Ülesanded teemal "Arvsüsteemid"

Lahendusnäited

Ülesanne number 1. Kui palju märkimisväärsed arvud kümnendarvu 357 tähistuses arvusüsteemis alusega 3?Otsus:Tõlgime numbri 35710 kolmendarvu süsteemi:Niisiis, 35710 = 1110203. Arv 1110203 sisaldab 6 märgilist numbrit.Vastus: 6.

Ülesanne number 2. Antud on A = A715, B = 2518. Milline kahendsüsteemi kirjutatud arvudest C vastab tingimusele A1) 101011002 2) 101010102 3) 101010112 4) 101010002 Otsus:Teisendame arvud A=A715 ja B=2518 kahendarvusüsteemi, asendades esimese arvu iga koha vastava tetraadiga ja teise numbri iga numbri vastava kolmikarvuga: A715= 1010 01112; 2518 = 010 101 0012.Seisukord a

Ülesanne number 3. Millise kohaga lõpeb kümnendarv 123 alusega 6?Otsus:Tõlgime arvu 12310 6. alusega numbrisüsteemi:12310 = 3236. Vastus: Arvu 12310 sisestamine numbrisüsteemis alusega 6 lõpeb numbriga 3.Ülesanded aritmeetiliste toimingute sooritamiseks erinevates arvusüsteemides esitatud arvudega

Ülesanne number 4. Arvutage arvude X ja Y summa, kui X=1101112, Y=1358. Väljendage tulemus binaarses vormis.1) 100100112 2) 100101002 3) 110101002 4) 101001002 Otsus:Teisendame arvu Y=1358 kahendarvusüsteemiks, asendades iga selle numbri vastava triaadiga: 001 011 1012. Tehke liitmine:Vastus: 100101002 (variant 2).

Ülesanne number 5. Leidke arvude 2368, 6C16 ja 1110102 aritmeetiline keskmine. Väljendage oma vastus kümnendsüsteemis.Otsus:Tõlgime arvud 2368, 6С16 ja 1110102 kümnendarvude süsteemi:
Arvutame arvude aritmeetilise keskmise: (158+108+58)/3 = 10810.Vastus: arvude 2368, 6С16 ja 1110102 aritmeetiline keskmine on 10810.

Ülesanne number 6. Arvutage avaldise 2068 + AF16 väärtus? 110010102. Tee arvutused kaheksandarvusüsteemis. Teisendage oma vastus kümnendkohaks.Otsus:Tõlgime kõik numbrid kaheksandarvude süsteemi:2068 = 2068; AF16 = 2578; 110010102 = 3128Lisame numbrid:Teisendame vastuse kümnendsüsteemiks:Vastus: 51110.

Ülesanded arvusüsteemi aluse leidmiseks

Ülesanne number 7. Aias on 100q viljapuid: 33q õun, 22q pirn, 16q ploom ja 17q kirss. Leidke arvusüsteemi alus, milles puid loetakse.Otsus:Aias on 100q puid: 100q = 33q+22q+16q+17q.Nummerdame numbrid ja esitame need numbrid laiendatud kujul:
Vastus: Puid loetakse 9-aluses numbrisüsteemis.

Ülesanne number 8. Leidke arvusüsteemi alus x, kui teate, et 2002x = 13010.Otsus:Vastus: 4.

Ülesanne number 9. Mõne alusega arvusüsteemis kirjutatakse kümnendarvuks 18 30. Määra see alus.Otsus:Võtame tundmatu arvusüsteemi aluseks x ja kirjutame järgmise võrrandi:1810 = 30x;Nummerdame numbrid ja kirjutame need numbrid laiendatud kujul:Vastus: Kümnendarv 18 kirjutatakse 6. põhiarvusüsteemis 30-ks.

