Zadaci na temu "Brojni sistemi"

Primjeri rješenja

Zadatak broj 1. koliko značajne cifre u decimalnoj bazi 357?Rješenje:Prevedemo broj 35710 u ternarni brojevni sistem:Dakle, 35710 = 1110203. Broj 1110203 sadrži 6 značajnih cifara.Odgovor: 6.

Zadatak broj 2. Dato je A = A715, B = 2518. Koji od brojeva C zapisanih u binarnom sistemu ispunjava uslov A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Rješenje:Prevedemo brojeve A = A715 i B = 2518 u binarni brojevni sistem, zamjenjujući svaku cifru prvog broja odgovarajućom tetradom, a svaku cifru drugog broja odgovarajućom trijadom: A715 = 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Stanje a

Zadatak broj 3. Kojom se cifrom završava decimalni broj sa bazom 6 123?Rješenje:Hajde da prevedemo broj 12310 u sistem brojeva sa bazom 6:12310 = 3236. Odgovor: Broj snimka 12310 u sistemu baze 6 završava se cifrom 3.Zadaci za izvođenje aritmetičkih operacija nad brojevima predstavljenim u različitim brojevnim sistemima

Zadatak broj 4. Izračunajte zbir brojeva X i Y ako je X = 1101112, Y = 1358. Rezultat predstaviti u binarnom obliku.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Rješenje:Prevedemo broj Y = 1358 u binarni sistem, zamjenjujući svaku njegovu cifru odgovarajućom trijadom: 001 011 1012. Dodajmo:Odgovor: 100101002 (opcija 2).

Zadatak broj 5. Pronađite aritmetičku sredinu brojeva 2368, 6C16 i 1110102. Svoj odgovor predstavite decimalnim zapisom.Rješenje:Prevedemo brojeve 2368, 6S16 i 1110102 u decimalni brojevni sistem:
Izračunajmo aritmetičku sredinu brojeva: (158 + 108 + 58) / 3 = 10810.Odgovor: aritmetička sredina brojeva 2368, 6C16 i 1110102 je 10810.

Zadatak broj 6. Procijeniti vrijednost izraza 2068 + AF16? 110010102. Izračunaj u oktalnom brojevnom sistemu. Pretvorite svoj odgovor u decimalni.Rješenje:Prevedimo sve brojeve u oktalni brojevni sistem:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Dodajmo brojeve:Prevedimo odgovor na decimalni sistem:Odgovor: 51110.

Zadaci za pronalaženje osnove brojevnog sistema

Zadatak broj 7. U bašti ima 100q voćaka: jabuke 33q, kruške 22q, šljive 16q i trešnje 17q. Pronađite radiks u kojem se broje stabla.Rješenje:U bašti ima 100q stabala: 100q = 33q + 22q + 16q + 17q.Označimo cifre i predstavimo ove brojeve u proširenom obliku:
Odgovor: Stabla se broje u bazi 9.

Zadatak broj 8. Pronađite osnovu x brojevnog sistema ako znate da je 2002x = 13010.Rješenje:Odgovor: 4.

Zadatak broj 9. U brojevnom sistemu sa nekom osnovom, decimalni broj 18 zapisuje se kao 30. Označite ovu osnovu.Rješenje:Uzimamo bazu nepoznatog brojevnog sistema kao x i sastavljamo sljedeću jednakost:1810 = 30x;Numerirajmo cifre i napišimo ove brojeve u proširenom obliku:Odgovor: Decimala 18 je zapisana kao 30 u osnovi 6.

Kalkulator vam omogućava da konvertujete cijele i razlomke iz jednog brojevnog sistema u drugi. Osnova brojevnog sistema ne može biti manja od 2 i veća od 36 (na kraju krajeva 10 cifara i 26 latiničnih slova). Brojevi mogu imati do 30 znakova. Koristite simbol za unos razlomaka. ili, . Da konvertujete broj iz jednog sistema u drugi, unesite originalni broj u prvo polje, bazu originalnog brojevnog sistema u drugo i bazu brojevnog sistema u koji želite da prevedete broj u treće polje, i zatim kliknite na dugme "Get Record".

Originalni broj zabilježeno u 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -ti brojni sistem.

Želim da dobijem zapis o broju 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ti brojni sistem.

Get Record

Završeni prijevodi: 3722471

Također može biti zanimljivo:

• Kalkulator tabele istine. SDNF. SKNF. Zhegalkin polinom

Sistemi brojeva

Sistemi brojeva se dijele na dvije vrste: pozicioni i nije poziciono... Koristimo arapski sistem, on je pozicioni, a postoji i rimski - samo nije pozicioni. U pozicionim sistemima, pozicija cifre u broju jedinstveno određuje vrijednost tog broja. Ovo je lako razumjeti uzimajući u obzir primjer broja.

