Бүхэл бүтэн ба аравны нэг. Бүхэл тоо: ерөнхий төлөөлөл

Энэ нийтлэлд бид бүхэл тоонуудын багцыг тодорхойлж, аль бүхэл тоонуудыг эерэг, аль нь сөрөг гэж нэрлэхийг авч үзье. Түүнчлэн тодорхой хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийг бүхэл тоонуудаар хэрхэн тодорхойлохыг харуулах болно. Бүхэл тоонуудын тодорхойлолт, жишээнээс эхэлье.

Бүхэл тоо. Тодорхойлолт, жишээ

Эхлээд natural натурал тоонуудыг эргэн санацгаая. Нэр нь өөрөө эдгээр нь эрт дээр үеэс тоолоход ашигладаг байсан тоонууд болохыг харуулж байна. Бүхэл тооны тухай ойлголтыг хамрахын тулд натурал тооны тодорхойлолтыг өргөжүүлэх хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 1. Бүхэл тоо

Бүхэл тоонууд нь натурал тоонууд, эсрэг тоонууд, тэг тоо юм.

Бүхэл тоонуудын багцыг letter үсгээр тэмдэглэнэ.

Натурал тоонуудын багц нь бүхэл тоонуудын дэд хэсэг юм. Аливаа натурал тоо нь бүхэл тоо боловч бүхэл тоо нь натурал тоо биш юм.

Тодорхойлолтоос харахад 1, 2, 3 гэсэн тоонуудын аль нэг нь бүхэл тоо байх болно. ... , тоо 0, мөн тоонууд - 1, - 2, - 3 ,. ...

Үүний дагуу бид жишээг өгөх болно. 39, - 589, 10000000, - 1596, 0 гэсэн тоо нь бүхэл тоо юм.

Координатын шугамыг хэвтээ байдлаар баруун тийш чиглүүлье. Шулуун дээрх бүхэл тоонуудын байрлалыг төсөөлөхийн тулд үүнийг авч үзье.

Координатын шугамын гарал үүсэл нь 0 тоотой, тэгийн хоёр талд байрлах цэгүүд нь эерэг ба сөрөг бүхэл тоонуудтай тохирч байна. Цэг бүр нэг бүхэл тоонд тохирч байна.

Координат нь бүхэл тоо болох шулуун шугамын дурын цэг рүү гарал үүслээс тодорхой тооны нэгж сегментийг хойш тавьснаар хүрч болно.

Эерэг ба сөрөг бүхэл тоо

Бүх бүхэл тоонуудаас эерэг ба сөрөг бүхэл тоонуудыг салгах нь логик юм. Тэдний тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт 2. Эерэг бүхэл тоонууд

Эерэг бүхэл тоонууд нь нэмэх тэмдгийн бүхэл тоонууд юм.

Жишээлбэл, 7 тоо нь нэмэх тэмдэг буюу эерэг бүхэл тоо юм. Координатын шугам дээр энэ тоо нь лавлах цэгийн баруун талд, 0 тоог авсан байна. Эерэг бүхэл тоонуудын бусад жишээ: 12, 502, 42, 33, 100500.

Тодорхойлолт 3. Сөрөг бүхэл тоонууд

Сөрөг бүхэл тоонууд нь хасах тэмдэг бүхий бүхэл тоонууд юм.

Сөрөг бүхэл тоонуудын жишээ: - 528, - 2568, - 1.

0 тоо нь эерэг ба сөрөг бүхэл тоонуудыг зааглаж, өөрөө эерэг ба сөрөг аль ч биш байна.

Эерэг бүхэл тооны эсрэг ямар ч тоо бол тодорхойлолтын дагуу сөрөг бүхэл тоо болно. Үүний эсрэг нь бас үнэн юм. Аливаа сөрөг бүхэл урвуу нь эерэг бүхэл тоо юм.

Та сөрөг ба эерэг бүхэл тоонуудыг тэгтэй харьцуулж бусад тодорхойлолтыг өгч болно.

Тодорхойлолт 4. Эерэг бүхэл тоонууд

Эерэг бүхэл тоонууд нь тэгээс их бүхэл тоонууд юм.

Тодорхойлолт 5. Сөрөг бүхэл тоонууд

Сөрөг бүхэл тоонууд нь тэгээс бага бүхэл тоонуудыг хэлнэ.

Үүний дагуу координатын шугам дээр эерэг тоонууд гарал үүслийн баруун талд, сөрөг бүхэл тоонууд тэгийн зүүн талд байрлана.

Натурал тоонууд нь бүхэл тоонуудын дэд хэсэг гэж бид дээр хэлсэн. Энэ зүйлийг тодруулцгаая. Натурал тоонуудын багц нь эерэг бүхэл тоонуудаас бүрдэнэ. Хариуд нь сөрөг бүхэл тоонуудын олонлог нь эсрэг натурал тооны олонлог юм.

Чухал!

Аливаа натурал тоог бүхэл тоо гэж нэрлэх боломжтой боловч ямар ч бүхэл тоог натурал гэж нэрлэх боломжгүй юм. Сөрөг тоонууд байгалийн мөн үү гэсэн асуултанд хариулахдаа зоригтойгоор хэлэх хэрэгтэй - үгүй, тийм биш юм.

Эерэг ба сөрөг бус бүхэл тоонууд

Тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт 6. Сөрөг бус бүхэл тоонууд

Сөрөг бус бүхэл тоонууд нь эерэг бүхэл тоо ба тэг тоо юм.

Тодорхойлолт 7. Эерэг бус бүхэл тоонууд

Эерэг бус бүхэл тоо нь сөрөг бүхэл тоо ба тэг тоо юм.

Таны харж байгаагаар тэг тоо эерэг, сөрөг аль нь ч биш юм.

Сөрөг бус бүхэл тоонуудын жишээ: 52, 128, 0.

Эерэг бус бүхэл тоонуудын жишээ: - 52, - 128, 0.

Сөрөг бус тоо нь тэгээс их эсвэл тэнцүү тоог хэлнэ. Үүний дагуу эерэг бус бүхэл тоо нь тэгээс бага эсвэл тэнцүү тоог хэлнэ.

"Эерэг бус тоо" ба "Сөрөг бус тоо" гэсэн нэр томъёог товчлох зорилгоор ашигладаг. Жишээлбэл, а тоо нь тэгээс их эсвэл тэнцүү бүхэл тоо гэж хэлэхийн оронд та дараахь зүйлийг хэлж болно: а бол сөрөг биш бүхэл тоо.

Бүхэл тоонуудыг ашиглан утгыг өөрчлөх

Бүхэл тоонуудыг юунд ашигладаг вэ? Юуны өмнө тэдний тусламжтайгаар аливаа объектын тооны өөрчлөлтийг тодорхойлж, тодорхойлоход тохиромжтой байдаг. Жишээ татъя.

Агуулахад тодорхой тооны тахирмаа хадгалахыг зөвшөөрнө үү. Хэрэв агуулахад дахин 500 тахир гол аваачих юм бол тэдний тоо нэмэгдэх болно. 500 тоо нь зүгээр л дэлгэрэнгүй мэдээллийг өөрчлөх (нэмэгдүүлэх) -ийг илэрхийлдэг. Хэрэв агуулахаас 200 эд анги авбал энэ тоо нь тахир голын тоо өөрчлөгдөх болно. Энэ удаад доошоо.

Хэрэв агуулахаас юу ч авахгүй, юу ч авчрахгүй бол 0 гэсэн тоо нь хэсгүүдийн хувьсашгүй байдлыг илтгэнэ.