Kalkulaator võimaldab teisendada täis- ja murdarvu ühest arvusüsteemist teise. Numbrisüsteemi alus ei tohi olla väiksem kui 2 ja suurem kui 36 (lõpuks 10 numbrit ja 26 ladina tähte). Numbrid ei tohi ületada 30 tähemärki. Murdarvude sisestamiseks kasutage sümbolit. või,. Arvu ühest süsteemist teise teisendamiseks sisestage esimesele väljale algne arv, teisele algse numbrisüsteemi alus ja kolmandale väljale selle numbrisüsteemi alus, millesse soovite arvu teisendada, seejärel klõpsake nuppu "Get Entry".

algne number salvestatud 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 36 35 -ndas numbrisüsteem.

Ma tahan saada numbri rekordit 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ndas numbrisüsteem.

Hankige sissekanne

Tõlked valmis: 3722471

Samuti võib see huvi pakkuda:

• Tõe tabeli kalkulaator. SDNF. SKNF. Zhegalkini polünoom

Numbrisüsteemid

Numbrisüsteemid jagunevad kahte tüüpi: positsiooniline ja mitte positsiooniline. Me kasutame araabia süsteemi, see on positsiooniline ja on ka rooma süsteem - see lihtsalt pole positsiooniline. Positsioonisüsteemides määrab numbri asukoht numbris üheselt selle numbri väärtuse. Seda on lihtne mõista, vaadates mõne numbri näidet.

Näide 1. Võtame kümnendarvude süsteemis arvu 5921. Nummerdame numbri paremalt vasakule, alustades nullist:

Arvu 5921 saab kirjutada järgmisel kujul: 5921 = 5000+900+20+1 = 5 10 3 +9 10 2 +2 10 1 +1 10 0 . Arv 10 on tunnus, mis määrab numbrisüsteemi. Antud arvu asukoha väärtused võetakse kraadidena.

Näide 2. Mõelge tegelikule kümnendarvule 1234.567. Nummerdame selle alustades numbri nullasendist kümnendkohalt vasakule ja paremale:

Arvu 1234,567 saab kirjutada järgmiselt: 1234,567 = 1000+200+30+4+0,5+0,06+0,007 = 1 10 3 +2 10 2 +3 10 1 +4 10 0 +5 10 -1 -2 6 +7 10 -3 .

Arvude teisendamine ühest numbrisüsteemist teise

Enamik lihtsal viisil arvu ülekandmine ühest arvusüsteemist teise on arvu tõlkimine esmalt kümnendarvusüsteemi ja seejärel saadud tulemus nõutavasse arvusüsteemi.

Arvude teisendamine mis tahes arvusüsteemist kümnendarvusüsteemi

Arvu teisendamiseks suvalisest arvusüsteemist kümnendarvuks piisab selle numbrite nummerdamisest, alustades nullist (komakohast vasakul olev number) sarnaselt näitele 1 või 2. Leiame numbrite korrutiste summa arvust numbrisüsteemi aluse järgi selle numbri positsiooni astmeni:

1. Teisendage arv 1001101.1101 2 kümnendarvusüsteemiks.
Otsus: 10011.1101 2 = 1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 +1 2 -1 +1 2 -2 +0 2 -3 +1 2 - 4 = 16 + 2 + 1 + 0,5 +0,25+0,0625 = 19,8125 10
Vastus: 10011.1101 2 = 19.8125 10

2. Teisendage arv E8F.2D 16 kümnendarvusüsteemiks.
Otsus: E8F.2D 16 = 14 16 2 +8 16 1 +15 16 0 +2 16 -1 +13 16 -2 = 3584 + 128 + 15 + 0,125 + 0,05078125 = 3727,17578125 10
Vastus: E8F.2D 16 = 3727.17578125 10

Arvude teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Arvude teisendamiseks kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi tuleb arvu täis- ja murdosa eraldi tõlkida.

Arvu täisarvulise osa teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Täisarvuline osa teisendatakse kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi, jagades arvu täisarvu järjestikku arvusüsteemi alusega, kuni saadakse täisarv jääk, mis on väiksem kui arvusüsteemi alus. Ülekandmise tulemuseks on jäänuste rekord, alustades viimasest.

