Dalam kursus ilmu komputer, terlepas dari sekolah atau universitas, tempat khusus diberikan pada konsep sistem bilangan. Sebagai aturan, beberapa pelajaran atau latihan praktis dialokasikan untuk itu. Tujuan utamanya tidak hanya menguasai konsep dasar topik, mempelajari jenis-jenis sistem bilangan, tetapi juga mengenal aritmatika biner, oktal, dan heksadesimal.

Apa artinya?

Mari kita mulai dengan mendefinisikan konsep dasar. Sebagaimana dicatat dalam buku teks "Informatika", sistem bilangan adalah pencatatan bilangan yang menggunakan alfabet khusus atau kumpulan bilangan tertentu.

Bergantung pada apakah nilai suatu angka berubah tergantung pada posisinya dalam bilangan tersebut, ada dua: sistem bilangan posisional dan non-posisional.

Dalam sistem posisi, arti suatu angka berubah seiring dengan posisinya dalam angka tersebut. Jadi kalau kita ambil angka 234, maka angka 4 di dalamnya berarti satuan, tetapi jika kita perhatikan angka 243, maka itu sudah berarti puluhan, bukan satuan.

Dalam sistem non-posisional, arti sebuah angka adalah statis, terlepas dari posisinya dalam angka tersebut. Contoh paling mencolok adalah sistem tongkat, di mana setiap unit ditandai dengan tanda hubung. Tidak masalah di mana Anda meletakkan tongkat, nilai angkanya hanya akan berubah satu.

Sistem non-posisi

Sistem bilangan non-posisional meliputi:

1. Sistem satuan yang dianggap salah satu yang pertama. Itu menggunakan tongkat, bukan angka. Semakin banyak jumlahnya, semakin besar nilai angkanya. Anda dapat menemukan contoh angka yang ditulis dengan cara ini di film-film dimana yang sedang kita bicarakan tentang orang-orang yang tersesat di laut, para tahanan yang menandai setiap hari dengan takik di batu atau pohon.
2. Romawi, yang menggunakan huruf Latin sebagai pengganti angka. Dengan menggunakannya, Anda dapat menulis nomor apa pun. Apalagi nilainya ditentukan dengan menggunakan jumlah dan selisih angka-angka penyusun bilangan tersebut. Jika di sebelah kiri angka terdapat angka yang lebih kecil, maka angka di sebelah kiri dikurangi dengan angka di sebelah kanan, dan jika angka di sebelah kanan lebih kecil atau sama dengan angka di sebelah kiri, maka nilainya dijumlahkan. Misalnya angka 11 ditulis XI, dan 9 - IX.
3. Abjad, di mana angka-angka ditentukan menggunakan alfabet bahasa tertentu. Salah satunya dipertimbangkan Sistem Slavia, di mana sejumlah huruf tidak hanya memiliki arti fonetik, tetapi juga makna numerik.
4. di mana hanya dua notasi yang digunakan untuk menulis - irisan dan panah.
5. Mesir juga menggunakan simbol khusus untuk mewakili angka. Saat menulis angka, setiap simbol dapat digunakan tidak lebih dari sembilan kali.

Sistem posisi

Banyak perhatian diberikan dalam ilmu komputer pada sistem bilangan posisi. Ini termasuk yang berikut:

• biner;
• oktal;
• desimal;
• heksadesimal;
• sexagesimal, digunakan untuk menghitung waktu (misalnya ada 60 detik dalam satu menit, 60 menit dalam satu jam).

Masing-masing memiliki alfabet penulisannya sendiri, aturan penerjemahan, dan melakukan operasi aritmatika.

Sistem desimal

Sistem ini adalah yang paling familiar bagi kita. Ia menggunakan angka 0 hingga 9 untuk menulis angka. Mereka juga disebut Arab. Tergantung pada posisi angka dalam suatu bilangan, ini dapat menunjukkan angka yang berbeda - satuan, puluhan, ratusan, ribuan atau jutaan. Kami menggunakannya di mana-mana, kami mengetahui aturan dasar yang digunakan untuk melakukan operasi aritmatika pada angka.

Sistem biner

Salah satu sistem bilangan utama dalam ilmu komputer adalah biner. Kesederhanaannya memungkinkan komputer melakukan perhitungan rumit beberapa kali lebih cepat dibandingkan sistem desimal.

Untuk menulis angka, hanya dua digit yang digunakan - 0 dan 1. Selain itu, tergantung pada posisi 0 atau 1 pada angka tersebut, nilainya akan berubah.

Awalnya, dengan bantuan komputer mereka menerima semua informasi yang diperlukan. Dalam hal ini, satu berarti adanya sinyal yang ditransmisikan menggunakan tegangan, dan nol berarti tidak adanya sinyal tersebut.

sistem oktal

Sistem bilangan komputer terkenal lainnya yang menggunakan angka dari 0 hingga 7. Sistem ini digunakan terutama dalam bidang pengetahuan yang berhubungan dengan perangkat digital. Namun belakangan ini semakin jarang digunakan, karena telah digantikan oleh sistem bilangan heksadesimal.

Sistem desimal biner

Pertunjukan angka besar dalam sistem biner pada manusia, prosesnya cukup rumit. Untuk menyederhanakannya, dikembangkan, biasanya digunakan pada jam tangan elektronik dan kalkulator. Dalam sistem ini, tidak seluruh bilangan dikonversi dari sistem desimal ke biner, tetapi setiap digit dikonversi ke kumpulan angka nol dan satu yang sesuai dalam sistem biner. Konversi dari biner ke desimal terjadi dengan cara yang sama. Setiap digit, yang direpresentasikan sebagai kumpulan empat digit nol dan satu, diubah menjadi digit sistem bilangan desimal. Pada prinsipnya tidak ada yang rumit.

Untuk bekerja dengan angka dalam hal ini, tabel sistem bilangan akan berguna, yang akan menunjukkan korespondensi antara angka dan kode binernya.

Sistem heksadesimal

Belakangan ini, sistem bilangan heksadesimal menjadi semakin populer dalam pemrograman dan ilmu komputer. Tidak hanya menggunakan angka dari 0 hingga 9, tetapi juga sejumlah huruf Latin - A, B, C, D, E, F.

Pada saat yang sama, masing-masing huruf mempunyai arti tersendiri, jadi A=10, B=11, C=12 dan seterusnya. Setiap angka direpresentasikan sebagai kumpulan empat karakter: 001F.

Mengonversi bilangan: dari desimal ke biner

Terjemahan dalam sistem bilangan terjadi menurut aturan tertentu. Terjemahan paling umum dari biner ke sistem desimal dan sebaliknya.

Untuk mengubah suatu bilangan dari sistem desimal ke sistem biner, perlu membaginya secara berurutan dengan basis sistem bilangan, yaitu bilangan dua. Dalam hal ini, sisa setiap divisi harus dicatat. Hal ini akan terjadi sampai sisa pembagiannya kurang dari atau sama dengan satu. Cara terbaik adalah melakukan perhitungan dalam kolom. Sisa pembagian yang dihasilkan kemudian dituliskan pada baris dengan urutan terbalik.

