашиглагддаггүй.

Математикийн сурах бичгүүдээс шугаман өнцгийн функцүүдийн талаар юу ч олж харахгүй. Гэхдээ тэдэнгүйгээр математик байхгүй. Математикийн хуулиуд нь байгалийн хуулиудтай адил бидний оршин тогтнох эсэхээс үл хамааран ажилладаг.

Шугаман өнцгийн функцууд нь нэмэх хууль юм.Алгебр хэрхэн геометр, геометр нь тригонометр болж хувирахыг хараарай.

Шугаман өнцгийн функцээс татгалзаж болох уу? Та чадна, учир нь математикчид тэдэнгүйгээр хийдэг хэвээр байна. Математикчдын заль мэх нь тэд өөрсдөө хэрхэн шийдэхээ мэддэг асуудлуудаа л бидэнд хэлдэг бөгөөд шийдэж чадахгүй байгаа асуудлынхаа талаар хэзээ ч ярьдаггүй. Хараач. Хэрэв бид нэмэх болон нэг гишүүний үр дүнг мэддэг бол нөгөө гишүүнийг олохын тулд хасах аргыг ашигладаг. Бүх зүйл. Бид өөр ажлуудыг мэдэхгүй, шийдэж чадахгүй байна. Хэрэв бид зөвхөн нэмэхийн үр дүнг мэдэж, хоёр нэр томъёог мэдэхгүй бол яах вэ? Энэ тохиолдолд нэмэлтийн үр дүнг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан хоёр гишүүнд задлах ёстой. Дараа нь бид өөрсдөө нэг гишүүний аль нь болохыг сонгох ба шугаман өнцгийн функцууд нь хоёр дахь гишүүн ямар байх ёстойг харуулдаг бөгөөд ингэснээр нэмэлтийн үр дүн яг хэрэгтэй зүйл болно. Ийм хос нэр томъёо хязгааргүй олон байж болно. Өдөр тутмын амьдралд бид нийлбэрийг задлахгүйгээр төгс удирддаг, хасах нь бидэнд хангалттай. Харин байгалийн хуулиудын шинжлэх ухааны судалгаанд нийлбэрийг нэр томьёо болгон задлах нь маш их хэрэг болдог.

Математикчдын ярих дургүй байдаг нэмэлт хууль (тэдний өөр нэг заль мэх) нь нэр томьёо нь ижил хэмжүүртэй байхыг шаарддаг. Салат, ус, борщны хувьд эдгээр нь жин, эзэлхүүн, үнэ цэнэ, хэмжүүрийн нэгж байж болно.

Зураг нь математикийн хоёр түвшний ялгааг харуулж байна. Эхний түвшин бол заасан тоонуудын ялгаа юм а, б, в... Үүнийг математикчид хийдэг. Хоёрдахь түвшин нь дөрвөлжин хаалтанд тэмдэглэгдсэн, үсгээр тэмдэглэгдсэн хэмжилтийн нэгжийн талбайн ялгаа юм. У... Үүнийг физикчид хийдэг. Гурав дахь түвшинг бид ойлгож чадна - тайлбарласан объектын талбайн ялгаа. Өөр өөр объектууд ижил тооны ижил хэмжүүртэй байж болно. Энэ нь хичнээн чухал болохыг бид borscht тригонометрийн жишээн дээр харж болно. Хэрэв бид өөр өөр объектын хэмжлийн нэгжийн ижил тэмдэглэгээнд доод тэмдэгтүүдийг нэмбэл тодорхой объектыг ямар математикийн утга илэрхийлж байгааг, мөн энэ нь цаг хугацааны явцад эсвэл бидний үйлдлээр хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг яг таг хэлж чадна. Захиагаар ВБи үсгээр усыг зааж өгнө СБи салат, захидал зааж өгөх болно Б- Борщ. Borsch-ийн шугаман өнцгийн функцүүд иймэрхүү харагдах болно.

Хэрэв бид усны нэг хэсэг, салатны зарим хэсгийг авбал тэд хамтдаа borscht-ийн нэг хэсэг болж хувирна. Энд би борщ идэхээ түр завсарлаж, холын бага насаа эргэн санахыг санал болгож байна. Бид туулай, нугас хоёрыг яаж нийлүүлэхийг зааж байсныг санаж байна уу? Хэдэн малтай болохыг олж мэдэх шаардлагатай байв. Тэгвэл бидэнд юу хийхийг заасан бэ? Бид тооноос нэгжийг салгаж, тоог нэмэхийг заасан. Тиймээ, дурын дугаарыг өөр ямар ч дугаарт нэмж болно. Энэ бол орчин үеийн математикийн аутизмын шууд зам юм - бид юу хийж байгаа нь тодорхойгүй, яагаад гэдэг нь тодорхойгүй бөгөөд энэ нь бодит байдалтай хэрхэн холбогдож байгааг бид маш муу ойлгодог, учир нь гурван түвшний ялгаанаас болж математик зөвхөн нэг л үйл ажиллагаа явуулдаг. . Нэг хэмжүүрээс нөгөөд хэрхэн шилжих талаар сурах нь илүү зөв байх болно.

Бөжин, нугас, амьтдыг хэсэг хэсгээр нь тоолж болно. Янз бүрийн объектын хэмжилтийн нэг нийтлэг нэгж нь тэдгээрийг нэгтгэх боломжийг бидэнд олгодог. Энэ бол асуудлын хүүхдийн хувилбар юм. Насанд хүрэгчдэд зориулсан ижил төстэй асуудлыг авч үзье. Хэрэв та туулай, мөнгө нэмбэл юу болох вэ? Энд хоёр боломжит шийдэл байна.

Эхний сонголт... Бид туулайнуудын зах зээлийн үнэ цэнийг тодорхойлж, бэлэн мөнгөний хэмжээнд нэмнэ. Бид баялгийнхаа нийт үнэ цэнийг мөнгөн дүнгээр авсан.