3. Teisenda number 273 10 kaheksandarvude süsteemiks.
Otsus: 273 / 8 = 34 ja jääk 1, 34 / 8 = 4 ja jääk 2, 4 on väiksem kui 8, nii et arvutus on lõpetatud. Jäänustest saadud rekord näeb välja selline: 421
Uurimine: 4 8 2 +2 8 1 +1 8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , tulemus on sama. Nii et tõlge on õige.
Vastus: 273 10 = 421 8

Vaatleme õigete kümnendmurdude tõlkimist erinevatesse arvusüsteemidesse.

Arvu murdosa teisendamine kümnendarvusüsteemist teise arvusüsteemi

Tuletage meelde, et õige kümnendmurd on null täisarvuga reaalarv. Sellise arvu teisendamiseks N-põhiseks arvusüsteemiks peate arvu järjekindlalt korrutama N-ga, kuni murdosa nullitakse või nõutav arv numbreid saadakse. Kui korrutamise käigus saadakse arv, mille täisarv on erinev nullist, siis seda täisarvu enam arvesse ei võeta, kuna see sisestatakse tulemusesse järjestikku.

4. Teisendage arv 0,125 10 kahendarvusüsteemiks.
Otsus: 0,125 2 = 0,25 (0 on täisarv, millest saab tulemuse esimene number), 0,25 2 = 0,5 (0 on tulemuse teine ​​number), 0,5 2 = 1,0 (1 on tulemuse kolmas number) , ja kuna murdosa on null , on tõlge valmis).
Vastus: 0.125 10 = 0.001 2

Arvusüsteemide põhimõisted

Numbrisüsteem on reeglite ja tehnikate kogum numbrite kirjutamiseks digitaalsete märkide komplekti kasutades. Numbrite arvu süsteemis kirjutamiseks vajalikku numbrite arvu nimetatakse numbrisüsteemi baasiks. Süsteemi alus kirjutatakse alaindeksis olevast numbrist paremale: ; ; jne.

Numbrisüsteeme on kahte tüüpi:

positsiooniline, kui arvu iga numbri väärtuse määrab selle asukoht numbri tähistuses;

mittepositsiooniline, kui numbris oleva numbri väärtus ei sõltu selle kohast arvu tähistuses.

Mittepositsioonilise arvusüsteemi näide on rooma oma: arvud IX, IV, XV jne. Positsioonilise numbrisüsteemi näide on iga päev kasutatav kümnendsüsteem.

Mis tahes täisarvu positsioonisüsteemis saab kirjutada polünoomina:

kus S on arvusüsteemi alus;

Antud arvusüsteemis kirjutatud arvu numbrid;

n on numbri numbrite arv.

Näide. Number on kirjutatud polünoomi kujul järgmiselt:

Numbrisüsteemide tüübid

Rooma numbrite süsteem on mittepositsiooniline süsteem. See kasutab numbrite kirjutamiseks ladina tähestiku tähti. Sel juhul tähendab I täht alati ühte, V täht viit, X kümmet, L viiskümmend, C sada, D viissada, M tuhat jne. Näiteks number 264 on kirjutatud kui CCLXIV. Rooma numbrisüsteemis arvude kirjutamisel on arvu väärtuseks selles sisalduvate numbrite algebraline summa. Samas järgnevad numbrikirjes olevad numbrid reeglina nende väärtuste kahanevas järjekorras ja üle kolme ei tohi kirjutada samad numbrid. Juhul, kui suurema väärtusega numbrile järgneb väiksem number, on selle panus arvu kui terviku väärtusesse negatiivne. Illustreerivad tüüpilised näited üldreeglid numbrite kirjed rooma numbrite süsteemis on toodud tabelis.

Tabel 2. Numbrite kirjutamine rooma numbrite süsteemis

Rooma süsteemi puuduseks on formaalsete reeglite puudumine numbrite kirjutamiseks ja vastavalt mitmekohaliste arvudega aritmeetiliste toimingute puudumine. Rooma numbrite süsteemi kasutatakse ebamugavuse ja suure keerukuse tõttu praegu seal, kus see on tõesti mugav: kirjanduses (peatükkide nummerdamine), paberimajanduses (passide seeria, väärtpaberid jne), dekoratiivsetel eesmärkidel kella sihverplaadil ja mitmel muul juhul.