Бүхэл тоонуудыг натурал тооноос ялгаатай нь ашиглахад тав тухтай байдал нь тэдгээрийн тэмдэг нь утга өөрчлөгдөх чиглэлийг тодорхой зааж өгөх явдал юм.

Температур 30 градусаар буурахыг сөрөг тоо - 30, 2 градусаар нэмэгдэхийг эерэг бүхэл тоогоор тодорхойлж болно.

Бүхэл тоонуудыг ашигласан өөр нэг жишээ энд байна. Энэ удаад бид 5 зоосыг хүнд өгөх ёстой гэж төсөөлье. Дараа нь бид 5 зоос байна гэж хэлж болно. 5 тоо нь өрийн хэмжээг тодорхойлдог бөгөөд хасах тэмдэг дээр бид зооснуудаа буцааж төлөх ёстой гэж бичсэн байдаг.

Хэрэв бид нэг хүнд 2 зоос, нөгөө хүнд 3 өртэй бол сөрөг тоог нэмэх дүрмийг ашиглан нийт өрийг (5 зоос) тооцоолж болно.

2 + (- 3) = - 5

Текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг сонгоод Ctrl + Enter дарна уу

Олон тооны тоонууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь бүхэл тоонууд байдаг. Зөвхөн эерэг чиглэлд төдийгүй сөрөг чиглэлд тоолоход хялбар болгохын тулд бүхэл тоо гарч ирэв.

Нэг жишээг авч үзье.
Өдөртөө гадаа 3 градус дулаан байсан. Орой болтол 3 хэмээр буурсан байна.
3-3=0
Гудамжинд 0 градус хүйтэн байв. Шөнөдөө температур 4 градусаар буурч, термометр дээр -4 градус харагдаж эхэлсэн.
0-4=-4

Бүхэл тоонууд.

Натурал тоонуудтай ийм асуудлыг бид дүрсэлж чадахгүй, энэ асуудлыг координатын шугам дээр авч үзэх болно.

Бид цуврал тоог авсан:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Энэ цуврал тоонуудыг нэрлэдэг бүхэл тоонууд.

Эерэг бүхэл тоо. Сөрөг бүхэл тоо.

Бүхэл тоонууд нь эерэг ба сөрөг тоонуудаас бүрдэнэ. Тэгээс баруун талд натурал тоонууд байдаг эсвэл тэдгээрийг бас нэрлэдэг эерэг бүхэл тоо... Тэгээс зүүн тийш яв бүхэл сөрөг тоо.

Тэг нь эерэг, сөрөг биш юм. Энэ нь эерэг ба сөрөг тооны хоорондох зааг юм.

Энэ нь натурал тоонууд, сөрөг бүхэл тоонууд ба тэгээс бүрдэх тоонуудын багц юм.

Эерэг ба сөрөг бүхэл тоонуудын цуваа нь хязгааргүй багц.

Хэрэв бид хоёр бүхэл тоонуудыг авбал эдгээр бүхэл тоонуудын хоорондох тоонууд дуудагдана хязгаарлагдмал багц.

Жишээлбэл:
-2-оос 4 хүртэлх бүхэл тоонуудыг ав. Эдгээр тоонуудын хоорондох бүх тоонууд хязгаарлагдмал багцад багтсан болно. Бидний хязгаарлагдмал тооны багц дараах байдалтай байна.
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Натурал тоог Латин үсгээр тэмдэглэсэн N.
Бүхэл тоонуудыг Латин үсгээр тэмдэглэсэн Z. Натурал тоонууд болон бүхэл тоонуудыг бүхэлд нь зураг дээр дүрсэлж болно.


Эерэг бус бүхэл тоонууд өөрөөр хэлбэл эдгээр нь сөрөг бүхэл тоонууд юм.
Сөрөг бус бүхэл тоо Эерэг бүхэл тоо.

Энгийнээр хэлэхэд эдгээр нь тусгай жороор усанд чанаж болгосон ногоо юм. Би эхний хоёр бүрэлдэхүүн хэсэг (ногооны салат ба ус), эцсийн үр дүн - borsch-ийг авч үзэх болно. Геометрийн хувьд үүнийг нэг тал нь салат, нөгөө тал нь усыг дүрсэлсэн тэгш өнцөгт гэж ойлгож болно. Эдгээр хоёр талын нийлбэр нь borscht-ийг төлөөлнө. Ийм "borscht" тэгш өнцөгтийн диагональ ба талбай нь цэвэр математикийн ойлголт бөгөөд хэзээ ч borscht жор хийхэд ашигладаггүй.

Математикийн сурах бичгүүдээс шугаман өнцгийн функцуудын талаар юу ч олохгүй. Гэхдээ тэдгүйгээр математик гэж байхгүй. Математикийн хуулиуд нь байгалийн хуулиудтай адил тэдгээрийн оршин тогтнолын талаар бид мэддэг эсэхээс үл хамааран ажилладаг.

Шугаман өнцгийн функцууд нь нэмэх хууль юм. Алгебр хэрхэн геометр, геометр нь тригонометр болж хувирдаг болохыг хараарай.

Шугаман өнцгийн функцээс татгалзаж болох уу? Математикчид тэдэнгүйгээр үргэлжлүүлэн хийдэг тул энэ нь боломжтой юм. Математикчдын заль мэх нь тэд өөрсдөө хэрхэн шийдвэрлэхээ мэддэг асуудлуудынхаа талаар бидэнд үргэлж ярьдаг бөгөөд шийдэж чадахгүй байгаа асуудлуудынхаа талаар хэзээ ч ярьдаггүй явдал юм. Хар. Хэрэв бид нэмэх ба нэг томъёоны үр дүнг мэддэг бол хасах аргаар нөгөө нэр томъёог олдог. Бүгд. Бид бусад ажлуудыг мэддэггүй бөгөөд шийдэж чадахгүй. Хэрэв бид зөвхөн нэмэлт үр дүнг мэддэг бөгөөд хоёр нэр томъёог мэдэхгүй бол яах вэ? Энэ тохиолдолд нэмэх үр дүнг шугаман өнцгийн функцийг ашиглан хоёр нэр томъёогоор задлах ёстой. Дараа нь бид өөрсдөө нэг нэр томъёо байж болох зүйлийг сонгодог бөгөөд шугаман өнцгийн функцууд нь хоёрдахь гишүүнчлэл ямар байхыг харуулдаг бөгөөд ингэснээр нэмсэн үр дүн нь яг хэрэгтэй зүйл юм. Ийм хос нэр томъёо хязгааргүй олон байж болно. Өдөр тутмын амьдралд бид нийлбэрийн задралгүйгээр төгс зохицуулдаг; хасах нь бидэнд хангалттай. Гэхдээ байгалийн хуулиудыг шинжлэх ухааны аргаар судлахдаа нийлбэрийг нэр томъёо болгон задлах нь маш их хэрэгтэй байж болох юм.

Математикчдын ярих дургүй байдаг өөр нэг нэмэлт хууль (тэдний өөр нэг заль мэх) нэр томъёо нь ижил хэмжих нэгжтэй байхыг шаарддаг. Салат, ус, borscht-ийн хувьд эдгээр нь жин, эзэлхүүн, утга эсвэл хэмжих нэгж байж болно.

