цели числа и десети. Цели числа: общо представяне

В тази статия ще дефинираме набор от цели числа, ще разгледаме кои цели числа се наричат ​​положителни и кои са отрицателни. Ще покажем също как целите числа се използват за описание на промяната в някои количества. Нека започнем с определението и примерите за цели числа.

Цели числа. Определение, примери

Първо, нека си припомним естествените числа ℕ. Самото име подсказва, че това са числа, които естествено се използват за броене от незапомнени времена. За да обхванем концепцията за цели числа, трябва да разширим дефиницията естествени числа.

Определение 1. Цели числа

Цели числа са естествените числа, техните противоположности и числото нула.

Множеството от цели числа се обозначава с буквата ℤ.

Множеството от естествени числа ℕ е подмножество от цели числа ℤ. Всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

От определението следва, че всяко от числата 1 , 2 , 3 е цяло число. . , числото 0 , както и числата - 1 , - 2 , - 3 , . .

Съответно даваме примери. Числата 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 са цели числа.

Нека координатната линия е начертана хоризонтално и насочена надясно. Нека да го разгледаме, за да визуализираме местоположението на цели числа на права линия.

Референтната точка на координатната линия съответства на числото 0, а точките, разположени от двете страни на нулата, съответстват на положителни и отрицателни цели числа. Всяка точка съответства на едно цяло число.

Всяка точка на права линия, чиято координата е цяло число, може да бъде достигната чрез отделяне на определен брой единични сегменти от началото.

Положителни и отрицателни цели числа

От всички цели числа е логично да се прави разлика между положителни и отрицателни цели числа. Нека дадем техните определения.

Определение 2. Цели положителни числа

Положителните цели числа са цели числа със знак плюс.

Например числото 7 е цяло число със знак плюс, тоест положително цяло число. На координатната линия това число лежи вдясно от референтната точка, за която е взето числото 0. Други примери за цели положителни числа: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Определение 3. Цели отрицателни числа

Отрицателните цели числа са цели числа със знак минус.

Примери за цели отрицателни числа: - 528 , - 2568 , - 1 .

Числото 0 разделя положителните и отрицателните цели числа и само по себе си не е нито положително, нито отрицателно.

Всяко число, което е противоположно на положително цяло число, по дефиниция е отрицателно цяло число. Обратното също е вярно. Реципрочната стойност на всяко отрицателно цяло число е цяло положително число.

Възможно е да се дадат други формулировки на дефинициите на отрицателни и положителни цели числа, като се използва тяхното сравнение с нула.

Определение 4. Цели положителни числа

Положителните цели числа са цели числа, които са по-големи от нула.

Определение 5. Цели отрицателни числа

Отрицателните цели числа са цели числа, които са по-малки от нула.

Съответно положителните числа лежат вдясно от началото на координатната линия, а отрицателните цели числа лежат вляво от нулата.

По-рано казахме, че естествените числа са подмножество от цели числа. Нека да изясним тази точка. Множеството от естествени числа са цели положителни числа. От своя страна множеството от цели отрицателни числа е множеството от числа, противоположни на естествените.

важно!

Всяко естествено число може да се нарече цяло число, но всяко цяло число не може да се нарече естествено число. Отговаряйки на въпроса дали отрицателните числа са естествени, трябва смело да кажем - не, не са.

Неположителни и неотрицателни цели числа

Да дадем определения.

Определение 6. Цели неотрицателни числа

Неотрицателните цели числа са положителни цели числа и числото нула.

Определение 7. Цели неположителни числа

Неположителните цели числа са отрицателните цели числа и числото нула.

Както можете да видите, числото нула не е нито положително, нито отрицателно.

Примери за неотрицателни цели числа: 52 , 128 , 0 .

Примери за неположителни цели числа: - 52 , - 128 , 0 .

Неотрицателно число е число, по-голямо или равно на нула. Съответно, неположително цяло число е число, по-малко или равно на нула.

Термините „не положително число" и "неотрицателно число" се използват за краткост. Например, вместо да кажете, че числото a е цяло число, което е по-голямо или равно на нула, можете да кажете: a е неотрицателно цяло число.

Използване на цели числа при описване на промени в стойностите

За какво се използват целите числа? На първо място, с тяхна помощ е удобно да се опише и определи промяната в броя на всякакви обекти. Да вземем пример.