Kümnendarvusüsteem on praegu kõige tuntum ja kasutatav. Kümnendarvude süsteemi leiutamine on inimmõtte üks peamisi saavutusi. Ilma selleta ei saaks moodne tehnoloogia peaaegu eksisteerida, rääkimata selle tekkimisest. Põhjus, miks kümnendarvude süsteem on muutunud üldtunnustatud, pole sugugi matemaatiline. Inimesed on harjunud lugema kümnendsüsteemis, kuna neil on kätel 10 sõrme.

Kümnendnumbrite iidne kujutis (joonis 1) ei ole juhuslik: iga number tähistab arvu selles olevate nurkade arvu järgi. Näiteks 0 - nurki pole, 1 - üks nurk, 2 - kaks nurka jne. Kümnendnumbrite õigekiri on läbi teinud olulisi muudatusi. Meie kasutatav vorm loodi 16. sajandil.

Kümnendsüsteem ilmus esmakordselt Indias umbes 6. sajandil pKr. India numeratsioonis kasutati tühja positsiooni tähistamiseks üheksat numbrimärki ja nulli. Varasemates India käsikirjades, mis meieni on jõudnud, olid numbrid kirjutatud vastupidises järjekorras - kõige olulisem kujund asetati paremale. Kuid peagi sai reegliks selline kujund vasakule küljele paigutada. Erilist tähtsust omistati nullsümbolile, mis võeti kasutusele positsioonimärgistuse jaoks. India numeratsioon, sealhulgas null, on jõudnud meie ajani. Euroopas levisid hinduistlikud kümnendaritmeetika meetodid 13. sajandi alguses. tänu Itaalia matemaatiku Leonardo Pisa (Fibonacci) tööle. Eurooplased laenasid India süsteem araablaste seas, nimetades seda araabiaks. See ajalooliselt ebaõige nimi on säilinud tänapäevani.

Kümnendsüsteemis kasutatakse kümnekohalist numbrit – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ja 9, samuti tähiseid "+" ja "-" numbri märgi tähistamiseks ning koma või punkt täis- ja murdosa numbrite eraldamiseks.

Arvutid kasutavad kahendarvusüsteemi, selle aluseks on arv 2. Arvude kirjutamiseks selles süsteemis kasutatakse ainult kahte numbrit - 0 ja 1. Vastupidiselt levinud eksiarvamusele ei leiutanud kahendarvude süsteemi mitte arvutikonstruktorid, vaid matemaatikud ja filosoofid ammu enne arvutite tulekut, 17. ja 19. sajandil. Esimesena avaldas kahendarvusüsteemi arutelu Hispaania preester Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Üldist tähelepanu sellele süsteemile äratas saksa matemaatiku Gottfried Wilhelm Leibnizi artikkel, mis avaldati 1703. aastal. Selles selgitati liitmise, lahutamise, korrutamise ja jagamise binaartehteid. Leibniz ei soovitanud seda süsteemi kasutada praktilisteks arvutusteks, kuid rõhutas selle tähtsust teoreetilise uurimistöö jaoks. Aja jooksul muutub kahendarvusüsteem üldtuntuks ja areneb.

Arvutitehnoloogias kasutatava binaarsüsteemi valik on seletatav asjaoluga, et elektroonilised elemendid - arvuti mikroskeeme moodustavad päästikud - saavad olla ainult kahes tööolekus.

Binaarse kodeerimissüsteemi abil saab salvestada kõik andmed ja teadmised. Seda on lihtne mõista, kui mäletate morsekoodi abil teabe kodeerimise ja edastamise põhimõtet. Telegraafioperaator, kes kasutab ainult kahte selle tähestiku tähemärki - punkte ja sidekriipse, saab edastada peaaegu iga teksti.