Primjer 1... Uzmimo broj 5921 u decimalnom zapisu. Numerimo broj s desna na lijevo počevši od nule:

Broj 5921 može se napisati u sljedećem obliku: 5921 = 5000 + 900 + 20 + 1 = 5 · 10 3 + 9 · 10 2 + 2 · 10 1 + 1 · 10 0. Broj 10 je karakteristika koja određuje sistem brojeva. Vrijednosti položaja datog broja uzimaju se kao stepeni.

Primjer 2... Razmotrimo pravi decimalni broj 1234.567. Numerimo ga počevši od nulte pozicije broja od decimalnog zareza lijevo i desno:

Broj 1234.567 se može napisati u sljedećem obliku: 1234.567 = 1000 + 200 + 30 + 4 + 0,5 + 0,06 + 0,007 = 1 · 10 3 + 2 · 10 2 + 3 · 10 1 + 4 + · 1 · 1 -1 + 6 · 10 -2 + 7 · 10 -3.

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi

Većina na jednostavan način Prenošenje broja iz jednog brojevnog sistema u drugi je prenošenje broja prvo u decimalni brojevni sistem, a zatim dobijeni rezultat u traženi brojevni sistem.

Pretvaranje brojeva iz bilo kojeg brojevnog sistema u decimalni brojevni sistem

Da biste broj iz bilo kog brojevnog sistema pretvorili u decimalni, dovoljno je numerisati njegove cifre, počevši od nule (mesta levo od decimalnog zareza) slično kao u primerima 1 ili 2. Pronađite zbir proizvoda cifara broj po osnovici brojevnog sistema na stepenu pozicije ove cifre:

1. Pretvorite broj 1001101.1101 2 u decimalni zapis.
Rješenje: 10011.1101 2 = 1 2 4 + 0 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0 + 1 2 -1 + 1 2 -2 + 0 2 -3 + 1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + 0,0625 = 19,8125 10
odgovor: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Pretvorite E8F.2D 16 u decimalni zapis.
Rješenje: E8F.2D 16 = 14 16 2 + 8 16 1 + 15 16 0 + 2 16 -1 + 13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,2507
odgovor: E8F.2D 16 = 3727,17578125 10

Pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem

Za pretvaranje brojeva iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem, cijeli i razlomački dijelovi broja moraju se prevesti odvojeno.

Pretvaranje celobrojnog dela broja iz decimalnog sistema brojeva u drugi brojni sistem

Cijeli dio se pretvara iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem uzastopnim dijeljenjem cijelog dijela broja sa osnovom brojevnog sistema dok se ne dobije cijeli ostatak, koji je manji od baze brojevnog sistema. Rezultat transfera će biti unos sa stanja, počevši od posljednjeg.

3. Pretvorite broj 273 10 u oktalni brojevni sistem.
Rješenje: 273/8 = 34 i ostatak 1, 34/8 = 4 i ostatak 2, 4 manji je od 8, tako da su proračuni završeni. Zapis iz ostataka će izgledati ovako: 421
Ispitivanje: 4 8 2 + 2 8 1 + 1 8 0 = 256 + 16 + 1 = 273 = 273, rezultat je isti. To znači da je prevod urađen korektno.
odgovor: 273 10 = 421 8

Razmotrimo prevođenje tačnih decimalnih razlomaka u različitim brojevnim sistemima.

Pretvaranje razlomka broja iz decimalnog brojevnog sistema u drugi brojevni sistem

Podsjetimo da se zove ispravan decimalni razlomak realni broj sa nultim celim delom... Da biste konvertovali takav broj u osnovni N brojevni sistem, potrebno je da broj uzastopno množite sa N dok razlomak ne bude nula ili dok se ne dobije potreban broj cifara. Ako se prilikom množenja dobije broj sa cijelim dijelom koji je različit od nule, tada se cijeli broj dalje ne uzima u obzir, jer se sekvencijalno unosi u rezultat.

4. Pretvori binarni broj 0,125 10.
Rješenje: 0,125 2 = 0,25 (0 je cijeli broj, koji će postati prva znamenka rezultata), 0,25 2 = 0,5 (0 je druga znamenka rezultata), 0,5 2 = 1,0 (1 je treća znamenka rezultata , a pošto je razlomak jednak nuli, onda je translacija potpuna).
odgovor: 0.125 10 = 0.001 2

Osnovni pojmovi brojnih sistema

Brojevni sistem je skup pravila i tehnika za pisanje brojeva pomoću skupa digitalnih znakova. Broj cifara potreban za zapis broja u sistemu naziva se baza brojnog sistema. Osnova sistema je ispisana pravim brojevima u indeksu:; ; itd.