Нека определен брой колянови валове се съхраняват в склада. Ако в склада бъдат докарани още 500 колянови вала, броят им ще се увеличи. Числото 500 просто изразява промяната (увеличението) в броя на частите. Ако след това 200 части бъдат извадени от склада, тогава това число ще характеризира и промяната в броя на коляновите валове. Този път в посока намаляване.

Ако нищо не е взето от склада и нищо не е донесено, тогава числото 0 ще покаже неизменността на броя на частите.

Очевидното удобство на използването на цели числа, за разлика от естествените числа, е, че техният знак ясно показва посоката на промяна на величината (увеличаване или намаляване).

Понижаването на температурата с 30 градуса може да се характеризира с отрицателно число - 30, а повишаването с 2 градуса - с положително число 2.

Ето още един пример с използване на цели числа. Този път нека си представим, че трябва да дадем 5 монети на някого. Тогава можем да кажем, че имаме - 5 монети. Числото 5 описва сумата на дълга, а знакът минус показва, че трябва да върнем монетите.

Ако дължим 2 монети на един човек и 3 на друг, тогава общият дълг (5 монети) може да се изчисли по правилото за добавяне на отрицателни числа:

2 + (- 3) = - 5

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Има много видове числа, едно от тях са цели числа. Целите числа се появиха, за да се улесни броенето не само в положителна посока, но и в отрицателна.

Помислете за пример:
През деня навън беше 3 градуса. До вечерта температурите паднаха с 3 градуса.
3-3=0
Навън беше 0 градуса. А през нощта температурата падна с 4 градуса и започна да показва на термометъра -4 градуса.
0-4=-4

Поредица от цели числа.

Не можем да опишем такава задача с естествени числа; ще разгледаме тази задача на координатна права.

Имаме поредица от числа:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Тази поредица от числа се нарича до цели числа.

Цели положителни числа. Цели отрицателни числа.

Поредица от цели числа се състои от положителни и отрицателни числа. Вдясно от нулата са естествените числа или те също се наричат цели положителни числа. И вляво от нулата отидете цели отрицателни числа.

Нулата не е нито положителна, нито отрицателна. Това е границата между положителните и отрицателните числа.

е набор от числа, състоящ се от естествени числа, цели отрицателни числа и нула.

Поредица от цели числа в положителни и отрицателни посоки е безкрайно множество.

Ако вземем произволни две цели числа, тогава ще се извикат числата между тези цели числа краен комплект.

Например:
Нека вземем цели числа от -2 до 4. Всички числа между тези числа са включени в крайния набор. Нашият краен набор от числа изглежда така:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Естествените числа се означават с латинската буква N.
Целите числа се означават с латинската буква Z. Цялата съвкупност от естествени числа и цели числа може да бъде изобразена на фигурата.


Неположителни цели числас други думи, те са цели отрицателни числа.
Неотрицателни цели числаса положителни цели числа.

Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично това може да бъде представено като правоъгълник, в който едната страна означава маруля, а другата страна обозначава вода. Сумата от тези две страни ще означава борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник "борш" са чисто математически понятия и никога не се използват в рецепти за борш.

Няма да намерите нищо за функциите на линейния ъгъл в учебниците по математика. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем, че съществуват или не.

Линейните ъглови функции са законите на събирането.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и как геометрията се превръща в тригонометрия.

Възможно ли е без линейни ъглови функции? Можете, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците се крие във факта, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които те самите могат да решат, и никога не ни казват за онези проблеми, които не могат да решат. Вижте. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всичко. Други проблеми не познаваме и не сме в състояние да ги решим. Какво да правим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата члена? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. Освен това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият член, за да бъде резултатът от събирането точно това, което ни трябва. Може да има безкраен брой такива двойки термини. AT Ежедневиетомного добре се справяме без да разлагаме сбора, изваждането ни е достатъчно. Но в научните изследвания на законите на природата, разширяването на сумата в термини може да бъде много полезно.

Друг закон за добавяне, за който математиците не обичат да говорят (още един техен трик) изисква членовете да имат една и съща мерна единица. За маруля, вода и борш това могат да бъдат единици за тегло, обем, цена или мерна единица.