Binaarsüsteem on arvutile mugav, kuid inimesele ebamugav: numbrid on pikad ning neid on raske üles kirjutada ja meelde jätta. Muidugi saate arvu teisendada kümnendsüsteemiks ja kirjutada sellel kujul ning seejärel, kui peate selle tagasi tõlkima, kuid kõik need tõlked on aeganõudvad. Seetõttu kasutatakse arvusüsteeme, mis on seotud kahendarvuga - kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemiga. Nendes süsteemides numbrite kirjutamiseks on vaja vastavalt 8 ja 16 numbrit. Kuueteistkümnendsüsteemis on esimesed 10 numbrit tavalised ja seejärel kasutatakse suuri ladina tähti. Kuueteistkümnendnumber A vastab kümnendarvule 10, kuueteistkümnendsüsteemile B kümnendkohale 11 jne. Nende süsteemide kasutamine on seletatav asjaoluga, et üleminek arvu kirjutamisele ükskõik millises süsteemis selle kahendsüsteemist on väga lihtne. Allpool on erinevates süsteemides kirjutatud numbrite vastavustabel.

Tabel 3. Erinevates arvusüsteemides kirjutatud arvude vastavus

Reeglid arvude teisendamiseks ühest numbrisüsteemist teise

Arvude teisendamine ühest arvusüsteemist teise on masinaritmeetika oluline osa. Mõelge tõlkimise põhireeglitele.

1. Tõlkimiseks kahendnumber kümnendkohana tuleb see kirjutada polünoomina, mis koosneb arvu numbrite ja arvu 2 vastava astme korrutistest ning arvutada kümnendsüsteemi aritmeetika reeglite järgi:

Tõlkimisel on mugav kasutada kahe astme tabelit:

Tabel 4. 2. astmed

Näide. Teisendage arv kümnendsüsteemiks.

2. Kaheksandikarvu tõlkimiseks kümnendarvuks tuleb see kirjutada polünoomina, mis koosneb arvu numbrite ja arvu 8 vastava astme korrutistest, ning arvutada kümnendaritmeetika reeglite järgi:

Tõlkimisel on mugav kasutada kaheksa astmete tabelit:

Tabel 5. 8. astmed

Numbrisüsteem (inglise numeral system või system of numeration) - sümboolne meetod numbrite kirjutamiseks, mis kujutab numbreid kirjalike märkide abil

Mis on arvusüsteemi alus ja alus?

Definitsioon: Arvusüsteemi alus on erinevate märkide või sümbolite arv, mis
kasutatakse numbrite esitamiseks selles süsteemis.
Aluseks võetakse mis tahes naturaalarv – 2, 3, 4, 16 jne. See tähendab, et on lõpmatu
palju positsioonisüsteeme. Näiteks kümnendsüsteemi puhul on alus 10.

Aluse määramine on väga lihtne, peate lihtsalt süsteemis oluliste numbrite arvu ümber arvutama. Lihtsamalt öeldes on see number, millest algab numbri teine ​​number. Näiteks kasutame numbreid 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Neid on täpselt 10, seega on ka meie numbrisüsteemi alus 10 ja numbrisüsteem on nimetatakse kümnendkohaks. Ülaltoodud näites kasutatakse numbreid 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (abinumbrid 10, 100, 1000, 10000 jne ei lähe arvesse). Seal on ka 10 põhinumbrit ja numbrisüsteem on kümnendsüsteem.

Süsteemi alus on kirjutamiseks kasutatav numbrijada. Üheski süsteemis pole numbrit, mis võrdub süsteemi baasiga.

Nagu võite arvata, kui palju numbreid on, võib arvusüsteemide aluseid olla nii palju. Kuid kasutatakse ainult kõige mugavamaid numbrisüsteemide aluseid. Miks on teie arvates kõige tavalisema inimeste arvusüsteemi aluseks 10? Jah, just sellepärast, et meil on kätel 10 sõrme. "Kuid ühel käel on ainult viis sõrme," ütlevad mõned ja neil on õigus. Inimkonna ajalugu teab näiteid viiekordsete arvusüsteemide kohta. "Ja jalgadega - kakskümmend sõrme" - ütlevad teised ja neil on ka täiesti õigus. Nii arvasid maiad. Seda on isegi nende numbritest näha.