Хоёр дахь сонголт... Бидэнд байгаа мөнгөн дэвсгэртийн тоо дээр та туулайн тоог нэмж болно. Хөдлөх эд хөрөнгийн тоог хэсэгчлэн авна.

Таны харж байгаагаар нэмэхийн ижил хууль нь өөр өөр үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог. Энэ бүхэн бидний яг юу мэдэхийг хүсч байгаагаас хамаарна.

Гэхдээ манай борщ руу буцах. Одоо бид хэзээ юу болохыг харж болно өөр өөр утгатайшугаман өнцгийн функцүүдийн өнцөг.

Өнцөг нь тэг байна. Бид салаттай, гэхдээ усгүй. Бид борщ хийж чадахгүй. Борщны хэмжээ бас тэг байна. Энэ нь 0 борщ нь тэг устай тэнцүү гэсэн үг биш юм. Тэг borscht нь тэг салат (зөв өнцөг) байж болно.

Миний хувьд энэ бол үүнийг батлах математикийн гол баталгаа юм. Тэг нэмэх нь тоог өөрчлөхгүй. Учир нь зөвхөн нэг гишүүн, хоёр дахь гишүүн байхгүй бол нэмэлт нь өөрөө боломжгүй юм. Та үүнийг хүссэнээрээ холбож болно, гэхдээ санаарай - тэгтэй бүх математикийн үйлдлүүдийг математикчид өөрсдөө зохион бүтээсэн тул математикчдын зохион бүтээсэн "тэгээр хуваах боломжгүй", "ямар ч тоог тэгээр үржүүлбэл тэнцүү байна" гэсэн логикоос татгалзаж, тэнэг тайлбаруудыг хий. тэг", "накаут цэгийн хувьд тэг" болон бусад дэмийрэл. Тэг бол тоо биш гэдгийг нэг удаа санахад хангалттай бөгөөд тэг нь натурал тоо мөн үү, үгүй ​​юу гэсэн асуулт танд хэзээ ч гарахгүй, учир нь ийм асуулт ерөнхийдөө бүх утгыг алддаг: тоо биш тоог бид яаж авч үзэх вэ. Энэ нь үл үзэгдэх өнгө ямар өнгөтэй байх ёстойг асуухтай адил юм. Тоон дээр тэг нэмэх нь байхгүй будгаар будсантай адил юм. Бид хуурай бийрээр даллаж, "бид зурсан" гэж хүн бүрт хэлэв. Гэхдээ би жаахан хазайж байна.

Өнцөг нь тэгээс их, гэхдээ дөчин таван градусаас бага байна. Бидэнд маш их салат байдаг, гэхдээ хангалттай ус байхгүй. Үүний үр дүнд бид зузаан borscht авдаг.

Өнцөг нь дөчин таван градус байна. Бид ижил хэмжээний ус, салаттай. Энэ бол төгс борщ (тиймээ, тогооч намайг уучлах болно, энэ бол зүгээр л математик юм).

Өнцөг нь дөчин таван градусаас их, харин ерэн градусаас бага. Бидэнд ус ихтэй, салат багатай. Та шингэн борщ авна.

Зөв өнцөг. Бидэнд ус байна. Салатаас зөвхөн дурсамж л үлддэг тул бид саладны төлөө зогсож байсан шугамаас өнцгийг үргэлжлүүлэн хэмждэг. Бид борщ хийж чадахгүй. Борщны хэмжээ тэг байна. Энэ тохиолдолд устай байхдаа барьж аваад уугаарай)))

Энд. Энэ нь иймэрхүү зүйл. Би эндээс илүү тохиромжтой бусад түүхийг энд ярьж болно.

Хоёр найз нийтлэг бизнест хувь эзэмшдэг байв. Нэгийг нь алсны дараа бүх зүйл нөгөө рүүгээ шилжсэн.

Манай гариг ​​дээр математикийн үүсэл.

Эдгээр бүх түүхийг математикийн хэлээр шугаман өнцгийн функцийг ашиглан өгүүлдэг. Өөр нэг удаа би эдгээр функцүүдийн математикийн бүтцэд бодит байр суурийг харуулах болно. Энэ хооронд borscht-ийн тригонометрт буцаж очоод төсөөллийг авч үзье.

2019 оны аравдугаар сарын 26, Бямба гараг

2019 оны наймдугаар сарын 7, Лхагва гараг

Яриагаа дуусгахад хязгааргүй олон тоо бий. Үүний үр дүнд "хязгааргүй" гэсэн ойлголт нь математикчдад туулайн дээрх боа шиг үйлчилдэг. Хязгааргүй байдлын айдас нь математикчдыг хулгайлдаг эрүүл ухаан... Энд нэг жишээ байна:

Анхны эх сурвалж нь байрладаг. Альфа нь бодит тоог илэрхийлдэг. Дээрх илэрхийлэл дэх тэнцүү тэмдэг нь хэрэв та хязгааргүйд тоо эсвэл хязгаарыг нэмбэл юу ч өөрчлөгдөхгүй, үр дүн нь ижил хязгааргүй болно гэдгийг харуулж байна. Хэрэв бид хязгааргүй натурал тоонуудын багцыг жишээ болгон авбал авч үзсэн жишээнүүдийг дараах хэлбэрээр танилцуулж болно.