Зураг дээр математикийн зөрүүний хоёр түвшинг харуулав. Эхний түвшин нь тоонуудын талбар дахь ялгаа юм а, б, в... Үүнийг математикчид хийдэг. Хоёрдахь түвшин нь хэмжлийн нэгжийн талбайн ялгаа бөгөөд тэдгээрийг дөрвөлжин хаалтанд үзүүлж, үсгээр тэмдэглэв У... Үүнийг физикчид хийдэг. Тодорхойлогдсон объектуудын талбайн ялгааг бид гуравдахь түвшинг ойлгож чадна. Өөр өөр объектууд ижил тооны ижил нэгжтэй байж болно. Энэ нь хичнээн чухал болохыг бид борщ тригонометрийн жишээн дээрээс харж болно. Хэрэв бид янз бүрийн объектын хэмжих нэгжийн ижил тэмдэглэгээнд захиалга нэмж оруулбал тухайн объектыг яг ямар математик утга тодорхойлж, цаг хугацаа өнгөрөхөд эсвэл бидний үйл ажиллагаатай холбоотойгоор хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг хэлж чадна. Захидлаар В Би усыг үсгээр томилно С Би салат, захидлыг зааж өгөх болно Б - borsch. Borsch-ийн шугаман өнцгийн функцууд иймэрхүү харагдах болно.

Хэрэв бид усны нэг хэсэг, салатны зарим хэсгийг авбал хамтдаа borscht-ийн нэг хэсэг болж хувирна. Борштоос түр амсхийж алс холын хүүхэд ахуй насаа дурсахыг энд санал болгож байна. Туулай, нугас зэргийг хэрхэн яаж хамтад нь заадаг байсныг санаж байна уу? Тэнд хэдэн мал байхыг олох шаардлагатай байв. Дараа нь бидэнд юу хийхийг заасан бэ? Биднийг тооноос нэгжийг салгаж, тоо нэмэхийг заасан. Тийм ээ, өөр дугаар дээр дурын нэг дугаарыг нэмж болно. Энэ бол орчин үеийн математикийн аутизм руу чиглэсэн шууд зам бөгөөд бид юуг ойлгохгүй байна, яагаад гэдэг нь тодорхойгүй байгаа бөгөөд энэ нь бодит байдалтай хэрхэн уялдаатай болохыг бид маш муу ойлгодог, учир нь гурван түвшний ялгаа байдаг тул математик нь зөвхөн нэг л үйл ажиллагаа явуулдаг. Нэг хэмжих нэгжээс нөгөөд шилжих аргыг сурах нь илүү зөв байх болно.

Туулай, нугас, амьтдыг хэсэгчлэн тоолж болно. Өөр өөр объектуудын нэг нийтлэг хэмжих нэгж нь тэдгээрийг хамтад нь нэмэх боломжийг олгодог. Энэ бол асуудлын хүүхэд шиг хувилбар юм. Насанд хүрэгчдэд зориулсан ижил төстэй асуудлыг авч үзье. Хэрэв та бөжин, мөнгө нэмбэл юу болох вэ? Энд хоёр шийдэл байж болох юм.

Эхний сонголт... Бид бөжингийн зах зээлийн үнийг тодорхойлж, бэлэн мөнгөний хэмжээгээр нэмнэ. Бид баялгийнхаа нийт үнэлгээг мөнгөн дүнгээр авсан.

Хоёр дахь сонголт... Та бидэнд байгаа мөнгөн дэвсгэртийн тоогоор бөжингийн тоог нэмж болно. Бид хөдлөх эд хөрөнгийн тоог хэсэгчлэн авах болно.

Таны харж байгаагаар ижил нэмэлт хууль өөр үр дүнд хүргэдэг. Бүх зүйл яг юу мэдэхийг хүсч байгаагаас хамаарна.

Гэхдээ манай борщ руу буцаж очно. Шугаман өнцгийн функцын өнцгийн өөр өөр утгын хувьд юу болохыг одоо харж болно.

Өнцөг нь тэг байна. Бид салаттай боловч усгүй. Бид borscht хоол хийж чадахгүй. Borscht-ийн хэмжээ бас тэг байна. Энэ нь тэг borscht нь тэг устай тэнцэнэ гэсэн үг биш юм. Тэг borscht нь тэг салаттай (зөв өнцгөөр) байж болно.

Миний хувьд энэ бол үүнийг нотлох гол математик нотолгоо юм. Тэг нэмэх үед тоог өөрчлөхгүй. Учир нь зөвхөн нэг нэр томъёо байгаа бөгөөд хоёр дахь нэр томъёо байхгүй бол нэмэлт нь өөрөө боломжгүй юм. Та үүнд дуртай байдлаар хандаж болно, гэхдээ тэгтэй математикийн бүх үйлдлийг математикчид өөрсдөө зохиосон тул логикоо хаяж, "тэгээр хуваах боломжгүй", "тэгээр үржүүлсэн ямар ч тоо тэгтэй тэнцүү" гэсэн математикчдын бүтээсэн тодорхойлолтыг тэнэг байдлаар шахаж ав. , "тэг цэгээс цааш" болон бусад утгагүй зүйл. Тэг бол тоо биш гэдгийг дахин нэг удаа санахад хангалттай бөгөөд тэг нь натурал тоо мөн үү гэсэн асуулт танд дахин төрөхгүй, яагаад гэвэл ийм асуулт ерөнхийдөө ямар ч утга алддаг: тоо биш тоог яаж авч үзэх вэ? Энэ нь үл үзэгдэх өнгө ямар өнгөтэй байх ёстойг асуухтай адил юм. Тоон дээр тэг нэмэх нь байхгүй будагтай зураг зурахтай адил юм. Бид хуурай сойзоор даллаж, "бид зурсан" гэж хүн бүрт хэлэв. Гэхдээ би жаахан ухаж байна.

Өнцөг нь тэгээс их боловч дөчин таван градусаас бага байна. Бид маш олон салаттай боловч ус бага байдаг. Үүний үр дүнд бид зузаан borscht авдаг.

Энэ өнцөг нь дөчин таван градус байна. Бид тэнцүү хэмжээний ус, салаттай. Энэ бол төгс borscht (тогооч нарыг уучлаарай, энэ бол зүгээр л математик юм).

Өнцөг нь дөчин таван градусаас их боловч ерэн градусаас бага байна. Бид маш их ус, бага зэрэг салаттай. Та шингэн борц авдаг.

Зөв өнцөг. Бид устай. Нэгэн цагт салатыг илэрхийлж байсан шугамаас өнцгийг хэмжсээр салатаас зөвхөн дурсамж үлддэг. Бид borscht хоол хийж чадахгүй. Borscht-ийн хэмжээ тэг байна. Ийм тохиолдолд та барьж байхдаа ус ууж байгаарай)))

Энд. Энэ нь иймэрхүү зүйл. Энд тохирохоос илүү өөр түүхүүдийг би энд хэлж чадна.

Хоёр найз нийтлэг бизнест хувьцаа эзэмшдэг байв. Тэдний нэгийг нь алсны дараа бүх зүйл нөгөө рүү шилжсэн.

Манай гариг \u200b\u200bдээр математик гарч ирсэн.

Эдгээр бүх түүхийг математикийн хэлээр шугаман өнцгийн функцийг ашиглан ярьдаг. Математикийн бүтцэд эдгээр функцүүдийн бодит байрлалыг өөр удаа би танд үзүүлэх болно. Энэ хооронд borscht-ийн тригонометрид эргэн очиж, төсөөллийг авч үзье.

