Sarcini pe tema „Sisteme numerice”

Exemple de soluții

Sarcina numărul 1. Cum cifre semnificativeîn notarea numărului zecimal 357 în sistemul numeric cu baza 3?Soluţie:Să traducem numărul 35710 în sistemul numeric ternar:Deci, 35710 = 1110203. Numărul 1110203 conține 6 cifre semnificative.Raspuns: 6.

Sarcina numărul 2. Având în vedere A=A715, B=2518. Care dintre numerele C, scrise în sistem binar, îndeplinește condiția A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Soluţie:Să convertim numerele A=A715 și B=2518 în sistemul numeric binar, înlocuind fiecare cifră a primului număr cu tetrada corespunzătoare și fiecare cifră a celui de-al doilea număr cu triada corespunzătoare: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Condiția a

Sarcina numărul 3. Cu ce ​​cifră se termină numărul zecimal 123 în baza 6?Soluţie:Să traducem numărul 12310 în sistemul numeric cu baza 6:12310 = 3236. Răspuns: Introducerea numărului 12310 în sistemul numeric cu baza 6 se termină cu numărul 3.Sarcini pentru efectuarea de operații aritmetice asupra numerelor reprezentate în diferite sisteme numerice

Sarcina numărul 4. Calculați suma numerelor X și Y dacă X=1101112, Y=1358. Exprimați rezultatul în formă binară.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Soluţie:Să transformăm numărul Y=1358 în sistemul numeric binar, înlocuind fiecare dintre cifrele sale cu triada corespunzătoare: 001 011 1012. Efectuați adunarea:Răspuns: 100101002 (opțiunea 2).

Sarcina numărul 5. Găsiți media aritmetică a numerelor 2368, 6C16 și 1110102. Exprimați-vă răspunsul în notație zecimală.Soluţie:Să traducem numerele 2368, 6С16 și 1110102 în sistemul numeric zecimal:
Să calculăm media aritmetică a numerelor: (158+108+58)/3 = 10810.Răspuns: media aritmetică a numerelor 2368, 6С16 și 1110102 este 10810.

Sarcina numărul 6. Calculați valoarea expresiei 2068 + AF16 ? 110010102. Faceți calcule în sistem de numere octale. Convertiți răspunsul în zecimal.Soluţie:Să traducem toate numerele în sistemul de numere octale:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Să adăugăm numerele:Să convertim răspunsul la sistemul zecimal:Răspuns: 51110.

Sarcini pentru găsirea bazei sistemului de numere

Sarcina numărul 7. În grădină sunt pomi fructiferi de 100q: 33q măr, 22q per, 16q prun și 17q cireș. Găsiți baza sistemului numeric în care sunt numărați copacii.Soluţie:În grădină sunt 100q copaci: 100q = 33q+22q+16q+17q.Să numerotăm cifrele și să prezentăm aceste numere în formă extinsă:
Răspuns: Copacii sunt numărați în sistemul numeric de bază 9.

Sarcina numărul 8. Găsiți baza x a sistemului numeric dacă știți că 2002x = 13010.Soluţie:Răspuns: 4.

Sarcina numărul 9. Într-un sistem numeric cu o anumită bază, numărul zecimal 18 este scris ca 30. Specificați această bază.Soluţie:Să luăm baza sistemului numeric necunoscut ca x și să scriem următoarea ecuație:1810 = 30x;Numerotăm cifrele și scriem aceste numere în formă extinsă:Răspuns: Numărul zecimal 18 este scris ca 30 în sistemul numeric în baza 6.

Calculatorul vă permite să convertiți numere întregi și fracționale dintr-un sistem numeric în altul. Baza sistemului de numere nu poate fi mai mică de 2 și mai mare de 36 (10 cifre și 26 de litere latine, până la urmă). Numerele nu trebuie să depășească 30 de caractere. Pentru a introduce numere fracționale, utilizați simbolul. sau, . Pentru a converti un număr dintr-un sistem în altul, introduceți numărul inițial în primul câmp, baza sistemului de numere original în al doilea și baza sistemului numeric în care doriți să convertiți numărul în al treilea câmp, apoi faceți clic pe butonul „Obțineți intrarea”.

numărul original înregistrate în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 -al-lea sistem de numere.

Vreau să obțin o înregistrare a unui număr în 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -al-lea sistem de numere.

