täisarvud ja kümnendikud. Täisarvud: üldine esitus

Selles artiklis määratleme täisarvude komplekti, kaalume, milliseid täisarve nimetatakse positiivseteks ja milliseid negatiivseteks. Samuti näitame, kuidas täisarve kasutatakse mõne suuruse muutuse kirjeldamiseks. Alustame täisarvude definitsiooni ja näidetega.

Täisarvud. Definitsioon, näited

Kõigepealt tuletame meelde naturaalarvud ℕ. Nimi ise viitab sellele, et tegemist on arvudega, mida on loomupäraselt kasutatud juba ammusest ajast. Täisarvude mõiste katmiseks peame naturaalarvude definitsiooni laiendama.

Definitsioon 1. Täisarvud

Täisarvud on naturaalarvud, nende vastandid ja arv null.

Täisarvude hulk on tähistatud tähega ℤ .

Naturaalarvude hulk ℕ on täisarvude ℤ alamhulk. Iga naturaalarv on täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.

Definitsioonist järeldub, et iga arv 1 , 2 , 3 on täisarv. . , arv 0, samuti numbrid -1, -2, -3,. .

Vastavalt sellele toome näiteid. Arvud 39 , - 589 , 10000000 , - 1596 , 0 on täisarvud.

Koordinaatjoon tõmmatakse horisontaalselt ja suunatakse paremale. Vaatame seda, et visualiseerida täisarvude asukohta sirgel.

Koordinaadijoone võrdluspunkt vastab arvule 0 ja nulli mõlemal küljel asuvad punktid vastavad positiivsetele ja negatiivsetele täisarvudele. Iga punkt vastab ühele täisarvule.

Iga punkti sirgel, mille koordinaat on täisarv, saab jõuda, jättes lähtepunktist kõrvale teatud arvu ühikulisi segmente.

Positiivsed ja negatiivsed täisarvud

Kõigist täisarvudest on loogiline eristada positiivseid ja negatiivseid täisarvusid. Anname nende määratlused.

Definitsioon 2. Positiivsed täisarvud

Positiivsed täisarvud on plussmärgiga täisarvud.

Näiteks arv 7 on plussmärgiga täisarv, st positiivne täisarv. Koordinaatjoonel asub see number võrdluspunktist paremal, mille arv on 0. Teised positiivsete täisarvude näited: 12 , 502 , 42 , 33 , 100500 .

Definitsioon 3. Negatiivsed täisarvud

Negatiivsed täisarvud on miinusmärgiga täisarvud.

Negatiivsete täisarvude näited: - 528 , - 2568 , - 1 .

Arv 0 eraldab positiivsed ja negatiivsed täisarvud ega ole ise positiivne ega negatiivne.

Iga arv, mis on positiivse täisarvu vastand, on definitsiooni järgi negatiivne täisarv. Tõsi on ka vastupidine. Iga negatiivse täisarvu pöördarvuks on positiivne täisarv.

Negatiivsete ja positiivsete täisarvude definitsioonide kohta on võimalik anda teisi formulatsioone, kasutades nende võrdlust nulliga.

Definitsioon 4. Positiivsed täisarvud

Positiivsed täisarvud on täisarvud, mis on suuremad kui null.

Definitsioon 5. Negatiivsed täisarvud

Negatiivsed täisarvud on täisarvud, mis on väiksemad kui null.

Sellest tulenevalt asuvad positiivsed arvud koordinaatjoone algpunktist paremal ja negatiivsed täisarvud nullist vasakul.

Varem ütlesime, et naturaalarvud on täisarvude alamhulk. Teeme selle punkti selgeks. Naturaalarvude hulk on positiivsed täisarvud. Negatiivsete täisarvude hulk on omakorda loomulikele vastandlike arvude hulk.

Tähtis!

Täisarvuks võib nimetada mis tahes naturaalarvu, kuid naturaalarvuks ei saa nimetada ühtegi täisarvu. Vastates küsimusele, kas nad on negatiivsed arvud loomulik, peate julgelt ütlema - ei, nad ei ole.

Mittepositiivsed ja mittenegatiivsed täisarvud

Anname definitsioonid.

Definitsioon 6. Mittenegatiivsed täisarvud

Mittenegatiivsed täisarvud on positiivsed täisarvud ja arv null.

Definitsioon 7. Mittepositiivsed täisarvud

Mittepositiivsed täisarvud on negatiivsed täisarvud ja arv null.

Nagu näete, pole number null positiivne ega negatiivne.

Mittenegatiivsete täisarvude näited: 52 , 128 , 0 .

Mittepositiivsete täisarvude näited: - 52 , - 128 , 0 .

Mittenegatiivne arv on nullist suurem või sellega võrdne arv. Sellest lähtuvalt on mittepositiivne täisarv arv, mis on nullist väiksem või sellega võrdne.

Mõisteid "mittepositiivne arv" ja "mitte-negatiivne arv" kasutatakse lühiduse huvides. Näiteks selle asemel, et öelda, et arv a on nullist suurem või sellega võrdne täisarv, võite öelda: a on mittenegatiivne täisarv.

Täisarvude kasutamine väärtuste muutuste kirjeldamisel

Milleks kasutatakse täisarve? Esiteks on nende abiga mugav kirjeldada ja määrata mis tahes objektide arvu muutust. Võtame näite.

Ladusse lasta teatud arv väntvõlle. Kui lattu tuuakse veel 500 väntvõlli, siis nende arv suureneb. Arv 500 lihtsalt väljendab osade arvu muutust (kasvu). Kui siis laost ära viia 200 detaili, siis see number hakkab iseloomustama ka väntvõllide arvu muutust. Seekord siis vähendamise suunas.

Kui laost midagi ei võeta ja midagi ei tuua, siis number 0 näitab osade arvu muutumatust.

Täisarvude kasutamise ilmselge mugavus, erinevalt naturaalarvudest, seisneb selles, et nende märk näitab selgelt suurusjärgu muutumise (suuruse suurenemise või vähenemise) suunda.