Фигурата показва две нива на разлика за математика. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, b, ° С. Това правят математиците. Второто ниво са разликите в областта на мерните единици, които са показани в квадратни скоби и са обозначени с буквата U. Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разликите в обхвата на описваните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой едни и същи мерни единици. Колко важно е това, можем да видим на примера на тригонометрията на борша. Ако добавим индекси към една и съща нотация за мерните единици на различни обекти, можем да кажем точно коя математическа величина описва конкретен обект и как се променя във времето или във връзка с нашите действия. писмо УЩе отбележа водата с буквата СЩе отбележа салатата с буквата б- борш. Ето как ще изглеждат функциите на линейния ъгъл за борш.

Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно те ще се превърнат в една порция борш. Предлагам ви да си починете малко от борша и да си спомните далечното си детство. Помните ли как ни учеха да събираме зайчета и патета заедно? Трябваше да се намери колко животни ще се окажат. Какво тогава са ни учили да правим? Учеха ни да отделяме единици от числа и да събираме числа. Да, всяко число може да се добави към всяко друго число. Това е пряк път към аутизма на съвременната математика - не разбираме какво, неясно защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, защото от трите нива на разлика математиците оперират само с едно. Ще бъде по-правилно да се научите как да преминавате от една мерна единица към друга.

И зайчетата, и патетата, и зверчетата могат да се броят на части. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво получавате, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.

Първи вариант. Ние определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличните пари. Получаваме общата стойност на нашето богатство в пари.

Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим количеството движимо имущество на части.

Както можете да видите, един и същ закон за събиране ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.

Но обратно към нашия борш. Сега можем да видим какво се случва кога различни значенияъгъл на линейни ъглови функции.

Ъгълът е нула. Имаме салата, но нямаме вода. Не можем да сготвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нула борш е нула вода. Нулевият борш може да бъде и при нулева салата (прав ъгъл).

За мен лично това е основното математическо доказателство за факта, че . Нулата не променя числото при добавяне. Това е така, защото самото добавяне е невъзможно, ако има само един член и вторият член липсва. Можете да се отнасяте към това както искате, но помнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете логиката си и глупаво натъпчете определенията, измислени от математиците: "делението на нула е невъзможно", "всяко число, умножено по нула е равно на нула" , "зад точката нула" и други глупости. Достатъчно е да запомните веднъж, че нулата не е число и никога няма да имате въпрос дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос обикновено губи всякакъв смисъл: как може да се смята за число това, което не е число . Все едно да питаш на кой цвят да припишеш невидим цвят. Добавянето на нула към число е като рисуване с боя, която не съществува. Те размахват суха четка и казват на всички, че "боядисахме". Но се отклоних малко.

Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но малко вода. В резултат на това получаваме гъст борш.

Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и маруля. Това е идеалният борш (да ме простят готвачите, това е просто математика).

Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко маруля. Вземете течен борш.

Прав ъгъл. Имаме вода. От марулята остават само спомени, докато продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е маркирала марулята. Не можем да сготвим борш. Количеството борш е нула. В такъв случай изчакайте и пийте вода, докато има)))

Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа и други истории, които ще са повече от подходящи тук.

Двамата приятели имаха своите дялове в общия бизнес. След убийството на единия всичко отиде при другия.

Появата на математиката на нашата планета.

Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно нека се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.

Събота, 26 октомври 2019 г

сряда, 7 август 2019 г

Завършвайки разговора за , трябва да разгледаме безкраен набор. Предадох, че понятието "безкрайност" действа на математиците като боа на заек. Трептящият ужас на безкрайността лишава математиците здрав разум. Ето един пример:

Първоизточникът е локализиран. Алфата означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкраен набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени по следния начин:

За да докажат визуално своя случай, математиците са измислили много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на танци на шамани с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите не са заети и в тях се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гостите (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гости, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво пренебрегнат, но това вече ще бъде от категорията „законът не е написан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.

Какво е "безкраен хотел"? Infinity inn е хан, който винаги има произволен брой свободни места, без значение колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор "за посетители" са заети, остава още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. В същото време „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците, от друга страна, не могат да се отдалечат от баналните битови проблеми: Бог-Аллах-Буда винаги е само един, хотелът е един, коридорът е само един. Така че математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да "бутнем ненатиснатото".