Misalnya, mari kita ubah angka 9 ke biner:

Kita bagi 9, karena bilangan tersebut tidak habis dibagi seluruhnya, maka kita ambil bilangan 8, sisanya adalah 9 - 1 = 1.

Setelah membagi 8 dengan 2, kita mendapatkan 4. Bagilah lagi, karena bilangan tersebut habis dibagi bilangan bulat - kita mendapatkan sisa 4 - 4 = 0.

Kami melakukan operasi yang sama dengan 2. Sisanya adalah 0.

Sebagai hasil pembagian kita mendapatkan 1.

Terlepas dari sistem bilangan akhir, konversi bilangan dari desimal ke bilangan lain akan terjadi sesuai dengan prinsip membagi bilangan dengan basis sistem posisi.

Mengonversi bilangan: dari biner ke desimal

Cara mengubah bilangan ke sistem bilangan desimal dari biner cukup mudah. Untuk melakukan ini, cukup mengetahui aturan untuk menaikkan angka menjadi pangkat. Dalam hal ini, pangkat dua.

Algoritma penerjemahannya adalah sebagai berikut: setiap digit dari kode bilangan biner harus dikalikan dua, dan dua digit pertama pangkat m-1, digit kedua - m-2, dan seterusnya, di mana m adalah jumlah digit dalam kode. Kemudian jumlahkan hasil penjumlahannya hingga diperoleh bilangan bulat.

Untuk anak sekolah, algoritma ini dapat dijelaskan dengan lebih sederhana:

Pertama, kita ambil dan tuliskan setiap angka yang dikalikan dua, lalu pangkatkan dua dari akhir, mulai dari nol. Kemudian kita jumlahkan angka yang dihasilkan.

Sebagai contoh, kita akan menganalisis angka 1001 yang diperoleh sebelumnya, mengubahnya menjadi sistem desimal, dan sekaligus memeriksa kebenaran perhitungan kita.

Ini akan terlihat seperti ini:

1*2 3 + 0*2 2 +0*2 1 +1*2 0 = 8+0+0+1 =9.

Saat mempelajari topik ini, akan lebih mudah jika menggunakan tabel dengan pangkat dua. Hal ini secara signifikan akan mengurangi jumlah waktu yang diperlukan untuk melakukan perhitungan.

Opsi terjemahan lainnya

Dalam beberapa kasus, penerjemahan dapat dilakukan antara sistem bilangan biner dan oktal, biner dan heksadesimal. Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan tabel khusus atau meluncurkan aplikasi kalkulator di komputer Anda dengan memilih opsi “Programmer” di tab Lihat.

Operasi aritmatika

Terlepas dari bentuk penyajian angka tersebut, angka tersebut dapat digunakan untuk melakukan perhitungan yang familiar bagi kita. Ini bisa berupa pembagian dan perkalian, pengurangan dan penjumlahan dalam sistem bilangan pilihan Anda. Tentu saja masing-masing mempunyai aturannya sendiri.

Jadi untuk sistem biner, tabelnya sendiri telah dikembangkan untuk setiap operasi. Tabel yang sama digunakan dalam sistem posisi lainnya.

Tidak perlu menghafalnya - cukup cetak dan siapkan. Anda juga dapat menggunakan kalkulator di PC Anda.

Salah satu topik terpenting dalam ilmu komputer adalah sistem bilangan. Pengetahuan tentang topik ini, pemahaman tentang algoritma untuk mengkonversi bilangan dari satu sistem ke sistem lainnya adalah kunci agar Anda dapat memahami lebih jauh. topik yang sulit, seperti algoritme dan pemrograman, dan Anda akan dapat menulis sendiri program pertama Anda.

Dengan ini kalkulator daring Anda dapat mengonversi bilangan bulat dan pecahan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya. Solusi terperinci dengan penjelasan diberikan. Untuk menerjemahkan, masukkan bilangan asli, atur basis sistem bilangan dari bilangan sumber, atur basis sistem bilangan yang ingin Anda ubah bilangannya dan klik tombol "Terjemahkan". Lihat bagian teoritis dan contoh numerik di bawah.

Hasilnya sudah diterima!

Mengonversi bilangan bulat dan pecahan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya - teori, contoh, dan solusi

Ada sistem bilangan posisional dan non-posisional. Sistem bilangan Arab yang kami gunakan Kehidupan sehari-hari, bersifat posisional, tetapi Roman tidak. Dalam sistem bilangan posisional, posisi suatu bilangan secara unik menentukan besaran bilangan tersebut. Mari kita perhatikan ini menggunakan contoh angka 6372 dalam sistem bilangan desimal. Mari kita beri nomor pada angka ini dari kanan ke kiri, dimulai dari nol:

Maka angka 6372 dapat direpresentasikan sebagai berikut:

6372=6000+300+70+2 =6·10 3 +3·10 2 +7·10 1 +2·10 0 .

Angka 10 menentukan sistem bilangan (dalam hal ini 10). Nilai posisi suatu bilangan diambil sebagai pangkat.

Perhatikan bilangan desimal riil 1287.923. Mari kita beri nomor mulai dari nol, posisi angka dari koma desimal ke kiri dan kanan:

Maka angka 1287.923 dapat direpresentasikan sebagai:

1287.923 =1000+200+80 +7+0.9+0.02+0.003 = 1·10 3 +2·10 2 +8·10 1 +7·10 0 +9·10 -1 +2·10 -2 +3· 10 -3.

Secara umum rumusnya dapat direpresentasikan sebagai berikut:

C n S n +C n-1 · S n-1 +...+C 1 · S 1 +C 0 ·s 0 +D -1 ·s -1 +D -2 ·s -2 +...+D -k ·s -k

dimana C n adalah bilangan bulat pada posisinya N, D -k - bilangan pecahan pada posisi (-k), S- sistem bilangan.

Sekilas tentang sistem bilangan Bilangan pada sistem bilangan desimal terdiri dari banyak angka (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), pada sistem bilangan oktal terdiri dari banyak angka (0,1, 2,3,4,5,6,7), dalam sistem bilangan biner - dari sekumpulan digit (0,1), dalam sistem bilangan heksadesimal - dari sekumpulan digit (0,1 ,2,3,4,5,6, 7,8,9,A,B,C,D,E,F), di mana A,B,C,D,E,F sesuai dengan angka 10,11, 12,13,14,15 Pada tabel Tab.1 angka disajikan dalam sistem bilangan yang berbeda.

Mengubah bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya

Untuk mengkonversi bilangan dari satu sistem bilangan ke sistem bilangan lainnya, cara termudah adalah dengan terlebih dahulu mengkonversi bilangan tersebut ke sistem bilangan desimal, kemudian mengkonversi dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan yang diperlukan.