Temperatuuri langust 30 kraadi võrra saab iseloomustada negatiivse arvuga - 30 ja tõusu 2 kraadi võrra - positiivse täisarvuga 2.

Siin on veel üks näide täisarvude kasutamisest. Seekord kujutame ette, et peame kellelegi 5 münti kinkima. Siis võime öelda, et meil on - 5 münti. Number 5 kirjeldab võla suurust ja miinusmärk näitab, et peame mündid tagasi andma.

Kui võlgneme ühele inimesele 2 ja teisele 3 münti, saab koguvõla (5 münti) arvutada negatiivsete arvude liitmise reegliga:

2 + (- 3) = - 5

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Arve on mitut tüüpi, üks neist on täisarvud. Täisarvud ilmusid selleks, et oleks lihtsam lugeda mitte ainult positiivses, vaid ka negatiivses suunas.

Kaaluge näidet:
Päeval oli väljas 3 kraadi sooja. Õhtuks langes temperatuur 3 kraadi võrra.
3-3=0
Väljas oli 0 kraadi. Ja öösel langes temperatuur 4 kraadi võrra ja hakkas termomeetril näitama -4 kraadi.
0-4=-4

Täisarvude jada.

Sellist ülesannet ei saa kirjeldada naturaalarvudega, me käsitleme seda ülesannet koordinaatide sirgel.

Meil on rida numbreid:
…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

Seda numbrite jada nimetatakse täisarvude kõrval.

Positiivsed täisarvud. Terved negatiivsed arvud.

Täisarvude jada koosneb positiivsetest ja negatiivsetest arvudest. Nullist paremal on naturaalarvud või neid nimetatakse ka terved positiivsed numbrid. Ja nullist vasakule minna terved negatiivsed arvud.

Null ei ole positiivne ega negatiivne. See on piir positiivsete ja negatiivsete arvude vahel.

on arvude hulk, mis koosneb naturaalarvudest, negatiivsetest täisarvudest ja nullist.

Täisarvude jada positiivses ja negatiivses suunas on lõputu hulk.

Kui võtame suvalised kaks täisarvu, nimetatakse nende täisarvude vahelisi numbreid lõpukomplekt.

Näiteks:
Võtame täisarvud vahemikus -2 kuni 4. Kõik nende arvude vahel olevad arvud on kaasatud lõplikku hulka. Meie piiratud arvude komplekt näeb välja selline:
-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

Naturaalarvud on tähistatud ladina tähega N.
Täisarve tähistatakse ladina tähega Z. Joonisel saab kujutada kogu naturaalarvude ja täisarvude komplekti.


Mittepositiivsed täisarvud teisisõnu, need on negatiivsed täisarvud.
Mittenegatiivsed täisarvud on positiivsed täisarvud.

Lihtsamalt öeldes on need spetsiaalse retsepti järgi vees keedetud köögiviljad. Arvestan kahte algkomponenti (juurviljasalat ja vesi) ning lõpptulemuseks - borši. Geomeetriliselt võib seda kujutada ristkülikuna, mille üks pool tähistab salatit, teine ​​külg tähistab vett. Nende kahe külje summa tähistab borši. Sellise "borši" ristküliku diagonaal ja pindala on puhtalt matemaatilised mõisted ja neid ei kasutata kunagi borši retseptides.

Matemaatikaõpikutest ei leia lineaarsete nurkfunktsioonide kohta midagi. Kuid ilma nendeta ei saa olla matemaatikat. Matemaatikaseadused, nagu ka loodusseadused, töötavad olenemata sellest, kas me teame nende olemasolu või mitte.

Lineaarsed nurkfunktsioonid on liitmise seadused. Vaadake, kuidas algebra muutub geomeetriaks ja geomeetria trigonomeetriaks.

Kas on võimalik teha ilma lineaarsete nurkfunktsioonideta? Saab küll, sest matemaatikud saavad ikka ilma nendeta hakkama. Matemaatikute nipp seisneb selles, et nad räägivad meile alati ainult nendest probleemidest, mida nad ise suudavad lahendada, ega räägi kunagi nendest probleemidest, mida nad lahendada ei suuda. Vaata. Kui teame liitmise ja ühe liikme tulemust, kasutame teise liikme leidmiseks lahutamist. Kõik. Muid probleeme me ei tea ega oska neid lahendada. Mida teha, kui teame ainult liitmise tulemust ja ei tea mõlemat terminit? Sel juhul tuleb liitmise tulemus lineaarsete nurkfunktsioonide abil jagada kaheks liikmeks. Edasi valime ise, milline võib olla üks liige ja lineaarsed nurkfunktsioonid näitavad, milline peaks olema teine ​​liige, et liitmise tulemus oleks täpselt see, mida vajame. Selliseid terminipaare võib olla lõpmatult palju. AT Igapäevane elu me saame väga hästi ilma summat lagundamata, meile piisab lahutamisest. Kuid loodusseaduste teaduslikes uuringutes võib summa laiendamine terminiteks olla väga kasulik.

Teine liitmise seadus, millest matemaatikud rääkida ei armasta (teine ​​nende nipp), nõuab, et terminitel oleks sama mõõtühik. Salati, vee ja borši puhul võivad need olla kaalu-, mahu-, maksumus- või mõõtühikud.

Joonisel on kujutatud matemaatika kaks erinevuse taset. Esimene tase on numbrite välja erinevused, mis on näidatud a, b, c. Seda teevad matemaatikud. Teine tase on mõõtühikute pindala erinevused, mis on näidatud nurksulgudes ja tähistatud tähega U. Seda teevad füüsikud. Me saame aru kolmandast tasandist – kirjeldatud objektide ulatuse erinevustest. Erinevatel objektidel võib olla sama arv samu mõõtühikuid. Kui oluline see on, näeme borši trigonomeetria näitel. Kui lisada samale tähistusele erinevate objektide mõõtühikute jaoks alamindeksid, saame täpselt öelda, milline matemaatiline suurus konkreetset objekti kirjeldab ja kuidas see ajas või meie tegevusega seoses muutub. kiri W Märgistan vee kirjaga S Salati märgin kirjaga ära B- borš. Borši lineaarse nurga funktsioonid näeksid välja järgmised.