Postoje dvije vrste brojevnih sistema:

pozicijski, kada je vrijednost svake cifre broja određena njenom pozicijom u zapisu brojeva;

nepozicioni, kada vrijednost cifre u broju ne zavisi od njenog mjesta u zapisu brojeva.

Primer nepozicionog brojevnog sistema je rimski: brojevi IX, IV, XV, itd. Primjer pozicionog brojevnog sistema je decimalni sistem koji se koristi na dnevnoj bazi.

Bilo koji cijeli broj u pozicijskom sistemu može se napisati u obliku polinoma:

gdje je S baza brojevnog sistema;

Cifre broja snimljenih u datom brojevnom sistemu;

n - broj cifara broja.

Primjer. Broj biće zapisano u obliku polinoma na sljedeći način:

Vrste brojevnih sistema

Rimski numerički sistem je nepozicioni sistem. Za pisanje brojeva koristi slova latinskog alfabeta. Štaviše, slovo I uvijek znači jedan, slovo V je pet, X je deset, L je pedeset, C je sto, D je petsto, M je hiljadu, itd. Na primjer, broj 264 je napisan kao CCLXIV. Prilikom pisanja brojeva u rimskom numeričkom sistemu, vrijednost broja je algebarski zbir cifara uključenih u njega. U ovom slučaju brojevi u zapisu brojeva slijede, po pravilu, silaznim redoslijedom svojih vrijednosti i nije dozvoljeno pisati više od tri uporedo identične cifre... U slučaju kada iza cifre velike vrijednosti slijedi cifra sa manjom, njen doprinos vrijednosti broja u cjelini je negativan. Tipični primjeri koji ilustruju opšta pravila zapisi brojeva u rimskom brojevnom sistemu dati su u tabeli.

Tabela 2. Pisanje brojeva u rimskom numeričkom sistemu

Nedostatak rimskog sistema je nedostatak formalnih pravila za pisanje brojeva i, shodno tome, aritmetičkih operacija s višecifrenim brojevima. Zbog neugodnosti i velike složenosti, rimski brojčani sistem se trenutno koristi tamo gdje je to zaista zgodno: u literaturi (numeracija poglavlja), u papirologiji (niz pasoša, vrijednosnih papira, itd.), u ukrasne svrhe na brojčaniku sat i u nizu drugih slučajeva.

Dekadski brojevni sistem je trenutno najpoznatiji i najkorišćeniji. Pronalazak decimalnog brojevnog sistema spada u glavna dostignuća ljudske misli. Bez toga moderna tehnologija teško da bi postojala, a kamoli da se pojavi. Razlog zašto je decimalni brojevni sistem postao opšteprihvaćen nije nimalo matematički. Ljudi su navikli da broje decimalno jer imaju 10 prstiju na rukama.

Drevni prikaz decimalnih cifara (slika 1) nije slučajan: svaka cifra označava broj prema broju uglova u njoj. Na primjer, 0 - bez ugla, 1 - jedan ugao, 2 - dva ugla, itd. Pisanje decimalnih cifara je pretrpjelo značajne promjene. Forma koju koristimo uspostavljena je u 16. veku.

Decimalni sistem se prvi put pojavio u Indiji oko 6. veka nove ere. Indijsko numeriranje koristilo je devet numeričkih znakova i nulu da označi praznu poziciju. U ranim indijskim rukopisima koji su došli do nas brojevi su pisani obrnutim redoslijedom, pri čemu je najznačajniji broj na desnoj strani. Ali ubrzo je postalo pravilo da se takav broj stavlja na lijevu stranu. Poseban značaj je pridavan nultom karakteru, koji je uveden za sistem pozicionih notacija. Indijsko numeriranje, uključujući nulu, preživjelo je do našeg vremena. U Evropi su hinduističke metode decimalne aritmetike postale široko rasprostranjene početkom 13. veka. zahvaljujući radovima italijanskog matematičara Leonarda iz Pize (Fibonacci). Evropljani su pozajmili Indijski sistem računajući među Arape, nazivajući to arapskim. Ovaj istorijski netačan naziv zadržao se do danas.

Dekadski sistem koristi deset cifara - 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9, kao i simbole "+" i "-" da označi znak broja i zarez ili tačku razdvojiti cijele i razlomke.brojeve.