Mengubah bilangan dari sistem bilangan apa pun ke sistem bilangan desimal

Dengan menggunakan rumus (1), Anda dapat mengonversi bilangan dari sistem bilangan apa pun ke sistem bilangan desimal.

Contoh 1. Ubah bilangan 1011101.001 dari sistem bilangan biner (SS) menjadi SS desimal. Larutan:

1 ·2 6 +0 ·2 5 + 1 ·2 4 + 1 ·2 3 + 1 ·2 2 + 0 ·2 1 + 1 ·2 0 + 0 ·2 -1 + 0 ·2 -2 + 1 ·2 -3 =64+16+8+4+1+1/8=93.125

Contoh2. Ubahlah bilangan 1011101.001 dari sistem bilangan oktal (SS) menjadi SS desimal. Larutan:

Contoh 3 . Ubah bilangan AB572.CDF dari sistem bilangan heksadesimal menjadi SS desimal. Larutan:

Di Sini A-diganti 10, B- jam 11, C- jam 12, F- pada pukul 15.

Mengubah bilangan dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan lain

Untuk mengonversi bilangan dari sistem bilangan desimal ke sistem bilangan lain, Anda perlu mengonversi bagian bilangan bulat dari suatu bilangan dan bagian pecahan dari suatu bilangan secara terpisah.

Bagian bilangan bulat suatu bilangan diubah dari SS desimal ke sistem bilangan lain dengan membagi bagian bilangan bulat suatu bilangan secara berurutan dengan basis sistem bilangan (untuk SS biner - dengan 2, untuk SS 8-ary - dengan 8, untuk 16 -ary SS - sebanyak 16, dst. ) sampai diperoleh seluruh residu, kurang dari basis CC.

Contoh 4 . Mari kita ubah bilangan 159 dari SS desimal ke SS biner:

Seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 1, bilangan 159 jika dibagi 2 menghasilkan hasil bagi 79 dan sisa 1. Selanjutnya, bilangan 79 jika dibagi 2 menghasilkan hasil bagi 39 dan sisa 1, dst. Hasilnya, dengan menyusun bilangan dari sisa pembagian (dari kanan ke kiri), kita memperoleh bilangan dalam biner SS: 10011111 . Oleh karena itu kita dapat menulis:

159 10 =10011111 2 .

Contoh 5 . Mari kita ubah bilangan 615 dari SS desimal ke SS oktal.

Saat mengonversi bilangan dari SS desimal ke SS oktal, Anda perlu membagi bilangan tersebut secara berurutan dengan 8 hingga Anda mendapatkan sisa bilangan bulat kurang dari 8. Hasilnya, dengan membuat bilangan dari sisa pembagian (dari kanan ke kiri) kita dapatkan angka dalam SS oktal: 1147 (lihat Gambar 2). Oleh karena itu kita dapat menulis:

615 10 =1147 8 .

Contoh 6 . Mari kita ubah bilangan 19673 dari sistem bilangan desimal menjadi SS heksadesimal.

Terlihat dari Gambar 3, dengan membagi bilangan 19673 dengan 16 berturut-turut, maka sisanya adalah 4, 12, 13, 9. Dalam sistem bilangan heksadesimal, angka 12 sama dengan C, angka 13 sama dengan D. Oleh karena itu, bilangan kita bilangan heksadesimal adalah 4CD9.

Untuk mengubah pecahan desimal biasa (bilangan real dengan bagian bilangan bulat nol) menjadi sistem bilangan dengan basis s, bilangan ini perlu dikalikan secara berurutan dengan s hingga bagian pecahan tersebut mengandung nol murni, atau kita memperoleh jumlah digit yang diperlukan. . Jika, selama perkalian, diperoleh bilangan dengan bagian bilangan bulat selain nol, maka bagian bilangan bulat ini tidak diperhitungkan (dimasukkan secara berurutan ke dalam hasil).

Mari kita lihat contoh di atas.

Contoh 7 . Mari kita ubah bilangan 0,214 dari sistem bilangan desimal ke biner SS.

Terlihat pada Gambar 4, bilangan 0,214 dikalikan 2 secara berurutan. Jika hasil perkaliannya adalah bilangan yang bagian bilangan bulatnya selain nol, maka bagian bilangan bulat tersebut ditulis terpisah (di sebelah kiri bilangan tersebut), dan bilangan tersebut ditulis dengan bagian bilangan bulat nol. Jika hasil perkaliannya adalah suatu bilangan yang bagian bilangan bulatnya nol, maka di sebelah kirinya dituliskan nol. Proses perkalian berlanjut hingga bagian pecahan mencapai nol murni atau diperoleh jumlah digit yang diperlukan. Menulis angka tebal (Gbr. 4) dari atas ke bawah kita mendapatkan angka yang diperlukan dalam sistem bilangan biner: 0. 0011011 .

Oleh karena itu kita dapat menulis:

0.214 10 =0.0011011 2 .

Contoh 8 . Mari kita ubah bilangan 0,125 dari sistem bilangan desimal ke biner SS.

Untuk mengubah bilangan 0,125 dari desimal SS ke biner, bilangan tersebut dikalikan 2 secara berurutan. Tahap ketiga hasilnya adalah 0. Maka diperoleh hasil sebagai berikut:

0.125 10 =0.001 2 .

Contoh 9 . Mari kita ubah bilangan 0,214 dari sistem bilangan desimal menjadi SS heksadesimal.

Mengikuti contoh 4 dan 5, kita mendapatkan angka 3, 6, 12, 8, 11, 4. Namun dalam SS heksadesimal, angka 12 dan 11 sesuai dengan angka C dan B. Oleh karena itu, kita mempunyai:

0,214 10 =0,36C8B4 16 .

Contoh 10 . Mari kita ubah bilangan 0,512 dari sistem bilangan desimal ke SS oktal.

Telah mendapatkan:

0.512 10 =0.406111 8 .

Contoh 11 . Mari kita ubah bilangan 159.125 dari sistem bilangan desimal ke biner SS. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan secara terpisah bagian bilangan bulat dari bilangan tersebut (Contoh 4) dan bagian pecahan dari bilangan tersebut (Contoh 8). Dengan menggabungkan lebih lanjut hasil-hasil ini, kita memperoleh:

159.125 10 =10011111.001 2 .

Contoh 12 . Mari kita ubah bilangan 19673.214 dari sistem bilangan desimal menjadi SS heksadesimal. Untuk melakukan ini, kami menerjemahkan secara terpisah bagian bilangan bulat dari bilangan tersebut (Contoh 6) dan bagian pecahan dari bilangan tersebut (Contoh 9). Selanjutnya, dengan menggabungkan hasil-hasil ini, kami memperolehnya.