Kui võtame osa veest ja osa salatist, saab neist kokku üks portsjon borši. Siinkohal soovitan teil boršist veidi pausi teha ja meenutada oma kauget lapsepõlve. Mäletate, kuidas meid õpetati jänkusid ja parte kokku panema? Tuli välja selgitada, kui palju loomi välja tuleb. Mida meid siis tegema õpetati? Meile õpetati ühikuid arvudest eraldama ja numbreid liitma. Jah, mis tahes numbrit saab lisada mis tahes teisele numbrile. See on otsene tee moodsa matemaatika autismi juurde – me ei saa aru, millest, pole selge, miks ja me mõistame väga halvasti, kuidas see reaalsusega seostub, sest kolme erinevuse taseme tõttu tegutsevad matemaatikud ainult ühel. Õigem on õppida, kuidas ühest mõõtühikust teise liikuda.

Ja jänkusid, parte ja väikseid loomi võib tükkideks lugeda. Üks ühine mõõtühik erinevate objektide jaoks võimaldab meil need kokku liita. See on probleemi lastele mõeldud versioon. Vaatame sarnast probleemi täiskasvanutele. Mida saate, kui lisate jänesed ja raha? Siin on kaks võimalikku lahendust.

Esimene variant. Määrame jänkude turuväärtuse ja lisame selle olemasolevale sularahale. Saime oma rikkuse koguväärtuse rahas.

Teine variant. Meil olevate rahatähtede arvule saate lisada jänkude arvu. Vallasvara koguse saame kätte tükkidena.

Nagu näete, võimaldab sama liitmisseadus saada erinevaid tulemusi. Kõik sõltub sellest, mida me täpselt teada tahame.

Aga tagasi meie borši juurde. Nüüd saame näha, mis millal juhtub erinevaid tähendusi lineaarsete nurkfunktsioonide nurk.

Nurk on null. Meil on salat, aga vett pole. Me ei saa borši keeta. Borši kogus on samuti null. See ei tähenda sugugi, et nullborš võrdub null veega. Nullborš võib olla ka nulli salatiga (täisnurga all).

Minu jaoks isiklikult on see peamine matemaatiline tõend selle kohta, et . Null lisamisel numbrit ei muuda. Seda seetõttu, et liitmine iseenesest on võimatu, kui on ainult üks liige ja teine ​​liige puudub. Võite sellega suhestuda nii nagu soovite, kuid pidage meeles - kõik nulliga matemaatilised tehted on matemaatikute endi väljamõeldud, nii et loobuge oma loogikast ja topige rumalalt matemaatikute leiutatud määratlusi: "nulliga jagamine on võimatu", "mis tahes arv korrutatakse nulliga". võrdub nulliga" , "nullpunkti taga" ja muu jama. Piisab, kui meenutada üks kord, et null ei ole arv ja sul ei teki kunagi küsimust, kas null on naturaalarv või mitte, sest selline küsimus kaotab üldjuhul igasuguse tähenduse: kuidas saab pidada arvuks seda, mis ei ole arv . See on nagu küsimine, millisele värvile nähtamatut värvi omistada. Nulli lisamine numbrile on nagu maalimine värviga, mida pole olemas. Nad lehvitasid kuiva pintsliga ja ütlevad kõigile, et "me oleme maalinud". Aga ma kaldun veidi kõrvale.

Nurk on suurem kui null, kuid väiksem kui nelikümmend viis kraadi. Meil on palju salatit, aga vähe vett. Selle tulemusena saame paksu borši.

Nurk on nelikümmend viis kraadi. Vett ja salatit on meil võrdses koguses. See on ideaalne borš (andku kokad mulle andeks, see on lihtsalt matemaatika).

Nurk on suurem kui nelikümmend viis kraadi, kuid väiksem kui üheksakümmend kraadi. Meil on palju vett ja vähe salatit. Võtke vedel borš.

Täisnurk. Meil on vett. Salatist on jäänud vaid mälestused, kuna jätkame nurga mõõtmist joonelt, mis kunagi salatit tähistas. Me ei saa borši keeta. Borši kogus on null. Sellisel juhul hoidke kinni ja jooge vett, kuni see on saadaval)))

Siin. Midagi sellist. Ma võin siin rääkida muid lugusid, mis on siinkohal enam kui sobivad.

Kahel sõbral olid ühises äris osalused. Pärast ühe neist mõrva läks kõik teisele.

Matemaatika tekkimine meie planeedil.

Kõik need lood räägitakse matemaatika keeles lineaarsete nurkfunktsioonide abil. Mõni teine ​​kord näitan teile nende funktsioonide tegelikku kohta matemaatika struktuuris. Vahepeal pöördume tagasi borši trigonomeetria juurde ja kaalume projektsioone.