Тэдний үнэн зөвийг нотлохын тулд математикчид олон янзын аргыг боловсруулсан. Би хувьдаа энэ бүх аргыг хэнгэрэгтэй бөө бүжиглэдэг гэж хардаг. Үндсэндээ, тэд бүгд нэг бол зарим өрөөнүүд эзгүй, шинэ зочид нүүж ирж байна, эсвэл зочдод өрөө гаргахын тулд зарим зочдыг коридор руу шиддэг (маш хүний ​​ёсоор). Би ийм шийдвэрийн талаархи өөрийн үзэл бодлыг шаргал үстийн тухай гайхалтай түүх хэлбэрээр танилцуулсан. Миний үндэслэл юунд үндэслэсэн бэ? Хязгааргүй тооны зочдыг нүүлгэх нь хязгааргүй их цаг хугацаа шаарддаг. Биднийг зочдод зориулж эхний өрөөг чөлөөлсний дараа зочдын нэг нь зууны эцэс хүртэл өрөөнөөсөө дараагийн өрөө рүү коридороор алхаж байх болно. Мэдээжийн хэрэг, цаг хугацааны хүчин зүйлийг үл тоомсорлож болно, гэхдээ энэ нь "хууль тэнэгүүдэд бичигдээгүй" гэсэн ангилалд багтах болно. Энэ бүхэн бидний хийж байгаа зүйлээс шалтгаална: бодит байдлыг математикийн онолд нийцүүлэн тохируулах эсвэл эсрэгээр.

"Төгсгөлгүй зочид буудал" гэж юу вэ? Эцэс төгсгөлгүй зочид буудал гэдэг нь хэдэн өрөө байртай байсан ч үргэлж хэдэн ч сул байртай байдаг зочид буудал юм. Төгсгөлгүй зочдын коридорын бүх өрөөг эзэлдэг бол зочны өрөөнүүдтэй өөр нэг төгсгөлгүй коридор байдаг. Ийм коридорууд хязгааргүй олон байх болно. Түүгээр ч зогсохгүй "хязгааргүй зочид буудал" нь хязгааргүй олон тооны бурхадын бүтээсэн хязгааргүй олон ертөнц дэх хязгааргүй тооны гаригуудын хязгааргүй олон барилгад хязгааргүй олон давхартай байдаг. Гэхдээ математикчид өдөр тутмын энгийн асуудлаас холдож чаддаггүй: Бурхан-Алла-Будда үргэлж ганцхан, зочид буудал нь нэг, коридор нь зөвхөн нэг юм. Энд математикчид зочид буудлын өрөөнүүдийн серийн дугаарыг өөрчлөхийг оролдож байгаа нь биднийг "юмыг нь түлхэх" боломжтой гэж итгүүлж байна.

Хязгааргүй натурал тооны олонлогийн жишээн дээр би өөрийн үндэслэлийн логикийг харуулах болно. Эхлээд та маш энгийн асуултанд хариулах хэрэгтэй: хэдэн багц натурал тоо байдаг - нэг эсвэл олон уу? Энэ асуултад зөв хариулт байхгүй, бид тоонуудыг өөрсдөө зохион бүтээсэн тул байгальд тоо байдаггүй. Тийм ээ, Байгаль тоолохдоо гарамгай, гэхдээ үүний тулд тэрээр бидэнд танил бус математикийн бусад хэрэгслийг ашигладаг. Байгаль бодож байгаачлан би чамд өөр удаа хэлье. Бид тоонуудыг зохион бүтээсэн тул хэдэн олон тооны натурал тоо байгааг бид өөрсдөө шийдэх болно. Жинхэнэ эрдэмтэнд тохирсон хоёр хувилбарыг авч үзье.

Сонголт нэг. Тавиур дээр тайван орших натурал тоонуудын нэг багцыг "Бидэнд өгье". Бид энэ багцыг тавиур дээрээс авдаг. Ингээд л, тавиур дээр өөр натурал тоо үлдсэнгүй, тэднийг авч явах газар ч алга. Бидэнд аль хэдийн байгаа тул энэ багцад нэгийг нэмж чадахгүй. Хэрэв та үнэхээр хүсч байгаа бол? Асуудалгүй. Бид аль хэдийн авсан багцаасаа нэгийг нь аваад тавиур дээр буцааж өгч болно. Үүний дараа бид тавиураас нэгж авч, үлдсэн зүйлдээ нэмж болно. Үүний үр дүнд бид дахин хязгааргүй натурал тооны багцыг олж авна. Та бидний бүх заль мэхийг дараах байдлаар бичиж болно.

Би олонлогийн онолд батлагдсан алгебрийн тэмдэглэгээний систем болон тэмдэглэгээний систем дэх үйлдлүүдийг олонлогийн элементүүдийг нарийвчлан жагсаан бичсэн. Доод тэмдэг нь бидэнд натурал тоонуудын цорын ганц олонлог байгааг харуулж байна. Натурал тоонуудын багц нь үүнээс хасаад ижил нэгжийг нэмбэл өөрчлөгдөхгүй байх болно.

Хоёр дахь сонголт. Бидний тавиур дээр олон янзын хязгааргүй олон тооны натурал тоонууд бий. Би онцлон тэмдэглэж байна - Хэдийгээр тэдгээр нь бараг ялгагдахгүй ч гэсэн ӨӨР. Бид эдгээр багцуудын аль нэгийг авдаг. Дараа нь бид өөр натурал тооны багцаас нэгийг нь авч, аль хэдийн авсан олонлогт нэмнэ. Бид хоёр натурал тоог нэмж болно. Эндээс бид юу авах вэ:

"Нэг" ба "хоёр" гэсэн дэд тэмдэгтүүд нь эдгээр зүйл нь өөр багцад хамаарах болохыг харуулж байна. Тийм ээ, хэрэв та хязгааргүй олонлог дээр нэгийг нэмбэл үр дүн нь мөн төгсгөлгүй олонлог болох боловч энэ нь анхны олонлогтой ижил биш байх болно. Хэрэв бид нэг хязгааргүй олонлог дээр өөр нэг хязгааргүй олонлогийг нэмбэл үр дүн нь эхний хоёр олонлогийн элементүүдээс бүрдсэн шинэ хязгааргүй олонлог болно.