Obțineți o intrare

Traduceri finalizate: 3722471

De asemenea, poate fi de interes:

• Calculator tabel de adevăr. SDNF. SKNF. polinomul Zhegalkin

Sisteme numerice

Sistemele numerice sunt împărțite în două tipuri: poziționalși nu pozițional. Folosim sistemul arab, este pozițional și există și cel roman - pur și simplu nu este pozițional. În sistemele poziționale, poziția unei cifre într-un număr determină în mod unic valoarea acelui număr. Acest lucru este ușor de înțeles privind exemplul unui număr.

Exemplul 1. Să luăm numărul 5921 în sistemul numeric zecimal. Numerotăm numărul de la dreapta la stânga începând de la zero:

Numărul 5921 se poate scrie sub următoarea formă: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Numărul 10 este o caracteristică care definește sistemul numeric. Valorile poziției numărului dat sunt luate ca grade.

Exemplul 2. Luați în considerare numărul zecimal real 1234,567. Îl numerotăm începând de la poziția zero a numărului de la virgulă zecimală la stânga și la dreapta:

Numărul 1234.567 se poate scrie astfel: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 + 6 10 -1 + 6 +7 10 -3 .

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Cel mai într-un mod simplu transferul unui număr dintr-un sistem numeric în altul este traducerea numărului mai întâi în sistemul numeric zecimal și apoi, rezultatul obținut în sistemul numeric necesar.

Conversia numerelor din orice sistem numeric în sistem numeric zecimal

Pentru a converti un număr din orice sistem numeric în zecimal, este suficient să îi numerotați cifrele, începând de la zero (cifra din stânga punctului zecimal) în mod similar cu exemplele 1 sau 2. Să găsim suma produselor cifrelor a numărului de la baza sistemului numeric la puterea poziției acestei cifre:

1. Convertiți numărul 1001101.1101 2 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16+2+1+0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Răspuns: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Convertiți numărul E8F.2D 16 în sistemul numeric zecimal.
Soluţie: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584+128+15+0,125+0,05078125 = 3727,17578125 10
Răspuns: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Pentru a converti numerele dintr-un sistem de numere zecimal într-un alt sistem de numere, părțile întregi și fracționale ale numărului trebuie traduse separat.

Conversia părții întregi a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Partea întreagă este convertită din sistemul numeric zecimal într-un alt sistem numeric prin împărțirea succesivă a părții întregi a numărului la baza sistemului numeric până când se obține un rest întreg, care este mai mic decât baza sistemului numeric. Rezultatul transferului va fi o înregistrare din rămășițe, începând cu ultimul.

3. Convertiți numărul 273 10 în sistem de numere octale.
Soluţie: 273 / 8 = 34 și restul 1, 34 / 8 = 4 și restul 2, 4 este mai mic decât 8, deci calculul este complet. Înregistrarea din rămășițe va arăta astfel: 421
Examinare: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , rezultatul este același. Deci traducerea este corecta.
Răspuns: 273 10 = 421 8

Să luăm în considerare traducerea fracțiilor zecimale corecte în diferite sisteme de numere.

Conversia părții fracționale a unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem numeric

Amintiți-vă că o fracție zecimală adecvată este număr real cu parte întreagă zero. Pentru a traduce un astfel de număr într-un sistem numeric cu baza N, trebuie să înmulțiți în mod constant numărul cu N până când partea fracțională este adusă la zero sau se obține numărul necesar de cifre. Dacă în timpul înmulțirii se obține un număr cu o parte întreagă, alta decât zero, atunci partea întreagă nu este luată în considerare în continuare, deoarece este introdusă secvenţial în rezultat.

4. Convertiți numărul 0,125 10 în sistem de numere binar.
Soluţie: 0,125 2 = 0,25 (0 este partea întreagă, care va fi prima cifră a rezultatului), 0,25 2 = 0,5 (0 este a doua cifră a rezultatului), 0,5 2 = 1,0 (1 este a treia cifră a rezultatului , iar din moment ce partea fracțională este zero, translația este completă).
Răspuns: 0.125 10 = 0.001 2

Concepte de bază ale sistemelor numerice

Sistemul numeric este un set de reguli și tehnici de scriere a numerelor folosind un set de caractere digitale. Numărul de cifre necesare pentru a scrie un număr în sistem se numește baza sistemului numeric. Baza sistemului este scrisă în dreapta numărului din indice: ; ; etc.