Laupäeval, 26. oktoobril 2019

Kolmapäeval, 7. augustil 2019

Vestlust teemal lõpetuseks peame arvestama lõpmatu hulgaga. Arvestades, et "lõpmatuse" kontseptsioon mõjub matemaatikutele nagu boa ahendaja küülikule. Lõpmatuse värisev õudus jätab matemaatikud ilma terve mõistus. Siin on näide:

Algallikas asub. Alfa tähistab reaalarvu. Võrdsusmärk ülaltoodud avaldistes näitab, et kui liita lõpmatusele arv või lõpmatus, ei muutu midagi, tulemuseks on sama lõpmatus. Kui võtame näitena lõpmatu hulga naturaalarvusid, saab vaadeldavaid näiteid esitada järgmiselt:

Oma väite visuaalseks tõestamiseks on matemaatikud välja pakkunud palju erinevaid meetodeid. Mina isiklikult vaatan kõiki neid meetodeid kui šamaanide tantse parmupillidega. Sisuliselt taanduvad need kõik sellele, et kas osades tubades ei asutata ja neisse seatakse sisse uued külalised või visatakse osa külastajatest välja koridori, et külalistele ruumi teha (väga inimlikult). Esitasin oma vaate sellistele otsustele fantastilise loona Blondist. Millel minu arutluskäik põhineb? Lõpmatu arvu külastajate teisaldamine võtab lõpmatult palju aega. Pärast seda, kui oleme esimese külalistetoa vabastanud, kõnnib üks külastajatest aegade lõpuni alati mööda koridori oma toast järgmisse. Muidugi võib ajafaktorit rumalalt ignoreerida, aga see tuleb juba kategooriast "seadus pole lollidele kirjutatud". Kõik sõltub sellest, mida me teeme: kohandame reaalsust matemaatiliste teooriatega või vastupidi.

Mis on "lõpmatu hotell"? Infinity võõrastemaja on võõrastemaja, kus on alati suvaline arv vabu kohti, olenemata sellest, kui palju tube on hõivatud. Kui lõputus koridoris "külastajate jaoks" on kõik ruumid hõivatud, on veel üks lõputu esik, kus on ruumid "külalistele". Selliseid koridore tuleb lõputult palju. Samal ajal on "lõpmatul hotellil" lõpmatu arv korruseid lõpmatul arvul hoonetel lõpmatul arvul planeetidel lõpmatul arvul universumitel, mille on loonud lõpmatu arv jumalaid. Matemaatikud seevastu ei suuda eemalduda banaalsetest igapäevaprobleemidest: Jumal-Allah-Buddha on alati ainult üks, hotell on üks, koridor on ainult üks. Nii püüavad matemaatikud žongleerida hotellitubade seerianumbritega, veendes meid, et on võimalik "tõukamata lükata".

Näitan teile oma mõttekäigu loogikat lõpmatu naturaalarvude hulga näitel. Kõigepealt peate vastama väga lihtsale küsimusele: mitu naturaalarvude komplekti on olemas - üks või mitu? Sellele küsimusele pole õiget vastust, kuna me ise leiutasime numbrid, siis looduses numbreid pole. Jah, loodus teab, kuidas arvutada suurepäraselt, kuid selleks kasutab ta muid matemaatilisi tööriistu, mis pole meile tuttavad. Nagu Loodus arvab, räägin teile teine ​​kord. Kuna me arvud leiutasime, otsustame ise, mitu naturaalarvude komplekti eksisteerib. Kaaluge mõlemat võimalust, nagu tõelisele teadlasele kohane.

Variant üks. "Andke meile" üks naturaalarvude komplekt, mis lebab rahulikult riiulil. Võtame selle komplekti riiulilt. See selleks, muid naturaalarve pole riiulile jäänud ja neid pole kuskilt võtta. Me ei saa seda komplekti lisada, kuna see on meil juba olemas. Mis siis, kui sa tõesti tahad? Pole probleemi. Võime võtta ühiku juba võetud komplektist ja tagastada riiulile. Pärast seda saame riiulilt ühiku võtta ja lisada sellele, mis meil üle jääb. Selle tulemusena saame jälle lõpmatu hulga naturaalarvusid. Kõik meie manipulatsioonid saate kirjutada järgmiselt:

Olen kirja pannud tehted algebralises tähistuses ja hulgateoorias tähistuses, loetledes detailselt hulga elemendid. Alamindeks näitab, et meil on üks ja ainus naturaalarvude komplekt. Selgub, et naturaalarvude hulk jääb muutumatuks vaid siis, kui sellest üks lahutada ja samasugune liita.

Variant kaks. Meil on riiulil palju erinevaid lõpmatuid naturaalarvude komplekte. Rõhutan – ERINEVAD, hoolimata sellest, et neid praktiliselt ei erista. Võtame ühe neist komplektidest. Seejärel võtame ühe teisest naturaalarvude hulgast ja lisame selle juba võetud hulgale. Saame isegi lisada kaks naturaalarvude komplekti. Siin on see, mida me saame:

Alamindeksid "üks" ja "kaks" näitavad, et need elemendid kuulusid erinevatesse kogumitesse. Jah, kui lisate ühe lõpmatusse hulka, on tulemuseks samuti lõpmatu hulk, kuid see ei ole sama, mis algne hulk. Kui lisada üks lõpmatu hulk teisele lõpmatule hulgale, on tulemuseks uus lõpmatu hulk, mis koosneb kahe esimese hulga elementidest.

Naturaalarvude komplekti kasutatakse loendamisel samamoodi nagu mõõtmisjoonlauda. Kujutage nüüd ette, et olete joonlauale lisanud ühe sentimeetri. See on juba erinev rida, mis ei võrdu originaaliga.

Võite minu arutluskäiguga nõustuda või mitte nõustuda – see on teie enda asi. Kuid kui teil tekib kunagi matemaatilisi probleeme, mõelge, kas olete matemaatikute põlvkondade poolt tallatud valede arutluste teel. Matemaatikatunnid kujundavad ju meis ennekõike stabiilse mõtlemise stereotüübi ja alles siis lisavad meile vaimseid võimeid (või vastupidi, jätavad ilma vaba mõtlemise).

pozg.ru

Pühapäeval, 4. augustil 2019

Kirjutasin järelsõna artiklile ja nägin Vikipeedias seda imelist teksti:

Loeme: „... rikas teoreetiline taust Babüloni matemaatika ei olnud terviklik ja taandati erinevate tehnikate kogumiks, millel puudus ühine süsteem ja tõendusbaas.