Олон тооны натурал тоонуудыг хэмжилтийн захирагчтай ижил аргаар тоолоход ашигладаг. Одоо захирагч дээр нэг сантиметр нэмнэ гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь аль хэдийн өөр шугам байх болно, анхны шугамтай тэнцүү биш.

Та миний үндэслэлийг хүлээн зөвшөөрөх эсвэл хүлээн зөвшөөрөхгүй байж болно - энэ бол таны хувийн бизнес. Гэхдээ хэрэв та математикийн асуудалтай тулгарвал үе үеийн математикчдийн гишгэсэн худал сэтгэх замаар явж байгаа эсэхээ бодоорой. Эцсийн эцэст, математик хийх нь юуны түрүүнд бидний сэтгэлгээний тогтвортой хэвшмэл ойлголтыг бий болгож, зөвхөн дараа нь оюун ухааны чадварыг бидэнд нэмж өгдөг (эсвэл эсрэгээрээ биднийг чөлөөт сэтгэлгээнээс холдуулдаг).

pozg.ru

2019 оны наймдугаар сарын 4, Ням гараг

Би Wikipedia дээрх энэ гайхалтай бичвэрийн тухай нийтлэлийн бичлэгийг бичиж байхдаа:

Бид уншдаг: "... баян онолын үндэслэлВавилоны математик нь нэгдмэл шинж чанартай байгаагүй бөгөөд нийтлэг систем, нотолгооны баазгүй, ялгаатай техникүүдийн багц болгон бууруулсан.

Хөөх! Бид ямар ухаантай, бусдын дутагдлыг хэр сайн харж чаддаг вэ. Орчин үеийн математикийг ижил нөхцөл байдалд авч үзэх нь бидэнд хэцүү байдаг уу? Дээрх текстийг бага зэрэг тайлбарлахад би хувьдаа дараахь зүйлийг олж авлаа.

Орчин үеийн математикийн баялаг онолын үндэс нь нэгдмэл биш бөгөөд нийтлэг систем, нотолгооны баазаас ангид ялгаатай хэсгүүдийн багц болгон бууруулсан байна.

Би үгээ батлахын тулд хол явахгүй - энэ нь математикийн бусад олон салбаруудын хэл, хэллэгээс ялгаатай хэл, дүрэм журамтай. Математикийн өөр өөр салбарт ижил нэрс өөр өөр утгатай байж болно. Би орчин үеийн математикийн хамгийн тод алдаануудад бүхэл бүтэн цуврал нийтлэлээ зориулахыг хүсч байна. Удахгүй уулзацгаая.

2019 оны наймдугаар сарын 3-ны Бямба гараг

Багцыг хэрхэн хуваах вэ? Үүнийг хийхийн тулд сонгосон багцын зарим элементэд байгаа хэмжилтийн шинэ нэгжийг оруулах шаардлагатай. Нэг жишээ авч үзье.

Бидэнд олуулаа байг Адөрвөн хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй. Энэ олонлог нь "хүмүүс" гэсэн үндсэн дээр үүсдэг. Энэ олонлогийн элементүүдийг үсгээр тэмдэглэе. а, оронтой тэмдэгт нь энэ багц дахь хүн бүрийн дарааллын дугаарыг заана. "Хүйс" хэмжилтийн шинэ нэгжийг оруулж, үсгээр тэмдэглэе б... Бэлгийн шинж чанар нь бүх хүмүүст байдаг тул бид багцын элемент бүрийг үржүүлдэг Ахүйсээр б... Одоо манай олон тооны "ард түмэн" олон тооны "бэлгийн шинж чанартай хүмүүс" болсныг анхаарна уу. Үүний дараа бид бэлгийн шинж чанарыг эрэгтэйчүүдэд хувааж болно bmмөн эмэгтэйчүүд bwбэлгийн шинж чанар. Одоо бид математикийн шүүлтүүр хэрэглэж болно: бид эдгээр хүйсийн шинж чанаруудаас аль нэгийг нь сонгодог, аль нь эрэгтэй, эмэгтэй байх нь хамаагүй. Хэрэв хүнд байгаа бол бид үүнийг нэгээр үржүүлдэг, хэрэв тийм тэмдэг байхгүй бол тэгээр үржүүлдэг. Тэгээд бид ердийн сургуулийн математикийг ашигладаг. Юу болсныг хараарай.

Үржүүлэх, багасгах, дахин зохион байгуулсны дараа бид хоёр дэд олонлогтой болсон: эрэгтэй дэд олонлог Bmмөн эмэгтэйчүүдийн нэг хэсэг Bw... Математикчид олонлогын онолыг практикт хэрэгжүүлэхдээ ижил зүйлийг боддог. Гэхдээ тэд биднийг нарийн ширийн зүйлд зориулдаггүй, харин эцсийн үр дүнг өгдөг - "маш олон хүмүүс эрэгтэйчүүдийн дэд хэсэг, эмэгтэйчүүдийн дэд хэсэгээс бүрддэг". Мэдээжийн хэрэг, танд математикийг дээрх хувиргалтуудад хэр зөв ашигласан бэ гэсэн асуулт гарч ирж магадгүй юм. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл зөв хийгдсэн, арифметик, Булийн алгебр болон математикийн бусад салбаруудын математик үндэслэлийг мэдэхэд хангалттай гэдгийг би танд баталж байна. Энэ юу вэ? Би энэ тухай өөр цагт хэлье.

Супер олонлогуудын хувьд эдгээр хоёр олонлогийн элементүүдэд байгаа хэмжих нэгжийг сонгох замаар хоёр багцыг нэг супер олонлогт нэгтгэх боломжтой.