Ada banyak cara untuk merepresentasikan angka. Bagaimanapun, suatu bilangan diwakili oleh suatu simbol atau sekelompok simbol (sebuah kata) dari suatu alfabet. Simbol seperti ini disebut angka.

Sistem bilangan

Sistem bilangan non-posisi dan posisi digunakan untuk merepresentasikan bilangan.

Sistem bilangan non-posisi

Begitu orang mulai menghitung, mereka mulai perlu menuliskan angka. Temuan arkeologis di situs orang-orang primitif menunjukkan bahwa awalnya jumlah objek ditampilkan dengan jumlah yang sama dari beberapa jenis ikon (tag): takik, garis, titik. Belakangan, untuk memudahkan penghitungan, ikon-ikon ini mulai dikelompokkan menjadi tiga atau lima kelompok. Sistem penulisan bilangan ini disebut satuan (unary), karena bilangan apa pun di dalamnya dibentuk dengan mengulang satu tanda, melambangkan satu. Gema sistem bilangan satuan masih ditemukan sampai sekarang. Jadi, untuk mengetahui kursus apa yang dipelajari seorang taruna sekolah militer, Anda perlu menghitung berapa banyak garis yang dijahit di lengan bajunya. Tanpa disadari, anak-anak menggunakan sistem bilangan satuan, menunjukkan umur mereka dengan jari, dan tongkat hitung digunakan untuk mengajari siswa kelas 1 cara berhitung. Mari kita lihat sistem bilangan yang berbeda.

Sistem satuan bukanlah cara yang paling nyaman untuk menulis angka. Mencatat dalam jumlah besar dengan cara ini membosankan, dan pencatatannya sendiri sangat panjang. Seiring waktu, sistem bilangan lain yang lebih nyaman muncul.

Sistem bilangan non-posisi desimal Mesir kuno. Sekitar milenium ketiga SM, orang Mesir kuno menemukan sistem numerik mereka sendiri, di mana angka kuncinya adalah 1, 10, 100, dst. ikon khusus digunakan - hieroglif. Semua bilangan lainnya disusun dari bilangan-bilangan kunci ini dengan menggunakan operasi penjumlahan. Notasi Mesir Kuno adalah desimal, tetapi non-posisional. Dalam sistem bilangan non-posisional, padanan kuantitatif setiap digit tidak bergantung pada posisinya (tempat, posisi) dalam catatan bilangan. Misalnya, untuk menggambarkan tahun 3252, digambar tiga bunga teratai (tiga ribu), dua lembar daun lontar (dua ratus), lima busur (lima puluhan) dan dua tiang (dua kesatuan). Besar kecilnya angka tidak bergantung pada urutan letak tanda-tanda penyusunnya: dapat ditulis dari atas ke bawah, dari kanan ke kiri, atau diselingi.

Sistem bilangan Romawi. Contoh sistem nonposisi yang bertahan hingga saat ini adalah sistem bilangan, yang digunakan lebih dari dua setengah ribu tahun yang lalu di Roma kuno. Sistem bilangan Romawi didasarkan pada tanda I (satu jari) untuk angka 1, V (telapak tangan terbuka) untuk angka 5, X (dua telapak tangan terlipat) untuk angka 10, dan huruf pertama dari kata Latin yang bersangkutan mulai menjadi digunakan untuk menunjuk angka 100, 500 dan 1000 (Centum – seratus, Demimille – setengah ribu, Mille – seribu). Untuk menuliskan suatu bilangan, orang Romawi menguraikannya menjadi jumlah ribuan, setengah ribu, ratusan, lima puluh, puluhan, tumit, satuan. Misalnya, angka desimal 28 direpresentasikan sebagai berikut:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (dua puluhan, tumit, tiga satuan).

Untuk mencatat bilangan perantara, orang Romawi tidak hanya menggunakan penjumlahan, tetapi juga pengurangan. Dalam hal ini, aturan berikut diterapkan: setiap tanda yang lebih kecil yang ditempatkan di sebelah kanan tanda yang lebih besar ditambahkan nilainya, dan setiap tanda yang lebih kecil yang ditempatkan di sebelah kiri tanda yang lebih besar dikurangi nilainya. Misalnya IX berarti 9, XI berarti 11.

Angka desimal 99 memiliki representasi sebagai berikut:

XCIХ = –10+100–1+10.

Angka Romawi telah digunakan sejak lama. Bahkan 200 tahun yang lalu, dalam surat kabar bisnis, angka harus dilambangkan dengan angka Romawi (diyakini bahwa angka Arab biasa mudah dipalsukan). Sistem angka Romawi saat ini digunakan terutama untuk memberi nama pada tanggal, volume, bagian, dan bab penting dalam buku.

Sistem bilangan abjad. Sistem abjad adalah sistem bilangan non-posisional yang lebih maju. Sistem bilangan tersebut termasuk Yunani, Slavia, Fenisia, dan lain-lain. Di dalamnya, angka dari 1 hingga 9, bilangan bulat dari puluhan (dari 10 hingga 90) dan bilangan bulat dari ratusan (dari 100 hingga 900) ditandai dengan huruf alfabet. Dalam sistem bilangan abjad Yunani kuno angka 1, 2, ..., 9 ditunjuk oleh sembilan huruf pertama alfabet Yunani, dll. 9 huruf berikutnya digunakan untuk melambangkan angka 10, 20, ..., 90, dan 9 huruf terakhir digunakan untuk melambangkan angka 100, 200, ..., 900.

kamu masyarakat Slavia nilai numerik huruf-huruf dibuat dalam urutan alfabet Slavia, yang pertama-tama menggunakan alfabet Glagolitik dan kemudian alfabet Sirilik.

Di Rusia, penomoran Slavia dipertahankan hingga akhir abad ke-17. Di bawah Peter I, apa yang disebut penomoran Arab berlaku, yang masih kita gunakan sampai sekarang. Penomoran Slavia hanya disimpan dalam buku-buku liturgi.

Sistem bilangan non-posisional memiliki sejumlah kelemahan signifikan:

• Ada kebutuhan yang konstan untuk memperkenalkan simbol-simbol baru untuk mencatat angka-angka besar.

• Tidak mungkin untuk merepresentasikan bilangan pecahan dan negatif.

• Sulit untuk melakukan operasi aritmatika karena tidak ada algoritma untuk melakukannya.

Sistem bilangan posisi

Dalam sistem bilangan posisional, padanan kuantitatif setiap digit bergantung pada posisinya (posisi) dalam kode (catatan) bilangan tersebut. Saat ini kita terbiasa menggunakan sistem posisi desimal - angka ditulis menggunakan 10 digit. Digit paling kanan menunjukkan satuan, yang di sebelah kiri menunjukkan puluhan, lebih jauh lagi ke kiri menunjukkan ratusan, dan seterusnya.