Vau! Kui targad me oleme ja kui hästi oskame näha teiste puudujääke. Kas meie jaoks on nõrk vaadata kaasaegset matemaatikat samas kontekstis? Ülaltoodud teksti pisut parafraseerides sain isiklikult järgmise:

Kaasaegse matemaatika rikkalikul teoreetilisel baasil ei ole terviklikku iseloomu ja see on taandatud erinevateks osadeks, millel puudub ühine süsteem ja tõendusbaas.

Ma ei lähe oma sõnade kinnituseks kaugele – sellel on keel ja kokkulepped, mis erinevad paljude teiste matemaatikaharude keelest ja tavadest. Samadel nimedel võib erinevates matemaatikaharudes olla erinev tähendus. Tahan pühendada terve tsükli publikatsioone kaasaegse matemaatika kõige ilmsematele vigadele. Varsti näeme.

Laupäeval, 3. augustil 2019

Kuidas jagada hulk alamhulkadeks? Selleks tuleb sisestada uus mõõtühik, mis on mõnes valitud komplekti elemendis olemas. Kaaluge näidet.

Olgu meil palju AGA koosneb neljast inimesest. See komplekt on moodustatud "inimeste" alusel. Märgime selle komplekti elemendid tähe kaudu a, näitab numbriga alaindeks iga selles komplektis oleva isiku järjekorranumbrit. Võtame kasutusele uue mõõtühiku "seksuaalomadus" ja tähistame seda tähega b. Kuna seksuaalsed omadused on omased kõigile inimestele, korrutame komplekti iga elemendi AGA soo kohta b. Pange tähele, et meie komplektist "inimesed" on nüüd saanud "sooga inimeste" komplekt. Pärast seda saame seksuaalomadused jagada meesteks bm ja naiste omad bw soolised omadused. Nüüd saame rakendada matemaatilist filtrit: valime ühe neist seksuaalomadustest, pole vahet, kumb on mees või naine. Kui see on inimesel olemas, siis korrutame selle ühega, kui sellist märki pole, korrutame nulliga. Ja siis rakendame tavalist koolimatemaatikat. Vaata, mis juhtus.

Pärast korrutamist, vähendamist ja ümberkorraldamist saime kaks alamhulka: meessoost alamhulk bm ja naiste alamhulk bw. Umbes samamoodi arutlevad matemaatikud, kui nad rakendavad hulgateooriat praktikas. Kuid nad ei lase meid üksikasjadesse, vaid annavad meile lõpptulemuse – "palju inimesi koosneb meeste alamhulgast ja naiste alamhulgast." Loomulikult võib teil tekkida küsimus, kui õigesti rakendati matemaatikat ülaltoodud teisendustes? Julgen kinnitada, et tegelikult on teisendused tehtud õigesti, piisab aritmeetika, Boole'i ​​algebra ja teiste matemaatika osade matemaatilise põhjenduse teadmisest. Mis see on? Mõni teine ​​kord räägin teile sellest.

Mis puutub superhulkadesse, siis on võimalik ühendada kaks komplekti üheks superkomplektiks, valides mõõtühiku, mis esineb nende kahe hulga elementides.

Nagu näete, muudavad mõõtühikud ja tavaline matemaatika hulgateooria minevikku. Märk sellest, et hulgateooriaga pole kõik korras, on see, et matemaatikud on välja mõelnud oma keele ja tähistuse hulgateooria jaoks. Matemaatikud tegid seda, mida kunagi tegid šamaanid. Ainult šamaanid teavad, kuidas oma "teadmisi" "õigesti" rakendada. Seda "teadmist" nad meile õpetavad.

Lõpuks tahan teile näidata, kuidas matemaatikud manipuleerivad .

Esmaspäeval, 7. jaanuaril 2019

Viiendal sajandil eKr Vana-Kreeka filosoof Elea Zenon sõnastas oma kuulsad apooriad, millest tuntuim on apooria "Achilleus ja kilpkonn". See kõlab järgmiselt:

Oletame, et Achilleus jookseb kümme korda kiiremini kui kilpkonn ja on sellest tuhat sammu maas. Aja jooksul, mil Achilleus selle distantsi läbib, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Kui Achilleus on sada sammu jooksnud, roomab kilpkonn veel kümme sammu jne. Protsess jätkub lõputult, Achilleus ei jõua kunagi kilpkonnale järele.

See arutluskäik sai loogiliseks šokiks kõigile järgnevatele põlvkondadele. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Kõik nad pidasid ühel või teisel viisil Zenoni apooriaks. Šokk oli nii tugev, et " ... arutelud jätkuvad ka praegu, teadlaskonnal pole veel õnnestunud jõuda ühisele arvamusele paradokside olemuse kohta ... teema uurimisse kaasati matemaatiline analüüs, hulgateooria, uued füüsikalised ja filosoofilised lähenemised ; ükski neist ei saanud probleemile üldtunnustatud lahendust ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Kõik saavad aru, et neid lollitatakse, aga keegi ei saa aru, milles see pettus seisneb.

Matemaatika seisukohalt näitas Zenon oma apoorias selgelt üleminekut väärtuselt väärtusele. See üleminek eeldab konstantide asemel rakendamist. Minu arusaamist mööda pole muutuvate mõõtühikute rakendamise matemaatilist aparaati kas veel välja töötatud või pole seda Zenoni apooriale rakendatud. Meie tavapärase loogika rakendamine viib meid lõksu. Me rakendame mõtlemise inertsist vastastikusele konstantsed ajaühikud. Füüsilisest vaatenurgast näeb see välja nagu aja aeglustumine, kuni see peatub täielikult hetkel, mil Achilleus jõuab kilpkonnale järele. Kui aeg peatub, ei saa Achilleus enam kilpkonnast mööduda.

Kui pöörame harjunud loogikat, loksub kõik paika. Achilleus jookseb ühtlase kiirusega. Selle tee iga järgmine lõik on kümme korda lühem kui eelmine. Sellest tulenevalt on selle ületamiseks kulunud aeg kümme korda väiksem kui eelmisel. Kui rakendame selles olukorras mõistet "lõpmatus", siis oleks õige öelda "Achilleus ületab lõpmatult kiiresti kilpkonna".