2019 оны 10-р сарын 26-ны Бямба гараг

2019 оны 8-р сарын 7-ны Лхагва гараг

Яриагаа дуусгахад хязгааргүй олон тоо байна. Энэ нь "хязгааргүй байдал" хэмээх ойлголт математикчдад туулайны боа дарангуйлагч шиг үйлчилдэг болохыг нотолж байв. Хязгааргүй байдлын аймшигт байдал нь математикчдыг эрүүл саруул ухаанаас салгадаг. Жишээ нь:

Анхны эх сурвалж байрлаж байна. Альфа нь жинхэнэ тоог илэрхийлнэ. Дээрх илэрхийллүүдийн тэнцүү тэмдэг нь хязгааргүй тоон дээр тоо эсвэл хязгааргүй нэмэх юм бол юу ч өөрчлөгдөхгүй, үр дүн нь мөн адил хязгааргүй байх болно гэдгийг харуулж байна. Хэрэв бид натурал тооны хязгааргүй багцыг жишээ болгон авч үзвэл авч үзсэн жишээг дараахь хэлбэрээр толилуулж болно.

Математикчид зөв гэдгээ тодорхой нотлохын тулд олон янзын аргуудыг гаргаж ирсэн. Би хувьдаа энэ бүх аргыг хэнгэрэгтэй бөө бүжиглэх гэж үздэг. Үндсэндээ тэд бүгдээрээ зарим өрөөнд нь хүн ороогүй, шинэ зочид орж ирж байгаа, эсвэл зочдын заримыг нь коридорт гаргаж хаяад зочдод өрөө гаргах гэж байгаа юм (маш хүнлэг). Би ийм шийдвэрийн талаархи үзэл бодлоо Шаргал үстэй эмэгтэйн тухай гайхалтай түүх хэлбэрээр танилцуулав. Миний үндэслэл юу вэ? Хязгааргүй тооны зочдыг нүүлгэн шилжүүлэх нь хязгааргүй их цаг хугацаа шаарддаг. Бид зочдод зориулж эхний өрөөгөө сулласны дараа зочдын нэг нь зууны эцэс хүртэл өрөөнөөсөө дараагийн коридороор үргэлж алхах болно. Мэдээжийн хэрэг, цаг хугацааны хүчин зүйлийг тэнэг байдлаар үл тоомсорлож болох боловч энэ нь "хууль тэнэг хүмүүст зориулагдаагүй" гэсэн ангилалаас аль хэдийн гарах болно. Бүх зүйл бидний хийж байгаа зүйлээс хамаарна: бодит байдлыг математикийн онолуудад тохируулах эсвэл эсрэгээр нь өөрчлөх.

"Төгсгөлгүй зочид буудал" гэж юу вэ? Төгсгөлгүй зочид буудал гэдэг нь хичнээн олон өрөөтэй байсан ч гэсэн үргэлж хэдэн ч сул газартай зочид буудал юм. Төгсгөлгүй зочдын коридорын бүх өрөө эзэлдэг бол зочдын өрөөтэй өөр нэг хязгааргүй коридор бий. Ийм коридор хязгааргүй олон байх болно. Түүгээр ч үл барам "хязгааргүй зочид буудал" нь хязгааргүй олон бурхнаас бүтээсэн хязгааргүй олон орчлон ертөнцөд хязгааргүй олон тооны барилгад хязгааргүй олон давхрагатай байдаг. Математикчид ердийн өдөр тутмын бэрхшээлээс өөрийгөө холдуулж чаддаггүй: Бурхан-Аллах-Будда бол үргэлж ганц, зочид буудал нь ганц, коридор нь ганц байдаг. Математикчид энд байгаа бөгөөд зочид буудлын өрөөнүүдийн серийн дугаарыг өөрчлөхийг хичээгээрэй.

Би хязгааргүй натурал тооны жишээн дээр өөрийн логик логикийг танд харуулах болно. Эхлээд та маш энгийн асуултанд хариулах хэрэгтэй: нэг буюу олон тооны натурал тооны тоо хэд байна вэ? Энэ асуултын зөв хариулт байхгүй байна.Учир нь бид өөрсдөө тоог зохион бүтээсэн тул байгальд тоо байдаггүй. Тиймээ, Байгаль нь тоолохдоо гарамгай, гэхдээ тэр бидэнд танил бус бусад математикийн хэрэгслийг ашигладаг. Байгалийн бодож байгаагаар би чамд өөр удаа хэлэх болно. Бид тоонуудыг зохион бүтээсэн тул хэдэн тооны натурал тоонууд байгааг өөрсдөө шийдэх болно. Жинхэнэ эрдэмтэнд тохирох хоёр хувилбарыг хоёуланг нь авч үзье.

Нэг хувилбар. Тавиур дээр тайван хэвтэж буй натурал тоонуудын нэг багцыг "бидэнд өгье". Бид энэ багцыг тавиураас авдаг. Энэ бол тавиур дээр өөр натурал тоо байхгүй тул авах газар байхгүй болно. Бид энэ багцад нэгийг нэмж чадахгүй, учир нь бидэнд аль хэдийн байгаа. Хэрэв та үнэхээр хүсч байгаа бол? Асуудалгүй. Бид аль хэдийн авсан багцаас нэгийг нь аваад тавиур дээр буцааж өгч болно. Үүний дараа бид тавиур дээрээс нэг нэгжийг аваад үлдсэн зүйл дээрээ нэмж болно. Үүний үр дүнд бид дахин хязгааргүй олон тооны натурал тоог олж авна. Та манай бүх заль мэхийг дараах байдлаар бичиж болно.

Би үйлдлүүдийг алгебрийн тэмдэглэгээ болон олонлогийн онолд ашигласан тэмдэглэгээнд олонлогийн элементүүдийн дэлгэрэнгүй жагсаалтыг бичсэн. Захидал нь бидэнд цорын ганц натурал тоонууд байгааг харуулж байна. Үүнээс натурал тооны багц хасч, ижил нэгжийг нэмэхэд л өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно.

Хоёрдахь хувилбар. Бидний тавиур дээр олон янзын хязгааргүй олон тооны натурал тоо бий. Тэдгээр нь бараг ялгагдахааргүй байсан ч би ялгаатай гэдгийг онцолж хэлэв. Бид эдгээр багцуудын аль нэгийг авдаг. Дараа нь натурал тоонуудын өөр нэгийг аваад аль хэдийн авсан олонлог дээрээ нэмнэ. Бид хоёр натурал тоонуудыг нэмж болно. Бидний олж авсан зүйл:

"Нэг" ба "хоёр" гэсэн бичээсүүд нь эдгээр зүйлүүд өөр өөр багцад хамааралтай болохыг харуулж байна. Тиймээ, хэрэв та хязгааргүй олонлог дээр нэгийг нэмбэл үр дүн нь бас хязгааргүй олонлог байх болно, гэхдээ энэ нь анхны багцтай адил биш байх болно. Хэрэв бид нэг хязгааргүй олонлогод өөр хязгааргүй олонлог нэмэх юм бол үр дүн нь эхний хоёр олонлогийн элементүүдээс бүрдэх шинэ хязгааргүй олонлог болно.

Олон тооны натурал тоонуудыг хэмжихэд захирагчтай адил тоолоход ашигладаг. Одоо та захирагч дээр нэг см-ээр нэмсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Энэ нь аль хэдийн эх шугамтай тэнцүү биш өөр мөр байх болно.