Misalnya: 1) sexagesimal (Babel Kuno) – sistem bilangan posisi pertama. Hingga saat ini, saat mengukur waktu, digunakan basis 60 (1 menit = 60 detik, 1 jam = 60 menit); 2) sistem bilangan duodesimal (angka 12—“puluhan”—digunakan secara luas pada abad ke-19: ada dua lusin jam dalam sehari). Menghitung bukan dengan jari, tapi dengan ruas jari. Setiap jari, kecuali ibu jari, memiliki 3 sendi - total 12; 3) saat ini sistem bilangan posisi yang paling umum adalah desimal, biner, oktal dan heksadesimal (banyak digunakan dalam pemrograman tingkat rendah dan secara umum dalam dokumentasi komputer, karena di komputer modern unit memori minimum adalah byte 8-bit, nilainya ​​yang mudahnya ditulis dalam dua digit heksadesimal ).

Dalam sistem posisi apa pun, suatu bilangan dapat direpresentasikan sebagai polinomial.

Mari tunjukkan cara merepresentasikan bilangan desimal sebagai polinomial:

Jenis sistem bilangan

Hal terpenting yang perlu Anda ketahui tentang sistem bilangan adalah jenisnya: penjumlahan atau perkalian. Pada tipe pertama, setiap angka memiliki arti tersendiri, dan untuk membaca angka tersebut Anda perlu menjumlahkan semua nilai angka yang digunakan:

XXXV = 10+10+10+5 = 35; CCXIX = 100+100+10–1+10 = 219;

Pada tipe kedua, setiap digit dapat memiliki arti yang berbeda tergantung lokasinya di nomor:

(urutan hieroglif: 2, 1000, 4, 100, 2, 10, 5)

Di sini hieroglif "2" digunakan dua kali, dan dalam setiap kasus memiliki arti yang berbeda "2000" dan "20".

2´ 1000 + 4´ 100+2´ 10+5 = 2425

Untuk sistem aditif (“tambahan”), Anda perlu mengetahui semua angka dan simbol beserta artinya (ada hingga 4-5 lusin), dan urutan pencatatannya. Misalnya dalam notasi latin, jika angka yang lebih kecil ditulis sebelum angka yang lebih besar, maka dilakukan pengurangan, dan jika setelahnya, maka dilakukan penjumlahan (IV = (5–1) = 4; VI = (5+1) = 6) .

Untuk sistem perkalian, Anda perlu mengetahui gambaran bilangan dan artinya, serta dasar dari sistem bilangan tersebut. Menentukan basa sangat mudah, Anda hanya perlu menghitung ulang jumlahnya sosok penting dalam sistem. Sederhananya, ini adalah angka yang menjadi awal mula digit kedua angka tersebut. Misalnya kita menggunakan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jumlahnya tepat 10, maka basis sistem bilangan kita juga 10, dan sistem bilangannya adalah disebut “desimal”. Contoh di atas menggunakan angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (tambahan 10, 100, 1000, 10000, dst tidak dihitung). Ada juga 10 bilangan utama di sini, dan sistem bilangannya adalah desimal.

Seperti yang bisa Anda tebak, sebanyak apapun bilangan yang ada, basis sistem bilangan bisa jadi sama banyaknya. Namun hanya basis sistem bilangan yang paling mudah digunakan yang digunakan. Menurut Anda mengapa basis sistem bilangan yang paling umum digunakan manusia adalah 10? Ya, justru karena kita punya 10 jari di tangan kita. “Tetapi hanya ada lima jari di satu tangan,” kata beberapa orang, dan mereka mungkin benar. Sejarah umat manusia mengetahui contoh sistem bilangan lima kali lipat. “Dan kakinya memiliki dua puluh jari kaki,” kata orang lain, dan mereka juga sepenuhnya benar. Inilah yang diyakini suku Maya. Hal ini bahkan terlihat dari jumlah mereka.

Konsep “puluhan” sangat menarik. Semua orang tahu bahwa ini adalah 12, tetapi hanya sedikit orang yang tahu dari mana angka ini berasal. Lihatlah tanganmu, atau lebih tepatnya, satu tangan. Berapa jumlah ruas jari pada satu tangan, tidak termasuk ibu jari? Itu benar, dua belas. A ibu jari dimaksudkan untuk menandai falang yang dihitung.

Dan jika sebaliknya kita menandai bilangan puluhan dengan jari kita, kita akan mendapatkan sistem Babilonia sexagesimal yang terkenal.

Peradaban yang berbeda menghitung secara berbeda, tetapi bahkan sekarang Anda bahkan dapat menemukan dalam bahasa, dalam nama dan gambar angka, sisa-sisa sistem bilangan yang sama sekali berbeda yang pernah digunakan oleh orang-orang ini.

Jadi orang Perancis pernah mempunyai sistem bilangan berbasis 20, karena 80 dalam bahasa Perancis terdengar seperti “empat kali dua puluh.”

Bangsa Romawi, atau pendahulunya, pernah menggunakan sistem lima kali lipat, karena V tidak lebih dari gambar telapak tangan dengan ibu jari terentang, dan X adalah dua tangan yang sama.

| § 1.1. Sistem bilangan

Pelajaran 2 - 5
§ 1.1. Sistem bilangan

Kata kunci:

Notasi
nomor
alfabet
sistem bilangan posisi
basis
bentuk penulisan angka yang diperluas
bentuk tulisan angka yang diciutkan
sistem bilangan biner
sistem bilangan oktal
sistem bilangan heksadesimal

1.1.1. Informasi umum tentang sistem bilangan

Sistem bilangan adalah sistem tanda yang menganut aturan-aturan tertentu dalam penulisan bilangan.. Tanda-tanda yang digunakan untuk menulis angka (Gbr. 1.1) disebut dalam angka, dan totalitasnya adalah alfabet sistem bilangan.

Beras. 1.1. Tanda yang digunakan untuk menulis bilangan dalam berbagai sistem bilangan

Dalam sistem bilangan apa pun, angka digunakan untuk menunjukkan bilangan yang disebut bilangan simpul; bilangan-bilangan yang tersisa (algoritmik) diperoleh sebagai hasil beberapa operasi dari bilangan-bilangan simpul.

Contoh 1. Di kalangan orang Babilonia, angka kuncinya adalah 1, 10, 60; dalam sistem angka romawi, angka kuncinya adalah 1, 5, 10, 50, 100, 500 dan 1000, masing-masing dilambangkan dengan I, V, X, L, C, D, M.

Sistem bilangan berbeda dalam pilihan bilangan nodal dan metode menghasilkan bilangan algoritmik. Jenis sistem bilangan berikut dapat dibedakan:

1) sistem unary;
2) sistem non-posisi;
3) sistem posisi.

Sistem yang paling sederhana dan paling kuno adalah sistem bilangan unary. Ia hanya menggunakan satu simbol untuk menulis angka apa pun - tongkat, simpul, takik, kerikil. Panjang suatu bilangan dalam pengkodean ini berhubungan langsung dengan nilainya, sehingga metode ini mirip dengan representasi geometri bilangan dalam bentuk segmen. Sistem unary inilah yang mendasari aritmatika, dan sistem inilah yang masih mengenalkan siswa kelas satu pada dunia berhitung. Sistem unary disebut juga sistem tag.