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа съществуват - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като ние сами сме измислили числата, в природата няма числа. Да, природата знае как да брои перфектно, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Както природата мисли, друг път ще ви кажа. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа съществуват. Обмислете и двата варианта, както подобава на истински учен.

Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ единичен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафт. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не останаха на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем единица от вече взетия комплект и да я върнем на рафта. След това можем да вземем единица от рафта и да я добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново получаваме безкраен набор от естествени числа. Можете да напишете всички наши манипулации така:

Записал съм операциите в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, като подробно изброявам елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същото.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на рафта. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Взимаме един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:

Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да бъде същият като оригиналния набор. Ако към едно безкрайно множество се добави друго безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементите на първите две множества.

Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин като линийка за измервания. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това вече ще бъде различна линия, не е равна на оригинала.

Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не сте на пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата часовете по математика, на първо място, формират у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това ни добавят умствени способности (или обратното, лишават ни от свободно мислене).

pozg.ru

Неделя, 4 август 2019 г

Пишех послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „... богат теоретична основаМатематиката на Вавилон нямаше холистичен характер и беше сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Слабо ли ни е да разглеждаме съвременната математика в същия контекст? Перифразирайки леко горния текст, лично аз получих следното:

Богатата теоретична база на съвременната математика няма холистичен характер и се свежда до набор от разнородни раздели, лишени от обща система и доказателствена база.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - тя има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цял цикъл от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. Ще се видим скоро.

Събота, 3 август 2019 г

Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания комплект. Нека разгледаме един пример.

Нека имаме много НОсъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на "хора". Нека обозначим елементите на това множество чрез буквата а, индексът с цифра ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "полов признак" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора НОна пола b. Забележете, че нашият набор „хора“ вече е станал набор „хора с пол“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови характеристики. Сега можем да приложим математически филтър: избираме една от тези сексуални характеристики, без значение кой е мъж или жена. Ако той присъства в човек, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава прилагаме обичайната училищна математика. Вижте какво стана.

След умножение, съкращения и пренареждане, получихме две подмножества: мъжкото подмножество bmи подгрупа от жени bw. Приблизително по същия начин разсъждават математиците, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни позволяват да навлезем в подробностите, а ни дават крайния резултат - "много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени." Естествено, може да имате въпрос, колко правилно е приложена математиката в горните трансформации? Смея да ви уверя, че всъщност трансформациите се извършват правилно, достатъчно е да знаете математическата обосновка на аритметиката, булевата алгебра и други раздели на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до супермножествата, възможно е да комбинирате два комплекта в един супермножество, като изберете мерна единица, която присъства в елементите на тези два комплекта.

Както можете да видите, мерните единици и общата математика правят теорията на множествата нещо от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците направиха това, което някога направиха шаманите. Само шаманите знаят как да прилагат "правилно" своите "знания". Това "знание" ни учат.

И накрая, искам да ви покажа как математиците манипулират.

Понеделник, 7 януари 2019 г

През пети век пр.н.е древногръцки философЗенон от Елея формулира известните си апории, най-известната от които е апорията „Ахил и костенурката“. Ето как звучи:

Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда крачки зад нея. През времето, през което Ахил изминава това разстояние, костенурката изпълзява стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил измине сто крачки, костенурката ще пропълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Гилберт... Всички те по един или друг начин са разглеждали апориите на Зенон. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и в момента, научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема ..."[Уикипедия," Апориите на Зенон "]. Всички разбират, че са заблудени, но никой не разбира каква е измамата.

От гледна точка на математиката, Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от стойността към. Този преход предполага прилагане вместо константи. Доколкото разбирам, математическият апарат за прилагане на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на обичайната ни логика ни вкарва в капан. Ние, по инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочното. От физическа гледна точка изглежда, че времето се забавя до пълно спиране в момента, в който Ахил настига костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да изпревари костенурката.