Таны харж байгаагаар нэгж болон нийтлэг математик нь олонлогын онолыг өнгөрсөн зүйл болгож байна. Олонлогийн онол тийм ч зөв биш байгаагийн нэг илрэл нь математикчид олонлогийн онолын өөрийн хэл, тэмдэглэгээг гаргаж ирсэн явдал юм. Математикчид нэгэн цагт бөө нар хийдэг байсан юм. "Мэдлэг"-ээ хэрхэн "зөв" хэрэгжүүлэхийг бөө нар л мэддэг. Тэд бидэнд энэ "мэдлэг"-ийг заадаг.

Эцэст нь би математикчид хэрхэн удирддагийг харуулахыг хүсч байна.

2019 оны нэгдүгээр сарын 7, Даваа гараг

МЭӨ 5-р зуунд эртний Грекийн гүн ухаантанЭлеагийн Зено алдартай апориагаа томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апориа юм. Энэ нь ингэж сонсогдож байна:

Ахиллес яст мэлхийээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхамын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхөх гэх мэт. Энэ үйл явц хязгааргүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхэнд логик цочрол болсон юм. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт ... Тэд бүгдээрээ нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үздэг байв. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөгийн байдлаар хэлэлцүүлэг үргэлжилж, шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... уг асуудлыг судлахад математик анализ, олонлогын онол, физик, философийн шинэ хандлагуудыг оролцуулсан. ; Тэдний аль нь ч асуултын нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болж чадаагүй ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Өөрсдийгөө хууртагдаж байгааг бүгд ойлгодог, гэхдээ хэн ч хууран мэхлэлт гэж юу болохыг ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено өөрийн апориадаа хэмжээнээс шилжилтийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь тогтмолуудын оронд хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг хэрэглэх математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Бидний ердийн логикийг ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцээр цаг хугацааны тогтмол хэмжилтийн нэгжийг харилцан адилтгахад ашигладаг. Физик талаас нь авч үзвэл, Ахиллес яст мэлхийтэй зэрэгцэх тэр мөчид бүрэн зогсох хүртэл цаг хугацаа тэлсээр байх шиг байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж түрүүлж чадахгүй.

Хэрэв бид дассан логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес тогтмол хурдтайгаар гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг хэрэглэвэл "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.

Та энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Тогтмол цагийн нэгжид байж, ухрах хэрэггүй. Зеногийн хэлээр энэ нь иймэрхүү харагдаж байна.

Ахиллес мянган алхам гүйх хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Дараагийн цаг хугацааны интервалд эхнийхтэй тэнцэх хугацаанд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.

Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ энэ нь асуудлыг шийдэх бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг давж гаршгүй тухай хэлсэн үг нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий"-тэй тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх ёстой хэвээр байна. Мөн шийдлийг эцэс төгсгөлгүй эрэлхийлэх ёсгүй их тоо, хэмжилтийн нэгжээр.

Өөр нэг сонирхолтой апориа Зено нисдэг сумны тухай өгүүлдэг:

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд байрладаг гэдгийг тодруулахад хангалттай бөгөөд энэ нь хөдөлгөөн юм. Энд бас нэг зүйлийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машины хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлохын тулд нэг цэгээс өөр өөр цаг үед авсан хоёр гэрэл зураг шаардлагатай боловч тэдгээрийн зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд танд сансар огторгуйн өөр өөр цэгээс нэгэн зэрэг авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй, гэхдээ тэдгээр нь хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлж чадахгүй (мэдээжийн хэрэг, тооцоололд нэмэлт мэдээлэл шаардлагатай хэвээр байна, тригонометр танд туслах болно). Миний онцгой анхаарал хандуулахыг хүсч буй зүйл бол цаг хугацааны хоёр цэг, орон зайн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.
Би үйл явцыг жишээгээр үзүүлье. Бид "батгатай улаан хатуу" -ыг сонгодог - энэ бол бидний "бүхэл бүтэн" юм. Үүний зэрэгцээ эдгээр зүйлүүд нь нумтай, харин нум байхгүй гэдгийг бид харж байна. Үүний дараа бид "бүхэл бүтэн" хэсгийг сонгож, "нумтай" багцыг бүрдүүлнэ. Бөө нар багц онолоо бодит байдалтай уялдуулж өөрсдийгөө тэжээдэг.

Одоо жаахан бохир мэх хийцгээе. "Нумтай батгатай хатуу" авч, эдгээр "бүхэл бүтэн" -ийг өнгөөр ​​нь нэгтгэж, улаан өнгийн элементүүдийг сонго. Бид маш их "улаан" авсан. Одоо бөглөх асуулт: "Нумтай" болон "улаан" үр дүнд бий болсон олонлогууд нь ижил багц уу эсвэл хоёр өөр багц уу? Хариултыг нь бөө нар л мэднэ. Бүр тодруулбал, тэд өөрсдөө юу ч мэдэхгүй, гэхдээ тэдний хэлснээр тийм байх болно.

Энэхүү энгийн жишээ нь олонлогийн онол бодит байдалд хүрэхэд огт хэрэггүй гэдгийг харуулж байна. Нууц нь юу вэ? Бид "Нумтай овойлттой улаан цул" багцыг бий болгосон. Үүсгэх нь дөрвөн өөр хэмжлийн нэгжийн дагуу явагдсан: өнгө (улаан), бат бөх (хатуу), барзгар (батгатай), гоёл чимэглэл (нумтай). Зөвхөн хэмжлийн нэгжийн багц нь бодит объектыг математикийн хэлээр хангалттай дүрслэх боломжийг олгодог.... Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна.