Suatu sistem bilangan disebut nonposisional apabila padanan kuantitatif (nilai kuantitatif) suatu angka dalam suatu bilangan tidak bergantung pada posisinya dalam notasi bilangan tersebut.

Pada sebagian besar sistem bilangan non-posisional, bilangan dibentuk dengan menjumlahkan bilangan simpul.

Contoh 2. DI DALAM mesir kuno Dalam sistem bilangan, bilangan 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 masing-masing ditetapkan sebagai berikut:

Nomor yang sama di Roma Sistem bilangannya ditetapkan sebagai berikut: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Di sini, bilangan algoritmik diperoleh dengan menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan kunci, dengan memperhatikan aturan berikut: setiap tanda yang lebih kecil yang ditempatkan di sebelah kanan tanda yang lebih besar ditambahkan ke nilainya, dan setiap tanda yang lebih kecil yang ditempatkan di sebelah kiri tanda yang lebih besar adalah dikurangi darinya.

Suatu sistem bilangan disebut posisional jika padanan kuantitatif suatu angka bergantung pada kedudukannya (posisinya) dalam notasi bilangan tersebut. Basis sistem bilangan posisi sama dengan jumlah digit yang menyusun alfabetnya.

Sistem bilangan desimal, yang biasa kita gunakan dalam kehidupan sehari-hari, yang kita kenal sejak kecil, tempat kita melakukan semua perhitungan - contoh sistem bilangan posisi. Alfabet sistem desimal terdiri dari angka O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bilangan algoritmik dibentuk di dalamnya sebagai berikut: nilai bilangan tersebut dikalikan dengan "bobot" dari digit yang sesuai, dan semua nilai yang dihasilkan dijumlahkan. Hal ini terlihat jelas pada angka-angka bahasa Rusia, misalnya: “ tiga ratus lima sepuluh tujuh».

Dasar dari sistem bilangan posisi dapat berupa apa saja bilangan asli q > 1. Alfabet sistem bilangan posisi sembarang dengan basis q adalah bilangan O, 1, ..., q-1 yang masing-masing dapat ditulis dengan menggunakan satu simbol unik; Digit terendah selalu O.

Keuntungan utama dari sistem bilangan posisional adalah kemudahan dalam melakukan operasi aritmatika dan terbatasnya jumlah simbol yang diperlukan untuk menulis bilangan apa pun.

Di Sini:

Sebuah angka;




q i - "berat" dari digit ke-i.

Penulisan suatu bilangan dengan menggunakan rumus (1) disebut bentuk penulisan diperluas. Bentuk tulisan suatu bilangan yang diciutkan merupakan representasinya dalam bentuk tersebut 1

Contoh 3. Perhatikan angka desimal 14351.1. Bentuk notasi yang diciutkannya begitu familiar sehingga kita tidak menyadari bagaimana dalam pikiran kita kita beralih ke notasi yang diperluas, mengalikan digit-digit suatu bilangan dengan “bobot” dari digit-digit tersebut dan menjumlahkan hasil perkaliannya:

1.1.2. Sistem bilangan biner

Sistem bilangan biner merupakan sistem bilangan posisi dengan basis 2. Untuk penulisan bilangan pada sistem bilangan biner hanya digunakan dua digit: 0 dan 1.

Berdasarkan rumus (1) untuk bilangan bulat biner kita dapat menulis:

Misalnya:

Bentuk penulisan ini “mengusulkan” aturan untuk mengubah bilangan biner alami menjadi sistem bilangan desimal: perlu untuk menghitung jumlah pangkat dua yang bersesuaian dengan satuan dalam bentuk penulisan bilangan biner yang diciutkan.

Mari kita peroleh aturan untuk mengubah bilangan desimal bilangan bulat ke sistem bilangan biner dari rumus (1").

Bagilah dengan 2. Hasil bagi sama dengan , dan sisanya sama dengan 0 .

Mari kita bagi lagi hasil bagi dengan 2, sisa pembagiannya akan sama dengan 1.

Jika kita melanjutkan proses perpecahan ini, maka langkah n-m kami mendapatkan satu set angka:

yang termasuk dalam representasi biner dari bilangan asli dan bertepatan dengan sisanya jika bilangan tersebut dibagi 2 secara berurutan.

Jadi, untuk mengonversi bilangan desimal bilangan bulat ke sistem bilangan biner, Anda perlu membagi bilangan tertentu dan hasil bagi bilangan bulat yang dihasilkan secara berurutan dengan 2 hingga Anda mendapatkan hasil bagi yang sama dengan nol. Bilangan asli dalam sistem bilangan biner disusun dengan mencatat sisa-sisa yang dihasilkan secara berurutan, dimulai dari bilangan terakhir.

Contoh 4. Mari kita ubah bilangan desimal 11 ke sistem bilangan biner. Urutan tindakan yang dibahas di atas (algoritma terjemahan) dapat digambarkan sebagai berikut:

Dengan menuliskan sisa pembagian searah tanda panah, diperoleh: 11 10 = 1011 2.

Contoh 5. Jika angka desimalnya cukup besar, maka cara penulisan algoritma yang dibahas di atas berikut ini lebih mudah:

363 10 = 101101011 2

1.1.3. Sistem bilangan oktal

Sistem bilangan oktal adalah sistem bilangan posisi dengan basis 8. Untuk menuliskan bilangan pada sistem bilangan oktal digunakan bilangan sebagai berikut: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Berdasarkan rumus (1) untuk bilangan bulat oktal kita dapat menulis:

Misalnya: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10 .

Jadi, untuk mengonversi bilangan oktal bilangan bulat ke sistem bilangan desimal, Anda harus beralih ke bentuk yang diperluas dan menghitung nilai ekspresi yang dihasilkan.

Untuk mengubah bilangan desimal bilangan bulat ke sistem bilangan oktal, Anda harus membagi bilangan tertentu dan hasil bagi bilangan bulat secara berurutan dengan 8 hingga Anda mendapatkan hasil bagi yang sama dengan nol. Bilangan asli pada sistem bilangan baru disusun dengan mencatat secara berurutan sisa-sisa yang dihasilkan, dimulai dari yang terakhir.

Contoh 6. Mari kita ubah bilangan desimal 103 ke sistem bilangan oktal.

103 10 = 147 8

1.1.4. Sistem bilangan heksadesimal

Basis: q = 16.

Alfabet: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Di sini, hanya sepuluh dari enam belas digit yang memiliki sebutan 0,..., 9 yang diterima secara umum. Untuk menulis bilangan dengan padanan kuantitatif desimal 10, 11, 12, 13, 14, 15, biasanya lima huruf pertama alfabet Latin digunakan.