Kuidas seda loogilist lõksu vältida? Jääge konstantsetesse ajaühikutesse ja ärge lülituge vastastikustele väärtustele. Zenoni keeles näeb see välja järgmine:

Aja jooksul, mis kulub Achilleuse tuhande sammu jooksmiseks, roomab kilpkonn sada sammu samas suunas. Järgmise ajaintervalli jooksul, mis on võrdne esimesega, jookseb Achilleus veel tuhat sammu ja kilpkonn roomab sada sammu. Nüüd on Achilleus kilpkonnast kaheksasada sammu ees.

See lähenemine kirjeldab adekvaatselt tegelikkust ilma loogiliste paradoksideta. Kuid see pole probleemi täielik lahendus. Einsteini väide valguse kiiruse ületamatusest on väga sarnane Zenoni apooriaga "Achilleus ja kilpkonn". Seda probleemi tuleb veel uurida, ümber mõelda ja lahendada. Ja lahendust tuleb otsida mitte lõputult suured numbrid, vaid mõõtühikutes.

Veel üks Zenoni huvitav apooria räägib lendavast noolest:

Lendav nool on liikumatu, kuna igal ajahetkel on ta puhkeolekus ja kuna ta on igal ajahetkel puhkab, siis on ta alati puhkeolekus.

Selles apoorias ületatakse loogiline paradoks väga lihtsalt - piisab, kui selgitada, et igal ajahetkel puhkab lendav nool ruumi erinevates punktides, mis tegelikult on liikumine. Siin tuleb märkida veel üks punkt. Ühe maanteel oleva auto foto järgi on võimatu kindlaks teha ei selle liikumise fakti ega kaugust selleni. Auto liikumise fakti kindlakstegemiseks on vaja kahte ühest ja samast punktist erinevatel ajahetkedel tehtud fotot, kuid nende abil ei saa kaugust määrata. Auto kauguse määramiseks vajate korraga kahte erinevatest ruumipunktidest tehtud fotot, kuid te ei saa nende järgi kindlaks teha liikumise fakti (loomulikult vajate arvutusteks siiski lisaandmeid, trigonomeetria aitab teid) . Eriti tahan rõhutada, et kaks ajapunkti ja kaks punkti ruumis on kaks erinevat asja, mida ei tohiks segi ajada, kuna need pakuvad erinevaid uurimisvõimalusi.
Toon protsessi näitega. Valime "punane tahke vistrikus" - see on meie "tervik". Samas näeme, et need asjad on vibuga ja on ilma vibuta. Pärast seda valime osa "tervikust" ja moodustame komplekti "kaabuga". Nii toidavad šamaanid end, sidudes oma hulgateooria tegelikkusega.

Teeme nüüd väikese triki. Võtame "tahke vibuga vistrikuga" ja ühendame need "tervikud" värvi järgi, valides punased elemendid. Saime palju "punast". Nüüd keeruline küsimus: kas saadud komplektid "kaabuga" ja "punane" on sama komplekt või kaks erinevat komplekti? Ainult šamaanid teavad vastust. Täpsemalt ei tea nad ise midagi, aga nagu öeldakse, nii on.

See lihtne näide näitab, et hulgateooria on tegelikkuses täiesti kasutu. Mis on saladus? Moodustasime komplekti "kaabuga punane tahke vistrik". Moodustamine toimus nelja erineva mõõtühiku järgi: värvus (punane), tugevus (solid), karedus (konarus), kaunistused (kaabuga). Ainult mõõtühikute kogum võimaldab matemaatika keeles adekvaatselt kirjeldada reaalseid objekte. See näeb välja järgmiselt.

Erinevate indeksitega täht "a" tähistab erinevaid mõõtühikuid. Sulgudes on esile tõstetud mõõtühikud, mille järgi "tervik" eraldatakse eeletapis. Mõõtühik, mille järgi komplekt moodustatakse, võetakse sulgudest välja. Viimane rida näitab lõpptulemust – komplekti elementi. Nagu näete, kui me kasutame hulga moodustamiseks mõõtühikuid, siis tulemus ei sõltu meie tegevuste järjekorrast. Ja see on matemaatika, mitte šamaanide tantsud tamburiinidega. Šamaanid võivad "intuitiivselt" jõuda samale tulemusele, argumenteerides seda "ilmselgusega", sest nende "teaduslikku" arsenali ei sisalda mõõtühikud.

Mõõtühikute abil on väga lihtne jagada üks või mitu komplekti üheks superkomplektiks kombineerida. Vaatame lähemalt selle protsessi algebrat.

Selles artiklis sisalduv teave vormib üldine idee umbes täisarvud. Esiteks antakse täisarvude definitsioon ja tuuakse näiteid. Järgmisena vaadeldakse arvureal olevaid täisarve, millest selgub, milliseid numbreid nimetatakse positiivseteks ja milliseid negatiivseteks täisarvudeks. Pärast seda näidatakse, kuidas kirjeldatakse suuruste muutusi täisarvude abil ja negatiivseid täisarvusid käsitletakse võla tähenduses.

Leheküljel navigeerimine.

Täisarvud – määratlus ja näited

Definitsioon.

Täisarvud on naturaalarvud, arv null, samuti naturaalarvudele vastupidised arvud.

Täisarvude definitsioon ütleb, et kõik arvud 1, 2, 3, …, arv 0 ja ka kõik arvud −1, −2, −3, … on täisarv. Nüüd saame lihtsalt tuua täisarvu näited. Näiteks arv 38 on täisarv, arv 70 040 on samuti täisarv, null on täisarv (tuletage meelde, et null EI OLE naturaalarv, null on täisarv), arvud −999 , −1 , −8 934 832 on ka täisarvude näited.