Kümnendarvude süsteem

Oleme kõik harjunud loendamisel kasutama meile lapsepõlvest tuttavaid numbreid ja numbreid. Üks, kaks, kolm, neli jne. Meie igapäevases numbrisüsteemis on ainult kümme numbrit (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), millest me moodustame suvalised arvud. Kui oleme jõudnud kümneni, lisame vasakpoolsele numbrile ühe ja hakkame uuesti loendama kõige parempoolsemas numbris nullist. Seda arvusüsteemi nimetatakse kümnendarvuks.

Pole raske arvata, et meie esivanemad valisid selle, kuna mõlema käe sõrmede arv on kümme. Aga milliseid arvusüsteeme veel on? Kas kümnendsüsteemi kasutati alati või oli ka teisi?

Arvusüsteemide tekkimise ajalugu

Enne nulli leiutamist kirjutati numbreid kasutades eritegelased. Igal rahval oli oma. AT Vana-Rooma, näiteks domineeris mittepositsiooniline arvusüsteem.

Numbrisüsteemi nimetatakse mittepositsiooniliseks, kui numbri väärtus ei sõltu selle kohast. Kõige arenenumateks numbrisüsteemideks peeti Venemaal ja Vana-Kreekas kasutusel olnud numbrisüsteeme.

Neis suured numbrid tähistatakse tähtedega, kuid täiendavate ikoonide lisamisega (1 - a, 100 - i jne). Teine mittepositsiooniline numbrisüsteem oli see, mida kasutati muistses Babülonis. Babüloonia elanikud kasutasid oma süsteemis kirjet „kahe korruse” ja ainult kolme märgiga: üks Babüloonia numbrisüsteemis ühe jaoks, kümme Babüloonia numbrisüsteemis kümne jaoks ja null Babüloonia numbrisüsteemis nulli jaoks.

Positsiooninumbrisüsteemid

Positsioonisüsteemidest on saanud samm edasi. Nüüd on koma kõikjal võitnud, kuid rakendusteadustes on sageli kasutatud ka teisi süsteeme. Sellise arvusüsteemi näiteks on kahendarvusüsteem.
Kahendarvusüsteem

Selle peal suhtlevad arvutid ja kogu kodus olev elektroonika. Selles numbrisüsteemis kasutatakse ainult kahte numbrit: 0 ja 1. Te küsite, miks ei olnud võimalik õpetada arvutit inimese kombel kümneni lugema? Vastus peitub pinnal.

Masinat on lihtne õpetada eristama kahte märki: sees tähendab 1, välja lülitatud tähendab 0; on vool - 1, voolu puudub - 0. Üritati teha masinaid, mis suudaksid eristada suuremat arvu numbreid. Kuid kõik osutusid ebausaldusväärseteks, arvutid olid alati segaduses: kas 1 tuli nende juurde või 2.

Meie ümber on palju erinevaid numbrisüsteeme. Igaüks neist on kasulik oma valdkonnas. Ja vastus küsimusele, mida ja millal kasutada, jääb meile.

Märge on meetod numbri kirjutamiseks, kasutades kindlaksmääratud erimärkide (numbrite) komplekti.

Märge:

• annab arvude hulga esituse (täisarv ja/või reaalarv);

• annab igale numbrile kordumatu esituse (või vähemalt standardse esituse);

• kuvab arvu algebralise ja aritmeetilise struktuuri.

Arvu kirjutamist mingis numbrisüsteemis nimetatakse numbrikood.

Kutsutakse numbri kuval ühte kohta tühjenemine, seega on positsiooni number järgu number.

Kutsutakse numbrite arvu numbris biti sügavus ja vastab selle pikkusele.

Numbrisüsteemid jagunevad positsiooniline ja mittepositsiooniline. Positsiooninumbrisüsteemid on jagatud

peal homogeenne ja segatud.

kaheksandarvusüsteem, kuueteistkümnendsüsteem ja muud arvusüsteemid.

Numbrisüsteemide tõlkimine. Arve saab teisendada ühest numbrisüsteemist teise.

Erinevate arvusüsteemide arvude vastavustabel.