Jadi entri 3AF 16 cara:

Contoh 7. Mari kita ubah bilangan desimal 154 ke sistem bilangan heksadesimal.

154 10 = 9A 16

1.1.5. Aturan untuk mengubah bilangan desimal bilangan bulat ke sistem bilangan dengan basis q

Untuk mengubah bilangan desimal bilangan bulat menjadi sistem bilangan dengan basis g:

1) membagi bilangan tertentu dan hasil bagi bilangan bulat yang dihasilkan secara berurutan dengan basis sistem bilangan baru sampai diperoleh hasil bagi sama dengan nol;
2) menyesuaikan sisa-sisa yang berupa angka-angka suatu bilangan pada sistem bilangan yang baru, sesuai dengan abjad sistem bilangan yang baru;
3) menyusun suatu bilangan dalam sistem bilangan baru, menuliskannya mulai dari sisa terakhir yang diterima.

Mari kita sajikan tabel korespondensi bilangan desimal, biner, oktal, dan heksadesimal dari O sampai 20 10.

Koleksi Terpadu Sumber Daya Pendidikan Digital (http://sc.edu.ru/) berisi animasi interaktif “Mengonversi bilangan desimal ke sistem bilangan lain” (135050). Dengan bantuannya, Anda dapat mengamati terjemahan bilangan bulat sembarang dari 0 hingga 512 ke dalam sistem bilangan posisi, yang basisnya tidak melebihi 16.

Di laboratorium virtual "Timbangan Digital" (135009) yang berlokasi di sana, Anda dapat mempelajari cara lain untuk mengonversi bilangan desimal bilangan bulat ke sistem bilangan lain - metode selisih.

1.1.6. Aritmatika biner

Aritmatika sistem bilangan biner didasarkan pada penggunaan tabel penjumlahan dan perkalian berikut:

Contoh 8. Tabel penjumlahan biner sangat sederhana. Karena 1 + 1 = 10, maka 0 tetap berada pada angka penting terkecil, dan 1 dipindahkan ke angka paling penting.

Contoh 9. Pengoperasian perkalian bilangan biner dilakukan sesuai dengan skema yang biasa digunakan dalam sistem bilangan desimal, dengan mengalikan pengali secara berurutan dengan digit pengali berikutnya.

Jadi, dalam sistem bilangan biner, perkalian direduksi menjadi pergeseran perkalian dan penjumlahan.

1.1.7. Sistem bilangan "Komputer".

Teknologi komputer menggunakan sistem bilangan biner, yang memberikan sejumlah keunggulan dibandingkan sistem bilangan lainnya:

Bilangan biner direpresentasikan dalam komputer menggunakan elemen teknis yang cukup sederhana dengan dua keadaan stabil;
penyajian informasi hanya melalui dua negara yang dapat diandalkan dan tahan kebisingan;
aritmatika biner adalah yang paling sederhana;
Ada peralatan matematika yang menyediakan transformasi logis dari data biner.

Pertukaran informasi antar perangkat komputer dilakukan dengan mengirimkan kode biner. Tidak nyaman bagi seseorang untuk menggunakan kode tersebut karena panjangnya yang besar dan keseragaman visualnya. Oleh karena itu, para spesialis (pemrogram, insinyur) pada beberapa tahap pengembangan, pembuatan, dan konfigurasi sistem komputer mengganti kode biner dengan nilai yang setara dalam sistem bilangan oktal atau heksadesimal. Akibatnya, panjang kata aslinya berkurang masing-masing tiga dan empat kali lipat. Hal ini membuat informasi lebih mudah untuk ditinjau dan dianalisis.

Dengan menggunakan sumber daya “Buku Masalah Interaktif, Bagian “Sistem Bilangan”” (128659), yang terletak di Koleksi Terpadu Sumber Daya Pendidikan Digital, Anda dapat memeriksa seberapa baik Anda telah menguasai materi yang dipelajari dalam paragraf ini.

YANG PALING PENTING

Sistem bilangan adalah sistem tanda yang menganut aturan-aturan tertentu dalam penulisan bilangan. Tanda-tanda yang digunakan untuk menulis bilangan disebut angka, dan kombinasinya disebut alfabet sistem bilangan.

Suatu sistem bilangan disebut posisional jika padanan kuantitatif suatu angka bergantung pada kedudukannya (posisinya) dalam notasi bilangan tersebut. Basis sistem bilangan posisi sama dengan jumlah digit yang menyusun alfabetnya.

Basis sistem bilangan posisi dapat berupa bilangan asli apa pun q > 1.

Dalam sistem bilangan posisional dengan basis q, bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai:

Di Sini:

Sebuah angka;
q - basis sistem bilangan;
a i - angka-angka yang termasuk dalam alfabet dari sistem bilangan tertentu;
n - jumlah digit bilangan bulat;
m - jumlah digit pecahan dari bilangan tersebut;
q i - "berat" dari digit ke-i.

Pertanyaan dan tugas

1. Membaca materi presentasi paragraf yang terdapat dalam lampiran elektronik buku teks. Apa yang dapat Anda katakan tentang bentuk penyajian informasi dalam presentasi dan buku teks? Slide apa yang dapat Anda gunakan untuk melengkapi presentasi Anda?

2. Temukan informasi lebih lanjut tentang sistem bilangan unary, positional, dan non-positional. Bagaimana mereka berbeda? Berikan contoh.

3. Bilangan-bilangan yang sistem bilangannya ditunjukkan pada Gambar. 1.1?

4. Jelaskan mengapa sistem bilangan posisi dengan basis 5, 10, 12 dan 20 disebut sistem bilangan anatomis.

5. Bagaimana cara berpindah dari bentuk penulisan bilangan desimal yang diciutkan ke bentuk yang diperluas?

6. Tuliskan bilangan-bilangan dalam bentuk yang diperluas:

a) 143.511 10;
b) 143511 8;
c) 143511 16;
d) 1435.11 8

7. Hitung persamaan desimal dari bilangan berikut:

a) 172 8;
b) 2EA 16;
c) 101010 2;
d) 10.1 2;
e) 243 6.

8. Sebutkan bilangan 110011 2, 111 4, 35 8 dan 1B 16 yang manakah:

a) yang terbesar;
b) yang terkecil.

9. Berapakah basis minimum suatu sistem bilangan jika dituliskan bilangan 123, 222, 111, 241? Tentukan ekuivalen desimal dari bilangan-bilangan ini dalam sistem bilangan yang ditemukan.

10. Apakah persamaan berikut ini benar?

a) 33 4 = 21 7;
b) 33 8 = 21 4.

11. Tentukan basis x dari sistem bilangan tersebut jika:

a) 14 x = 9 10;
b) 2002x. = 130 10 .

12. Konversi bilangan bulat dari desimal ke biner:

a) 89;
b) 600;
c) 2010.