Ако обърнем логиката, с която сме свикнали, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил безкрайно бързо ще изпревари костенурката“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни стойности. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да измине хиляда крачки, костенурката пълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин крачки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за непреодолимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон "Ахил и костенурката". Предстои ни да проучим, преосмислим и решим този проблем. И решението трябва да се търси не безкрайно големи числа, но в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки момент летящата стрела се опира в различни точки в пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да се определи фактът на движение на автомобила, са необходими две снимки, направени от една и съща точка в различни моменти във времето, но те не могат да се използват за определяне на разстоянието. За да определите разстоянието до колата, ви трябват две снимки, направени от различни точкипространство в един момент от времето, но е невъзможно да се определи фактът на движение от тях (естествено, все още са необходими допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне). Това, което искам да отбележа по-специално, е, че две точки във времето и две точки в пространството са две различни неща, които не трябва да се бъркат, тъй като предоставят различни възможности за изследване.
Ще покажа процеса с пример. Избираме "червено твърдо вещество в пъпка" - това е нашето "цяло". В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от "цялото" и оформяме комплект "с лък". Ето как шаманите се изхранват, като обвързват своята теория за множествата с реалността.

Сега нека направим малък трик. Нека вземем "твърдо в пъпка с лък" и обединим тези "цяли" по цвят, избирайки червени елементи. Имаме много "червени". Сега един труден въпрос: получените комплекти "с лък" и "червен" един и същи комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така да бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червена плътна пъпка с лък". Оформянето се извършва според четири различни мерни единици: цвят (червено), здравина (твърдо), грапавост (в изпъкналост), декорации (с лък). Само набор от мерни единици дава възможност за адекватно описание на реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. В скоби са подчертани мерните единици, според които "цялото" се разпределя на предварителния етап. Извън скоби е извадена мерната единица, по която се формира комплектът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шаманите с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, аргументирайки го с „очевидност“, тъй като мерните единици не са включени в техния „научен“ арсенал.

С помощта на мерни единици е много лесно да разбиете един или да комбинирате няколко комплекта в един суперсет. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.

Информацията в тази статия формира Главна идеяотносно цели числа. Първо се дава дефиницията на цели числа и се дават примери. След това се разглеждат целите числа на числовата ос, от които става ясно кои числа се наричат ​​положителни цели и кои са отрицателни числа. След това се показва как промените в количествата се описват с цели числа, а отрицателните цели числа се разглеждат в смисъл на дълг.

Навигация в страницата.

Цели числа – определение и примери

Определение.

Цели числаса естествени числа, числото нула, както и числа, противоположни на естествените.

Дефиницията на целите числа гласи, че всяко от числата 1, 2, 3, …, числото 0, както и всяко от числата −1, −2, −3, … е цяло число. Сега можем лесно да донесем примери за цели числа. Например числото 38 е цяло число, числото 70040 също е цяло число, нулата е цяло число (припомнете си, че нулата НЕ е естествено число, нулата е цяло число), числата −999 , −1 , −8 934 832 също са примери за цели числа.

Удобно е всички цели числа да се представят като поредица от цели числа, която има следния вид: 0, ±1, ±2, ±3, … Последователността от цели числа може да бъде записана и по следния начин: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

От определението за цели числа следва, че множеството от естествени числа е подмножество от множеството от цели числа. Следователно всяко естествено число е цяло число, но не всяко цяло число е естествено число.

Цели числа на координатната права

Определение.

Цели положителни числаса цели числа, които са по-големи от нула.

Определение.

Цели отрицателни числаса цели числа, които са по-малки от нула.

Целите положителни и отрицателни числа също могат да бъдат определени от позицията им върху координатната права. На хоризонтална координатна линия точките, чиито координати са цели положителни числа, лежат вдясно от началото. От своя страна точките с отрицателни цели координати са разположени вляво от точка O .

Ясно е, че множеството от всички положителни цели числа е множеството от естествени числа. От своя страна множеството от всички отрицателни цели числа е множеството от всички числа, противоположни на естествените числа.

Отделно обръщаме внимание на факта, че спокойно можем да наречем всяко естествено число цяло и НЕ можем да наречем всяко цяло число естествено число. Можем да наречем естествено само всяко положително цяло число, тъй като отрицателните цели числа и нулата не са естествени.

Цели неположителни и цели неотрицателни числа

Нека дадем дефиниции на неположителни цели и неотрицателни цели числа.

Определение.

Всички положителни числа заедно с нула се наричат цели неотрицателни числа.

Определение.

Цели неположителни числавсички са отрицателни цели числа заедно с числото 0 .

С други думи, неотрицателно цяло число е цяло число, което е по-голямо или равно на нула, а неположително цяло число е цяло число, което е по-малко или равно на нула.