Računari koriste binarni sistem brojeva, njegova osnova je broj 2. Za pisanje brojeva u ovom sistemu koriste se samo dvije cifre - 0 i 1. Suprotno uobičajenoj zabludi, binarni sistem brojeva nisu izmislili inženjeri kompjuterskog dizajna, već matematičari i filozofi mnogo prije pojave kompjutera, još u sedamnaestom i devetnaestom vijeku. Prva objavljena rasprava o binarnom brojevnom sistemu pripada španskom svešteniku Huanu Karamuelu Lobkovicu (1670). Opću pažnju na ovaj sistem privukao je članak njemačkog matematičara Gottfrieda Wilhelma Leibniza, objavljen 1703. godine. U njemu su objašnjene binarne operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Leibniz nije preporučio korištenje ovog sistema za praktična proračuna, ali je naglasio njegovu važnost za teorijska istraživanja. Vremenom je binarni sistem brojeva postao poznat i razvijen.

Izbor binarnog sistema za upotrebu u računarstvu objašnjava se činjenicom da elektronski elementi – okidači koji čine kompjutersko mikrokolo – mogu biti u samo dva radna stanja.

Bilo koji podaci i znanje mogu se zabilježiti korištenjem binarnog kodnog sistema. Ovo je lako razumjeti ako se sjetite principa kodiranja i prenošenja informacija pomoću Morzeove azbuke. Telegrafista, koristeći samo dva simbola ove abecede - tačke i crtice, može prenijeti gotovo svaki tekst.

Binarni sistem je zgodan za računar, ali nezgodan za osobu: brojevi su dugi i teško ih je zapisati i zapamtiti. Naravno, možete konvertovati broj u decimalni sistem i zapisati ga u ovom obliku, a onda, kada treba da ga prevedete nazad, ali svi ti prevodi oduzimaju mnogo vremena. Stoga se koriste sistemi brojeva, slični binarnim - oktalnim i heksadecimalnim. Za pisanje brojeva u ovim sistemima potrebno je 8 odnosno 16 cifara. U heksadecimalnom, prvih 10 cifara je uobičajeno, a zatim se koriste velika latinična slova. Heksadecimalna cifra A odgovara decimalnom broju 10, heksadecimalna B - decimalna 11 itd. Upotreba ovih sistema objašnjava se činjenicom da je prelazak na pisanje broja u bilo kom od ovih sistema iz njegove binarne notacije veoma jednostavan. Ispod je tabela korespondencije između brojeva snimljenih u različitim sistemima.

Tabela 3. Korespondencija brojeva zapisanih u različitim brojevnim sistemima

Pravila za prevođenje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi

Pretvaranje brojeva iz jednog brojevnog sistema u drugi važan je dio mašinske aritmetike. Razmotrimo osnovna pravila prevođenja.

1. Za prijevod binarni broj u decimalnom obliku, potrebno ga je zapisati u obliku polinoma koji se sastoji od proizvoda cifara broja i odgovarajućeg stepena broja 2, i izračunati ga prema pravilima decimalne aritmetike:

Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tabelu stepena dvojke:

Tabela 4. Moći 2

Primjer. Pretvorite broj u decimalni zapis.

2. Za konvertovanje oktalnog broja u decimalni, potrebno ga je zapisati u obliku polinoma koji se sastoji od proizvoda cifara broja i odgovarajućeg stepena broja 8, te izračunati prema pravilima decimalnog broja. aritmetika:

Prilikom prevođenja zgodno je koristiti tabelu snaga osam:

Tabela 5. Moći 8

Sistem brojeva (eng.numeral system ili sistem numeracije) - simbolički metod pisanja brojeva, predstavljanje brojeva pomoću pisanih znakova

Šta je radiks i baza brojevnog sistema?

definicija: Osnova brojevnog sistema je broj različitih znakova ili znakova koji
se koriste za predstavljanje brojeva u ovom sistemu.
Za osnovu se uzima bilo koji prirodni broj - 2, 3, 4, 16, itd. To jest, postoji bezgranično
mnogi pozicioni sistemi. Na primjer, za decimalni sistem, baza je 10.

Određivanje baze je vrlo jednostavno, potrebno je samo preračunati broj značajnih cifara u sistemu. Ako je jednostavnije, onda je ovo broj s kojim počinje druga znamenka broja. Na primjer, koristimo brojeve 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ima ih tačno 10, pa je baza našeg brojevnog sistema također 10, a brojni sistem se zove “decimala”. U gornjem primjeru koriste se brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (pomoćni 10, 100, 1000, 10000 itd. se ne računaju). Ovdje se također nalazi 10 glavnih cifara, a sistem brojeva je decimalni.

Sistemska baza je niz brojeva koji se koristi za pisanje. Nijedan sistem nema broj jednak osnovici sistema.