Există două tipuri de sisteme de numere:

pozițional, când valoarea fiecărei cifre a unui număr este determinată de poziția acesteia în notația numărului;

nepozițional, când valoarea unei cifre dintr-un număr nu depinde de locul ei în notația numărului.

Un exemplu de sistem de numere nepozițional este cel roman: numerele IX, IV, XV etc. Un exemplu de sistem de numere poziționale este sistemul zecimal folosit în fiecare zi.

Orice număr întreg din sistemul pozițional poate fi scris ca polinom:

unde S este baza sistemului numeric;

Cifre ale unui număr scrise într-un sistem de numere dat;

n este numărul de cifre ale numărului.

Exemplu. Număr se scrie sub formă polinomială după cum urmează:

Tipuri de sisteme numerice

Sistemul numeric roman este un sistem non-pozițional. Folosește litere din alfabetul latin pentru a scrie numere. În acest caz, litera I înseamnă întotdeauna unul, litera V înseamnă cinci, X înseamnă zece, L înseamnă cincizeci, C înseamnă o sută, D înseamnă cinci sute, M înseamnă o mie etc. De exemplu, numărul 264 este scris ca CCLXIV. Când se scriu numere în sistemul numeric roman, valoarea unui număr este suma algebrică a cifrelor incluse în acesta. În același timp, cifrele din înregistrarea numărului urmează, de regulă, în ordinea descrescătoare a valorilor lor și nu este permis să scrieți mai mult de trei aceleași cifre. În cazul în care o cifră cu o valoare mai mare este urmată de o cifră cu una mai mică, contribuția sa la valoarea numărului în ansamblu este negativă. Exemple tipice care ilustrează reguli generaleînregistrările numerelor din sistemul numeric roman sunt date în tabel.

Tabelul 2. Scrierea numerelor în sistemul numeric roman

Dezavantajul sistemului roman este lipsa regulilor formale de scriere a numerelor și, în consecință, a operațiilor aritmetice cu numere cu mai multe cifre. Datorită inconvenientului și complexității mari, sistemul cu cifre romane este utilizat în prezent acolo unde este cu adevărat convenabil: în literatură (numerotarea capitolelor), în documentație (o serie de pașapoarte, titluri de valoare etc.), în scop decorativ pe cadranul ceasului și într-o serie de alte cazuri.

Sistemul numeric zecimal este în prezent cel mai cunoscut și utilizat. Invenția sistemului numeric zecimal este una dintre principalele realizări ale gândirii umane. Fără ea, tehnologia modernă cu greu ar putea exista, darămite să apară. Motivul pentru care sistemul numeric zecimal a devenit general acceptat nu este deloc matematic. Oamenii sunt obișnuiți să numere în notație zecimală pentru că au 10 degete pe mâini.

Imaginea veche a cifrelor zecimale (Fig. 1) nu este întâmplătoare: fiecare cifră denotă un număr după numărul de unghiuri din el. De exemplu, 0 - fără colțuri, 1 - un colț, 2 - două colțuri etc. Ortografia cifrelor zecimale a suferit modificări semnificative. Forma pe care o folosim a fost stabilită în secolul al XVI-lea.

Sistemul zecimal a apărut pentru prima dată în India în jurul secolului al VI-lea d.Hr. Numerotarea indiană a folosit nouă caractere numerice și un zero pentru a indica o poziție goală. În manuscrisele indiene timpurii care au ajuns până la noi, numerele erau scrise în ordine inversă - cifra cea mai semnificativă a fost plasată în dreapta. Dar curând a devenit regula să plasezi o astfel de figură pe partea stângă. O importanță deosebită a fost acordată simbolului nul, care a fost introdus pentru notația pozițională. Numerotarea indiană, inclusiv zero, a ajuns până la vremea noastră. În Europa, metodele hinduse de aritmetică zecimală s-au răspândit la începutul secolului al XIII-lea. datorită lucrării matematicianului italian Leonardo din Pisa (Fibonacci). europenii au împrumutat sistemul indian socotind printre arabi, numind-o arabă. Acest nume incorect din punct de vedere istoric este păstrat până în prezent.

Sistemul zecimal folosește zece cifre - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 și 9, precum și simbolurile „+” și „-” pentru a indica semnul numărului și o virgulă sau perioadă pentru a separa numerele întregi și fracționale.