Өөр өөр индекс бүхий "а" үсэг нь өөр өөр хэмжлийн нэгжийг илэрхийлдэг. Хэмжилтийн нэгжийг хаалтанд тэмдэглэсэн бөгөөд үүгээр "бүхэл бүтэн" нь урьдчилсан шатанд хуваарилагдана. Багц бүрдүүлсэн хэмжилтийн нэгжийг хаалтнаас гаргаж авдаг. Сүүлийн мөрөнд эцсийн үр дүн - багцын элементийг харуулав. Таны харж байгаагаар хэрэв бид багц үүсгэхийн тулд хэмжлийн нэгжийг ашиглавал үр дүн нь бидний үйлдлийн дарааллаас хамаарахгүй. Энэ бол хэнгэрэгтэй бөө бүжиглэх биш математик юм. Бөө нар "шинжлэх ухааны" арсеналдаа хэмжүүрийн нэгжийг оруулаагүй тул "нотолгоогоор" маргаж "зөн совингоор" ижил үр дүнд хүрч чадна.

Нэг хуваах эсвэл хэд хэдэн багцыг нэг суперсет болгон нэгтгэхийн тулд нэгжийг ашиглахад маш хялбар байдаг. Энэ үйл явцын алгебрийг нарийвчлан авч үзье.

Энэ нийтлэл дэх мэдээлэл нь хэлбэр юм ерөнхий санааО бүхэл тоо... Нэгдүгээрт, бүхэл тоонуудын тодорхойлолтыг өгч, жишээг үзүүлэв. Цаашилбал, тооны шулуун дээрх бүхэл тоонуудыг авч үзэх бөгөөд үүнээс аль тоог эерэг бүхэл тоо, аль нь сөрөг бүхэл тоо гэдэг нь тодорхой болно. Үүний дараа бүхэл тоо ашиглан утгын өөрчлөлтийг хэрхэн тайлбарлаж, сөрөг бүхэл тоог өрийн утгаар авч үзэхийг харуулав.

Хуудасны навигаци.

Бүхэл тоо - тодорхойлолт ба жишээ

Тодорхойлолт.

Бүхэл тоо- эдгээр нь натурал тоо, тэг тоо, мөн натурал тоонуудын эсрэг тоонууд юм.

Бүхэл тоонуудын тодорхойлолтод 1, 2, 3,... тоо, 0 тоо, түүнчлэн −1, −2, −3,... тоонуудын аль нэг нь бүхэл тоо гэж заасан байдаг. Одоо бид амархан удирдаж чадна бүхэл тоонуудын жишээ... Жишээлбэл, 38 тоо нь бүхэл тоо, 70 040 тоо нь бүхэл тоо, тэг нь бүхэл тоо (тэг нь натурал тоо БИШ, тэг нь бүхэл тоо гэдгийг санаарай), −999, −1, −8 934 тоо. 832 нь бүхэл тоонуудын жишээ юм.

0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Бүхэл тоонуудын дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно. …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Бүхэл тооны тодорхойлолтоос харахад натурал тооны олонлог нь бүхэл тооны олонлогийн дэд олонлог юм. Тиймээс аливаа натурал тоо нь бүхэл тоо боловч бүхэл тоо нь натурал тоо биш юм.

Координатын шугам дээрх бүхэл тоо

Тодорхойлолт.

Эерэг бүхэл тооТэгээс их бүхэл тоонууд.

Тодорхойлолт.

Сөрөг бүхэл тооТэгээс бага бүхэл тоонууд.

Эерэг ба сөрөг бүхэл тоог координатын шулуун дээрх байрлалаар нь мөн тодорхойлж болно. Хэвтээ координатын шулуун дээр координат нь эерэг бүхэл тоо бүхий цэгүүд эхийн баруун талд байрладаг. Хариуд нь сөрөг бүхэл тоон координаттай цэгүүд нь О цэгийн зүүн талд байрлана.

Бүх эерэг бүхэл тоонуудын олонлог нь натурал тооны олонлог гэдэг нь ойлгомжтой. Хариуд нь бүх сөрөг бүхэл тоонуудын олонлог нь натурал тоонуудын эсрэг бүх тоонуудын олонлог юм.

Бид ямар ч натурал тоог аюулгүйгээр бүхэл тоо гэж нэрлэж болох ба ямар ч бүхэл тоог натурал гэж нэрлэж болохгүй гэдгийг тус тусад нь онцолж байна. Сөрөг бүхэл тоо, тэг нь натурал биш тул бид зөвхөн ямар ч эерэг бүхэл тоог натурал гэж нэрлэж болно.

Эерэг биш бүхэл тоо, сөрөг бус бүхэл тоо

Эерэг биш бүхэл тоо, сөрөг бус бүхэл тоонуудын тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Бүх эерэг бүхэл тоог тэг тоотой хамт дуудна сөрөг бус бүхэл тоо.

Тодорхойлолт.

Эерэг бус бүхэл тооБүх сөрөг бүхэл тоо 0 тоотой хамт байна.

Өөрөөр хэлбэл сөрөг бус бүхэл тоо нь тэгээс их буюу тэнцүү бүхэл тоо, эерэг бус бүхэл тоо нь тэгээс бага буюу тэгтэй тэнцүү бүхэл тоо юм.

Эерэг бус бүхэл тоонуудын жишээ бол −511, −10,030, 0, −2 тоонууд бөгөөд сөрөг бус бүхэл тоонуудын жишээ болгон бид 45, 506, 0, 900 321 тоонуудыг өгдөг.

Ихэнх тохиолдолд "эерэг бус бүхэл тоо" ба "сөрөг бус бүхэл тоо" гэсэн нэр томъёог товчилбол ашигладаг. Жишээлбэл, "а тоо нь бүхэл тоо, а нь тэгээс их буюу тэнцүү" гэсэн хэллэгийн оронд "а нь сөрөг биш бүхэл тоо" гэж хэлж болно.

Бүхэл тоо ашиглан утгыг өөрчлөхийг тайлбарлах

Бүхэл тоо юунд зориулагдсан тухай ярих цаг болжээ.

Бүхэл тоонуудын гол зорилго нь аливаа объектын тооны өөрчлөлтийг тодорхойлоход ашиглахад тохиромжтой байдаг. Үүнийг жишээгээр тодорхойлъё.