Kõik täisarvud on mugav esitada täisarvude jadana, millel on järgmine kuju: 0, ±1, ±2, ±3, … Täisarvude jada saab kirjutada ka järgmiselt: …, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …

Täisarvude definitsioonist järeldub, et naturaalarvude hulk on täisarvude hulga alamhulk. Seetõttu on iga naturaalarv täisarv, kuid mitte iga täisarv pole naturaalarv.

Täisarvud koordinaatjoonel

Definitsioon.

Positiivsed täisarvud on täisarvud, mis on suuremad kui null.

Definitsioon.

Negatiivsed täisarvud on täisarvud, mis on väiksemad kui null.

Täisarvulisi positiivseid ja negatiivseid arve saab määrata ka nende asukoha järgi koordinaatjoonel. Horisontaalsel koordinaatjoonel asuvad punktid, mille koordinaadid on positiivsed täisarvud, lähtepunktist paremal. Negatiivsete täisarvuliste koordinaatidega punktid asuvad omakorda punktist O vasakul.

On selge, et kõigi positiivsete täisarvude hulk on naturaalarvude hulk. Kõikide negatiivsete täisarvude hulk on omakorda kõigi naturaalarvudele vastandlike arvude hulk.

Eraldi juhime teie tähelepanu tõsiasjale, et igat naturaalarvu saame julgelt nimetada täisarvuks ja me EI saa nimetada ühtegi täisarvu naturaalarvuks. Looduslikuks saame nimetada ainult mis tahes positiivset täisarvu, kuna negatiivsed täisarvud ja null ei ole loomulikud.

Mittepositiivsed täisarvud ja mittenegatiivsed täisarvud

Anname mittepositiivsete ja mittenegatiivsete täisarvude definitsioonid.

Definitsioon.

Nimetatakse kõik positiivsed täisarvud koos nulliga täisarv mittenegatiivsed arvud.

Definitsioon.

Mittepositiivsed täisarvud on kõik negatiivsed täisarvud koos arvuga 0 .

Teisisõnu, mittenegatiivne täisarv on täisarv, mis on suurem või võrdne nulliga, ja mittepositiivne täisarv on täisarv, mis on nullist väiksem või sellega võrdne.

Mittepositiivsete täisarvude näideteks on numbrid -511, -10 030, 0, -2 ning mittenegatiivsete täisarvude näidetena tuuakse numbrid 45, 506, 0, 900 321.

Kõige sagedamini kasutatakse lühiduse huvides termineid "mittepositiivsed täisarvud" ja "mitte-negatiivsed täisarvud". Näiteks fraasi "arv a on täisarv ja a on suurem kui null või võrdne nulliga" asemel võite öelda "a on mittenegatiivne täisarv".

Väärtuste muutmise kirjeldus täisarvude abil

On aeg rääkida sellest, mille jaoks on täisarvud.

Täisarvude põhieesmärk on see, et nende abil on mugav kirjeldada mis tahes üksuste arvu muutust. Käsitleme seda näidete abil.

Oletame, et laos on teatud hulk osi. Kui lattu tuuakse näiteks 400 detaili juurde, siis osade arv laos suureneb ja number 400 väljendab seda koguse muutust positiivses suunas (kasvu suunas). Kui laost võetakse näiteks 100 osa, siis osade arv laos väheneb ja number 100 väljendab koguse muutust negatiivses suunas (vähenemise suunas). Osasid lattu ei tooda ja laost ära ei viida, siis saab rääkida osade arvu muutumisest (ehk siis saab rääkida koguse nullmuutusest).

Toodud näidetes saab osade arvu muutust kirjeldada täisarvude 400 , −100 ja 0 abil. Positiivne täisarv 400 näitab koguse positiivset muutust (kasvu). Negatiivne täisarv −100 väljendab koguse negatiivset muutust (vähenemist). Täisarv 0 näitab, et kogus ei ole muutunud.

Täisarvude kasutamise mugavus võrreldes naturaalarvude kasutamisega seisneb selles, et pole vaja selgesõnaliselt näidata, kas kogus kasvab või väheneb – täisarv määrab muutuse kvantitatiivselt ja täisarvu märk näitab muutuse suunda.

Täisarvud võivad väljendada ka mitte ainult koguse muutust, vaid ka mõne väärtuse muutust. Käsitleme seda temperatuurimuutuse näitel.

Temperatuuri tõusu näiteks 4 kraadi võrra väljendatakse positiivse täisarvuna 4 . Temperatuuri langust näiteks 12 kraadi võrra saab kirjeldada negatiivse täisarvuga −12. Ja temperatuuri invariantsus on selle muutus, mis on määratud täisarvuga 0.

Eraldi tuleb öelda negatiivsete täisarvude tõlgendamise kohta võlasummana. Näiteks kui meil on 3 õuna, siis positiivne täisarv 3 tähistab meile kuuluvate õunte arvu. Teisest küljest, kui me peame kellelegi andma 5 õuna, kuid meil pole neid käepärast, saab seda olukorda kirjeldada negatiivse täisarvuga −5. Sel juhul "omame" −5 õuna, miinusmärk tähistab võlga ja number 5 määrab võla suuruse.

Negatiivse täisarvu mõistmine võlana võimaldab näiteks põhjendada negatiivsete täisarvude liitmise reeglit. Võtame näite. Kui keegi võlgneb ühele inimesele 2 õuna ja teisele ühe õuna, siis on võlg kokku 2+1=3 õuna, seega −2+(−1)=−3 .

Bibliograafia.

• Vilenkin N.Ya. jne Matemaatika. 6. klass: õpik õppeasutustele.

Esimest korda hakati negatiivseid arve kasutama Vana-Hiinas ja Indias, Euroopas võtsid need matemaatikas kasutusele Nicolas Shuquet (1484) ja Michael Stiefel (1544).