Примери за неположителни цели числа са числата -511, -10 030, 0, -2, а като примери за неотрицателни цели числа нека дадем числата 45, 506, 0, 900 321.

Най-често за краткост се използват термините "цели неположителни числа" и "цели неотрицателни числа". Например, вместо израза „числото a е цяло число, а a е по-голямо от нула или равно на нула“, можете да кажете „a е неотрицателно цяло число“.

Описание на променящите се стойности с помощта на цели числа

Време е да поговорим за какво служат целите числа.

Основната цел на целите числа е, че с тяхна помощ е удобно да се опише промяната в броя на всякакви елементи. Нека се справим с това с примери.

Да предположим, че има определено количество части на склад. Ако например в склада бъдат докарани още 400 части, тогава броят на частите в склада ще се увеличи, а числото 400 изразява тази промяна в количеството в положителна посока (в посока на увеличение). Ако например се вземат 100 части от склада, то броят на частите в склада ще намалее, а числото 100 ще изрази изменението на количеството в отрицателна посока (по посока на намаляване). Частите няма да бъдат доставени в склада и частите няма да бъдат изтеглени от склада, тогава можем да говорим за неизменност на броя на частите (т.е. можем да говорим за нулева промяна в количеството).

В дадените примери промяната в броя на частите може да се опише с целите числа 400 , −100 и 0, съответно. Положително цяло число 400 показва положителна промяна в количеството (увеличение). Отрицателното цяло число −100 изразява отрицателна промяна в количеството (намаляване). Цялото число 0 показва, че количеството не е променено.

Удобството при използване на цели числа в сравнение с използването на естествени числа е, че не е необходимо изрично да се указва дали количеството се увеличава или намалява - цялото число определя промяната количествено, а знакът на цялото число показва посоката на промяната.

Целите числа също могат да изразяват не само промяна в количеството, но и промяна в някаква стойност. Нека се справим с това, като използваме примера за промяна на температурата.

Повишаване на температурата с, да речем, 4 градуса се изразява като положително цяло число 4. Намаляване на температурата, например с 12 градуса, може да се опише с цяло отрицателно число −12. А инвариантността на температурата е нейното изменение, определено от цяло число 0.

Отделно трябва да се каже за тълкуването на отрицателните цели числа като размер на дълга. Например, ако имаме 3 ябълки, тогава положителното цяло число 3 представлява броя на ябълките, които притежаваме. От друга страна, ако трябва да дадем 5 ябълки на някого и не разполагаме с тях, тогава тази ситуация може да бъде описана с отрицателно цяло число −5. В този случай ние „притежаваме“ −5 ябълки, знакът минус показва дълг, а числото 5 определя дълга количествено.

Разбирането на отрицателно цяло число като дълг позволява например да се обоснове правилото за добавяне на отрицателни цели числа. Да вземем пример. Ако някой дължи 2 ябълки на един човек и една ябълка на друг, тогава общият дълг е 2+1=3 ябълки, така че −2+(−1)=−3 .

Библиография.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 клас: учебник за образователни институции.

За първи път отрицателните числа започват да се използват в древен Китай и Индия, в Европа те са въведени в математическа употреба от Никола Шуке (1484) и Михаел Щифел (1544).

Алгебрични свойства

$\backslash mathbb(Z)$не е затворен при деление на две цели числа (например 1/2). Следващата таблица илюстрира няколко основни свойства на събиране и умножение за всякакви цели числа. а, bи ° С.