Агуулахад тодорхой тооны эд анги байг. Жишээлбэл, агуулахад 400 илүү эд анги авчрах юм бол агуулах дахь эд ангиудын тоо нэмэгдэх бөгөөд 400 тоо нь тоо хэмжээний энэ өөрчлөлтийг эерэг чиглэлд (дээш) илэрхийлнэ. Жишээлбэл, агуулахаас 100 ширхэгийг авбал агуулах дахь эд ангиудын тоо буурч, 100 тоо нь сөрөг чиглэлд (доошоо) тоо хэмжээний өөрчлөлтийг илэрхийлнэ. Эд ангиудыг агуулахад авчрахгүй бөгөөд агуулахаас эд ангиудыг авч явахгүй бол бид эд ангиудын тоо өөрчлөгдөөгүй байдлын тухай ярьж болно (өөрөөр хэлбэл тоо хэмжээний тэг өөрчлөлтийн тухай ярьж болно).

Өгөгдсөн жишээнүүдэд хэсгүүдийн тооны өөрчлөлтийг тус тус 400, -100 ба 0 бүхэл тоогоор тодорхойлж болно. Эерэг бүхэл тоо 400 нь тоо хэмжээ (өсөлт) эерэг өөрчлөлтийг илэрхийлнэ. Сөрөг бүхэл тоо -100 нь тоо хэмжээний сөрөг өөрчлөлтийг (бууралт) илэрхийлдэг. 0 бүхэл тоо нь хэмжигдэхүүн өөрчлөгдөөгүй байгааг илтгэнэ.

Натурал тоонуудыг ашиглахтай харьцуулахад бүхэл тоог ашиглахад тохиромжтой тал нь хэмжээ нэмэгдэж байгаа эсвэл буурч байгаа эсэхийг тодорхой зааж өгөх шаардлагагүй юм - бүхэл тоо нь өөрчлөлтийг тоогоор илэрхийлдэг бөгөөд бүхэл тооны тэмдэг нь өөрчлөлтийн чиглэлийг заадаг.

Бүхэл тоо нь зөвхөн тоо хэмжээний өөрчлөлтийг төдийгүй тоо хэмжээний өөрчлөлтийг илэрхийлж болно. Температурын өөрчлөлтийн жишээн дээр үүнийг авч үзье.

Температурын 4 градусын өсөлтийг эерэг бүхэл тоо 4 гэж илэрхийлнэ. Температурын бууралт, жишээлбэл, 12 градусаар сөрөг бүхэл тоогоор -12 гэж тодорхойлж болно. Температурын тогтмол байдал нь 0 бүхэл тоогоор тодорхойлогддог түүний өөрчлөлт юм.

Сөрөг бүхэл тоог өрийн хэмжээ гэж тайлбарлах талаар тусад нь хэлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв бид 3 алимтай бол эерэг бүхэл тоо 3 нь бидний эзэмшдэг алимны тоог илэрхийлнэ. Нөгөөтэйгүүр, хэрэв бид хэн нэгэнд 5 алим өгөх ёстой, гэхдээ бидэнд байхгүй бол энэ байдлыг −5 сөрөг бүхэл тоогоор тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд бид −5 алимтай, хасах тэмдэг нь өрийг, 5-ын тоо нь өрийг илэрхийлдэг.

Сөрөг бүхэл тоог өр гэж ойлгох нь жишээлбэл, сөрөг бүхэл тоог нэмэх дүрмийг зөвтгөх боломжтой болгодог. Нэг жишээ хэлье. Хэрэв хэн нэгэн хүн нэг хүнд 2 алим, нөгөө хүнд нэг алим өртэй бол нийт өр нь 2 + 1 = 3 алим байх тул −2 + (- 1) = - 3 болно.

Ном зүй.

• Виленкин Н.Я. болон бусад математик. 6-р анги: Боловсролын байгууллагын сурах бичиг.

Анх удаа сөрөг тоог эртний Хятад, Энэтхэгт ашиглаж эхэлсэн бол Европт Николас Шуке (1484), Майкл Стифел (1544) нар математикийн хэрэглээнд нэвтрүүлсэн.

Алгебрийн шинж чанарууд

$\backslash \; mathbb\; (Z)$хоёр бүхэл тоонд хуваагдах үед хаагдахгүй (жишээлбэл, 1/2). Дараах хүснэгтэд бүхэл тоонуудын нэмэх ба үржүүлэх хэд хэдэн үндсэн шинж чанарыг харуулсан болно. а, бболон в.