Algebralised omadused

$\backslash mathbb(Z)$ ei ole suletud kahe täisarvu jagamisel (näiteks 1/2). Järgmine tabel illustreerib mis tahes täisarvude liitmise ja korrutamise mitmeid põhiomadusi. a, b ja c.

|list5=Kardinaalnumbrid - Kindlasti tuleks voodisse ümber istuda, siin pole see võimalik ...
Haige mees oli arstidest, printsessidest ja teenijatest nii ümbritsetud, et Pierre ei näinud enam seda punakaskollast halli lakkaga pead, mis vaatamata sellele, et ta nägi teisi nägusid, ei kadunud hetkekski silmist kogu aja jooksul. teenust. Pierre aimas tooli ümbritsevate inimeste ettevaatlikust liikumisest, et surevat meest tõsteti ja kantakse.
"Hoia mu käest kinni, sa kukutad selle nii maha," kuulis ta ühe teenistuja hirmunud sosinat, "altpoolt ... veel üks," kostis hääli ning inimeste raske hingamine ja sammud muutusid. rutakamad, nagu oleks nende koorem üle jõu käiv.
Kandjad, kelle hulgas oli ka Anna Mihhailovna, tõmbasid noormehega ühele poole ning hetkeks inimeste selja ja kukla tagant tõusis kõrge, paks, lahtine rind, haige paksud õlad, mida tõstis ülespoole. inimesed, kes teda kaenla all hoidsid, ja hallipäine lokkis lõvipea. Seda ebatavaliselt laia lauba ja põsesarnadega pead, kauni sensuaalse suu ja majesteetliku külma ilmega pead ei moonutanud surma lähedus. Ta oli sama, keda Pierre tundis kolm kuud tagasi, kui krahv lasi tal Peterburi minna. Kuid see pea kõikus abitult kandjate ebatasastest sammudest ja külm, ükskõikne pilk ei teadnud, kus peatuda.
Kõrge voodi juures möödus mõni minut askeldamist; haiget kandnud inimesed läksid laiali. Anna Mihhailovna puudutas Pierre'i kätt ja ütles talle: "Venezi." [Mine.] Pierre läks koos temaga üles voodi juurde, mille peale haige mees pandi pidulikus poosis, mis oli ilmselt seotud just läbiviidud sakramendiga. Ta lamas, pea toetatud kõrgele patjadele. Tema käed olid sümmeetriliselt rohelisele siidtekile laotatud, peopesad allapoole. Kui Pierre lähenes, vaatas krahv talle otse otsa, kuid vaatas selle pilguga, mille tähendust ja tähendust inimene ei mõista. Kas see pilk ei öelnud absoluutselt mitte midagi, ainult seda, et seni, kuni on silmi, tuleb kuhugi vaadata, või ütles see liiga palju. Pierre peatus, teadmata, mida teha, ja vaatas küsivalt oma juhile Anna Mihhailovnale. Anna Mihhailovna tegi talle silmadega kiirustades žesti, osutas patsiendi käele ja suudles seda huultega. Pierre püüdlikult kaela sirutades, et mitte teki külge kinni jääda, täitis tema nõuannet ja suudles tema suure kondiga ja lihakat kätt. Ei värisenud krahvi käsi, mitte ükski näolihas. Pierre vaatas uuesti küsivalt Anna Mihhailovna poole, küsides nüüd, mida ta peaks tegema. Anna Mihhailovna osutas talle oma silmadega voodi kõrval seisvale toolile. Pierre asus kuulekalt tugitoolile istuma, uurides jätkuvalt silmadega, kas ta on teinud, mida vaja. Anna Mihhailovna noogutas tunnustavalt pead. Pierre asus taas Egiptuse kuju sümmeetriliselt naiivsele positsioonile, avaldades ilmselt kaastunnet, et tema kohmakas ja paks keha võttis nii suure ruumi, ning kasutas kogu oma vaimset jõudu, et näida võimalikult väike. Ta vaatas krahvile otsa. Krahv vaatas seistes kohta, kus oli Pierre'i nägu. Oma ametikohal Anna Mihhailovna mõistis isa ja poja kohtumise viimase minuti liigutavat tähtsust. See kestis kaks minutit, mis tundus Pierre'ile tund. Järsku tekkis krahvi suurtesse lihastesse ja kortsudesse värin. Värisemine tugevnes, ilus suu väändus (alles siis sai Pierre aru, mil määral on isa surma lähedal), väänatud suust kostis ebaselge kähe hääl. Anna Mihhailovna vaatas usinalt patsiendi silmadesse ja, püüdes arvata, mida ta vajab, osutas kas Pierre'ile, siis joogile, siis helistas ta sosinal küsivalt prints Vassilile, seejärel osutas tekile. Patsiendi silmadest ja näost paistis kannatamatus. Ta püüdis vaadata sulast, kes seisis voodi peatsis lahkumata.
„Nad tahavad teisele poole ümber veereda,” sosistas sulane ja tõusis, et pöörata krahvi raske keha seina poole.
Pierre tõusis, et teenijat aidata.
Krahvi ümberpööramise ajal vajus üks tema käsi abitult tagasi ja ta pingutas asjatult, et seda lohistada. Kas krahv märkas seda õuduspilti, millega Pierre seda elutut kätt vaatas või mis muu mõte sel hetkel tema suremas peast läbi vilksatas, kuid ta vaatas sõnakuulmatut kätt, õuduslikku ilmet Pierre'i näol, jällegi kätt ja näol oli nõrk, kannatav naeratus, mis ei vastanud tema näojoontele, väljendades justkui mõnitamist tema enda jõuetuse üle. Järsku tundis Pierre seda naeratust nähes värinat rinnus, nina pigistust ja pisarad tumestasid ta nägemist. Patsient pöörati külili vastu seina. Ta ohkas.
- Il est assoupi, [Ta uinus,] - ütles Anna Mihhailovna, märgates printsessi, kes tuli asendama. - Allons. [Lähme edasi.]
Pierre lahkus.