|list5=Кардинални числа - Определено трябва да се прехвърлите в леглото, тук няма да е възможно ...
Пациентът беше толкова заобиколен от лекари, принцеси и слуги, че Пиер вече не виждаше онази червено-жълта глава със сива грива, която, въпреки факта, че виждаше други лица, не изчезваше нито за момент от погледа по време на цялата служба . От предпазливите движения на хората около стола Пиер предположи, че умиращият е вдигнат и носен.
„Дръж се за ръката ми, така ще я изпуснеш“, чу той уплашения шепот на един от слугите, „отдолу... още един“, казаха гласове и тежкото дишане и стъпване на краката на хората станаха по-бързи, сякаш товарът, който носеха, беше извън силите им.
Носачите, сред които беше Анна Михайловна, се изравниха с младия мъж и за миг иззад гърбовете и тиловете на хората се появиха високи, дебели, отворени гърди, дебелите рамене на пациента, повдигнати нагоре от хората, които го държат под мишниците, и сива къдрава лъвска глава. Тази глава с необикновено широко чело и скули, красива чувствена уста и величествен студен поглед не беше обезобразена от близостта на смъртта. Тя беше същата, каквато я познаваше Пиер преди три месеца, когато графът го пусна в Петербург. Но тази глава се клатеше безпомощно от неравните стъпки на носачите и студеният, безразличен поглед не знаеше къде да спре.
Край високото легло минаха няколко минути суетене; хората, носещи болния, се разотидоха. Анна Михайловна докосна ръката на Пиер и му каза: „Венец“. [Отидете.] Пиер заедно с нея се качиха до леглото, на което в празнична поза, очевидно свързана с току-що извършеното тайнство, беше положен болният. Той лежеше с глава, подпряна високо на възглавниците. Ръцете му бяха симетрично положени върху зелено копринено одеяло, с дланите надолу. Когато Пиер се приближи, графът го погледна право в него, но погледна с този поглед, чието значение и значение не може да бъде разбрано от човек. Или този поглед не казваше абсолютно нищо, само че, щом има очи, човек трябва да гледа някъде, или казваше твърде много. Пиер се спря, без да знае какво да прави, и погледна въпросително своята ръководителка Анна Михайловна. Анна Михайловна му направи припрян жест с поглед, като посочи ръката на болния и я целуна с устни. Пиер, усърдно изпънал врата си, за да не се закачи за одеялото, изпълни съвета й и целуна едрата й костеста и месеста ръка. Нито една ръка, нито едно мускулче от лицето на графа не трепна. Пиер отново погледна въпросително Анна Михайловна, сега питайки какво да прави. Анна Михайловна му посочи с поглед един стол, който стоеше до леглото. Пиер послушно започна да сяда на едно кресло, като продължаваше да пита с очи дали е направил каквото трябваше. Анна Михайловна кимна одобрително с глава. Пиер отново зае симетрично наивната поза на египетската статуя, очевидно съчувствайки, че тромавото му и дебело тяло заема толкова голямо пространство, и използвайки всичките си умствени сили, за да изглежда възможно най-малък. Той погледна графа. Графът погледна мястото, където беше лицето на Пиер, докато стоеше. Анна Михайловна, в своето положение, показа съзнание за трогателната важност на тази последна минута на среща между баща и син. Това продължи две минути, което на Пиер се стори цял час. Изведнъж в едрите мускули и бръчки на лицето на графа се появи тръпка. Тръпката се засили, красивата уста се изкриви (едва тогава Пиер разбра до каква степен баща му е близо до смъртта), от изкривената уста се чу неясно дрезгав звук. Анна Михайловна прилежно се вгледа в очите на пациента и, опитвайки се да отгатне от какво има нужда, посочи ту Пиер, ту питието, после шепнешком извика въпросително княз Василий, после посочи одеялото. В очите и лицето на пациента се изписа нетърпение. Той направи усилие да погледне слугата, който стоеше в горната част на леглото, без да си тръгва.
„Искат да се преобърнат на другата страна“, прошепна слугата и стана, за да обърне тежкото тяло на графа към стената.
Пиер стана, за да помогне на слугата.
Докато броячът се обръщаше, едната му ръка безпомощно падна назад и той направи напразни усилия да я издърпа. Дали графът забеляза онзи ужас, с който Пиер гледаше тази безжизнена ръка, или каква друга мисъл мина през умиращата му глава в този момент, но той погледна непокорната ръка, изражението на ужас в лицето на Пиер, отново ръка, а на лицето му имаше слаба, страдалческа усмивка, която не вървеше добре с чертите му, изразявайки сякаш подигравка към собственото му безсилие. Изведнъж при вида на тази усмивка Пиер усети тръпки в гърдите, щипка в носа и сълзи замъглиха зрението му. Пациентът беше обърнат на една страна към стената. Той въздъхна.
- Il est assoupi, [Той задряма] - каза Анна Михайловна, забелязвайки принцесата, която дойде да я смени. - Алънс. [Хайде да отидем до.]
Пиер си тръгна.