| жагсаалт5 = Кардинал тоо - Ямар ч тохиолдолд орондоо шилжүүлэх шаардлагатай, энд ямар ч байдлаар боломжгүй болно ...
Өвчтөнийг эмч, гүнж, үйлчлэгч нар тойрон хүрээлсэн тул Пьер саарал дэлтэй улаан шар толгойг харахаа больсон бөгөөд энэ нь бусад царайг харсан ч бүхэл бүтэн үйлчилгээний туршид түүнийг хэзээ ч хараагүй байв. . Пьер сандлыг тойрон хүрээлсэн хүмүүсийн болгоомжтой хөдөлгөөнөөс үхэж буй хүнийг өргөж, зөөж байгааг тааварлав.
"Миний гараас барь, тэгж хая" гэж зарц нарын нэг нь "доороос ... өөр нэг" гэж айсан шивнэхийг сонсоод, хүмүүсийн хүнд амьсгал, хөл гишгэх чимээ сонсогдов. Тэдний үүрсэн жин тэдний хүч чадлаас давсан юм шиг улам яаравчлав ...
Анна Михайловна байсан тээвэрлэгчид тэр залуутай тэнцэж, хэсэг зуур хүмүүсийн толгойны ар, нуруунаас өндөр, тарган, нээлттэй цээж, өвчтөний бүдүүн мөрийг харав. , түүнийг суган доор нь барьсан хүмүүс дээш өргөсөн, саарал үстэй буржгар, арслангийн толгой. Ер бусын өргөн дух, хацрын ястай, дур булаам сайхан амтай, сүр жавхлант хүйтэн харцтай энэ толгой үхэл ойртоход ямар ч хэлбэр дүрсгүй байв. Гурван сарын өмнө Гүн түүнийг Петербургт явуулахыг зөвшөөрөхөд Пьер түүнийг таньдаг байсан шигээ тэр эмэгтэй байв. Гэвч энэ толгой тээгчдийн тэгш бус алхамаас арчаагүй эргэлдэж, хүйтэн, хайхрамжгүй харц хаана зогсохоо мэдэхгүй байв.
Өндөр орны чимээ шуугианаар хэдэн минут өнгөрөв; Өвчтөнийг авч явсан хүмүүс тарсан. Анна Михайловна Пьерийн гарт хүрч, түүнд: "Венес" гэж хэлэв. [Яв.] Пьер түүнтэй хамт ор луу явсан бөгөөд түүн дээр өвчтөнийг саяхан хийсэн ариун ёслолтой холбоотой баярын дүр төрхөөр хэвтүүлжээ. Тэр дэрэн дээр толгойгоо өндрөөр хэвтэв. Гараа тэгш хэмтэй байдлаар ногоон торгон хөнжил дээр алгаа доош нь тавив. Пьер ойртоход тоологч түүн рүү шууд харж байсан ч утга, утгыг нь хүн ойлгохгүй харцаар харж байв. Нэг бол энэ харц юу ч хэлсэнгүй, зөвхөн нүд байгаа л бол хаа нэг тийшээ харах ёстой, эсвэл хэтэрхий их зүйл хэлсэн. Пьер юу хийхээ мэдэхгүй зогсож, удирдагч Анна Михайловна руу асуув. Анна Михайловна түүн рүү нүдээрээ яаран дохио зангаа хийж, өвчтөний гарыг зааж, уруулаараа үнсэв. Пьер хүзүүгээ хөнжил дээр барихгүйн тулд хичээнгүйлэн сунгаж, түүний зөвлөгөөг дагаж, өргөн ястай, махлаг гарыг нь үнсэв. Гүнгийн нэг ч гар, нүүрний нэг ч булчин чичирсэнгүй. Пьер Анна Михайловна руу дахин асууж, юу хийхээ асуув. Анна Михайловна нүдээрээ орны дэргэд зогсож байсан сандал руу чиглүүлэв. Пьер дуулгавартай сандал дээр сууж эхлэв, нүд нь шаардлагатай зүйлээ хийсэн эсэхийг асуусаар байв. Анна Михайловна сайшаан толгой дохив. Пьер Египетийн хөшөөний тэгш хэмтэй гэнэн байр суурийг дахин авч, түүний болхи, тарган бие нь ийм том орон зай эзэлсэнд эмгэнэл илэрхийлж, аль болох жижиг харагдахын тулд бүх оюун санааны хүч чадлаа ашигласан бололтой. Тэр Гүн рүү харав. Гүн Пьерийг зогсож байхад түүний царай байгаа газрыг харав. Анна Михайловна өөрийн байр сууриндаа аав хүү хоёрын уулзалтын сүүлчийн минутын сэтгэл хөдөлгөм ач холбогдлыг мэдэж байв. Энэ нь хоёр минут үргэлжилсэн бөгөөд энэ нь Пьерт нэг цаг мэт санагдаж байв. Гүнгийн нүүрний том булчин, үрчлээс гэнэт чичрэх нь тэр. Чичиргээ эрчимжиж, сайхан ам нь мушгирч (зөвхөн Пьер аав нь үхэхэд хэр ойрхон байгааг ойлгосон), мушгирсан амнаас тодорхойгүй сөөнгө дуу сонсогдов. Анна Михайловна өвчтөний нүд рүү хичээнгүйлэн харж, түүнд юу хэрэгтэй байгааг таах гэж оролдоод, одоо уух гэж Пьер рүү зааж, одоо ханхүү Василий гэж асуусан шивнэхдээ хөнжил рүү чиглэв. Өвчтөний нүд, царай нь тэвчээргүй байдлыг харуулсан. Орны тэргүүнд дэмий хоосон зогсох үйлчлэгч рүү харцгаахыг хичээв.
"Тэд нөгөө тал руугаа эргэлдэхийг хүсч байна" гэж зарц шивнээд гүнгийн хүнд биеийг хана руу эргүүлэхээр босов.
Пьер зарцад туслахаар бослоо.
Тооллогоо эргүүлж байтал нэг гар нь аргаа барсангүй хойш унжаад чирэх гэж дэмий оролдов. Гүн Пьерийн энэ амьгүй гар руу ямар аймшгийн харцаар харсныг анзаарсан уу, эсвэл тэр үед түүний үхэж буй толгойд өөр ямар бодол орж ирснийг анзаарсан уу, гэвч тэр дуулгаваргүй гар руу, Пьерийн аймшгийн илэрхийлэл рүү дахин харав. гар, нүүрэн дээр нь сул дорой, зовлонтой инээмсэглэл тодорч, өөрийнх нь хүчгүйдлийн тохуурхлыг илэрхийлсэн мэт царай төрхөөс нь холдохгүй байв. Гэнэт энэ инээмсэглэлийг хараад Пьер цээж нь чичирч, хамар нь чимхэж, нулимс нь нүдийг нь бүрхэв. Өвчтөн хажуу тийшээ хананд наалдсан байв. Тэр санаа алдлаа.
- Il est assoupi, [Тэр унтав,] гэж Анна Михайловна түүнийг орлож буй гүнжийг анзаарав. - Аллон. [Руу явцгаая.]
Пьер гадагш гарав.