Та миний үндэслэлийг хүлээн зөвшөөрч эсвэл хүлээж авахгүй байж болно - энэ бол таны хувийн бизнес. Гэхдээ та хэзээ нэгэн цагт математикийн бэрхшээлтэй тулгарвал үе үеийн математикчдын гишгэсэн хуурамч сэтгэхүйн замаар явахгүй байгаа эсэхээ бодоорой. Эцсийн эцэст, математик хийх нь юуны түрүүнд бидний сэтгэлгээний тогтвортой хэвшмэл ойлголтыг бий болгож, зөвхөн дараа нь бидэнд оюун ухааны чадварыг нэмж өгдөг (эсвэл эсрэгээр нь биднийг чөлөөт сэтгэлгээнээс хасдаг).

pozg.ru

2019 оны 8-р сарын 4-ний ням гараг

Би тухай нийтлэлдээ пост скрипт бичиж байсан бөгөөд энэ гайхамшигтай текстийг Wikipedia дээрээс харсан:

Бид уншиж байна: "... Вавилоны математикийн онолын баялаг үндэс суурь нь нэгдмэл шинж чанартай биш байсан бөгөөд нийтлэг систем, нотлох баримтын үндэсгүй, олон янзын арга техник болон хувирчээ."

Хөөх! Бид хичнээн ухаантай, бусдын дутагдлыг хэр сайн харж чаддаг вэ. Орчин үеийн математикийг ижил хүрээнд харах нь бидэнд хэцүү юу? Дээрх текстийг бага зэрэг орчуулж хэлэхэд би хувьдаа дараахь зүйлийг олж авав.

Орчин үеийн математикийн онолын баялаг үндэс суурь нь нэгдмэл биш бөгөөд нийтлэг систем, нотлох баримтын үндэсгүй салангид хэсгүүдийн багц болж ирдэг.

Би үгсээ баталгаажуулахын тулд хол явахгүй.Энэ нь математикийн бусад олон салбарын хэл, конвенцоос ялгаатай хэл, конвенцуудтай байдаг. Математикийн янз бүрийн салбар дахь ижил нэр өөр өөр утгатай байж болно. Би орчин үеийн математикийн хамгийн тод алдаануудад бүхэл бүтэн цуврал бүтээлээ зориулмаар байна. Удахгүй уулзацгаая

бямба, 2019 оны 8-р сарын 3

Олонлогийг дэд бүлэгт хэрхэн хуваах вэ? Үүнийг хийхийн тулд та сонгосон олонлогийн зарим элементэд байгаа хэмжилтийн шинэ нэгжийг оруулах хэрэгтэй. Нэг жишээг авч үзье.

Бидэнд олон хүн байг Адөрвөн хүний \u200b\u200bбүрэлдэхүүнтэй. Энэ багцыг "хүмүүс" дээр үндэслэн бүтээсэн бөгөөд энэ олонлогийн элементүүдийг үсгээр тэмдэглэе а, цифр бүхий дэд тэмдэгт нь энэ багц дахь хүн бүрийн дарааллын дугаарыг заана. "Хүйс" хэмжих шинэ нэгжийг танилцуулж, үсгээр тэмдэглэе б... Бэлгийн шинж чанар нь бүх хүмүүст байдаг тул бид багцын элемент бүрийг үржүүлдэг А хүйсээр б... Одоо манай олон тооны "хүмүүс" олон тооны "бэлгийн шинж чанартай хүмүүс" болж хувирсныг анхаарна уу. Үүний дараа бид бэлгийн шинж чанарыг эр хүйстэн болгон хувааж болно бм эмэгтэйчүүд bw бэлгийн шинж чанар. Одоо бид математикийн шүүлтүүрийг ашиглаж болно: эрэгтэй, эмэгтэй аль ч хамаагүй эдгээр бэлгийн шинж чанаруудын аль нэгийг нь сонгоно. Хэрэв хүнд байгаа бол бид үүнийг нэгээр үржүүлж, хэрэв ийм тэмдэг байхгүй бол бид тэгээр үржүүлнэ. Дараа нь бид ердийн сургуулийн математикийг хэрэгжүүлдэг. Юу болсныг хараарай.

Үржүүлэлт, агшилт, өөрчлөн байгуулалтын дараа бид эрэгтэй дэд хэсэг гэсэн хоёр дэд бүлэгтэй болсон Бм эмэгтэйчүүдийн хэсэг Bw... Математикчид олонлогийн онолыг практик дээр хэрэгжүүлэхдээ ижил зүйлийг боддог. Гэхдээ тэд биднийг нарийн ширийн зүйлд зориулдаггүй, харин эцсийн үр дүнг өгдөг - "олон хүмүүс эрэгтэй, эмэгтэй хүмүүсийн хэсгээс бүрддэг." Мэдээжийн хэрэг, та дээрх хувиргалтанд математикийг хэр зөв ашиглаж байгааг гайхаж магадгүй юм? Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл зөв хийгдсэн байсан тул арифметик, Булийн алгебр болон бусад математикийн салбаруудын математикийн үндэс суурийг мэдэх нь хангалттай юм. Энэ юу вэ? Энэ тухай би өөр удаа танд хэлье.

Суперсетүүдийн хувьд та эдгээр хоёр олонлогийн элементүүдэд байгаа хэмжих нэгжийг сонгосноор хоёр багцыг нэг суперсет болгон нэгтгэж болно.

Таны харж байгаагаар нэгж ба нийтлэг математик нь олонлогийн онолыг өнгөрсөн зүйл болгодог. Олонлогийн онол тийм ч сайн биш байгаагийн илрэл бол математикчид өөрсдийн хэл, олонлогийн онолын тэмдэглэгээг гаргаж ирсэн явдал юм. Математикчид нэгэн үе бөөгийн адил ажиллаж байсан. Бөө нар л "мэдлэгээ" хэрхэн "зөв" хэрэгжүүлэхээ мэддэг. Тэд бидэнд энэ "мэдлэг" -ийг заадаг.

Эцэст нь би математикчид хэрхэн яаж харьцдаг болохыг харуулахыг хүсч байна.

2019 оны 1-р сарын 7-ны Даваа гараг

МЭӨ 5-р зуунд эртний Грекийн гүн ухаантан Элена Зено өөрийн алдарт aporias-ыг томъёолсон бөгөөд хамгийн алдартай нь "Ахиллес ба яст мэлхий" апория юм. Энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна:

Ахиллес яст мэлхийг бодвол арав дахин хурдан гүйдэг бөгөөд үүнээс мянга алхмын цаана байна гэж бодъё. Ахиллесийг энэ зайг туулах хугацаа шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхөх гэх мэт. Энэ үйл явц хязгааргүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.

Энэхүү шалтгаан нь дараагийн бүх үеийнхэнд логик цочрол болсон юм. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Хилберт ... Тэд бүгдээрээ Зеногийн aporias-ийг авч үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан " ... хэлэлцүүлэг өнөө үед үргэлжилж байгаа бөгөөд шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксын мөн чанарын талаар нийтлэг саналд хараахан хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад математик анализ, олонлогийн онол, физик, гүн ухааны шинэ хандлагууд оролцсон; тэдгээрийн аль нь ч асуултын нийтээр хүлээн зөвшөөрсөн шийдэл болж чадаагүй байна ..."[Wikipedia, Zeno's Aporia"]. Бүгд өөрсдийгөө хуурч байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт гэж юу болохыг хэн ч ойлгодоггүй.