Calculatoarele folosesc un sistem de numere binar, baza sa este numărul 2. Pentru a scrie numere în acest sistem, sunt folosite doar două cifre - 0 și 1. Contrar unei concepții greșite obișnuite, sistemul de numere binar a fost inventat nu de inginerii de proiectare a calculatoarelor, ci de matematicieni și filozofi cu mult înainte de apariția computerelor, în secolele al XVII-lea și al XIX-lea. Prima discuție publicată despre sistemul de numere binar este a preotului spaniol Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Atenția generală asupra acestui sistem a fost atrasă de articolul matematicianului german Gottfried Wilhelm Leibniz, publicat în 1703. Acesta explica operațiile binare de adunare, scădere, înmulțire și împărțire. Leibniz nu a recomandat utilizarea acestui sistem pentru calcule practice, dar a subliniat importanța acestuia pentru cercetarea teoretică. În timp, sistemul de numere binare devine bine cunoscut și se dezvoltă.

Alegerea unui sistem binar pentru utilizare în tehnologia computerelor se explică prin faptul că elementele electronice - declanșatoarele care alcătuiesc microcircuitele computerului, pot fi doar în două stări de funcționare.

Cu ajutorul unui sistem de codare binar, orice date și cunoștințe pot fi înregistrate. Acest lucru este ușor de înțeles dacă vă amintiți principiul codificării și transmiterii informațiilor folosind codul Morse. Un operator de telegrafie, folosind doar două caractere din acest alfabet - puncte și liniuțe, poate transmite aproape orice text.

Sistemul binar este convenabil pentru un computer, dar incomod pentru o persoană: numerele sunt lungi și greu de scris și reținut. Desigur, puteți converti numărul în sistemul zecimal și îl puteți scrie în această formă și apoi, atunci când trebuie să îl traduceți înapoi, dar toate aceste traduceri necesită timp. Prin urmare, se folosesc sisteme numerice care sunt legate de binar - octal și hexazecimal. Pentru a scrie numere în aceste sisteme, sunt necesare 8 și, respectiv, 16 cifre. În hexazecimal, primele 10 cifre sunt comune, iar apoi sunt folosite litere mari latine. Cifra hexazecimală A corespunde cu zecimalul 10, hexazecimal B cu zecimalul 11 ​​și așa mai departe. Utilizarea acestor sisteme se explică prin faptul că trecerea la scrierea unui număr în oricare dintre aceste sisteme din notația sa binară este foarte simplă. Mai jos este un tabel de corespondență între numerele scrise în diferite sisteme.

Tabelul 3. Corespondența numerelor scrise în diferite sisteme numerice

Reguli pentru conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul este o parte importantă a aritmeticii mașinii. Luați în considerare regulile de bază ale traducerii.

1. Pentru traducere număr binarîn zecimală, este necesar să-l scrieți ca polinom, constând din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 2 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor a doi:

Tabelul 4. Puterile lui 2

Exemplu. Convertiți numărul în sistem numeric zecimal.

2. Pentru a traduce un număr octal într-un număr zecimal, este necesar să îl scrieți ca un polinom format din produsele cifrelor numărului și puterea corespunzătoare a numărului 8 și să calculați conform regulilor aritmeticii zecimale:

Când traduceți, este convenabil să utilizați tabelul puterilor opt:

Tabelul 5. Puterile lui 8

Sistem numeric (sistem de numerație englezesc sau sistem de numerație) - o metodă simbolică de scriere a numerelor, reprezentând numere folosind caractere scrise

Care este baza și baza sistemului numeric?

Definiție: Baza sistemului numeric este numărul de caractere sau simboluri diferite care
sunt folosite pentru a reprezenta cifrele în acest sistem.
Orice număr natural este luat ca bază - 2, 3, 4, 16 etc. Adică există un infinit
multe sisteme poziționale. De exemplu, pentru sistemul zecimal, baza este 10.

Determinarea bazei este foarte ușoară, trebuie doar să recalculați numărul de cifre semnificative din sistem. Mai simplu spus, acesta este numărul de la care începe a doua cifră a numărului. De exemplu, folosim numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Sunt exact 10, deci baza sistemului nostru de numere este, de asemenea, 10, iar sistemul de numere este numită „zecimală”. Exemplul de mai sus folosește numerele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (auxiliarii 10, 100, 1000, 10000 etc. nu contează). Există, de asemenea, 10 cifre principale, iar sistemul de numere este zecimal.

Baza sistemului este succesiunea de cifre folosită pentru a scrie . În niciun sistem nu există o cifră egală cu baza sistemului.