13. Konversi bilangan bulat dari desimal ke oktal:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

14. Konversi bilangan bulat dari desimal ke heksadesimal:

a) 513;
b) 600;
c) 2010.

15. Isilah tabel yang setiap barisnya harus dituliskan bilangan yang sama dalam sistem bilangan dengan basis 2, 8, 10 dan 16.

Sistem bilangan Romawi adalah sistem non-posisi. Ia menggunakan huruf alfabet Latin untuk menulis angka. Dalam hal ini huruf I selalu berarti satu, huruf V berarti lima, X berarti sepuluh, L berarti lima puluh, C berarti seratus, D berarti lima ratus, M berarti seribu, dan seterusnya. Misalnya angka 264 ditulis CCLXIV. Saat menulis bilangan dalam sistem bilangan Romawi, nilai suatu bilangan adalah jumlah aljabar dari angka-angka yang termasuk di dalamnya. Dalam hal ini, digit-digit dalam catatan angka biasanya mengikuti urutan nilainya, dan tidak diperbolehkan menulis lebih dari tiga di samping satu sama lain. nomor yang identik. Jika suatu angka yang nilainya lebih besar diikuti oleh angka yang nilainya lebih kecil, maka kontribusinya terhadap nilai bilangan tersebut secara keseluruhan adalah negatif. Contoh-contoh khas yang mengilustrasikan aturan umum catatan angka dalam sistem angka Romawi diberikan dalam tabel.

Tabel 2. Penulisan bilangan pada sistem angka romawi

Kerugian dari sistem Romawi adalah kurangnya aturan formal untuk menulis angka dan, karenanya, operasi aritmatika dengan angka multi-digit. Karena ketidaknyamanan dan kerumitannya yang besar, sistem bilangan Romawi saat ini digunakan di tempat yang benar-benar nyaman: dalam literatur (penomoran bab), dalam desain dokumen (serangkaian paspor, surat berharga, dll.), untuk tujuan dekoratif pada a jam tangan dan dalam beberapa kasus lainnya.

Sistem bilangan desimal- saat ini yang paling terkenal dan digunakan. Penemuan sistem bilangan desimal merupakan salah satu pencapaian utama pemikiran manusia. Tanpanya, teknologi modern tidak akan ada, apalagi muncul. Alasan mengapa sistem bilangan desimal diterima secara umum sama sekali bukan alasan matematis. Orang terbiasa berhitung dengan sistem bilangan desimal karena tangannya mempunyai 10 jari.

Gambaran kuno angka desimal (Gbr. 1) bukanlah suatu kebetulan: setiap angka mewakili angka berdasarkan jumlah sudut di dalamnya. Misalnya, 0 - tidak ada sudut, 1 - satu sudut, 2 - dua sudut, dll. Penulisan angka desimal telah mengalami perubahan yang cukup signifikan. Bentuk yang kami gunakan didirikan pada abad ke-16.

Sistem desimal pertama kali muncul di India sekitar abad ke-6 era baru. Penomoran India menggunakan sembilan karakter numerik dan angka nol untuk menunjukkan posisi kosong. Dalam naskah-naskah India awal yang sampai kepada kita, angka-angka ditulis dalam urutan terbalik - angka yang paling signifikan ditempatkan di sebelah kanan. Namun segera menjadi aturan untuk menempatkan nomor tersebut di sisi kiri. Kepentingan khusus diberikan pada simbol nol, yang diperkenalkan untuk sistem notasi posisi. Penomoran India, termasuk nol, masih bertahan hingga saat ini. Di Eropa, metode aritmatika desimal Hindu menyebar luas pada awal abad ke-13. berkat karya matematikawan Italia Leonardo dari Pisa (Fibonacci). orang Eropa meminjam sistem India notasi di kalangan orang Arab, menyebutnya bahasa Arab. Penyebutan sejarah yang keliru ini berlanjut hingga hari ini.

Sistem desimal menggunakan sepuluh digit—0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9—serta simbol “+” dan “–” untuk menunjukkan tanda suatu bilangan, dan a koma atau titik untuk memisahkan bagian bilangan bulat dan desimal.

Digunakan di komputer sistem bilangan biner, basisnya adalah angka 2. Untuk menulis angka dalam sistem ini, hanya dua digit yang digunakan - 0 dan 1. Bertentangan dengan kesalahpahaman populer, sistem bilangan biner ditemukan bukan oleh insinyur desain komputer, tetapi oleh ahli matematika dan filsuf jauh sebelum munculnya munculnya komputer, pada abad ke 17. Abad XIX. Diskusi pertama yang diterbitkan tentang sistem bilangan biner dilakukan oleh pendeta Spanyol Juan Caramuel Lobkowitz (1670). Perhatian umum terhadap sistem ini tertuju pada artikel matematikawan Jerman Gottfried Wilhelm Leibniz, yang diterbitkan pada tahun 1703. Artikel tersebut menjelaskan operasi biner penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian. Leibniz tidak merekomendasikan penggunaan sistem ini untuk perhitungan praktis, namun menekankan pentingnya untuk penelitian teoritis. Seiring berjalannya waktu, sistem bilangan biner menjadi terkenal dan berkembang.

Pilihan sistem biner untuk digunakan dalam teknologi komputer dijelaskan oleh fakta bahwa elemen elektronik - pemicu yang membentuk chip komputer - hanya dapat berada dalam dua kondisi operasi.

Dengan menggunakan sistem pengkodean biner, Anda dapat merekam data dan pengetahuan apa pun. Hal ini mudah dipahami jika kita mengingat prinsip penyandian dan penyampaian informasi menggunakan kode Morse. Operator telegraf, hanya menggunakan dua simbol alfabet ini - titik dan garis, dapat mengirimkan hampir semua teks.

Sistem biner nyaman untuk komputer, tetapi tidak nyaman bagi manusia: angkanya panjang dan sulit untuk ditulis dan diingat. Tentu saja, Anda dapat mengonversi angka tersebut ke sistem desimal dan menuliskannya dalam bentuk ini, dan kemudian, ketika Anda perlu mengonversinya kembali, tetapi semua terjemahan ini memakan waktu. Oleh karena itu, sistem bilangan yang terkait dengan biner digunakan - oktal dan heksadesimal. Untuk menulis angka dalam sistem ini, diperlukan masing-masing 8 dan 16 digit. Dalam heksadesimal, 10 digit pertama adalah umum, dan kemudian digunakan huruf kapital Latin. Heksadesimal A sama dengan angka desimal 10, heksadesimal B sama dengan angka desimal 11, dst. Penggunaan sistem ini dijelaskan oleh fakta bahwa transisi ke penulisan bilangan dalam salah satu sistem ini dari notasi binernya sangat sederhana. Di bawah ini adalah tabel korespondensi antar bilangan yang ditulis dalam sistem yang berbeda.

Tabel 3. Kesesuaian bilangan yang ditulis dalam sistem bilangan yang berbeda