Математикийн үүднээс авч үзвэл Зено түүний аборигийн хувьд хэмжээнээс шилжих шилжилтийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь тогтмол оронд хэрэглэхийг хэлнэ. Миний ойлгосноор хувьсах хэмжигдэхүүний нэгжийг ашиглах математикийн аппарат нь хараахан боловсруулагдаагүй, эсвэл Зеногийн апоригийн хэрэглээнд ороогүй байна. Бидний ердийн логикийг хэрэгжүүлэх нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэлгээний инерцийн дагуу тогтмол хугацааны нэгжийг харилцан үйлчлэлд ашигладаг. Физикийн үүднээс авч үзвэл Ахиллес яст мэлхийтэй тэгшлэх мөчид бүрэн зогсох хүртэл цаг хугацааны тэлэлт шиг харагдаж байна. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж түрүүлэх боломжгүй болно.

Хэрэв бид дассан логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахилл тогтмол хурдтай гүйдэг. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөс арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг хэрэгжүүлбэл "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх.

Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Тогтмол цагийн нэгжид үлдэж, ухрахгүй байх. Зеногийн хэлээр иймэрхүү харагдаж байна.

Ахиллес мянган алхам гүйх хугацаанд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны туршид Ахиллес дахин нэг мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийгээс найман зуун алхам урагшилж байна.

Энэхүү хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай тодорхойлдог. Гэхдээ энэ нь асуудлын бүрэн шийдэл биш юм. Эйнштейний гэрлийн хурдыг тэсвэрлэх чадваргүй тухай хэлсэн нь Zeno aporia "Ахиллес ба яст мэлхий" -тэй тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, эргэцүүлэн бодож, шийдээгүй байна. Үүний шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор биш харин хэмжлийн нэгжээс хайж олох хэрэгтэй.

Өөр нэг сонирхолтой aporia Zeno нисдэг сумны тухай өгүүлдэг:

Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч байдаг тул цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.

Энэ апорид логик парадоксыг маш энгийнээр даван туулдаг - цаг мөч бүрт нисдэг сум орон зайн өөр өөр цэг дээр байрладаг бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай юм. Энд бас нэг зүйлийг тэмдэглэх хэрэгтэй. Замын хөдөлгөөнд оролцож буй автомашины ганц гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт эсвэл түүн хүртэлх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машины хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлохын тулд өөр өөр цаг хугацаанд нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрээс зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд сансрын өөр өөр цэгээс нэгэн зэрэг авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрээс хөдлөх баримтыг тодорхойлох боломжгүй (мэдээжийн хэрэг, тооцоололд нэмэлт өгөгдөл шаардагдах болно, тригонометр нь танд туслах болно). Миний онцгой анхаарлыг хандуулахыг хүсч байгаа зүйл бол цаг хугацааны хоёр орон зай, орон зайн хоёр цэг нь өөр өөр зүйл бөгөөд энэ нь судлах өөр боломжийг олгодог тул эндүүрч болохгүй.
Би үйл явцыг жишээгээр харуулах болно. Бид "батгатай улаан өтгөн" -ийг сонгодог - энэ бол бидний "бүхэл бүтэн" юм. Үүний зэрэгцээ эдгээр зүйлүүд нь нумтай, гэхдээ нум байхгүй гэдгийг бид харж байна. Үүний дараа бид "бүхэл бүтэн" хэсгийг сонгоод "нумтай" багцыг бүрдүүлнэ. Бөө нар тогтсон онолоо бодит байдалд холбож өөрсдийгөө ингэж тэжээдэг.

Одоо жаахан бохир мэх хийцгээе. "Батгатай нумтай хатуу" авч, эдгээр "бүхэл бүтэн" өнгөөр \u200b\u200bнь нэгтгэж, улаан элементүүдийг сонгоё. Бид маш их "улаан" авсан. Одоо бөглөх асуулт: "нумтай" ба "улаан" гэсэн багцууд ижил багц эсвэл хоёр өөр багц уу? Үүний хариуг зөвхөн бөө нар л мэддэг. Илүү нарийвчлалтайгаар тэд өөрсдөө юу ч мэддэггүй, гэхдээ тэдний хэлснээр тийм байх болно.

Энэхүү энгийн жишээ нь бодит байдлын тухайд олонлогийн онол нь огт ашиггүй болохыг харуулж байна. Нууц юу вэ? Бид "нум бүхий овойлт болгон улаан хатуу" багцыг бүрдүүлсэн. Үүсэлт нь өнгө (улаан), бат бэх (хатуу), тэгш бус байдал (батгатай), гоёл чимэглэл (нумтай) гэсэн дөрвөн өөр хэмжилтийн нэгжийн дагуу явагдсан. Зөвхөн хэмжих нэгжийн багц нь бодит объектуудыг математикийн хэлээр хангалттай дүрслэх боломжийг олгодог... Энэ бол иймэрхүү харагдаж байна.

Өөр өөр индекс бүхий "а" үсэг нь өөр хэмжих нэгжийг заана. Хэмжлийн нэгжийг урьдчилсан шатанд "бүхэлд нь" хуваарилсан хаалтанд тэмдэглэнэ. Багцыг бүрдүүлсэн хэмжих нэгжийг хаалтнаас гаргана. Сүүлчийн мөрөнд эцсийн үр дүн - багц элементийг харуулна. Таны харж байгаагаар хэрэв бид хэмжих нэгжийг ашиглан багц үүсгэх юм бол үр дүн нь бидний үйл ажиллагааны дарааллаас хамаарахгүй болно. Энэ бол аль хэдийн математик, хэнгэрэгтэй бөө бүжиглэх биш юм. Хэмжээг хэмжих нэгжийг тэдний "шинжлэх ухааны" зэвсэгт оруулаагүй тул бөө нар "нотлох баримтаар" маргаж, "зөн совингоор" ижил үр дүнд хүрч чадна.

Нэгийг хуваах эсвэл хэд хэдэн багцыг нэг суперсет болгон нэгтгэхэд нэгж ашиглах нь маш хялбар байдаг. Энэ процессын алгебрыг нарийвчлан авч үзье.

Энэ нийтлэлийн мэдээлэл нь ерөнхий ойлголтыг өгдөг бүхэл тоо... Нэгдүгээрт, бүхэл тоонуудын тодорхойлолтыг өгч, жишээг өгнө. Цаашилбал, тооны мөр дээрх бүхэл тоонуудыг авч үзвэл аль тоонуудыг эерэг бүхэл тоо, аль нь сөрөг бүхэл тоо болох нь тодорхой болно. Үүний дараа бүхэл тоонуудыг ашиглан утгын өөрчлөлтийг хэрхэн тодорхойлж, сөрөг бүхэл тоонуудыг өр гэж тооцдог болохыг харуулав.

Хуудасны навигаци.

Бүхэл тоо - тодорхойлолт ба жишээ

Тодорхойлолт.

Бүхэл тоо - эдгээр нь натурал тоонууд, тэг тоо, мөн натурал тоонуудын эсрэг тоонууд юм.

Бүхэл тоонуудын тодорхойлолтод 1, 2, 3,…, 0 тоо, мөн −1, −2, −3, ... гэсэн тоонуудын аль нь ч бүхэл тоо байна гэж заасан байдаг. Одоо бид амархан удирдаж чадна бүхэл тоонуудын жишээ... Жишээлбэл, 38 нь бүхэл тоо, 70 040 нь мөн бүхэл тоо, тэг нь бүхэл тоо (тэг бол Натурал тоо биш, тэг бол бүхэл тоо гэдгийг санаарай), −999, −1, −8 934 832 тоонууд нь мөн бүхэл тоонуудын жишээ юм. тоо.