După cum puteți ghici, câte numere există, pot exista tot atâtea baze ale sistemelor de numere. Dar sunt folosite doar bazele cele mai convenabile ale sistemelor numerice. De ce crezi că baza celui mai comun sistem de numere uman este 10? Da, tocmai pentru că avem 10 degete pe mâini. „Dar există doar cinci degete pe o mână”, vor spune unii și vor avea dreptate. Istoria omenirii cunoaște exemple de sisteme numerice în cinci ori. „Și cu picioare - douăzeci de degete” - vor spune alții și vor avea, de asemenea, perfectă dreptate. Așa credeau mayașii. Îl poți vedea chiar și în numerele lor.

Sistem de numere zecimale

Cu toții suntem obișnuiți să folosim numere și numere care ne sunt familiare din copilărie atunci când numărăm. Unu, doi, trei, patru etc. În sistemul nostru de numere de zi cu zi, există doar zece cifre (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), din care alcătuim orice numere. După ce am ajuns la zece, adăugăm una la cifra din stânga și începem din nou să numărăm de la zero în cifra din dreapta. Acest sistem numeric se numește zecimal.

Nu este greu de ghicit că strămoșii noștri l-au ales pentru că numărul degetelor de pe ambele mâini este de zece. Dar ce alte sisteme numerice există? S-a folosit întotdeauna sistemul zecimal sau au existat altele?

Istoria apariției sistemelor de numere

Înainte de inventarea lui zero, numerele erau scrise folosind caractere speciale. Fiecare națiune avea a lui. LA Roma antică, de exemplu, a dominat un sistem numeric non-pozițional.

Un sistem numeric se numește nepozițional dacă valoarea unei cifre nu depinde de locul pe care îl ocupă. Cele mai avansate sisteme de numere au fost considerate a fi sistemele de numere utilizate în Rusia și Grecia Antică.

În ele numere mari notat cu litere, dar cu adăugarea de pictograme suplimentare (1 - a, 100 - i etc.). Un alt sistem de numere non-pozițional a fost cel folosit în Babilonul antic. În sistemul lor, locuitorii Babilonului au folosit o înregistrare a „două etaje” și doar trei semne: Unul în sistemul numeric babilonian pentru unu, Zece în sistemul numeric babilonian pentru zece și Zero în sistemul numeric babilonian pentru zero.

Sisteme numerice poziționale

Sistemele poziționale au devenit un pas înainte. Acum zecimala a câștigat peste tot, dar există și alte sisteme adesea folosite în științele aplicate. Un exemplu de astfel de sistem de numere este sistemul de numere binar.
Sistem de numere binar

Pe el comunică computerele și toate dispozitivele electronice din casa ta. În acest sistem de numere sunt folosite doar două cifre: 0 și 1. Vă întrebați, de ce nu a fost posibil să învățați un computer să numere până la zece, ca o persoană? Răspunsul se află la suprafață.

Este ușor să înveți o mașină să facă distincția între două caractere: on înseamnă 1, off înseamnă 0; există un curent - 1, nici un curent - 0. Au existat încercări de a face mașini care să poată distinge un număr mai mare de cifre. Dar toate s-au dovedit a fi nesigure, computerele mereu confuze: ori le-a venit 1, ori 2.

Suntem înconjurați de multe sisteme numerice diferite. Fiecare dintre ele este utilă în propria sa zonă. Și răspunsul la întrebarea despre care și când să folosim rămâne la noi.

Notaţie este o metodă de scriere a unui număr folosind un set specificat de caractere speciale (numere).

Notaţie:

• oferă o reprezentare a unui set de numere (întregi și/sau reale);

• dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);

• afișează structura algebrică și aritmetică a unui număr.

Scrierea unui număr într-un sistem de numere este numită codul numeric.

Este apelată o singură poziție în afișarea unui număr deversare, deci numărul poziției este număr de rang.

Se numește numărul de cifre dintr-un număr adâncimea de bițiși se potrivește cu lungimea sa.

Sistemele numerice sunt împărțite în poziționalși nepozițională. Sistemele numerice poziționale sunt împărțite

pe omogenși amestecat.

sistem de numere octale, sistem de numere hexazecimale și alte sisteme de numere.

Traducerea sistemelor numerice. Numerele pot fi convertite dintr-un sistem numeric în altul.

Tabelul de corespondență al numerelor în diverse sisteme de numere.