Kao što možete pretpostaviti, koliko brojeva postoji, može biti isti broj baza brojevnih sistema. Ali koriste se samo najprikladniji radiksi. Zašto mislite da je osnova najčešćeg ljudskog brojevnog sistema 10? Da, upravo zato što imamo 10 prstiju na rukama. „Ali ima samo pet prstiju na jednoj ruci“, reći će neki i biće u pravu. Istorija čovječanstva poznaje primjere petostrukih brojevnih sistema. "I sa nogama - dvadeset prstiju" - reći će drugi, a i oni će biti potpuno u pravu. Ovo su mislili Indijanci Maja. To se čak vidi i iz njihovog broja.

Decimalni brojevni sistem

Svi smo navikli da brojimo pomoću brojeva i brojeva koji su nam poznati iz djetinjstva. Jedan, dva, tri, četiri, itd. U našem svakodnevnom numeričkom sistemu postoji samo deset cifara (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) od kojih sastavljamo bilo koje brojeve. Kada dođemo do deset, dodajemo jedan na cifru lijevo i ponovo počinjemo brojati od nule u krajnjoj desnoj cifri. Ovaj brojni sistem se naziva decimalni.

Nije teško pretpostaviti da su ga naši preci odabrali jer je broj prstiju na obje ruke deset. Ali koji drugi sistemi brojeva postoje? Jeste li uvijek koristili decimalni brojevni sistem ili je bilo i drugih?

Istorija nastanka brojevnih sistema

Prije pronalaska nule, pisani su brojevi specijalni znakovi... Svaki narod je imao svoje. V Drevni Rim, na primjer, prevladao je nepozicioni brojevni sistem.

Brojevni sistem se naziva nepozicionim ako vrijednost cifre ne ovisi o prostoru koji zauzima. Brojevni sistemi koji su se koristili u Rusiji i staroj Grčkoj smatrani su najsavršenijim sistemima brojeva.

U njima veliki brojevi označena slovima, ali uz dodatak dodatnih simbola (1 - a, 100 -i, itd.). Još jedan nepozicioni brojevni sistem bio je onaj koji se koristio u Drevnom Vavilonu. U svom sistemu, stanovnici Babilona su koristili notaciju u "dva sprata" i samo tri znaka: jedan u vavilonskom numeričkom sistemu - za jedan, deset u vavilonskom numeričkom sistemu - za deset, i nula u vavilonskom numeričkom sistemu - za nula.

Sistemi pozicijskih brojeva

Pozicioni sistemi su postali korak naprijed. Sada je decimala svugdje pobijedila, ali postoje i drugi sistemi koji se često koriste u primijenjenim naukama. Primjer takvog sistema brojeva je binarni brojevni sistem.
Binarni sistem brojeva

Na njemu komuniciraju računari i sva elektronika u vašem domu. U ovom brojevnom sistemu koriste se samo dvije cifre: 0 i 1. Pitate se, zašto ne biste naučili kompjuter da broji do deset, kao osoba? Odgovor leži na površini.

Lako je naučiti automobil da razlikuje dva simbola: uključeno znači 1, isključeno znači 0; postoji struja - 1, nema struje - 0. Bilo je pokušaja da se naprave mašine koje bi mogle razlikovati više brojeva. Ali svi su se pokazali nepouzdanima, kompjuteri su stalno bili zbunjeni: ili im je došao 1, ili 2.

Okruženi smo mnogim različitim sistemima brojeva. Svaki od njih je koristan u svom području. A odgovor na pitanje koje i kada koristiti je naš.

Notacija je metoda pisanja broja pomoću specificiranog skupa specijalnih znakova (brojeva).

notacija:

• daje prikaz skupa brojeva (cijelih i/ili realnih);

• daje svakom broju jedinstveni prikaz (ili barem standardni prikaz);

• prikazuje algebarsku i aritmetičku strukturu broja.

Pisanje broja u određenom brojevnom sistemu se zove broj koda.

Poziva se posebna pozicija u prikazu broja pražnjenje, što znači da je broj pozicije broj ranga.

Poziva se broj bitova u broju bitnost i odgovara njegovoj dužini.

Sistemi brojeva se dijele na pozicioni i nepozicionalan. Sistemi pozicijskih brojeva su podijeljeni

na homogena i mješovito.

oktalni brojevni sistem, heksadecimalni brojevni sistem i drugi brojni sistemi.

Prevođenje brojevnih sistema. Brojevi se mogu prevesti iz jednog brojevnog sistema u drugi.

Tablica korespondencije brojeva u različitim brojevnim sistemima.