Бүх бүхэл тоог дараахь хэлбэртэй бүхэл тоон дарааллаар илэрхийлэх нь тохиромжтой: 0, ± 1, ± 2, ± 3, ... Бүхэл тоонуудын дарааллыг дараах байдлаар бичиж болно: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Бүхэл тоонуудын тодорхойлолт нь натурал тоонуудын багц нь бүхэл тоонуудын олонлогийн дэд хэсэг болохыг харуулж байна. Тиймээс ямар ч натурал тоо бүхэл тоо байх боловч ямар ч бүхэл тоо натурал биш юм.

Координатын шугам дээрх бүхэл тоо

Тодорхойлолт.

Эерэг бүхэл тоо Тэгээс их бүхэл тоо байна уу?

Тодорхойлолт.

Бүхэл тоон сөрөг тоо Тэгээс бага бүхэл тоо байна уу?

Эерэг ба сөрөг бүхэл тоонуудыг координатын шугам дээрх байрлалаар нь тодорхойлж болно. Хөндлөн координатын шугам дээр координатууд нь бүхэл тоонууд байх цэгүүд гарал үүслийн баруун талд байрлана. Хариуд нь сөрөг бүхэл координаттай цэгүүд О цэгийн зүүн талд байрлана.

Бүх эерэг бүхэл тоонуудын олонлог нь натурал тооны олонлог болох нь тодорхой байна. Эргээд бүх сөрөг бүхэл тоонуудын олонлог нь натурал тоонуудын эсрэг бүх тоонуудын олонлог юм.

Бид ямар ч натурал тоог аюулгүйгээр бүхэлд нь дуудаж болох бөгөөд ямар ч бүхэл тоог натурал гэж нэрлэж болохгүй гэдэгт бид анхаарлаа хандуулъя. Сөрөг бүхэл ба тэг нь натурал биш тул байгалийг бид зөвхөн ямар ч эерэг бүхэл тоо гэж нэрлэж болно.

Эерэг бус ба сөрөг бус бүхэл тоонууд

Эерэг бус ба сөрөг биш бүхэл тоонуудын тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Бүх эерэг бүхэл тоонуудыг тэгийн хамт дууддаг сөрөг бус бүхэл тоо.

Тодорхойлолт.

Эерэг бус бүхэл тоонууд Бүх сөрөг бүхэл тоо 0 тоотой хамт байна уу.

Өөрөөр хэлбэл, сөрөг бус бүхэл тоо нь тэгээс их буюу тэгтэй тэнцүү бүхэл тоог, харин эерэг бус бүхэл тоо нь тэгээс бага эсвэл тэгтэй тэнцүү бүхэл тоо юм.

Эерэг бус бүхэл тоонуудын жишээ бол −511, −10,030, 0, −2 тоонууд бөгөөд сөрөг бус бүхэл тоонуудын жишээнд бид 45, 506, 0, 900 321 тоонуудыг өгдөг.

Ихэнх тохиолдолд "эерэг бус бүхэл тоонууд" ба "сөрөг бус бүхэл тоонууд" гэсэн нэр томъёог товчлох зорилгоор ашигладаг. Жишээлбэл, "а тоо нь бүхэл тоо, а нь тэгээс их эсвэл тэнцүү" гэсэн хэллэгийн оронд "а бол сөрөг биш бүхэл тоо" гэж хэлж болно.

Бүхэл тоонуудыг ашиглан өөрчлөгдөж буй утгуудыг тайлбарлах

Бүхэл тоонууд юунд зориулагдсан талаар ярих цаг болжээ.

Бүхэл тоонуудын гол зорилго нь тэдгээрийг ашиглан аливаа объектын тооны өөрчлөлтийг тодорхойлоход тохиромжтой юм. Үүнийг жишээн дээр тодруулцгаая.

Агуулахад зарим хэсэг байсан гэж бодъё. Жишээлбэл, агуулахад 400 ширхэг илүү хэсгийг авчирвал агуулахад байгаа хэсгүүдийн тоо нэмэгдэх бөгөөд 400 нь тоо хэмжээний энэхүү өөрчлөлтийг эерэг чиглэлд (дээш) илэрхийлнэ. Жишээлбэл, агуулахаас 100 хэсгийг авбал агуулахад байгаа хэсгүүдийн тоо буурч, 100 нь сөрөг чиглэлд (доошоо) хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийг илэрхийлэх болно. Эд ангиудыг агуулахад авчрахгүй, агуулахаас эд ангиудыг авч явахгүй, тэгвэл бид хэсгүүдийн тооны хувьсах боломжгүй байдлын тухай ярьж болно (өөрөөр хэлбэл, тоо хэмжээ тэг өөрчлөгдөх тухай ярих боломжтой болно).

Өгөгдсөн жишээн дээр хэсгүүдийн тооны өөрчлөлтийг бүхэл тоонууд 400, -100 ба 0-ээр тус тус тодорхойлж болно. Эерэг бүхэл 400 нь тоо хэмжээ (өсөлт) -ийн эерэг өөрчлөлтийг илэрхийлнэ. Сөрөг бүхэл тоо -100 нь тоо хэмжээний сөрөг өөрчлөлтийг (бууралтыг) илэрхийлнэ. Бүхэл тоо 0 нь хэмжээ өөрчлөгдөөгүй хэвээр байгааг илтгэнэ.

Натурал тоонуудтай харьцуулахад бүхэл тоонуудыг ашиглахад тав тухтай байдал нь тоо өсч байгаа эсвэл буурч байгаа эсэхийг тодорхой зааж өгөх шаардлагагүй тул бүхэл тоо өөрчлөлтийг хэмжих ба бүхэл тэмдэг нь өөрчлөлтийн чиглэлийг заана.

Бүхэл тоо нь зөвхөн хэмжигдэхүүний өөрчлөлт төдийгүй хэмжигдэхүүний өөрчлөлтийг илэрхийлж чаддаг. Температурын өөрчлөлтийн жишээг ашиглан үүнийг авч үзье.

4 градусын температурын өсөлтийг эерэг бүхэл тоогоор илэрхийлнэ. Жишээлбэл, температурын бууралтыг 12 градусаар сөрөг бүхэл тоогоор тодорхойлж болно -12. Температурын тогтвортой байдал нь түүний өөрчлөлтийг бүхэл тоогоор 0 тодорхойлно.

Сөрөг бүхэл тоог өрийн хэмжээ гэж тайлбарлах талаар тусад нь хэлэх хэрэгтэй. Жишээлбэл, хэрэв бид 3 алимтай бол эерэг бүхэл тоо 3 нь бидний эзэмшдэг алимны тоог заана. Нөгөө талаас, хэрэв бид 5 алимыг хэн нэгэнд өгөх ёстой боловч бидэнд байхгүй бол энэ нөхцөл байдлыг сөрөг бүхэл тоо −5 ашиглан тайлбарлаж болно. Энэ тохиолдолд бид have5 алимыг "эзэмшдэг" бөгөөд хасах тэмдэг нь өрийг илэрхийлдэг бөгөөд 5 тоо нь өрийг илэрхийлдэг.

Сөрөг бүхэл тоог өр гэж ойлгох нь жишээлбэл сөрөг бүхэл тоонуудыг нэмэх дүрмийг зөвтгөх боломжийг олгодог. Жишээ татъя. Хэрэв хэн нэгэн хүн нэг хүнд 2 алим, нөгөө алим хоёрт өртэй бол нийт өр нь 2 + 1 \u003d 3 алим байх тул −2 + (- 1) \u003d - 3 болно.

Ном зүй.

• Виленкин Н. Я. болон бусад Математик. 6-р анги: боловсролын байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг.

Эхний удаад сөрөг тоонуудыг эртний Хятад, Энэтхэгт ашиглаж эхэлсэн бөгөөд Европт тэдгээрийг математикийн хэрэглээнд Николас Шуке (1484), Майкл Стифел (1544) нар нэвтрүүлжээ.

Алгебрийн шинж чанарууд

$\backslash \backslash \; mathbb\; (Z)$ нь хоёр бүхэл тоонд хуваагдахад хаагдахгүй (жишээлбэл, 1/2). Дараах хүснэгтэд аливаа бүхэл тоонд нэмэх, үржүүлэх хэд хэдэн үндсэн шинж чанарыг харуулав. а, б болон в.

-Миний гараас барь, ингэж унага, - гэж тэр нэг зарцын айсан шивнэхийг сонсов, - доороос ... нөгөөх, - хоолой нь чангаар сонсогдож, хүмүүсийн хүнд амьсгалах, хөл гишгэх гишгэх нь тэдний хүч чадлаас давсан мэт улам яарч эхлэв. ...
{!LANG-eb4f6fc4d60614d8b799b89c2d54e4a5!}
{!LANG-192fee1d87695f92d27714c2026779dd!}
Анна Михайловна тэргүүтэй ачаа тээвэрлэгчид залуутай зэрэгцэн зогсож, хүмүүсийн толгой нуруу, ар талаас нэг хоромхон зуур өндөр, тарган, нээлттэй цээж, өвчтөний тарган мөр, түүнийг суга дор нь барьсан хүмүүс дээш өргөөд, буурал үстэй буржгийг харав. арслан толгой. Ер бусын өргөн магнай, хацрын хонхорхойтой, үзэсгэлэнтэй мэдрэмжтэй ам, сүрлэг хүйтэн харцтай энэ толгойг үхэл ойрхон байгаагаас болж цайруулсангүй. Тэр Пьер түүнийг гурван сарын өмнө Граф түүнийг Петербург явахыг зөвшөөрөхөд таньдаг байсантай ижил байв. Гэхдээ энэ толгой нь тээгчдийн тэгш бус гишгүүрээс арчаагүй байдлаар найгаж, хүйтэн, хайхрамжгүй харц хаана зогсохоо мэдэхгүй байв.
Өндөр орны бужигнаан өнгөрч хэдэн минут өнгөрөв; өвчтөнийг авч явсан хүмүүс тарсан. Анна Михайловна Пьерийн гарт хүрээд түүнд: "Венес" гэж хэлэв. [Яв.] Пьер түүнтэй хамт орондоо очлоо, тэр дээр саяхан хийсэн ариун ёслолтой холбоотой баяр ёслолын байдалтай өвчтөн хэвтэв. Тэр дэрэн дээр толгойгоо өндийлгөн хэвтэв. Түүний гарыг алган дээр доошоо ногоон торгон хөнжил дээр тэгш хэмтэй байрлуулсан байв. Пьер дөхөж очоод тоолол түүн рүү шууд харсан боловч түүний утга, утгыг хүнд ойлгогдохгүй харцаар харж байв. Энэ харц нь огт юу ч хэлээгүй, зөвхөн нүд байгаа л бол хүн хаа нэг газар харах ёстой, эсвэл тэр хэтэрхий их зүйл хэлсэн. Пьер юу хийхээ мэдэхгүй зогсоод түүний удирдагч Анна Михайловнаг асуусан янзтай харав. Анна Михайловна нүдээрээ яаран хөдөлгөөн хийж, өвчтөний гарыг зааж, уруулаараа үнсэлт явуулав. Хөнжилд баригдахгүйн тулд хүзүүгээ хичээнгүйлэн сунгасан Пьер түүний зөвлөгөөг дагаж, өргөн ястай, махлаг гарыг нь үнсэв. Гар ч биш, Гүнгийн нүүрний нэг ч булчин чичрээгүй. Пьер дахин юу хийхээ асууж Анна Михайловна руу дахин асуугаад харав. Анна Михайловна орны хажууд зогсож байсан түшлэгтэй сандлыг нүдээ харуулав. Пьер дуулгавартай байдлаар түшлэгтэй сандал дээр сууж эхлэв. Нүд нь түүнийг шаардлагатай зүйлийг хийсэн эсэхийг үргэлжлүүлэн асуусаар байв. Анна Михайловна толгойгоо өндийлгөв. Пьер дахин Египетийн хөшөөний тэгш хэмтэй гэнэн байр суурийг эзэлж, түүний бүдүүн, бүдүүн бие ийм том орон зайг эзэлж байгаад эмгэнэл илэрхийлж, бүхий л оюуны хүчээ аль болох бага харагдуулахаар ашиглав. Тэр Гүн рүү харав. Граф Пьерийн зогсож байх үед түүний царай байсан газрыг харав. Анна Михайловна өөрийн байр сууринд байхдаа аав, хүү хоёрын уулзалтын сүүлчийн минутын чухал ач холбогдлыг мэдэж байсан. Энэ нь хоёр минут үргэлжилсэн нь Пьерт нэг цаг юм шиг санагдлаа. Гэнэт Графын нүүрний том булчин, үрчлээнд чичирхийлэл мэдрэгдэв. Түүний чичирхийлэл улам хүчтэй болж, түүний үзэсгэлэнтэй ам муруйв (тэр үед л Пьер эцгийгээ үхэлд ойрхон байгааг ойлгов), мушгирсан амнаас бүдэг бадаг хоолой сонсогдов. Анна Михайловна өвчтөний нүд рүү хичээнгүйлэн харснаа өөрт хэрэгтэй зүйлээ таахыг хичээгээд одоо уухаар \u200b\u200bПирруу чиглүүлээд одоо шивнэн хунтайж Василий гэж дуудаад одоо хөнжлийг зааж өгөв. Өвчтөний нүд, нүүрэнд тэвчээргүй байдал харагдаж байв. Тэрээр орны толгой дээр хог хаягдалгүй зогсож байсан үйлчлэгч рүү харах гэж хүчин чармайлт гаргалаа.
"Тэд нөгөө тал руугаа өнхрөхийг хүсч байна" гэж үйлчлэгч шивнээд босоод гүний хүнд биеийг хана руу эргүүлэв.
Пьер үйлчлэгчдэд туслахаар босов.
Тооллогыг эргүүлж байх үед нэг гар аргаа бараад арагшаа унахад тэр чирэх гэж дэмий хүчин чармайлт гаргав. Пьер энэ амьгүй гарыг харсан аймшгийн дүр төрхийг анзаарсан уу эсвэл тэр мөчид түүний үхэж буй толгойд өөр ямар бодол эргэлдэв, гэвч тэр дуулгаваргүй гар, Пьерийн царай, аймаар аймшигтай илэрхийлэл, дахин гар, нүүр рүү нь харав. Түүний шинж чанарт хүрээгүй сул дорой, шаналалтай инээмсэглэл тодорч, өөрийнхөө бэлгийн сулралыг шоолж буйг илтгэв. Гэнэт энэ инээмсэглэлийг хараад Пьер цээжиндээ чичирч, хамартаа чимхэж, нулимс түүний харааг бүдгэрүүлэв. Өвчтөнийг хажуу тийш нь хананд наав. Тэр санаа алдав.
Анна Михайловна түүнийг сольж буй гүнжийг анзаарч “Ил эст ассупи, - Аллонс. [Руу явцгаая.]
Пьер гарч явав.